581:
3529:
2165:
1111:
3243:
2357:
570:
2728:
3794:
1900:
3088:
606:. To approximate the mean line segment length of a given shape, two points are randomly chosen in its interior and the distance is measured. After several repetitions of these steps, the average of these distances will eventually converge to the true value.
2571:
3684:
310:
1414:
4168:
681:
1868:
2967:
1303:
3524:{\displaystyle \beta _{n}={\begin{cases}{\dfrac {2^{3n+1}\,(n/2)!^{2}\,n!}{(n+1)\,(2n)!\,\pi }}&({\text{for even }}n)\\{\dfrac {2^{n+1}\,n!^{3}}{(n+1)\,((n-1)/2)!^{2}\,(2n)!}}&({\text{for odd }}n)\end{cases}}}
2203:
372:
2582:
2894:
131:
3148:
2785:
2160:{\displaystyle \Delta (n)=\underbrace {\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}} _{2n}{\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+\cdots +(x_{n}-y_{n})^{2}}}\,dx_{1}\cdots \,dx_{n}\,dy_{1}\cdots \,dy_{n}}
3707:
3217:
2978:
2393:
1766:
3557:
174:
1713:
1323:
1106:{\displaystyle {\frac {4ss_{a}s_{b}s_{c}}{15}}\left+{\frac {a+b+c}{15}}+{\frac {(b+c)(b-c)^{2}}{30a^{2}}}+{\frac {(a+c)(a-c)^{2}}{30b^{2}}}+{\frac {(a+b)(a-b)^{2}}{30c^{2}}},}
2829:
4034:
1777:
1166:
1197:
1223:
2908:
1238:
49:
Even for simple shapes such as a square or a triangle, solving for the exact value of their mean line segment lengths can be difficult because their
2352:{\displaystyle \Delta (3)={\frac {4+17{\sqrt {2}}-6{\sqrt {3}}-7\pi }{105}}+{\frac {\ln(1+{\sqrt {2}})}{5}}+{\frac {2\ln(2+{\sqrt {3}})}{5}}.}
565:{\displaystyle {\frac {1}{\lambda (S)^{2}}}\iint _{S}\iint _{S}{\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}\,dx_{1}\,dy_{1}\,dx_{2}\,dy_{2}.}
2723:{\displaystyle {\frac {4+17{\sqrt {2}}-6{\sqrt {3}}-7\pi }{75}}+{\frac {7\ln {(1+{\sqrt {2}})}}{25}}+{\frac {14\ln {(2+{\sqrt {3}})}}{25}}.}
2849:
3992:
Robbins, David P.; Bolis, Theodore S. (1978), "Average distance between two points in a box (solution to elementary problem E2629)",
2373:
66:
3108:
2748:
3789:{\displaystyle L\leq {\frac {229}{800}}+{\frac {44}{75}}{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}+{\frac {19}{480}}{\sqrt {5}}=0.678442\ldots }
3166:
3083:{\displaystyle {\frac {32}{135\pi ^{2}}}(6\ln {(2{\sqrt {2}}-2)}-94{\sqrt {2}}+48\pi +3)\approx 0.473877262\ldots }
17:
595:
Since computing the mean line segment length involves calculating multidimensional integrals, various methods for
36:
2566:{\displaystyle {\tfrac {1}{3}}n^{1/2}\leq \Delta (n)\leq ({\tfrac {1}{6}}n)^{1/2}{\sqrt {{\frac {1}{3}}\left}}.}
3679:{\displaystyle L\leq {\sqrt {\frac {2n}{n+1}}}{\frac {2^{n-2}\Gamma (n/2)^{2}}{\Gamma (n-1/2){\sqrt {\pi }}}}}
1771:
If the two points are instead chosen to be on different sides of the square, the average distance is given by
305:{\displaystyle \mathbb {E} ={\frac {1}{\lambda (S)^{2}}}\int _{S}\int _{S}\|x-y\|\,d\lambda (x)\,d\lambda (y)}
4338:
3994:
1721:
2576:
Choosing points from two different faces of the unit cube also gives a result with a closed form, given by,
1433:
1409:{\displaystyle \left({\frac {2+{\sqrt {2}}+5\ln(1+{\sqrt {2}})}{15}}\right)s\approx 0.521405433\ldots s.}
4163:{\displaystyle \int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}(x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2})^{1/2}dx_{1}\cdots dx_{k}}
2804:
1863:{\displaystyle \left({\frac {2+{\sqrt {2}}+5\ln(1+{\sqrt {2}})}{9}}\right)s\approx 0.869009\ldots s.}
3265:
63:
While the question may seem simple, it has a fairly complicated answer; the exact value for this is
58:
What is the average distance between two randomly chosen points inside a square with side length 1?
1119:
609:
These methods can only give an approximation; they cannot be used to determine its exact value.
4281:
50:
596:
4309:
1175:
3971:
8:
3858:
1202:
46:
between two random points, where each point in the shape is equally likely to be chosen.
2962:{\displaystyle {\frac {64}{135}}{\frac {12\pi -23}{\pi ^{2}}}\approx 0.706053409\ldots }
4231:
4206:
4030:
4011:
3949:
3886:
3099:
603:
584:
580:
157:
43:
4306:
4278:
4256:
4253:
4228:
4203:
3968:
3941:
3883:
3855:
2182:
3910:
Bailey, David H.; Borwein, Jonathan M.; Kapoor, Vishaal; Weisstein, Eric W. (2006).
4184:
4003:
3931:
3923:
3834:
2738:
The average chord length between points on the circumference of a circle of radius
2194:
335:
324:
675:, the average distance between two points in its interior is given by the formula
4333:
331:
1298:{\displaystyle \left({\frac {4+3\ln 3}{20}}\right)a\approx 0.364791843\ldots a.}
3694:
3540:
1883:
154:
40:
3839:
3822:
1419:
More generally, the mean line segment length of a rectangle with side lengths
4327:
3945:
1169:
3547:-dimensional Euclidean space with diameter 1, its mean line segment length
53:
can get quite complicated. As an example, consider the following question:
3936:
1313:
The average distance between two points inside a square with side length
588:
3953:
3911:
4015:
4029:
Anderssen, R. S.; Brent, R. P.; Daley, D. J.; Moran, P. A. P. (1976).
4314:
4286:
4276:
4261:
4236:
4211:
3976:
3927:
3891:
3863:
2186:
146:
35:
is the average length of a line segment connecting two points chosen
4188:
4007:
28:
2889:{\displaystyle {\frac {128}{45\pi }}r\approx 0.905414787\ldots r.}
4304:
3966:
3154:
2791:
2178:, refer to the unit line segment and unit square respectively.
126:{\displaystyle {\frac {2+{\sqrt {2}}+5\ln(1+{\sqrt {2}})}{15}}}
3853:
3143:{\displaystyle {\frac {36}{35}}r\approx 1.028571428\ldots r.}
2780:{\displaystyle {\frac {4}{\pi }}r\approx 1.273239544\ldots r}
4226:
4201:
3909:
3881:
2899:
The values for a half disk and quarter disk are also known.
2839:
The average distance between points inside a disk of radius
3517:
2368:
4251:
3821:
Burgstaller, Bernhard; Pillichshammer, Friedrich (2009).
3820:
4028:
3539:
2449:
2398:
4037:
3710:
3560:
3388:
3269:
3246:
3169:
3111:
2981:
2911:
2852:
2807:
2751:
2585:
2396:
2206:
1903:
1780:
1724:
1436:
1326:
1241:
1205:
1178:
1122:
684:
599:
can be used to approximate this value for any shape.
375:
177:
69:
3153:More generally, the mean line segment length of an
4162:
3788:
3678:
3523:
3211:
3142:
3082:
2961:
2888:
2823:
2779:
2722:
2565:
2351:
2159:
1862:
1760:
1707:
1408:
1297:
1217:
1191:
1160:
1105:
564:
304:
125:
587:to approximate the mean line segment length of a
4325:
3827:Bulletin of the Australian Mathematical Society
1878:The average distance between points inside an
3212:{\displaystyle {\frac {2n}{2n+1}}\beta _{n}r}
1228:For an equilateral triangle with side length
628:, the average distance between two points is
3991:
267:
255:
198:
186:
39:in a given shape. In other words, it is the
1768:is the length of the rectangle's diagonal.
3912:"Ten Problems in Experimental Mathematics"
3935:
3838:
3823:"The Average Distance Between Two Points"
3478:
3438:
3407:
3359:
3343:
3319:
3291:
2143:
2126:
2112:
2095:
545:
531:
517:
503:
286:
270:
179:
2185:case, the mean line segment length of a
1308:
579:
575:
2790:And picking points on the surface of a
1761:{\displaystyle d={\sqrt {l^{2}+w^{2}}}}
14:
4326:
1873:
4305:
4277:
4252:
4227:
4202:
3967:
3882:
3854:
2379:Andersson et. al. (1976) showed that
2362:Its numerical value is approximately
3905:
3903:
3877:
3875:
3816:
3814:
3812:
3810:
3808:
2733:
1708:{\displaystyle {\frac {1}{15}}\left}
141:The mean line segment length for an
136:
4177:SIAM Journal on Applied Mathematics
2197:. This constant has a closed form,
24:
3640:
3611:
2430:
2207:
1904:
25:
4350:
4298:
3916:The American Mathematical Monthly
3900:
3872:
3805:
3534:
657:For a triangle with side lengths
2972:For a quarter disk of radius 1:
334:case, this is defined using the
160:||⋅|| between two random points
4270:
4245:
2824:{\displaystyle {\frac {4}{3}}r}
617:
153:may formally be defined as the
4282:"Circular Sector Line Picking"
4220:
4195:
4114:
4071:
4022:
3985:
3960:
3847:
3701:= 2, a stronger bound exists.
3663:
3643:
3629:
3614:
3511:
3500:
3488:
3479:
3465:
3454:
3442:
3439:
3435:
3423:
3380:
3369:
3353:
3344:
3340:
3328:
3306:
3292:
3068:
3036:
3017:
3004:
2707:
2691:
2665:
2649:
2464:
2445:
2439:
2433:
2337:
2321:
2297:
2281:
2216:
2210:
2084:
2057:
2039:
2012:
2000:
1973:
1913:
1907:
1829:
1813:
1375:
1359:
1147:
1129:
1073:
1060:
1057:
1045:
1012:
999:
996:
984:
951:
938:
935:
923:
492:
465:
453:
426:
392:
385:
299:
293:
283:
277:
223:
216:
201:
183:
114:
98:
13:
1:
3995:American Mathematical Monthly
3799:
2902:For a half disk of radius 1:
622:For a line segment of length
7:
4170:and a Taylor Series Method"
1161:{\displaystyle s=(a+b+c)/2}
652:
612:
10:
4355:
4310:"Mean Line Segment Length"
3840:10.1017/S0004972709000707
3231:depends on the parity of
3972:"Hypercube Line Picking"
3098:For a three-dimensional
3093:
2834:
33:mean line segment length
3859:"Triangle Line Picking"
602:One such method is the
51:closed-form expressions
4164:
3790:
3680:
3525:
3213:
3144:
3084:
2963:
2890:
2825:
2781:
2724:
2567:
2353:
2170:The first two values,
2161:
1864:
1762:
1709:
1410:
1299:
1219:
1193:
1162:
1107:
592:
566:
306:
127:
4232:"Sphere Line Picking"
4207:"Circle Line Picking"
4165:
3887:"Square Line Picking"
3791:
3681:
3526:
3214:
3145:
3085:
2964:
2891:
2826:
2782:
2725:
2568:
2387:satisfies the bounds
2354:
2162:
1865:
1763:
1710:
1411:
1309:Square and rectangles
1300:
1220:
1194:
1192:{\displaystyle s_{i}}
1163:
1108:
597:numerical integration
583:
576:Approximation methods
567:
307:
128:
4339:Probability problems
4035:
3708:
3558:
3244:
3167:
3109:
2979:
2909:
2850:
2805:
2749:
2583:
2394:
2204:
1901:
1778:
1722:
1434:
1324:
1239:
1203:
1176:
1120:
682:
373:
175:
67:
4257:"Disk Line Picking"
4112:
4088:
4070:
4052:
1955:
1937:
1874:Cube and hypercubes
1232:, this is equal to
1218:{\displaystyle s-i}
37:uniformly at random
4307:Weisstein, Eric W.
4279:Weisstein, Eric W.
4254:Weisstein, Eric W.
4229:Weisstein, Eric W.
4204:Weisstein, Eric W.
4160:
4098:
4074:
4056:
4038:
3969:Weisstein, Eric W.
3884:Weisstein, Eric W.
3856:Weisstein, Eric W.
3786:
3676:
3521:
3516:
3496:
3365:
3209:
3140:
3080:
2959:
2886:
2821:
2777:
2720:
2563:
2458:
2407:
2349:
2157:
1970:
1960:
1941:
1923:
1894:, and is given as
1860:
1758:
1705:
1406:
1295:
1215:
1189:
1158:
1103:
604:Monte Carlo method
593:
585:Monte Carlo method
562:
302:
158:Euclidean distance
123:
44:Euclidean distance
3775:
3768:
3755:
3753:
3738:
3725:
3674:
3671:
3590:
3589:
3506:
3495:
3375:
3364:
3194:
3120:
3051:
3028:
3002:
2948:
2920:
2866:
2816:
2760:
2734:Circle and sphere
2715:
2705:
2673:
2663:
2631:
2616:
2603:
2558:
2532:
2491:
2457:
2406:
2344:
2335:
2304:
2295:
2267:
2252:
2239:
2189:is also known as
2183:three-dimensional
2093:
1921:
1919:
1836:
1827:
1799:
1756:
1689:
1661:
1637:
1609:
1587:
1569:
1542:
1501:
1474:
1445:
1382:
1373:
1345:
1271:
1098:
1037:
976:
915:
879:
852:
828:
801:
777:
750:
728:
501:
402:
233:
137:Formal definition
121:
112:
84:
16:(Redirected from
4346:
4320:
4319:
4293:
4292:
4291:
4274:
4268:
4267:
4266:
4249:
4243:
4242:
4241:
4224:
4218:
4217:
4216:
4199:
4193:
4192:
4174:
4169:
4167:
4166:
4161:
4159:
4158:
4143:
4142:
4130:
4129:
4125:
4111:
4106:
4087:
4082:
4069:
4064:
4051:
4046:
4026:
4020:
4018:
3989:
3983:
3982:
3981:
3964:
3958:
3957:
3939:
3928:10.2307/27641975
3907:
3898:
3897:
3896:
3879:
3870:
3869:
3868:
3851:
3845:
3844:
3842:
3818:
3795:
3793:
3792:
3787:
3776:
3771:
3769:
3761:
3756:
3754:
3749:
3741:
3739:
3731:
3726:
3718:
3692:
3685:
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