1468:
1119:
2732:
1108:
875:
700:
1463:{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&\dots &b_{1}\cdot r&b_{0}\cdot r\\\hline &a_{n}&b_{n-1}\cdot r+a_{n-1}&\dots &b_{1}\cdot r+a_{1}&a_{0}+b_{0}\cdot r\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&\dots &=b_{0}&=s\\\end{array}}}
2634:, who took part in a competition organized by the Italian Scientific Society (of Forty). The challenge was to devise a method to find the roots of any polynomial. Five submissions were received. In 1804 Ruffini's was awarded first place and his method was published. He later published refinements of his work in 1807 and again in 1813.
886:
543:
715:
563:
1103:{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&&&\\\hline &a_{n}&b_{n-1}\cdot r+a_{n-1}&&&\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&&&\end{array}}}
445:
1803:| 2 3 0 | -4 | | -1 | -2 | ----|--------------------|------- | 2 | | |
1793:| 2 3 0 | -4 | | -1 | | ----|--------------------|------- | 2 | | |
1787:| 2 3 0 | -4 | | -1 | | ----|--------------------|------- | | | |
870:{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\end{array}}}
2091:
380:
695:{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\end{array}}}
190:
2571:
1815:| 2 3 0 | -4 | | -1 | -2 -1 | 1 ----|---------------------------- | 2 1 -1 | -3 |{result coefficients}|{remainder}
1809:| 2 3 0 | -4 | | -1 | -2 | ----|--------------------|------- | 2 1 | | |
1596:
1760:
2620:
1964:
1901:
1124:
891:
720:
568:
2318:
450:
1640:
538:{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &&&&&\\\end{array}}}
237:
2414:
2353:
2252:
2382:
2212:
2172:
2132:
1969:
248:
2680:
73:
2484:
2736:
2757:
2762:
2419:
1532:
2631:
48:
2135:
1500:
1698:
2579:
1910:
1842:
2260:
2142:
1602:
386:
2672:
2426:
root. The above process shows the fundamental theorem of algebra implies that every polynomial
201:
40:
2752:
2387:
2326:
2225:
2358:
2188:
2148:
2108:
8:
2716:
2649:
2182:
52:
32:
2713:
2694:
2689:
2643:
2668:
2423:
2746:
2086:{\displaystyle s=-3;\quad \Rightarrow 2x^{3}+3x^{2}-4=(2x^{2}+x-1)(x+1)-3\!}
28:
20:
375:{\displaystyle R(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0}.}
2101:
Ruffini's rule can be used when one needs the quotient of a polynomial
36:
2721:
185:{\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}
2422:
states that every polynomial of positive degree has at least one
56:
2731:
1523:
Here is an example of polynomial division as described above.
1487:)) polynomial, the degree of which is one less than that of
710:, and write it over the line and one position to the right.
2711:
67:
The rule establishes a method for dividing the polynomial:
2096:
2673:"Horner's method of approximation anticipated by Ruffini"
2141:
A typical example, where one needs the quotient, is the
2582:
2487:
2390:
2361:
2329:
2263:
2228:
2191:
2151:
2111:
1972:
1913:
1845:
1701:
1605:
1535:
1122:
889:
718:
566:
448:
251:
204:
76:
2566:{\displaystyle p(x)=a_{n}(x-r_{1})\cdots (x-r_{n}),}
881:Add the two values just placed in the same column.
2614:
2565:
2408:
2376:
2347:
2312:
2246:
2206:
2166:
2126:
2085:
1958:
1895:
1754:
1634:
1590:
1462:
1102:
869:
694:
537:
374:
231:
184:
2355:which can be computed with Ruffini's rule. Then,
2323:This gives a (possibly partial) factorization of
2082:
1955:
1892:
1751:
1660:) using Ruffini's rule. The main problem is that
1631:
1587:
2744:
706:Multiply the rightmost number under the line by
1114:Repeat steps 3 and 4 until no numbers remain.
2681:Bulletin of the American Mathematical Society
440:at the bottom-left edge just over the line:
436:) and write them down in order. Then, write
1479:values are the coefficients of the result (
1813:Repeat steps 3 and 4 until it's finished:
2693:
2291:
1954:
1891:
1750:
1630:
1586:
2134:(When one needs only the remainder, the
1591:{\displaystyle P(x)=2x^{3}+3x^{2}-4\,\!}
2097:Application to polynomial factorization
1503:asserts that the remainder is equal to
51:in 1809. The rule is a special case of
2745:
2667:
16:Polynomial division computation method
2712:
2384:can be further factored by factoring
2254:the Euclidean division is written as
558:) to the bottom just under the line.
1797:Multiply the last obtained value by
1755:{\displaystyle Q(x)=x+1=x-(-1).\,\!}
2615:{\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}}
1959:{\displaystyle R(x)=2x^{2}+x-1\,\!}
1896:{\displaystyle P(x)=Q(x)R(x)+s\,\!}
1781:) didn't contain a coefficient for
242:to obtain the quotient polynomial:
13:
1511:), the value of the polynomial at
14:
2774:
2705:
2313:{\displaystyle p(x)=q(x)\,(x-r).}
1791:Pass the first coefficient down:
2730:
2646:, doing the division graphically
1769:Write down the coefficients and
1668:) is not a binomial of the form
2695:10.1090/s0002-9904-1911-02072-9
1988:
549:Pass the leftmost coefficient (
2661:
2557:
2538:
2532:
2513:
2497:
2491:
2420:fundamental theorem of algebra
2400:
2394:
2371:
2365:
2339:
2333:
2304:
2292:
2288:
2282:
2273:
2267:
2238:
2232:
2201:
2195:
2161:
2155:
2073:
2061:
2058:
2030:
1989:
1923:
1917:
1882:
1876:
1870:
1864:
1855:
1849:
1765:Now the algorithm is applied:
1744:
1735:
1711:
1705:
1615:
1609:
1545:
1539:
261:
255:
214:
208:
86:
80:
1:
2655:
1635:{\displaystyle Q(x)=x+1.\,\!}
1495:). The final value obtained,
385:The algorithm is in fact the
2174:for which one knows a root
2138:provides a simpler method.)
2136:polynomial remainder theorem
1501:polynomial remainder theorem
62:
7:
2637:
2630:The method was invented by
10:
2779:
2625:
2222:, and, if the quotient is
2105:by a binomial of the form
1518:
428:Take the coefficients of
1499:, is the remainder. The
232:{\displaystyle Q(x)=x-r}
2758:Root-finding algorithms
1692:) must be rewritten as
2763:Division (mathematics)
2616:
2567:
2410:
2378:
2349:
2314:
2248:
2208:
2168:
2128:
2087:
1960:
1897:
1756:
1636:
1592:
1464:
1104:
871:
696:
539:
376:
233:
186:
47:. It was described by
2622:are complex numbers.
2617:
2568:
2411:
2409:{\displaystyle q(x).}
2379:
2350:
2348:{\displaystyle p(x),}
2315:
2249:
2247:{\displaystyle q(x),}
2209:
2181:The remainder of the
2169:
2129:
2088:
1961:
1898:
1757:
1652:) will be divided by
1637:
1593:
1465:
1105:
872:
697:
540:
377:
234:
187:
2739:at Wikimedia Commons
2580:
2485:
2478:can be factored as
2388:
2377:{\displaystyle p(x)}
2359:
2327:
2261:
2226:
2207:{\displaystyle p(x)}
2189:
2167:{\displaystyle p(x)}
2149:
2127:{\displaystyle x-r.}
2109:
1970:
1911:
1843:
1699:
1603:
1533:
1120:
887:
716:
564:
446:
249:
202:
74:
59:is a linear factor.
2714:Weisstein, Eric W.
2612:
2563:
2406:
2374:
2345:
2310:
2244:
2204:
2183:Euclidean division
2164:
2124:
2083:
1956:
1893:
1752:
1632:
1588:
1460:
1458:
1100:
1098:
867:
865:
692:
690:
535:
533:
372:
229:
182:
53:synthetic division
33:Euclidean division
2735:Media related to
195:by the binomial:
27:is a method for
2770:
2734:
2727:
2726:
2717:"Ruffini's rule"
2700:
2699:
2697:
2677:
2665:
2621:
2619:
2618:
2613:
2611:
2610:
2592:
2591:
2572:
2570:
2569:
2564:
2556:
2555:
2531:
2530:
2512:
2511:
2477:
2415:
2413:
2412:
2407:
2383:
2381:
2380:
2375:
2354:
2352:
2351:
2346:
2319:
2317:
2316:
2311:
2253:
2251:
2250:
2245:
2221:
2217:
2213:
2211:
2210:
2205:
2177:
2173:
2171:
2170:
2165:
2145:of a polynomial
2133:
2131:
2130:
2125:
2104:
2092:
2090:
2089:
2084:
2045:
2044:
2020:
2019:
2004:
2003:
1965:
1963:
1962:
1957:
1941:
1940:
1902:
1900:
1899:
1894:
1807:Add the values:
1785:, 0 is written:
1773:. Note that, as
1761:
1759:
1758:
1753:
1641:
1639:
1638:
1633:
1597:
1595:
1594:
1589:
1579:
1578:
1563:
1562:
1469:
1467:
1466:
1461:
1459:
1447:
1446:
1427:
1426:
1406:
1405:
1386:
1376:
1375:
1363:
1362:
1351:
1350:
1332:
1331:
1315:
1314:
1290:
1289:
1272:
1271:
1261:
1251:
1250:
1233:
1232:
1210:
1209:
1193:
1184:
1183:
1172:
1171:
1155:
1154:
1137:
1136:
1126:
1109:
1107:
1106:
1101:
1099:
1096:
1095:
1094:
1092:
1091:
1071:
1070:
1051:
1048:
1047:
1046:
1044:
1043:
1019:
1018:
1001:
1000:
990:
987:
986:
985:
977:
976:
960:
951:
950:
939:
938:
922:
921:
904:
903:
893:
876:
874:
873:
868:
866:
863:
862:
861:
860:
858:
857:
838:
835:
834:
833:
832:
830:
829:
819:
816:
815:
814:
806:
805:
789:
780:
779:
768:
767:
751:
750:
733:
732:
722:
701:
699:
698:
693:
691:
688:
687:
686:
685:
683:
682:
663:
660:
659:
658:
657:
655:
654:
644:
641:
640:
639:
638:
637:
628:
627:
616:
615:
599:
598:
581:
580:
570:
544:
542:
541:
536:
534:
531:
530:
529:
528:
527:
526:
523:
522:
521:
520:
519:
510:
509:
498:
497:
481:
480:
463:
462:
452:
381:
379:
378:
373:
368:
367:
352:
351:
333:
332:
317:
316:
298:
297:
282:
281:
238:
236:
235:
230:
191:
189:
188:
183:
181:
180:
165:
164:
146:
145:
130:
129:
111:
110:
101:
100:
2778:
2777:
2773:
2772:
2771:
2769:
2768:
2767:
2743:
2742:
2708:
2703:
2675:
2669:Cajori, Florian
2666:
2662:
2658:
2650:Horner's method
2640:
2628:
2606:
2602:
2587:
2583:
2581:
2578:
2577:
2551:
2547:
2526:
2522:
2507:
2503:
2486:
2483:
2482:
2476:
2466:
2456:
2443:
2427:
2389:
2386:
2385:
2360:
2357:
2356:
2328:
2325:
2324:
2262:
2259:
2258:
2227:
2224:
2223:
2219:
2215:
2190:
2187:
2186:
2175:
2150:
2147:
2146:
2110:
2107:
2106:
2102:
2099:
2040:
2036:
2015:
2011:
1999:
1995:
1971:
1968:
1967:
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1932:
1912:
1909:
1908:
1844:
1841:
1840:
1822:original number
1816:
1810:
1804:
1794:
1788:
1700:
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1696:
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1600:
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1570:
1558:
1554:
1534:
1531:
1530:
1521:
1457:
1456:
1448:
1442:
1438:
1433:
1428:
1416:
1412:
1407:
1395:
1391:
1384:
1383:
1371:
1367:
1358:
1354:
1352:
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1321:
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1304:
1300:
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1275:
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