1584:
4519:
8778:
cohomology operations, showing that it is generated by the
Bockstein homomorphism together with the Steenrod reduced powers, and the Adem relations generate the ideal of relations between these generators. In particular they found an explicit basis for the Steenrod algebra. This basis relies on a
6848:
1406:
7175:
5977:
6440:
3389:
11134:
10472:
11495:
3912:
4196:
5032:
7504:
4177:
919:
11839:
of smooth manifolds up to cobordism, through the identification of the graded ring of bordism classes with the homotopy groups of Thom complexes, in a stable range. The latter was refined to the case of oriented manifolds by
10317:
6951:
2460:
646:
10808:
1165:
6632:
3196:
3066:
12286:
5795:
1394:
6499:
1579:{\displaystyle {\begin{aligned}H\mathbb {F} _{p}^{*}(H\mathbb {F} _{p})&=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\underset {\leftarrow n}{\text{lim}}}\left(H^{n+k}(K(\mathbb {F} _{p},n);\mathbb {F} _{p})\right)\end{aligned}}}
2936:
7984:
3686:
4795:
13458:
12713:
12592:
9593:
7027:
9144:
8656:
8466:
2145:
1857:
9736:
10653:
are supercommutative Hopf algebras, so their spectra are algebra supergroup schemes. These group schemes are closely related to the automorphisms of 1-dimensional additive formal groups. For example, if
9680:
5148:
6143:
5558:
4669:
11596:
6563:
6075:
5639:
4897:
11691:
8997:
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7032:
6637:
1411:
12547:
6624:
2588:
11035:
7258:
9265:
9408:
7334:
5858:
2344:
2731:
9494:
5250:
8839:
8309:
8087:
425:
3978:. (The binomial coefficients are to be interpreted mod 2.) The Adem relations allow one to write an arbitrary composition of Steenrod squares as a sum of Serre–Cartan basis elements.
2198:
9332:
6315:
10957:
3257:
12944:
12889:
11844:. A famous application of the Steenrod operations, involving factorizations through secondary cohomology operations associated to appropriate Adem relations, was the solution by
11835:
of some homotopy groups of spheres, using the compatibility of transgressive differentials in the Serre spectral sequence with the
Steenrod operations, and the classification by
11047:
5218:
2673:
461:
10873:
9200:
8915:
11905:
6307:
6178:
5850:
1677:
12124:
12024:
11985:
11303:
11262:
10598:
10181:, called the Milnor basis. The dual to the Steenrod algebra is often more convenient to work with, because the multiplication is (super) commutative. The comultiplication for
9445:
5372:
1616:
154:
12442:
8386:
5436:
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982:
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7858:
3534:
12495:
11176:
2772:
12095:
11326:
5669:
2817:
1897:
10913:
10635:
10350:
7756:
6992:
3576:
10148:
10077:
8243:
8160:
5671:
are represented as manifolds, we can interpret the squares of the classes as sums of the pushforwards of the normal bundles of their underlying smooth manifolds, i.e.,
4514:{\displaystyle P^{a}\beta P^{b}=\sum _{i}(-1)^{a+i}{(p-1)(b-i) \choose a-pi}\beta P^{a+b-i}P^{i}+\sum _{i}(-1)^{a+i+1}{(p-1)(b-i)-1 \choose a-pi-1}P^{a+b-i}\beta P^{i}}
3751:
11994:
10117:
10046:
10010:
9893:
4551:
3947:
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2005:
1969:
1933:
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1733:
11795:
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9926:
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5456:
5395:
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11946:
10498:
9956:
9050:
8756:
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6208:
6011:
5581:
5095:
4824:
3248:
3097:
2992:
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952:
722:
297:
12201:
12159:
11754:
10533:
10206:
10175:
9983:
9862:
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12436:
8490:
8134:
7796:
7654:
11821:
10842:
10704:
10678:
10559:
9835:
8722:
8516:
7533:
4596:
3727:
1195:
235:
3490:
692:
12964:
12068:
12048:
9020:
8866:
8776:
8676:
8596:
8576:
8556:
8536:
8406:
8336:
8110:
8028:
8008:
7816:
7776:
7714:
7694:
7674:
5563:
which gives a geometric reason for why the
Steenrod products eventually vanish. Note that because the Steenrod maps are group homomorphisms, if we have a class
5324:
5176:
5075:
5055:
3999:
3467:
3222:
2165:
2025:
1697:
1245:
1028:
789:
742:
669:
531:
511:
491:
345:
257:
198:
174:
94:
68:
9499:
induced by the Cartan formula for the action of the
Steenrod algebra on the cup product. This map is easier to describe than the product map, and is given by
4908:
7345:
4007:
797:
11955:
10218:
6864:
6843:{\displaystyle {\begin{aligned}Sq^{2}(x^{2})&=Sq^{0}(x)\smile Sq^{2}(x)+Sq^{1}(x)\smile Sq^{1}(x)+Sq^{2}(x)\smile Sq^{0}(x)\\&=0.\end{aligned}}}
2353:
539:
13046:
The
Steenrod Algebra and its Applications (Proc. Conf. to Celebrate N. E. Steenrod's Sixtieth Birthday, Battelle Memorial Inst., Columbus, Ohio, 1970)
10712:
1089:
2030:
3102:
2997:
12209:
13381:
5677:
1324:
6448:
2824:
12291:
This is what is meant by the aphorism "the cohomology of the
Steenrod algebra is an approximation to the stable homotopy groups of spheres."
6858:
The
Steenrod operations for real projective spaces can be readily computed using the formal properties of the Steenrod squares. Recall that
6445:
can be computed using the geometric techniques outlined above and the relation between Chern classes and
Stiefel–Whitney classes; note that
7906:
3583:
13284:
Smith, Larry (2007). "An algebraic introduction to the
Steenrod algebra". In Hubbuck, John; Hu'ng, Nguyá»…n H. V.; Schwartz, Lionel (eds.).
5158:
There is a nice straightforward geometric interpretation of the
Steenrod squares using manifolds representing cohomology classes. Suppose
4680:
7170:{\displaystyle {\begin{aligned}Sq^{0}(x)&=x\\Sq^{1}(x)&=x^{2}\\Sq^{k}(x)&=0&&{\text{ for any }}k>1\end{aligned}}}
3099:
commutes with the connecting morphism of the long exact sequence in cohomology. In particular, it commutes with respect to suspension
12027:
9505:
9058:
8601:
8411:
1774:
9688:
9601:
5100:
6084:
5468:
4604:
13552:
13199:
13156:
13075:
12426:
11518:
6504:
6016:
5589:
4832:
2169:
11607:
12329:
11139:
These algebras are significant because they can be used to simplify many Adams spectral sequence computations, such as for
8923:
7541:
8686:
In addition to the axiomatic structure the Steenrod algebra satisfies, it has a number of additional useful properties.
12502:
6568:
5983:
as can be computed using a cellular decomposition. This implies that the only possible non-trivial Steenrod product is
2497:
1771:
should be considered instead because it has much better properties and can be tractably studied in many cases (such as
11958:
gave a proof of the following theorem by studying the Steenrod algebra (with coefficients in the algebraic closure of
10965:
10680:
then the dual Steenrod algebra is the group scheme of automorphisms of the 1-dimensional additive formal group scheme
7186:
5972:{\displaystyle H^{0}(\mathbf {CP} ^{2})\cong H^{2}(\mathbf {CP} ^{2})\cong H^{4}(\mathbf {CP} ^{2})\cong \mathbb {Z} }
13240:
12790:
12569:
9206:
9338:
7269:
2287:
2678:
984:, where the multiplication is given by composition of operations. This is the mod 2 Steenrod algebra. In the case
12300:
9461:
2027:, such that this action behaves well with respect to the stable homotopy category, i.e., there is an isomorphism
17:
5223:
13576:, Colloque de Topologie de Strasbourg, vol. IX, La Bibliothèque Nationale et Universitaire de Strasbourg,
10505:
8785:
8282:
8060:
6435:{\displaystyle Sq^{2}\colon H^{4}(\mathbf {CP} ^{8};\mathbb {Z} /2)\to H^{6}(\mathbf {CP} ^{8};\mathbb {Z} /2)}
1316:
357:
3384:{\displaystyle P^{n}\colon H^{m}(X,\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )\to H^{m+2n(p-1)}(X,\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )}
13228:
13027:
13009:
303:
12999:
11129:{\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}(1)\subset {\mathcal {A}}_{2}(2)\subset \cdots \subset {\mathcal {A}}_{2}.}
9271:
9022:
is an admissible sequence, form a basis (the Serre–Cartan basis) for the mod 2 Steenrod algebra, called the
11852:
problem. One application of the mod 2 Steenrod algebra that is fairly elementary is the following theorem.
10922:
13597:
13223:
13022:
13004:
12894:
12839:
5181:
2627:
431:
11952:
which is not a power of 2; that is, such an element is a product of squares of strictly smaller degree.
10847:
9156:
8871:
13544:
11861:
6280:
6151:
5823:
1650:
13218:
12100:
12000:
11961:
11279:
11238:
10564:
10467:{\displaystyle \psi (\tau _{n})=\tau _{n}\otimes 1+\sum _{i=0}^{n}\xi _{n-i}^{p^{i}}\otimes \tau _{i}}
9421:
5335:
1592:
130:
13017:
8341:
5459:
5400:
13058:
11490:{\displaystyle {\begin{cases}P(x)\colon SV]\to SV]\\P(x)(v)=v+F(v)x=v+v^{q}x&v\in V\end{cases}}}
11335:
8248:
5255:
2465:
957:
11756:
generate an algebra isomorphism to the subalgebra of the Steenrod algebra generated by the reduced
11181:
7821:
6146:
5818:
3695:-th powers also satisfy the Adem relations and commute with the suspension and boundary operators.
3498:
1315:
We can summarize the properties of the Steenrod operations as generators in the cohomology ring of
12478:
11142:
3907:{\displaystyle Sq^{i}Sq^{j}=\sum _{k=0}^{\lfloor i/2\rfloor }{j-k-1 \choose i-2k}Sq^{i+j-k}Sq^{k}}
2739:
12169:
12073:
5647:
2777:
1866:
302:
The term "Steenrod algebra" is also sometimes used for the algebra of cohomology operations of a
10881:
10603:
10322:
7719:
6959:
3539:
744:
is the cup square. There are analogous operations for odd primary coefficients, usually denoted
13602:
13053:
12129:
11505:
10121:
10050:
8222:
8139:
466:
Cohomology operations need not be homomorphisms of graded rings; see the Cartan formula below.
321:
270:
10086:
10015:
9988:
9871:
4527:
3920:
2239:
2203:
1974:
1938:
1902:
1738:
1702:
13332:
13185:
13097:
12305:
11767:
11699:
10650:
9898:
7871:
6213:
5441:
5380:
3952:
1636:
1589:
giving a direct sum decomposition of all possible cohomology operations with coefficients in
1277:
470:
11921:
10477:
9935:
9029:
8735:
8165:
6246:
6183:
5986:
5566:
5080:
4803:
3227:
3072:
2977:
2947:
2595:
1200:
1063:
987:
927:
697:
276:
13581:
13562:
13505:
13467:
13428:
13390:
13369:
13311:
13269:
13166:
13134:
13085:
12819:
12760:
12722:
12701:
12639:
12601:
12310:
12179:
12137:
11732:
11318:
10511:
10184:
10153:
9961:
9840:
9775:
9752:
8315:
8195:
8033:
6997:
5397:. In addition, associated to this immersion is a real vector bundle call the normal bundle
3425:
3396:
1250:
1081:
1033:
747:
315:
177:
99:
47:
12835:
8475:
8119:
7781:
7639:
8:
13534:
11800:
10821:
10683:
10657:
10538:
9814:
8701:
8495:
7512:
4575:
3706:
1624:
of cohomology groups of Eilenberg–Maclane spaces. This result was originally computed by
1618:. Note the inverse limit of cohomology groups appears because it is a computation in the
1174:
1058:
214:
13471:
13394:
12726:
12605:
5027:{\displaystyle (1+s\operatorname {Ad} \beta )P(t^{p}+t^{p-1}s+\cdots +ts^{p-1})P(s^{p})}
3472:
674:
13514:
13493:
13437:
13416:
13357:
13315:
13289:
13273:
13148:
13122:
12949:
12823:
12748:
12670:
12648:
12627:
12053:
12033:
11908:
11849:
9865:
9005:
8851:
8761:
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8581:
8561:
8541:
8521:
8391:
8321:
8113:
8095:
8013:
7993:
7801:
7761:
7699:
7679:
7659:
7499:{\displaystyle Sq(x^{n})=(Sq(x))^{n}=(x+x^{2})^{n}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}x^{n+i}}
5327:
5309:
5161:
5060:
5040:
4172:{\displaystyle P^{a}P^{b}=\sum _{i}(-1)^{a+i}{(p-1)(b-i)-1 \choose a-pi}P^{a+b-i}P^{i}}
3984:
3452:
3207:
2150:
2010:
1682:
1230:
1013:
774:
727:
654:
516:
496:
476:
330:
325:
324:
between cohomology functors. For example, if we take cohomology with coefficients in a
242:
183:
159:
79:
53:
31:
12769:
914:{\displaystyle P^{i}\colon H^{n}(X;\mathbb {Z} /p)\to H^{n+2i(p-1)}(X;\mathbb {Z} /p)}
13548:
13519:
13485:
13442:
13408:
13349:
13277:
13257:
13235:
13205:
13195:
13170:
13152:
13114:
13071:
12991:
12827:
12807:
12774:
12740:
12689:
12684:
12653:
12619:
12575:
12565:
11832:
11310:
8472:
The Steenrod squares and reduced powers are special cases of this construction where
13319:
12460:
13509:
13475:
13432:
13398:
13341:
13299:
13249:
13106:
13063:
12799:
12764:
12730:
12679:
12665:
12643:
12609:
9452:
4562:
13038:
12417:
10312:{\displaystyle \psi (\xi _{n})=\sum _{i=0}^{n}\xi _{n-i}^{p^{i}}\otimes \xi _{i}.}
6946:{\displaystyle H^{*}(\mathbb {RP} ^{\infty };\mathbb {Z} /2)\cong \mathbb {Z} /2,}
13577:
13558:
13538:
13530:
13501:
13453:
13424:
13376:
13365:
13327:
13307:
13265:
13181:
13162:
13142:
13130:
13081:
13049:
12815:
12756:
12697:
12635:
12455:
2455:{\displaystyle Sq^{n}\colon H^{m}(X;\mathbb {Z} /2)\to H^{m+n}(X;\mathbb {Z} /2)}
641:{\displaystyle Sq^{i}\colon H^{n}(X;\mathbb {Z} /2)\to H^{n+i}(X;\mathbb {Z} /2)}
10803:{\displaystyle x\rightarrow x+\xi _{1}x^{2}+\xi _{2}x^{4}+\xi _{3}x^{8}+\cdots }
6145:
is nontrivial, this square is nontrivial. There is a similar computation on the
1160:{\displaystyle 0\to \mathbb {Z} /p\to \mathbb {Z} /p^{2}\to \mathbb {Z} /p\to 0}
13459:
Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America
13382:
Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America
13191:
12714:
Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America
12593:
Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America
9743:
1642:
13591:
13489:
13412:
13379:(1953a), "Homology groups of symmetric groups and reduced power operations",
13353:
13261:
13209:
13174:
13118:
12983:
12811:
12744:
12693:
12623:
12474:
12330:"at.algebraic topology – (Co)homology of the Eilenberg–MacLane spaces K(G,n)"
11841:
3191:{\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {Z} /2)\cong H^{k+1}(\Sigma X;\mathbb {Z} /2)}
3061:{\displaystyle 0\to \mathbb {Z} /2\to \mathbb {Z} /4\to \mathbb {Z} /2\to 0.}
1860:
13303:
12281:{\displaystyle \mathrm {Ext} _{A}^{s,t}(\mathbb {F} _{p},\mathbb {F} _{p}).}
12176:-component of the stable homotopy groups of spheres. More specifically, the
12130:
Connection to the Adams spectral sequence and the homotopy groups of spheres
13523:
13446:
13034:
12785:
12778:
12708:
12657:
12579:
12469:
11273:
11233:
11232:) gave the following algebraic construction of the Steenrod algebra over a
10706:
that are the identity to first order. These automorphisms are of the form
9448:
5790:{\displaystyle Sq^{i}(\beta )=\sum _{k=1}^{n}f_{*}(w_{i}(\nu _{Y_{k}/X})).}
1389:{\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}=H\mathbb {F} _{p}^{*}(H\mathbb {F} _{p})}
124:
74:
39:
13480:
13403:
12735:
12614:
12587:
11836:
6494:{\displaystyle f\colon \mathbf {CP} ^{4}\hookrightarrow \mathbf {CP} ^{8}}
3738:
13092:
12162:
11845:
9804:
8779:
certain notion of admissibility for integer sequences. We say a sequence
6274:
6078:
348:
2931:{\displaystyle Sq^{n}(x\smile y)=\sum _{i+j=n}(Sq^{i}x)\smile (Sq^{j}y)}
13361:
13253:
13126:
13067:
12803:
12590:(1952), "The iteration of the Steenrod squares in algebraic topology",
9770:
5801:
200:
13288:. Geometry & Topology Monographs. Vol. 11. pp. 327–348.
13569:
13497:
13420:
12752:
12631:
10844:
Steenrod algebra admits a filtration by finite sub-Hopf algebras. As
7979:{\displaystyle H^{nq-i}(X,(A\otimes B\otimes \cdots \otimes B)/\pi )}
3730:
3681:{\displaystyle P^{n}(x\smile y)=\sum _{i+j=n}(P^{i}x)\smile (P^{j}y)}
13345:
13110:
12990:. Cambridge University Press, 2002. Available free online from the
4790:{\displaystyle P(s^{2}+st)\cdot P(t^{2})=P(t^{2}+st)\cdot P(s^{2})}
13294:
13238:(1953), "Cohomologie modulo 2 des complexes d'Eilenberg–MacLane",
6565:. It can also be computed directly using the Cartan formula since
1699:, then there are many challenges for studying the cohomology ring
13048:, Lecture Notes in Mathematics, vol. 168, Berlin, New York:
2941:
In addition the Steenrod squares have the following properties:
11831:
Early applications of the Steenrod algebra were calculations by
8758:) described the structure of the Steenrod algebra of stable mod
9588:{\displaystyle \psi (Sq^{k})=\sum _{i+j=k}Sq^{i}\otimes Sq^{j}}
4569:) reformulated the Adem relations as the following identities.
2462:
is an additive homomorphism and is natural with respect to any
694:
and their name, the Steenrod squares, comes from the fact that
13286:
Proceedings of the School and Conference in Algebraic Topology
9985:
is the tensor product of the polynomial algebra in generators
9413:
9139:{\displaystyle Sq_{p}^{I}=Sq_{p}^{i_{1}}\cdots Sq_{p}^{i_{n}}}
8651:{\displaystyle H_{0}(\pi ,A\otimes B\otimes \cdots \otimes B)}
8461:{\displaystyle H_{0}(\pi ,A\otimes B\otimes \cdots \otimes B)}
5852:, there are only the following non-trivial cohomology groups,
4902:
then the Adem relations are equivalent to the statement that
2140:{\displaystyle E_{*}(E)\otimes _{\pi _{*}(E)}E_{*}(X)\to _{*}}
1852:{\displaystyle KO,KU,MO,MU,MSp,\mathbb {S} ,H\mathbb {F} _{p}}
12445:– contains interpretations of Ext terms and Streenrod squares
9731:{\displaystyle \psi (\beta )=\beta \otimes 1+1\otimes \beta }
9233:
1635:
Note there is a dual characterization using homology for the
351:
squaring operation yields a family of cohomology operations:
9675:{\displaystyle \psi (P^{k})=\sum _{i+j=k}P^{i}\otimes P^{j}}
5143:{\displaystyle (\operatorname {Ad} \beta )P=\beta P-P\beta }
1643:
Remark about generalizing to generalized cohomology theories
13330:(1947), "Products of cocycles and extensions of mappings",
11483:
6138:{\displaystyle H^{\ast }(\mathbf {CP} ^{2};\mathbb {Z} /2)}
12382:
12097:-algebras]] with coefficients in the algebraic closure of
12070:-type to a full subcategory of the homotopy category of [[
2280:
Norman Steenrod and David B. A. Epstein (
13144:
Cohomology operations and applications in homotopy theory
5553:{\displaystyle Sq^{i}(\alpha )=f_{*}(w_{i}(\nu _{Y/X})),}
1935:
are flat. In this case, these is a canonical coaction of
13456:(1953b), "Cyclic reduced powers of cohomology classes",
5458:
can now be understood — they are the pushforward of the
4664:{\displaystyle P(t)=\sum _{i\geq 0}t^{i}{\text{Sq}}^{i}}
3204:
Similarly the following axioms characterize the reduced
1647:
It should be observed if the Eilenberg–Maclane spectrum
13187:
Complex cobordism and stable homotopy groups of spheres
12394:
11591:{\displaystyle P(x)(f)=\sum P^{i}(f)x^{i}\qquad p>2}
6558:{\displaystyle H^{4}(\mathbf {CP} ^{8};\mathbb {Z} /2)}
6070:{\displaystyle H^{2}(\mathbf {CP} ^{2};\mathbb {Z} /2)}
5634:{\displaystyle \beta =\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n},}
4892:{\displaystyle P(t)=\sum _{i\geq 0}t^{i}{\text{P}}^{i}}
12788:(1955), "Sur l'itération des opérations de Steenrod",
12439:– contains more calculations, such as for Wu manifolds
11686:{\displaystyle P(x)(f)=\sum Sq^{2i}(f)x^{i}\qquad p=2}
9418:
The Steenrod algebra has more structure than a graded
1735:. In this case, the generalized dual Steenrod algebra
13039:"A general algebraic approach to Steenrod operations"
12952:
12897:
12842:
12505:
12481:
12212:
12182:
12140:
12103:
12076:
12056:
12036:
12003:
11964:
11924:
11864:
11803:
11770:
11735:
11702:
11610:
11521:
11329:
11282:
11241:
11184:
11145:
11050:
10968:
10925:
10884:
10850:
10824:
10715:
10686:
10660:
10606:
10567:
10541:
10514:
10480:
10360:
10325:
10221:
10187:
10156:
10124:
10089:
10053:
10018:
9991:
9964:
9938:
9901:
9874:
9843:
9817:
9778:
9755:
9691:
9604:
9508:
9464:
9424:
9341:
9274:
9209:
9159:
9061:
9032:
9008:
8926:
8874:
8854:
8788:
8764:
8738:
8704:
8681:
8664:
8604:
8584:
8564:
8544:
8524:
8498:
8478:
8414:
8394:
8344:
8324:
8285:
8251:
8225:
8198:
8168:
8142:
8122:
8098:
8063:
8036:
8016:
7996:
7909:
7874:
7824:
7804:
7784:
7764:
7722:
7702:
7682:
7662:
7642:
7544:
7515:
7348:
7272:
7189:
7030:
7000:
6962:
6867:
6635:
6571:
6507:
6451:
6318:
6283:
6249:
6216:
6186:
6154:
6087:
6019:
5989:
5861:
5826:
5680:
5650:
5592:
5569:
5471:
5444:
5403:
5383:
5338:
5312:
5258:
5226:
5184:
5178:
is a smooth manifold and consider a cohomology class
5164:
5103:
5083:
5063:
5043:
4911:
4835:
4806:
4683:
4607:
4578:
4530:
4199:
4010:
3987:
3955:
3923:
3754:
3709:
3586:
3542:
3501:
3475:
3455:
3428:
3399:
3260:
3230:
3210:
3105:
3075:
3000:
2980:
2950:
2827:
2780:
2742:
2681:
2630:
2598:
2500:
2468:
2356:
2290:
2242:
2206:
2172:
2153:
2033:
2013:
1977:
1941:
1905:
1869:
1777:
1741:
1705:
1685:
1653:
1595:
1409:
1327:
1280:
1253:
1233:
1203:
1177:
1092:
1066:
1036:
1016:
990:
960:
930:
800:
777:
750:
730:
700:
677:
657:
542:
519:
499:
479:
434:
360:
333:
279:
245:
217:
186:
162:
133:
102:
82:
56:
12711:(1954), "Sur les groupes d'Eilenberg–Mac Lane. II",
12203:
term of this spectral sequence may be identified as
12030:
equivalence from the homotopy category of connected
533:
is trivial.) Steenrod constructed stable operations
12370:
12358:
12346:
8992:{\displaystyle Sq^{I}=Sq^{i_{1}}\cdots Sq^{i_{n}},}
7621:{\displaystyle Sq^{i}(x^{n})={n \choose i}x^{n+i}.}
12958:
12938:
12883:
12541:
12489:
12280:
12195:
12153:
12118:
12089:
12062:
12042:
12018:
11979:
11940:
11899:
11815:
11789:
11748:
11717:
11685:
11590:
11489:
11297:
11256:
11212:
11170:
11128:
11029:
10951:
10907:
10867:
10836:
10802:
10698:
10672:
10629:
10592:
10553:
10527:
10492:
10466:
10344:
10311:
10200:
10169:
10142:
10111:
10071:
10040:
10004:
9977:
9950:
9920:
9887:
9856:
9829:
9791:
9761:
9742:These formulas imply that the Steenrod algebra is
9730:
9674:
9587:
9488:
9439:
9402:
9326:
9259:
9194:
9138:
9044:
9014:
8991:
8909:
8860:
8833:
8770:
8750:
8716:
8670:
8650:
8590:
8570:
8550:
8530:
8510:
8484:
8460:
8400:
8380:
8330:
8303:
8271:
8237:
8211:
8184:
8154:
8128:
8104:
8081:
8049:
8022:
8002:
7978:
7895:
7852:
7810:
7790:
7770:
7750:
7708:
7688:
7668:
7648:
7620:
7527:
7498:
7328:
7252:
7180:The Cartan relation implies that the total square
7169:
7013:
6986:
6945:
6842:
6618:
6557:
6493:
6434:
6301:
6265:
6235:
6202:
6172:
6137:
6069:
6005:
5971:
5844:
5800:Also, this equivalence is strongly related to the
5789:
5663:
5633:
5575:
5552:
5450:
5430:
5389:
5366:
5318:
5298:
5244:
5220:represented geometrically as a smooth submanifold
5212:
5170:
5142:
5089:
5069:
5049:
5026:
4891:
4818:
4789:
4663:
4590:
4545:
4513:
4171:
3993:
3970:
3941:
3906:
3721:
3680:
3570:
3528:
3484:
3461:
3441:
3412:
3383:
3242:
3216:
3190:
3091:
3060:
2986:
2966:
2930:
2811:
2766:
2725:
2667:
2614:
2582:
2486:
2454:
2338:
2264:
2228:
2192:
2159:
2139:
2019:
1999:
1963:
1927:
1891:
1851:
1763:
1727:
1691:
1671:
1610:
1578:
1388:
1299:
1266:
1239:
1219:
1189:
1159:
1072:
1049:
1022:
1002:
976:
946:
913:
783:
763:
736:
716:
686:
663:
640:
525:
505:
485:
455:
419:
339:
291:
251:
229:
192:
168:
148:
115:
88:
62:
12542:{\displaystyle {\mathcal {A}}//{\mathcal {A}}(2)}
8689:
7593:
7580:
7474:
7461:
6853:
6619:{\displaystyle x^{2}\in H^{4}(\mathbf {CP} ^{8})}
4470:
4405:
4317:
4264:
4131:
4072:
3860:
3822:
2583:{\displaystyle f^{*}(Sq^{n}(x))=Sq^{n}(f^{*}(x))}
473:—that is, they are unstable. (This is because if
13589:
13015:
12997:
12663:
11030:{\displaystyle Sq^{1},Sq^{2},\ldots ,Sq^{2^{n}}}
7253:{\displaystyle Sq:=Sq^{0}+Sq^{1}+Sq^{2}+\cdots }
4566:
3200:They satisfy the Adem relations, described below
13543:, Annals of Mathematics Studies, vol. 50,
13529:
13141:Mosher, Robert E.; Tangora, Martin C. (2008) ,
9451:, so that in particular there is a diagonal or
9260:{\displaystyle i_{j}\equiv 0,1{\bmod {2}}(p-1)}
6081:on cohomology. As the cup product structure on
4556:
2281:
12456:Reduced power operations in motivic cohomology
12134:The cohomology of the Steenrod algebra is the
11997:with coefficients in the algebraic closure of
9403:{\displaystyle Sq_{p}^{2k(p-1)+1}=\beta P^{k}}
7329:{\displaystyle Sq\colon H^{*}(X)\to H^{*}(X).}
13140:
13095:(1958), "The Steenrod algebra and its dual",
12388:
2346:are characterized by the following 5 axioms:
2339:{\displaystyle Sq^{n}\colon H^{m}\to H^{m+n}}
2275:
10644:
8219:by this map gives an equivariant cocycle on
7535:component of the previous sum, we have that
5812:
3814:
3800:
2726:{\displaystyle x\in H^{n}(X;\mathbb {Z} /2)}
2147:hence we can use the unit the ring spectrum
12833:
12443:Steenrod squares in Adams spectral sequence
10813:
9489:{\displaystyle \psi \colon A\to A\otimes A}
9414:Hopf algebra structure and the Milnor basis
5153:
4674:then the Adem relations are equivalent to
1625:
7868:) showed how to construct a reduced power
5245:{\displaystyle f\colon Y\hookrightarrow X}
13513:
13479:
13452:
13436:
13402:
13375:
13293:
13057:
12768:
12734:
12683:
12647:
12613:
12483:
12262:
12247:
12106:
12006:
11967:
11285:
11244:
11223:
8834:{\displaystyle i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}}
8304:{\displaystyle B\otimes \cdots \otimes B}
8082:{\displaystyle B\otimes \cdots \otimes B}
7865:
7861:
6919:
6900:
6886:
6883:
6540:
6417:
6367:
6180:, where the only non-trivial squares are
6120:
6052:
5965:
3374:
3361:
3307:
3294:
3173:
3126:
3040:
3024:
3008:
2708:
2437:
2393:
2180:
2105:
1839:
1827:
1659:
1598:
1554:
1530:
1442:
1419:
1373:
1350:
1139:
1116:
1100:
962:
954:generate a connected graded algebra over
896:
834:
623:
579:
420:{\displaystyle H^{n}(X;R)\to H^{2n}(X;R)}
266:
262:
136:
13326:
13016:Malygin, S.N.; Postnikov, M.M. (2001) ,
12998:Malygin, S.N.; Postnikov, M.M. (2001) ,
12564:. Chicago: University of Chicago Press.
12562:Stable homotopy and generalised homology
10079:and the exterior algebra in generators Ď„
9026:. There is a similar basis for the case
8136:acts freely and an equivariant map from
3391:is an additive homomorphism and natural.
309:
208:
207:introduced by Norman Steenrod (
13180:
12400:
10177:then gives another choice of basis for
2193:{\displaystyle \eta :\mathbb {S} \to E}
1310:
513:, the cup product on the cohomology of
14:
13590:
13216:
13091:
12784:
12707:
12415:
9808:
9327:{\displaystyle Sq_{p}^{2k(p-1)}=P^{k}}
8729:
8725:
8030:times gives an equivariant cocycle on
43:
13283:
13234:
12559:
12376:
12364:
12352:
12050:-complete nilpotent spaces of finite
11729:is infinite dimensional the elements
11229:
10952:{\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}(n)}
8695:
1679:is replaced by an arbitrary spectrum
1629:
1030:Steenrod algebra is generated by the
469:These operations do not commute with
13537:(1962), Epstein, David B. A. (ed.),
12586:
3742:
13033:
12939:{\displaystyle H^{*}(\pi ,n;Z_{2})}
12884:{\displaystyle H_{*}(\pi ,n;Z_{2})}
7676:subgroup of the symmetric group on
5306:represent the fundamental class of
5213:{\displaystyle \alpha \in H^{*}(X)}
2668:{\displaystyle Sq^{n}(x)=x\smile x}
2284:) showed that the Steenrod squares
456:{\displaystyle x\mapsto x\smile x.}
24:
13568:
12525:
12508:
12449:
12221:
12218:
12215:
12082:
11918:The proof uses the fact that each
11764:odd, or the even Steenrod squares
11112:
11080:
11054:
10959:generated by the Steenrod squares
10929:
10868:{\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}}
10854:
9195:{\displaystyle i_{j}\geq pi_{j+1}}
8910:{\displaystyle i_{j}\geq 2i_{j+1}}
8682:Properties of the Steenrod algebra
8518:acting as a cyclic permutation of
7584:
7465:
6891:
5583:which can be represented as a sum
4409:
4268:
4076:
3826:
3734:
3163:
1478:
1331:
25:
13614:
13241:Commentarii Mathematici Helvetici
12791:Commentarii Mathematici Helvetici
12668:(1982), "On the Adem relations",
11900:{\displaystyle S^{2n-1}\to S^{n}}
8492:is a cyclic group of prime order
6501:represents the non-zero class in
6302:{\displaystyle \mathbf {CP} ^{8}}
6173:{\displaystyle \mathbf {CP} ^{6}}
5845:{\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}}
4561:Shaun R. Bullett and
3698:
1672:{\displaystyle H\mathbb {F} _{p}}
12470:Motivic Eilenberg–Maclane spaces
12119:{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}
12019:{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}
11980:{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}
11298:{\displaystyle \mathbb {F} _{q}}
11257:{\displaystyle \mathbb {F} _{q}}
10593:{\displaystyle \xi _{1}^{2^{i}}}
9440:{\displaystyle \mathbf {F} _{p}}
9427:
6603:
6600:
6526:
6523:
6481:
6478:
6463:
6460:
6403:
6400:
6353:
6350:
6289:
6286:
6160:
6157:
6106:
6103:
6038:
6035:
5948:
5945:
5914:
5911:
5880:
5877:
5832:
5829:
5367:{\displaystyle f_{*}(1)=\alpha }
1611:{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}
724:restricted to classes of degree
671:greater than zero. The notation
149:{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}
12946: ; groupes stables modulo
12553:
12432:from the original on 2017-08-15
12301:Pontryagin cohomology operation
11826:
11673:
11578:
8381:{\displaystyle H_{i}(E/\pi ,A)}
7990:Taking the external product of
7631:
7509:Since there is only one degree
5807:
5431:{\displaystyle \nu _{Y/X}\to Y}
5097:is the Bockstein operation and
3469:-th power on classes of degree
13574:Sur les puissances de Steenrod
12933:
12908:
12878:
12853:
12536:
12530:
12409:
12322:
12272:
12242:
11884:
11660:
11654:
11629:
11623:
11620:
11614:
11565:
11559:
11540:
11534:
11531:
11525:
11441:
11435:
11420:
11414:
11411:
11405:
11395:
11392:
11386:
11383:
11374:
11371:
11368:
11362:
11359:
11347:
11341:
11207:
11195:
11165:
11156:
11097:
11091:
11071:
11065:
10946:
10940:
10875:is generated by the elements
10719:
10377:
10364:
10238:
10225:
10208:is the dual of the product on
10137:
10125:
10066:
10054:
9701:
9695:
9621:
9608:
9528:
9512:
9474:
9373:
9361:
9306:
9294:
9254:
9242:
8690:Basis for the Steenrod algebra
8645:
8615:
8455:
8425:
8375:
8355:
8272:{\displaystyle E/\pi \times X}
7973:
7962:
7938:
7929:
7847:
7835:
7745:
7733:
7571:
7558:
7425:
7405:
7393:
7389:
7383:
7374:
7368:
7355:
7320:
7314:
7301:
7298:
7292:
7133:
7127:
7090:
7084:
7054:
7048:
6975:
6969:
6937:
6931:
6912:
6878:
6854:Infinite Real Projective Space
6820:
6814:
6795:
6789:
6770:
6764:
6745:
6739:
6720:
6714:
6695:
6689:
6666:
6653:
6613:
6595:
6552:
6518:
6473:
6429:
6395:
6382:
6379:
6345:
6132:
6098:
6064:
6030:
5958:
5940:
5924:
5906:
5890:
5872:
5781:
5778:
5750:
5737:
5700:
5694:
5544:
5541:
5520:
5507:
5491:
5485:
5422:
5355:
5349:
5299:{\displaystyle 1=\in H^{0}(Y)}
5293:
5287:
5271:
5265:
5236:
5207:
5201:
5116:
5104:
5021:
5008:
5002:
4939:
4933:
4912:
4845:
4839:
4784:
4771:
4762:
4740:
4731:
4718:
4709:
4687:
4617:
4611:
4438:
4426:
4423:
4411:
4381:
4371:
4297:
4285:
4282:
4270:
4246:
4236:
4105:
4093:
4090:
4078:
4054:
4044:
3675:
3659:
3653:
3637:
3609:
3597:
3559:
3553:
3523:
3517:
3378:
3351:
3346:
3334:
3314:
3311:
3284:
3185:
3160:
3138:
3116:
3052:
3036:
3020:
3004:
2974:is the Bockstein homomorphism
2925:
2906:
2900:
2881:
2853:
2841:
2800:
2794:
2761:
2755:
2720:
2698:
2650:
2644:
2577:
2574:
2568:
2555:
2536:
2533:
2527:
2511:
2487:{\displaystyle f\colon X\to Y}
2478:
2449:
2427:
2408:
2405:
2383:
2317:
2259:
2253:
2223:
2217:
2184:
2128:
2101:
2098:
2095:
2089:
2074:
2068:
2050:
2044:
1994:
1988:
1958:
1952:
1922:
1916:
1886:
1880:
1758:
1752:
1722:
1716:
1564:
1546:
1525:
1519:
1489:
1452:
1434:
1400:since there is an isomorphism
1383:
1365:
1151:
1135:
1112:
1096:
977:{\displaystyle \mathbb {Z} /2}
908:
886:
881:
869:
849:
846:
824:
635:
613:
594:
591:
569:
438:
414:
402:
386:
383:
371:
46:) to be the algebra of stable
13:
1:
12316:
11213:{\displaystyle \pi _{*}(tmf)}
10637:(the only indecomposables of
10561:are the elements of the form
8724:) and Henri Cartan (
7853:{\displaystyle H_{i}(\pi ,A)}
7778:an abelian group acted on by
5252:. Cohomologically, if we let
3529:{\displaystyle 2n>\deg(x)}
3420:is the identity homomorphism.
2622:is the identity homomorphism.
304:generalized cohomology theory
261:introduced in Steenrod (
12836:"Détermination des algèbres
12685:10.1016/0040-9383(82)90015-5
12490:{\displaystyle \mathbb {C} }
11171:{\displaystyle \pi _{*}(ko)}
10600:, and these are dual to the
8694:Jean-Pierre Serre (
6210:and the squaring operations
4557:Bullett–Macdonald identities
2767:{\displaystyle n>\deg(x)}
320:A cohomology operation is a
7:
13224:Encyclopedia of Mathematics
13023:Encyclopedia of Mathematics
13005:Encyclopedia of Mathematics
12834:Cartan, Henri (1954–1955).
12389:Mosher & Tangora (2008)
12294:
12090:{\displaystyle E_{\infty }}
9052:consisting of the elements
8245:and therefore a cocycle of
5664:{\displaystyle \alpha _{k}}
2812:{\displaystyle Sq^{n}(x)=0}
1892:{\displaystyle \pi _{*}(E)}
1197:, the Bockstein element is
493:is a suspension of a space
176:, consisting of all stable
10:
13619:
13545:Princeton University Press
10908:{\displaystyle Sq^{2^{i}}}
10630:{\displaystyle Sq^{2^{i}}}
10345:{\displaystyle \xi _{0}=1}
9958:the dual Steenrod algebra
7751:{\displaystyle H^{q}(X,B)}
6987:{\displaystyle \deg(x)=1.}
5438:. The Steenrod squares of
5377:gives a representation of
3571:{\displaystyle P^{n}(x)=0}
2276:Axiomatic characterization
313:
13217:Rudyak, Yuli B. (2001) ,
10645:Relation to formal groups
10150:. The monomial basis for
10143:{\displaystyle (k\geq 0)}
10072:{\displaystyle (k\geq 1)}
8538:elements, and the groups
8238:{\displaystyle E\times X}
8155:{\displaystyle E\times X}
6243:on the cohomology groups
5813:Complex projective spaces
1317:Eilenberg–Maclane spectra
203:. It is generated by the
13000:"Steenrod reduced power"
12560:Adams, J. Frank (1974).
12461:Motivic cohomology with
12172:, whose abutment is the
11995:singular cochain functor
10919:we can form subalgebras
10814:Finite sub-Hopf algebras
10112:{\displaystyle 2p^{k}-1}
10041:{\displaystyle 2p^{k}-2}
10005:{\displaystyle \xi _{k}}
9888:{\displaystyle \xi _{k}}
8658:is also cyclic of order
6147:complex projective space
5819:complex projective plane
5154:Geometric interpretation
4546:{\displaystyle a\leq pb}
3942:{\displaystyle i,j>0}
2265:{\displaystyle E_{*}(X)}
2229:{\displaystyle E_{*}(E)}
2000:{\displaystyle E_{*}(X)}
1964:{\displaystyle E_{*}(E)}
1928:{\displaystyle E_{*}(E)}
1863:are commutative and the
1764:{\displaystyle E_{*}(E)}
1728:{\displaystyle E^{*}(E)}
13304:10.2140/gtm.2007.11.327
12170:Adams spectral sequence
11790:{\displaystyle Sq^{2i}}
11718:{\displaystyle f\in SV}
9921:{\displaystyle 2^{k}-1}
9447:-algebra. It is also a
7896:{\displaystyle u^{n}/c}
7263:is a ring homomorphism
6236:{\displaystyle Sq^{2i}}
5451:{\displaystyle \alpha }
5390:{\displaystyle \alpha }
4001:the Adem relations are
3971:{\displaystyle i<2j}
3703:The Adem relations for
3691:As before, the reduced
1300:{\displaystyle Sq^{2i}}
771:and called the reduced
96:, the Steenrod algebra
12973:SĂ©minaire Henri Cartan
12960:
12940:
12885:
12543:
12497:-motivic modular forms
12491:
12437:Characteristic classes
12282:
12197:
12155:
12120:
12091:
12064:
12044:
12020:
11981:
11942:
11941:{\displaystyle Sq^{k}}
11901:
11817:
11791:
11750:
11719:
11687:
11592:
11506:Frobenius endomorphism
11491:
11299:
11258:
11228:Larry Smith (
11224:Algebraic construction
11214:
11172:
11130:
11041:giving the filtration
11031:
10953:
10909:
10869:
10838:
10804:
10700:
10674:
10651:dual Steenrod algebras
10631:
10594:
10555:
10529:
10494:
10493:{\displaystyle p>2}
10468:
10422:
10346:
10313:
10264:
10202:
10171:
10144:
10113:
10073:
10042:
10006:
9979:
9952:
9951:{\displaystyle p>2}
9922:
9889:
9858:
9831:
9793:
9763:
9732:
9676:
9589:
9490:
9441:
9404:
9328:
9261:
9196:
9140:
9046:
9045:{\displaystyle p>2}
9016:
8993:
8911:
8862:
8835:
8772:
8752:
8751:{\displaystyle p>2}
8718:
8672:
8652:
8592:
8572:
8552:
8532:
8512:
8486:
8462:
8402:
8382:
8332:
8305:
8273:
8239:
8213:
8186:
8185:{\displaystyle X^{n}.}
8156:
8130:
8106:
8083:
8051:
8024:
8004:
7980:
7897:
7854:
7818:a cohomology class in
7812:
7792:
7772:
7752:
7716:a cohomology class in
7710:
7690:
7670:
7650:
7622:
7529:
7500:
7457:
7330:
7254:
7171:
7015:
6994:For the operations on
6988:
6947:
6844:
6620:
6559:
6495:
6436:
6303:
6267:
6266:{\displaystyle H^{2i}}
6237:
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48:cohomology operations
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13093:Milnor, John Willard
13052:, pp. 153–231,
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1190:{\displaystyle p=2}
1059:Bockstein operation
230:{\displaystyle p=2}
13598:Algebraic topology
13254:10.1007/BF02564562
13236:Serre, Jean-Pierre
13219:"Steenrod algebra"
13149:Dover Publications
13068:10.1007/BFb0058524
12992:author's home page
12988:Algebraic Topology
12956:
12936:
12881:
12804:10.1007/BF02564270
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12416:Malkiewich, Cary,
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