3168:
3738:
3038:
2084:
1631:
2889:
2620:
3095:
560:
2923:
766:, then by definition any two bases have the same cardinality. For example, nonzero commutative rings have invariant basis number. The cardinality of any (and therefore every) basis is called the
1908:
632:
458:
2483:
1150:
2444:
1325:
2136:
1977:
1098:
1455:
2235:
2786:
2335:
1716:
2650:
2510:
1794:
2717:
866:
247:
3336:
1969:
3399:
3499:
2371:
1362:
3479:
3362:
3132:
2278:
2202:
2169:
1846:
1007:
3453:
3426:
1938:
1485:
706:
659:
1027:
3295:
2672:
1541:
946:
902:
788:
760:
726:
679:
396:
374:
354:
334:
314:
290:
267:
221:
198:
178:
2801:
2518:
3262:
3167:
1211:
735:
An immediate consequence of the second half of the definition is that the coefficients in the first half are unique for each element of
3669:
3245:
3046:
463:
3033:{\displaystyle \operatorname {Hom} _{\textbf {Set}}(E,U(N))\simeq \operatorname {Hom} _{R}(R^{(E)},N),\,f\mapsto {\overline {f}}}
3574:
17:
1218:
3966:
1368:
is viewed as say a left module) that consists of the elements that have only finitely many nonzero components. One can
1854:
3772:
3722:
3622:
3547:
565:
405:
2449:
2079:{\displaystyle \delta _{e}(x)={\begin{cases}1_{R}\quad {\mbox{if }}x=e\\0_{R}\quad {\mbox{if }}x\neq e\end{cases}}}
1110:
2397:
1275:
2096:
3662:
1052:
3603:
839:
is free if and only if it is a principal ideal generated by a nonzerodivisor, with a generator being a basis.
1411:
2207:
1225:, which asks whether a Whitehead group is free or not. As it turns out, the problem is independent of ZFC.
3757:
3598:
2746:
2295:
1332:
1153:
824:
is a free module of rank one over itself (either as a left or right module); any unit element is a basis.
1650:
3215:
293:
47:
3655:
2720:
2628:
2488:
1489:
2008:
3692:
1743:
2683:
849:
226:
3900:
3895:
3875:
3593:
3300:
1947:
3367:
3961:
3885:
3880:
3860:
1804:
1196:
1173:
843:
763:
3612:
3484:
2344:
3890:
3870:
3865:
3458:
3341:
3104:
2740:
2250:
2174:
2141:
1818:
1337:
1259:
1188:
963:
3632:
3584:
3557:
3431:
3404:
1916:
1463:
1207:
684:
637:
399:
201:
51:
39:
3640:
1626:{\displaystyle R^{(E)}=\{f:E\to R\mid f(x)=0{\text{ for all but finitely many }}x\in E\}.}
1191:
of free modules is free, while an infinite cartesian product of free modules is generally
1012:
8:
3767:
3762:
3155:
2392:
67:
3481:, there is only one basis element which must be a nonzerodivisor. The converse is clear.
2884:{\displaystyle R^{(-)}:{\textbf {Set}}\to R{\text{-}}{\mathsf {Mod}},\,E\mapsto R^{(E)}}
2615:{\displaystyle {\overline {f}}\left(\sum _{e\in E}r_{e}e\right)=\sum _{e\in E}r_{e}f(e)}
1636:
We equip it with a structure of a left module such that the addition is defined by: for
3941:
3782:
3737:
3529:
3280:
3220:
2657:
2338:
922:
878:
773:
745:
711:
664:
381:
359:
339:
319:
299:
275:
252:
206:
183:
163:
158:
136:
59:
3617:. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 8. Cambridge University Press.
3777:
3618:
3570:
3543:
3205:
3200:
3147:
3098:
1222:
78:
3707:
3636:
3225:
3146:
Many statements true for free modules extend to certain larger classes of modules.
2896:
1177:
71:
3752:
3697:
3628:
3580:
3553:
3210:
3158:
form an even broader class. For a finitely generated module over a PID (such as
3154:
are defined by the property that tensoring with them preserves exact sequences.
2090:
1214:
states a projective module over a (possibly non-commutative) local ring is free.
3834:
3819:
3955:
3824:
3183:
63:
3844:
3809:
3702:
3179:
3162:), the properties free, projective, flat, and torsion-free are equivalent.
3135:
2906:
55:
3929:
3569:. Mathematics in science and engineering. Vol. 116. Academic Press.
3195:
3151:
31:
3524:
This article incorporates material from free vector space over a set on
3924:
3804:
3525:
3175:
1203:
3905:
3814:
3727:
3678:
2238:
1369:
3829:
3792:
3717:
3542:. University Mathematical Texts. Oliver and Boyd. pp. 65–66.
3839:
2793:
146:
3090:{\displaystyle U:R{\text{-}}{\mathsf {Mod}}\to {\textbf {Set}}}
790:. If this cardinality is finite, the free module is said to be
1399:) and all the other components are zero. Then each element of
555:{\displaystyle r_{1}e_{1}+r_{2}e_{2}+\cdots +r_{n}e_{n}=0_{M}}
3796:
2736:
3647:
1502:
A similar argument shows that every free left (resp. right)
2072:
1524:
may also be constructed in the following equivalent way.
2054:
2023:
1340:
3487:
3461:
3434:
3407:
3370:
3344:
3303:
3283:
3107:
3049:
2926:
2804:
2749:
2686:
2660:
2631:
2521:
2491:
2452:
2400:
2347:
2298:
2253:
2210:
2177:
2144:
2099:
1980:
1950:
1919:
1857:
1821:
1746:
1653:
1544:
1466:
1414:
1278:
1113:
1055:
1015:
966:
925:
881:
852:
776:
748:
714:
687:
667:
640:
568:
466:
408:
384:
362:
342:
322:
302:
278:
255:
229:
209:
186:
166:
3401:
must have the unique linear combination in terms of
2341:
in the following sense. Given an arbitrary function
1221:
in the set-theoretic sense. A famous example is the
1506:-module is isomorphic to a direct sum of copies of
3493:
3473:
3447:
3420:
3393:
3356:
3330:
3289:
3126:
3089:
3032:
2883:
2780:
2711:
2666:
2644:
2614:
2504:
2477:
2438:
2365:
2329:
2272:
2229:
2196:
2163:
2130:
2078:
1963:
1932:
1902:
1840:
1788:
1710:
1625:
1479:
1449:
1356:
1319:
1144:
1092:
1021:
1001:
940:
896:
860:
782:
754:
720:
700:
673:
653:
626:
554:
452:
390:
368:
348:
328:
308:
284:
261:
241:
215:
192:
172:
3953:
3530:Creative Commons Attribution/Share-Alike License
2730:As usual for universal properties, this defines
1903:{\displaystyle f=\sum _{e\in E}c_{e}\delta _{e}}
2909:and satisfies a natural relation: for each set
1944:and only finitely many of them are nonzero and
1202:A finitely generated module over a commutative
627:{\displaystyle r_{1}=r_{2}=\cdots =r_{n}=0_{R}}
453:{\displaystyle \{e_{1},\dots ,e_{n}\}\subset E}
3567:An Introduction to Group Representation Theory
3247:An Introduction to Group Representation Theory
1217:Sometimes, whether a module is free or not is
3663:
2478:{\displaystyle f={\overline {f}}\circ \iota }
1229:
1145:{\displaystyle R^{n}=R\times \cdots \times R}
948:be a polynomial ring over a commutative ring
3325:
3304:
2439:{\displaystyle {\overline {f}}:R^{(E)}\to N}
2125:
2100:
1617:
1564:
1320:{\displaystyle R^{(E)}=\bigoplus _{e\in E}R}
441:
409:
3670:
3656:
3260:
2131:{\displaystyle \{\delta _{e}\mid e\in E\}}
908:is a free module with a possible basis 1,
74:case), then there exist non-free modules.
3610:
3509:
3013:
2858:
854:
139:is precisely a free module over the ring
27:In mathematics, a module that has a basis
2247:and this basis. Through this bijection,
1093:{\displaystyle 1,\xi ,\dots ,\xi ^{d-1}}
868:), a submodule of a free module is free.
732:A free module is a module with a basis.
3591:
3537:
1513:
1331:Explicitly, it is the submodule of the
14:
3954:
3264:Encyclopaedia of Mathematics, Volume 4
3150:are direct summands of free modules.
3072:
3069:
3066:
2850:
2847:
2844:
1721:and the scalar multiplication by: for
1381:as a subset by identifying an element
3651:
3564:
3243:
2287:
1605: for all but finitely many
1450:{\displaystyle \sum _{e\in E}c_{e}e,}
2230:{\displaystyle e\mapsto \delta _{e}}
875:is commutative, the polynomial ring
3082:
2933:
2826:
2781:{\displaystyle \iota :E\to R^{(E)}}
2330:{\displaystyle \iota :E\to R^{(E)}}
2093:). The above means that the subset
316:; that is to say, every element of
24:
3141:
1711:{\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}
25:
3978:
3455:, which is not true. Thus, since
1395:-th component is 1 (the unity of
3736:
3166:
2280:is a free module with the basis
831:is commutative, a nonzero ideal
2676:The uniqueness means that each
2645:{\displaystyle {\overline {f}}}
2505:{\displaystyle {\overline {f}}}
2052:
2021:
1045:as a subring and is free as an
336:is a finite sum of elements of
3528:, which is licensed under the
3503:
3318:
3271:
3254:
3237:
3119:
3113:
3077:
3017:
3007:
2996:
2990:
2982:
2963:
2960:
2954:
2942:
2876:
2870:
2862:
2831:
2816:
2810:
2773:
2767:
2759:
2719:is uniquely determined by its
2703:
2698:
2692:
2609:
2603:
2430:
2425:
2419:
2357:
2322:
2316:
2308:
2265:
2259:
2214:
2189:
2183:
2156:
2150:
1997:
1991:
1833:
1827:
1783:
1777:
1765:
1759:
1756:
1747:
1705:
1699:
1690:
1684:
1675:
1669:
1666:
1654:
1594:
1588:
1576:
1556:
1550:
1510:as left (resp. right) module.
1290:
1284:
996:
990:
982:
976:
935:
929:
891:
885:
356:multiplied by coefficients in
58:is a free module, but, if the
13:
1:
3677:
3518:
1789:{\displaystyle (rf)(x)=rf(x)}
1206:is free if and only if it is
1103:For any non-negative integer
956:a monic polynomial of degree
152:
62:of the coefficients is not a
3611:Matsumura, Hideyuki (1986).
3540:Elementary Rings and Modules
3025:
2712:{\displaystyle R^{(E)}\to N}
2637:
2527:
2497:
2464:
2406:
1487:are nonzero. It is called a
861:{\displaystyle \mathbb {Z} }
242:{\displaystyle E\subseteq M}
7:
3599:Encyclopedia of Mathematics
3331:{\displaystyle \{x_{j}|j\}}
3189:
2905:-modules. It is called the
2512:is defined by the formula:
1964:{\displaystyle \delta _{e}}
1848:can be written uniquely as
1405:can be written uniquely as
808:
801:if the rank is known to be
10:
3983:
3394:{\displaystyle x_{j}x_{k}}
3138:of the forgetful functor.
2652:is said to be obtained by
2089:(this is a variant of the
1230:Formal linear combinations
3967:Free algebraic structures
3938:
3917:
3853:
3791:
3745:
3734:
3685:
3538:Adamson, Iain T. (1972).
1490:formal linear combination
1460:where only finitely many
3592:Govorov, V. E. (2001) ,
3494:{\displaystyle \square }
3231:
2899:to the category of left
2743:. Also the formation of
2391:, there exists a unique
2366:{\displaystyle f:E\to N}
1535:, first as a set we let
1357:{\textstyle \prod _{E}R}
1258:as a basis: namely, the
3614:Commutative ring theory
3474:{\displaystyle I\neq 0}
3357:{\displaystyle j\neq k}
3127:{\displaystyle R^{(-)}}
2273:{\displaystyle R^{(E)}}
2197:{\displaystyle R^{(E)}}
2164:{\displaystyle R^{(E)}}
1841:{\displaystyle R^{(E)}}
1002:{\displaystyle B=A/(f)}
708:is the zero element of
661:is the zero element of
3495:
3475:
3449:
3422:
3395:
3358:
3332:
3291:
3216:Quillen–Suslin theorem
3128:
3091:
3034:
2885:
2782:
2713:
2668:
2646:
2616:
2506:
2479:
2440:
2367:
2331:
2292:The inclusion mapping
2274:
2231:
2198:
2165:
2132:
2080:
1965:
1934:
1904:
1842:
1790:
1712:
1627:
1481:
1451:
1358:
1321:
1174:invariant basis number
1146:
1094:
1023:
1003:
942:
898:
862:
844:principal ideal domain
784:
764:invariant basis number
756:
722:
702:
675:
655:
628:
556:
460:of distinct elements,
454:
392:
370:
350:
330:
310:
286:
263:
243:
217:
194:
174:
104:, which is called the
3496:
3476:
3450:
3448:{\displaystyle x_{k}}
3423:
3421:{\displaystyle x_{j}}
3396:
3359:
3333:
3297:is free with a basis
3292:
3129:
3092:
3035:
2886:
2783:
2741:canonical isomorphism
2714:
2669:
2647:
2617:
2507:
2480:
2441:
2368:
2332:
2275:
2232:
2199:
2166:
2133:
2081:
1966:
1935:
1933:{\displaystyle c_{e}}
1905:
1843:
1791:
1713:
1628:
1482:
1480:{\displaystyle c_{e}}
1452:
1359:
1322:
1168:-module, is free. If
1147:
1095:
1049:-module with a basis
1024:
1004:
943:
899:
863:
785:
757:
723:
703:
701:{\displaystyle 0_{R}}
676:
656:
654:{\displaystyle 0_{M}}
629:
557:
455:
393:
371:
351:
331:
311:
287:
264:
244:
218:
195:
175:
18:Rank of a free module
3854:Dimensions by number
3485:
3459:
3432:
3405:
3368:
3342:
3301:
3281:
3156:Torsion-free modules
3105:
3047:
2924:
2802:
2747:
2684:
2658:
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