4791:
3442:
920:
3891:
4058:
2723:
2006:
4524:
3685:
3292:
732:
219:
90:). In other words, one can determine the behavior of the entire system from the system's outputs. On the other hand, if the system is not observable, there are state trajectories that are not distinguishable by only measuring the outputs.
417:
2945:
791:
616:
295:
1515:
3736:
1377:
3899:
1138:
973:
4185:
1183:
1580:
796:
4516:
4873:
and other static estimators. In the nonlinear case, observability can be characterized for individual variables, and also for local estimator behavior rather than just global behavior.
4351:
4316:
4281:
4246:
2505:
4786:{\displaystyle d{\mathcal {O}}_{s}(x_{0})=\operatorname {span} (dh_{1}(x_{0}),\ldots ,dh_{p}(x_{0}),dL_{v_{i}}L_{v_{i-1}},\ldots ,L_{v_{1}}h_{j}(x_{0})),\ j\in p,k=1,2,\ldots .}
4417:
3728:
1835:
4867:
4834:
1024:
4807:
Observability may also be characterized for steady state systems (systems typically defined in terms of algebraic equations and inequalities), or more generally, for sets in
3540:
3437:{\displaystyle \operatorname {rank} {\begin{bmatrix}&N_{0}({\bar {t}})&\\&N_{1}({\bar {t}})&\\&\vdots &\\&N_{k}({\bar {t}})&\end{bmatrix}}=n,}
2441:
3496:
3280:
3118:
2777:
2491:
2397:
2343:
2268:
2121:
1827:
1247:
1283:
4080:
3069:
995:
2219:
3165:
624:
3532:
2072:
2029:
1774:
140:
1738:
4448:
4383:
3219:
3192:
2179:
2152:
319:
915:{\displaystyle {\begin{aligned}G\colon \mathbb {R} ^{n}&\rightarrow {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ;\mathbb {R} ^{n})\\x(0)&\mapsto Ce^{At}x(0)\end{aligned}}}
2788:
2291:
1683:
1663:
1643:
1623:
1603:
1203:
1044:
783:
763:
536:
500:
480:
460:
440:
124:
3047:
3001:
541:
225:
3886:{\displaystyle A(t)={\begin{bmatrix}t&1&0\\0&t^{3}&0\\0&0&t^{2}\end{bmatrix}},\,C(t)={\begin{bmatrix}1&0&1\end{bmatrix}}.}
1421:
4053:{\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{0}(0)\\N_{1}(0)\\N_{2}(0)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}}}
1289:
86:, the current state can be estimated using only the information from outputs (physically, this generally corresponds to information obtained by
1052:
56:
for linear dynamic systems. A dynamical system designed to estimate the state of a system from measurements of the outputs is called a
4796:
Early criteria for observability in nonlinear dynamic systems were discovered by
Griffith and Kumar, Kou, Elliot and Tarn, and Singh.
928:
4093:
5056:
Li, W.; Wang, Z.; Ho, D. W. C.; Wei, G. (2019). "On
Boundedness of Error Covariances for Kalman Consensus Filtering Problems".
5100:
1146:
5315:
1521:
4453:
4870:
83:
5385:
5013:
Li, W.; Wei, G.; Ho, D. W. C.; Ding, D. (November 2018). "A Weightedly
Uniform Detectability for Sensor Networks".
102:
in the state space representation, there are convenient tests to check whether a system is observable. Consider a
538:
of a linear time-invariant discrete system is the smallest natural number for which the following is satisfied:
103:
5273:
2718:{\displaystyle {\frac {d}{dt}}M(t,t_{1})=-A(t)^{T}M(t,t_{1})-M(t,t_{1})A(t)-C(t)^{T}C(t),\;M(t_{1},t_{1})=0}
4321:
4286:
4251:
4190:
2494:
2400:
2001:{\displaystyle M(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\varphi (t,t_{0})^{T}C(t)^{T}C(t)\varphi (t,t_{0})\,dt}
4391:
3698:
3680:{\displaystyle N_{i+1}(t):=N_{i}(t)A(t)+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}N_{i}(t),\ i=0,\ldots ,k-1}
4892:
75:
4843:
4810:
1000:
5370:
2406:
3450:
3224:
3074:
2733:
2447:
2353:
2299:
2224:
2077:
1783:
1214:
1253:
24:
4063:
3052:
978:
727:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}={\begin{bmatrix}C\\CA\\CA^{2}\\\vdots \\CA^{v-1}\end{bmatrix}}.}
2184:
2032:
4060:, and since this matrix has rank = 3, the system is observable on every nontrivial interval of
214:{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}
4902:
3126:
2124:
127:
5365:
3501:
2041:
2014:
1743:
412:{\displaystyle {\mathcal {O}}={\begin{bmatrix}C\\CA\\CA^{2}\\\vdots \\CA^{n-1}\end{bmatrix}}}
306:
53:
46:
5198:
Singh, Sahjendra N. (1975). "Observability in non-linear systems with immeasurable inputs".
1688:
5288:
4990:
4426:
4356:
3197:
3170:
2157:
2130:
2940:{\displaystyle M(t_{0},t_{1})=M(t_{0},t)+\varphi (t,t_{0})^{T}M(t,t_{1})\varphi (t,t_{0})}
8:
5138:
Griffith, E. W.; Kumar, K. S. P. (1971). "On the observability of nonlinear systems: I".
5125:
5115:
Eduardo D. Sontag, Mathematical
Control Theory: Deterministic Finite Dimensional Systems.
1413:
1407:
611:{\displaystyle {\text{rank}}{({\mathcal {O}}_{v})}={\text{rank}}{({\mathcal {O}}_{v+1})}}
5292:
5254:
5073:
5038:
2276:
1668:
1648:
1628:
1608:
1588:
1188:
1029:
768:
748:
521:
485:
465:
445:
425:
290:{\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {C} \mathbf {x} (t)+\mathbf {D} \mathbf {u} (t)}
109:
5183:
5166:
4935:
3006:
2960:
5334:
5300:
5258:
5246:
5151:
5096:
5077:
5030:
99:
5042:
5330:
5296:
5238:
5207:
5178:
5147:
5065:
5022:
4958:
4931:
4840:
or other observers in the dynamic system case, observability criteria for sets in
2346:
1510:{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)\,}
5227:"Extension of the Observability Rank Condition to Time-Varying Nonlinear Systems"
4882:
1395:
42:
4951:
Journal of the
Society for Industrial and Applied Mathematics, Series A: Control
482:
state variables is viewable through linear combinations of the output variables
5226:
5026:
4980:
Sontag, E.D., "Mathematical
Control Theory", Texts in Applied Mathematics, 1998
4897:
4799:
There also exist an observability criteria for nonlinear time-varying systems.
4420:
58:
52:
The concept of observability was introduced by the
Hungarian-American engineer
38:
5211:
4949:
Kalman, R. E. (1963). "Mathematical
Description of Linear Dynamical Systems".
5379:
5250:
5242:
5069:
4837:
1372:{\displaystyle N=\bigcup \{S\subset R^{n}\mid S\subset Ke(C),A(S)\subset N\}}
63:
5034:
4887:
442:, then the system is observable. The rationale for this test is that if
5357:
5352:
1777:
20:
1133:{\displaystyle N=\bigcap _{k=0}^{n-1}\ker(CA^{k})=\ker {\mathcal {O}}}
4836:. Just as observability criteria are used to predict the behavior of
5124:
Lecture notes for
Nonlinear Systems Theory by prof. dr. D.Jeltsema,
4962:
2127:. In fact, it is not possible to distinguish the initial state for
1391:. A system is detectable if all the unobservable states are stable.
1208:
The following properties for the unobservable subspace are valid:
5316:"Observability and redundancy classification in process networks"
4922:
Kalman, R.E. (1960). "On the general theory of control systems".
4802:
1410:
87:
34:
5165:
Kou, Shauying R.; Elliott, David L.; Tarn, Tzyh Jong (1973).
3167:
are analytic, then the system is observable in the interval [
968:{\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ;\mathbb {R} ^{n})}
4180:{\displaystyle {\dot {x}}=f(x)+\sum _{j=1}^{m}g_{j}(x)u_{j}}
5371:
Mathematica function for checking observability of a system
131:
37:
can be inferred from knowledge of its external outputs. In
5274:"Observability and redundancy in process data estimation"
5015:
IEEE Transactions on Neural
Networks and Learning Systems
1394:
Detectability conditions are important in the context of
1776:
to within an additive constant vector which lies in the
1178:{\displaystyle \operatorname {rank} ({\mathcal {O}})=n}
5366:
MATLAB function for checking observability of a system
3992:
3908:
3856:
3760:
3307:
2952:
1575:{\displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t).\,}
650:
338:
4846:
4813:
4527:
4456:
4429:
4394:
4359:
4324:
4289:
4254:
4193:
4096:
4066:
3902:
3739:
3701:
3543:
3504:
3453:
3295:
3227:
3200:
3173:
3129:
3077:
3055:
3009:
2963:
2791:
2736:
2508:
2450:
2409:
2356:
2302:
2279:
2227:
2187:
2160:
2133:
2080:
2044:
2017:
1838:
1786:
1746:
1691:
1671:
1651:
1631:
1611:
1591:
1524:
1424:
1292:
1256:
1217:
1191:
1149:
1055:
1032:
1003:
981:
931:
794:
771:
765:
of the linear system is the kernel of the linear map
751:
627:
544:
524:
488:
468:
448:
428:
322:
228:
143:
112:
462:columns are linearly independent, then each of the
4861:
4828:
4785:
4511:{\displaystyle \dim(d{\mathcal {O}}_{s}(x_{0}))=n}
4510:
4442:
4411:
4377:
4345:
4310:
4275:
4240:
4179:
4074:
4052:
3885:
3722:
3679:
3526:
3490:
3436:
3274:
3213:
3186:
3159:
3112:
3063:
3041:
2995:
2939:
2771:
2717:
2485:
2435:
2391:
2337:
2285:
2262:
2213:
2173:
2146:
2115:
2066:
2023:
2000:
1821:
1768:
1732:
1677:
1657:
1637:
1617:
1597:
1574:
1509:
1371:
1277:
1241:
1197:
1177:
1132:
1038:
1018:
989:
967:
914:
777:
757:
726:
610:
530:
494:
474:
454:
434:
411:
289:
213:
118:
5140:Journal of Mathematical Analysis and Applications
5377:
93:
2293:defined as above has the following properties:
1387:A slightly weaker notion than observability is
1143:Since the system is observable if and only if
5164:
1401:
33:is a measure of how well internal states of a
5137:
4803:Static systems and general topological spaces
1366:
1302:
16:In control theory, visible state of a system
5055:
5012:
3695:Consider a system varying analytically in
1185:, the system is observable if and only if
5313:
5271:
5224:
2676:
19:For the concept in quantum mechanics, see
5182:
4849:
4816:
4333:
4298:
4263:
4068:
3835:
3057:
1991:
1571:
1506:
1006:
983:
952:
943:
844:
835:
807:
5200:International Journal of Systems Science
5090:
4419:to be the space containing all repeated
3003:if and only if there exists an interval
1645:are given as well as inputs and outputs
975:is the set of continuous functions from
737:
300:
5378:
5272:Stanley, G. M.; Mah, R. S. H. (1981).
5231:IEEE Transactions on Automatic Control
5058:IEEE Transactions on Automatic Control
4948:
4921:
510:
74:Consider a physical system modeled in
5197:
4346:{\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{p}}
4311:{\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{m}}
4276:{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}
4241:{\displaystyle y_{i}=h_{i}(x),i\in p}
2038:It is possible to determine a unique
5167:"Observability of nonlinear systems"
4976:
4974:
4972:
4869:are used to predict the behavior of
4085:
82:if, for every possible evolution of
45:of a linear system are mathematical
5314:Stanley, G.M.; Mah, R.S.H. (1981).
4991:"Controllability and Observability"
4423:, then the system is observable in
2953:Observability matrix generalization
505:
23:. For the concept in software, see
13:
4534:
4472:
4412:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{s}}
4398:
3723:{\displaystyle (-\infty ,\infty )}
3714:
3708:
3615:
3609:
1161:
1125:
934:
826:
631:
587:
557:
325:
14:
5397:
5345:
5109:
5093:Finite Dimensional Linear Systems
4969:
1740:then it is possible to determine
5128:and prof dr. A.J.van der Schaft.
4862:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
4829:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
4385:are to be smooth vector fields.
1555:
1526:
1493:
1464:
1429:
1382:
1019:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
274:
269:
252:
247:
230:
198:
193:
176:
171:
148:
5307:
5265:
5218:
5191:
5158:
5131:
2436:{\displaystyle t_{1}\geq t_{0}}
5118:
5084:
5049:
5006:
4983:
4942:
4915:
4738:
4735:
4722:
4637:
4624:
4599:
4586:
4570:
4558:
4545:
4499:
4496:
4483:
4463:
4223:
4217:
4164:
4158:
4121:
4115:
3973:
3967:
3950:
3944:
3927:
3921:
3845:
3839:
3749:
3743:
3717:
3702:
3641:
3635:
3600:
3594:
3588:
3582:
3566:
3560:
3521:
3515:
3491:{\displaystyle N_{0}(t):=C(t)}
3485:
3479:
3470:
3464:
3413:
3407:
3398:
3370:
3364:
3355:
3336:
3330:
3321:
3275:{\displaystyle {\bar {t}}\in }
3269:
3243:
3234:
3154:
3148:
3139:
3133:
3113:{\displaystyle M(t_{0},t_{1})}
3107:
3081:
3036:
3010:
2990:
2964:
2934:
2915:
2909:
2890:
2878:
2858:
2849:
2830:
2821:
2795:
2772:{\displaystyle M(t_{0},t_{1})}
2766:
2740:
2706:
2680:
2670:
2664:
2652:
2645:
2636:
2630:
2624:
2605:
2596:
2577:
2565:
2558:
2546:
2527:
2486:{\displaystyle M(t_{0},t_{1})}
2480:
2454:
2392:{\displaystyle M(t_{0},t_{1})}
2386:
2360:
2338:{\displaystyle M(t_{0},t_{1})}
2332:
2306:
2263:{\displaystyle M(t_{0},t_{1})}
2257:
2231:
2116:{\displaystyle M(t_{0},t_{1})}
2110:
2084:
2061:
2048:
1988:
1969:
1963:
1957:
1945:
1938:
1926:
1906:
1868:
1842:
1822:{\displaystyle M(t_{0},t_{1})}
1816:
1790:
1763:
1750:
1724:
1698:
1565:
1559:
1551:
1545:
1536:
1530:
1503:
1497:
1489:
1483:
1474:
1468:
1460:
1454:
1445:
1439:
1357:
1351:
1342:
1336:
1266:
1260:
1242:{\displaystyle N\subset Ke(C)}
1236:
1230:
1166:
1156:
1111:
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94:Linear time-invariant systems
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5323:Chemical Engineering Science
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5281:Chemical Engineering Science
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5095:. John Wiley & Sons.
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78:. A system is said to be
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5386:Classical control theory
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5070:10.1109/TAC.2019.2942826
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1046:can also be written as
41:, the observability and
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5171:Information and Control
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