4081:
3327:
4076:{\displaystyle {\begin{array}{lclcl}()&&&=&\emptyset \\&&&&\\(1)&=&()\rightarrow 1&=&\{\{()\},\{(),1\}\}\\&&&=&\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\\&&&&\\(1,2)&=&(1)\rightarrow 2&=&\{\{(1)\},\{(1),2\}\}\\&&&=&\{\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\},\\&&&&\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\},2\}\}\\&&&&\\(1,2,3)&=&(1,2)\rightarrow 3&=&\{\{(1,2)\},\{(1,2),3\}\}\\&&&=&\{\{\{\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\},\\&&&&\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\},2\}\}\},\\&&&&\{\{\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\},\\&&&&\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\},2\}\},3\}\}\\\end{array}}}
5711:
5643:
1568:
3016:
2440:
4361:
4517:
1254:
2829:
2253:
2646:
607:
1704:
1845:
1149:
2062:
1476:
1334:
1397:
492:
3233:
4971:
4762:
3295:
2840:
2264:
2845:
2269:
4244:
1037:
5164:
4376:
3150:
4598:
1163:
757:
689:
2659:
2083:
884:
822:
220:, featuring unordered elements accessed by label. A few programming languages combine ordered tuple product types and unordered record types into a single construct, as in
3315:
1445:
3056:
2467:
1881:
961:
1721:, which is a certain set of ordered pairs. Indeed, many authors use graphs as the definition of a function. Using this definition of "function", the above function
2484:
3079:
1739:
1468:
981:
928:
499:
1579:
1747:
1052:
1919:
1563:{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}1\;&\mapsto &&\;a_{1}\\\;&\;\;\vdots &&\;\\n\;&\mapsto &&\;a_{n}\\\end{alignedat}}}
1268:
6175:
1342:
267:
The term originated as an abstraction of the sequence: single, couple/double, triple, quadruple, quintuple, sextuple, septuple, octuple, ...,
1481:
381:
3155:
5326:
5363:
4773:
213:
4606:
3011:{\displaystyle {\begin{aligned}(1,2,3)&=(((\emptyset ,1),2),3)\\(1,2,3,4)&=((((\emptyset ,1),2),3),4)\\\end{aligned}}}
2435:{\displaystyle {\begin{aligned}(1,2,3)&=(1,(2,(3,\emptyset )))\\(1,2,3,4)&=(1,(2,(3,(4,\emptyset ))))\\\end{aligned}}}
6340:
5628:
5611:
5541:
3238:
5864:
5677:
4541:
of a type theory, and use the Scott brackets to indicate the semantic interpretation, then the model consists of some sets
4356:{\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}):{\mathsf {T}}_{1}\times {\mathsf {T}}_{2}\times \ldots \times {\mathsf {T}}_{n}}
5202:
4537:
The notion of a tuple in type theory and that in set theory are related in the following way: If we consider the natural
6192:
986:
5589:
5561:
5494:
5412:
5375:
4120:-tuples arise in the context of various counting problems and are treated more informally as ordered lists of length
4512:{\displaystyle \pi _{1}(x):{\mathsf {T}}_{1},~\pi _{2}(x):{\mathsf {T}}_{2},~\ldots ,~\pi _{n}(x):{\mathsf {T}}_{n}}
4995:
1249:{\displaystyle \operatorname {domain} F=\left\{1,\ldots ,n\right\}=\left\{i\in \mathbb {N} :1\leq i\leq n\right\}}
931:
6170:
5764:
5407:. Oxford guidelines quick reference (3 ed.). Oxford: Oxford University Press (published 2016). p. 342.
3090:
221:
53:
6050:
6330:
4544:
248:
6335:
5944:
5823:
5603:
2824:{\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})=((\ldots (((\emptyset ,a_{1}),a_{2}),a_{3}),\ldots ),a_{n})}
2248:{\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})=(a_{1},(a_{2},(a_{3},(\ldots ,(a_{n},\emptyset )\ldots ))))}
6187:
4531:
4196:
694:
626:
138:
denotes a 5-tuple. Other types of brackets are sometimes used, although they may have a different meaning.
1044:
6180:
5818:
5781:
902:
There are several definitions of tuples that give them the properties described in the previous section.
827:
765:
3027:
5835:
5869:
5754:
5742:
5737:
4527:
217:
17:
6325:
5670:
5486:
4367:
4144:
3300:
1405:
6289:
6207:
6082:
6034:
5848:
5771:
3332:
112:
5510:
3041:
2452:
1866:
6241:
6122:
5934:
5747:
5567:
5217:
197:
150:
937:
6157:
6127:
6071:
5991:
5971:
5949:
5425:
ordered n-tuple A generalization of the notion of an ordered pair to sequences of n objects.
4238:; this fixes not only the length, but also the underlying types of each component. Formally:
2641:{\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})=((a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n-1}),a_{n})}
46:
5478:
6345:
6231:
6221:
6055:
5986:
5939:
5879:
5759:
5271:
5263:
5255:
4231:
4103:
1155:
162:
8:
6226:
6137:
6045:
6040:
5854:
5796:
5727:
5663:
5571:
5479:
1718:
1040:
602:{\displaystyle a_{1}=b_{1},{\text{ }}a_{2}=b_{2},{\text{ }}\ldots ,{\text{ }}a_{n}=b_{n}}
225:
205:
166:
81:
1699:{\displaystyle \left(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\right)=\left(F(1),F(2),\dots ,F(n)\right)}
6149:
6144:
5929:
5884:
5791:
5619:
5232:
5192:
4111:
3064:
1724:
1453:
966:
913:
240:
1840:{\displaystyle F~:=~\left\{\left(1,a_{1}\right),\ldots ,\left(n,a_{n}\right)\right\}.}
1144:{\displaystyle F~:~\left\{1,\ldots ,n\right\}~\to ~\left\{a_{1},\ldots ,a_{n}\right\}}
6006:
5843:
5806:
5776:
5700:
5624:
5607:
5585:
5557:
5537:
5490:
5408:
5371:
5267:
5187:
2057:{\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})=(a_{1},(a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}))}
614:
52:"Sextuple" redirects here. For the sporting achievement of association football, see
6294:
6284:
6269:
6264:
6132:
5786:
4523:
209:
193:
146:
1859:. This approach assumes that the notion of ordered pair has already been defined.
6163:
6101:
5919:
5732:
5580:
5402:
5398:
5197:
4171:
6299:
6096:
6077:
5981:
5966:
5923:
5859:
5801:
5308:
5251:
2445:
A variant of this definition starts "peeling off" elements from the other end:
494:
354:
347:
320:
229:
158:
5575:
4600:(note: the use of italics here that distinguishes sets from types) such that:
1329:{\displaystyle \operatorname {codomain} F=\left\{a_{1},\ldots ,a_{n}\right\},}
6319:
6304:
6106:
6020:
6015:
5595:
5208:
4107:
39:
6274:
5647:
6254:
6249:
6067:
5996:
5954:
5813:
5710:
5549:
4538:
4235:
4221:
1856:
346:
as in "triple" (three-fold) or "decuple" (tenâfold). This originates from
244:
201:
170:
116:
6279:
5914:
4227:
4181:
252:
61:
5642:
1392:{\displaystyle i\in \operatorname {domain} F=\left\{1,\ldots ,n\right\}}
6259:
6030:
5686:
5259:
5227:
3031:
487:{\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})}
324:
256:
130:
Tuples are usually written by listing the elements within parentheses "
5344:
216:. Many programming languages offer an alternative to tuples, known as
6062:
6025:
5976:
5874:
5170:
5516:
5222:
3038:
The 0-tuple (i.e. the empty tuple) is represented by the empty set
3030:, the second definition above can be reformulated in terms of pure
1863:
The 0-tuple (i.e. the empty tuple) is represented by the empty set
1260:
890:
332:
328:
69:
3228:{\displaystyle x\rightarrow b\equiv (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},b)}
5584:, Elsevier Studies in Logic Vol. 67, 2nd Edition, revised, 1973,
4530:. Both of these types can be defined as simple extensions of the
316:
104:
6087:
5909:
5284:
621:
A tuple may contain multiple instances of the same element, so
77:
32:
1899:, can be defined as an ordered pair of its first entry and an
5719:
5655:
5182:
274:
45:"Duodecuple" redirects here. For the musical technique, see
5620:
Lecture Notes in Logic and Set Theory. Volume 2: Set Theory
4983:-tuple of type theory has the natural interpretation as an
4966:{\displaystyle \!]\in \!],~\!]\in \!],~\ldots ,~\!]\in \!]}
1855:
Another way of modeling tuples in Set Theory is as nested
889:
A tuple has a finite number of elements, while a set or a
4757:{\displaystyle \!]=S_{1},~\!]=S_{2},~\ldots ,~\!]=S_{n}}
277:
names of the numerals. The unique 0-tuple is called the
613:
Thus a tuple has properties that distinguish it from a
3290:{\displaystyle x\rightarrow b\equiv \{\{x\},\{x,b\}\}}
357:âÏλοῊÏ, which replaced the classical and late antique
177:-tuple can be identified with the ordered pair of its
4998:
4776:
4609:
4547:
4379:
4247:
3330:
3303:
3241:
3158:
3093:
3067:
3044:
2843:
2662:
2487:
2455:
2267:
2086:
1922:
1869:
1750:
1727:
1582:
1479:
1456:
1408:
1345:
1271:
1166:
1055:
989:
969:
940:
916:
830:
768:
697:
629:
502:
384:
165:. Tuples may be also defined from ordered pairs by a
273:âtuple, ..., where the prefixes are taken from the
5345:"Does JavaScript Guarantee Object Property Order?"
5274:has its own convention for the different brackets.
5158:
4965:
4756:
4592:
4511:
4355:
4075:
3309:
3289:
3227:
3144:
3073:
3050:
3010:
2823:
2640:
2461:
2434:
2247:
2069:This definition can be applied recursively to the
2056:
1907:-tuple (which contains the remaining entries when
1875:
1839:
1733:
1698:
1562:
1462:
1439:
1391:
1328:
1248:
1143:
1031:
975:
955:
922:
878:
816:
751:
683:
601:
486:
5148:
5131:
5115:
5098:
5088:
5071:
5057:
5002:
4959:
4938:
4928:
4911:
4889:
4868:
4858:
4841:
4828:
4807:
4797:
4780:
4737:
4716:
4681:
4660:
4634:
4613:
1850:
6317:
5534:Mathematical Thinking/Problem-Solving and Proofs
5531:
5464:
5452:
1032:{\displaystyle \left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}
111:. A 1-tuple and a 2-tuple are commonly called a
3028:Kuratowski's representation for an ordered pair
4767:and the interpretation of the basic terms is:
5671:
5443:"triple", "quadruple", "quintuple", "decuple"
5159:{\displaystyle \!]=(\,\!],\!],\ldots ,\!]\,)}
1717:Functions are commonly identified with their
5532:D'Angelo, John P.; West, Douglas B. (2000),
5368:The Concise Oxford Dictionary of Linguistics
5173:has as semantic interpretation the 0-tuple.
4522:The tuple with labeled elements used in the
4066:
4063:
4054:
4051:
4042:
4039:
4027:
4021:
4015:
4012:
4009:
3995:
3992:
3989:
3977:
3971:
3965:
3962:
3959:
3956:
3953:
3939:
3936:
3933:
3924:
3921:
3909:
3903:
3897:
3894:
3891:
3877:
3874:
3871:
3859:
3853:
3847:
3844:
3841:
3838:
3835:
3832:
3817:
3814:
3790:
3784:
3766:
3763:
3693:
3690:
3681:
3678:
3666:
3660:
3654:
3651:
3648:
3634:
3631:
3628:
3616:
3610:
3604:
3601:
3598:
3595:
3580:
3577:
3559:
3553:
3541:
3538:
3480:
3477:
3465:
3459:
3453:
3450:
3435:
3432:
3417:
3411:
3402:
3399:
3284:
3281:
3269:
3263:
3257:
3254:
2653:This definition can be applied recursively:
873:
855:
849:
831:
746:
728:
722:
698:
323:can be represented as a 2âtuple of reals, a
38:"Octuple" redirects here. For the boat, see
5512:From sets, to types, to categories, to sets
4212:. Tuples are elements of this product set.
3145:{\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}
5678:
5664:
5470:
1545:
1534:
1526:
1519:
1518:
1513:
1498:
1487:
5397:
5152:
5067:
4593:{\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots ,S_{n}}
4132:-tuples whose entries come from a set of
1219:
369:The general rule for the identity of two
5361:
4189:, this number is the cardinality of the
3021:
893:may have an infinite number of elements.
331:can be represented as an 8âtuple, and a
196:, tuples come in many forms. Most typed
134:" and separated by commas; for example,
107:. There is only one 0-tuple, called the
342:as the suffix, the original suffix was
200:languages implement tuples directly as
14:
6318:
5476:
4945:
4875:
4814:
4723:
4667:
4620:
4498:
4447:
4405:
4342:
4319:
4302:
4170:. This follows from the combinatorial
905:
145:-tuple can be formally defined as the
5659:
5362:Matthews, P. H., ed. (January 2007).
4148:and, in some non-English literature,
4086:
752:{\displaystyle \{1,2,2,3\}=\{1,2,3\}}
684:{\displaystyle (1,2,2,3)\neq (1,2,3)}
5623:, Cambridge University Press, 2003,
5600:Introduction to Axiomatic Set Theory
3317:, could be read as "adjoined with".)
361:(meaning "folded"), as in "duplex".
327:can be represented as a 4âtuple, an
5404:The Oxford Dictionary of Philosophy
5309:"Algebraic data type - HaskellWiki"
879:{\displaystyle \{1,2,3\}=\{3,2,1\}}
817:{\displaystyle (1,2,3)\neq (3,2,1)}
24:
5556:. Springer Verlag, 2nd ed., 1993,
4030:
4018:
3980:
3968:
3912:
3900:
3862:
3850:
3669:
3657:
3619:
3607:
3468:
3456:
3350:
3045:
2965:
2885:
2745:
2456:
2413:
2327:
2224:
1870:
762:Tuple elements are ordered: tuple
335:can be represented as a 16âtuple.
25:
6357:
5635:
5709:
5641:
5581:Foundations of school Set Theory
930:-tuple may be identified as the
5536:(2nd ed.), Prentice-Hall,
5503:
5481:Types and Programming Languages
5458:
1713:Tuples as sets of ordered pairs
54:Sextuple (association football)
27:Finite ordered list of elements
5685:
5446:
5430:
5391:
5355:
5337:
5319:
5301:
5277:
5245:
5153:
5149:
5145:
5132:
5128:
5116:
5112:
5099:
5095:
5089:
5085:
5072:
5068:
5064:
5058:
5054:
5051:
5006:
5003:
4999:
4960:
4956:
4939:
4935:
4929:
4925:
4912:
4908:
4890:
4886:
4869:
4865:
4859:
4855:
4842:
4838:
4829:
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385:
249:Resource Description Framework
13:
1:
5646:The dictionary definition of
5294:
2449:The 0-tuple is the empty set
364:
6341:Basic concepts in set theory
5203:Multidimensional Expressions
4532:simply typed lambda calculus
4140:arrangements with repetition
3310:{\displaystyle \rightarrow }
1573:in which case the equality
1440:{\displaystyle F(i):=a_{i}.}
1039:may be identified with the (
353:(meaning "more") related to
301:, and a 3âtuple is called a
262:
228:may formally identify their
7:
5401:(1994). "ordered n-tuple".
5370:. Oxford University Press.
5287:, from the Greek for -fold.
5176:
1470:is the function defined by
10:
6362:
6176:von NeumannâBernaysâGödel
5525:
5327:"Destructuring assignment"
4219:
4150:variations with repetition
4145:permutations of a multiset
3051:{\displaystyle \emptyset }
2462:{\displaystyle \emptyset }
1876:{\displaystyle \emptyset }
338:Although these uses treat
293:), a 2âtuple is called an
204:, tightly associated with
31:For the musical term, see
29:
6240:
6203:
6115:
6005:
5977:One-to-one correspondence
5893:
5834:
5718:
5707:
5693:
5477:Pierce, Benjamin (2002).
5283:Compare the etymology of
4138:elements are also called
123:is occasionally used for
119:, respectively. The term
5465:D'Angelo & West 2000
5453:D'Angelo & West 2000
5238:
956:{\displaystyle n\geq 1,}
285:. A 1âtuple is called a
214:destructuring assignment
153:that has the set of the
4370:are term constructors:
315:can be any nonnegative
243:; when programming the
185:first elements and its
84:, which are called the
5935:Constructible universe
5755:Constructibility (V=L)
5568:Abraham Adolf Fraenkel
5485:. MIT Press. pp.
5218:Relation (mathematics)
5160:
4989:-tuple of set theory:
4967:
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753:
685:
603:
488:
198:functional programming
6331:Mathematical notation
6158:Principia Mathematica
5992:Transfinite induction
5851:(i.e. set difference)
5617:George J. Tourlakis,
5161:
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4514:
4358:
4232:programming languages
4078:
3321:In this formulation:
3312:
3297:. (The right arrow,
3292:
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3147:
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3022:Tuples as nested sets
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239:Tuples also occur in
224:and Haskell records.
47:Twelve-tone technique
6336:Sequences and series
6232:Burali-Forti paradox
5987:Set-builder notation
5940:Continuum hypothesis
5880:Symmetric difference
5272:programming language
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226:Relational databases
206:algebraic data types
125:"infinite sequences"
82:mathematical objects
80:or, more generally,
6193:TarskiâGrothendieck
5572:Yehoshua Bar-Hillel
4230:, commonly used in
4180:is a finite set of
2834:Thus, for example:
2258:Thus, for example:
1741:can be defined as:
1709:necessarily holds.
1339:that is defined at
906:Tuples as functions
5782:Limitation of size
5193:Exponential object
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484:
241:relational algebra
103:is a non-negative
88:of the tuple. An
6313:
6312:
6222:Russell's paradox
6171:ZermeloâFraenkel
6072:Dedekind-infinite
5945:Diagonal argument
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5701:Set (mathematics)
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532:
319:. For example, a
16:(Redirected from
6353:
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6270:Abraham Fraenkel
6265:Richard Dedekind
6227:Suslin's problem
6138:Cantor's theorem
5855:De Morgan's laws
5713:
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5334:
5333:. 18 April 2023.
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