3747:
2945:
7064:
3742:{\displaystyle {\begin{aligned}R(M,x)&={\frac {x'A'Ax}{x'x}}\\&={\frac {{\Bigl (}\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}v_{j}{\Bigr )}'\left(A'A\right){\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}v_{i}{\Bigr )}}{{\Bigl (}\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}v_{j}{\Bigr )}'{\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}v_{i}{\Bigr )}}}\\&={\frac {{\Bigl (}\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}v_{j}{\Bigr )}'{\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}(A'A)v_{i}{\Bigr )}}{{\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}{v_{i}}'{v_{i}}{\Bigr )}}}\\&={\frac {{\Bigl (}\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}v_{j}{\Bigr )}'{\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\lambda _{i}v_{i}{\Bigr )}}{{\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}\|{v_{i}}\|^{2}{\Bigr )}}}\end{aligned}}}
6174:
7059:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\langle {y,Ly}\rangle }{\langle {y,y}\rangle }}&={\frac {\left\{\int _{a}^{b}y(x)\left(-{\frac {d}{dx}}\left\right)dx\right\}+\left\{\int _{a}^{b}{q(x)y(x)^{2}}\,dx\right\}}{\int _{a}^{b}{w(x)y(x)^{2}}\,dx}}\\&={\frac {\left\{\left.-y(x)\left\right|_{a}^{b}\right\}+\left\{\int _{a}^{b}y'(x)\left\,dx\right\}+\left\{\int _{a}^{b}{q(x)y(x)^{2}}\,dx\right\}}{\int _{a}^{b}w(x)y(x)^{2}\,dx}}\\&={\frac {\left\{\left.-p(x)y(x)y'(x)\right|_{a}^{b}\right\}+\left\{\int _{a}^{b}\left\,dx\right\}}{\int _{a}^{b}{w(x)y(x)^{2}}\,dx}}.\end{aligned}}}
2641:
2199:
2233:
4121:
5328:
1869:
5135:
2636:{\displaystyle {\begin{aligned}&Mv_{i}=\lambda _{i}v_{i}\\\Rightarrow {}&v_{j}'Mv_{i}=v_{j}'\lambda _{i}v_{i}\\\Rightarrow {}&\left(Mv_{j}\right)'v_{i}=\lambda _{j}v_{j}'v_{i}\\\Rightarrow {}&\lambda _{j}v_{j}'v_{i}=\lambda _{i}v_{j}'v_{i}\\\Rightarrow {}&\left(\lambda _{j}-\lambda _{i}\right)v_{j}'v_{i}=0\\\Rightarrow {}&v_{j}'v_{i}=0\end{aligned}}}
3756:
2194:{\displaystyle {\begin{aligned}&Mv_{i}=A'Av_{i}=\lambda _{i}v_{i}\\\Rightarrow {}&v_{i}'A'Av_{i}=v_{i}'\lambda _{i}v_{i}\\\Rightarrow {}&\left\|Av_{i}\right\|^{2}=\lambda _{i}\left\|v_{i}\right\|^{2}\\\Rightarrow {}&\lambda _{i}={\frac {\left\|Av_{i}\right\|^{2}}{\left\|v_{i}\right\|^{2}}}\geq 0.\end{aligned}}}
6163:
5323:{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d{\mathcal {L}}(x)}{dx}}=0\\\Rightarrow {}&2x^{\mathsf {T}}M-2\lambda x^{\mathsf {T}}=0\\\Rightarrow {}&2Mx-2\lambda x=0{\text{ (taking the transpose of both sides and noting that }}M{\text{ is Hermitian)}}\\\Rightarrow {}&Mx=\lambda x\end{aligned}}}
4116:{\displaystyle {\begin{aligned}R(M,x)&={\frac {\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}\lambda _{i}}{\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}}}\\&=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}{\frac {(x'v_{i})^{2}}{(x'x)(v_{i}'v_{i})^{2}}}\\&=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}{\frac {(x'v_{i})^{2}}{(x'x)}}\end{aligned}}}
5463:
2893:
5908:
1219:
4808:
1485:
5077:
5333:
5891:
5764:
7435:
2763:
1056:
4613:
4338:
7175:
6179:
5140:
3761:
2950:
2238:
1874:
2758:
5577:
1027:
536:
180:
4397:
481:
4445:
4928:
7281:
1265:
5511:
4988:
4983:
1405:
1397:
4865:
1612:
6158:{\displaystyle {\frac {\langle {y,Ly}\rangle }{\langle {y,y}\rangle }}={\frac {\int _{a}^{b}y(x)\left(-{\frac {d}{dx}}\left+q(x)y(x)\right)dx}{\int _{a}^{b}{w(x)y(x)^{2}}dx}}.}
5130:
4485:
1333:
589:
354:
987:
5601:
301:
4518:
1864:
1674:
7220:
5773:
620:
429:
5097:
1766:
4588:
1814:
1707:
242:
7311:
4544:
4228:
1647:
677:
5628:
4170:
2940:
2691:
2228:
1558:
214:
1511:
4251:
5531:
4608:
4271:
4193:
4143:
2913:
2664:
1834:
1789:
1738:
1531:
1353:
1285:
1047:
900:
874:
848:
826:
804:
779:
757:
720:
698:
641:
401:
379:
322:
101:
77:
7343:
2646:
To now establish that the
Rayleigh quotient is maximized by the eigenvector with the largest eigenvalue, consider decomposing an arbitrary vector
1402:
The fact that the quotient is a weighted average of the eigenvalues can be used to identify the second, the third, ... largest eigenvalues. Let
5458:{\displaystyle \therefore R(M,x)={\frac {x^{\mathsf {T}}Mx}{x^{\mathsf {T}}x}}=\lambda {\frac {x^{\mathsf {T}}x}{x^{\mathsf {T}}x}}=\lambda .}
7605:
7482:
7093:
2696:
877:
to be non-Hermitian. However, if we restrict the field of scalars to the real numbers, then the
Rayleigh quotient only determines the
4125:
The last representation establishes that the
Rayleigh quotient is the sum of the squared cosines of the angles formed by the vector
107:
4874:
1769:
735:
4280:
5536:
1836:
has non-negative eigenvalues, and orthogonal (or orthogonalisable) eigenvectors, which can be demonstrated as follows.
992:
2888:{\displaystyle \alpha _{i}={\frac {x'v_{i}}{v_{i}'v_{i}}}={\frac {\langle x,v_{i}\rangle }{\left\|v_{i}\right\|^{2}}}}
1214:{\displaystyle R(M,x)={x^{*}Mx \over x^{*}x}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}y_{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}}}}
7563:
7538:
486:
4803:{\displaystyle R(M,cx)={\frac {(cx)^{*}Mcx}{(cx)^{*}cx}}={\frac {c^{*}c}{c^{*}c}}{\frac {x^{*}Mx}{x^{*}x}}=R(M,x).}
6167:
This is sometimes presented in an equivalent form, obtained by separating the integral in the numerator and using
4343:
564:. When the matrix is Hermitian, the numerical radius is equal to the spectral norm. Still in functional analysis,
438:
4405:
561:
5604:
852:
1480:{\displaystyle \lambda _{\max }=\lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \cdots \geq \lambda _{n}=\lambda _{\min }}
1359:
in the eigenbasis. It is then easy to verify that the bounds are attained at the corresponding eigenvectors
7225:
4868:
1224:
7606:
Kernel-based Data Fusion for
Machine Learning: Methods and Applications in Bioinformatics and Text Mining
7457:. In quantum mechanics, this quantity is called a "matrix element" or sometimes a "transition amplitude".
5470:
4933:
1362:
550:
4815:
1563:
5619:
5102:
4454:
1049:. This is immediate after observing that the Rayleigh quotient is a weighted average of eigenvalues of
1290:
567:
332:
7580:
7472:
921:
5582:
247:
4490:
4451:, which always attains its maximum at one of the corners of the domain. A maximum point will have
1842:
1652:
7622:
7180:
2643:
if the eigenvalues are different – in the case of multiplicity, the basis can be orthogonalized.
598:
7314:
407:
7528:
5082:
5608:
4564:
1679:
7286:
5072:{\displaystyle {\mathcal {L}}(x)=x^{\mathsf {T}}Mx-\lambda \left(x^{\mathsf {T}}x-1\right),}
4523:
4198:
1617:
647:
329:. It can be shown that, for a given matrix, the Rayleigh quotient reaches its minimum value
7487:
6168:
4558:
4274:
4148:
2918:
2669:
2206:
1536:
556:
The range of the
Rayleigh quotient (for any matrix, not necessarily Hermitian) is called a
546:
192:
8:
5894:
5767:
4549:
Thus, the
Rayleigh quotient is maximized by the eigenvector with the largest eigenvalue.
1743:
1490:
187:
182:
For real matrices and vectors, the condition of being
Hermitian reduces to that of being
4233:
1794:
222:
5516:
4593:
4256:
4178:
4128:
2898:
2649:
1819:
1774:
1723:
1516:
1338:
1270:
1032:
885:
859:
833:
811:
789:
764:
742:
705:
683:
626:
386:
364:
307:
86:
62:
7559:
7534:
5533:
are the critical points of the
Rayleigh quotient and their corresponding eigenvalues
1718:
731:
80:
5886:{\displaystyle \langle {y_{1},y_{2}}\rangle =\int _{a}^{b}w(x)y_{1}(x)y_{2}(x)\,dx}
878:
326:
183:
57:
30:
7477:
7467:
5623:
592:
557:
542:
4448:
3750:
5759:{\displaystyle L(y)={\frac {1}{w(x)}}\left(-{\frac {d}{dx}}\left+q(x)y\right)}
7616:
7514:
7510:
553:) to obtain an eigenvalue approximation from an eigenvector approximation.
7177:
The generalized
Rayleigh quotient can be reduced to the Rayleigh Quotient
7588:
Mathematics 5102 Linear
Mathematics in Infinite Dimensions, lecture notes
432:
20:
4561:. The first part is to show that the quotient is constant under scaling
807:, then the resulting Rayleigh quotient map (considered as a function of
7430:{\displaystyle R(H;x,y):={\frac {y^{*}Hx}{\sqrt {y^{*}y\cdot x^{*}x}}}}
4812:
Because of this invariance, it is sufficient to study the special case
357:
217:
5279: (taking the transpose of both sides and noting that
622:-algebras or algebraic quantum mechanics, the function that to
4557:
Alternatively, this result can be arrived at by the method of
4546:(when the eigenvalues are ordered by decreasing magnitude).
6807:
6494:
545:
to get exact values of all eigenvalues. It is also used in
48:
39:
7603:
Shi Yu, Léon-Charles Tranchevent, Bart Moor, Yves Moreau,
4552:
1029:
are respectively the smallest and largest eigenvalues of
325:. Recall that a Hermitian (or real symmetric) matrix is
4333:{\textstyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}\lambda _{i}}
4985:
In other words, it is to find the critical points of
4346:
4283:
1712:
7346:
7289:
7228:
7183:
7170:{\displaystyle R(A,B;x):={\frac {x^{*}Ax}{x^{*}Bx}}.}
7096:
6177:
5911:
5776:
5631:
5585:
5539:
5519:
5473:
5336:
5138:
5105:
5085:
4991:
4936:
4877:
4818:
4616:
4596:
4567:
4526:
4493:
4457:
4408:
4259:
4236:
4201:
4181:
4151:
4131:
3759:
2948:
2921:
2901:
2766:
2699:
2672:
2652:
2236:
2209:
1872:
1845:
1822:
1797:
1777:
1746:
1726:
1682:
1655:
1620:
1566:
1539:
1519:
1493:
1408:
1365:
1341:
1293:
1273:
1227:
1059:
1035:
995:
924:
888:
862:
836:
814:
792:
767:
745:
708:
686:
650:
629:
601:
570:
489:
441:
410:
389:
367:
335:
310:
250:
225:
195:
110:
89:
65:
7332:) of non-zero vectors, and a given Hermitian matrix
723:
varying through the algebra would be referred to as
45:
36:
5099:is a Lagrange multiplier. The stationary points of
33:
7429:
7305:
7275:
7214:
7169:
7058:
6157:
5885:
5758:
5595:
5571:
5525:
5505:
5457:
5322:
5124:
5091:
5071:
4977:
4922:
4859:
4802:
4602:
4582:
4538:
4512:
4479:
4439:
4391:
4332:
4265:
4245:
4222:
4187:
4164:
4137:
4115:
3741:
2934:
2907:
2887:
2753:{\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}v_{i},}
2752:
2685:
2658:
2635:
2222:
2193:
1858:
1828:
1808:
1783:
1760:
1732:
1701:
1668:
1641:
1606:
1552:
1525:
1505:
1479:
1391:
1347:
1327:
1279:
1259:
1213:
1041:
1021:
981:
894:
868:
842:
820:
798:
773:
751:
714:
692:
671:
635:
614:
583:
530:
475:
423:
395:
373:
348:
316:
295:
236:
208:
174:
95:
71:
5572:{\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}
3727:
3659:
3650:
3592:
3581:
3532:
3509:
3437:
3428:
3363:
3352:
3303:
3280:
3232:
3221:
3172:
3163:
3115:
3083:
3034:
1022:{\displaystyle \lambda _{\min },\lambda _{\max }}
7614:
7533:. Cambridge University Press. pp. 176–180.
5614:
1472:
1414:
1384:
1371:
1014:
1001:
969:
956:
738:of the observable corresponding to the operator
576:
523:
507:
468:
416:
341:
531:{\displaystyle R(M,v_{\max })=\lambda _{\max }}
914:As stated in the introduction, for any vector
175:{\displaystyle R(M,x)={x^{*}Mx \over x^{*}x}.}
4392:{\textstyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}=1}
855:; indeed, this remains true even if we allow
6221:
6207:
6202:
6185:
5951:
5937:
5932:
5915:
5805:
5777:
4944:
4937:
4826:
4819:
3716:
3700:
2854:
2835:
7526:
7082:) of matrices, and a given non-zero vector
1487:be the eigenvalues in decreasing order. If
1287:-th eigenpair after orthonormalization and
476:{\displaystyle R(M,x)\leq \lambda _{\max }}
42:
7483:Rayleigh's quotient in vibrations analysis
7317:of the Hermitian positive-definite matrix
4440:{\displaystyle \beta _{i}=\alpha _{i}^{2}}
7558:. Classics in Applied Mathematics. SIAM.
7039:
6977:
6778:
6718:
6650:
6465:
6403:
5876:
4923:{\displaystyle R(M,x)=x^{\mathsf {T}}Mx,}
4172:, weighted by corresponding eigenvalues.
1816:. Being a positive semi-definite matrix,
906:
327:diagonalizable with only real eigenvalues
5905:. In this case the Rayleigh quotient is
7553:
5893:of functions satisfying some specified
4273:, so the problem can be reduced to the
644:associates the Rayleigh–Ritz quotient
7615:
7578:
5434:
5417:
5390:
5370:
5227:
5203:
5046:
5017:
4905:
4553:Formulation using Lagrange multipliers
7276:{\displaystyle D=C^{-1}A{C^{*}}^{-1}}
760:for a system whose state is given by
541:The Rayleigh quotient is used in the
7527:Horn, R. A.; Johnson, C. A. (1985).
4230:, then any non-zero scalar multiple
1260:{\displaystyle (\lambda _{i},v_{i})}
5506:{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
4978:{\displaystyle \|x\|^{2}=x^{T}x=1.}
1713:Special case of covariance matrices
1533:is constrained to be orthogonal to
1392:{\displaystyle v_{\min },v_{\max }}
13:
7597:
7068:
5588:
5152:
5108:
4994:
4867:. The problem is then to find the
4860:{\displaystyle \|x\|^{2}=x^{T}x=1}
1740:can be represented as the product
1607:{\displaystyle y_{1}=v_{1}^{*}x=0}
734:, the Rayleigh quotient gives the
14:
7634:
5603:. This property is the basis for
5125:{\displaystyle {\mathcal {L}}(x)}
4480:{\displaystyle \alpha _{1}=\pm 1}
2666:on the basis of the eigenvectors
7556:The Symmetric Eigenvalue Problem
2203:Secondly, that the eigenvectors
1791:pre-multiplied by its transpose
1328:{\displaystyle y_{i}=v_{i}^{*}x}
584:{\displaystyle \lambda _{\max }}
349:{\displaystyle \lambda _{\min }}
29:
16:Construct for Hermitian matrices
2230:are orthogonal to one another:
982:{\displaystyle R(M,x)\in \left}
7572:
7547:
7520:
7499:
7368:
7350:
7209:
7187:
7118:
7100:
7029:
7022:
7016:
7010:
6963:
6956:
6950:
6944:
6929:
6922:
6911:
6905:
6851:
6845:
6834:
6828:
6822:
6816:
6769:
6762:
6756:
6750:
6708:
6701:
6695:
6689:
6642:
6636:
6625:
6619:
6608:
6602:
6543:
6537:
6526:
6520:
6509:
6503:
6455:
6448:
6442:
6436:
6393:
6386:
6380:
6374:
6323:
6317:
6306:
6300:
6266:
6260:
6133:
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5705:
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3767:
3753:of the eigenvectors, becomes:
3413:
3399:
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2956:
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2860:
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2075:
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2032:
2023:
1942:
1839:Firstly, that the eigenvalues
1636:
1624:
1254:
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1063:
940:
928:
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654:
512:
493:
457:
445:
296:{\displaystyle R(M,cx)=R(M,x)}
290:
278:
269:
254:
126:
114:
1:
7493:
7338:generalized Rayleigh quotient
7088:generalized Rayleigh quotient
5615:Use in Sturm–Liouville theory
5605:principal components analysis
5579:are the stationary values of
4513:{\displaystyle \alpha _{i}=0}
785:If we fix the complex matrix
7590:. The Ohio State University.
5467:Therefore, the eigenvectors
2915:orthogonally projected onto
1859:{\displaystyle \lambda _{i}}
1669:{\displaystyle \lambda _{2}}
7:
7461:
7222:through the transformation
7215:{\displaystyle R(D,C^{*}x)}
5622:concerns the action of the
551:Rayleigh quotient iteration
10:
7639:
7579:Costin, Rodica D. (2013).
4930:subject to the constraint
4340:under the constraint that
615:{\displaystyle C^{\star }}
7473:Courant minimax principle
1676:, which is achieved when
424:{\displaystyle v_{\min }}
7609:, Ch. 2, Springer, 2011.
5092:{\displaystyle \lambda }
829:) completely determines
303:for any non-zero scalar
7554:Parlett, B. N. (1998).
4583:{\displaystyle x\to cx}
1702:{\displaystyle x=v_{2}}
7431:
7315:Cholesky decomposition
7307:
7306:{\displaystyle CC^{*}}
7277:
7216:
7171:
7060:
6159:
5887:
5760:
5620:Sturm–Liouville theory
5597:
5573:
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5507:
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4604:
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4539:{\displaystyle i>1}
4514:
4481:
4447:. This then becomes a
4441:
4393:
4367:
4334:
4304:
4267:
4247:
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3328:
3257:
3197:
3140:
3059:
2942:. Therefore, we have:
2936:
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375:
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318:
297:
238:
210:
176:
97:
73:
56:) for a given complex
7437:which coincides with
7432:
7308:
7278:
7217:
7172:
7061:
6160:
5888:
5761:
5609:canonical correlation
5598:
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4167:
4165:{\displaystyle v_{i}}
4145:and each eigenvector
4140:
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2935:{\displaystyle v_{i}}
2910:
2895:is the coordinate of
2890:
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2686:{\displaystyle v_{i}}
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1024:
984:
907:Bounds for Hermitian
897:
871:
853:polarization identity
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547:eigenvalue algorithms
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177:
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7488:Dirichlet eigenvalue
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599:
595:. In the context of
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7507:Rayleigh–Ritz ratio
7340:can be defined as:
7005:
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5895:boundary conditions
5825:
5768:inner product space
5287: is Hermitian)
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1961:
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1594:
1506:{\displaystyle n=2}
1321:
1207:
1169:
431:(the corresponding
188:conjugate transpose
7505:Also known as the
7427:
7324:For a given pair (
7303:
7273:
7212:
7167:
7074:For a given pair (
7056:
7054:
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1829:{\displaystyle M}
1784:{\displaystyle A}
1733:{\displaystyle M}
1719:covariance matrix
1526:{\displaystyle x}
1355:th coordinate of
1348:{\displaystyle i}
1280:{\displaystyle i}
1209:
1116:
1042:{\displaystyle M}
895:{\displaystyle M}
869:{\displaystyle M}
843:{\displaystyle M}
821:{\displaystyle x}
799:{\displaystyle M}
774:{\displaystyle x}
752:{\displaystyle M}
736:expectation value
732:quantum mechanics
715:{\displaystyle M}
693:{\displaystyle x}
636:{\displaystyle M}
560:and contains its
396:{\displaystyle x}
374:{\displaystyle M}
317:{\displaystyle c}
167:
96:{\displaystyle x}
72:{\displaystyle M}
25:Rayleigh quotient
7630:
7592:
7591:
7585:
7576:
7570:
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6536:
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