2019:; the issue is that the pullbacks are determined only up to canonical isomorphisms; similarly fiber products are defined only up to canonical isomorphisms, despite the notational practice to the contrary. In practice, one simply makes some canonical identifications of pullbacks, their compositions, fiber products, etc.; up to such identifications, the above category is well-defined (in other words, it is defined up to a canonical equivalence of categories.)
2366:
These reformulations of the definitions of prestacks and stacks make intuitive meanings of those concepts very explicit: (1) "fibered category" means one can construct a pullback (2) "prestack in groupoids" additionally means "locally isomorphic" implies "isomorphic" (3) "stack in groupoids" means,
642:
4498:
8116:
1396:
6148:
3564:
6387:
2777:
2010:
1718:
9441:
for affine group schemes or the generalizations. In fact, according to this point of view, a stack in groupoids is nothing but a category of torsors, and a prestack a category of trivial torsors, which are local models of torsors.
4683:
1611:
525:
413:
9574:, Theorem 4.35.. Editorial note: the reference uses the language of groupoid schemes but a groupoid scheme they use is the same as an equivalence pre-relation used here; compare Proposition 3.6. and the verifications below.
4306:
6549:
3968:
6771:
5049:
1816:
7525:
7164:
3299:
7443:
6255:
3626:
7810:
3152:
8303:
8161:
3911:
3743:
1093:
989:
3064:
4301:
947:
3357:
This fiber product behaves like a usual fiber product but up to natural isomorphisms. The meaning of this is the following. Firstly, the obvious square does not commute; instead, for each object
7815:
5625:
1228:
5446:
3866:
3827:
7301:
6896:
2945:
9236:
8724:
9006:
6069:
7370:
5794:
2807:
1869:
9166:
8961:
7231:
2361:
2255:
2189:
2083:
1455:
879:
9047:
8774:
6210:
4210:
9106:
8925:
4929:
4592:
4150:
4884:
8261:
8211:
7598:
3788:
3189:
9330:
7553:
3230:
5290:
5161:
2624:
4554:
2881:
2438:
1223:
8842:
8646:
7095:
6823:
9424:
8874:
8804:
6643:
5867:
7063:
7005:
6439:
6026:
5499:
2298:
2126:
1175:
214:
4798:
4013:
3426:
3344:
296:
5972:
2552:
7333:
5921:
3393:
2987:
6096:
2506:
5564:
4054:
3434:
9382:
7770:
7705:
7673:
5217:
5092:
4837:
4727:
4112:
3698:
3666:
2474:
1905:
1518:
508:
246:
137:
9256:
8548:
6263:
4949:
9589:
8528:
8470:
8364:
7802:
7031:
5704:
5525:
5247:
5118:
4975:
4757:
2691:
1133:
1028:
476:
446:
7633:
6933:
5374:
4074:
2671:
1482:
9279:
6582:
1910:
1616:
9126:
8600:
8405:
5741:
4600:
637:{\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)(V{\overset {f}{\to }}U)\to {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)(W{\overset {f\circ g}{\to }}U)}
1523:
304:
4493:{\displaystyle (F_{1}\times F_{2})\times _{B_{1}\times B_{2}}(G_{1}\times G_{2})\simeq (F_{1}\times _{B_{1}}G_{1})\times (F_{2}\times _{B_{2}}G_{2})}
2682:
76:
Since a stack is a prestack, all the results on prestacks are valid for stacks as well. Throughout the article, we work with a fixed base category
6456:
3916:
2367:
in addition to the previous properties, a global object can be constructed from local data subject to cocycle conditions. All these work up
6087:
6659:
4984:
1725:
7100:
8111:{\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)(V{\overset {f}{\to }}U)&=\\&=\\&=.\end{aligned}}}
6215:
3580:
7450:
3243:
7375:
8266:
8124:
3871:
3703:
1056:
952:
9388:
be the category where an object is a descent datum and a morphism is that of descent data. (The details are omitted for now)
478:; here, the bracket means we canonically identify different Hom sets resulting from different choices of pullbacks. For each
3012:
1391:{\displaystyle p_{1}:V_{i}\times _{U}V_{j}\to V_{i},\,p_{12}:V_{i}\times _{U}V_{j}\times _{U}V_{k}\to V_{i}\times _{U}V_{j}}
5184:
4221:
887:
9595:
6406:
5391:
9588:
Behrend, Kai; Conrad, Brian; Edidin, Dan; Fulton, William; Fantechi, Barbara; Göttsche, Lothar; Kresch, Andrew (2006),
3832:
3793:
6836:
2886:
9171:
5580:
5167:; this allows one to transfer many notions of properties on morphisms of schemes to the stack context. Namely, let
3080:
8655:
8970:
6035:
2191:
is fully faithful. A statement like this is independent of choices of canonical identifications mentioned early.
7236:
5761:
2785:
1821:
58:
is a prestack with effective descents, meaning local objects may be patched together to become a global object.
9135:
8930:
7171:
2303:
2197:
2131:
2025:
1405:
650:
9014:
8729:
6177:
4155:
9055:
8879:
4896:
4559:
4117:
4850:
2555:
2380:
8216:
8166:
7558:
3748:
9668:
9438:
9284:
66:
5256:
5127:
2568:
4509:
2836:
2393:
1180:
992:
8809:
8613:
7338:
7068:
6790:
9394:
8855:
8785:
8780:
6609:
5803:
3157:
7036:
6960:
6412:
5981:
5454:
3198:
2264:
2092:
1141:
165:
6143:{\displaystyle X\times G{\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}X{\overset {\pi }{\to }}F}
4770:
3985:
3398:
3316:
255:
61:
Prestacks that appear in nature are typically stacks but some naively constructed prestacks (e.g.,
5933:
3559:{\displaystyle \psi :(f\circ p)(x,y,\psi )=f(x){\overset {\sim }{\to }}g(y)=(g\circ q)(x,y,\psi )}
2518:
7306:
5894:
3360:
2954:
6382:{\displaystyle g:(\pi \circ s)(x,g)=\pi (x){\overset {\sim }{\to }}(\pi \circ t)(x,g)=\pi (xg).}
2479:
8557:
One importance of this construction is that it provides an atlas for an algebraic space: every
7533:
5534:
4033:
3571:
2772:{\displaystyle \operatorname {Funct} _{C}(U,F){\overset {\chi \mapsto \chi (1_{U})}{\to }}F(U)}
9355:
7743:
7678:
7646:
5190:
5065:
4810:
4700:
4085:
3671:
3639:
2447:
1874:
1487:
481:
219:
110:
9241:
8533:
4934:
2005:{\displaystyle \psi _{ij}\circ p_{2}^{*}\alpha _{j}=p_{1}^{*}\alpha _{i}\circ \varphi _{ij}.}
1100:
85:
35:
9613:, Math. Surveys Monogr., vol. 123, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., pp. 1–104,
8479:
8421:
8315:
7775:
7010:
5662:
5504:
5226:
5097:
4954:
4736:
2512:
is fibered in groupoids; e.g., an algebraic stack (since all morphisms are cartesian then.)
1713:{\displaystyle p_{13}^{*}\varphi _{ik}=p_{12}^{*}\varphi _{ij}\circ p_{23}^{*}\varphi _{jk}}
1106:
1001:
451:
421:
9636:
9624:
7606:
6906:
6552:
5647:
and is known as an action groupoid or a transformation groupoid. It may also be called the
5347:
4059:
2649:
1460:
54:
and such that (when the fibers are groupoids) locally isomorphic objects are isomorphic. A
9609:
Vistoli, Angelo (2005), "Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory",
9264:
6558:
8:
5164:
2257:
consists precisely of effective descent data (just the definition of "effective"). Thus,
55:
9628:
1138:
This definition can be equivalently phrased as follows. First, for each covering family
9614:
9111:
6585:
20:
8564:
8369:
5712:
9555:
6777:
5874:
4678:{\displaystyle F\times _{B}G\simeq (F\times G)\times _{B\times B,f\times g,\Delta }B}
2508:
and (2) it maps cartesian morphisms to cartesian morphisms. Note (2) is automatic if
5180:
5640:
2810:
101:
51:
1606:{\displaystyle \varphi _{ij}:p_{2}^{*}x_{j}{\overset {\sim }{\to }}p_{1}^{*}x_{i}}
9632:
8558:
5309:
5299:
408:{\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)(V{\overset {f}{\to }}U)=}
62:
8927:. This is done as follows. By definition, there is an étale surjective morphism
9345:
5707:
996:
9344:
There is a way to associate a stack to a given prestack. It is similar to the
9662:
2085:
that sends an object to the descent datum that it defines. One can then say:
1096:
84:
can be the category of all schemes over some fixed scheme equipped with some
9238:(nothing changes on the object-level; we only need to explain how to send
6083:
9437:
In some special cases, the stackification can be described in terms of
5175:
that is stable under base changes and that is local on the topology of
3632:
Secondly, it satisfies the strict universal property: given a prestack
2015:
An object of this category is called a descent datum. This category is
7707:; the latter is obtained by factorizing the diagonal morphism through
6544:{\displaystyle f(T):R(T)=\operatorname {Hom} (T,R)\to X(T)\times X(T)}
3963:{\displaystyle f\circ p\circ w{\overset {\sim }{\to }}g\circ q\circ w}
9619:
6174:
a projection. It is not 1-coequalizer since, instead of the equality
5888:
as a prestack (in fact a stack), there is the obvious canonical map
6766:{\displaystyle f(T):R(T)\to X(T)\times X(T),\,(x,g)\mapsto (x,xg).}
5644:
5044:{\displaystyle U\times _{X}T\simeq (U\times T)\times _{X\times X}X}
2825:
and the morphisms are the base-preserving natural transformations.
1811:{\displaystyle \{(x_{i},\varphi _{ij})\}\to \{(y_{i},\psi _{ij})\}}
9651:
8967:. Since the diagonal is strongly representable, the fiber product
2883:
be morphisms of prestacks. Then, by definition, the fiber product
9391:
As it turns out, it is a stack and comes with a natural morphism
9352:. The idea of the construction is quite simple: given a prestack
8263:. Since the fiber product of sheaves is a sheaf, it follows that
7159:{\displaystyle t\circ \delta =y|_{T}:T\to S{\overset {y}{\to }}X}
139:; this means that one can construct pullbacks along morphisms in
9128:
is an equivalence pre-relation. We finish, roughly, as follows.
8726:
is an injective function ("étale" means the two possible maps
6250:{\displaystyle \pi \circ s{\overset {\sim }{\to }}\pi \circ t}
5300:
Example: the prestack given by an action of an algebraic group
3621:{\displaystyle \Psi :f\circ p{\overset {\sim }{\to }}g\circ q}
69:) may not be stacks. Prestacks may be studied on their own or
9008:
is a scheme (that is, represented by a scheme) and then let
7520:{\displaystyle (\delta ,\delta '|_{T}):T\to R\times _{t,s}R}
8472:
have the same set of objects. On the morphism-level, while
4807:
In particular, the definition applies to the structure map
3294:{\displaystyle g(\beta )\circ \psi =\psi '\circ f(\alpha )}
7438:{\displaystyle t\circ \delta =y|_{T}=s\circ \delta '|_{T}}
5706:, since, as it turns out, the stackification of it is the
5328:
determines a prestack (but not a stack) over the category
9587:
9571:
9567:
9542:
9530:
9518:
9470:
16:
Algebraic geometry category satisfying lifting conditions
8876:
is the stackification of the prestack associated to it:
8298:{\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)}
8156:{\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)}
5744:
3906:{\displaystyle f\circ u{\overset {\sim }{\to }}g\circ v}
3738:{\displaystyle f\circ u{\overset {\sim }{\to }}g\circ v}
1088:{\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)}
984:{\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)}
8476:
has only identity morphisms as morphisms, the prestack
2089:
is a prestack if and only if, for each covering family
6392:
5253:
a scheme viewed as a prestack, the induced projection
3059:{\displaystyle \psi :f(x){\overset {\sim }{\to }}g(y)}
9397:
9358:
9287:
9267:
9244:
9174:
9138:
9114:
9058:
9017:
8973:
8933:
8882:
8858:
8812:
8788:
8732:
8658:
8616:
8567:
8536:
8482:
8424:
8372:
8318:
8269:
8219:
8169:
8127:
7813:
7778:
7746:
7681:
7649:
7609:
7561:
7536:
7453:
7445:, by the universal property, there is an induced map
7378:
7341:
7309:
7239:
7174:
7103:
7071:
7039:
7013:
6963:
6909:
6839:
6793:
6662:
6612:
6561:
6459:
6415:
6266:
6218:
6180:
6099:
6071:
by definition, goes to the identity group element of
6038:
5984:
5936:
5897:
5806:
5764:
5715:
5665:
5583:
5537:
5507:
5457:
5394:
5350:
5259:
5229:
5193:
5130:
5100:
5068:
4987:
4957:
4937:
4899:
4893:
The definition applies also to the diagonal morphism
4853:
4813:
4773:
4739:
4703:
4603:
4562:
4512:
4309:
4296:{\displaystyle F_{i}\to B_{i},G_{i}\to B_{i},\,i=1,2}
4224:
4158:
4120:
4088:
4062:
4036:
3988:
3919:
3874:
3835:
3796:
3751:
3706:
3674:
3642:
3583:
3437:
3401:
3363:
3319:
3246:
3201:
3160:
3083:
3015:
2957:
2889:
2839:
2788:
2694:
2652:
2571:
2521:
2482:
2450:
2396:
2306:
2267:
2200:
2134:
2095:
2028:
1913:
1877:
1824:
1728:
1619:
1526:
1490:
1463:
1408:
1231:
1183:
1144:
1109:
1059:
1004:
955:
942:{\displaystyle g^{*}\circ f^{*}\simeq (f\circ g)^{*}}
890:
653:
528:
484:
454:
424:
307:
258:
222:
168:
113:
6825:(+ some more data), there is an associated prestack
2261:
is a stack if and only if, for each covering family
2685:says: there is a natural equivalence of categories
2626:is, by construction, the set of all morphisms from
70:
9418:
9376:
9324:
9273:
9250:
9230:
9160:
9120:
9100:
9041:
9000:
8955:
8919:
8868:
8836:
8798:
8768:
8718:
8640:
8594:
8542:
8522:
8464:
8399:
8358:
8297:
8255:
8205:
8155:
8110:
7796:
7764:
7699:
7667:
7627:
7592:
7547:
7519:
7437:
7364:
7327:
7295:
7225:
7158:
7089:
7057:
7025:
6999:
6927:
6890:
6817:
6765:
6637:
6576:
6543:
6433:
6381:
6249:
6204:
6142:
6063:
6020:
5966:
5915:
5861:
5788:
5735:
5698:
5619:
5558:
5519:
5493:
5441:{\displaystyle X(U)=\operatorname {Hom} _{C}(U,X)}
5440:
5368:
5284:
5241:
5211:
5155:
5112:
5086:
5043:
4969:
4943:
4923:
4878:
4843:is a prestack over itself via the identity). Then
4831:
4792:
4751:
4721:
4677:
4586:
4548:
4492:
4295:
4204:
4144:
4106:
4068:
4048:
4007:
3962:
3905:
3860:
3821:
3782:
3737:
3692:
3660:
3620:
3558:
3420:
3387:
3338:
3293:
3224:
3183:
3146:
3058:
2981:
2939:
2875:
2801:
2771:
2665:
2618:
2546:
2500:
2468:
2432:
2355:
2292:
2249:
2183:
2120:
2077:
2004:
1899:
1863:
1810:
1712:
1605:
1512:
1476:
1449:
1390:
1217:
1169:
1127:
1087:
1022:
983:
941:
873:
636:
502:
470:
440:
407:
290:
240:
208:
131:
9339:
6555:. The prefix "pre-" is because we do not require
3861:{\displaystyle q\circ w{\overset {\sim }{\to }}v}
3822:{\displaystyle u{\overset {\sim }{\to }}p\circ w}
9660:
6784:, which is clearly an equivalence pre-relation.
5743:. The construction is a special case of forming
5171:be a property on morphisms in the base category
4689:this isomorphism is constructed simply by hand.
6891:{\displaystyle s=p_{1}\circ f,\,t=p_{2}\circ f}
4951:is strongly representable, then every morphism
2940:{\displaystyle F\times _{B,f,g}G=F\times _{B}G}
9231:{\displaystyle \pi :^{pre}\to {\mathfrak {X}}}
5620:{\displaystyle y':U\to V{\overset {y}{\to }}X}
5124:a scheme viewed as a prestack, the projection
5094:is a strongly representable morphism, for any
9261:By the universal property of stackification,
7724:is a prestack; for that, notice: for objects
3147:{\displaystyle (x,y,\psi )\to (x',y',\psi ')}
9052:be the first and second projections. Taking
8719:{\displaystyle f(T):R(T)\to U(T)\times U(T)}
8095:
8027:
8008:
7932:
2347:
2328:
2287:
2268:
2241:
2222:
2175:
2156:
2115:
2096:
2069:
2050:
1805:
1770:
1764:
1729:
1444:
1409:
1209:
1190:
1164:
1145:
9001:{\displaystyle U\times _{\mathfrak {X}}U=R}
8806:, one can find an equivalence pre-relation
8366:and the stackification of it is written as
7720:is fibered in groupoids. Finally, we check
6082:Then the above canonical map fits into a 2-
6064:{\displaystyle U\to V{\overset {y}{\to }}X}
9649:
8550:specified by the equivalence pre-relation
7296:{\displaystyle (,\delta '):(S,y)\to (U,z)}
5789:{\displaystyle *=\operatorname {Spec} (k)}
5219:of prestacks is said to have the property
5187:). Then a strongly representable morphism
4692:
2802:{\displaystyle \operatorname {Funct} _{C}}
1864:{\displaystyle \alpha _{i}:x_{i}\to y_{i}}
9618:
9161:{\displaystyle \pi :U\to {\mathfrak {X}}}
8956:{\displaystyle \pi :U\to {\mathfrak {X}}}
7226:{\displaystyle (,\delta ):(T,x)\to (S,y)}
6865:
6723:
4847:is strongly representable if and only if
4277:
2356:{\displaystyle F(U)\to F(\{V_{i}\to U\})}
2250:{\displaystyle F(U)\to F(\{V_{i}\to U\})}
2184:{\displaystyle F(U)\to F(\{V_{i}\to U\})}
2078:{\displaystyle F(U)\to F(\{V_{i}\to U\})}
1450:{\displaystyle \{(x_{i},\varphi _{ij})\}}
1291:
874:{\displaystyle {\overset {g^{*}}{\to }}=}
9042:{\displaystyle s,t:R\rightrightarrows U}
6833:is a category where: with the notations
4767:viewed as a prestack, the fiber product
3982:is a prestack canonically isomorphic to
949:is used to get the = on the right. Then
9608:
9506:
9494:
9482:
9458:
8769:{\displaystyle s,t:R\to U\times U\to U}
6787:To each given equivalence pre-relation
6205:{\displaystyle \pi \circ s=\pi \circ t}
4205:{\displaystyle x\mapsto (x,x,1_{p(x)})}
9661:
9101:{\displaystyle f=(s,t):R\to U\times U}
8920:{\displaystyle {\mathfrak {X}}\simeq }
8610:and an étale equivalence pre-relation
7716:Via a forgetful functor, the category
4924:{\displaystyle \Delta :X\to X\times X}
4587:{\displaystyle \Delta :B\to B\times B}
4145:{\displaystyle \Delta :X\to X\times X}
91:
38:is a category together with a functor
9335:Check the last map is an isomorphism.
4879:{\displaystyle X\simeq X\times _{C}C}
3305:It comes with the forgetful functors
9554:The argument here is Lemma 25.6. of
8256:{\displaystyle (x,y):U\to X\times X}
8206:{\displaystyle (s,t):R\to X\times X}
7603:the identity morphism for an object
7593:{\displaystyle T\to R\times _{t,s}R}
5745:#The prestack of equivalence classes
3783:{\displaystyle w:H\to F\times _{B}G}
2813:; the objects are the functors from
1613:that satisfy the cocycle condition:
9556:M. Olsson's lecture notes on stacks
9325:{\displaystyle \to {\mathfrak {X}}}
9317:
9223:
9153:
8983:
8948:
8885:
8861:
8791:
6393:The prestack of equivalence classes
3790:together with natural isomorphisms
1030:, the category of all morphisms in
13:
9652:"Prestacks and fibered categories"
5978:goes to itself, and each morphism
5312:acting from the right on a scheme
5285:{\displaystyle X\times _{Y}T\to T}
5156:{\displaystyle X\times _{Y}S\to S}
5051:is strongly representable for any
4938:
4900:
4667:
4563:
4121:
3584:
2619:{\displaystyle p^{-1}(U)=F_{S}(U)}
514:, define the restriction map from
14:
9680:
9643:
6401:be a scheme in the base category
5631:Through the forgetful functor to
4549:{\displaystyle f:F\to B,g:G\to B}
4114:, there is the diagonal morphism
4030:is dropped and one simply writes
3970:. In general, a fiber product of
3236:, both over the same morphism in
2876:{\displaystyle f:F\to B,g:G\to B}
2433:{\displaystyle p:F\to C,q:G\to C}
2363:is an equivalence of categories.
1218:{\displaystyle F(\{V_{i}\to U\})}
418:be the set of all morphisms from
8837:{\displaystyle f:R\to U\times U}
8641:{\displaystyle f:R\to U\times U}
7365:{\displaystyle \delta '':T\to R}
7090:{\displaystyle s\circ \delta =x}
6818:{\displaystyle f:R\to X\times X}
4981:is strongly representable since
3570:That is, there is an invertible
2828:
1045:is a prestack if, for each pair
143:, up to canonical isomorphisms.
100:be a category and suppose it is
9561:
9419:{\displaystyle \theta :F\to HF}
8869:{\displaystyle {\mathfrak {X}}}
8799:{\displaystyle {\mathfrak {X}}}
6638:{\displaystyle R=X\times _{k}G}
5869:is the classifying prestack of
5862:{\displaystyle ^{pre}=BG^{pre}}
4076:in objects are all identities.
3184:{\displaystyle \alpha :x\to x'}
3005:, both over the same object in
1457:of pairs consisting of objects
9611:Fundamental algebraic geometry
9548:
9536:
9524:
9512:
9500:
9488:
9476:
9464:
9452:
9407:
9368:
9340:Stacks associated to prestacks
9312:
9309:
9288:
9218:
9203:
9181:
9148:
9086:
9077:
9065:
9033:
8943:
8914:
8893:
8822:
8760:
8748:
8713:
8707:
8698:
8692:
8686:
8683:
8677:
8668:
8662:
8626:
8589:
8568:
8505:
8483:
8447:
8425:
8394:
8373:
8341:
8319:
8292:
8280:
8241:
8232:
8220:
8191:
8182:
8170:
8150:
8138:
8098:
8086:
8074:
8062:
8050:
8046:
8039:
8024:
8011:
7951:
7944:
7929:
7916:
7913:
7881:
7872:
7862:
7851:
7843:
7840:
7828:
7756:
7691:
7659:
7622:
7610:
7600:followed by the multiplication
7565:
7492:
7483:
7473:
7454:
7425:
7396:
7356:
7319:
7313:
7290:
7278:
7275:
7272:
7260:
7254:
7240:
7220:
7208:
7205:
7202:
7190:
7184:
7175:
7145:
7137:
7121:
7058:{\displaystyle \delta :T\to R}
7049:
7017:
7000:{\displaystyle (T,x)\to (S,y)}
6994:
6982:
6979:
6976:
6964:
6922:
6910:
6803:
6757:
6742:
6739:
6736:
6724:
6717:
6711:
6702:
6696:
6690:
6687:
6681:
6672:
6666:
6571:
6565:
6538:
6532:
6523:
6517:
6511:
6508:
6496:
6484:
6478:
6469:
6463:
6434:{\displaystyle R\to X\times X}
6419:
6373:
6364:
6355:
6343:
6340:
6328:
6320:
6315:
6309:
6300:
6288:
6285:
6273:
6230:
6170:is the given group action and
6129:
6112:
6050:
6042:
6021:{\displaystyle (U,x)\to (V,y)}
6015:
6003:
6000:
5997:
5985:
5961:
5955:
5937:
5907:
5873:and its stackification is the
5822:
5807:
5783:
5777:
5730:
5716:
5681:
5666:
5606:
5598:
5553:
5547:
5511:
5494:{\displaystyle (U,x)\to (V,y)}
5488:
5476:
5473:
5470:
5458:
5435:
5423:
5404:
5398:
5363:
5351:
5276:
5233:
5203:
5147:
5104:
5078:
5019:
5007:
4961:
4909:
4823:
4743:
4713:
4635:
4623:
4572:
4540:
4522:
4487:
4447:
4441:
4401:
4395:
4369:
4336:
4310:
4261:
4235:
4199:
4194:
4188:
4165:
4162:
4130:
4098:
3937:
3886:
3847:
3802:
3761:
3718:
3684:
3652:
3601:
3553:
3535:
3532:
3520:
3514:
3508:
3497:
3492:
3486:
3477:
3459:
3456:
3444:
3382:
3364:
3288:
3282:
3256:
3250:
3225:{\displaystyle \beta :y\to y'}
3211:
3170:
3141:
3108:
3105:
3102:
3084:
3070:over the identity morphism in
3053:
3047:
3036:
3031:
3025:
2976:
2958:
2867:
2849:
2766:
2760:
2751:
2738:
2732:
2725:
2720:
2708:
2638:. Analogously, given a scheme
2613:
2607:
2591:
2585:
2538:
2460:
2424:
2406:
2385:
2350:
2341:
2325:
2319:
2316:
2310:
2293:{\displaystyle \{V_{i}\to U\}}
2281:
2244:
2235:
2219:
2213:
2210:
2204:
2178:
2169:
2153:
2147:
2144:
2138:
2121:{\displaystyle \{V_{i}\to U\}}
2109:
2072:
2063:
2047:
2041:
2038:
2032:
1894:
1881:
1848:
1802:
1773:
1767:
1761:
1732:
1570:
1507:
1494:
1441:
1412:
1355:
1275:
1212:
1203:
1187:
1170:{\displaystyle \{V_{i}\to U\}}
1158:
1082:
1070:
978:
966:
930:
917:
884:where a canonical isomorphism
868:
865:
853:
840:
825:
812:
809:
800:
794:
791:
788:
772:
756:
740:
727:
718:
703:
698:
695:
663:
654:
631:
612:
604:
601:
589:
576:
573:
562:
554:
551:
539:
494:
402:
399:
367:
358:
352:
341:
333:
330:
318:
232:
209:{\displaystyle F(U)=p^{-1}(U)}
203:
197:
178:
172:
123:
1:
9650:Dai Tamaki (August 7, 2019).
9581:
7635:consists of the identity map
6829:defined as follows. Firstly,
6780:, this determines a morphism
4793:{\displaystyle X\times _{Y}S}
4008:{\displaystyle F\times _{B}G}
3421:{\displaystyle F\times _{B}G}
3339:{\displaystyle F\times _{B}G}
2440:over the fixed base category
1225:as a category where: writing
291:{\displaystyle f^{*}x,f^{*}y}
9348:of a presheaf and is called
6602:of finite type over a field
5967:{\displaystyle (U,x:U\to X)}
5316:of finite type over a field
4800:of prestacks is a scheme in
4026:(the prestack over itself),
2556:stack associated to a scheme
2547:{\displaystyle p:F_{S}\to C}
2381:Morphism of algebraic stacks
2374:
2022:There is an obvious functor
1099:with respect to the induced
67:projectivized vector bundles
7:
8414:is viewed as a stack, both
7372:obtained as follows: since
7328:{\displaystyle T\to S\to U}
6445:such that, for each scheme
5916:{\displaystyle \pi :X\to F}
5320:. Then the group action of
3388:{\displaystyle (x,y,\psi )}
2982:{\displaystyle (x,y,\psi )}
2476:is a functor such that (1)
1177:, we "define" the category
10:
9685:
9430:is a stack if and only if
8530:have additional morphisms
7711:, possible by reflexivity.
5930:; explicitly, each object
5336:-schemes, as follows. Let
4556:and the diagonal morphism
2677:fibered in groupoids over
2501:{\displaystyle q\circ f=p}
2378:
7548:{\displaystyle \delta ''}
6594:: Let an algebraic group
6551:has the image that is an
5559:{\displaystyle g\in G(U)}
4049:{\displaystyle F\times G}
2646:viewed as a stack (i.e.,
2369:to canonical isomorphisms
252:, after fixing pullbacks
52:certain lifting condition
9570:, Proposition 5.20. and
9445:
9377:{\displaystyle p:F\to C}
8312:above may be written as
8163:is the fiber product of
7765:{\displaystyle f:V\to U}
7700:{\displaystyle e:X\to R}
7668:{\displaystyle x:T\to X}
6645:and then for any scheme
6407:equivalence pre-relation
5800:is affine, the quotient
5212:{\displaystyle f:X\to Y}
5087:{\displaystyle f:X\to Y}
4832:{\displaystyle p:X\to C}
4722:{\displaystyle f:X\to Y}
4697:A morphism of prestacks
4107:{\displaystyle p:X\to C}
3700:, a natural isomorphism
3693:{\displaystyle v:H\to G}
3661:{\displaystyle u:H\to F}
3574:(= natural isomorphism)
2989:consisting of an object
2469:{\displaystyle f:F\to G}
1900:{\displaystyle F(V_{i})}
1513:{\displaystyle F(V_{i})}
503:{\displaystyle g:W\to V}
241:{\displaystyle f:V\to U}
132:{\displaystyle p:F\to C}
9251:{\displaystyle \delta }
8543:{\displaystyle \delta }
6935:consisting of a scheme
5376:consisting of a scheme
5223:if, for every morphism
4944:{\displaystyle \Delta }
4733:if, for every morphism
4693:Representable morphisms
4056:. Note, in this case,
2809:refers to the relative
2194:The essential image of
9420:
9378:
9326:
9275:
9252:
9232:
9162:
9122:
9102:
9043:
9002:
8957:
8921:
8870:
8838:
8800:
8770:
8720:
8642:
8596:
8544:
8524:
8523:{\displaystyle ^{pre}}
8466:
8465:{\displaystyle ^{pre}}
8401:
8360:
8359:{\displaystyle ^{pre}}
8299:
8257:
8207:
8157:
8112:
7798:
7797:{\displaystyle C_{/U}}
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7701:
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