6028:
5797:
5434:
is sequentially
Hausdorff were to be removed, then statement (2) would still imply the other two statement but the above characterization would no longer be guaranteed to hold (however, if points in the codomain were required to be sequentially closed then any sequentially quotient map would
6023:{\displaystyle \bigcup _{\stackrel {i\in \mathbb {N} ,}{y_{i}\neq y}}f^{-1}\left(y_{i}\right)~=~f^{-1}\left(\left(\operatorname {Im} y_{\bullet }\right)\setminus \{y\}\right)~=~f^{-1}\left(\operatorname {Im} y_{\bullet }\right)\setminus f^{-1}(y)}
4231:
1044:
5750:
9465:
98:, for example. In these situations, characterizations of such properties in terms of convergent sequences might provide benefits similar to those provided by, say for instance, the characterization of continuity in terms of
8048:
8339:
9366:
2870:
2019:
6256:
8182:
2633:
2173:
1114:
2790:
3012:
2940:
2567:
565:
6200:
4789:
4731:
8999:
791:
1814:
1281:
3238:
1595:
829:
376:
9093:
7851:
3851:
3486:
9176:
8416:
2435:
2237:
8637:
7651:
7397:
6417:
6353:
6087:
5532:
4939:
4848:
4639:
4547:
4455:
4126:
1482:
944:
8670:
3805:
3717:
3440:
3352:
3189:
2973:
7094:
2367:
5275:
5116:
9124:
2711:
9263:
9209:
8235:
6120:
5575:
5028:
4975:
2265:
1196:
738:
673:
8764:
3684:
2680:
2328:
9713:
7878:
6564:
3319:
5305:
5146:
4267:
2048:
9026:
8880:
8791:
8598:
5634:
5222:
5175:
4025:
3999:
3878:
3772:
3513:
3407:
3133:
3039:
2897:
2524:
2489:
2462:
2394:
1722:
1550:
1316:
592:
6152:
5607:
4880:
4674:
4583:
4318:
1391:
6295:
5789:
4392:
3933:
3568:
1696:
9768:
9668:
8919:
8830:
7910:
7761:
7029:
4487:
4357:
4144:
2080:
1953:
1866:
1760:
1524:
1426:
1348:
1228:
957:
885:
705:
510:
408:
271:
217:
179:
9860:
9800:
9554:
8523:
8080:
7592:
7469:
7296:
6938:
6490:
5465:
5362:
3965:
3610:
3096:
8116:
6519:
4063:
1921:
1163:
641:
9626:
8261:
7944:
7726:
6970:
5083:
3636:
3274:
2734:
1892:
1621:
478:
7170:
5662:
5471:
surjection that satisfies condition (2) or alternatively, condition (3). If the codomain is sequentially
Hausdorff then these definitions differs from the original
5309:
This statement differs from (2) above only in that there are no requirements placed on the limits of the sequences (which becomes an important difference only when
2292:
6715:
6686:
9371:
9508:
9286:
8853:
8713:
8572:
8366:
7698:
7516:
7342:
7262:
The following is a sufficient condition for a continuous surjection to be sequentially open, which with additional assumptions, results in a characterization of
6738:
6658:
6615:
5657:
3156:
3062:
294:
9828:
9733:
9600:
9577:
9485:
8939:
8690:
8546:
8480:
8460:
8436:
8202:
7984:
7964:
7801:
7781:
7675:
7556:
7536:
7489:
7437:
7417:
7319:
7245:
7215:
7195:
7138:
7114:
7049:
6990:
6903:
6881:
6859:
6837:
6812:
6788:
6761:
6635:
6584:
6447:
5432:
5406:
5386:
5327:
5242:
5195:
5048:
4995:
4286:
3898:
3737:
3533:
3372:
2193:
1834:
1661:
1641:
1134:
853:
612:
455:
432:
338:
318:
239:
147:
5467:
was strengthened to require (ordinary) continuity. Instead of using the original definition, some authors define "sequentially quotient map" to mean a
4791:
possess it. Every
Hausdorff space is necessarily sequentially Hausdorff. A sequential space is Hausdorff if and only if it is sequentially Hausdorff.
6791:
3970:
7989:
8266:
9291:
2795:
1966:
6205:
8121:
2572:
2112:
1053:
4401:
Every sequentially quotient map is necessarily surjective and sequentially continuous although they may fail to be continuous. If
2464:
is infinite" as well as other terminology and notation that is defined for functions can thus be applied to sequences. A sequence
2739:
2978:
2902:
2529:
17:
523:
6157:
4744:
4686:
8944:
743:
1765:
6355:
between
Hausdorff spaces is sequentially quotient if and only if it is sequentially continuous and a presequential map.
1233:
3194:
1555:
796:
343:
9031:
7806:
3810:
3445:
1318:
Every continuous map is sequentially continuous although in general, the converse may fail to hold. In fact, a space
10585:
9129:
8371:
2407:
10546:
Siwiec, Frank; Mancuso, Vincent J. (1971). "Relations among certain mappings and conditions for their equivalence".
2201:
8603:
7601:
7347:
6366:
6302:
6036:
5481:
4888:
4797:
4588:
4496:
4404:
4075:
1431:
893:
8642:
3777:
3689:
3412:
3324:
3161:
2945:
10081:
90:
is more than enough) then these definitions become equivalent to other well-known classes of maps, such as
9871:
7054:
2336:
1958:
124:
5247:
5088:
9098:
5435:
necessarily satisfy condition (3)). This remains true even if the sequential continuity requirement on
2685:
9904:
9214:
9181:
8207:
6092:
5547:
5000:
4947:
2242:
1168:
710:
645:
9895: – Map between topological spaces with the property that the preimage of every compact is compact
8718:
8482:
8439:
7915:
7248:
3641:
2638:
2297:
1047:
9673:
7859:
6524:
3279:
5280:
5121:
4243:
2024:
435:
9004:
8858:
8769:
8577:
5612:
5200:
5153:
4226:{\displaystyle f:(X,\operatorname {SeqOpen} (X,\tau ))\to (Y,\operatorname {SeqOpen} (Y,\sigma ))}
4004:
3978:
3856:
3742:
3491:
3377:
3111:
3017:
2875:
2502:
2467:
2440:
2372:
1701:
1529:
1286:
1039:{\displaystyle f:(X,\operatorname {SeqOpen} (X,\tau ))\to (Y,\operatorname {SeqOpen} (Y,\sigma ))}
570:
9803:
7654:
6125:
5580:
4853:
4647:
4556:
4550:
4291:
4237:
1364:
95:
58:
6265:
5759:
4362:
3903:
3538:
1666:
9738:
9634:
8885:
8796:
7883:
7731:
6995:
4678:
4460:
4323:
2369:
might be used in certain situations to improve readability). Statements such as "the sequence
2196:
2095:
2087:
2053:
1926:
1839:
1733:
1497:
1396:
1321:
1201:
858:
678:
483:
381:
244:
190:
152:
103:
9833:
9773:
9527:
8496:
8053:
7565:
7442:
7269:
6911:
6463:
5745:{\displaystyle \bigcup _{\stackrel {i\in \mathbb {N} ,}{y_{i}\neq y}}f^{-1}\left(y_{i}\right)}
5438:
5335:
3938:
3583:
3069:
10451:
Olson, Roy C. (1974). "Bi-quotient maps, countably bi-sequential spaces and related topics".
9807:
9580:
8526:
8092:
8086:
6495:
5475:
in the added requirement of continuity (rather than merely requiring sequential continuity).
4030:
2083:
1897:
1139:
949:
617:
99:
87:
9605:
9460:{\displaystyle f\circ x_{l_{\bullet }}=\left(f\left(x_{l_{k}}\right)\right)_{k=1}^{\infty }}
8240:
7923:
7705:
6949:
5053:
3615:
3253:
2719:
1871:
1600:
460:
10132:
10096:
7143:
7117:
5365:
2714:
2331:
2270:
411:
79:
52:
10137:
Communications
Faculty of Science University of Ankara Series A1Mathematics and Statistics
6691:
6662:
8:
9629:
9513:
2401:
10100:
9880: – A function that sends open (resp. closed) subsets to open (resp. closed) subsets
9490:
9268:
8835:
8695:
8554:
8348:
7680:
7498:
7324:
6720:
6640:
6597:
5639:
3138:
3044:
276:
10505:
10480:
Shou, Lin; Chuan, Liu; Mumin, Dai (1997). "Images on locally separable metric spaces".
10256:
9813:
9718:
9585:
9562:
9470:
8924:
8675:
8531:
8465:
8445:
8421:
8187:
7969:
7949:
7786:
7766:
7660:
7541:
7521:
7474:
7422:
7402:
7304:
7230:
7200:
7180:
7123:
7099:
7034:
6975:
6888:
6866:
6844:
6822:
6797:
6773:
6746:
6620:
6569:
6432:
5417:
5391:
5371:
5312:
5227:
5180:
5033:
4980:
4271:
3883:
3722:
3518:
3357:
2178:
1819:
1646:
1626:
1352:
1119:
838:
597:
440:
417:
323:
303:
224:
132:
10406:
10306:
10289:
10563:
10559:
10534:
10530:
10509:
10497:
10468:
10464:
10439:
10435:
10410:
10381:
10346:
10311:
10276:
10231:
10196:
10154:
10112:
9521:
7492:
6589:
184:
44:
40:
10108:
9889: – Continuous closed surjective map, each of whose fibers are also compact sets
10555:
10526:
10489:
10460:
10431:
10402:
10371:
10336:
10301:
10266:
10221:
10186:
10144:
10104:
9898:
9557:
7559:
4738:
4490:
2091:
515:
120:
75:
8549:
8083:
7218:
6455:
6423:
6420:
4734:
83:
7854:
10517:
Siwiec, Frank (1971). "Sequence-covering and countably bi-quotient mappings".
10271:
10244:
10149:
10579:
10567:
10538:
10501:
10472:
10443:
10414:
10385:
10376:
10359:
10350:
10315:
10280:
10235:
10226:
10209:
10200:
10158:
10116:
9517:
8043:{\displaystyle \left\{B\in {\mathcal {B}}~:~U\cap B\neq \varnothing \right\}}
7299:
2397:
10341:
10324:
10393:
Lin, Shou; Yan, Pengfei (2001). "Sequence-covering maps of metric spaces".
10191:
10174:
9907: – Topological space where every sequence has a convergent subsequence
8334:{\displaystyle \left\{f^{-1}\left(y_{i}\right)~:~i\in \mathbb {N} \right\}}
7221:
9886:
2494:
28:
10493:
9892:
9361:{\displaystyle x_{l_{\bullet }}=\left(x_{l_{k}}\right)_{k=1}^{\infty }}
2865:{\displaystyle x_{l_{\bullet }}=\left(x_{l_{k}}\right)_{k=1}^{\infty }}
7728:
in the codomain of a (not necessarily surjective) continuous function
2294:(although the usual notation used with functions, such as parentheses
9862:
is an almost open map and consequently, also a 1-sequence covering.
2014:{\displaystyle \operatorname {scl} _{X}S~=~\operatorname {cl} _{X}S}
320:(i.e. at most finitely many points in the sequence do not belong to
9877:
7595:
7263:
6764:
2107:
91:
48:
32:
10261:
6251:{\displaystyle f^{-1}\left(\operatorname {Im} y_{\bullet }\right)}
4737:. In an analogous manner, a "sequential version" of every other
2086:
is a Fréchet–Urysohn space and thus also a sequential space. All
8442:; that is, if there does not exist any non-empty open subset of
10133:"Sequentially Hausdorff and full sequentially Hausdorff spaces"
8177:{\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
4072:
In analogy with the definition of sequential continuity, a map
2628:{\displaystyle l_{\bullet }=\left(l_{k}\right)_{k=1}^{\infty }}
2168:{\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
1109:{\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
6089:
is presequential if and only if for every convergent sequence
2785:{\displaystyle s_{\bullet }=x_{\bullet }\circ l_{\bullet }.}
10175:"A note on mesocompact and sequentially mesocompact spaces"
9512:
The following shows that under certain conditions, a map's
6617:
which by definition means that for every open neighborhood
6449:
is almost open if and only if it is a 1-sequence covering.
4850:
is a sequentially continuous surjection then assuming that
2872:
is declared to be (such as by definition) a subsequence of
1484:
is continuous if and only if it is sequentially continuous.
855:
for which this characterization of sequence convergence in
3007:{\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }\subseteq S}
1350:
is a sequential space if and only if it has the following
10358:
Gruenhage, Gary; Michael, Ernest; Tanaka, Yoshio (1984).
4882:
is sequentially
Hausdorff, the following are equivalent:
2935:{\displaystyle l_{\bullet }:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }
2562:{\displaystyle l_{\bullet }:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }
560:{\displaystyle \tau =\operatorname {SeqOpen} (X,\tau ).}
78:. If the domain and/or codomain have certain additional
9882:
Pages displaying short descriptions of redirect targets
9126:
In short, this states that given a convergent sequence
6195:{\displaystyle y_{\bullet }\subseteq Y\setminus \{y\},}
4784:{\displaystyle (Y,\operatorname {SeqOpen} (Y,\sigma ))}
4726:{\displaystyle (Y,\operatorname {SeqOpen} (Y,\sigma ))}
10357:
10290:"A characterization of closed images of metric spaces"
10019:
8994:{\displaystyle \left(x_{l_{k}}\right)_{k=1}^{\infty }}
786:{\displaystyle (X,\operatorname {SeqOpen} (X,\tau )).}
47:
whose definitions all somehow relate sequences in the
9934:
9836:
9816:
9776:
9741:
9721:
9676:
9637:
9608:
9588:
9565:
9530:
9493:
9473:
9374:
9294:
9271:
9217:
9184:
9132:
9101:
9034:
9007:
8947:
8927:
8888:
8861:
8838:
8799:
8772:
8721:
8698:
8678:
8645:
8606:
8580:
8557:
8534:
8499:
8468:
8448:
8424:
8374:
8351:
8269:
8243:
8210:
8190:
8124:
8095:
8056:
7992:
7972:
7952:
7926:
7886:
7862:
7809:
7789:
7769:
7734:
7708:
7683:
7663:
7604:
7568:
7544:
7524:
7501:
7477:
7445:
7425:
7405:
7350:
7327:
7307:
7272:
7233:
7203:
7183:
7146:
7126:
7102:
7057:
7037:
6998:
6978:
6952:
6914:
6891:
6869:
6847:
6825:
6800:
6776:
6749:
6723:
6694:
6665:
6643:
6623:
6600:
6572:
6527:
6498:
6466:
6435:
6369:
6305:
6268:
6208:
6160:
6128:
6095:
6039:
5800:
5762:
5665:
5642:
5615:
5583:
5550:
5484:
5441:
5420:
5394:
5374:
5338:
5315:
5283:
5250:
5230:
5203:
5183:
5156:
5124:
5091:
5056:
5036:
5003:
4983:
4950:
4891:
4856:
4800:
4747:
4689:
4650:
4591:
4559:
4499:
4463:
4457:
is a sequentially continuous surjection whose domain
4407:
4365:
4326:
4294:
4274:
4246:
4147:
4078:
4033:
4007:
3981:
3941:
3906:
3886:
3859:
3813:
3780:
3745:
3725:
3692:
3644:
3618:
3586:
3541:
3521:
3494:
3448:
3415:
3380:
3360:
3327:
3282:
3256:
3197:
3164:
3141:
3114:
3072:
3047:
3020:
2981:
2948:
2905:
2878:
2798:
2742:
2722:
2688:
2641:
2575:
2532:
2505:
2470:
2443:
2410:
2375:
2339:
2300:
2273:
2245:
2204:
2181:
2115:
2056:
2027:
1969:
1929:
1900:
1874:
1842:
1822:
1768:
1736:
1704:
1669:
1649:
1629:
1603:
1558:
1532:
1500:
1434:
1399:
1367:
1324:
1289:
1236:
1204:
1171:
1142:
1122:
1056:
960:
896:
861:
841:
799:
746:
713:
681:
648:
620:
600:
573:
526:
486:
463:
443:
420:
384:
346:
326:
306:
279:
247:
227:
193:
155:
135:
10422:
Michael, E.A. (1972). "A quintuple quotient quest".
9901: – Topological space characterized by sequences
4741:
can be defined in terms of whether or not the space
1816:
which happens if and only if whenever a sequence in
1809:{\displaystyle S=\operatorname {scl} _{(X,\tau )}S,}
10013:
9964:
9962:
8418:The converse is true if there is no point at which
102:or the characterization of compactness in terms of
10079:
9940:
9854:
9822:
9794:
9762:
9727:
9707:
9662:
9620:
9594:
9571:
9548:
9502:
9479:
9459:
9360:
9280:
9257:
9203:
9170:
9118:
9087:
9020:
8993:
8933:
8913:
8874:
8847:
8824:
8785:
8758:
8707:
8684:
8664:
8631:
8592:
8566:
8540:
8517:
8474:
8454:
8430:
8410:
8360:
8333:
8255:
8229:
8196:
8176:
8110:
8074:
8042:
7978:
7958:
7938:
7904:
7872:
7845:
7795:
7775:
7755:
7720:
7692:
7669:
7645:
7586:
7550:
7530:
7510:
7483:
7463:
7431:
7411:
7391:
7336:
7313:
7290:
7239:
7209:
7189:
7164:
7132:
7108:
7088:
7043:
7023:
6984:
6964:
6932:
6897:
6875:
6853:
6831:
6806:
6782:
6755:
6732:
6709:
6680:
6652:
6629:
6609:
6578:
6558:
6513:
6484:
6441:
6411:
6347:
6289:
6250:
6194:
6146:
6114:
6081:
6022:
5783:
5744:
5651:
5628:
5601:
5569:
5526:
5459:
5426:
5400:
5380:
5356:
5321:
5299:
5269:
5236:
5216:
5189:
5169:
5140:
5110:
5077:
5042:
5022:
4989:
4969:
4933:
4874:
4842:
4783:
4725:
4668:
4633:
4577:
4541:
4481:
4449:
4386:
4351:
4312:
4280:
4261:
4225:
4120:
4057:
4019:
3993:
3959:
3927:
3892:
3872:
3845:
3799:
3766:
3731:
3711:
3678:
3630:
3604:
3562:
3527:
3507:
3480:
3434:
3401:
3366:
3346:
3313:
3268:
3232:
3183:
3150:
3127:
3090:
3056:
3033:
3006:
2967:
2934:
2891:
2864:
2784:
2728:
2713:where this condition can be expressed in terms of
2705:
2674:
2627:
2561:
2518:
2483:
2456:
2429:
2388:
2361:
2322:
2286:
2259:
2231:
2187:
2167:
2074:
2042:
2013:
1947:
1915:
1886:
1860:
1828:
1808:
1754:
1716:
1690:
1655:
1635:
1615:
1589:
1544:
1518:
1476:
1420:
1385:
1342:
1310:
1276:{\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)}
1275:
1222:
1190:
1157:
1128:
1108:
1050:, which happens if and only if for every sequence
1038:
938:
879:
847:
823:
785:
732:
699:
667:
635:
606:
586:
559:
504:
472:
449:
426:
402:
370:
332:
312:
288:
265:
233:
211:
173:
141:
9982:
9980:
9978:
9976:
4067:
3233:{\displaystyle y_{\bullet }=f\circ x_{\bullet }.}
1590:{\displaystyle \operatorname {scl} _{(X,\tau )}S}
824:{\displaystyle \operatorname {SeqOpen} (X,\tau )}
371:{\displaystyle \operatorname {SeqOpen} (X,\tau )}
10577:
10294:Proceedings of the American Mathematical Society
9959:
9088:{\displaystyle f(z_{k})=f\left(x_{l_{k}}\right)}
7846:{\displaystyle y\in \operatorname {Im} f:=f(X).}
6426:spaces then the following statements are true:
3846:{\displaystyle y_{\bullet }=f\circ x_{\bullet }}
3481:{\displaystyle y_{\bullet }=f\circ x_{\bullet }}
9171:{\displaystyle x_{\bullet }\subseteq f^{-1}(D)}
8411:{\displaystyle y\in \operatorname {Im} f=f(X).}
7763:the following gives a sufficient condition for
7399:is sequentially quotient for every open subset
2430:{\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }}
2050:which happens if and only if every subspace of
74:. These classes of maps are closely related to
10479:
10041:
9973:
4394:Sequentially quotient maps were introduced in
4240:, which happens if and only if for any subset
2232:{\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}
10545:
10360:"Spaces determined by point-countable covers"
10035:
9968:
8632:{\displaystyle y\in \operatorname {cl} _{Y}D}
7611:
7357:
9991:
9950:
9948:
9288:it is always possible to find a subsequence
7646:{\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to f(U)}
7392:{\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to f(U)}
6186:
6180:
5939:
5933:
10207:
10046:
9986:
9923:
9670:is a countable set, then there exists some
7653:is sequentially quotient (or equivalently,
6767:if and only if it is a 2-sequence covering.
4395:
2899:then it should immediately be assumed that
10131:Akiz, Hürmet Fulya; Koçak, Lokman (2019).
9520:is enough to guarantee the existence of a
6412:{\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}
6348:{\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}
6082:{\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}
5527:{\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}
4934:{\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}
4843:{\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}
4634:{\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}
4542:{\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}
4450:{\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}
4121:{\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}
2526:if there exists a strictly increasing map
1477:{\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}
939:{\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}
10375:
10340:
10305:
10270:
10260:
10245:"Sequential definitions of connectedness"
10225:
10190:
10148:
10130:
10057:
10024:
9997:
9945:
9109:
8322:
5834:
5791:where this set may also be described as:
5699:
2928:
2920:
2696:
2555:
2547:
2253:
2219:
106:(whenever such characterizations hold).
10322:
10002:
9929:
9556:is a sequence covering from a Hausdorff
8665:{\displaystyle \operatorname {cl} _{Y}D}
8488:
5197:then there exists a convergent sequence
4997:then there exists a convergent sequence
10421:
10242:
10208:Boone, James R.; Siwiec, Frank (1976).
10052:
8525:is a continuous open surjection from a
7946:if there exists some open neighborhood
6419:is a continuous surjection between two
3800:{\displaystyle x_{\bullet }\subseteq X}
3712:{\displaystyle y_{\bullet }\subseteq Y}
3435:{\displaystyle x_{\bullet }\subseteq X}
3347:{\displaystyle y_{\bullet }\subseteq Y}
3184:{\displaystyle x_{\bullet }\subseteq X}
2968:{\displaystyle x_{\bullet }\subseteq S}
14:
10578:
10516:
10392:
10030:
9954:
2942:is strictly increasing. The notation
10548:General Topology and Its Applications
10519:General Topology and Its Applications
10453:General Topology and Its Applications
10450:
10424:General Topology and Its Applications
10287:
10172:
10063:
10008:
9874: – Property of topological space
2101:
1623:for which there exists a sequence in
10020:Gruenhage, Michael & Tanaka 1984
7089:{\displaystyle f^{-1}(y)\subseteq U}
6358:
2362:{\displaystyle f\circ x_{\bullet },}
378:of all sequentially open subsets of
10325:"Spaces in which sequences suffice"
7224:then to this list may be appended:
5270:{\displaystyle f\circ x_{\bullet }}
5111:{\displaystyle f\circ x_{\bullet }}
24:
9452:
9353:
9119:{\displaystyle k\in \mathbb {N} .}
8986:
8169:
8006:
7880:of subsets of a topological space
7865:
7298:is a continuous surjection from a
5388:then this condition holds even if
5364:is a continuous surjection onto a
2857:
2706:{\displaystyle k\in \mathbb {N} ,}
2620:
2160:
1101:
296:then that sequence is necessarily
25:
10597:
10307:10.1090/S0002-9939-1985-0806093-3
10214:Czechoslovak Mathematical Journal
9258:{\displaystyle z\in f^{-1}(f(x))}
9204:{\displaystyle x_{\bullet }\to x}
8600:be any non-empty subset, and let
8230:{\displaystyle y_{\bullet }\to y}
8032:
6492:with the property that for every
6177:
6115:{\displaystyle y_{\bullet }\to y}
5995:
5930:
5570:{\displaystyle y_{\bullet }\to y}
5544:if for every convergent sequence
5023:{\displaystyle x_{\bullet }\to x}
4970:{\displaystyle y_{\bullet }\to y}
4641:is a sequentially quotient map.
4001:there exists some compact subset
3612:is surjective and also for every
3108:if for every convergent sequence
2260:{\displaystyle i\in \mathbb {N} }
1191:{\displaystyle x_{\bullet }\to x}
733:{\displaystyle x_{\bullet }\to x}
668:{\displaystyle x_{\bullet }\to x}
10210:"Sequentially quotient mappings"
9487:to a sequence that converges to
8759:{\displaystyle x,z\in f^{-1}(y)}
8082:is a continuous map between two
273:) to some point that belongs to
114:
10109:10.1070/RM1966v021n04ABEH004169
9265:belonging to the same fiber as
6861:is a sequentially quotient map.
5329:is not sequentially Hausdorff).
4320:if and only if this is true of
3679:{\displaystyle x\in f^{-1}(y),}
2675:{\displaystyle s_{k}=x_{l_{k}}}
2323:{\displaystyle x_{\bullet }(i)}
10364:Pacific Journal of Mathematics
10179:Pacific Journal of Mathematics
9846:
9786:
9751:
9708:{\displaystyle x\in f^{-1}(y)}
9702:
9696:
9657:
9651:
9540:
9252:
9249:
9243:
9237:
9195:
9165:
9159:
9051:
9038:
8908:
8902:
8819:
8813:
8753:
8747:
8509:
8402:
8396:
8221:
8066:
7899:
7887:
7873:{\displaystyle {\mathcal {B}}}
7837:
7831:
7744:
7640:
7634:
7628:
7578:
7455:
7386:
7380:
7374:
7282:
7156:
7150:
7077:
7071:
7018:
7012:
6924:
6817:The following are equivalent:
6704:
6698:
6675:
6669:
6559:{\displaystyle x\in f^{-1}(y)}
6553:
6547:
6476:
6406:
6394:
6391:
6388:
6376:
6342:
6330:
6327:
6324:
6312:
6281:
6269:
6141:
6129:
6106:
6076:
6064:
6061:
6058:
6046:
6017:
6011:
5775:
5763:
5596:
5584:
5561:
5521:
5509:
5506:
5503:
5491:
5451:
5408:is not sequentially Hausdorff.
5348:
5066:
5060:
5014:
4961:
4928:
4916:
4913:
4910:
4898:
4869:
4857:
4837:
4825:
4822:
4819:
4807:
4778:
4775:
4763:
4748:
4720:
4717:
4705:
4690:
4663:
4651:
4628:
4616:
4613:
4610:
4598:
4572:
4560:
4536:
4524:
4521:
4518:
4506:
4476:
4464:
4444:
4432:
4429:
4426:
4414:
4378:
4366:
4346:
4340:
4307:
4295:
4220:
4217:
4205:
4190:
4187:
4184:
4181:
4169:
4154:
4115:
4103:
4100:
4097:
4085:
4068:Sequentially quotient mappings
4043:
4037:
3951:
3919:
3907:
3758:
3746:
3670:
3664:
3596:
3554:
3542:
3393:
3381:
3314:{\displaystyle x\in f^{-1}(y)}
3308:
3302:
3082:
2924:
2551:
2317:
2311:
2223:
2082:is a sequential space. Every
2069:
2057:
1942:
1930:
1855:
1843:
1792:
1780:
1749:
1737:
1682:
1670:
1576:
1564:
1513:
1501:
1471:
1459:
1456:
1453:
1441:
1409:
1380:
1368:
1337:
1325:
1302:
1290:
1270:
1264:
1258:
1217:
1205:
1182:
1033:
1030:
1018:
1003:
1000:
997:
994:
982:
967:
933:
921:
918:
915:
903:
874:
862:
818:
806:
777:
774:
762:
747:
724:
694:
682:
659:
551:
539:
499:
487:
397:
385:
365:
353:
260:
248:
206:
194:
168:
156:
109:
13:
1:
10407:10.1016/S0166-8641(99)00163-7
10395:Topology and Its Applications
10072:
7257:
5300:{\displaystyle y_{\bullet }.}
5141:{\displaystyle y_{\bullet }.}
4262:{\displaystyle S\subseteq Y,}
2043:{\displaystyle S\subseteq X,}
10560:10.1016/0016-660X(71)90108-5
10531:10.1016/0016-660X(71)90120-6
10465:10.1016/0016-660X(74)90002-6
10436:10.1016/0016-660X(72)90040-2
10089:Russian Mathematical Surveys
10080:Arkhangel'skii, A V (1966).
10042:Shou, Chuan & Mumin 1997
9916:
9021:{\displaystyle x_{\bullet }}
8875:{\displaystyle z_{\bullet }}
8786:{\displaystyle x_{\bullet }}
8593:{\displaystyle D\subseteq Y}
6972:and every open neighborhood
5629:{\displaystyle y_{\bullet }}
5217:{\displaystyle x_{\bullet }}
5177:is a convergent sequence in
5170:{\displaystyle y_{\bullet }}
4977:is a convergent sequence in
4398:who defined them as above.
4020:{\displaystyle C\subseteq X}
3994:{\displaystyle K\subseteq Y}
3873:{\displaystyle x_{\bullet }}
3767:{\displaystyle (Y,\sigma ),}
3508:{\displaystyle x_{\bullet }}
3402:{\displaystyle (Y,\sigma ),}
3128:{\displaystyle y_{\bullet }}
3034:{\displaystyle x_{\bullet }}
2892:{\displaystyle x_{\bullet }}
2519:{\displaystyle x_{\bullet }}
2484:{\displaystyle s_{\bullet }}
2457:{\displaystyle x_{\bullet }}
2389:{\displaystyle x_{\bullet }}
1717:{\displaystyle S\subseteq X}
1545:{\displaystyle S\subseteq X}
1361:for every topological space
1311:{\displaystyle (Y,\sigma ).}
587:{\displaystyle x_{\bullet }}
7:
10249:Applied Mathematics Letters
9865:
9735:is a point of openness for
8118:If there exists a sequence
7116:necessarily belongs to the
6147:{\displaystyle (Y,\sigma )}
5636:is not eventually equal to
5602:{\displaystyle (Y,\sigma )}
4875:{\displaystyle (Y,\sigma )}
4669:{\displaystyle (Y,\sigma )}
4578:{\displaystyle (Y,\sigma )}
4313:{\displaystyle (Y,\sigma )}
1386:{\displaystyle (Y,\sigma )}
10:
10602:
9905:Sequentially compact space
8237:and (2) there exists some
6290:{\displaystyle (X,\tau ).}
5784:{\displaystyle (X,\tau ),}
4585:is a sequential space and
4387:{\displaystyle (X,\tau ).}
3928:{\displaystyle (X,\tau ).}
3563:{\displaystyle (X,\tau ).}
1691:{\displaystyle (X,\tau ).}
221:if whenever a sequence in
118:
10272:10.1016/j.aml.2011.09.036
10243:Çakallı, Hüseyin (2012).
10150:10.31801/cfsuasmas.424418
9969:Siwiec & Mancuso 1971
9763:{\displaystyle f:X\to Y.}
9663:{\displaystyle f^{-1}(y)}
8941:as well as a subsequence
8914:{\displaystyle f^{-1}(D)}
8825:{\displaystyle f^{-1}(D)}
7905:{\displaystyle (X,\tau )}
7756:{\displaystyle f:X\to Y,}
7249:hereditarily quotient map
7024:{\displaystyle f^{-1}(y)}
4941:is sequentially quotient.
4482:{\displaystyle (X,\tau )}
4352:{\displaystyle f^{-1}(S)}
4133:sequentially quotient map
3321:such that every sequence
2075:{\displaystyle (X,\tau )}
1948:{\displaystyle (X,\tau )}
1861:{\displaystyle (X,\tau )}
1755:{\displaystyle (X,\tau )}
1519:{\displaystyle (X,\tau )}
1421:{\displaystyle f:X\to Y,}
1343:{\displaystyle (X,\tau )}
1223:{\displaystyle (X,\tau )}
880:{\displaystyle (X,\tau )}
700:{\displaystyle (X,\tau )}
505:{\displaystyle (X,\tau )}
403:{\displaystyle (X,\tau )}
266:{\displaystyle (X,\tau )}
212:{\displaystyle (X,\tau )}
174:{\displaystyle (X,\tau )}
82:(often, the spaces being
10586:Topological graph theory
10377:10.2140/pjm.1984.113.303
10227:10.21136/CMJ.1976.101388
9911:
9855:{\displaystyle f:X\to Y}
9795:{\displaystyle f:X\to Y}
9549:{\displaystyle f:X\to Y}
8855:there exists a sequence
8518:{\displaystyle f:X\to Y}
8075:{\displaystyle f:X\to Y}
8050:is finite. Assume that
7657:) for every open subset
7587:{\displaystyle f:X\to Y}
7464:{\displaystyle f:X\to Y}
7291:{\displaystyle f:X\to Y}
7177:and if in addition both
7031:(meaning an open subset
6933:{\displaystyle f:X\to Y}
6485:{\displaystyle f:X\to Y}
5460:{\displaystyle f:X\to Y}
5357:{\displaystyle f:X\to Y}
3960:{\displaystyle f:X\to Y}
3774:there exists a sequence
3605:{\displaystyle f:X\to Y}
3409:there exists a sequence
3158:there exists a sequence
3091:{\displaystyle f:X\to Y}
10482:Acta Mathematica Sinica
10342:10.4064/fm-57-1-107-115
10329:Fundamenta Mathematicae
9987:Boone & Siwiec 1976
8672:denotes the closure of
8111:{\displaystyle y\in Y.}
7321:onto a Hausdorff space
7226:
6883:is a sequence covering.
6514:{\displaystyle y\in Y,}
6262:sequentially closed in
5756:sequentially closed in
5414:If the assumption that
4396:Boone & Siwiec 1976
4058:{\displaystyle f(C)=K.}
3014:mean that the sequence
2096:second-countable spaces
2088:pseudometrizable spaces
1916:{\displaystyle x\in S.}
1158:{\displaystyle x\in X,}
950:sequentially continuous
636:{\displaystyle x\in X,}
10192:10.2140/pjm.1973.44.69
9856:
9824:
9810:and if every fiber of
9808:first-countable spaces
9806:between two Hausdorff
9796:
9764:
9729:
9709:
9664:
9622:
9621:{\displaystyle y\in Y}
9596:
9573:
9550:
9504:
9481:
9461:
9362:
9282:
9259:
9205:
9172:
9120:
9089:
9022:
8995:
8935:
8915:
8876:
8849:
8826:
8787:
8760:
8709:
8686:
8666:
8633:
8594:
8568:
8542:
8519:
8476:
8456:
8432:
8412:
8362:
8335:
8257:
8256:{\displaystyle x\in X}
8231:
8198:
8178:
8112:
8087:first-countable spaces
8076:
8044:
7980:
7960:
7940:
7939:{\displaystyle x\in X}
7906:
7874:
7847:
7797:
7777:
7757:
7722:
7721:{\displaystyle y\in Y}
7694:
7671:
7647:
7588:
7552:
7532:
7512:
7485:
7465:
7433:
7413:
7393:
7338:
7315:
7292:
7241:
7211:
7191:
7166:
7134:
7110:
7090:
7045:
7025:
6986:
6966:
6965:{\displaystyle y\in Y}
6934:
6905:is a pseudo-open map.
6899:
6877:
6855:
6833:
6808:
6784:
6757:
6734:
6711:
6682:
6654:
6631:
6611:
6580:
6560:
6515:
6486:
6443:
6413:
6349:
6291:
6252:
6196:
6148:
6116:
6083:
6024:
5785:
5746:
5653:
5630:
5603:
5571:
5528:
5461:
5428:
5402:
5382:
5358:
5323:
5301:
5271:
5238:
5218:
5191:
5171:
5142:
5112:
5079:
5078:{\displaystyle f(x)=y}
5044:
5024:
4991:
4971:
4935:
4876:
4844:
4785:
4727:
4679:sequentially Hausdorff
4670:
4635:
4579:
4543:
4483:
4451:
4388:
4353:
4314:
4282:
4263:
4227:
4122:
4059:
4021:
3995:
3961:
3929:
3894:
3874:
3847:
3801:
3768:
3733:
3713:
3680:
3632:
3631:{\displaystyle y\in Y}
3606:
3564:
3529:
3509:
3482:
3436:
3403:
3368:
3348:
3315:
3270:
3269:{\displaystyle y\in Y}
3234:
3185:
3152:
3129:
3092:
3058:
3035:
3008:
2969:
2936:
2893:
2866:
2786:
2730:
2729:{\displaystyle \circ }
2707:
2676:
2629:
2563:
2520:
2485:
2458:
2431:
2390:
2363:
2324:
2288:
2261:
2233:
2189:
2169:
2076:
2044:
2015:
1949:
1917:
1888:
1887:{\displaystyle x\in X}
1862:
1830:
1810:
1756:
1718:
1692:
1657:
1637:
1617:
1616:{\displaystyle x\in X}
1591:
1546:
1520:
1478:
1422:
1387:
1344:
1312:
1277:
1224:
1192:
1159:
1130:
1110:
1040:
940:
881:
849:
825:
787:
734:
701:
669:
637:
608:
588:
561:
506:
474:
473:{\displaystyle \tau .}
451:
428:
404:
372:
334:
314:
290:
267:
235:
213:
175:
143:
104:sequential compactness
80:topological properties
51:with sequences in the
18:Sequence covering maps
10323:Franklin, S. (1965).
10173:Boone, James (1973).
10082:"Mappings and spaces"
9998:Akiz & Koçak 2019
9872:Fréchet–Urysohn space
9857:
9825:
9797:
9765:
9730:
9710:
9665:
9623:
9597:
9581:first-countable space
9574:
9551:
9505:
9482:
9462:
9363:
9283:
9260:
9206:
9173:
9121:
9090:
9023:
8996:
8936:
8916:
8877:
8850:
8827:
8788:
8761:
8710:
8687:
8667:
8634:
8595:
8569:
8543:
8527:first-countable space
8520:
8489:Sufficient conditions
8477:
8457:
8433:
8413:
8363:
8336:
8258:
8232:
8199:
8179:
8113:
8077:
8045:
7981:
7961:
7941:
7907:
7875:
7848:
7798:
7778:
7758:
7723:
7695:
7672:
7648:
7589:
7553:
7533:
7513:
7486:
7471:maps open subsets of
7466:
7434:
7414:
7394:
7339:
7316:
7293:
7242:
7212:
7192:
7167:
7165:{\displaystyle f(U).}
7135:
7111:
7091:
7046:
7026:
6987:
6967:
6935:
6900:
6878:
6856:
6834:
6809:
6785:
6758:
6735:
6712:
6688:is a neighborhood of
6683:
6655:
6632:
6612:
6581:
6561:
6516:
6487:
6444:
6414:
6350:
6292:
6253:
6197:
6149:
6117:
6084:
6025:
5786:
5747:
5654:
5631:
5604:
5572:
5529:
5462:
5429:
5403:
5383:
5359:
5324:
5302:
5272:
5239:
5219:
5192:
5172:
5143:
5113:
5080:
5045:
5025:
4992:
4972:
4936:
4877:
4845:
4786:
4728:
4671:
4636:
4580:
4544:
4484:
4452:
4389:
4354:
4315:
4288:is sequentially open
4283:
4264:
4228:
4123:
4060:
4022:
3996:
3975:if for every compact
3962:
3930:
3895:
3875:
3848:
3802:
3769:
3734:
3714:
3681:
3633:
3607:
3565:
3530:
3510:
3483:
3437:
3404:
3369:
3349:
3316:
3271:
3235:
3186:
3153:
3130:
3093:
3059:
3041:is valued in the set
3036:
3009:
2970:
2937:
2894:
2867:
2787:
2731:
2708:
2677:
2630:
2569:(possibly denoted by
2564:
2521:
2486:
2459:
2432:
2391:
2364:
2325:
2289:
2287:{\displaystyle x_{i}}
2262:
2234:
2190:
2170:
2098:are first-countable.
2084:first-countable space
2077:
2045:
2016:
1959:Fréchet–Urysohn space
1950:
1918:
1889:
1863:
1831:
1811:
1757:
1719:
1693:
1658:
1638:
1618:
1592:
1547:
1521:
1479:
1423:
1388:
1355:for sequential spaces
1345:
1313:
1278:
1225:
1193:
1160:
1131:
1111:
1041:
941:
882:
850:
826:
788:
735:
702:
670:
638:
609:
589:
562:
507:
475:
452:
429:
405:
373:
335:
315:
291:
268:
236:
214:
176:
144:
125:Fréchet–Urysohn space
100:sequential continuity
39:is any of a class of
37:sequence covering map
9834:
9814:
9774:
9739:
9719:
9674:
9635:
9606:
9586:
9563:
9528:
9491:
9471:
9372:
9292:
9269:
9215:
9182:
9130:
9099:
9032:
9005:
8945:
8925:
8886:
8859:
8836:
8797:
8770:
8719:
8696:
8676:
8643:
8604:
8578:
8555:
8532:
8497:
8466:
8446:
8422:
8372:
8349:
8267:
8241:
8208:
8188:
8122:
8093:
8054:
7990:
7970:
7950:
7924:
7884:
7860:
7807:
7787:
7767:
7732:
7706:
7681:
7661:
7602:
7566:
7542:
7522:
7499:
7475:
7443:
7423:
7403:
7348:
7325:
7305:
7270:
7231:
7201:
7181:
7144:
7124:
7100:
7055:
7035:
6996:
6976:
6950:
6912:
6889:
6867:
6845:
6823:
6798:
6774:
6747:
6721:
6710:{\displaystyle f(x)}
6692:
6681:{\displaystyle f(U)}
6663:
6641:
6621:
6598:
6570:
6525:
6496:
6464:
6433:
6367:
6303:
6266:
6206:
6158:
6126:
6093:
6037:
5798:
5760:
5663:
5640:
5613:
5581:
5548:
5482:
5439:
5418:
5392:
5372:
5366:sequentially compact
5336:
5313:
5281:
5277:is a subsequence of
5248:
5228:
5201:
5181:
5154:
5122:
5118:is a subsequence of
5089:
5054:
5034:
5001:
4981:
4948:
4889:
4854:
4798:
4745:
4687:
4648:
4589:
4557:
4497:
4461:
4405:
4363:
4324:
4292:
4272:
4244:
4145:
4076:
4031:
4005:
3979:
3939:
3904:
3884:
3857:
3811:
3778:
3743:
3723:
3690:
3642:
3616:
3584:
3539:
3519:
3492:
3446:
3413:
3378:
3358:
3325:
3280:
3254:
3195:
3162:
3139:
3112:
3070:
3045:
3018:
2979:
2946:
2903:
2876:
2796:
2740:
2720:
2715:function composition
2686:
2639:
2573:
2530:
2503:
2499:of another sequence
2468:
2441:
2408:
2373:
2337:
2298:
2271:
2243:
2202:
2179:
2113:
2054:
2025:
1967:
1927:
1898:
1872:
1840:
1820:
1766:
1734:
1702:
1667:
1647:
1627:
1601:
1556:
1530:
1498:
1432:
1397:
1365:
1322:
1287:
1234:
1202:
1169:
1140:
1120:
1054:
958:
894:
859:
839:
797:
744:
711:
679:
646:
618:
598:
571:
524:
484:
461:
441:
418:
382:
344:
324:
304:
277:
245:
225:
191:
153:
133:
72:2-sequence coverings
68:1-sequence coverings
10101:1966RuMaS..21..115A
9941:Arkhangel'skii 1966
9830:is countable, then
9467:can be "lifted" by
9456:
9357:
9211:then for any other
8990:
8485:to a constant map.
8173:
7344:If the restriction
3575:2-sequence covering
3245:1-sequence covering
2861:
2635:instead) such that
2624:
2195:is by definition a
2164:
1727:sequentially closed
1105:
55:. Examples include
10494:10.1007/BF02560519
10288:Foged, L. (1985).
10031:Lin & Yan 2001
9852:
9820:
9792:
9760:
9725:
9705:
9660:
9618:
9592:
9569:
9546:
9503:{\displaystyle z.}
9500:
9477:
9457:
9401:
9358:
9315:
9281:{\displaystyle x,}
9278:
9255:
9201:
9168:
9116:
9085:
9018:
8991:
8948:
8931:
8921:that converges to
8911:
8872:
8848:{\displaystyle x,}
8845:
8832:that converges to
8822:
8783:
8756:
8708:{\displaystyle Y.}
8705:
8682:
8662:
8629:
8590:
8567:{\displaystyle Y,}
8564:
8538:
8515:
8472:
8452:
8428:
8408:
8361:{\displaystyle x,}
8358:
8345:locally finite at
8331:
8253:
8227:
8194:
8174:
8138:
8108:
8072:
8040:
7986:such that the set
7976:
7956:
7936:
7902:
7870:
7843:
7793:
7773:
7753:
7718:
7693:{\displaystyle X.}
7690:
7667:
7643:
7584:
7548:
7528:
7511:{\displaystyle Y.}
7508:
7481:
7461:
7429:
7409:
7389:
7337:{\displaystyle Y.}
7334:
7311:
7288:
7237:
7207:
7187:
7162:
7130:
7106:
7086:
7041:
7021:
6982:
6962:
6930:
6895:
6873:
6851:
6839:is a quotient map.
6829:
6814:is a quotient map.
6804:
6780:
6753:
6733:{\displaystyle Y.}
6730:
6707:
6678:
6653:{\displaystyle x,}
6650:
6627:
6610:{\displaystyle f,}
6607:
6576:
6556:
6521:there exists some
6511:
6482:
6460:is surjective map
6439:
6409:
6345:
6287:
6248:
6192:
6144:
6112:
6079:
6020:
5845:
5781:
5742:
5710:
5652:{\displaystyle y,}
5649:
5626:
5599:
5567:
5524:
5457:
5424:
5398:
5378:
5354:
5319:
5297:
5267:
5234:
5214:
5187:
5167:
5138:
5108:
5075:
5040:
5020:
4987:
4967:
4931:
4872:
4840:
4781:
4723:
4666:
4631:
4575:
4539:
4479:
4447:
4384:
4349:
4310:
4278:
4259:
4223:
4118:
4055:
4017:
3991:
3957:
3925:
3890:
3870:
3843:
3797:
3764:
3729:
3719:and converges to
3709:
3676:
3628:
3602:
3560:
3525:
3505:
3478:
3432:
3399:
3364:
3354:that converges to
3344:
3311:
3276:there exists some
3266:
3230:
3181:
3151:{\displaystyle Y,}
3148:
3125:
3088:
3057:{\displaystyle S.}
3054:
3031:
3004:
2965:
2932:
2889:
2862:
2819:
2782:
2726:
2703:
2672:
2625:
2589:
2559:
2516:
2481:
2454:
2427:
2386:
2359:
2320:
2284:
2257:
2229:
2185:
2165:
2129:
2102:Sequence coverings
2072:
2040:
2011:
1945:
1913:
1884:
1858:
1826:
1806:
1752:
1714:
1688:
1653:
1643:that converges to
1633:
1613:
1597:consisting of all
1587:
1542:
1516:
1491:sequential closure
1474:
1418:
1383:
1353:universal property
1340:
1308:
1273:
1220:
1188:
1155:
1126:
1106:
1070:
1036:
936:
877:
845:
821:
783:
730:
697:
665:
633:
604:
584:
557:
502:
470:
457:'s given topology
447:
424:
400:
368:
330:
310:
289:{\displaystyle S,}
286:
263:
231:
209:
171:
139:
64:sequence coverings
45:topological spaces
9823:{\displaystyle f}
9770:Consequently, if
9728:{\displaystyle x}
9628:is such that the
9595:{\displaystyle Y}
9579:onto a Hausdorff
9572:{\displaystyle X}
9522:point of openness
9480:{\displaystyle f}
8934:{\displaystyle z}
8766:and any sequence
8685:{\displaystyle D}
8541:{\displaystyle X}
8475:{\displaystyle f}
8455:{\displaystyle X}
8431:{\displaystyle f}
8314:
8308:
8197:{\displaystyle Y}
8019:
8013:
7979:{\displaystyle x}
7959:{\displaystyle U}
7796:{\displaystyle f}
7776:{\displaystyle y}
7702:Given an element
7670:{\displaystyle U}
7560:sequential spaces
7551:{\displaystyle Y}
7531:{\displaystyle X}
7518:Consequently, if
7493:sequentially open
7484:{\displaystyle X}
7432:{\displaystyle X}
7412:{\displaystyle U}
7314:{\displaystyle X}
7240:{\displaystyle f}
7210:{\displaystyle Y}
7190:{\displaystyle X}
7133:{\displaystyle Y}
7109:{\displaystyle y}
7044:{\displaystyle U}
6985:{\displaystyle U}
6898:{\displaystyle f}
6876:{\displaystyle f}
6854:{\displaystyle f}
6832:{\displaystyle f}
6807:{\displaystyle f}
6783:{\displaystyle f}
6756:{\displaystyle f}
6630:{\displaystyle U}
6590:point of openness
6579:{\displaystyle x}
6442:{\displaystyle f}
6359:Characterizations
6299:A surjective map
5955:
5949:
5885:
5879:
5842:
5801:
5707:
5666:
5427:{\displaystyle Y}
5401:{\displaystyle Y}
5381:{\displaystyle Y}
5322:{\displaystyle Y}
5237:{\displaystyle X}
5190:{\displaystyle Y}
5043:{\displaystyle X}
4990:{\displaystyle Y}
4281:{\displaystyle S}
3893:{\displaystyle x}
3732:{\displaystyle y}
3528:{\displaystyle x}
3367:{\displaystyle y}
3103:sequence covering
2188:{\displaystyle X}
2092:metrizable spaces
2021:for every subset
1994:
1988:
1894:then necessarily
1829:{\displaystyle S}
1656:{\displaystyle x}
1636:{\displaystyle S}
1230:then necessarily
1129:{\displaystyle X}
848:{\displaystyle X}
607:{\displaystyle X}
567:Given a sequence
450:{\displaystyle X}
427:{\displaystyle X}
333:{\displaystyle S}
313:{\displaystyle S}
234:{\displaystyle X}
185:sequentially open
142:{\displaystyle S}
76:sequential spaces
16:(Redirected from
10593:
10571:
10542:
10513:
10476:
10447:
10418:
10389:
10379:
10354:
10344:
10319:
10309:
10284:
10274:
10264:
10239:
10229:
10204:
10194:
10169:
10167:
10165:
10152:
10143:(2): 1724–1732.
10127:
10125:
10123:
10086:
10066:
10061:
10055:
10050:
10044:
10039:
10033:
10028:
10022:
10017:
10011:
10006:
10000:
9995:
9989:
9984:
9971:
9966:
9957:
9952:
9943:
9938:
9932:
9927:
9899:Sequential space
9883:
9861:
9859:
9858:
9853:
9829:
9827:
9826:
9821:
9801:
9799:
9798:
9793:
9769:
9767:
9766:
9761:
9734:
9732:
9731:
9726:
9714:
9712:
9711:
9706:
9695:
9694:
9669:
9667:
9666:
9661:
9650:
9649:
9627:
9625:
9624:
9619:
9601:
9599:
9598:
9593:
9578:
9576:
9575:
9570:
9558:sequential space
9555:
9553:
9552:
9547:
9509:
9507:
9506:
9501:
9486:
9484:
9483:
9478:
9466:
9464:
9463:
9458:
9455:
9450:
9439:
9435:
9434:
9430:
9429:
9428:
9427:
9397:
9396:
9395:
9394:
9367:
9365:
9364:
9359:
9356:
9351:
9340:
9336:
9335:
9334:
9333:
9311:
9310:
9309:
9308:
9287:
9285:
9284:
9279:
9264:
9262:
9261:
9256:
9236:
9235:
9210:
9208:
9207:
9202:
9194:
9193:
9177:
9175:
9174:
9169:
9158:
9157:
9142:
9141:
9125:
9123:
9122:
9117:
9112:
9094:
9092:
9091:
9086:
9084:
9080:
9079:
9078:
9077:
9050:
9049:
9027:
9025:
9024:
9019:
9017:
9016:
9000:
8998:
8997:
8992:
8989:
8984:
8973:
8969:
8968:
8967:
8966:
8940:
8938:
8937:
8932:
8920:
8918:
8917:
8912:
8901:
8900:
8881:
8879:
8878:
8873:
8871:
8870:
8854:
8852:
8851:
8846:
8831:
8829:
8828:
8823:
8812:
8811:
8792:
8790:
8789:
8784:
8782:
8781:
8765:
8763:
8762:
8757:
8746:
8745:
8714:
8712:
8711:
8706:
8691:
8689:
8688:
8683:
8671:
8669:
8668:
8663:
8655:
8654:
8638:
8636:
8635:
8630:
8622:
8621:
8599:
8597:
8596:
8591:
8573:
8571:
8570:
8565:
8547:
8545:
8544:
8539:
8524:
8522:
8521:
8516:
8481:
8479:
8478:
8473:
8461:
8459:
8458:
8453:
8440:locally constant
8437:
8435:
8434:
8429:
8417:
8415:
8414:
8409:
8367:
8365:
8364:
8359:
8340:
8338:
8337:
8332:
8330:
8326:
8325:
8312:
8306:
8305:
8301:
8300:
8287:
8286:
8262:
8260:
8259:
8254:
8236:
8234:
8233:
8228:
8220:
8219:
8203:
8201:
8200:
8195:
8183:
8181:
8180:
8175:
8172:
8167:
8156:
8152:
8151:
8134:
8133:
8117:
8115:
8114:
8109:
8081:
8079:
8078:
8073:
8049:
8047:
8046:
8041:
8039:
8035:
8017:
8011:
8010:
8009:
7985:
7983:
7982:
7977:
7965:
7963:
7962:
7957:
7945:
7943:
7942:
7937:
7911:
7909:
7908:
7903:
7879:
7877:
7876:
7871:
7869:
7868:
7852:
7850:
7849:
7844:
7802:
7800:
7799:
7794:
7782:
7780:
7779:
7774:
7762:
7760:
7759:
7754:
7727:
7725:
7724:
7719:
7699:
7697:
7696:
7691:
7676:
7674:
7673:
7668:
7652:
7650:
7649:
7644:
7621:
7620:
7615:
7614:
7593:
7591:
7590:
7585:
7557:
7555:
7554:
7549:
7537:
7535:
7534:
7529:
7517:
7515:
7514:
7509:
7490:
7488:
7487:
7482:
7470:
7468:
7467:
7462:
7438:
7436:
7435:
7430:
7418:
7416:
7415:
7410:
7398:
7396:
7395:
7390:
7367:
7366:
7361:
7360:
7343:
7341:
7340:
7335:
7320:
7318:
7317:
7312:
7297:
7295:
7294:
7289:
7246:
7244:
7243:
7238:
7216:
7214:
7213:
7208:
7196:
7194:
7193:
7188:
7171:
7169:
7168:
7163:
7139:
7137:
7136:
7131:
7115:
7113:
7112:
7107:
7095:
7093:
7092:
7087:
7070:
7069:
7050:
7048:
7047:
7042:
7030:
7028:
7027:
7022:
7011:
7010:
6991:
6989:
6988:
6983:
6971:
6969:
6968:
6963:
6939:
6937:
6936:
6931:
6904:
6902:
6901:
6896:
6882:
6880:
6879:
6874:
6860:
6858:
6857:
6852:
6838:
6836:
6835:
6830:
6813:
6811:
6810:
6805:
6792:compact covering
6789:
6787:
6786:
6781:
6762:
6760:
6759:
6754:
6739:
6737:
6736:
6731:
6716:
6714:
6713:
6708:
6687:
6685:
6684:
6679:
6659:
6657:
6656:
6651:
6636:
6634:
6633:
6628:
6616:
6614:
6613:
6608:
6585:
6583:
6582:
6577:
6565:
6563:
6562:
6557:
6546:
6545:
6520:
6518:
6517:
6512:
6491:
6489:
6488:
6483:
6448:
6446:
6445:
6440:
6418:
6416:
6415:
6410:
6354:
6352:
6351:
6346:
6296:
6294:
6293:
6288:
6257:
6255:
6254:
6249:
6247:
6243:
6242:
6241:
6221:
6220:
6201:
6199:
6198:
6193:
6170:
6169:
6153:
6151:
6150:
6145:
6121:
6119:
6118:
6113:
6105:
6104:
6088:
6086:
6085:
6080:
6029:
6027:
6026:
6021:
6010:
6009:
5994:
5990:
5989:
5988:
5968:
5967:
5953:
5947:
5946:
5942:
5929:
5925:
5924:
5923:
5898:
5897:
5883:
5877:
5876:
5872:
5871:
5858:
5857:
5844:
5843:
5841:
5837:
5825:
5818:
5817:
5807:
5790:
5788:
5787:
5782:
5751:
5749:
5748:
5743:
5741:
5737:
5736:
5723:
5722:
5709:
5708:
5706:
5702:
5690:
5683:
5682:
5672:
5658:
5656:
5655:
5650:
5635:
5633:
5632:
5627:
5625:
5624:
5608:
5606:
5605:
5600:
5576:
5574:
5573:
5568:
5560:
5559:
5541:
5540:
5533:
5531:
5530:
5525:
5466:
5464:
5463:
5458:
5433:
5431:
5430:
5425:
5407:
5405:
5404:
5399:
5387:
5385:
5384:
5379:
5363:
5361:
5360:
5355:
5328:
5326:
5325:
5320:
5306:
5304:
5303:
5298:
5293:
5292:
5276:
5274:
5273:
5268:
5266:
5265:
5243:
5241:
5240:
5235:
5223:
5221:
5220:
5215:
5213:
5212:
5196:
5194:
5193:
5188:
5176:
5174:
5173:
5168:
5166:
5165:
5147:
5145:
5144:
5139:
5134:
5133:
5117:
5115:
5114:
5109:
5107:
5106:
5084:
5082:
5081:
5076:
5049:
5047:
5046:
5041:
5029:
5027:
5026:
5021:
5013:
5012:
4996:
4994:
4993:
4988:
4976:
4974:
4973:
4968:
4960:
4959:
4940:
4938:
4937:
4932:
4881:
4879:
4878:
4873:
4849:
4847:
4846:
4841:
4790:
4788:
4787:
4782:
4739:separation axiom
4732:
4730:
4729:
4724:
4675:
4673:
4672:
4667:
4640:
4638:
4637:
4632:
4584:
4582:
4581:
4576:
4548:
4546:
4545:
4540:
4491:sequential space
4488:
4486:
4485:
4480:
4456:
4454:
4453:
4448:
4393:
4391:
4390:
4385:
4358:
4356:
4355:
4350:
4339:
4338:
4319:
4317:
4316:
4311:
4287:
4285:
4284:
4279:
4268:
4266:
4265:
4260:
4232:
4230:
4229:
4224:
4135:
4134:
4127:
4125:
4124:
4119:
4064:
4062:
4061:
4056:
4026:
4024:
4023:
4018:
4000:
3998:
3997:
3992:
3971:compact covering
3966:
3964:
3963:
3958:
3934:
3932:
3931:
3926:
3899:
3897:
3896:
3891:
3879:
3877:
3876:
3871:
3869:
3868:
3852:
3850:
3849:
3844:
3842:
3841:
3823:
3822:
3806:
3804:
3803:
3798:
3790:
3789:
3773:
3771:
3770:
3765:
3738:
3736:
3735:
3730:
3718:
3716:
3715:
3710:
3702:
3701:
3685:
3683:
3682:
3677:
3663:
3662:
3637:
3635:
3634:
3629:
3611:
3609:
3608:
3603:
3577:
3576:
3569:
3567:
3566:
3561:
3534:
3532:
3531:
3526:
3514:
3512:
3511:
3506:
3504:
3503:
3487:
3485:
3484:
3479:
3477:
3476:
3458:
3457:
3441:
3439:
3438:
3433:
3425:
3424:
3408:
3406:
3405:
3400:
3373:
3371:
3370:
3365:
3353:
3351:
3350:
3345:
3337:
3336:
3320:
3318:
3317:
3312:
3301:
3300:
3275:
3273:
3272:
3267:
3247:
3246:
3239:
3237:
3236:
3231:
3226:
3225:
3207:
3206:
3190:
3188:
3187:
3182:
3174:
3173:
3157:
3155:
3154:
3149:
3134:
3132:
3131:
3126:
3124:
3123:
3105:
3104:
3097:
3095:
3094:
3089:
3063:
3061:
3060:
3055:
3040:
3038:
3037:
3032:
3030:
3029:
3013:
3011:
3010:
3005:
2997:
2996:
2974:
2972:
2971:
2966:
2958:
2957:
2941:
2939:
2938:
2933:
2931:
2923:
2915:
2914:
2898:
2896:
2895:
2890:
2888:
2887:
2871:
2869:
2868:
2863:
2860:
2855:
2844:
2840:
2839:
2838:
2837:
2815:
2814:
2813:
2812:
2791:
2789:
2788:
2783:
2778:
2777:
2765:
2764:
2752:
2751:
2735:
2733:
2732:
2727:
2712:
2710:
2709:
2704:
2699:
2681:
2679:
2678:
2673:
2671:
2670:
2669:
2668:
2651:
2650:
2634:
2632:
2631:
2626:
2623:
2618:
2607:
2603:
2602:
2585:
2584:
2568:
2566:
2565:
2560:
2558:
2550:
2542:
2541:
2525:
2523:
2522:
2517:
2515:
2514:
2491:is said to be a
2490:
2488:
2487:
2482:
2480:
2479:
2463:
2461:
2460:
2455:
2453:
2452:
2436:
2434:
2433:
2428:
2426:
2425:
2395:
2393:
2392:
2387:
2385:
2384:
2368:
2366:
2365:
2360:
2355:
2354:
2329:
2327:
2326:
2321:
2310:
2309:
2293:
2291:
2290:
2285:
2283:
2282:
2266:
2264:
2263:
2258:
2256:
2238:
2236:
2235:
2230:
2222:
2214:
2213:
2194:
2192:
2191:
2186:
2174:
2172:
2171:
2166:
2163:
2158:
2147:
2143:
2142:
2125:
2124:
2081:
2079:
2078:
2073:
2049:
2047:
2046:
2041:
2020:
2018:
2017:
2012:
2004:
2003:
1992:
1986:
1979:
1978:
1954:
1952:
1951:
1946:
1922:
1920:
1919:
1914:
1893:
1891:
1890:
1885:
1867:
1865:
1864:
1859:
1835:
1833:
1832:
1827:
1815:
1813:
1812:
1807:
1796:
1795:
1761:
1759:
1758:
1753:
1723:
1721:
1720:
1715:
1697:
1695:
1694:
1689:
1662:
1660:
1659:
1654:
1642:
1640:
1639:
1634:
1622:
1620:
1619:
1614:
1596:
1594:
1593:
1588:
1580:
1579:
1551:
1549:
1548:
1543:
1525:
1523:
1522:
1517:
1483:
1481:
1480:
1475:
1427:
1425:
1424:
1419:
1392:
1390:
1389:
1384:
1349:
1347:
1346:
1341:
1317:
1315:
1314:
1309:
1282:
1280:
1279:
1274:
1257:
1253:
1252:
1229:
1227:
1226:
1221:
1197:
1195:
1194:
1189:
1181:
1180:
1164:
1162:
1161:
1156:
1135:
1133:
1132:
1127:
1115:
1113:
1112:
1107:
1104:
1099:
1088:
1084:
1083:
1066:
1065:
1045:
1043:
1042:
1037:
945:
943:
942:
937:
886:
884:
883:
878:
854:
852:
851:
846:
830:
828:
827:
822:
792:
790:
789:
784:
739:
737:
736:
731:
723:
722:
706:
704:
703:
698:
674:
672:
671:
666:
658:
657:
642:
640:
639:
634:
613:
611:
610:
605:
593:
591:
590:
585:
583:
582:
566:
564:
563:
558:
516:sequential space
511:
509:
508:
503:
479:
477:
476:
471:
456:
454:
453:
448:
433:
431:
430:
425:
409:
407:
406:
401:
377:
375:
374:
369:
339:
337:
336:
331:
319:
317:
316:
311:
295:
293:
292:
287:
272:
270:
269:
264:
240:
238:
237:
232:
218:
216:
215:
210:
180:
178:
177:
172:
148:
146:
145:
140:
121:Sequential space
21:
10601:
10600:
10596:
10595:
10594:
10592:
10591:
10590:
10576:
10575:
10574:
10163:
10161:
10121:
10119:
10084:
10075:
10070:
10069:
10062:
10058:
10051:
10047:
10040:
10036:
10029:
10025:
10018:
10014:
10007:
10003:
9996:
9992:
9985:
9974:
9967:
9960:
9953:
9946:
9939:
9935:
9928:
9924:
9919:
9914:
9881:
9868:
9835:
9832:
9831:
9815:
9812:
9811:
9775:
9772:
9771:
9740:
9737:
9736:
9720:
9717:
9716:
9687:
9683:
9675:
9672:
9671:
9642:
9638:
9636:
9633:
9632:
9607:
9604:
9603:
9587:
9584:
9583:
9564:
9561:
9560:
9529:
9526:
9525:
9492:
9489:
9488:
9472:
9469:
9468:
9451:
9440:
9423:
9419:
9418:
9414:
9410:
9406:
9402:
9390:
9386:
9385:
9381:
9373:
9370:
9369:
9352:
9341:
9329:
9325:
9324:
9320:
9316:
9304:
9300:
9299:
9295:
9293:
9290:
9289:
9270:
9267:
9266:
9228:
9224:
9216:
9213:
9212:
9189:
9185:
9183:
9180:
9179:
9150:
9146:
9137:
9133:
9131:
9128:
9127:
9108:
9100:
9097:
9096:
9073:
9069:
9068:
9064:
9060:
9045:
9041:
9033:
9030:
9029:
9012:
9008:
9006:
9003:
9002:
8985:
8974:
8962:
8958:
8957:
8953:
8949:
8946:
8943:
8942:
8926:
8923:
8922:
8893:
8889:
8887:
8884:
8883:
8866:
8862:
8860:
8857:
8856:
8837:
8834:
8833:
8804:
8800:
8798:
8795:
8794:
8777:
8773:
8771:
8768:
8767:
8738:
8734:
8720:
8717:
8716:
8715:Then given any
8697:
8694:
8693:
8677:
8674:
8673:
8650:
8646:
8644:
8641:
8640:
8617:
8613:
8605:
8602:
8601:
8579:
8576:
8575:
8556:
8553:
8552:
8550:Hausdorff space
8533:
8530:
8529:
8498:
8495:
8494:
8491:
8467:
8464:
8463:
8447:
8444:
8443:
8423:
8420:
8419:
8373:
8370:
8369:
8350:
8347:
8346:
8321:
8296:
8292:
8288:
8279:
8275:
8274:
8270:
8268:
8265:
8264:
8242:
8239:
8238:
8215:
8211:
8209:
8206:
8205:
8189:
8186:
8185:
8168:
8157:
8147:
8143:
8139:
8129:
8125:
8123:
8120:
8119:
8094:
8091:
8090:
8055:
8052:
8051:
8005:
8004:
7997:
7993:
7991:
7988:
7987:
7971:
7968:
7967:
7951:
7948:
7947:
7925:
7922:
7921:
7885:
7882:
7881:
7864:
7863:
7861:
7858:
7857:
7808:
7805:
7804:
7788:
7785:
7784:
7768:
7765:
7764:
7733:
7730:
7729:
7707:
7704:
7703:
7682:
7679:
7678:
7662:
7659:
7658:
7616:
7610:
7609:
7608:
7603:
7600:
7599:
7598:if and only if
7567:
7564:
7563:
7543:
7540:
7539:
7523:
7520:
7519:
7500:
7497:
7496:
7476:
7473:
7472:
7444:
7441:
7440:
7424:
7421:
7420:
7404:
7401:
7400:
7362:
7356:
7355:
7354:
7349:
7346:
7345:
7326:
7323:
7322:
7306:
7303:
7302:
7271:
7268:
7267:
7260:
7232:
7229:
7228:
7202:
7199:
7198:
7182:
7179:
7178:
7145:
7142:
7141:
7125:
7122:
7121:
7101:
7098:
7097:
7062:
7058:
7056:
7053:
7052:
7036:
7033:
7032:
7003:
6999:
6997:
6994:
6993:
6977:
6974:
6973:
6951:
6948:
6947:
6913:
6910:
6909:
6890:
6887:
6886:
6868:
6865:
6864:
6846:
6843:
6842:
6824:
6821:
6820:
6799:
6796:
6795:
6775:
6772:
6771:
6748:
6745:
6744:
6722:
6719:
6718:
6693:
6690:
6689:
6664:
6661:
6660:
6642:
6639:
6638:
6622:
6619:
6618:
6599:
6596:
6595:
6571:
6568:
6567:
6538:
6534:
6526:
6523:
6522:
6497:
6494:
6493:
6465:
6462:
6461:
6456:almost open map
6434:
6431:
6430:
6421:first-countable
6368:
6365:
6364:
6361:
6304:
6301:
6300:
6267:
6264:
6263:
6237:
6233:
6226:
6222:
6213:
6209:
6207:
6204:
6203:
6165:
6161:
6159:
6156:
6155:
6127:
6124:
6123:
6100:
6096:
6094:
6091:
6090:
6038:
6035:
6034:
6002:
5998:
5984:
5980:
5973:
5969:
5960:
5956:
5919:
5915:
5908:
5904:
5903:
5899:
5890:
5886:
5867:
5863:
5859:
5850:
5846:
5833:
5826:
5813:
5809:
5808:
5806:
5805:
5799:
5796:
5795:
5761:
5758:
5757:
5732:
5728:
5724:
5715:
5711:
5698:
5691:
5678:
5674:
5673:
5671:
5670:
5664:
5661:
5660:
5641:
5638:
5637:
5620:
5616:
5614:
5611:
5610:
5582:
5579:
5578:
5555:
5551:
5549:
5546:
5545:
5538:
5537:
5483:
5480:
5479:
5440:
5437:
5436:
5419:
5416:
5415:
5393:
5390:
5389:
5373:
5370:
5369:
5337:
5334:
5333:
5314:
5311:
5310:
5288:
5284:
5282:
5279:
5278:
5261:
5257:
5249:
5246:
5245:
5229:
5226:
5225:
5208:
5204:
5202:
5199:
5198:
5182:
5179:
5178:
5161:
5157:
5155:
5152:
5151:
5129:
5125:
5123:
5120:
5119:
5102:
5098:
5090:
5087:
5086:
5055:
5052:
5051:
5035:
5032:
5031:
5008:
5004:
5002:
4999:
4998:
4982:
4979:
4978:
4955:
4951:
4949:
4946:
4945:
4890:
4887:
4886:
4855:
4852:
4851:
4799:
4796:
4795:
4746:
4743:
4742:
4735:Hausdorff space
4688:
4685:
4684:
4649:
4646:
4645:
4590:
4587:
4586:
4558:
4555:
4554:
4553:if and only if
4498:
4495:
4494:
4462:
4459:
4458:
4406:
4403:
4402:
4364:
4361:
4360:
4331:
4327:
4325:
4322:
4321:
4293:
4290:
4289:
4273:
4270:
4269:
4245:
4242:
4241:
4146:
4143:
4142:
4132:
4131:
4077:
4074:
4073:
4070:
4032:
4029:
4028:
4006:
4003:
4002:
3980:
3977:
3976:
3940:
3937:
3936:
3905:
3902:
3901:
3885:
3882:
3881:
3864:
3860:
3858:
3855:
3854:
3837:
3833:
3818:
3814:
3812:
3809:
3808:
3785:
3781:
3779:
3776:
3775:
3744:
3741:
3740:
3724:
3721:
3720:
3697:
3693:
3691:
3688:
3687:
3686:every sequence
3655:
3651:
3643:
3640:
3639:
3617:
3614:
3613:
3585:
3582:
3581:
3574:
3573:
3540:
3537:
3536:
3520:
3517:
3516:
3499:
3495:
3493:
3490:
3489:
3472:
3468:
3453:
3449:
3447:
3444:
3443:
3420:
3416:
3414:
3411:
3410:
3379:
3376:
3375:
3359:
3356:
3355:
3332:
3328:
3326:
3323:
3322:
3293:
3289:
3281:
3278:
3277:
3255:
3252:
3251:
3244:
3243:
3240:It is called a
3221:
3217:
3202:
3198:
3196:
3193:
3192:
3169:
3165:
3163:
3160:
3159:
3140:
3137:
3136:
3119:
3115:
3113:
3110:
3109:
3102:
3101:
3071:
3068:
3067:
3046:
3043:
3042:
3025:
3021:
3019:
3016:
3015:
2992:
2988:
2980:
2977:
2976:
2953:
2949:
2947:
2944:
2943:
2927:
2919:
2910:
2906:
2904:
2901:
2900:
2883:
2879:
2877:
2874:
2873:
2856:
2845:
2833:
2829:
2828:
2824:
2820:
2808:
2804:
2803:
2799:
2797:
2794:
2793:
2773:
2769:
2760:
2756:
2747:
2743:
2741:
2738:
2737:
2721:
2718:
2717:
2695:
2687:
2684:
2683:
2664:
2660:
2659:
2655:
2646:
2642:
2640:
2637:
2636:
2619:
2608:
2598:
2594:
2590:
2580:
2576:
2574:
2571:
2570:
2554:
2546:
2537:
2533:
2531:
2528:
2527:
2510:
2506:
2504:
2501:
2500:
2475:
2471:
2469:
2466:
2465:
2448:
2444:
2442:
2439:
2438:
2421:
2417:
2409:
2406:
2405:
2380:
2376:
2374:
2371:
2370:
2350:
2346:
2338:
2335:
2334:
2305:
2301:
2299:
2296:
2295:
2278:
2274:
2272:
2269:
2268:
2252:
2244:
2241:
2240:
2239:whose value at
2218:
2209:
2205:
2203:
2200:
2199:
2180:
2177:
2176:
2159:
2148:
2138:
2134:
2130:
2120:
2116:
2114:
2111:
2110:
2104:
2055:
2052:
2051:
2026:
2023:
2022:
1999:
1995:
1974:
1970:
1968:
1965:
1964:
1928:
1925:
1924:
1899:
1896:
1895:
1873:
1870:
1869:
1841:
1838:
1837:
1821:
1818:
1817:
1779:
1775:
1767:
1764:
1763:
1735:
1732:
1731:
1703:
1700:
1699:
1668:
1665:
1664:
1648:
1645:
1644:
1628:
1625:
1624:
1602:
1599:
1598:
1563:
1559:
1557:
1554:
1553:
1531:
1528:
1527:
1499:
1496:
1495:
1433:
1430:
1429:
1398:
1395:
1394:
1366:
1363:
1362:
1323:
1320:
1319:
1288:
1285:
1284:
1248:
1244:
1240:
1235:
1232:
1231:
1203:
1200:
1199:
1176:
1172:
1170:
1167:
1166:
1141:
1138:
1137:
1121:
1118:
1117:
1100:
1089:
1079:
1075:
1071:
1061:
1057:
1055:
1052:
1051:
959:
956:
955:
895:
892:
891:
860:
857:
856:
840:
837:
836:
798:
795:
794:
745:
742:
741:
718:
714:
712:
709:
708:
707:if and only if
680:
677:
676:
653:
649:
647:
644:
643:
619:
616:
615:
599:
596:
595:
578:
574:
572:
569:
568:
525:
522:
521:
485:
482:
481:
480:By definition,
462:
459:
458:
442:
439:
438:
419:
416:
415:
383:
380:
379:
345:
342:
341:
325:
322:
321:
305:
302:
301:
278:
275:
274:
246:
243:
242:
226:
223:
222:
192:
189:
188:
154:
151:
150:
134:
131:
130:
127:
119:Main articles:
117:
112:
88:first-countable
31:, specifically
23:
22:
15:
12:
11:
5:
10599:
10589:
10588:
10573:
10572:
10543:
10525:(2): 143–154.
10514:
10477:
10448:
10419:
10401:(3): 301–314.
10390:
10370:(2): 303–332.
10355:
10335:(1): 107–115.
10320:
10285:
10255:(3): 461–465.
10240:
10220:(2): 174–182.
10205:
10170:
10128:
10095:(4): 115–162.
10076:
10074:
10071:
10068:
10067:
10056:
10045:
10034:
10023:
10012:
10001:
9990:
9972:
9958:
9944:
9933:
9921:
9920:
9918:
9915:
9913:
9910:
9909:
9908:
9902:
9896:
9890:
9884:
9875:
9867:
9864:
9851:
9848:
9845:
9842:
9839:
9819:
9791:
9788:
9785:
9782:
9779:
9759:
9756:
9753:
9750:
9747:
9744:
9724:
9704:
9701:
9698:
9693:
9690:
9686:
9682:
9679:
9659:
9656:
9653:
9648:
9645:
9641:
9617:
9614:
9611:
9591:
9568:
9545:
9542:
9539:
9536:
9533:
9499:
9496:
9476:
9454:
9449:
9446:
9443:
9438:
9433:
9426:
9422:
9417:
9413:
9409:
9405:
9400:
9393:
9389:
9384:
9380:
9377:
9355:
9350:
9347:
9344:
9339:
9332:
9328:
9323:
9319:
9314:
9307:
9303:
9298:
9277:
9274:
9254:
9251:
9248:
9245:
9242:
9239:
9234:
9231:
9227:
9223:
9220:
9200:
9197:
9192:
9188:
9167:
9164:
9161:
9156:
9153:
9149:
9145:
9140:
9136:
9115:
9111:
9107:
9104:
9083:
9076:
9072:
9067:
9063:
9059:
9056:
9053:
9048:
9044:
9040:
9037:
9015:
9011:
8988:
8983:
8980:
8977:
8972:
8965:
8961:
8956:
8952:
8930:
8910:
8907:
8904:
8899:
8896:
8892:
8869:
8865:
8844:
8841:
8821:
8818:
8815:
8810:
8807:
8803:
8780:
8776:
8755:
8752:
8749:
8744:
8741:
8737:
8733:
8730:
8727:
8724:
8704:
8701:
8681:
8661:
8658:
8653:
8649:
8628:
8625:
8620:
8616:
8612:
8609:
8589:
8586:
8583:
8563:
8560:
8537:
8514:
8511:
8508:
8505:
8502:
8490:
8487:
8471:
8451:
8427:
8407:
8404:
8401:
8398:
8395:
8392:
8389:
8386:
8383:
8380:
8377:
8357:
8354:
8344:
8329:
8324:
8320:
8317:
8311:
8304:
8299:
8295:
8291:
8285:
8282:
8278:
8273:
8252:
8249:
8246:
8226:
8223:
8218:
8214:
8204:such that (1)
8193:
8171:
8166:
8163:
8160:
8155:
8150:
8146:
8142:
8137:
8132:
8128:
8107:
8104:
8101:
8098:
8071:
8068:
8065:
8062:
8059:
8038:
8034:
8031:
8028:
8025:
8022:
8016:
8008:
8003:
8000:
7996:
7975:
7955:
7935:
7932:
7929:
7918:
7916:locally finite
7912:is said to be
7901:
7898:
7895:
7892:
7889:
7867:
7842:
7839:
7836:
7833:
7830:
7827:
7824:
7821:
7818:
7815:
7812:
7792:
7772:
7752:
7749:
7746:
7743:
7740:
7737:
7717:
7714:
7711:
7689:
7686:
7666:
7642:
7639:
7636:
7633:
7630:
7627:
7624:
7619:
7613:
7607:
7583:
7580:
7577:
7574:
7571:
7547:
7527:
7507:
7504:
7480:
7460:
7457:
7454:
7451:
7448:
7428:
7408:
7388:
7385:
7382:
7379:
7376:
7373:
7370:
7365:
7359:
7353:
7333:
7330:
7310:
7287:
7284:
7281:
7278:
7275:
7266:. Assume that
7259:
7256:
7255:
7254:
7253:
7252:
7236:
7206:
7186:
7175:
7174:
7173:
7172:
7161:
7158:
7155:
7152:
7149:
7129:
7105:
7085:
7082:
7079:
7076:
7073:
7068:
7065:
7061:
7040:
7020:
7017:
7014:
7009:
7006:
7002:
6981:
6961:
6958:
6955:
6944:
6929:
6926:
6923:
6920:
6917:
6894:
6884:
6872:
6862:
6850:
6840:
6828:
6815:
6803:
6779:
6768:
6752:
6742:
6741:
6740:
6729:
6726:
6706:
6703:
6700:
6697:
6677:
6674:
6671:
6668:
6649:
6646:
6626:
6606:
6603:
6592:
6575:
6555:
6552:
6549:
6544:
6541:
6537:
6533:
6530:
6510:
6507:
6504:
6501:
6481:
6478:
6475:
6472:
6469:
6458:
6438:
6408:
6405:
6402:
6399:
6396:
6393:
6390:
6387:
6384:
6381:
6378:
6375:
6372:
6360:
6357:
6344:
6341:
6338:
6335:
6332:
6329:
6326:
6323:
6320:
6317:
6314:
6311:
6308:
6286:
6283:
6280:
6277:
6274:
6271:
6261:
6246:
6240:
6236:
6232:
6229:
6225:
6219:
6216:
6212:
6191:
6188:
6185:
6182:
6179:
6176:
6173:
6168:
6164:
6143:
6140:
6137:
6134:
6131:
6111:
6108:
6103:
6099:
6078:
6075:
6072:
6069:
6066:
6063:
6060:
6057:
6054:
6051:
6048:
6045:
6042:
6033:Equivalently,
6031:
6030:
6019:
6016:
6013:
6008:
6005:
6001:
5997:
5993:
5987:
5983:
5979:
5976:
5972:
5966:
5963:
5959:
5952:
5945:
5941:
5938:
5935:
5932:
5928:
5922:
5918:
5914:
5911:
5907:
5902:
5896:
5893:
5889:
5882:
5875:
5870:
5866:
5862:
5856:
5853:
5849:
5840:
5836:
5832:
5829:
5824:
5821:
5816:
5812:
5804:
5780:
5777:
5774:
5771:
5768:
5765:
5755:
5740:
5735:
5731:
5727:
5721:
5718:
5714:
5705:
5701:
5697:
5694:
5689:
5686:
5681:
5677:
5669:
5648:
5645:
5623:
5619:
5598:
5595:
5592:
5589:
5586:
5566:
5563:
5558:
5554:
5542:
5523:
5520:
5517:
5514:
5511:
5508:
5505:
5502:
5499:
5496:
5493:
5490:
5487:
5474:
5470:
5456:
5453:
5450:
5447:
5444:
5423:
5412:
5411:
5410:
5409:
5397:
5377:
5353:
5350:
5347:
5344:
5341:
5330:
5318:
5296:
5291:
5287:
5264:
5260:
5256:
5253:
5233:
5211:
5207:
5186:
5164:
5160:
5148:
5137:
5132:
5128:
5105:
5101:
5097:
5094:
5074:
5071:
5068:
5065:
5062:
5059:
5039:
5019:
5016:
5011:
5007:
4986:
4966:
4963:
4958:
4954:
4942:
4930:
4927:
4924:
4921:
4918:
4915:
4912:
4909:
4906:
4903:
4900:
4897:
4894:
4871:
4868:
4865:
4862:
4859:
4839:
4836:
4833:
4830:
4827:
4824:
4821:
4818:
4815:
4812:
4809:
4806:
4803:
4780:
4777:
4774:
4771:
4768:
4765:
4762:
4759:
4756:
4753:
4750:
4722:
4719:
4716:
4713:
4710:
4707:
4704:
4701:
4698:
4695:
4692:
4681:
4665:
4662:
4659:
4656:
4653:
4630:
4627:
4624:
4621:
4618:
4615:
4612:
4609:
4606:
4603:
4600:
4597:
4594:
4574:
4571:
4568:
4565:
4562:
4538:
4535:
4532:
4529:
4526:
4523:
4520:
4517:
4514:
4511:
4508:
4505:
4502:
4478:
4475:
4472:
4469:
4466:
4446:
4443:
4440:
4437:
4434:
4431:
4428:
4425:
4422:
4419:
4416:
4413:
4410:
4383:
4380:
4377:
4374:
4371:
4368:
4348:
4345:
4342:
4337:
4334:
4330:
4309:
4306:
4303:
4300:
4297:
4277:
4258:
4255:
4252:
4249:
4234:
4233:
4222:
4219:
4216:
4213:
4210:
4207:
4204:
4201:
4198:
4195:
4192:
4189:
4186:
4183:
4180:
4177:
4174:
4171:
4168:
4165:
4162:
4159:
4156:
4153:
4150:
4136:
4117:
4114:
4111:
4108:
4105:
4102:
4099:
4096:
4093:
4090:
4087:
4084:
4081:
4069:
4066:
4054:
4051:
4048:
4045:
4042:
4039:
4036:
4016:
4013:
4010:
3990:
3987:
3984:
3973:
3956:
3953:
3950:
3947:
3944:
3924:
3921:
3918:
3915:
3912:
3909:
3889:
3867:
3863:
3840:
3836:
3832:
3829:
3826:
3821:
3817:
3796:
3793:
3788:
3784:
3763:
3760:
3757:
3754:
3751:
3748:
3728:
3708:
3705:
3700:
3696:
3675:
3672:
3669:
3666:
3661:
3658:
3654:
3650:
3647:
3627:
3624:
3621:
3601:
3598:
3595:
3592:
3589:
3578:
3559:
3556:
3553:
3550:
3547:
3544:
3524:
3502:
3498:
3475:
3471:
3467:
3464:
3461:
3456:
3452:
3431:
3428:
3423:
3419:
3398:
3395:
3392:
3389:
3386:
3383:
3363:
3343:
3340:
3335:
3331:
3310:
3307:
3304:
3299:
3296:
3292:
3288:
3285:
3265:
3262:
3259:
3248:
3229:
3224:
3220:
3216:
3213:
3210:
3205:
3201:
3180:
3177:
3172:
3168:
3147:
3144:
3122:
3118:
3106:
3087:
3084:
3081:
3078:
3075:
3053:
3050:
3028:
3024:
3003:
3000:
2995:
2991:
2987:
2984:
2964:
2961:
2956:
2952:
2930:
2926:
2922:
2918:
2913:
2909:
2886:
2882:
2859:
2854:
2851:
2848:
2843:
2836:
2832:
2827:
2823:
2818:
2811:
2807:
2802:
2781:
2776:
2772:
2768:
2763:
2759:
2755:
2750:
2746:
2725:
2702:
2698:
2694:
2691:
2667:
2663:
2658:
2654:
2649:
2645:
2622:
2617:
2614:
2611:
2606:
2601:
2597:
2593:
2588:
2583:
2579:
2557:
2553:
2549:
2545:
2540:
2536:
2513:
2509:
2497:
2478:
2474:
2451:
2447:
2437:of a sequence
2424:
2420:
2416:
2413:
2383:
2379:
2358:
2353:
2349:
2345:
2342:
2319:
2316:
2313:
2308:
2304:
2281:
2277:
2267:is denoted by
2255:
2251:
2248:
2228:
2225:
2221:
2217:
2212:
2208:
2184:
2162:
2157:
2154:
2151:
2146:
2141:
2137:
2133:
2128:
2123:
2119:
2103:
2100:
2071:
2068:
2065:
2062:
2059:
2039:
2036:
2033:
2030:
2010:
2007:
2002:
1998:
1991:
1985:
1982:
1977:
1973:
1961:
1944:
1941:
1938:
1935:
1932:
1912:
1909:
1906:
1903:
1883:
1880:
1877:
1868:to some point
1857:
1854:
1851:
1848:
1845:
1825:
1805:
1802:
1799:
1794:
1791:
1788:
1785:
1782:
1778:
1774:
1771:
1751:
1748:
1745:
1742:
1739:
1728:
1713:
1710:
1707:
1687:
1684:
1681:
1678:
1675:
1672:
1652:
1632:
1612:
1609:
1606:
1586:
1583:
1578:
1575:
1572:
1569:
1566:
1562:
1541:
1538:
1535:
1515:
1512:
1509:
1506:
1503:
1492:
1486:
1485:
1473:
1470:
1467:
1464:
1461:
1458:
1455:
1452:
1449:
1446:
1443:
1440:
1437:
1417:
1414:
1411:
1408:
1405:
1402:
1393:and every map
1382:
1379:
1376:
1373:
1370:
1356:
1339:
1336:
1333:
1330:
1327:
1307:
1304:
1301:
1298:
1295:
1292:
1272:
1269:
1266:
1263:
1260:
1256:
1251:
1247:
1243:
1239:
1219:
1216:
1213:
1210:
1207:
1187:
1184:
1179:
1175:
1154:
1151:
1148:
1145:
1125:
1103:
1098:
1095:
1092:
1087:
1082:
1078:
1074:
1069:
1064:
1060:
1035:
1032:
1029:
1026:
1023:
1020:
1017:
1014:
1011:
1008:
1005:
1002:
999:
996:
993:
990:
987:
984:
981:
978:
975:
972:
969:
966:
963:
952:
935:
932:
929:
926:
923:
920:
917:
914:
911:
908:
905:
902:
899:
876:
873:
870:
867:
864:
844:
834:
820:
817:
814:
811:
808:
805:
802:
782:
779:
776:
773:
770:
767:
764:
761:
758:
755:
752:
749:
729:
726:
721:
717:
696:
693:
690:
687:
684:
664:
661:
656:
652:
632:
629:
626:
623:
603:
581:
577:
556:
553:
550:
547:
544:
541:
538:
535:
532:
529:
518:
501:
498:
495:
492:
489:
469:
466:
446:
423:
399:
396:
393:
390:
387:
367:
364:
361:
358:
355:
352:
349:
329:
309:
299:
285:
282:
262:
259:
256:
253:
250:
241:converges (in
230:
219:
208:
205:
202:
199:
196:
181:is said to be
170:
167:
164:
161:
158:
138:
116:
113:
111:
108:
73:
69:
65:
61:
9:
6:
4:
3:
2:
10598:
10587:
10584:
10583:
10581:
10569:
10565:
10561:
10557:
10553:
10549:
10544:
10540:
10536:
10532:
10528:
10524:
10520:
10515:
10511:
10507:
10503:
10499:
10495:
10491:
10487:
10483:
10478:
10474:
10470:
10466:
10462:
10458:
10454:
10449:
10445:
10441:
10437:
10433:
10430:(2): 91–138.
10429:
10425:
10420:
10416:
10412:
10408:
10404:
10400:
10396:
10391:
10387:
10383:
10378:
10373:
10369:
10365:
10361:
10356:
10352:
10348:
10343:
10338:
10334:
10330:
10326:
10321:
10317:
10313:
10308:
10303:
10299:
10295:
10291:
10286:
10282:
10278:
10273:
10268:
10263:
10258:
10254:
10250:
10246:
10241:
10237:
10233:
10228:
10223:
10219:
10215:
10211:
10206:
10202:
10198:
10193:
10188:
10184:
10180:
10176:
10171:
10160:
10156:
10151:
10146:
10142:
10138:
10134:
10129:
10118:
10114:
10110:
10106:
10102:
10098:
10094:
10090:
10083:
10078:
10077:
10065:
10060:
10054:
10049:
10043:
10038:
10032:
10027:
10021:
10016:
10010:
10005:
9999:
9994:
9988:
9983:
9981:
9979:
9977:
9970:
9965:
9963:
9956:
9951:
9949:
9942:
9937:
9931:
9930:Franklin 1965
9926:
9922:
9906:
9903:
9900:
9897:
9894:
9891:
9888:
9885:
9879:
9876:
9873:
9870:
9869:
9863:
9849:
9843:
9840:
9837:
9817:
9809:
9805:
9789:
9783:
9780:
9777:
9757:
9754:
9748:
9745:
9742:
9722:
9699:
9691:
9688:
9684:
9680:
9677:
9654:
9646:
9643:
9639:
9631:
9615:
9612:
9609:
9589:
9582:
9566:
9559:
9543:
9537:
9534:
9531:
9523:
9519:
9518:countable set
9515:
9510:
9497:
9494:
9474:
9447:
9444:
9441:
9436:
9431:
9424:
9420:
9415:
9411:
9407:
9403:
9398:
9391:
9387:
9382:
9378:
9375:
9348:
9345:
9342:
9337:
9330:
9326:
9321:
9317:
9312:
9305:
9301:
9296:
9275:
9272:
9246:
9240:
9232:
9229:
9225:
9221:
9218:
9198:
9190:
9186:
9162:
9154:
9151:
9147:
9143:
9138:
9134:
9113:
9105:
9102:
9081:
9074:
9070:
9065:
9061:
9057:
9054:
9046:
9042:
9035:
9013:
9009:
8981:
8978:
8975:
8970:
8963:
8959:
8954:
8950:
8928:
8905:
8897:
8894:
8890:
8867:
8863:
8842:
8839:
8816:
8808:
8805:
8801:
8778:
8774:
8750:
8742:
8739:
8735:
8731:
8728:
8725:
8722:
8702:
8699:
8679:
8659:
8656:
8651:
8647:
8626:
8623:
8618:
8614:
8610:
8607:
8587:
8584:
8581:
8561:
8558:
8551:
8535:
8528:
8512:
8506:
8503:
8500:
8486:
8484:
8469:
8449:
8441:
8425:
8405:
8399:
8393:
8390:
8387:
8384:
8381:
8378:
8375:
8355:
8352:
8342:
8327:
8318:
8315:
8309:
8302:
8297:
8293:
8289:
8283:
8280:
8276:
8271:
8250:
8247:
8244:
8224:
8216:
8212:
8191:
8164:
8161:
8158:
8153:
8148:
8144:
8140:
8135:
8130:
8126:
8105:
8102:
8099:
8096:
8088:
8085:
8069:
8063:
8060:
8057:
8036:
8029:
8026:
8023:
8020:
8014:
8001:
7998:
7994:
7973:
7953:
7933:
7930:
7927:
7919:
7917:
7914:
7896:
7893:
7890:
7856:
7840:
7834:
7828:
7825:
7822:
7819:
7816:
7813:
7810:
7790:
7783:to belong to
7770:
7750:
7747:
7741:
7738:
7735:
7715:
7712:
7709:
7700:
7687:
7684:
7664:
7656:
7637:
7631:
7625:
7622:
7617:
7605:
7597:
7581:
7575:
7572:
7569:
7561:
7545:
7525:
7505:
7502:
7494:
7478:
7458:
7452:
7449:
7446:
7426:
7406:
7383:
7377:
7371:
7368:
7363:
7351:
7331:
7328:
7308:
7301:
7300:regular space
7285:
7279:
7276:
7273:
7265:
7250:
7234:
7227:
7225:
7223:
7222:metric spaces
7220:
7204:
7184:
7159:
7153:
7147:
7127:
7119:
7103:
7083:
7080:
7074:
7066:
7063:
7059:
7038:
7015:
7007:
7004:
7000:
6979:
6959:
6956:
6953:
6946:if for every
6945:
6942:
6927:
6921:
6918:
6915:
6907:
6906:
6892:
6885:
6870:
6863:
6848:
6841:
6826:
6819:
6818:
6816:
6801:
6793:
6777:
6769:
6766:
6750:
6743:
6727:
6724:
6701:
6695:
6672:
6666:
6647:
6644:
6624:
6604:
6601:
6593:
6591:
6588:
6573:
6550:
6542:
6539:
6535:
6531:
6528:
6508:
6505:
6502:
6499:
6479:
6473:
6470:
6467:
6459:
6457:
6454:
6451:
6450:
6436:
6429:
6428:
6427:
6425:
6422:
6403:
6400:
6397:
6385:
6382:
6379:
6373:
6370:
6356:
6339:
6336:
6333:
6321:
6318:
6315:
6309:
6306:
6297:
6284:
6278:
6275:
6272:
6259:
6244:
6238:
6234:
6230:
6227:
6223:
6217:
6214:
6210:
6189:
6183:
6174:
6171:
6166:
6162:
6138:
6135:
6132:
6109:
6101:
6097:
6073:
6070:
6067:
6055:
6052:
6049:
6043:
6040:
6014:
6006:
6003:
5999:
5991:
5985:
5981:
5977:
5974:
5970:
5964:
5961:
5957:
5950:
5943:
5936:
5926:
5920:
5916:
5912:
5909:
5905:
5900:
5894:
5891:
5887:
5880:
5873:
5868:
5864:
5860:
5854:
5851:
5847:
5838:
5830:
5827:
5822:
5819:
5814:
5810:
5802:
5794:
5793:
5792:
5778:
5772:
5769:
5766:
5753:
5738:
5733:
5729:
5725:
5719:
5716:
5712:
5703:
5695:
5692:
5687:
5684:
5679:
5675:
5667:
5646:
5643:
5621:
5617:
5593:
5590:
5587:
5564:
5556:
5552:
5543:
5539:presequential
5536:
5518:
5515:
5512:
5500:
5497:
5494:
5488:
5485:
5476:
5472:
5468:
5454:
5448:
5445:
5442:
5421:
5395:
5375:
5367:
5351:
5345:
5342:
5339:
5331:
5316:
5308:
5307:
5294:
5289:
5285:
5262:
5258:
5254:
5251:
5231:
5209:
5205:
5184:
5162:
5158:
5149:
5135:
5130:
5126:
5103:
5099:
5095:
5092:
5072:
5069:
5063:
5057:
5037:
5017:
5009:
5005:
4984:
4964:
4956:
4952:
4943:
4925:
4922:
4919:
4907:
4904:
4901:
4895:
4892:
4885:
4884:
4883:
4866:
4863:
4860:
4834:
4831:
4828:
4816:
4813:
4810:
4804:
4801:
4792:
4772:
4769:
4766:
4760:
4757:
4754:
4751:
4740:
4736:
4714:
4711:
4708:
4702:
4699:
4696:
4693:
4682:
4680:
4677:
4660:
4657:
4654:
4644:Call a space
4642:
4625:
4622:
4619:
4607:
4604:
4601:
4595:
4592:
4569:
4566:
4563:
4552:
4533:
4530:
4527:
4515:
4512:
4509:
4503:
4500:
4492:
4473:
4470:
4467:
4441:
4438:
4435:
4423:
4420:
4417:
4411:
4408:
4399:
4397:
4381:
4375:
4372:
4369:
4343:
4335:
4332:
4328:
4304:
4301:
4298:
4275:
4256:
4253:
4250:
4247:
4239:
4214:
4211:
4208:
4202:
4199:
4196:
4193:
4178:
4175:
4172:
4166:
4163:
4160:
4157:
4151:
4148:
4141:
4140:
4139:
4137:
4130:
4112:
4109:
4106:
4094:
4091:
4088:
4082:
4079:
4065:
4052:
4049:
4046:
4040:
4034:
4014:
4011:
4008:
3988:
3985:
3982:
3974:
3972:
3969:
3954:
3948:
3945:
3942:
3922:
3916:
3913:
3910:
3887:
3880:converges to
3865:
3861:
3838:
3834:
3830:
3827:
3824:
3819:
3815:
3794:
3791:
3786:
3782:
3761:
3755:
3752:
3749:
3726:
3706:
3703:
3698:
3694:
3673:
3667:
3659:
3656:
3652:
3648:
3645:
3625:
3622:
3619:
3599:
3593:
3590:
3587:
3579:
3572:
3557:
3551:
3548:
3545:
3522:
3515:converges to
3500:
3496:
3473:
3469:
3465:
3462:
3459:
3454:
3450:
3429:
3426:
3421:
3417:
3396:
3390:
3387:
3384:
3361:
3341:
3338:
3333:
3329:
3305:
3297:
3294:
3290:
3286:
3283:
3263:
3260:
3257:
3250:if for every
3249:
3242:
3227:
3222:
3218:
3214:
3211:
3208:
3203:
3199:
3178:
3175:
3170:
3166:
3145:
3142:
3120:
3116:
3107:
3100:
3085:
3079:
3076:
3073:
3066:The function
3064:
3051:
3048:
3026:
3022:
3001:
2998:
2993:
2989:
2985:
2982:
2962:
2959:
2954:
2950:
2916:
2911:
2907:
2884:
2880:
2852:
2849:
2846:
2841:
2834:
2830:
2825:
2821:
2816:
2809:
2805:
2800:
2792:As usual, if
2779:
2774:
2770:
2766:
2761:
2757:
2753:
2748:
2744:
2723:
2716:
2700:
2692:
2689:
2665:
2661:
2656:
2652:
2647:
2643:
2615:
2612:
2609:
2604:
2599:
2595:
2591:
2586:
2581:
2577:
2543:
2538:
2534:
2511:
2507:
2498:
2496:
2493:
2476:
2472:
2449:
2445:
2422:
2418:
2414:
2411:
2404:(i.e. range)
2403:
2399:
2381:
2377:
2356:
2351:
2347:
2343:
2340:
2333:
2314:
2306:
2302:
2279:
2275:
2249:
2246:
2226:
2215:
2210:
2206:
2198:
2182:
2155:
2152:
2149:
2144:
2139:
2135:
2131:
2126:
2121:
2117:
2109:
2099:
2097:
2093:
2089:
2085:
2066:
2063:
2060:
2037:
2034:
2031:
2028:
2008:
2005:
2000:
1996:
1989:
1983:
1980:
1975:
1971:
1962:
1960:
1957:
1939:
1936:
1933:
1910:
1907:
1904:
1901:
1881:
1878:
1875:
1852:
1849:
1846:
1836:converges in
1823:
1803:
1800:
1797:
1789:
1786:
1783:
1776:
1772:
1769:
1746:
1743:
1740:
1729:
1726:
1711:
1708:
1705:
1685:
1679:
1676:
1673:
1650:
1630:
1610:
1607:
1604:
1584:
1581:
1573:
1570:
1567:
1560:
1539:
1536:
1533:
1510:
1507:
1504:
1493:
1490:
1468:
1465:
1462:
1450:
1447:
1444:
1438:
1435:
1415:
1412:
1406:
1403:
1400:
1377:
1374:
1371:
1360:
1359:
1358:
1354:
1351:
1334:
1331:
1328:
1305:
1299:
1296:
1293:
1267:
1261:
1254:
1249:
1245:
1241:
1237:
1214:
1211:
1208:
1185:
1177:
1173:
1152:
1149:
1146:
1143:
1123:
1096:
1093:
1090:
1085:
1080:
1076:
1072:
1067:
1062:
1058:
1049:
1027:
1024:
1021:
1015:
1012:
1009:
1006:
991:
988:
985:
979:
976:
973:
970:
964:
961:
953:
951:
948:
930:
927:
924:
912:
909:
906:
900:
897:
888:
871:
868:
865:
842:
832:
815:
812:
809:
803:
800:
780:
771:
768:
765:
759:
756:
753:
750:
727:
719:
715:
691:
688:
685:
662:
654:
650:
630:
627:
624:
621:
601:
579:
575:
554:
548:
545:
542:
536:
533:
530:
527:
519:
517:
514:
496:
493:
490:
467:
464:
444:
437:
421:
413:
394:
391:
388:
362:
359:
356:
350:
347:
327:
307:
297:
283:
280:
257:
254:
251:
228:
220:
203:
200:
197:
186:
183:
165:
162:
159:
136:
126:
122:
115:Preliminaries
107:
105:
101:
97:
96:quotient maps
93:
89:
85:
81:
77:
71:
67:
63:
60:
57:sequentially
56:
54:
50:
46:
42:
38:
34:
30:
19:
10554:(1): 33–41.
10551:
10547:
10522:
10518:
10485:
10481:
10456:
10452:
10427:
10423:
10398:
10394:
10367:
10363:
10332:
10328:
10297:
10293:
10252:
10248:
10217:
10213:
10185:(1): 69–74.
10182:
10178:
10162:. Retrieved
10140:
10136:
10120:. Retrieved
10092:
10088:
10059:
10053:Michael 1972
10048:
10037:
10026:
10015:
10004:
9993:
9936:
9925:
9804:quotient map
9511:
8492:
7913:
7701:
7261:
7176:
6941:
6587:
6453:
6362:
6298:
6032:
5535:
5477:
5413:
4793:
4676:
4643:
4551:quotient map
4400:
4238:quotient map
4235:
4129:
4128:is called a
4071:
3968:
3571:
3241:
3099:
3098:is called a
3065:
2492:
2105:
1956:
1955:is called a
1725:
1526:of a subset
1489:
1487:
947:
889:
835:topology on
614:and a point
513:
512:is called a
182:
128:
36:
26:
10459:(1): 1–28.
10164:10 February
10122:10 February
9955:Siwiec 1971
9887:Perfect map
7920:at a point
7495:subsets of
6943:pseudo-open
2495:subsequence
2332:composition
1552:is the set
340:). The set
110:Definitions
29:mathematics
10488:(1): 1–8.
10300:(3): 487.
10073:References
10064:Olson 1974
10009:Foged 1985
9893:Proper map
9715:such that
9368:such that
9178:such that
9028:such that
8263:such that
7803:'s image:
7258:Properties
7120:(taken in
7051:such that
6940:is called
6566:such that
6154:such that
5609:such that
5534:is called
5469:continuous
5244:such that
5050:such that
4027:such that
3807:such that
3638:and every
3442:such that
3191:such that
2682:for every
2400:" or "the
1923:The space
1724:is called
1136:and every
1048:continuous
946:is called
793:Moreover,
436:finer than
298:eventually
10568:0016-660X
10539:0016-660X
10510:122383748
10502:1439-8516
10473:0016-660X
10444:0016-660X
10415:0166-8641
10386:0030-8730
10351:0016-2736
10316:0002-9939
10281:0893-9659
10262:1105.2203
10236:0011-4642
10201:0030-8730
10159:1303-5991
10117:0036-0279
9917:Citations
9847:→
9787:→
9752:→
9689:−
9681:∈
9644:−
9613:∈
9541:→
9453:∞
9392:∙
9379:∘
9354:∞
9306:∙
9230:−
9222:∈
9196:→
9191:∙
9152:−
9144:⊆
9139:∙
9106:∈
9014:∙
8987:∞
8895:−
8868:∙
8806:−
8779:∙
8740:−
8732:∈
8657:
8624:
8611:∈
8585:⊆
8510:→
8483:restricts
8462:on which
8385:
8379:∈
8319:∈
8281:−
8248:∈
8222:→
8217:∙
8170:∞
8131:∙
8100:∈
8084:Hausdorff
8067:→
8033:∅
8030:≠
8024:∩
8002:∈
7931:∈
7897:τ
7820:
7814:∈
7745:→
7713:∈
7629:→
7579:→
7558:are also
7456:→
7375:→
7283:→
7264:open maps
7219:separable
7081:⊆
7064:−
7005:−
6957:∈
6925:→
6794:map then
6540:−
6532:∈
6503:∈
6477:→
6424:Hausdorff
6404:σ
6392:→
6386:τ
6340:σ
6328:→
6322:τ
6279:τ
6239:∙
6231:
6215:−
6178:∖
6172:⊆
6167:∙
6139:σ
6107:→
6102:∙
6074:σ
6062:→
6056:τ
6004:−
5996:∖
5986:∙
5978:
5962:−
5931:∖
5921:∙
5913:
5892:−
5852:−
5831:∈
5820:≠
5803:⋃
5773:τ
5717:−
5696:∈
5685:≠
5668:⋃
5622:∙
5594:σ
5562:→
5557:∙
5519:σ
5507:→
5501:τ
5452:→
5349:→
5290:∙
5263:∙
5255:∘
5210:∙
5163:∙
5150:Whenever
5131:∙
5104:∙
5096:∘
5015:→
5010:∙
4962:→
4957:∙
4944:Whenever
4926:σ
4914:→
4908:τ
4867:σ
4835:σ
4823:→
4817:τ
4773:σ
4761:
4715:σ
4703:
4661:σ
4626:σ
4614:→
4608:τ
4570:σ
4534:σ
4522:→
4516:τ
4474:τ
4442:σ
4430:→
4424:τ
4376:τ
4333:−
4305:σ
4251:⊆
4215:σ
4203:
4188:→
4179:τ
4167:
4113:σ
4101:→
4095:τ
4012:⊆
3986:⊆
3952:→
3917:τ
3866:∙
3839:∙
3831:∘
3820:∙
3792:⊆
3787:∙
3756:σ
3704:⊆
3699:∙
3657:−
3649:∈
3623:∈
3597:→
3552:τ
3501:∙
3474:∙
3466:∘
3455:∙
3427:⊆
3422:∙
3391:σ
3339:⊆
3334:∙
3295:−
3287:∈
3261:∈
3223:∙
3215:∘
3204:∙
3176:⊆
3171:∙
3121:∙
3083:→
3027:∙
2999:⊆
2994:∙
2986:
2960:⊆
2955:∙
2925:→
2912:∙
2885:∙
2858:∞
2810:∙
2775:∙
2767:∘
2762:∙
2749:∙
2724:∘
2693:∈
2621:∞
2582:∙
2552:→
2539:∙
2512:∙
2477:∙
2450:∙
2423:∙
2415:
2398:injective
2382:∙
2352:∙
2344:∘
2307:∙
2250:∈
2224:→
2211:∙
2175:in a set
2161:∞
2122:∙
2067:τ
2032:⊆
2006:
1981:
1940:τ
1905:∈
1879:∈
1853:τ
1798:
1790:τ
1747:τ
1709:⊆
1698:A subset
1680:τ
1608:∈
1582:
1574:τ
1537:⊆
1511:τ
1469:σ
1457:→
1451:τ
1410:→
1378:σ
1335:τ
1300:σ
1259:→
1250:∙
1215:τ
1183:→
1178:∙
1147:∈
1102:∞
1063:∙
1028:σ
1016:
1001:→
992:τ
980:
931:σ
919:→
913:τ
872:τ
816:τ
804:
772:τ
760:
725:→
720:∙
692:τ
660:→
655:∙
625:∈
580:∙
549:τ
537:
528:τ
497:τ
465:τ
395:τ
363:τ
351:
258:τ
204:τ
166:τ
129:A subset
92:open maps
84:Hausdorff
10580:Category
9878:Open map
9866:See also
9516:being a
9095:for all
8493:Suppose
8089:and let
7655:quotient
7596:open map
7118:interior
6765:open map
6202:the set
5659:the set
5478:The map
3570:It is a
2197:function
2108:sequence
1428:the map
887:holds.
434:that is
412:topology
410:forms a
59:quotient
49:codomain
43:between
33:topology
10097:Bibcode
9602:and if
8548:onto a
7562:, then
4758:SeqOpen
4700:SeqOpen
4493:, then
4200:SeqOpen
4164:SeqOpen
1013:SeqOpen
977:SeqOpen
831:is the
801:SeqOpen
757:SeqOpen
534:SeqOpen
348:SeqOpen
10566:
10537:
10508:
10500:
10471:
10442:
10413:
10384:
10349:
10314:
10279:
10234:
10199:
10157:
10115:
8639:where
8313:
8307:
8018:
8012:
7855:family
7594:is an
6908:A map
6763:is an
5954:
5948:
5884:
5878:
5368:space
3935:A map
2094:, and
1993:
1987:
890:A map
833:finest
70:, and
62:maps,
53:domain
10506:S2CID
10257:arXiv
10085:(PDF)
9912:Notes
9630:fiber
9524:. If
9514:fiber
8368:then
7439:then
7247:is a
7140:) of
6790:is a
6586:is a
4733:is a
4549:is a
4489:is a
4236:is a
3967:is a
2402:image
10564:ISSN
10535:ISSN
10498:ISSN
10469:ISSN
10440:ISSN
10411:ISSN
10382:ISSN
10347:ISSN
10312:ISSN
10277:ISSN
10232:ISSN
10197:ISSN
10166:2021
10155:ISSN
10124:2021
10113:ISSN
8574:let
7538:and
7217:are
7197:and
6594:for
5473:only
5085:and
4138:if
3853:and
3488:and
2975:and
2736:as:
1488:The
123:and
86:and
41:maps
35:, a
10556:doi
10527:doi
10490:doi
10461:doi
10432:doi
10403:doi
10399:109
10372:doi
10368:113
10337:doi
10302:doi
10267:doi
10222:doi
10187:doi
10145:doi
10105:doi
9802:is
9001:of
8882:in
8793:in
8692:in
8438:is
8343:not
8341:is
8184:in
7966:of
7677:of
7491:to
7419:of
7096:),
6992:of
6770:If
6717:in
6637:of
6452:An
6363:If
6260:not
6258:is
6122:in
5754:not
5752:is
5577:in
5332:If
5224:in
5030:in
4794:If
4683:if
4359:in
3900:in
3739:in
3580:if
3535:in
3374:in
3135:in
2396:is
2330:or
1972:scl
1963:if
1777:scl
1762:if
1730:in
1663:in
1561:scl
1494:in
1357::
1283:in
1198:in
1165:if
1116:in
1046:is
954:if
740:in
675:in
594:in
520:if
414:on
300:in
187:in
149:of
94:or
27:In
10582::
10562:.
10550:.
10533:.
10521:.
10504:.
10496:.
10486:13
10484:.
10467:.
10455:.
10438:.
10426:.
10409:.
10397:.
10380:.
10366:.
10362:.
10345:.
10333:57
10331:.
10327:.
10310:.
10298:95
10296:.
10292:.
10275:.
10265:.
10253:25
10251:.
10247:.
10230:.
10218:26
10216:.
10212:.
10195:.
10183:44
10181:.
10177:.
10153:.
10141:68
10139:.
10135:.
10111:.
10103:.
10093:21
10091:.
10087:.
9975:^
9961:^
9947:^
8648:cl
8615:cl
8382:Im
7853:A
7826::=
7817:Im
6228:Im
5975:Im
5910:Im
2983:Im
2412:Im
2106:A
2090:,
1997:cl
66:,
10570:.
10558::
10552:1
10541:.
10529::
10523:1
10512:.
10492::
10475:.
10463::
10457:4
10446:.
10434::
10428:2
10417:.
10405::
10388:.
10374::
10353:.
10339::
10318:.
10304::
10283:.
10269::
10259::
10238:.
10224::
10203:.
10189::
10168:.
10147::
10126:.
10107::
10099::
9850:Y
9844:X
9841::
9838:f
9818:f
9790:Y
9784:X
9781::
9778:f
9758:.
9755:Y
9749:X
9746::
9743:f
9723:x
9703:)
9700:y
9697:(
9692:1
9685:f
9678:x
9658:)
9655:y
9652:(
9647:1
9640:f
9616:Y
9610:y
9590:Y
9567:X
9544:Y
9538:X
9535::
9532:f
9498:.
9495:z
9475:f
9448:1
9445:=
9442:k
9437:)
9432:)
9425:k
9421:l
9416:x
9412:(
9408:f
9404:(
9399:=
9388:l
9383:x
9376:f
9349:1
9346:=
9343:k
9338:)
9331:k
9327:l
9322:x
9318:(
9313:=
9302:l
9297:x
9276:,
9273:x
9253:)
9250:)
9247:x
9244:(
9241:f
9238:(
9233:1
9226:f
9219:z
9199:x
9187:x
9166:)
9163:D
9160:(
9155:1
9148:f
9135:x
9114:.
9110:N
9103:k
9082:)
9075:k
9071:l
9066:x
9062:(
9058:f
9055:=
9052:)
9047:k
9043:z
9039:(
9036:f
9010:x
8982:1
8979:=
8976:k
8971:)
8964:k
8960:l
8955:x
8951:(
8929:z
8909:)
8906:D
8903:(
8898:1
8891:f
8864:z
8843:,
8840:x
8820:)
8817:D
8814:(
8809:1
8802:f
8775:x
8754:)
8751:y
8748:(
8743:1
8736:f
8729:z
8726:,
8723:x
8703:.
8700:Y
8680:D
8660:D
8652:Y
8627:D
8619:Y
8608:y
8588:Y
8582:D
8562:,
8559:Y
8536:X
8513:Y
8507:X
8504::
8501:f
8470:f
8450:X
8426:f
8406:.
8403:)
8400:X
8397:(
8394:f
8391:=
8388:f
8376:y
8356:,
8353:x
8328:}
8323:N
8316:i
8310::
8303:)
8298:i
8294:y
8290:(
8284:1
8277:f
8272:{
8251:X
8245:x
8225:y
8213:y
8192:Y
8165:1
8162:=
8159:i
8154:)
8149:i
8145:y
8141:(
8136:=
8127:y
8106:.
8103:Y
8097:y
8070:Y
8064:X
8061::
8058:f
8037:}
8027:B
8021:U
8015::
8007:B
7999:B
7995:{
7974:x
7954:U
7934:X
7928:x
7900:)
7894:,
7891:X
7888:(
7866:B
7841:.
7838:)
7835:X
7832:(
7829:f
7823:f
7811:y
7791:f
7771:y
7751:,
7748:Y
7742:X
7739::
7736:f
7716:Y
7710:y
7688:.
7685:X
7665:U
7641:)
7638:U
7635:(
7632:f
7626:U
7623::
7618:U
7612:|
7606:f
7582:Y
7576:X
7573::
7570:f
7546:Y
7526:X
7506:.
7503:Y
7479:X
7459:Y
7453:X
7450::
7447:f
7427:X
7407:U
7387:)
7384:U
7381:(
7378:f
7372:U
7369::
7364:U
7358:|
7352:f
7332:.
7329:Y
7309:X
7286:Y
7280:X
7277::
7274:f
7251:.
7235:f
7205:Y
7185:X
7160:.
7157:)
7154:U
7151:(
7148:f
7128:Y
7104:y
7084:U
7078:)
7075:y
7072:(
7067:1
7060:f
7039:U
7019:)
7016:y
7013:(
7008:1
7001:f
6980:U
6960:Y
6954:y
6928:Y
6922:X
6919::
6916:f
6893:f
6871:f
6849:f
6827:f
6802:f
6778:f
6751:f
6728:.
6725:Y
6705:)
6702:x
6699:(
6696:f
6676:)
6673:U
6670:(
6667:f
6648:,
6645:x
6625:U
6605:,
6602:f
6574:x
6554:)
6551:y
6548:(
6543:1
6536:f
6529:x
6509:,
6506:Y
6500:y
6480:Y
6474:X
6471::
6468:f
6437:f
6407:)
6401:,
6398:Y
6395:(
6389:)
6383:,
6380:X
6377:(
6374::
6371:f
6343:)
6337:,
6334:Y
6331:(
6325:)
6319:,
6316:X
6313:(
6310::
6307:f
6285:.
6282:)
6276:,
6273:X
6270:(
6245:)
6235:y
6224:(
6218:1
6211:f
6190:,
6187:}
6184:y
6181:{
6175:Y
6163:y
6142:)
6136:,
6133:Y
6130:(
6110:y
6098:y
6077:)
6071:,
6068:Y
6065:(
6059:)
6053:,
6050:X
6047:(
6044::
6041:f
6018:)
6015:y
6012:(
6007:1
6000:f
5992:)
5982:y
5971:(
5965:1
5958:f
5951:=
5944:)
5940:}
5937:y
5934:{
5927:)
5917:y
5906:(
5901:(
5895:1
5888:f
5881:=
5874:)
5869:i
5865:y
5861:(
5855:1
5848:f
5839:,
5835:N
5828:i
5823:y
5815:i
5811:y
5779:,
5776:)
5770:,
5767:X
5764:(
5739:)
5734:i
5730:y
5726:(
5720:1
5713:f
5704:,
5700:N
5693:i
5688:y
5680:i
5676:y
5647:,
5644:y
5618:y
5597:)
5591:,
5588:Y
5585:(
5565:y
5553:y
5522:)
5516:,
5513:Y
5510:(
5504:)
5498:,
5495:X
5492:(
5489::
5486:f
5455:Y
5449:X
5446::
5443:f
5422:Y
5396:Y
5376:Y
5352:Y
5346:X
5343::
5340:f
5317:Y
5295:.
5286:y
5259:x
5252:f
5232:X
5206:x
5185:Y
5159:y
5136:.
5127:y
5100:x
5093:f
5073:y
5070:=
5067:)
5064:x
5061:(
5058:f
5038:X
5018:x
5006:x
4985:Y
4965:y
4953:y
4929:)
4923:,
4920:Y
4917:(
4911:)
4905:,
4902:X
4899:(
4896::
4893:f
4870:)
4864:,
4861:Y
4858:(
4838:)
4832:,
4829:Y
4826:(
4820:)
4814:,
4811:X
4808:(
4805::
4802:f
4779:)
4776:)
4770:,
4767:Y
4764:(
4755:,
4752:Y
4749:(
4721:)
4718:)
4712:,
4709:Y
4706:(
4697:,
4694:Y
4691:(
4664:)
4658:,
4655:Y
4652:(
4629:)
4623:,
4620:Y
4617:(
4611:)
4605:,
4602:X
4599:(
4596::
4593:f
4573:)
4567:,
4564:Y
4561:(
4537:)
4531:,
4528:Y
4525:(
4519:)
4513:,
4510:X
4507:(
4504::
4501:f
4477:)
4471:,
4468:X
4465:(
4445:)
4439:,
4436:Y
4433:(
4427:)
4421:,
4418:X
4415:(
4412::
4409:f
4382:.
4379:)
4373:,
4370:X
4367:(
4347:)
4344:S
4341:(
4336:1
4329:f
4308:)
4302:,
4299:Y
4296:(
4276:S
4257:,
4254:Y
4248:S
4221:)
4218:)
4212:,
4209:Y
4206:(
4197:,
4194:Y
4191:(
4185:)
4182:)
4176:,
4173:X
4170:(
4161:,
4158:X
4155:(
4152::
4149:f
4116:)
4110:,
4107:Y
4104:(
4098:)
4092:,
4089:X
4086:(
4083::
4080:f
4053:.
4050:K
4047:=
4044:)
4041:C
4038:(
4035:f
4015:X
4009:C
3989:Y
3983:K
3955:Y
3949:X
3946::
3943:f
3923:.
3920:)
3914:,
3911:X
3908:(
3888:x
3862:x
3835:x
3828:f
3825:=
3816:y
3795:X
3783:x
3762:,
3759:)
3753:,
3750:Y
3747:(
3727:y
3707:Y
3695:y
3674:,
3671:)
3668:y
3665:(
3660:1
3653:f
3646:x
3626:Y
3620:y
3600:Y
3594:X
3591::
3588:f
3558:.
3555:)
3549:,
3546:X
3543:(
3523:x
3497:x
3470:x
3463:f
3460:=
3451:y
3430:X
3418:x
3397:,
3394:)
3388:,
3385:Y
3382:(
3362:y
3342:Y
3330:y
3309:)
3306:y
3303:(
3298:1
3291:f
3284:x
3264:Y
3258:y
3228:.
3219:x
3212:f
3209:=
3200:y
3179:X
3167:x
3146:,
3143:Y
3117:y
3086:Y
3080:X
3077::
3074:f
3052:.
3049:S
3023:x
3002:S
2990:x
2963:S
2951:x
2929:N
2921:N
2917::
2908:l
2881:x
2853:1
2850:=
2847:k
2842:)
2835:k
2831:l
2826:x
2822:(
2817:=
2806:l
2801:x
2780:.
2771:l
2758:x
2754:=
2745:s
2701:,
2697:N
2690:k
2666:k
2662:l
2657:x
2653:=
2648:k
2644:s
2616:1
2613:=
2610:k
2605:)
2600:k
2596:l
2592:(
2587:=
2578:l
2556:N
2548:N
2544::
2535:l
2508:x
2473:s
2446:x
2419:x
2378:x
2357:,
2348:x
2341:f
2318:)
2315:i
2312:(
2303:x
2280:i
2276:x
2254:N
2247:i
2227:X
2220:N
2216::
2207:x
2183:X
2156:1
2153:=
2150:i
2145:)
2140:i
2136:x
2132:(
2127:=
2118:x
2070:)
2064:,
2061:X
2058:(
2038:,
2035:X
2029:S
2009:S
2001:X
1990:=
1984:S
1976:X
1943:)
1937:,
1934:X
1931:(
1911:.
1908:S
1902:x
1882:X
1876:x
1856:)
1850:,
1847:X
1844:(
1824:S
1804:,
1801:S
1793:)
1787:,
1784:X
1781:(
1773:=
1770:S
1750:)
1744:,
1741:X
1738:(
1712:X
1706:S
1686:.
1683:)
1677:,
1674:X
1671:(
1651:x
1631:S
1611:X
1605:x
1585:S
1577:)
1571:,
1568:X
1565:(
1540:X
1534:S
1514:)
1508:,
1505:X
1502:(
1472:)
1466:,
1463:Y
1460:(
1454:)
1448:,
1445:X
1442:(
1439::
1436:f
1416:,
1413:Y
1407:X
1404::
1401:f
1381:)
1375:,
1372:Y
1369:(
1338:)
1332:,
1329:X
1326:(
1306:.
1303:)
1297:,
1294:Y
1291:(
1271:)
1268:x
1265:(
1262:f
1255:)
1246:x
1242:(
1238:f
1218:)
1212:,
1209:X
1206:(
1186:x
1174:x
1153:,
1150:X
1144:x
1124:X
1097:1
1094:=
1091:i
1086:)
1081:i
1077:x
1073:(
1068:=
1059:x
1034:)
1031:)
1025:,
1022:Y
1019:(
1010:,
1007:Y
1004:(
998:)
995:)
989:,
986:X
983:(
974:,
971:X
968:(
965::
962:f
934:)
928:,
925:Y
922:(
916:)
910:,
907:X
904:(
901::
898:f
875:)
869:,
866:X
863:(
843:X
819:)
813:,
810:X
807:(
781:.
778:)
775:)
769:,
766:X
763:(
754:,
751:X
748:(
728:x
716:x
695:)
689:,
686:X
683:(
663:x
651:x
631:,
628:X
622:x
602:X
576:x
555:.
552:)
546:,
543:X
540:(
531:=
500:)
494:,
491:X
488:(
468:.
445:X
422:X
398:)
392:,
389:X
386:(
366:)
360:,
357:X
354:(
328:S
308:S
284:,
281:S
261:)
255:,
252:X
249:(
229:X
207:)
201:,
198:X
195:(
169:)
163:,
160:X
157:(
137:S
20:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.