4224:
5124:
8154:
5336:
4059:
320:
4134:
6450:
5888:
5807:
4366:
8648:
4979:
5726:
4932:
844:
4576:
2950:
479:
7499:
8194:
is a projective space bundle. Many families of varieties can be constructed as subschemes of these projective bundles, such as the
Weierstrass family of elliptic curves. For more details, see the main article.
3368:
5247:
3556:
3923:
8003:
771:
257:
7197:
696:
5382:
1428:
5605:
7330:
4984:
8512:
7090:
7047:
6677:
6492:
6322:
6224:
7724:
6577:
7427:
5561:
3161:
248:
7682:
8192:
7881:
7779:
7259:
6045:
4093:
157:
7967:
8251:
4432:
8368:
6626:
3821:
2610:
2321:
2249:
1943:
1917:
1279:
1225:
1187:
1088:
408:
366:
4656:
8320:
5812:
5731:
5644:
4636:
8434:
7644:
7613:
3084:
2852:
5906:
and produces, as the result, a scheme which might be thought of as a fibration of Proj's of rings. This construction is often used, for example, to construct projective space
3795:
3735:
3702:
2986:
2760:
2720:
2679:
628:
4815:
The proj construction extends to bigraded and multigraded rings. Geometrically, this corresponds to taking products of projective schemes. For example, given the graded rings
7991:
7817:
7555:
7283:
7122:
3918:
2520:
5493:
4974:
4129:
2584:
2196:
1628:
6267:
4758:
6740:
6154:
2646:
1864:
1823:
1364:
6962:
6929:
2062:
1599:
1464:
7363:
2555:
7582:
7224:
7008:
6880:
6845:
6802:
6775:
6704:
6519:
6102:
6075:
5987:
5959:
5446:
5414:
5242:
5210:
5183:
5151:
4805:
4464:
3848:
3762:
3647:
3053:
2809:
2452:
2223:
1970:
1891:
1494:
1328:
879:
7528:
6349:
4818:
1999:
1566:
1117:
1062:
1033:
1004:
908:
555:
7843:
4248:
3620:
1674:
931:
7921:
7901:
7744:
7383:
7142:
5466:
4952:
4778:
4718:
3868:
3668:
3466:
3441:
3389:
3289:
3267:
3246:
3226:
3206:
3185:
3104:
3026:
3006:
2873:
2781:
2473:
2420:
2400:
2379:
2357:
2295:
2274:
2167:
2146:
2125:
2102:
2082:
2028:
1778:
1758:
1736:
1716:
1695:
1648:
1534:
1514:
1300:
1253:
1157:
1137:
975:
955:
579:
526:
502:
340:
185:
104:
4469:
8517:
4219:{\displaystyle {\begin{matrix}E_{\lambda }&\longrightarrow &X\\&&\downarrow \\&&\mathbb {A} _{\lambda }^{1}-\{0,1\}\end{matrix}}}
5649:
3295:
1231:. As in the case of the Spec construction there are many ways to proceed: the most direct one, which is also highly suggestive of the construction of
781:
2882:
8724:
8712:
5119:{\displaystyle {\begin{aligned}A_{\bullet }\otimes _{\mathbb {C} }B_{\bullet }&=S_{\bullet ,\bullet }\\&=\mathbb {C} \end{aligned}}}
416:
8749:
7432:
5341:
5338:
which is a product of projective schemes. There is an embedding of such schemes into projective space by taking the total graded algebra
5498:
194:
5890:
are the canonical projections coming from the injections of these algebras from the tensor product diagram of commutative algebras.
5911:
3477:
8664:
8149:{\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})|_{p^{-1}(U)}\simeq \operatorname {Proj} A=\mathbb {P} _{A}^{n}=\mathbb {P} _{U}^{n},}
6277:; this is a “consistency” assumption on the sections over different open sets that is necessary for the construction to proceed.
4595:
can be constructed using a polynomial ring whose variables have non-standard degrees. For example, the weighted projective space
3417:
113:
8796:
4379:
705:
7147:
1372:
633:
5566:
5331:{\displaystyle {\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })=\mathbb {P} ^{1}\times _{{\text{Spec}}(\mathbb {C} )}\mathbb {P} ^{1}}
7288:
8439:
7056:
7013:
6643:
6458:
6288:
6162:
1467:
7687:
6531:
7388:
3112:
7649:
6964:
and also generate the stalk as an algebra over it) then we may make a further construction. Over each open affine
4054:{\displaystyle X=\operatorname {Proj} \left({\frac {A_{\bullet }}{(ZY^{2}-X(X-Z)(X-\lambda Z))_{\bullet }}}\right)}
2479:
8162:
7851:
7749:
7229:
6001:
4064:
7934:
4376:. In addition to projective hypersurfaces, any projective variety cut out by a system of homogeneous polynomials
3055:, and taken together they contain all the grading information that was lost. Likewise, for any sheaf of graded
315:{\displaystyle \operatorname {Proj} S=\{P\subseteq S{\text{ homogeneous prime ideal, }}S_{+}\not \subseteq P\}.}
8210:
8788:
8325:
6585:
3800:
2589:
2300:
2228:
1922:
1896:
1258:
1204:
1166:
1067:
387:
345:
4641:
8256:
5610:
4598:
8373:
7618:
7587:
3058:
2826:
4466:-variables can be converted into a projective scheme using the proj construction for the graded algebra
3767:
3707:
3674:
2958:
2732:
2692:
2651:
2149:, and therefore with the appropriate minor modifications the preceding section constructs for any such
6628:, and then showing that these data can be glued together “over” each intersection of two open affines
587:
8783:
4592:
4587:
7972:
7798:
7536:
7264:
7103:
3886:
8745:"Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes"
4369:
1496:
consisting of fractions of homogeneous elements of the same degree) such that for each prime ideal
5471:
4957:
4102:
2560:
2172:
1607:
7790:
6232:
4723:
4373:
3397:
8693:
8822:
8736:
2323:
arise from graded modules by this construction. The corresponding graded module is not unique.
6709:
6123:
2615:
1833:
1785:
1333:
6983:, and the assumption we have just made ensures that these sheaves may be glued just like the
6934:
6901:
6445:{\displaystyle (\operatorname {\mathbf {Proj} } S)|_{p^{-1}(U)}=\operatorname {Proj} (S(U)).}
2034:
1571:
1436:
1235:
on a projective variety in classical algebraic geometry, is the following. For any open set
7342:
5883:{\displaystyle \pi _{2}:{\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })\to {\text{Proj}}(B_{\bullet })}
5802:{\displaystyle \pi _{1}:{\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })\to {\text{Proj}}(A_{\bullet })}
4361:{\displaystyle \operatorname {Proj} \left(\mathbb {C} /(X_{0}^{5}+\cdots +X_{4}^{5})\right)}
2525:
8806:
8770:
7560:
7202:
6986:
6858:
6823:
6780:
6753:
6682:
6497:
6333:
6080:
6053:
5992:
5965:
5937:
5927:
5907:
5419:
5387:
5215:
5188:
5156:
5129:
4783:
4437:
3826:
3740:
3625:
3469:
3401:
3393:
3031:
2787:
2425:
2201:
1948:
1869:
1472:
1306:
1228:
852:
7504:
1975:
1542:
1093:
1038:
1009:
980:
884:
531:
8:
7822:
6883:
3564:
2332:
2252:
1653:
1198:
934:
913:
7906:
7886:
7729:
7368:
7127:
5451:
4937:
4763:
4661:
3853:
3653:
3451:
3426:
3392:
is a polynomial ring, below. This situation is to be contrasted with the fact that the
3374:
3274:
3252:
3231:
3211:
3191:
3170:
3089:
3011:
2991:
2858:
2766:
2458:
2405:
2385:
2364:
2342:
2280:
2259:
2152:
2131:
2110:
2087:
2067:
2013:
1763:
1743:
1721:
1701:
1680:
1633:
1519:
1499:
1285:
1238:
1142:
1122:
960:
940:
564:
511:
487:
325:
170:
89:
66:
51:
39:
31:
2297:(e.g. a polynomial ring or a homogenous quotient of it), all quasicoherent sheaves on
8792:
8643:{\displaystyle \operatorname {Proj} (\mathbb {C} /(sf+tg))\to \mathbb {P} _{s,t}^{1}}
7846:
5903:
2686:
1972:) is in fact a scheme (this is accomplished by showing that each of the open subsets
505:
251:
24:
8740:
8778:
8758:
8669:
8659:
8204:
6977:
5962:
2723:
1232:
1189:, just as the analogous fact for the spectrum of a ring is likewise indispensable.
381:
164:
70:
47:
5721:{\displaystyle \pi _{1}^{*}{\mathcal {O}}(a)\otimes \pi _{2}^{*}{\mathcal {O}}(b)}
8802:
8766:
8744:
4227:
1160:
7226:-modules, generated by elements of degree 1. The resulting scheme is denoted by
6980:
6848:
6274:
4231:
4096:
2682:
8816:
4927:{\displaystyle A_{\bullet }=\mathbb {C} ,{\text{ }}B_{\bullet }=\mathbb {C} }
2105:
59:
43:
1227:, called the “structure sheaf” as in the affine case, which makes it into a
4243:
839:{\displaystyle D(a)=\{p\in \operatorname {Proj} S\mid a\not \subseteq p\}.}
188:
2338:
A special case of the sheaf associated to a graded module is when we take
1035:
are complementary, and hence the same proof as before shows that the sets
6750:) as the elements of degree zero yields the necessary consistency of the
107:
4571:{\displaystyle {\frac {k_{\bullet }}{(f_{1},\ldots ,f_{k})_{\bullet }}}}
2945:{\displaystyle {\mathcal {O}}(n)=\bigotimes _{i=1}^{n}{\mathcal {O}}(1)}
8762:
8689:
7924:
775:
Equivalently, we may take the open sets as a starting point and define
160:
4131:
where the curves degenerate into nodal curves. So there is a fibration
1163:
for this topology, which is an indispensable tool for the analysis of
474:{\displaystyle V(a)=\{p\in \operatorname {Proj} S\mid a\subseteq p\},}
7494:{\displaystyle {\mathcal {E}}(x):={\mathcal {E}}\otimes _{O_{X}}k(x)}
6898:, which is a graded algebra whose degree-zero elements form the ring
4578:
giving an embedding of projective varieties into projective schemes.
3166:
and expect this “twisted” sheaf to contain grading information about
19:"Proj" redirects here. For the cartographic conversion software, see
528:. As in the case of affine schemes it is quickly verified that the
6931:
then the degree-one elements form a finitely-generated module over
5961:-algebras (the definition of which is similar to the definition of
558:
377:
3363:{\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(n))}
2331:
For related information, and the classical Serre twist sheaf, see
2031:
for the above construction was the ability to form localizations
55:
3248:
we likewise expect it to contain lost grading information about
8514:. This can be described explicitly as the projective morphism
8436:
and construct global proj of this quotient sheaf of algebras
6229:
is a grading of this algebra as a ring. Here we assume that
3737:
are in fact linear homogeneous polynomials, generated by the
1281:(which is by definition a set of homogeneous prime ideals of
5898:
A generalization of the Proj construction replaces the ring
3551:{\displaystyle \mathbb {P} _{A}^{n}=\operatorname {Proj} A.}
2811:, we passed to fractions of degree zero. In the case Spec
2382:
itself with a different grading: namely, we let the degree
254:
if it is generated by homogeneous elements. Then, as a set,
20:
6804:
themselves follows from the quasi-coherence assumption on
2004:
4237:
766:{\textstyle \bigcup V(a_{i})=V\left(\prod a_{i}\right).}
46:, which produces objects with the typical properties of
4061:
has a canonical projective morphism to the affine line
7192:{\displaystyle \mathbf {Sym} _{O_{X}}({\mathcal {E}})}
4139:
708:
691:{\textstyle \bigcap V(a_{i})=V\left(\sum a_{i}\right)}
636:
8735:
8520:
8442:
8376:
8328:
8259:
8213:
8165:
8006:
7975:
7937:
7909:
7889:
7854:
7825:
7801:
7752:
7732:
7690:
7652:
7621:
7590:
7563:
7539:
7507:
7435:
7391:
7371:
7345:
7291:
7267:
7232:
7205:
7150:
7130:
7106:
7059:
7016:
6989:
6937:
6904:
6861:
6826:
6783:
6756:
6712:
6685:
6646:
6588:
6534:
6500:
6461:
6352:
6291:
6235:
6165:
6126:
6083:
6056:
6004:
5968:
5940:
5815:
5734:
5652:
5613:
5569:
5501:
5474:
5454:
5422:
5390:
5377:{\displaystyle S_{\bullet ,\bullet }\to S_{\bullet }}
5344:
5250:
5218:
5191:
5159:
5132:
4982:
4960:
4940:
4821:
4786:
4766:
4726:
4664:
4644:
4601:
4472:
4440:
4382:
4251:
4137:
4105:
4067:
3926:
3889:
3856:
3829:
3803:
3770:
3743:
3710:
3677:
3656:
3628:
3567:
3480:
3454:
3429:
3377:
3298:
3277:
3255:
3234:
3214:
3194:
3173:
3115:
3092:
3061:
3034:
3014:
2994:
2961:
2885:
2861:
2829:
2790:
2769:
2735:
2695:
2654:
2618:
2592:
2563:
2528:
2482:
2461:
2428:
2408:
2388:
2367:
2345:
2303:
2283:
2262:
2231:
2204:
2175:
2155:
2134:
2113:
2090:
2070:
2037:
2016:
1978:
1951:
1925:
1899:
1872:
1836:
1788:
1766:
1746:
1724:
1704:
1683:
1656:
1636:
1610:
1574:
1545:
1522:
1502:
1475:
1439:
1423:{\displaystyle f\colon U\to \bigcup _{p\in U}S_{(p)}}
1375:
1336:
1309:
1288:
1261:
1241:
1207:
1169:
1145:
1125:
1096:
1070:
1041:
1012:
983:
963:
943:
916:
887:
855:
784:
590:
567:
534:
514:
490:
419:
390:
348:
328:
260:
197:
173:
116:
92:
6156:-algebra and the resulting direct sum decomposition
5995:): that is, a sheaf with a direct sum decomposition
5600:{\displaystyle {\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })}
3764:
themselves. This suggests another interpretation of
1830:
It follows immediately from the definition that the
410:
by defining the closed sets to be those of the form
7325:{\displaystyle p:\mathbb {P} ({\mathcal {E}})\to X}
3671:, degree zero. Comparing this to the definition of
3292:
can in fact be reconstructed from these sheaves; as
1090:. The advantage of this approach is that the sets
8642:
8506:
8428:
8362:
8314:
8245:
8186:
8148:
7985:
7961:
7915:
7895:
7875:
7837:
7811:
7773:
7746:. In fact, every closed subscheme of a projective
7738:
7718:
7676:
7638:
7607:
7576:
7549:
7522:
7493:
7421:
7377:
7357:
7324:
7277:
7253:
7218:
7191:
7136:
7116:
7092:as the twisting sheaf on the Proj of a ring does.
7084:
7041:
7002:
6956:
6923:
6874:
6839:
6796:
6769:
6734:
6698:
6671:
6620:
6571:
6513:
6486:
6444:
6316:
6261:
6218:
6148:
6096:
6069:
6039:
5981:
5953:
5882:
5801:
5720:
5638:
5599:
5555:
5487:
5460:
5440:
5408:
5376:
5330:
5236:
5204:
5177:
5145:
5118:
4968:
4954:. Then, the tensor product of these algebras over
4946:
4926:
4799:
4772:
4752:
4712:
4650:
4630:
4570:
4458:
4426:
4360:
4218:
4123:
4087:
4053:
3912:
3862:
3842:
3815:
3789:
3756:
3729:
3696:
3662:
3641:
3614:
3550:
3460:
3435:
3383:
3362:
3283:
3261:
3240:
3220:
3200:
3179:
3155:
3098:
3078:
3047:
3020:
3000:
2980:
2944:
2867:
2846:
2819:, the global sections of the structure sheaf form
2803:
2775:
2754:
2714:
2673:
2640:
2604:
2578:
2549:
2514:
2467:
2446:
2414:
2394:
2373:
2351:
2315:
2289:
2268:
2243:
2217:
2190:
2161:
2140:
2119:
2096:
2076:
2056:
2022:
1993:
1964:
1937:
1911:
1885:
1858:
1817:
1772:
1752:
1730:
1710:
1698:of the same degree such that for each prime ideal
1689:
1668:
1642:
1622:
1593:
1560:
1528:
1508:
1488:
1458:
1422:
1358:
1322:
1294:
1273:
1247:
1219:
1181:
1151:
1131:
1111:
1082:
1056:
1027:
998:
969:
949:
925:
902:
873:
838:
765:
690:
622:
573:
549:
520:
496:
473:
402:
360:
334:
314:
242:
179:
151:
98:
8507:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}}}
7095:
7085:{\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}
7042:{\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}
6672:{\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}
6487:{\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}
6317:{\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}
6219:{\displaystyle S(U)=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}(U)}
2762:is that it recovers the algebraic information of
2277:is generated by finitely many elements of degree
1139:ranges over all homogeneous elements of the ring
163:decomposition associated with the gradation. The
8814:
7719:{\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {S}}_{1})}
6706:to be the map corresponding to the inclusion of
6572:{\displaystyle Y_{U}=\operatorname {Proj} S(U),}
7422:{\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}}(x))}
7285:is of finite type, then its canonical morphism
5556:{\displaystyle S_{k}=\bigoplus _{a+b=k}S_{a,b}}
3156:{\displaystyle N(n)=N\otimes {\mathcal {O}}(n)}
243:{\displaystyle S_{+}=\bigoplus _{i>0}S_{i}.}
7199:is naturally a quasi-coherent sheaf of graded
2326:
371:
8322:of degree k. We can consider the ideal sheaf
7677:{\displaystyle \mathbf {Proj} {\mathcal {S}}}
6679:. It is not hard to show that defining each
3850:are literally the coordinates for projective
16:Projective analogue of the spectrum of a ring
8187:{\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}
7969:such that when restricted to each of these,
7876:{\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}
7774:{\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}
7254:{\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}
5646:which are the tensor product of the sheaves
4581:
4209:
4197:
3878:
830:
800:
465:
435:
306:
273:
8791:, vol. 52, New York: Springer-Verlag,
7784:
7429:associated to the dual of the vector space
6455:This definition suggests that we construct
6040:{\displaystyle S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}}
4088:{\displaystyle \mathbb {A} _{\lambda }^{1}}
3797:, namely as the sheaf of “coordinates” for
2854:here form only the degree-zero elements of
2784:that was lost when, in the construction of
152:{\displaystyle S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}}
8777:
8688:
7962:{\displaystyle U=\operatorname {Spec} (A)}
6269:. We make the additional assumption that
3270:. This suggests, though erroneously, that
2104:. This property is also possessed by any
8619:
8531:
8273:
8222:
8198:
8167:
8128:
8108:
8008:
7856:
7754:
7692:
7393:
7299:
7234:
7053:(1) and serves much the same purpose for
5318:
5307:
5283:
5053:
5003:
4962:
4891:
4836:
4603:
4264:
4179:
4070:
3897:
3483:
8246:{\displaystyle X=\mathbb {P} _{s,t}^{1}}
6285:In this setup we may construct a scheme
6104:-module such that for every open subset
76:
8665:Algebraic geometry of projective spaces
7365:, the fiber of the above morphism over
4427:{\displaystyle f_{1}=0,\ldots ,f_{k}=0}
3418:Algebraic geometry of projective spaces
3370:however, this is true in the case that
2823:itself, whereas the global sections of
2005:The sheaf associated to a graded module
8815:
8363:{\displaystyle {\mathcal {I}}=(sf+tg)}
7124:be a quasi-coherent sheaf on a scheme
6621:{\displaystyle p_{U}\colon Y_{U}\to U}
4238:Projective hypersurfaces and varieties
3816:{\displaystyle \operatorname {Proj} S}
2605:{\displaystyle \operatorname {Proj} S}
2316:{\displaystyle \operatorname {Proj} S}
2244:{\displaystyle \operatorname {Proj} S}
1938:{\displaystyle \operatorname {Proj} S}
1912:{\displaystyle \operatorname {Proj} S}
1274:{\displaystyle \operatorname {Proj} S}
1220:{\displaystyle \operatorname {Proj} S}
1182:{\displaystyle \operatorname {Proj} S}
1083:{\displaystyle \operatorname {Proj} S}
403:{\displaystyle \operatorname {Proj} S}
361:{\displaystyle \operatorname {Proj} S}
8203:Global proj can be used to construct
6811:
4651:{\displaystyle \operatorname {Proj} }
3704:, above, we see that the sections of
3649:have degree one and every element of
3407:
1919:, and it may be shown that the pair (
630:are a family of ideals, then we have
8750:Publications Mathématiques de l'IHÉS
7557:is a quasi-coherent sheaf of graded
3208:is the sheaf associated to a graded
322:For brevity we will sometimes write
287: homogeneous prime ideal,
8315:{\displaystyle f,g\in \mathbb {C} }
5639:{\displaystyle {\mathcal {O}}(a,b)}
4631:{\displaystyle \mathbb {P} (1,1,2)}
3873:
3561:The grading on the polynomial ring
1192:
38:is a construction analogous to the
13:
8499:
8446:
8429:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
8380:
8331:
8176:
8017:
7978:
7865:
7804:
7763:
7702:
7669:
7639:{\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}
7625:
7608:{\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}
7594:
7542:
7457:
7438:
7402:
7308:
7270:
7243:
7181:
7144:. The sheaf of symmetric algebras
7109:
5704:
5670:
5616:
5416:element is considered as a degree
5244:. Then the proj construction gives
4934:with the degree of each generator
3773:
3713:
3680:
3337:
3139:
3079:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
3065:
2964:
2928:
2888:
2847:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
2833:
2738:
2698:
2657:
14:
8834:
8695:Foundations of Algebraic Geometry
8253:and take homogeneous polynomials
6820:has the additional property that
4810:
3790:{\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}
3730:{\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}
3697:{\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}
2981:{\displaystyle {\mathcal {O}}(n)}
2755:{\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}
2715:{\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}
2674:{\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}
7663:
7660:
7657:
7654:
7159:
7156:
7153:
7071:
7068:
7065:
7062:
7028:
7025:
7022:
7019:
6658:
6655:
6652:
6649:
6473:
6470:
6467:
6464:
6367:
6364:
6361:
6358:
6303:
6300:
6297:
6294:
5607:now comes with bigraded sheaves
4230:(which can be checked using the
3444:is a ring, we define projective
849:A common shorthand is to denote
623:{\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}
81:
23:. For the vector operation, see
6777:, while the consistency of the
6280:
1366:to be the set of all functions
8718:
8706:
8682:
8614:
8611:
8608:
8590:
8582:
8550:
8547:
8535:
8527:
8489:
8457:
8423:
8391:
8357:
8339:
8309:
8277:
8181:
8171:
8100:
8068:
8051:
8045:
8027:
8022:
8012:
7986:{\displaystyle {\mathcal {E}}}
7956:
7950:
7870:
7860:
7812:{\displaystyle {\mathcal {E}}}
7768:
7758:
7713:
7696:
7550:{\displaystyle {\mathcal {S}}}
7517:
7511:
7488:
7482:
7449:
7443:
7416:
7413:
7407:
7397:
7316:
7313:
7303:
7278:{\displaystyle {\mathcal {E}}}
7248:
7238:
7186:
7176:
7117:{\displaystyle {\mathcal {E}}}
7096:Proj of a quasi-coherent sheaf
7010:above; the resulting sheaf on
6882:(that is, when we pass to the
6729:
6723:
6612:
6563:
6557:
6436:
6433:
6427:
6421:
6407:
6401:
6383:
6378:
6353:
6213:
6207:
6175:
6169:
6143:
6137:
5917:
5893:
5877:
5864:
5856:
5853:
5834:
5796:
5783:
5775:
5772:
5753:
5715:
5709:
5681:
5675:
5633:
5621:
5594:
5575:
5435:
5423:
5403:
5391:
5361:
5311:
5303:
5275:
5256:
5231:
5219:
5172:
5160:
5109:
5057:
4921:
4895:
4866:
4840:
4707:
4668:
4625:
4607:
4556:
4523:
4512:
4479:
4453:
4441:
4350:
4308:
4300:
4268:
4168:
4154:
4035:
4031:
4016:
4013:
4001:
3979:
3968:
3949:
3913:{\displaystyle A=\mathbb {C} }
3907:
3901:
3784:
3778:
3724:
3718:
3691:
3685:
3609:
3577:
3542:
3510:
3357:
3354:
3348:
3325:
3150:
3144:
3125:
3119:
2975:
2969:
2939:
2933:
2899:
2893:
2749:
2743:
2729:One reason for the utility of
2709:
2703:
2668:
2662:
2635:
2629:
2570:
2544:
2538:
2441:
2429:
2182:
2049:
2043:
2001:is in fact an affine scheme).
1988:
1982:
1853:
1847:
1798:
1792:
1586:
1580:
1555:
1549:
1451:
1445:
1415:
1409:
1385:
1353:
1347:
1106:
1100:
1051:
1045:
1022:
1016:
993:
987:
897:
891:
868:
859:
794:
788:
728:
715:
656:
643:
605:
591:
544:
538:
429:
423:
191:of elements of positive degree
54:. The construction, while not
1:
8789:Graduate Texts in Mathematics
8675:
2515:{\displaystyle M_{d}=S_{d+1}}
7726:and is then projective over
5488:{\displaystyle S_{\bullet }}
4969:{\displaystyle \mathbb {C} }
4124:{\displaystyle \lambda =0,1}
2586:as a quasicoherent sheaf on
2579:{\displaystyle {\tilde {M}}}
2191:{\displaystyle {\tilde {M}}}
1623:{\displaystyle V\subseteq U}
1604:There exists an open subset
7:
8653:
6262:{\displaystyle S_{0}=O_{X}}
4753:{\displaystyle X_{0},X_{1}}
3883:If we let the base ring be
3622:is defined by letting each
2327:The twisting sheaf of Serre
1466:denotes the subring of the
372:Proj as a topological space
58:, is a fundamental tool in
10:
8839:
7788:
6494:by first defining schemes
4976:gives the bigraded algebra
4593:Weighted projective spaces
4585:
4228:smooth morphism of schemes
3415:
2330:
2009:The essential property of
557:form the closed sets of a
18:
7923:. Indeed, if we take an
7684:is a closed subscheme of
4588:Weighted projective space
4582:Weighted projective space
3879:Proj over the affine line
2689:. It can be checked that
1650:and homogeneous elements
7819:is locally free of rank
7795:As a special case, when
7785:Projective space bundles
7646:is of finite type, then
7385:is the projective space
6735:{\displaystyle O_{X}(U)}
6149:{\displaystyle O_{X}(U)}
5563:In addition, the scheme
5448:element. This means the
4370:Fermat quintic threefold
2641:{\displaystyle O_{X}(1)}
1859:{\displaystyle O_{X}(U)}
1818:{\displaystyle f(q)=s/t}
1359:{\displaystyle O_{X}(U)}
698:and if the indexing set
8737:Grothendieck, Alexandre
7791:Projective space bundle
7584:-modules, generated by
6957:{\displaystyle O_{X,x}}
6924:{\displaystyle O_{X,x}}
6324:and a “projection” map
3398:global sections functor
2057:{\displaystyle S_{(p)}}
1594:{\displaystyle S_{(p)}}
1459:{\displaystyle S_{(p)}}
8644:
8508:
8430:
8364:
8316:
8247:
8199:Example of Global Proj
8188:
8150:
7987:
7963:
7917:
7903:of relative dimension
7897:
7877:
7839:
7813:
7775:
7740:
7720:
7678:
7640:
7609:
7578:
7551:
7524:
7495:
7423:
7379:
7359:
7358:{\displaystyle x\in X}
7326:
7279:
7255:
7220:
7193:
7138:
7118:
7086:
7043:
7004:
6958:
6925:
6876:
6851:and locally generates
6841:
6798:
6771:
6736:
6700:
6673:
6640:which we define to be
6622:
6573:
6515:
6488:
6446:
6318:
6263:
6220:
6150:
6098:
6071:
6041:
5983:
5955:
5884:
5803:
5722:
5640:
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