902:
38:
2912:
2628:
2451:
1260:
3237:
1427:
3079:
2055:
2203:
2620:
3634:
2907:{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\nabla \times \int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r'} \int _{0}^{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|/c}\mathrm {d} t_{r}{\dfrac {t_{r}\mathbf {J} (\mathbf {r'} ,t-t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\,.}
2284:
1670:
1895:
1104:
3468:
3087:
1268:
1002:
2931:
1918:
2063:
882:
at earlier and later times is an important factor: the signal takes a finite time to propagate from a point in the charge or current distribution (the point of cause) to another point in space (where the effect is measured), see figure below.
2470:
3333:
2446:{\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J} +{\dfrac {1}{c^{2}}}\nabla \left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)\,,}
1753:
1518:
2276:
1588:
3463:
1800:
3393:
1255:{\displaystyle \mathrm {\varphi } (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}
3232:{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi }}\int {\dfrac {\nabla \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}
1422:{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\,.}
931:
3074:{\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi }}\int {\dfrac {\nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}
2050:{\displaystyle \mathrm {\varphi } (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}
2198:{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\,.}
2615:{\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\dfrac {\rho (\mathbf {r} ',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}
3629:{\displaystyle {\tilde {h}}_{\mu \nu }(\mathbf {r} ,t)=4G\int {\frac {T_{\mu \nu }(\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '.}
3661:
1792:
1080:
896:
595:
568:
3254:
580:
3762:
1532:
1665:{\displaystyle -\mathbf {E} =\nabla \varphi +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,,\quad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \,.}
2226:
3398:
1685:
1450:
831:
600:
610:
2917:
This presents an advantage and a disadvantage of the
Coulomb gauge - Ï is easily calculable from the charge distribution Ï but
435:
3793:
1890:{\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-{\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}}\,,\quad \nabla ^{2}\mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {J} \,,}
450:
445:
72:
460:
3679:
3341:
2925:. However, provided we require that the potentials vanish at infinity, they can be expressed neatly in terms of fields:
3825:
3809:
3746:
62:
3708:
3675:
330:
245:
824:
590:
67:
918:
3336:
605:
310:
3820:
Introduction to
Electrodynamics (3rd Edition), D.J. Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007,
3804:
Introduction to
Electrodynamics (3rd Edition), D.J. Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007,
3788:
Electromagnetism (2nd
Edition), I.S. Grant, W.R. Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008,
997:{\displaystyle \Box \varphi ={\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}}\,,\quad \Box \mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J} }
470:
210:
77:
200:
763:
638:
535:
510:
430:
3756:
263:
1032:
853:
817:
778:
305:
295:
235:
230:
170:
1676:
315:
3734:
748:
250:
628:
155:
145:
140:
753:
723:
3703:
1083:
892:
575:
345:
120:
1905:
857:
673:
360:
350:
300:
290:
3694:
that is in the recent position. The potential is not changed in the direction of movement.
3691:
3639:
1777:
1065:
798:
698:
663:
415:
280:
180:
165:
100:
37:
8:
3867:
1679:. The corresponding advanced potentials have an identical form, except the advanced time
879:
868:
861:
758:
738:
733:
540:
525:
410:
380:
275:
205:
3248:
1016:
633:
373:
175:
135:
455:
3821:
3805:
3789:
3742:
693:
1761:
864:
793:
708:
668:
658:
545:
500:
483:
400:
335:
105:
29:
3849:
3328:{\textstyle {\tilde {h}}_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }h}
1437:
1048:
845:
728:
653:
648:
515:
390:
355:
215:
115:
901:
768:
1036:
872:
688:
683:
505:
395:
320:
270:
220:
193:
150:
125:
95:
88:
3861:
3713:
2217:
1771:
1767:
1524:
803:
788:
773:
713:
425:
340:
325:
240:
225:
130:
3251:
is closely analogous to the electromagnetic case. The trace-reversed tensor
922:
783:
678:
643:
585:
520:
440:
405:
285:
160:
703:
555:
385:
47:
420:
3837:
1901:
743:
718:
530:
52:
2271:{\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-{\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}}}
1794:
operators of the fields are zero, and
Maxwell's equations reduce to
3395:
replaces the electromagnetic Lorenz gauge, the field equations are
1087:
495:
490:
110:
3690:
The potential of charge with uniform speed on a straight line has
3458:{\displaystyle \Box {\tilde {h}}_{\mu \nu }=-16\pi GT_{\mu \nu }}
1748:{\displaystyle t_{a}=t+{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}}
1513:{\displaystyle t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}}
465:
1762:
In comparison with static potentials for time-independent fields
550:
57:
3671:
A many-body theory which includes an average of retarded and
1582:) can be calculated using the definitions of the potentials:
1086:. Solving these gives the retarded potentials below (all in
3850:
2921:
is not so easily calculable from the current distribution
3682:
also known as the
WheelerâFeynman time-symmetric theory.
2208:
These also follow directly from the retarded potentials.
3836:
Sean M. Carroll, "Lecture Notes on
General Relativity" (
1098:
For time-dependent fields, the retarded potentials are:
3257:
897:
Mathematical descriptions of the electromagnetic field
3642:
3471:
3401:
3344:
3137:
3117:
3090:
2979:
2959:
2934:
2779:
2658:
2631:
2528:
2498:
2473:
2414:
2388:
2326:
2307:
2287:
2250:
2229:
2066:
1921:
1824:
1803:
1780:
1688:
1591:
1453:
1271:
1107:
1068:
945:
934:
3388:{\displaystyle {\tilde {h}}^{\mu \nu }{}_{,\mu }=0}
3655:
3636:Using SI units, the expression must be divided by
3628:
3457:
3387:
3327:
3231:
3073:
2906:
2614:
2445:
2270:
2197:
2049:
1889:
1786:
1747:
1664:
1512:
1421:
1254:
1074:
996:
3335:plays the role of the four-vector potential, the
2456:although the solutions contrast the above, since
3859:
919:Maxwell's equations in the potential formulation
3663:, as can be confirmed by dimensional analysis.
3666:
1766:In the case the fields are time-independent (
825:
1908:in four components (one for Ï and three for
1093:
3761:: CS1 maint: location missing publisher (
832:
818:
36:
2900:
2439:
2191:
2168:
2024:
1883:
1842:
1658:
1634:
1415:
1392:
1229:
963:
871:in the past. The fields propagate at the
3777:Classical Electromagnetism in a Nutshell
3741:(2nd ed.). New York. p. 1072.
3732:
3242:
900:
878:, so the delay of the fields connecting
2460:is a retarded potential yet Ï changes
2211:
581:Electromagnetism and special relativity
3860:
886:
1774:fields), the time derivatives in the
601:Maxwell equations in curved spacetime
3739:McGraw Hill Encyclopaedia of Physics
3465:, and the retarded-wave solution is
18:Type of potential in electrodynamics
3840:), equations 6.20, 6.21, 6.22, 6.74
13:
3603:
3209:
3140:
3051:
2982:
2764:
2695:
2684:
2592:
2425:
2417:
2406:
2346:
2330:
2289:
2231:
2171:
2027:
1848:
1805:
1647:
1625:
1615:
1603:
1395:
1232:
14:
3879:
3615:
3585:
3576:
3544:
3498:
3221:
3190:
3181:
3156:
3147:
3100:
3092:
3063:
3032:
3023:
2998:
2989:
2942:
2889:
2880:
2849:
2840:
2802:
2793:
2740:
2731:
2707:
2641:
2633:
2604:
2573:
2564:
2539:
2481:
2380:
2340:
2299:
2183:
2152:
2143:
2124:
2115:
2076:
2068:
2039:
2008:
1999:
1980:
1931:
1879:
1858:
1726:
1717:
1654:
1640:
1619:
1596:
1491:
1482:
1407:
1376:
1367:
1335:
1326:
1281:
1273:
1244:
1213:
1204:
1172:
1117:
990:
972:
3680:WheelerâFeynman absorber theory
1846:
1638:
967:
3843:
3830:
3814:
3798:
3782:
3769:
3726:
3594:
3571:
3565:
3539:
3508:
3494:
3479:
3412:
3352:
3265:
3199:
3176:
3170:
3151:
3110:
3096:
3041:
3018:
3012:
2993:
2952:
2938:
2897:
2876:
2859:
2835:
2829:
2797:
2749:
2726:
2651:
2637:
2582:
2559:
2553:
2534:
2491:
2477:
2161:
2138:
2132:
2119:
2080:
2072:
2017:
1994:
1988:
1975:
1935:
1927:
1735:
1712:
1500:
1477:
1385:
1362:
1356:
1330:
1291:
1277:
1222:
1199:
1193:
1167:
1127:
1113:
1:
3719:
3249:linearized general relativity
1035:, for an arbitrary source of
606:Relativistic electromagnetism
1758:replaces the retarded time.
7:
3697:
3676:LiĂ©nardâWiechert potentials
10:
3884:
3709:LiĂ©nardâWiechert potential
3685:
3667:Occurrence and application
3247:The retarded potential in
2220:, Maxwell's equations are
1912:), and the solutions are:
890:
854:electromagnetic potentials
331:LiĂ©nardâWiechert potential
3737:. In Parker, S.P. (ed.).
1904:, which take the form of
1094:For time-dependent fields
1033:magnetic vector potential
596:Mathematical descriptions
306:Electromagnetic radiation
296:Electromagnetic induction
236:Magnetic vector potential
231:Magnetic scalar potential
913:used in the calculation
146:Electrostatic induction
141:Electrostatic discharge
3657:
3630:
3459:
3389:
3329:
3233:
3075:
2908:
2616:
2447:
2272:
2199:
2051:
1891:
1788:
1749:
1666:
1514:
1423:
1256:
1076:
998:
917:The starting point is
914:
576:Electromagnetic tensor
3658:
3656:{\displaystyle c^{4}}
3631:
3460:
3390:
3330:
3243:In linearized gravity
3234:
3076:
2909:
2617:
2448:
2273:
2200:
2052:
1892:
1789:
1787:{\displaystyle \Box }
1750:
1677:Jefimenko's equations
1667:
1515:
1424:
1257:
1077:
1075:{\displaystyle \Box }
999:
904:
858:electromagnetic field
569:Covariant formulation
361:Synchrotron radiation
301:Electromagnetic pulse
291:Electromagnetic field
3733:Rohrlich, F (1993).
3692:inversion in a point
3640:
3469:
3399:
3342:
3255:
3088:
2932:
2629:
2471:
2285:
2227:
2212:In the Coulomb gauge
2064:
1919:
1801:
1778:
1686:
1589:
1451:
1269:
1105:
1066:
932:
869:charge distributions
611:Stressâenergy tensor
536:Reluctance (complex)
281:Displacement current
3838:arXiv:gr-qc/9712019
3704:Maxwell's equations
2762:
1533:integration measure
1084:D'Alembert operator
893:Maxwell's equations
887:In the Lorenz gauge
850:retarded potentials
526:Magnetomotive force
411:Electromotive force
381:Alternating current
316:Jefimenko equations
276:Cyclotron radiation
3653:
3626:
3455:
3385:
3325:
3229:
3205:
3131:
3071:
3047:
2973:
2904:
2871:
2715:
2682:
2612:
2588:
2522:
2443:
2433:
2404:
2361:
2323:
2268:
2266:
2195:
2047:
1906:Poisson's equation
1887:
1840:
1784:
1745:
1675:and this leads to
1662:
1510:
1419:
1252:
1072:
1017:electric potential
994:
961:
915:
374:Electrical network
211:Gauss magnetic law
176:Static electricity
136:Electric potential
3794:978-0-471-92712-9
3757:cite encyclopedia
3599:
3482:
3415:
3355:
3307:
3268:
3204:
3130:
3046:
2972:
2870:
2681:
2587:
2521:
2432:
2403:
2360:
2322:
2265:
2166:
2106:
2022:
1964:
1839:
1743:
1632:
1508:
1390:
1317:
1227:
1156:
960:
905:Position vectors
842:
841:
541:Reluctance (real)
511:Gyratorâcapacitor
456:Resonant cavities
346:Maxwell equations
3875:
3852:
3847:
3841:
3834:
3828:
3818:
3812:
3802:
3796:
3786:
3780:
3773:
3767:
3766:
3760:
3752:
3730:
3662:
3660:
3659:
3654:
3652:
3651:
3635:
3633:
3632:
3627:
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