3671:
2828:
2646:
3666:{\displaystyle {\begin{aligned}\int \chi _{n\ell m}^{*}(\mathbf {r} ){\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}~\chi _{n'\ell 'm'}(\mathbf {r} ')~\mathrm {d} ^{3}r&=4\pi \int {\frac {1}{(2\pi )^{3}}}~\chi _{n\ell m}^{*}(\mathbf {k} )~{\frac {1}{k^{2}}}~\chi _{n'\ell 'm'}(\mathbf {k} )~\mathrm {d} ^{3}k\\&=8\,\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}~(n-\ell )!~(n'-\ell )!~{\frac {\,(2\zeta )^{n}\,}{\zeta ^{\ell }}}{\frac {\,(2\zeta ')^{n'}\,}{\zeta '^{\ell }}}\int _{0}^{\infty }k^{2\ell }\left\mathrm {d} k\end{aligned}}}
1743:
1362:
2176:
1738:{\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{n\ell m}({\mathbf {k} })&=\int e^{i{\mathbf {k} }\cdot {\mathbf {r} }}~\chi _{n\ell m}({\mathbf {r} })~\mathrm {d} ^{3}r\\&=4\pi ~(n-\ell )!~(2\zeta )^{n}~(ik/\zeta )^{\ell }~Y_{\ell }^{m}({\mathbf {k} })\sum _{s=0}^{\lfloor (n-\ell )/2\rfloor }{\frac {\omega _{s}^{n\ell }}{~(k^{2}+\zeta ^{2})^{n+1-s}}},\end{aligned}}}
3693:(STF) analogous to Slater type orbitals, but with variable exponents chosen to minimize the total molecular energy (rather than by Slater's rules as above). The fact that products of two STOs on distinct atoms are more difficult to express than those of Gaussian functions (which give a displaced Gaussian) has led many to expand them in terms of Gaussians.
2157:
2641:{\displaystyle {\begin{aligned}&\int \chi _{n\ell m}^{*}(r)~\left(-{\tfrac {1}{2}}\nabla ^{2}\right)\,\chi _{n'\ell 'm'}(r)~\mathrm {d} ^{3}r\\&={\frac {1}{2}}\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}\,\int _{0}^{\infty }e^{-(\zeta +\zeta ')\,r}\left\,r^{n+n'-2}+2\zeta 'n'\,r^{n+n'-1}-\zeta '^{2}\,r^{n+n'}\right]~\mathrm {d} r~,\end{aligned}}}
2820:
507:
4442:
Guseinov, I. I.; Mamedov, B. A. (2002). "On the calculation of arbitrary multielectron molecular integrals over Slater-Type
Orbitals using recurrence relations for overlap integrals: IV. Use of recurrence relations for basic two-center overlap and hybrid integrals".
1921:
793:
1347:
320:
4308:
Ema, I.; García de La Vega, J. M.; Miguel, B.; Dotterweich, J.; Meißner, H.; Steinborn, E. O. (1999). "Exponential-type basis functions: single- and double-zeta B function basis sets for the ground states of neutral atoms from Z=2 to Z=36".
2657:
1068:
1932:
1219:
The fundamental mathematical properties are those associated with the kinetic energy, nuclear attraction and
Coulomb repulsion integrals for placement of the orbital at the center of a single nucleus. Dropping the normalization factor
331:
4167:
Grotendorst, J.; Weniger, E. J.; Steinborn, E. O. (1986). "Efficient evaluation of infinite-series representations for overlap, two-center nuclear attraction, and
Coulomb integrals using nonlinear convergence accelerators".
3717:, a least squares representation of the Slater atomic orbitals as a sum of Gaussian-type orbitals is used. In their 1969 paper, the fundamentals of this principle are discussed and then further improved and used in the
922:
4363:
Guseinov, I. I.; Mamedov, B. A. (2001). "On the calculation of arbitrary multielectron molecular integrals over Slater-Type
Orbitals using recurrence relations for overlap integrals: II. Two-center expansion method".
4410:
Guseinov, I. I.; Mamedov, B. A. (2002). "On the calculation of arbitrary multielectron molecular integrals over Slater-Type
Orbitals using recurrence relations for overlap integrals: III. auxiliary functions
46:
functions, i.e. the analytical solutions of the stationary Schrödinger equation for one electron atoms). Unlike the hydrogen-like ("hydrogenic") Schrödinger orbitals, STOs have no radial nodes (neither do
690:
2833:
2181:
1774:
1367:
4207:
Grotendorst, J.; Steinborn, E. O. (1988). "Numerical evaluation of molecular one- and two-electron multicenter integrals with exponential-type orbitals via the
Fourier-transform method".
701:
128:
1206:
556:
4466:Özdogan, T.; Orbay, M. (2002). "Evaluation of two-center overlap and nuclear attraction integrals over Slater-type orbitals with integer and non-integer principal quantum numbers".
4246:
Bunge, C. F.; Barrientos, J. A.; Bunge, A. V. (1993). "Roothaan-Hartree-Fock Ground-State Atomic Wave
Functions: Slater-Type Orbital Expansions and Expectation Values for Z=2–54".
28:
4004:
Filter, E.; Steinborn, E. O. (1978). "Extremely compact formulas for molecular two-center and one-electron integrals and
Coulomb integrals over Slater-type atomic orbitals".
1230:
2815:{\displaystyle \chi _{n\ell m}^{*}({\mathbf {r} })=\int {\frac {~e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }~}{(2\pi )^{3}}}~\chi _{n\ell m}^{*}({\mathbf {k} })~\mathrm {d} ^{3}k}
578:
215:
2152:{\displaystyle \int \chi _{n\ell m}^{*}(r)~\chi _{n'\ell 'm'}(r)~\mathrm {d} ^{3}r=\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}\,{\frac {(n+n')!}{~(\zeta +\zeta ')^{n+n'+1}}}}
933:
4387:
Guseinov, I. I. (2001). "Evaluation of expansion coefficients for translation of Slater-Type orbitals using complete orthonormal sets of
Exponential-Type functions".
1766:
192:
3931:
Hehre, W. J.; Stewart, R. F.; Pople, J. A. (1969-09-15). "Self‐Consistent
Molecular‐Orbital Methods. I. Use of Gaussian Expansions of Slater‐Type Atomic Orbitals".
502:{\displaystyle N^{2}\int _{0}^{\infty }\left(r^{n-1}e^{-\zeta r}\right)^{2}r^{2}\,\mathrm {d} r=1\Longrightarrow N=(2\zeta )^{n}{\sqrt {\frac {2\zeta }{(2n)!}}}~.}
3702:
Various grid integration schemes have been developed, sometimes after analytical work for quadrature (Scrocco), most famously in the ADF suite of DFT codes.
3973:
Harris, F. E.; Michels, H. H. (1966). "Multicenter integrals in quantum mechanics. 2. Evaluation of electron-repulsion integrals for Slater-type orbitals".
3714:
3710:
4097:
Grotendorst, J.; Steinborn, E. O. (1985). "The Fourier transform of a two-center product of exponential-type functions and its efficient evaluation".
3836:
Cruz, S. A.; Cisneros, C.; Alvarez, I. (1978). "Individual orbit contribution to the electron stopping cross section in the low-velocity region".
804:
3902:
Bouferguene, A.; Fares, M.; Hoggan, P. E. (1996). "STOP: Slater Type Orbital Package for general molecular electronic structure calculations".
4340:
Fernández Rico, J.; Fernández, J. J.; Ema, I.; López, R.; Ramírez, G. (2001). "Four-center integrals for Gaussian and Exponential Functions".
3873:
Guseinov, I. I. (2002). "New complete orthonormal sets of exponential-type orbitals and their application to translation of Slater Orbitals".
4499:
4468:
4445:
4421:
4389:
4366:
4342:
3904:
3875:
3917:
198:
of the nucleus, the nuclear charge being partly shielded by electrons. Historically, the effective nuclear charge was estimated by
1211:
Angular dependent derivatives of the spherical harmonics don't depend on the radial function and have to be evaluated separately.
2170:
594:
4035:
McLean, A. D.; McLean, R. S. (1981). "Roothaan-Hartree-Fock Atomic Wave Functions, Slater Basis-Set Expansions for Z = 55–92".
3696:
Analytical ab initio software for polyatomic molecules has been developed, e.g., STOP: a Slater Type Orbital Package in 1996.
1916:{\displaystyle \omega _{s}^{n\ell }\equiv \left(-{\frac {1}{4\zeta ^{2}}}\right)^{s}\,{\frac {(n-s)!}{~s!~(n-\ell -2s)!~}}.}
4402:
4379:
4311:
4248:
4037:
4355:
788:{\displaystyle \nabla ^{2}={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial \over \partial r}\right)}
3699:
SMILES uses analytical expressions when available and Gaussian expansions otherwise. It was first released in 2000.
4536:
4099:
65:
3674:
1079:
518:
4277:
Harris, F. E. (1997). "Analytic evaluation of three-electron atomic integrals with Slater wave functions".
3975:
3791:
Belkic, D.; Taylor, H. S. (1989). "A unified formula for the Fourier transform of Slater-type orbitals".
4531:
1342:{\displaystyle \chi _{n\ell m}({\mathbf {r} })=r^{n-1}~e^{-\zeta \,r}~Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} })~.}
315:{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-\alpha x}\,\mathrm {d} x={\frac {n!}{~\alpha ^{n+1}\,}}~.}
145:
4493:
Computation of Two-Center Coulomb integrals over Slater-Type orbitals using elliptical coordinates
561:
3690:
1063:{\displaystyle \nabla ^{2}R(r)=\left({1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\right)\leftR(r)}
4066:
Datta, S. (1985). "Evaluation of Coulomb integrals with hydrogenic and Slater-type orbitals".
3730:
2651:
The Coulomb repulsion integral can be evaluated using the Fourier representation (see above)
1751:
177:
4320:
4288:
4257:
4218:
4179:
4139:
4108:
4077:
4068:
4046:
4015:
3984:
3940:
3847:
3802:
3765:
159:
8:
513:
4324:
4292:
4261:
4222:
4183:
4143:
4112:
4081:
4050:
4019:
3988:
3944:
3851:
3806:
3769:
3818:
43:
4279:
4234:
4209:
4195:
4170:
4155:
4130:
4120:
4089:
4058:
4006:
3956:
3838:
3822:
3814:
2163:
1353:
199:
48:
2162:
of which the normalization integral is a special case. The superscript star denotes
4508:
4477:
4454:
4430:
4398:
4375:
4351:
4328:
4296:
4265:
4226:
4187:
4147:
4116:
4085:
4054:
4023:
3992:
3948:
3913:
3884:
3855:
3810:
3773:
927:
The total Laplace operator yields after applying the second differential operator
3793:
3756:
195:
207:
169:
141:
32:
24:
4525:
4300:
4230:
4191:
4151:
3960:
3751:
3859:
917:{\displaystyle \left(r^{2}{\partial \over \partial r}\right)R(r)=\leftR(r)}
4332:
4269:
588:
The first radial derivative of the radial part of a Slater-type orbital is
39:
4238:
4199:
4159:
4027:
3777:
4128:
Tai, H. (1986). "Analytic evaluation of two-center molecular integrals".
3918:
10.1002/(SICI)1097-461X(1996)57:4<801::AID-QUA27>3.0.CO;2-0
3706:
4513:
4490:
4481:
4458:
4434:
3996:
3952:
4307:
3888:
3718:
695:
The radial Laplace operator is split in two differential operators
4403:
10.1002/1097-461X(2001)81:2<126::AID-QUA2>3.0.CO;2-K
4380:
10.1002/1097-461X(2001)81:2<117::AID-QUA1>3.0.CO;2-L
4356:
10.1002/1097-461X(2001)81:1<16::AID-QUA5>3.0.CO;2-A
4339:
798:
The first differential operator of the Laplace operator yields
29:
linear combination of atomic orbitals molecular orbital method
4166:
2648:
a sum over three overlap integrals already computed above.
685:{\displaystyle {\partial R(r) \over \partial r}=\leftR(r)}
558:
depending on the polar coordinates of the position vector
3901:
2232:
2831:
2660:
2179:
1935:
1777:
1754:
1365:
1233:
1082:
936:
807:
704:
597:
564:
521:
334:
218:
180:
68:
4245:
4206:
4096:
3835:
3673:These are either individually calculated with the
3665:
2814:
2640:
2151:
1915:
1760:
1737:
1341:
1200:
1062:
916:
787:
684:
572:
550:
501:
314:
186:
122:
3930:
38:They possess exponential decay at long range and
4523:
4441:
4409:
4362:
4003:
1224:, the representation of the orbitals below is
3972:
3689:Some quantum chemistry software uses sets of
4465:
4034:
3790:
3530:
3499:
3401:
3375:
1648:
1622:
206:The normalization constant is computed from
580:as the angular part of the Slater orbital.
123:{\displaystyle R(r)=Nr^{n-1}e^{-\zeta r}\,}
4500:International Journal of Quantum Chemistry
4469:International Journal of Quantum Chemistry
4446:International Journal of Quantum Chemistry
4422:International Journal of Quantum Chemistry
4390:International Journal of Quantum Chemistry
4367:International Journal of Quantum Chemistry
4343:International Journal of Quantum Chemistry
3905:International Journal of Quantum Chemistry
3876:International Journal of Quantum Chemistry
3731:Basis sets used in computational chemistry
4512:
3307:
3277:
3260:
3240:
3168:
3149:
2590:
2544:
2494:
2418:
2374:
2355:
2258:
2070:
2051:
1841:
1296:
1201:{\displaystyle \nabla ^{2}R(r)=\leftR(r)}
419:
302:
260:
168:is the distance of the electron from the
119:
4386:
3872:
551:{\displaystyle Y_{l}^{m}(\mathbf {r} )}
194:is a constant related to the effective
4524:
4488:
4276:
3749:
4065:
59:STOs have the following radial part:
31:. They are named after the physicist
4312:Atomic Data and Nuclear Data Tables
4249:Atomic Data and Nuclear Data Tables
4127:
4038:Atomic Data and Nuclear Data Tables
3677:or recursively as proposed by Cruz
13:
3652:
3336:
3123:
2961:
2799:
2621:
2385:
2304:
2244:
2017:
1473:
1084:
990:
986:
938:
829:
825:
771:
767:
741:
737:
706:
618:
601:
421:
355:
262:
229:
14:
4548:
42:at short range (when combined as
4100:Journal of Computational Physics
3111:
3046:
2945:
2891:
2882:
2864:
2786:
2724:
2716:
2687:
1598:
1460:
1429:
1419:
1391:
1325:
1255:
566:
541:
3933:The Journal of Chemical Physics
3684:
35:, who introduced them in 1930.
3924:
3895:
3866:
3829:
3784:
3743:
3609:
3577:
3519:
3502:
3454:
3427:
3390:
3378:
3293:
3278:
3251:
3241:
3228:
3211:
3202:
3190:
3115:
3107:
3050:
3042:
3006:
2996:
2953:
2940:
2868:
2860:
2791:
2781:
2745:
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2692:
2682:
2491:
2488:
2471:
2457:
2440:
2429:
2415:
2398:
2296:
2290:
2217:
2211:
2120:
2102:
2091:
2074:
2009:
2003:
1966:
1960:
1898:
1877:
1857:
1845:
1704:
1677:
1637:
1625:
1603:
1593:
1566:
1548:
1536:
1526:
1517:
1505:
1465:
1455:
1396:
1386:
1330:
1320:
1260:
1250:
1195:
1189:
1131:
1119:
1102:
1096:
1057:
1051:
1021:
1009:
956:
950:
911:
905:
875:
863:
852:
846:
679:
673:
650:
638:
613:
607:
583:
545:
537:
483:
474:
453:
443:
434:
78:
72:
1:
3736:
54:
4121:10.1016/0021-9991(85)90082-8
4059:10.1016/0092-640X(81)90012-7
3752:"Atomic Shielding Constants"
1214:
573:{\displaystyle \mathbf {r} }
7:
3976:Journal of Chemical Physics
3724:
10:
4553:
4090:10.1088/0022-3700/18/5/006
3815:10.1088/0031-8949/39/2/004
4301:10.1103/PhysRevA.55.1820
4231:10.1103/PhysRevA.38.3857
4192:10.1103/PhysRevA.33.3706
4152:10.1103/PhysRevA.33.3657
1926:The overlap integral is
512:It is common to use the
146:principal quantum number
23:) are functions used as
4537:Computational chemistry
3860:10.1103/PhysRevA.17.132
1761:{\displaystyle \omega }
144:that plays the role of
4489:Harris, F. E. (2003).
4333:10.1006/adnd.1999.0809
4270:10.1006/adnd.1993.1003
3750:Slater, J. C. (1930).
3667:
3534:
3405:
2816:
2642:
2153:
1917:
1762:
1739:
1652:
1343:
1202:
1064:
918:
789:
686:
574:
552:
503:
316:
188:
187:{\displaystyle \zeta }
124:
49:Gaussian-type orbitals
4028:10.1103/PhysRevA.18.1
3778:10.1103/PhysRev.36.57
3691:Slater-type functions
3668:
3478:
3359:
2817:
2643:
2154:
1918:
1763:
1740:
1606:
1344:
1203:
1065:
919:
790:
687:
575:
553:
504:
317:
189:
125:
40:Kato's cusp condition
4069:Journal of Physics B
2829:
2658:
2177:
1933:
1775:
1752:
1363:
1231:
1080:
934:
805:
702:
595:
562:
519:
332:
216:
178:
160:normalizing constant
66:
17:Slater-type orbitals
4325:1999ADNDT..72...57E
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