283:
2624:
2417:
493:
2268:
2427:
1967:
2276:
348:
1668:
4152:
688:
1835:
1290:
2132:
2742:
1192:
3056:
3857:
3381:
1355:
1414:
1564:
2124:
906:
2975:
1472:
3749:
4496:
1729:
1065:
2820:
3474:
3271:
2882:
2026:
3975:
1118:
2619:{\displaystyle \nu {}_{p}(n)=\sum _{i=1}^{\lfloor {\log _{p}{(|n|)}\rfloor {}}}{{\bigg (}\lfloor {\frac {|n|}{p^{i}}}\rfloor {}-\lfloor {\frac {|n|-1}{p^{i}}}\rfloor {}{\bigg )}}}
3657:
3543:
4225:
3180:
4283:
3913:
942:
525:
277:
826:
781:
736:
3115:
984:
4447:
4254:
4087:
2675:
219:
135:
99:
626:
4019:
555:
4050:
1858:
3589:
3566:
2902:
1880:
1007:
599:
579:
340:
239:
175:
155:
2412:{\displaystyle \sum _{i=1}^{\lfloor {\log _{p}{(n)}\rfloor {}}}{{\bigg (}\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\rfloor {}-\lfloor {\frac {n-1}{p^{i}}}\rfloor {}{\bigg )}}}
488:{\displaystyle \nu _{p}(n)={\begin{cases}\mathrm {max} \{k\in \mathbb {N} _{0}:p^{k}\mid n\}&{\text{if }}n\neq 0\\\infty &{\text{if }}n=0,\end{cases}}}
1570:
4103:
631:
2263:{\displaystyle \nu {}_{p}(n)=\sum _{i=1}^{\infty {}}{{\bigg (}\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\rfloor {}-\lfloor {\frac {n-1}{p^{i}}}\rfloor {}{\bigg )}}}
1737:
1203:
2684:
1142:
2980:
3760:
3284:
1298:
1360:
1483:
2031:
831:
2907:
1419:
4546:
4406:
4355:
4576:
3665:
4457:
1676:
1015:
2753:
3396:
3193:
2828:
1976:
3921:
1074:
3594:
3479:
4316:
4163:
3128:
3121:
4259:
3872:
914:
501:
253:
786:
741:
696:
379:
3077:
2643:
947:
4426:
4237:
4070:
2658:
202:
4581:
3391:
3186:
104:
68:
4390:
4321:
4094:
604:
4533:. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 206. Springer-Verlag, New York. pp. 147–148.
4326:
4231:
3987:
1872:
534:
193:
4556:
4398:
4311:
4057:
4028:
1843:
1962:{\displaystyle \nu _{p}(n!)=\sum _{i=1}^{\infty {}}{\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\rfloor {}}}
8:
4306:
4022:
3755:
185:
3571:
3551:
2887:
2651:
992:
584:
564:
325:
224:
160:
140:
286:
Distribution of natural numbers by their 2-adic valuation, labeled with corresponding
4542:
4402:
4351:
4090:
3752:
3277:
4534:
3915:
makes no difference for most of the properties, but supports the product formula:
1663:{\displaystyle \nu _{p}(r+s)\geq \min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}}
4552:
2655:
1133:
4147:{\displaystyle d\colon \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}}
196:
of the rational numbers with respect to the usual absolute value results in the
3867:
683:{\displaystyle \nu _{p}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}}
528:
189:
4538:
1830:{\displaystyle \nu _{p}(r+s)=\min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}}
4570:
4386:
4298:
3660:
3546:
242:
20:
1285:{\displaystyle \nu _{p}\left({\frac {r}{s}}\right)=\nu _{p}(r)-\nu _{p}(s).}
4064:
304:
287:
52:
197:
2737:{\displaystyle |\cdot |_{p}\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}}
1187:{\displaystyle \nu _{p}:\mathbb {Q} \to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}
48:
3051:{\displaystyle {\bigl |}{\tfrac {9}{8}}{\bigr |}_{2}=2^{-(-3)}=8.}
2422:
This formula can be extended to negative integer values to give:
558:
59:
41:
3852:{\displaystyle |r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)}
3376:{\displaystyle |r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)}
1863:
282:
221:, the completion of the rational numbers with respect to the
1350:{\displaystyle \nu _{2}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=-3}
1409:{\displaystyle \nu _{3}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=2}
481:
1559:{\displaystyle \nu _{p}(r\cdot s)=\nu _{p}(r)+\nu _{p}(s)}
3064:-adic absolute value satisfies the following properties.
2119:{\displaystyle \nu _{p}(n)=\nu _{p}(n!)-\nu _{p}((n-1)!)}
4385:
2992:
2956:
1424:
1382:
1320:
901:{\displaystyle |{-12}|=12=2^{2}\cdot 3^{1}\cdot 5^{0}}
4460:
4429:
4262:
4240:
4166:
4106:
4073:
4031:
3990:
3924:
3875:
3763:
3668:
3597:
3574:
3554:
3482:
3399:
3287:
3196:
3131:
3080:
2983:
2910:
2890:
2831:
2756:
2687:
2661:
2430:
2279:
2135:
2034:
1979:
1883:
1846:
1740:
1679:
1573:
1486:
1422:
1363:
1301:
1206:
1145:
1077:
1018:
995:
950:
917:
834:
789:
744:
699:
634:
607:
587:
567:
537:
504:
351:
328:
256:
227:
205:
163:
143:
107:
71:
4490:
4441:
4277:
4248:
4219:
4146:
4081:
4044:
4013:
3969:
3907:
3851:
3743:
3651:
3583:
3560:
3537:
3468:
3375:
3265:
3174:
3109:
3050:
2970:{\displaystyle |{-12}|_{2}=2^{-2}={\tfrac {1}{4}}}
2969:
2896:
2876:
2814:
2736:
2669:
2618:
2411:
2262:
2118:
2020:
1961:
1852:
1829:
1723:
1662:
1558:
1466:
1408:
1349:
1284:
1186:
1112:
1059:
1001:
978:
936:
900:
820:
775:
730:
682:
620:
593:
573:
549:
519:
487:
334:
271:
233:
213:
169:
149:
129:
93:
4510:
2610:
2520:
2403:
2335:
2254:
2186:
1467:{\displaystyle {\tfrac {9}{8}}=2^{-3}\cdot 3^{2}}
4568:
4373:A Classical Introduction to Modern Number Theory
3793:
3317:
1847:
1769:
1602:
1860:is the minimum (i.e. the smaller of the two).
4256:with respect to this metric leads to the set
3744:{\displaystyle |r+s|_{p}\leq |r|_{p}+|s|_{p}}
3006:
2986:
1822:
1774:
1655:
1607:
1395:
1376:
1333:
1314:
4370:
4346:Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2003).
2603:
2565:
2557:
2525:
2509:
2471:
2396:
2368:
2360:
2340:
2324:
2296:
2247:
2219:
2211:
2191:
1953:
1933:
1181:
1175:
677:
671:
433:
393:
294:
4491:{\displaystyle \infty +n=n+\infty =\infty }
4345:
3980:where the product is taken over all primes
1724:{\displaystyle \nu _{p}(r)\neq \nu _{p}(s)}
290:in decimal. Zero has an infinite valuation.
188:and gives rise to an analogue of the usual
3162:
3158:
1060:{\displaystyle \nu _{p}(n)\leq \log _{p}n}
16:Highest power of p dividing a given number
4350:(3rd ed.). Wiley. pp. 758–759.
4265:
4242:
4131:
4122:
4114:
4075:
4056:-adic absolute value, and then the usual
2815:{\displaystyle |r|_{p}=p^{-\nu _{p}(r)}.}
2721:
2712:
2663:
1168:
1160:
658:
649:
507:
404:
259:
207:
4518:. Kluwer Academic Publishers. p. 9.
4395:An Introduction to the Theory of Numbers
2628:
281:
4516:-adic Deterministic and Random Dynamics
4375:. New York: Springer-Verlag. p. 3.
3469:{\displaystyle |rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}}
3266:{\displaystyle |rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}}
1132:-adic valuation can be extended to the
4569:
4421:with the usual order relation, namely
4021:. This follows from simply taking the
3984:and the usual absolute value, denoted
2877:{\displaystyle |0|_{p}=p^{-\infty }=0}
2021:{\displaystyle n={\frac {n!}{(n-1)!}}}
157:appears in the prime factorization of
4528:
4452:and rules for arithmetic operations,
3970:{\displaystyle \prod _{0,p}|r|_{p}=1}
1113:{\displaystyle n\geq p^{\nu _{p}(n)}}
4511:Khrennikov, A.; Nilsson, M. (2004).
4415:
4060:absolute value cancels all of them.
2273:This infinite sum can be reduced to
241:-adic absolute value results in the
3652:{\displaystyle |{-r}|_{p}=|r|_{p}.}
1123:
13:
4531:Problems in analytic number theory
4485:
4479:
4461:
4430:
4052:contributes its reciprocal to its
3538:{\displaystyle |1|_{p}=1=|-1|_{p}}
2863:
2176:
1925:
1178:
674:
456:
389:
386:
383:
14:
4593:
4220:{\displaystyle d(r,s)=|r-s|_{p}.}
3175:{\displaystyle |r|_{p}=0\iff r=0}
4278:{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
3908:{\displaystyle p^{-\nu _{p}(r)}}
937:{\displaystyle p^{k}\parallel n}
520:{\displaystyle \mathbb {N} _{0}}
272:{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
4371:Ireland, K.; Rosen, M. (2000).
821:{\displaystyle \nu _{5}(-12)=0}
776:{\displaystyle \nu _{3}(-12)=1}
731:{\displaystyle \nu _{2}(-12)=2}
4522:
4504:
4379:
4364:
4339:
4204:
4189:
4182:
4170:
4126:
4001:
3992:
3951:
3942:
3900:
3894:
3834:
3825:
3811:
3802:
3780:
3765:
3731:
3722:
3708:
3699:
3685:
3670:
3636:
3627:
3613:
3599:
3525:
3513:
3493:
3484:
3456:
3447:
3436:
3427:
3413:
3401:
3358:
3349:
3335:
3326:
3304:
3289:
3253:
3244:
3233:
3224:
3210:
3198:
3159:
3142:
3133:
3091:
3082:
3037:
3028:
2926:
2912:
2842:
2833:
2804:
2798:
2767:
2758:
2716:
2698:
2689:
2580:
2572:
2540:
2532:
2505:
2501:
2493:
2489:
2449:
2443:
2320:
2314:
2154:
2148:
2113:
2107:
2095:
2092:
2076:
2067:
2051:
2045:
2009:
1997:
1903:
1894:
1817:
1811:
1795:
1789:
1763:
1751:
1718:
1712:
1696:
1690:
1650:
1644:
1628:
1622:
1596:
1584:
1553:
1547:
1531:
1525:
1509:
1497:
1276:
1270:
1254:
1248:
1164:
1105:
1099:
1035:
1029:
973:
967:
849:
836:
809:
800:
764:
755:
719:
710:
653:
368:
362:
124:
118:
88:
82:
1:
4332:
3110:{\displaystyle |r|_{p}\geq 0}
2654:in the sense of analysis) on
979:{\displaystyle k=\nu _{p}(n)}
4501:on the extended number line.
4442:{\displaystyle \infty >n}
4249:{\displaystyle \mathbb {Q} }
4082:{\displaystyle \mathbb {Q} }
2670:{\displaystyle \mathbb {Q} }
1009:is a positive integer, then
214:{\displaystyle \mathbb {R} }
51:of the highest power of the
7:
4292:
1969:. For any positive integer
1868:-adic valuation of Integers
1071:this follows directly from
310:
130:{\displaystyle \nu _{p}(n)}
94:{\displaystyle \nu _{p}(n)}
10:
4598:
4317:Multiplicity (mathematics)
4025:: each prime power factor
944:is sometimes used to mean
4539:10.1007/978-1-4757-3441-6
4389:; Zuckerman, Herbert S.;
4067:can be formed on the set
2650:-adic norm, though not a
295:Definition and properties
137:is the exponent to which
621:{\displaystyle \nu _{p}}
4577:Algebraic number theory
4014:{\displaystyle |r|_{0}}
550:{\displaystyle m\mid n}
4529:Murty, M. Ram (2001).
4492:
4443:
4279:
4250:
4221:
4148:
4083:
4046:
4015:
3971:
3909:
3853:
3745:
3653:
3591:and consequently also
3585:
3562:
3539:
3470:
3377:
3267:
3176:
3111:
3052:
2971:
2898:
2878:
2816:
2738:
2671:
2620:
2516:
2413:
2331:
2264:
2182:
2120:
2022:
1963:
1931:
1854:
1831:
1725:
1664:
1560:
1468:
1410:
1351:
1286:
1188:
1114:
1061:
1003:
980:
938:
902:
822:
777:
732:
684:
622:
595:
575:
551:
521:
489:
336:
291:
273:
235:
215:
171:
151:
131:
95:
4493:
4444:
4399:John Wiley & Sons
4280:
4251:
4222:
4149:
4095:translation-invariant
4084:
4047:
4045:{\displaystyle p^{k}}
4016:
3972:
3910:
3854:
3746:
3654:
3586:
3563:
3540:
3471:
3378:
3268:
3177:
3122:Positive-definiteness
3112:
3053:
2972:
2899:
2879:
2817:
2739:
2672:
2621:
2455:
2414:
2280:
2265:
2160:
2121:
2023:
1964:
1909:
1855:
1853:{\displaystyle \min }
1832:
1726:
1665:
1561:
1477:Some properties are:
1469:
1411:
1352:
1287:
1189:
1115:
1062:
1004:
981:
939:
903:
823:
778:
733:
685:
623:
596:
576:
552:
531:(including zero) and
522:
490:
337:
285:
274:
236:
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184:-adic valuation is a
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