6464:
5971:
6459:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} &=\int _{R\leq \rho ,\,\Theta \leq \theta }{\frac {1}{2\pi }}\exp \left({-{\frac {1}{2}}(z_{1}^{2}+z_{2}^{2})}\right)dz_{1}\,dz_{2}\\&=\int _{0}^{\theta }\int _{0}^{\rho }{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\;r\,dr\,d{\tilde {\theta }}\\&=\left(\int _{0}^{\theta }{\frac {1}{2\pi }}\,d{\tilde {\theta }}\right)\;\left(\int _{0}^{\rho }e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\;r\,dr\right)\\&=\operatorname {P} \operatorname {P} .\end{aligned}}}
8443:
8405:
8398:
8313:
8306:
8299:
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8115:
8102:
8095:
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7974:
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7800:
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7729:
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7654:
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7633:
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7504:
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7063:
7056:
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7005:
6998:
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6963:
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8262:
8167:
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8069:
8031:
8024:
8004:
7997:
7990:
7960:
7953:
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7918:
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7892:
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7878:
7871:
7864:
7857:
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7843:
7836:
7814:
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7786:
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7772:
7765:
7758:
7736:
7722:
7715:
7701:
7694:
7687:
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7661:
7640:
7626:
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7605:
7586:
7551:
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7537:
7530:
7462:
7455:
7448:
7426:
7419:
7367:
7317:
7164:
7115:
7108:
7084:
7035:
7028:
6956:
6949:
2606:
This is the uniqueness statement of the Carathéodory extension theorem for finite measures. If this result does not seem very remarkable, consider the fact that it usually is very difficult or even impossible to fully describe every set in the 𝜎-algebra, and so the problem of equating measures would
4225:
2250:-systems are simpler classes than algebras, it can be easier to identify the sets that are in them while, on the other hand, checking whether the property under consideration determines a 𝜆-system is often relatively easy. Despite the difference between the two theorems, the
4936:
898:
4494:
3296:
3468:
5594:
4021:
1351:
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2709:
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3096:
5248:
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5865:
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5976:
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4389:
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3187:
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8161:
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5466:
2314:
2219:
3735:
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8931:
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3773:
365:
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6857:
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5401:
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675:
6890:
5475:
2061:
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647:
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8874:
5129:
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8494:
6581:
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6759:
3950:
3676:
3645:
2604:
8816:
8750:
8898:
8523:
7407:
7276:
7244:
6610:
6500:
2149:
2956:
2841:
2812:
1758:
217:
8719:
8660:
7361:
6730:
6642:
5944:
5768:
3614:
3571:
2372:
1496:
995:
2988:
1466:
5905:
5729:
9064:
3003:-systems are more commonly used in the study of probability theory than in the general field of measure theory. This is primarily due to probabilistic notions such as
2763:
2736:
1726:
774:
751:
724:
609:
560:
182:
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9041:
8634:
8590:
6701:
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5636:
2489:
1683:
701:
586:
532:
260:
70:
5335:
4572:
4533:
2616:
1786:
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4604:
4016:
1435:
1408:
1031:
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2178:
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2399:
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2088:
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960:
5616:
5173:
4998:
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3870:
3850:
2861:
2783:
2031:
1909:
1703:
937:
508:
488:
240:
143:
93:
5772:
1121:
9983:
3105:
10061:
10078:
4220:{\displaystyle F_{X,Y}(a,b)=\operatorname {P} =\operatorname {P} \left)\cap Y^{-1}((-\infty ,b])\right],\quad {\text{ for all }}a,b\in \mathbb {R} .}
309:-systems are often simpler to work with than 𝜎-algebras. For example, it may be awkward to work with 𝜎-algebras generated by infinitely many sets
294:-system, then they hold for the generated 𝜎-algebra as well. This is the case whenever the collection of subsets for which the property holds is a
3336:
3045:
1914:
9126:
2246:, which provides a similar relationship between monotone classes and algebras, and can be used to derive many of the same results. Since
1501:
6542:
2496:
9386:
9245:
4726:
4309:
4931:{\displaystyle \left(X_{t_{1}},\ldots ,X_{t_{n}}\right)\,{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\,\left(Y_{t_{1}},\ldots ,Y_{t_{n}}\right).}
4232:
3875:
5648:
5003:
893:{\displaystyle \left\{E_{1}\cap \cdots \cap E_{n}~:~1\leq n\in \mathbb {N} {\text{ and }}E_{1},\ldots ,E_{n}\in \Sigma \right\}.}
2870:
9901:
9732:
9199:
3782:
9272:
5253:
5049:
370:
4723:
are known to be equal in distribution if and only if they agree on all finite-dimensional distributions; that is, for all
3487:
9893:
8231:
8136:
8038:
5406:
4489:{\displaystyle {\mathcal {I}}_{X,Y}=\left\{A\cap B:A\in {\mathcal {I}}_{X},{\text{ and }}B\in {\mathcal {I}}_{Y}\right\}}
2265:
2182:
3685:
9679:
4648:
3291:{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(B)=\operatorname {P} \left\quad {\text{ for all }}B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),}
10073:
9190:. Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. Vol. 49 (5th ed.). Cambridge New York, NY:
8903:
9168:
9146:
8962:
4957:
3004:
6898:
2232:
1606:
10030:
10020:
4539:-𝜆 theorem is used to show that the joint cumulative distribution function suffices to determine the joint law of
3740:
3099:
312:
3301:
9830:
9739:
9503:
6816:
6767:
5347:
2008:
1985:-system is a 𝜎-algebra. However, a useful classification is that any set system which is both a 𝜆-system and a
1084:
658:
9156:
6865:
6535:
2036:
1828:
618:
9359:
5134:
1791:
10068:
10015:
9909:
9815:
8821:
5097:
2407:
2097:
3463:{\displaystyle Y:({\tilde {\Omega }},{\tilde {\mathcal {F}}},{\tilde {\operatorname {P} }})\to \mathbb {R} }
9934:
9914:
9878:
9802:
9522:
9238:
8667:
8472:
6929:
6559:
903:
5872:
5696:
10056:
9835:
9797:
9749:
3955:
753:
and can be explicitly described as the set of all possible non-empty finite intersections of elements of
8764:
6738:
3924:
3650:
3619:
2566:
9961:
9929:
9919:
9840:
9807:
9438:
9347:
9191:
10144:
9978:
9883:
9659:
9587:
8794:
8728:
6528:
4638:
have the same distribution if and only if they have the same joint cumulative distribution function.
267:
9968:
8879:
8504:
7382:
7251:
7219:
6591:
6481:
2130:
10051:
9497:
9428:
8979:
3036:
2923:
2817:
2788:
1734:
187:
9364:
8698:
8645:
7340:
6709:
6626:
5589:{\displaystyle R={\sqrt {Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}}},\qquad \Theta =\tan ^{-1}\left(Z_{2}/Z_{1}\right).}
3576:
3533:
2342:
1471:
965:
10139:
9820:
9578:
9538:
9231:
2961:
1444:
10103:
10003:
9825:
9547:
9393:
8974:
2243:
440:
9046:
2741:
2714:
1708:
756:
733:
706:
591:
542:
155:
102:
9664:
9617:
9612:
9607:
9449:
9332:
9290:
9026:
8619:
8575:
8525:
6680:
6651:
6612:
6507:
5621:
3476:
2465:
1668:
686:
571:
517:
263:
245:
55:
5946:
then the probability can be expressed as an integral of the probability density function of
5305:
4542:
4503:
1765:
1346:{\displaystyle \left\{f^{-1}((a,b]):a,b\in \mathbb {R} ,a<b\right\}\cup \{\varnothing \}}
9973:
9939:
9847:
9557:
9512:
9354:
9277:
8420:
8368:
8328:
8269:
4609:
4577:
3989:
3832:
A similar result holds for the joint distribution of a random vector. For example, suppose
1413:
1386:
1041:
1004:
9182:
2154:
8:
9956:
9946:
9792:
9756:
9582:
9311:
9268:
8982: – Mathematical function for the probability a given outcome occurs in an experiment
7981:
1079:
1060:
275:
9634:
5949:
2381:
2319:
2070:
1360:
1228:
1206:{\displaystyle {\mathcal {I}}_{f}=\left\{f^{-1}((-\infty ,x]):x\in \mathbb {R} \right\}}
942:
439:-system that generates the desired 𝜎-algebra. Another example is the collection of all
10108:
9868:
9853:
9552:
9433:
9411:
8956:
8756:
7095:
5601:
4983:
4963:
4642:
3855:
3835:
2846:
2768:
2016:
1894:
1688:
922:
493:
473:
367:
So instead we may examine the union of all 𝜎-algebras generated by finitely many sets
225:
128:
78:
10025:
9761:
9722:
9717:
9624:
9542:
9327:
9300:
9205:
9195:
9164:
9142:
8533:
3471:
1601:
1049:
50:
8683:
7020:
5472:
standard normal random variables. Define the radius and argument (arctan) variables
290:-system. Moreover, if other properties, such as equality of integrals, hold for the
10042:
9951:
9727:
9712:
9702:
9687:
9654:
9649:
9639:
9517:
9492:
9307:
9134:
8953: – Algebraic concept in measure theory, also referred to as an algebra of sets
8965: – When the occurrence of one event does not affect the likelihood of another
10118:
10098:
9873:
9771:
9766:
9744:
9602:
9567:
9487:
9381:
9178:
3040:
10008:
9863:
9858:
9669:
9644:
9597:
9527:
9507:
9467:
9457:
9254:
8959: – Non-empty family of sets that is closed under finite unions and subsets
8788:
8722:
8174:
7174:
6477:
3016:
2704:{\displaystyle D=\left\{A\in \sigma (I)\colon \mu _{1}(A)=\mu _{2}(A)\right\}.}
2228:
1973:
Whilst it is true that any 𝜎-algebra satisfies the properties of being both a
566:
73:
9209:
3102:. Recall that the cumulative distribution of a random variable is defined as
510:
containing the intersection of any two of its elements. If every set in this
10133:
10113:
9776:
9697:
9692:
9592:
9562:
9532:
9482:
9477:
9472:
9462:
9376:
9295:
8968:
8950:
7746:
7412:
7303:
3382:{\displaystyle X:(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R} }
3091:{\displaystyle X:(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R} }
3012:
1885:
1662:
295:
283:
490:
that is closed under non-empty finite intersections, which is equivalent to
9707:
9629:
9369:
8985:
7518:
7436:
6620:
5869:
Confirming that this is the case is an exercise in changing variables. Fix
9406:
8991:
7824:
5243:{\displaystyle \operatorname {P} ~=~\operatorname {P} \operatorname {P} ,}
9572:
8997:
2231:
results. For instance, it is used in proving the uniqueness claim of the
1045:
35:
5860:{\displaystyle \operatorname {P} =\operatorname {P} \operatorname {P} .}
302:-systems are also useful for checking independence of random variables.
9416:
9003:
8941:
7902:
7671:
7596:
1963:{\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }A_{n}\in D.}
9342:
9337:
8971: – Family closed under complements and countable disjoint unions
8076:
3573:
The motivation for the definition stems from the observation that if
3530:
if they have the same cumulative distribution functions; that is, if
3173:{\displaystyle F_{X}(a)=\operatorname {P} ,\qquad a\in \mathbb {R} ,}
3015:. Standard measure theory texts typically prove the same results via
1072:
452:
444:
146:
9138:
2254:-𝜆 theorem is sometimes referred to as the monotone class theorem.
9423:
9282:
1589:{\displaystyle \{A_{1}\times A_{2}:A_{1}\in P_{1},A_{2}\in P_{2}\}}
910:-system it generates does not contain the empty set as an element.
9223:
28:
5298:
are independent. This actually is a special case of the use of
5042:
then the random variables are independent if and only if their
5000:
are two random variables defined on the same probability space
4956:-system plays an important role in the probabilistic notion of
3872:
are two random variables defined on the same probability space
2553:{\displaystyle \mu _{1}(\Omega )=\mu _{2}(\Omega )<\infty ,}
1989:-system is a 𝜎-algebra. This is used as a step in proving the
96:
8411:
8319:
4786:{\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in T,\,n\in \mathbb {N} ,}
4379:{\displaystyle B=Y^{-1}((-\infty ,b])\in {\mathcal {I}}_{Y}.}
1981:-system is a 𝜆-system, and moreover it is not true that any
4299:{\displaystyle A=X^{-1}((-\infty ,a])\in {\mathcal {I}}_{X}}
3910:{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} ),}
8988: – Family closed under unions and relative complements
5686:{\displaystyle {\mathcal {I}}_{R},{\mathcal {I}}_{\Theta }}
5035:{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}
3007:, though it may also be a consequence of the fact that the
2913:{\displaystyle \sigma (I)\subseteq D\subseteq \sigma (I),}
9113:
9092:
9000: – Family closed under subsets and countable unions
3823:{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}={\mathcal {L}}_{Y}.}
1918:
428:{\textstyle \bigcup _{n}\sigma (E_{1},\ldots ,E_{n}).}
373:
9104:
Durrett, Probability Theory and
Examples, p. 404
9049:
9029:
8906:
8882:
8824:
8797:
8767:
8731:
8701:
8648:
8622:
8578:
8507:
8475:
8423:
8331:
8234:
8139:
8041:
7385:
7343:
7254:
7222:
6901:
6868:
6819:
6770:
6741:
6712:
6683:
6654:
6629:
6594:
6562:
6510:
6484:
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5952:
5908:
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5256:
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5137:
5100:
5087:{\displaystyle {\mathcal {I}}_{X},{\mathcal {I}}_{Y}}
5052:
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4966:
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248:
228:
190:
158:
131:
105:
81:
58:
9133:. Springer Texts in Statistics. New York: Springer.
9006: – Family of sets closed under countable unions
3523:{\displaystyle X\,{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\,Y,}
2009:
Dynkin system § Sierpiński–Dynkin's π-λ theorem
8251:{\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {F}}}
8156:{\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {F}}}
8058:{\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {F}}}
5461:{\displaystyle Z_{1},Z_{2}\sim {\mathcal {N}}(0,1)}
3035:-𝜆 theorem motivates the common definition of the
2309:{\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}:F\to \mathbb {R} }
2214:{\displaystyle \sigma ({\mathcal {I}})\subseteq D.}
9058:
9035:
8925:
8892:
8868:
8810:
8779:
8744:
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8429:
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8155:
8057:
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7355:
7270:
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6884:
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6636:
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6575:
6516:
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3767:
3730:{\displaystyle \{(-\infty ,a]:a\in \mathbb {R} \}}
3729:
3670:
3639:
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3565:
3522:
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3381:
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2703:
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2055:
2025:
1962:
1903:
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1752:
1720:
1697:
1677:
1638:
1588:
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1429:
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1372:
1345:
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1025:
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482:
427:
359:
254:
234:
211:
176:
137:
114:
87:
64:
8947: – Ring closed under countable intersections
5641:To prove this, it is sufficient to show that the
4716:{\displaystyle (X_{t})_{t\in T},(Y_{t})_{t\in T}}
2227:-𝜆 theorem can be used to prove many elementary
1977:-system and a 𝜆-system, it is not true that any
10131:
8926:{\displaystyle {\mathcal {F}}\neq \varnothing .}
4940:The proof of this is another application of the
1071:-system that doesn't contain the empty set is a
9023:The nullary (0-ary) intersection of subsets of
4947:
6918:{\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}}
3986:The joint cumulative distribution function of
3333:is the Borel 𝜎-algebra. The random variables
1639:{\displaystyle \Omega _{1}\times \Omega _{2}.}
9239:
6536:
5302:-systems for determining the distribution of
3768:{\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),}
1656:
360:{\displaystyle \sigma (E_{1},E_{2},\ldots ).}
9984:Riesz–Markov–Kakutani representation theorem
9088:
9086:
9066:which is not required to be an element of a
3724:
3689:
3326:{\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}
3184:of the variable is the probability measure
2607:be completely hopeless without such a tool.
1583:
1505:
1340:
1334:
6852:{\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots }
6803:{\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots }
5396:{\displaystyle Z=\left(Z_{1},Z_{2}\right),}
3026:
2992:
10079:Vitale's random Brunn–Minkowski inequality
9246:
9232:
8994: – Algebraic structure of set algebra
6543:
6529:
6381:
6333:
6240:
3011:-𝜆 theorem was proven by the probabilist
1111:{\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} ,}
1037:-system if the empty set is also included.
670:{\displaystyle {\boldsymbol {\varSigma }}}
451:-system that generates the very important
274:-systems arises from the fact that if two
9100:
9098:
9083:
6885:{\displaystyle \Omega \in {\mathcal {F}}}
6630:
6385:
6312:
6251:
6244:
6144:
6036:
4871:
4852:
4776:
4768:
4210:
3755:
3720:
3513:
3494:
3456:
3375:
3316:
3278:
3163:
3084:
2302:
2056:{\displaystyle {\mathcal {I}}\subseteq D}
1877:{\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }
1310:
1194:
1101:
838:
642:{\displaystyle {\mathcal {I}}_{\Sigma },}
9155:
5164:{\displaystyle B\in {\mathcal {I}}_{Y},}
1816:{\displaystyle \Omega \setminus A\in D,}
16:Family of sets closed under intersection
9177:
8869:{\displaystyle A,B,A_{1},A_{2},\ldots }
5124:{\displaystyle A\in {\mathcal {I}}_{X}}
2455:{\displaystyle \mu _{1}(A)=\mu _{2}(A)}
2120:{\displaystyle \sigma ({\mathcal {I}})}
2094:-𝜆 theorem states that the 𝜎-algebra
726:It is equal to the intersection of all
663:
447:, along with the empty set, which is a
305:This is desirable because in practice,
10132:
9095:
2958:That is to say, the measures agree on
2242:-𝜆 theorem is closely related to the
9227:
8761:is a semiring where every complement
8489:{\displaystyle {\mathcal {F}}\colon }
6576:{\displaystyle {\mathcal {F}}\colon }
4500:-system generated by the random pair
10092:Applications & related
5900:{\displaystyle \rho \in [0,\infty )}
5724:{\displaystyle \rho \in [0,\infty )}
2863:is a 𝜆-system. It follows from the
242:is a non-empty family of subsets of
9125:
8454:
8447:
8409:
8388:
8381:
8374:
8355:
8348:
8317:
8289:
8282:
8275:
8259:
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8066:
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7112:
7105:
7081:
7032:
7025:
6953:
6946:
3979:{\displaystyle {\mathcal {I}}_{Y}.}
3180:whereas the seemingly more general
1998:
1920:
902:A non-empty family of sets has the
13:
9253:
9050:
9030:
8909:
8885:
8800:
8780:{\displaystyle \Omega \setminus A}
8768:
8734:
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8461:
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6967:
6960:
6910:
6877:
6869:
6754:{\displaystyle \Omega \setminus A}
6742:
6597:
6565:
6511:
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5842:
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5812:
5797:
5776:
5715:
5693:are independent: that is, for all
5678:
5672:
5655:
5638:are independent random variables.
5625:
5526:
5438:
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5260:
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5010:
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4059:
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3746:
3698:
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3657:
3640:{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}
3626:
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3408:
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3217:
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3058:
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2599:{\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}.}
2544:
2535:
2513:
2316:be two measures on the 𝜎-algebra
2194:
2136:
2109:
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1712:
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631:
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595:
575:
546:
521:
470:is a non-empty collection of sets
249:
106:
59:
14:
10156:
8963:Independence (probability theory)
8917:
8771:
8705:
6745:
6716:
3616:then that is exactly to say that
2843:and it can further be shown that
1798:
1337:
10021:Lebesgue differentiation theorem
9902:Carathéodory's extension theorem
9184:Probability: Theory and Examples
8455:
8448:
8441:
8410:
8403:
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6947:
3100:cumulative distribution function
282:-system, then they agree on the
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8745:{\displaystyle {\mathcal {F}}.}
5525:
4191:
3255:
3155:
9163:. Cambridge University Press.
9131:Probability: A Graduate Course
9107:
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8518:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
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7396:
7271:{\displaystyle A_{i}\nearrow }
7265:
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1075:(also known as a filter base).
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1:
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455:of subsets of the real line.
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5763:{\displaystyle \theta \in ,}
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4948:Independent random variables
3917:with respectively generated
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3566:{\displaystyle F_{X}=F_{Y}.}
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990:{\displaystyle (-\infty ,a]}
904:finite intersection property
703:containing every element of
23:-system in mathematics. For
7:
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3470:(on two possibly different
2983:{\displaystyle \sigma (I).}
1461:{\displaystyle \Omega _{1}}
1217:-system, and is called the
1001:-system, and the intervals
913:
27:-systems in chemistry, see
10:
10161:
10016:Lebesgue's density theorem
9192:Cambridge University Press
9043:is by convention equal to
8876:are arbitrary elements of
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2711:By the first assumption,
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10031:Vitali–Hahn–Saks theorem
9360:Carathéodory's criterion
9059:{\displaystyle \Omega ,}
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3037:probability distribution
3027:Equality in distribution
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2235:for 𝜎-finite measures.
1721:{\displaystyle \Omega ,}
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746:{\displaystyle \Sigma ,}
719:{\displaystyle \Sigma .}
604:{\displaystyle \Omega ,}
555:{\displaystyle \Omega .}
177:{\displaystyle A,B\in P}
115:{\displaystyle \Omega ,}
10057:Brunn–Minkowski theorem
9926:Decomposition theorems
9036:{\displaystyle \Omega }
8900:and it is assumed that
8695:where every complement
8629:{\displaystyle \Omega }
8585:{\displaystyle \Omega }
8469:Is necessarily true of
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6667:{\displaystyle A\cap B}
6556:Is necessarily true of
6517:{\displaystyle \Omega }
5631:{\displaystyle \Theta }
2996:-Systems in probability
2484:{\displaystyle A\in I,}
1678:{\displaystyle \Omega }
696:{\displaystyle \Omega }
581:{\displaystyle \Sigma }
527:{\displaystyle \Omega }
514:-system is a subset of
266:under non-empty finite
255:{\displaystyle \Omega }
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10104:Descriptive set theory
10004:Disintegration theorem
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19:This article is about
9906:Convergence theorems
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