20:
3667:
370:
817:
1251:
1102:
980:
198:
899:
601:
538:
443:
663:
1769:
255:
706:
1145:
1001:
1404:
1330:
190:
1037:
1762:
910:
835:
2569:
1755:
551:
488:
2564:
2579:
1302:
2559:
3272:
2852:
113:, either from left to right or from right to left. It is named because it represents the number of 3-dimensional
2574:
1397:
385:
3358:
618:
3024:
2674:
2343:
2136:
1582:
3200:
3059:
2890:
2704:
2694:
2348:
2328:
1587:
1567:
3029:
3149:
2772:
2614:
2529:
2338:
2320:
2214:
2204:
2194:
2030:
1577:
1559:
1458:
1448:
1438:
3054:
3691:
3277:
2822:
2443:
2229:
2224:
2219:
2209:
2186:
1682:
1473:
1468:
1463:
1453:
1430:
1390:
3034:
3696:
2699:
2609:
2262:
3388:
3353:
3139:
3049:
2923:
2898:
2807:
2797:
2519:
2409:
2391:
2311:
1648:
1625:
1550:
3648:
2918:
2792:
2423:
2199:
1979:
1906:
1662:
1443:
677:
3612:
3252:
2903:
2757:
2684:
1839:
1717:
3545:
3439:
3403:
3144:
2867:
2847:
2664:
2333:
2121:
1572:
376:
106:
24:
2624:
2093:
8:
3267:
3131:
3126:
3094:
2857:
2832:
2827:
2802:
2732:
2728:
2659:
2549:
2381:
2177:
2146:
1615:
1421:
1136:
3670:
3424:
3419:
3333:
3307:
3205:
3184:
2956:
2837:
2787:
2709:
2679:
2619:
2386:
2366:
2297:
2010:
1643:
1620:
1536:
826:
697:
210:
51:
2554:
3666:
3564:
3509:
3363:
3338:
3312:
2767:
2762:
2689:
2669:
2654:
2376:
2358:
2277:
2267:
2252:
2015:
1610:
1597:
1516:
1506:
1496:
1298:
612:
474:
365:{\displaystyle P_{n}={\frac {n^{\overline {4}}}{4!}}={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}}.}
42:
3089:
1372:
197:
3600:
3393:
2979:
2951:
2941:
2933:
2817:
2782:
2777:
2744:
2401:
2292:
2287:
2282:
2272:
2244:
2131:
2078:
2035:
1974:
1635:
1531:
1526:
1521:
1511:
1488:
1028:
812:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {4!}{n(n+1)(n+2)(n+3)}}={\frac {4}{3}}.}
238:
2083:
1027:, to test whether it is a pentatope number we can compute the positive root using
19:
3576:
3465:
3398:
3324:
3247:
3221:
3039:
2752:
2544:
2514:
2504:
2499:
2165:
2073:
2020:
1864:
1804:
1413:
1346:
222:
3581:
3449:
3434:
3298:
3262:
3237:
3113:
3084:
3069:
2946:
2842:
2812:
2539:
2494:
2371:
1969:
1964:
1959:
1931:
1916:
1829:
1814:
1792:
1779:
1605:
1116:
118:
33:
3685:
3504:
3488:
3429:
3383:
3079:
3064:
2974:
2257:
2126:
2088:
2045:
1926:
1911:
1901:
1859:
1849:
1824:
1747:
1727:
1501:
180:
176:
98:
3540:
3529:
3444:
3282:
3257:
3174:
3074:
3044:
3019:
3003:
2908:
2875:
2598:
2509:
2448:
2025:
1921:
1854:
1834:
1809:
1732:
1687:
1262:
986:
673:
172:
168:
164:
160:
156:
3499:
3374:
3179:
2643:
2534:
2489:
2484:
2234:
2141:
2040:
1869:
1844:
1819:
1722:
1478:
1320:
1290:
1265:, the pentatope numbers represent the number of possible arrangements of
1005:
152:
148:
144:
126:
114:
989:
is the predecessor of a pentatope number (it needs to check only -1 and
3636:
3617:
2913:
2524:
1286:
1246:{\displaystyle {\frac {x}{(1-x)^{5}}}=x+5x^{2}+15x^{3}+35x^{4}+\dots .}
140:
136:
1293:(2012), "3.1 Pentatope numbers and their multidimensional analogues",
1269:
different polypeptide subunits in a tetrameric (tetrahedral) protein.
665:
in the formula for pentagonal numbers. (These expressions always give
3242:
3169:
3161:
2966:
2880:
1998:
1702:
994:
246:
202:
122:
89:
79:
69:
225:, which can be represented as regular, discrete geometric patterns.
3343:
1382:
206:
3348:
3007:
3001:
666:
449:
214:
2063:
1097:{\displaystyle n={\frac {{\sqrt {5+4{\sqrt {24x+1}}}}-3}{2}}.}
822:
Pentatope numbers can be represented as the sum of the first
975:{\displaystyle P_{n}={\tfrac {1}{4}}(n+3)\mathrm {Te} _{n}.}
1324:
185:
997:
which is the predecessor of a pentatope number is 1819.
904:
and are also related to tetrahedral numbers themselves:
894:{\displaystyle P_{n}=\sum _{k=1}^{n}\mathrm {Te} _{k},}
1319:
928:
626:
560:
497:
23:
Derivation of pentatope numbers from a left-justified
16:
Number in the 5th cell of any row of Pascal's triangle
2727:
1148:
1040:
913:
838:
709:
621:
554:
491:
388:
258:
3112:
596:{\displaystyle \left({\tfrac {3k^{2}+k}{2}}\right)}
533:{\displaystyle \left({\tfrac {3k^{2}-k}{2}}\right)}
1245:
1096:
974:
893:
811:
657:
595:
532:
437:
364:
2111:
1016:We can derive this test from the formula for the
426:
405:
375:The pentatope numbers can also be represented as
3683:
213:. For example, the bottom (green) layer has 35
1997:
1347:"Sums of the inverses of binomial coefficients"
209:. Each layer represents one of the first five
1791:
1777:
473:Two of every three pentatope numbers are also
237:th pentatope number is represented by the 4th
1763:
1398:
1011:
3599:
1949:
105:is a number in the fifth cell of any row of
1710:
2064:Possessing a specific set of other numbers
1887:
1770:
1756:
1405:
1391:
3527:
2474:
1331:On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
221:Pentatope numbers belong to the class of
1285:
438:{\displaystyle P_{n}={\binom {n+3}{4}},}
196:
132:The first few numbers of this kind are:
18:
1344:
1000:Similarly, the only primes preceding a
658:{\displaystyle -{\tfrac {3k^{2}+k}{2}}}
3684:
3635:
1315:
1313:
1130:
615:obtained by taking the negative index
3634:
3598:
3562:
3526:
3486:
3111:
3000:
2726:
2641:
2596:
2473:
2163:
2110:
2062:
1996:
1948:
1886:
1790:
1751:
1386:
2164:
1412:
3563:
1310:
13:
3487:
959:
956:
878:
875:
726:
548:th pentatope number is always the
485:th pentatope number is always the
459:objects, and it is read aloud as "
409:
14:
3708:
1297:, World Scientific, p. 162,
3665:
3273:Perfect digit-to-digit invariant
2642:
448:which is the number of distinct
1256:
205:with side length 5 contains 70
1365:
1338:
1279:
1168:
1155:
951:
939:
787:
775:
772:
760:
757:
745:
350:
338:
335:
323:
320:
308:
129:) of increasing side lengths.
1:
2112:Expressible via specific sums
1583:Centered dodecahedral numbers
1272:
613:generalized pentagonal number
540:th pentagonal number and the
468:
109:starting with the 5-term row
1588:Centered icosahedral numbers
1568:Centered tetrahedral numbers
1111:is pentatope if and only if
696:. This can be derived using
680:of all pentatope numbers is
283:
7:
3201:Multiplicative digital root
1578:Centered octahedral numbers
1459:Centered heptagonal numbers
1449:Centered pentagonal numbers
1439:Centered triangular numbers
1345:Rockett, Andrew M. (1981),
611:th pentatope number is the
10:
3713:
2597:
1683:Squared triangular numbers
1474:Centered decagonal numbers
1469:Centered nonagonal numbers
1464:Centered octagonal numbers
1454:Centered hexagonal numbers
1321:Sloane, N. J. A.
1012:Test for pentatope numbers
603:th pentagonal number. The
452:that can be selected from
228:
3661:
3644:
3630:
3608:
3594:
3572:
3558:
3536:
3522:
3495:
3482:
3458:
3412:
3372:
3323:
3297:
3278:Perfect digital invariant
3230:
3214:
3193:
3160:
3125:
3121:
3107:
3015:
2996:
2965:
2932:
2889:
2866:
2853:Superior highly composite
2743:
2739:
2722:
2650:
2637:
2605:
2592:
2480:
2469:
2431:
2422:
2400:
2357:
2319:
2310:
2243:
2185:
2176:
2172:
2159:
2117:
2106:
2069:
2058:
2006:
1992:
1955:
1944:
1897:
1882:
1800:
1786:
1700:
1670:
1661:
1634:
1596:
1558:
1549:
1487:
1429:
1420:
1362:. Theorem 2, p. 435.
1139:for pentatope numbers is
1023:Given a positive integer
465:plus three choose four".
2891:Euler's totient function
2675:EulerâJacobi pseudoprime
1950:Other polynomial numbers
1649:Square pyramidal numbers
1626:Stella octangula numbers
1373:"Wolfram MathWorld site"
2705:SomerâLucas pseudoprime
2695:LucasâCarmichael number
2530:Lazy caterer's sequence
1444:Centered square numbers
1325:"Sequence A000332"
2580:WedderburnâEtherington
1980:Lucky numbers of Euler
1247:
1098:
976:
895:
872:
813:
730:
659:
597:
534:
439:
366:
218:
94:
2868:Prime omega functions
2685:Frobenius pseudoprime
2475:Combinatorial numbers
2344:Centered dodecahedral
2137:Primary pseudoperfect
1573:Centered cube numbers
1248:
1127:th pentatope number.
1099:
1020:th pentatope number.
977:
896:
852:
814:
710:
660:
598:
535:
477:. To be precise, the
440:
377:binomial coefficients
367:
200:
22:
3327:-composition related
3127:Arithmetic functions
2729:Arithmetic functions
2665:Elliptic pseudoprime
2349:Centered icosahedral
2329:Centered tetrahedral
1616:Dodecahedral numbers
1146:
1038:
911:
836:
707:
619:
552:
489:
386:
256:
233:The formula for the
3253:Kaprekar's constant
2773:Colossally abundant
2660:Catalan pseudoprime
2560:SchröderâHipparchus
2339:Centered octahedral
2215:Centered heptagonal
2205:Centered pentagonal
2195:Centered triangular
1795:and related numbers
1733:8-hypercube numbers
1728:7-hypercube numbers
1723:6-hypercube numbers
1718:5-hypercube numbers
1688:Tesseractic numbers
1644:Tetrahedral numbers
1621:Icosahedral numbers
1537:Dodecagonal numbers
1354:Fibonacci Quarterly
1137:generating function
1131:Generating function
993:), and the largest
827:tetrahedral numbers
211:tetrahedral numbers
52:Tetrahedral numbers
3671:Mathematics portal
3613:Aronson's sequence
3359:SmarandacheâWellin
3116:-dependent numbers
2823:Primitive abundant
2710:Strong pseudoprime
2700:Perrin pseudoprime
2680:Fermat pseudoprime
2620:Wolstenholme prime
2444:Squared triangular
2230:Centered decagonal
2225:Centered nonagonal
2220:Centered octagonal
2210:Centered hexagonal
1611:Octahedral numbers
1517:Heptagonal numbers
1507:Pentagonal numbers
1497:Triangular numbers
1334:. OEIS Foundation.
1243:
1094:
972:
937:
891:
809:
698:telescoping series
655:
653:
593:
587:
530:
524:
475:pentagonal numbers
435:
362:
219:
95:
43:Triangular numbers
3679:
3678:
3657:
3656:
3626:
3625:
3590:
3589:
3554:
3553:
3518:
3517:
3478:
3477:
3474:
3473:
3293:
3292:
3103:
3102:
2992:
2991:
2988:
2987:
2934:Aliquot sequences
2745:Divisor functions
2718:
2717:
2690:Lucas pseudoprime
2670:Euler pseudoprime
2655:Carmichael number
2633:
2632:
2588:
2587:
2465:
2464:
2461:
2460:
2457:
2456:
2418:
2417:
2306:
2305:
2263:Square triangular
2155:
2154:
2102:
2101:
2054:
2053:
1988:
1987:
1940:
1939:
1878:
1877:
1745:
1744:
1741:
1740:
1696:
1695:
1678:Pentatope numbers
1657:
1656:
1545:
1544:
1532:Decagonal numbers
1527:Nonagonal numbers
1522:Octagonal numbers
1512:Hexagonal numbers
1178:
1089:
1077:
1075:
936:
804:
791:
652:
586:
523:
424:
357:
297:
286:
125:(a 4-dimensional
107:Pascal's triangle
61:Pentatope numbers
25:Pascal's triangle
3704:
3692:Figurate numbers
3669:
3632:
3631:
3601:Natural language
3596:
3595:
3560:
3559:
3528:Generated via a
3524:
3523:
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3483:
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