3458:
3468:
1222:
1411:
877:
1761:
980:
1233:
1556:
245:
150:
703:
333:
661:
1567:
1217:{\displaystyle V_{2}(E;M,\Gamma ,k,\sigma )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {k}{(E'^{2}-M^{2})^{2}+(M\Gamma )^{2}}}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(E'-E)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}dE'.}
950:
666:
The resulting probability distribution is proportional to the absolute square of the amplitude, so then the above relativistic Breit–Wigner distribution for the probability density function.
1406:{\displaystyle t={\frac {E-E'}{{\sqrt {2}}\sigma }},\quad u_{1}={\frac {E-M}{{\sqrt {2}}\sigma }},\quad u_{2}={\frac {E+M}{{\sqrt {2}}\sigma }},\quad a={\frac {k\pi }{2\sigma ^{2}}},}
434:, so that a plot of the production rate of the unstable particle as a function of energy traces out the shape of the relativistic Breit–Wigner distribution. Note that for values of
1422:
697:. The distribution is the solution of the differential equation for the amplitude squared w.r.t. the energy energy (frequency), in such a classical forced oscillator,
1790:
165:
2116:
872:{\displaystyle f'({\text{E}})\left(\left({\text{E}}^{2}-M^{2}\right)^{2}+\Gamma ^{2}M^{2}\right)-4{\text{E}}f({\text{E}})(M-{\text{E}})({\text{E}}+M)=0,}
45:
250:
587:
2245:
1756:{\displaystyle H_{2}(a,u_{1},u_{2})={\frac {a}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}}}{(u_{1}-t)^{2}(u_{2}-t)^{2}+a^{2}}}dt.}
3471:
966:
In experiment, the incident beam that produces resonance always has some spread of energy around a central value. Usually, that is a
2636:
3423:
3289:
2501:
2260:
2109:
2056:. Olver, Frank W. J., 1924-, National Institute of Standards and Technology (U.S.). Cambridge: Cambridge University Press. 2010.
3184:
2948:
2622:
2061:
577:
carried by that particle in the tree
Feynman diagram involved.) The propagator in its rest frame then is proportional to the
1864:
Bohm, A.; Sato, Y. (2005). "Relativistic resonances: Their masses, widths, lifetimes, superposition, and causal evolution".
2943:
2887:
2785:
2547:
2185:
888:
3229:
2963:
2816:
2491:
2235:
2693:
3461:
3133:
3109:
2688:
2102:
1925:
3492:
3330:
3207:
3168:
3140:
3114:
3032:
2958:
2381:
2129:
670:
669:
The form of this distribution is similar to the amplitude of the solution to the classical equation of motion for a
3318:
3284:
3150:
3145:
2990:
2798:
2496:
2250:
3068:
2981:
2953:
2862:
2811:
2683:
2466:
2431:
3082:
2999:
2836:
2760:
2583:
2461:
2436:
2300:
2295:
2290:
3398:
3264:
2972:
2821:
2753:
2738:
2631:
2605:
2537:
2376:
2270:
2265:
2207:
2192:
488:
In the limit of vanishing width, Γ → 0, the particle becomes stable as the
Lorentzian distribution
3234:
3224:
2915:
2841:
2542:
2401:
357:
36:
3294:
3279:
3274:
3219:
3155:
3099:
2920:
2907:
2698:
2643:
2595:
2386:
2315:
2180:
1551:{\displaystyle V_{2}(E;M,\Gamma ,k,\sigma )={\frac {H_{2}(a,u_{1},u_{2})}{\sigma ^{2}2{\sqrt {\pi }}}},}
3413:
3189:
3008:
2790:
2743:
2612:
2588:
2568:
2411:
2285:
2165:
2085:
3497:
3418:
3202:
3163:
3037:
2874:
2718:
2663:
2561:
2525:
2396:
2361:
1942:
3104:
2892:
2658:
2617:
2532:
2486:
2426:
2391:
2280:
2175:
2125:
32:
3403:
3345:
3016:
2803:
2713:
2668:
2653:
2471:
2421:
2416:
2217:
2197:
2573:
3269:
3257:
3246:
3128:
3024:
2831:
2275:
2255:
2160:
1854:
manual. Note that this distribution is usually represented as a function of the squared energy.
3393:
3350:
3194:
2869:
2723:
2703:
2600:
2170:
578:
3443:
3438:
3433:
3428:
3365:
3335:
3214:
2857:
2748:
2351:
2310:
2305:
2202:
1999:
1883:
1821:
1768:
523:-dependence of the width needs to be taken into account. (For example, in the decay of the
2648:
8:
3377:
2902:
2882:
2852:
2826:
2780:
2708:
2520:
2456:
967:
956:
682:
361:
1887:
1825:
240:{\displaystyle k={\frac {2{\sqrt {2}}M\Gamma \gamma }{\pi {\sqrt {M^{2}+\gamma }}}}~~~~}
3408:
2897:
2678:
2673:
2578:
2515:
2510:
2366:
2356:
2240:
2079:
1980:
1954:
1899:
1873:
1847:
3306:
2733:
2476:
2406:
2371:
2320:
2067:
2057:
2033:
1972:
1921:
1903:
385:
1984:
2481:
2155:
2094:
2023:
1964:
1891:
1829:
1792:
is the relativistic counterpart of the similar line-broadening function for the
145:{\displaystyle f(E)={\frac {k}{\left(E^{2}-M^{2}\right)^{2}+M^{2}\Gamma ^{2}}}~,}
2554:
1968:
1895:
1561:
where the relativistic line broadening function has the following definition,
369:
2028:
515:; this dependence is typically only important when Γ is not small compared to
3486:
3177:
2925:
2212:
2071:
2037:
1976:
1793:
574:
390:
339:
28:
24:
1833:
328:{\displaystyle ~~~~\gamma ={\sqrt {M^{2}\left(M^{2}+\Gamma ^{2}\right)}}~.}
2051:
1943:"Relativistic Voigt profile for unstable particles in high energy physics"
481:
has attenuated to half its maximum value, which justifies the name for Γ,
971:
656:{\displaystyle {\frac {\sqrt {k}}{\left(E^{2}-M^{2}\right)+iM\Gamma }}~.}
520:
1878:
674:
551:
550:
The form of the relativistic Breit–Wigner distribution arises from the
1850:(page 98 onwards) for a discussion of the widths of particles in the
678:
524:
1959:
970:. The resulting resonance shape in this case is given by the
1851:
1227:
This function can be simplified by introducing new variables,
372:
554:
of an unstable particle, which has a denominator of the form
419:
The probability of producing the resonance at a given energy
528:
380:
1812:
Breit, G.; Wigner, E. (1936). "Capture of Slow
Neutrons".
16:
Relativistic particle resonance and decay line broadening.
581:
for the decay utilized to reconstruct that resonance,
1771:
1570:
1425:
1236:
983:
891:
706:
590:
253:
168:
48:
2124:
1941:
Kycia, Radosław A.; Jadach, Stanisław (2018-07-15).
945:{\displaystyle f(M)={\frac {k}{\Gamma ^{2}M^{2}}}.~}
974:of the Breit–Wigner and the Gaussian distribution,
383:of the resonance, and Γ is the resonance width (or
1796:used in spectroscopy (see also Section 7.19 of ).
1784:
1755:
1550:
1405:
1216:
944:
871:
655:
327:
239:
144:
2016:Monthly Notices of the Royal Astronomical Society
1947:Journal of Mathematical Analysis and Applications
3484:
1997:
535:that multiplies Γ should also be replaced with
2110:
23:(after the 1936 nuclear resonance formula of
159:is a constant of proportionality, equal to
1998:Finn, G. D.; Mugglestone, D. (1965-02-01).
1940:
1811:
2117:
2103:
2027:
1958:
1877:
2000:"Tables of the Line Broadening Function
1863:
511:In general, Γ can also be a function of
2053:NIST handbook of mathematical functions
400:. (With units included, the formula is
3485:
961:
685:, but involves relativistic variables
21:relativistic Breit–Wigner distribution
2098:
1840:
3467:
1936:
1934:
677:external force. It has the standard
547:, etc.) when the resonance is wide.
13:
1642:
1637:
1451:
1104:
1043:
1038:
1009:
914:
777:
641:
303:
191:
124:
14:
3509:
1931:
3466:
3457:
3456:
338:(This equation is written using
1366:
1322:
1278:
356:It is most often used to model
2044:
1991:
1920:, Cambridge University press,
1910:
1857:
1805:
1719:
1699:
1690:
1670:
1613:
1581:
1517:
1485:
1466:
1436:
1171:
1153:
1108:
1098:
1086:
1054:
1024:
994:
901:
895:
857:
843:
840:
826:
823:
815:
723:
715:
375:that produces the resonance,
58:
52:
1:
1848:Pythia 6.4 Physics and Manual
1799:
968:Gaussian/normal distribution
579:quantum-mechanical amplitude
37:probability density function
7:
10:
3514:
3290:Wrapped asymmetric Laplace
2261:Extended negative binomial
1969:10.1016/j.jmaa.2018.03.065
1896:10.1103/PhysRevD.71.085018
954:
671:driven harmonic oscillator
3452:
3386:
3344:
3245:
3081:
3059:
3050:
2949:Generalized extreme value
2934:
2769:
2729:Relativistic Breit–Wigner
2445:
2342:
2333:
2226:
2146:
2137:
2126:Probability distributions
3493:Continuous distributions
681:form of the Lorentz, or
414:
360:(unstable particles) in
33:probability distribution
2944:Generalized chi-squared
2888:Normal-inverse Gaussian
2029:10.1093/mnras/129.2.221
673:damped and driven by a
492:sharpens infinitely to
3256:Univariate (circular)
2817:Generalized hyperbolic
2246:Conway–Maxwell–Poisson
2236:Beta negative binomial
2084:: CS1 maint: others (
1834:10.1103/PhysRev.49.519
1786:
1757:
1552:
1407:
1218:
946:
873:
657:
329:
241:
146:
3301:Bivariate (spherical)
2799:Kaniadakis κ-Gaussian
1787:
1785:{\displaystyle H_{2}}
1758:
1553:
1408:
1219:
955:Further information:
947:
874:
658:
573:is the square of the
483:width at half-maximum
330:
242:
147:
3366:Dirac delta function
3313:Bivariate (toroidal)
3270:Univariate von Mises
3141:Multivariate Laplace
3033:Shifted log-logistic
2382:Continuous Bernoulli
1918:Quantum Field Theory
1769:
1568:
1423:
1234:
981:
889:
704:
588:
477:), the distribution
251:
166:
46:
3414:Natural exponential
3319:Bivariate von Mises
3285:Wrapped exponential
3151:Multivariate stable
3146:Multivariate normal
2467:Benktander 2nd kind
2462:Benktander 1st kind
2251:Discrete phase-type
1916:Brown, L S (1994).
1888:2005PhRvD..71h5018B
1826:1936PhRv...49..519B
1646:
1047:
962:Gaussian broadening
957:Cauchy distribution
683:Cauchy distribution
438:off the maximum at
423:is proportional to
362:high-energy physics
247: with
35:with the following
3069:Rectified Gaussian
2954:Generalized Pareto
2812:Generalized normal
2684:Matrix-exponential
1782:
1753:
1629:
1548:
1403:
1214:
1030:
942:
869:
653:
389:), related to its
325:
237:
142:
31:) is a continuous
3480:
3479:
3077:
3076:
3046:
3045:
2937:whose type varies
2883:Normal (Gaussian)
2837:Hyperbolic secant
2786:Exponential power
2689:Maxwell–Boltzmann
2437:Wigner semicircle
2329:
2328:
2301:Parabolic fractal
2291:Negative binomial
2063:978-0-521-19225-5
1866:Physical Review D
1742:
1627:
1543:
1540:
1398:
1361:
1355:
1317:
1311:
1273:
1267:
1196:
1140:
1137:
1118:
941:
934:
849:
838:
821:
810:
741:
721:
649:
645:
597:
531:.) The factor of
364:. In this case,
321:
317:
265:
262:
259:
256:
236:
233:
230:
227:
223:
220:
186:
138:
134:
3505:
3498:Particle physics
3470:
3469:
3460:
3459:
3399:Compound Poisson
3374:
3362:
3331:von Mises–Fisher
3327:
3315:
3303:
3265:Circular uniform
3261:
3181:
3125:
3096:
3057:
3056:
2959:Marchenko–Pastur
2822:Geometric stable
2739:Truncated normal
2632:Inverse Gaussian
2538:Hyperexponential
2377:Beta rectangular
2345:bounded interval
2340:
2339:
2208:Discrete uniform
2193:Poisson binomial
2144:
2143:
2119:
2112:
2105:
2096:
2095:
2090:
2089:
2083:
2075:
2048:
2042:
2041:
2031:
1995:
1989:
1988:
1962:
1953:(2): 1040–1051.
1938:
1929:
1914:
1908:
1907:
1881:
1861:
1855:
1844:
1838:
1837:
1809:
1791:
1789:
1788:
1783:
1781:
1780:
1762:
1760:
1759:
1754:
1743:
1741:
1740:
1739:
1727:
1726:
1711:
1710:
1698:
1697:
1682:
1681:
1668:
1667:
1666:
1665:
1648:
1645:
1640:
1628:
1620:
1612:
1611:
1599:
1598:
1580:
1579:
1557:
1555:
1554:
1549:
1544:
1542:
1541:
1536:
1531:
1530:
1520:
1516:
1515:
1503:
1502:
1484:
1483:
1473:
1435:
1434:
1412:
1410:
1409:
1404:
1399:
1397:
1396:
1395:
1382:
1374:
1362:
1360:
1356:
1351:
1348:
1337:
1332:
1331:
1318:
1316:
1312:
1307:
1304:
1293:
1288:
1287:
1274:
1272:
1268:
1263:
1260:
1259:
1244:
1223:
1221:
1220:
1215:
1210:
1199:
1198:
1197:
1195:
1194:
1193:
1180:
1179:
1178:
1163:
1151:
1141:
1139:
1138:
1130:
1121:
1119:
1117:
1116:
1115:
1094:
1093:
1084:
1083:
1071:
1070:
1069:
1049:
1046:
1041:
993:
992:
951:
949:
948:
943:
939:
935:
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