2524:
2697:
4430:
2209:
3577:
2538:
3193:
4190:
3713:
3302:
372:
586:
3928:
2519:{\displaystyle {\begin{aligned}m_{\sqrt{a}}(x)&={\sqrt{a}}\cdot (a_{0}+a_{1}{\sqrt{a}}+a_{2}{\sqrt{a^{2}}}+\cdots +a_{p-1}{\sqrt{a^{p-1}}})\\&=a_{0}{\sqrt{a}}+a_{1}{\sqrt{a^{2}}}+a_{2}{\sqrt{a^{3}}}+\cdots +a_{p-1}a\end{aligned}}}
3439:
2692:{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0&a\\1&0&\cdots &0&0\\0&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&0\end{bmatrix}}}
992:
2822:
840:
1121:
1198:
3031:
4734:
3382:
4162:
2025:
4058:
4425:{\displaystyle {\begin{aligned}N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3})/\mathbb {Q} }({\sqrt {2}})&=N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} }({\sqrt {2}})^{}\\&=(-2)^{2}\\&=4\end{aligned}}}
671:
2101:
4195:
2214:
928:
1962:
1895:
1850:
1807:
1484:
4651:
3799:
3596:
4596:
1261:
3204:
1552:
143:
276:
189:
879:
754:
4091:
4833:
4532:
2129:
1591:
4778:
1753:
1715:
1659:
1625:
1417:
1050:
463:
4473:
2919:
2897:
1517:
1387:
1310:
1014:
1919:
1685:
1360:
718:
4860:
2201:
4950:
4182:
3853:
3572:{\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha \beta )=\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )\operatorname {N} _{L/K}(\beta ){\text{ for all }}\alpha ,\beta \in L^{*}.}
1336:
4802:
4559:
4493:
2169:
2149:
1288:
936:
691:
2712:
762:
3188:{\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha )=\alpha \cdot \alpha ^{q}\cdot \alpha ^{q^{2}}\cdots \alpha ^{q^{n-1}}=\alpha ^{(q^{n}-1)/(q-1)}.}
1058:
1129:
4662:
3308:
4099:
1974:
3952:
5107:
5238:
5212:
5190:
631:
2056:
887:
1924:
1857:
1812:
1769:
1425:
4601:
3729:
3708:{\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a\alpha )=a^{}\operatorname {N} _{L/K}(\alpha ){\text{ for all }}\alpha \in L.}
5164:
442:
5256:
4564:
3297:{\displaystyle \forall \alpha \in L,\quad \operatorname {N} _{L/K}(\alpha ^{q})=\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )}
1225:
367:{\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha )=\prod _{\sigma \in \operatorname {Gal} (L/K)}\sigma (\alpha ),}
1522:
109:
5204:
4874:
is again an integer, because it is equal (up to sign) to the constant term of the characteristic polynomial.
149:
17:
848:
723:
4066:
606:
60:
4807:
4506:
5156:
2106:
1560:
36:
4745:
581:{\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha )=\left(\prod _{j=1}^{n}\sigma _{j}(\alpha )\right)^{}}
1728:
1690:
1634:
1600:
1392:
1026:
4441:
2902:
2880:
1500:
1365:
1293:
997:
4878:
1900:
1666:
1341:
699:
4838:
3923:{\displaystyle \operatorname {N} _{M/K}=\operatorname {N} _{L/K}\circ \operatorname {N} _{M/L}.}
2177:
4539:
1220:
4920:
4167:
236:
200:
2530:
2035:
1760:
1205:
1020:
5222:
5174:
987:{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {a}})=\mathbb {Q} \oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {a}}}
8:
5144:
4882:
1315:
602:
67:
52:
5149:
4787:
4544:
4478:
3422:
2154:
2134:
1273:
676:
82:
5234:
5208:
5186:
5160:
5002:
4871:
5155:, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 20 (Second ed.),
5116:
2817:{\displaystyle N_{\mathbb {Q} ({\sqrt{a}})/\mathbb {Q} }({\sqrt{a}})=(-1)^{p-1}a=a.}
835:{\displaystyle {\sqrt {a}}\cdot (x+y\cdot {\sqrt {a}})=y\cdot a+x\cdot {\sqrt {a}}.}
5218:
5170:
4899:
4535:
3018:
3002:
263:
251:
4968:
4436:
4094:
3943:
3939:
3809:
2976:
2050:
626:
623:
402:
63:
4986:
2833:
5250:
1116:{\displaystyle m_{\sqrt {a}}={\begin{bmatrix}0&a\\1&0\end{bmatrix}}}
605:, then each root appears only once in the product (though the exponent, the
4903:
2980:
2874:
2837:
1491:
1267:
386:
204:
85:
1193:{\displaystyle N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q} }({\sqrt {a}})=-a}
5014:
4953:
2703:
2031:
1756:
1722:
1201:
232:
28:
5019:
4957:
4729:{\displaystyle N_{\mathbb {Q} (\zeta _{3})/\mathbb {Q} }(\zeta _{3})=1}
3392:
Several properties of the norm function hold for any finite extension.
3377:{\displaystyle \forall a\in K,\quad \operatorname {N} _{L/K}(a)=a^{n}.}
5024:
4157:{\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3}),K=\mathbb {Q} }
453:(roots listed with multiplicity and lying in some extension field of
397:. (Note that there may be a repetition in the terms of the product.)
2020:{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\1&1\end{bmatrix}}.}
4053:{\displaystyle N_{L/K}(\alpha )=N_{K(\alpha )/K}(\alpha )^{}}
3942:
can be reduced to an easier computation if the degree of the
39:, which maps elements of a larger field into a subfield.
5207:, vol. 158 (Second ed.), Springer, Chapter 8,
1809:(corresponding to the first basis element, i.e., 1) to
2547:
1983:
1933:
1866:
1821:
1778:
1082:
896:
666:{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q} }
4923:
4841:
4810:
4790:
4748:
4665:
4604:
4567:
4547:
4509:
4481:
4444:
4193:
4170:
4102:
4069:
3955:
3856:
3732:
3599:
3442:
3311:
3207:
3034:
2905:
2883:
2715:
2541:
2212:
2180:
2157:
2137:
2109:
2096:{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt{a}})/\mathbb {Q} }
2059:
1977:
1927:
1903:
1860:
1815:
1772:
1731:
1693:
1669:
1637:
1603:
1563:
1525:
1503:
1428:
1395:
1368:
1344:
1318:
1296:
1276:
1228:
1132:
1061:
1029:
1000:
939:
890:
851:
765:
726:
702:
679:
634:
466:
279:
152:
112:
3803:
3198:In this setting we have the additional properties,
923:{\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},}
5148:
4944:
4854:
4827:
4796:
4772:
4728:
4645:
4590:
4553:
4526:
4487:
4467:
4424:
4176:
4156:
4085:
4052:
3922:
3793:
3707:
3571:
3376:
3296:
3187:
2913:
2891:
2816:
2691:
2518:
2195:
2163:
2143:
2123:
2095:
2019:
1957:{\displaystyle {\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}}
1956:
1913:
1897:(corresponding to the second basis element, i.e.,
1890:{\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}
1889:
1845:{\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}
1844:
1802:{\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}
1801:
1747:
1709:
1679:
1653:
1619:
1585:
1546:
1511:
1479:{\displaystyle (1+{\sqrt {2}})(1-{\sqrt {2}})=-1.}
1478:
1411:
1381:
1354:
1330:
1304:
1282:
1255:
1192:
1115:
1044:
1008:
986:
922:
873:
834:
748:
712:
685:
665:
580:
366:
183:
137:
4646:{\displaystyle N_{K/\mathbb {Q} }(\alpha )=\pm 1}
3794:{\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a)=a^{}.}
2827:
5248:
5142:
5066:
1490:The field norm can also be obtained without the
622:One of the basic examples of norms comes from
5180:
5078:
4591:{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {O}}_{K}}
2041:
617:
1580:
1564:
1338:and is generated by the element which sends
1256:{\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}
2049:Another easy class of examples comes from
933:since there is a direct sum decomposition
5181:Mullen, Gary L.; Panario, Daniel (2013),
4698:
4672:
4619:
4354:
4320:
4295:
4272:
4240:
4204:
4150:
4110:
3831:is just the composition of the norm from
3387:
2907:
2885:
2750:
2722:
2117:
2089:
2061:
1547:{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}
1527:
1505:
1298:
1236:
1162:
1139:
1002:
970:
962:
941:
659:
636:
3933:
138:{\displaystyle m_{\alpha }\colon L\to L}
5109:Introduction to Algebraic Number Theory
3938:The norm of an element in an arbitrary
3808:Additionally, the norm behaves well in
184:{\displaystyle m_{\alpha }(x)=\alpha x}
14:
5249:
5228:
5054:
5042:
4917:) is the number of residue classes in
5198:
5090:
5036:
4952: – i.e. the cardinality of this
4885:. This is done in such a way that if
4865:
4498:
3395:
5101:
5099:
874:{\displaystyle x+y\cdot {\sqrt {a}}}
749:{\displaystyle x+y\cdot {\sqrt {a}}}
42:
5060:
4086:{\displaystyle \alpha ={\sqrt {2}}}
35:is a particular mapping defined in
24:
5105:
4828:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
4814:
4577:
4527:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
4513:
3900:
3879:
3858:
3734:
3659:
3601:
3510:
3480:
3444:
3329:
3312:
3265:
3225:
3208:
3036:
1597:Then multiplication by the number
468:
281:
25:
5268:
5096:
3804:Composition with field extensions
3425:from the multiplicative group of
2124:{\displaystyle a\in \mathbb {Q} }
2103:where the prime factorization of
1586:{\displaystyle \{1,{\sqrt {2}}\}}
881:can be represented by the vector
4773:{\displaystyle \zeta _{3}^{3}=1}
2962:
1214:
696:Then, the multiplication map by
609:, may still be greater than 1).
3429:to the multiplicative group of
3327:
3223:
5084:
5072:
5048:
4960:is always a positive integer.
4717:
4704:
4689:
4676:
4631:
4625:
4462:
4456:
4396:
4386:
4371:
4368:
4358:
4347:
4324:
4316:
4312:
4301:
4286:
4276:
4256:
4246:
4231:
4208:
4137:
4114:
4045:
4042:
4036:
4024:
4020:
4013:
4000:
3994:
3980:
3974:
3783:
3771:
3760:
3754:
3685:
3679:
3653:
3641:
3630:
3621:
3536:
3530:
3506:
3500:
3473:
3464:
3355:
3349:
3291:
3285:
3258:
3245:
3177:
3165:
3157:
3138:
3062:
3056:
2932:and taking the product yields
2828:Complex numbers over the reals
2787:
2777:
2771:
2756:
2741:
2726:
2385:
2265:
2240:
2234:
2080:
2065:
1541:
1531:
1464:
1448:
1445:
1429:
1250:
1240:
1178:
1168:
1153:
1143:
955:
945:
798:
776:
650:
640:
573:
570:
564:
552:
543:
537:
494:
488:
358:
352:
344:
330:
307:
301:
254:, one may compute the norm of
169:
163:
129:
13:
1:
5205:Graduate Texts in Mathematics
5136:
1748:{\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}
1710:{\displaystyle 2+{\sqrt {2}}}
1654:{\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}
1620:{\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}
1412:{\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}
1045:{\displaystyle m_{\sqrt {a}}}
5115:. p. 15. Archived from
5067:Lidl & Niederreiter 1997
4468:{\displaystyle L/K(\alpha )}
2914:{\displaystyle \mathbb {R} }
2892:{\displaystyle \mathbb {C} }
1512:{\displaystyle \mathbb {Q} }
1382:{\displaystyle -{\sqrt {2}}}
1305:{\displaystyle \mathbb {Q} }
1009:{\displaystyle \mathbb {Q} }
7:
5008:
4881:one defines also norms for
1914:{\displaystyle {\sqrt {2}}}
1680:{\displaystyle {\sqrt {2}}}
1355:{\displaystyle {\sqrt {2}}}
713:{\displaystyle {\sqrt {a}}}
612:
10:
5273:
5229:Rotman, Joseph J. (2002),
5157:Cambridge University Press
4855:{\displaystyle \zeta _{3}}
3017:is the product of all the
2196:{\displaystyle {\sqrt{a}}}
2174:The multiplication map by
693:is a square-free integer.
618:Quadratic field extensions
262:as the product of all the
5183:Handbook of Finite Fields
5079:Mullen & Panario 2013
4598:is a unit if and only if
3946:is already known. This is
3819:is a finite extension of
2045:-th root field extensions
5030:
4435:since the degree of the
2925:the identity element and
2832:The field norm from the
5257:Algebraic number theory
5231:Advanced Modern Algebra
4945:{\displaystyle O_{K}/I}
4879:algebraic number theory
4804:whose ring of integers
4784:Thus, any number field
4177:{\displaystyle \alpha }
1763:which sends the vector
5199:Roman, Steven (2006),
4946:
4889:is a nonzero ideal of
4856:
4829:
4798:
4774:
4730:
4647:
4592:
4555:
4540:algebraic number field
4528:
4489:
4469:
4433:
4426:
4178:
4158:
4087:
4061:
4054:
3924:
3795:
3709:
3573:
3388:Properties of the norm
3378:
3298:
3189:
2915:
2893:
2818:
2700:
2693:
2527:
2520:
2197:
2165:
2145:
2125:
2097:
2021:
1958:
1915:
1891:
1846:
1803:
1749:
1711:
1681:
1655:
1621:
1587:
1548:
1513:
1480:
1413:
1383:
1356:
1332:
1306:
1284:
1257:
1194:
1117:
1046:
1010:
988:
924:
875:
836:
750:
714:
687:
667:
582:
526:
441:) be the roots of the
368:
185:
139:
4947:
4857:
4830:
4799:
4775:
4731:
4648:
4593:
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4529:
4490:
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