841:
511:
1806:
836:{\displaystyle {\begin{aligned}e_{ij}(\lambda )e_{ij}(\mu )&=e_{ij}(\lambda +\mu );&&\\\left&=e_{ik}(\lambda \mu ),&&{\text{for }}i\neq k;\\\left&=\mathbf {1} ,&&{\text{for }}i\neq l{\text{ and }}j\neq k.\end{aligned}}}
1684:
1460:
1275:
1139:
1998:
358:
1210:
1900:
516:
1525:
926:
1695:
1335:
1067:
254:
57:
1005:
967:
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1031:
380:
1595:
1394:
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441:
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2035:
1487:
473:
194:
167:
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888:
868:
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109:
77:
1627:
1403:
1218:
1076:
1921:
287:
1147:
1826:
1492:
1801:{\displaystyle 1\to {K_{2}}(A)\to \operatorname {St} (A)\to {\operatorname {GL} _{\infty }}(A)\to {K_{1}}(A)\to 1.}
1601:
of the
Steinberg group. This was Milnor's definition, and it also follows from more general definitions of higher
893:
2136:
1308:
1040:
227:
30:
972:
265:
257:
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1010:
363:
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2013:
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8:
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261:
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2100:
2081:
1604:
1213:
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853:
207:
123:
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62:
17:
2167:
1816:
1679:{\displaystyle \varphi :\operatorname {St} (A)\to {\operatorname {GL} _{\infty }}(A)}
1455:{\displaystyle \varphi :\operatorname {St} (A)\to {\operatorname {GL} _{\infty }}(A)}
1298:
1290:
1270:{\displaystyle \varphi :\operatorname {St} (A)\to {\operatorname {GL} _{\infty }}(A)}
2073:
1812:
115:
2142:
2124:
1820:
1687:
268:(the commutator subgroup is perfect and so has a universal central extension).
1134:{\displaystyle {\operatorname {St} _{r}}(A)\to {\operatorname {St} _{r+1}}(A)}
2161:
1294:
1070:
2092:
21:
2085:
1993:{\displaystyle {K_{3}}(A)={H_{3}}(\operatorname {St} (A);\mathbb {Z} )}
1141:. It can also be thought of as the Steinberg group of infinite order.
1302:
2077:
1397:
353:{\displaystyle {e_{pq}}(\lambda ):=\mathbf {1} +{a_{pq}}(\lambda )}
2150:
1033:, these generators being subject to the Steinberg relations. The
271:
1205:{\displaystyle {x_{ij}}(\lambda )\mapsto {e_{ij}}(\lambda )}
1281:, this mapping is surjective onto the commutator subgroup.
1284:
2103:
2043:
2016:
1924:
1895:{\displaystyle {K_{2}}(A)={H_{2}}(E(A);\mathbb {Z} )}
1829:
1698:
1630:
1607:
1565:
1533:
1495:
1468:
1406:
1364:
1311:
1221:
1150:
1079:
1043:
1013:
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33:
2109:
2056:
2029:
1992:
1894:
1800:
1678:
1613:
1589:
1539:
1520:{\displaystyle {\operatorname {GL} _{\infty }}(A)}
1519:
1481:
1454:
1388:
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1133:
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1025:
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961:
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862:
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435:
415:
374:
352:
248:
216:
188:
161:
132:
103:
71:
51:
2159:
2066:Proceedings of the American Mathematical Society
2119:, Annals of Mathematics Studies, vol. 72,
501:— satisfy the following relations, called the
2072:(2), American Mathematical Society: 366–368,
1547:is surjective onto the commutator subgroup.
921:{\displaystyle {\operatorname {St} _{r}}(A)}
272:Presentation using generators and relations
1277:. As the elementary matrices generate the
2134:
1983:
1885:
2009:
1915:
1340:
2160:
2091:
1330:{\displaystyle \operatorname {GL} (A)}
1062:{\displaystyle \operatorname {St} (A)}
249:{\displaystyle \operatorname {St} (A)}
52:{\displaystyle \operatorname {St} (A)}
2141:, Yale University, New Haven, Conn.,
1624:It is also the kernel of the mapping
1285:Interpretation as a fundamental group
1000:{\displaystyle 1\leq i\neq j\leq r}
13:
1753:
1661:
1502:
1437:
1252:
962:{\displaystyle {x_{ij}}(\lambda )}
416:{\displaystyle {a_{pq}}(\lambda )}
14:
2179:
788:
475:-entry and zeros elsewhere, and
368:
319:
928:, is defined by the generators
1987:
1976:
1970:
1961:
1943:
1937:
1889:
1878:
1872:
1866:
1848:
1842:
1792:
1789:
1783:
1768:
1765:
1759:
1744:
1741:
1735:
1726:
1723:
1717:
1702:
1673:
1667:
1652:
1649:
1643:
1584:
1578:
1514:
1508:
1449:
1443:
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1383:
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1324:
1318:
1264:
1258:
1243:
1240:
1234:
1199:
1193:
1175:
1172:
1166:
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1098:
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1050:
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950:
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462:
450:
410:
404:
347:
341:
312:
306:
276:A concrete presentation using
243:
237:
46:
40:
1:
2003:
1026:{\displaystyle \lambda \in A}
199:
2138:Lectures on Chevalley Groups
375:{\displaystyle \mathbf {1} }
284:— i.e. matrices of the form
7:
1289:The Steinberg group is the
266:stable general linear group
258:universal central extension
118:, and it is connected with
81:universal central extension
10:
2184:
2135:Steinberg, Robert (1968),
2121:Princeton University Press
2097:Introduction to Algebraic
1590:{\displaystyle {K_{2}}(A)}
1389:{\displaystyle {K_{1}}(A)}
2064:of the Steinberg Group",
1489:is the abelianization of
204:Abstractly, given a ring
2010:Gersten, S. M. (1973), "
1811:Equivalently, it is the
1540:{\displaystyle \varphi }
1297:, which is the union of
848:unstable Steinberg group
436:{\displaystyle \lambda }
382:is the identity matrix,
278:generators and relations
494:{\displaystyle p\neq q}
2111:
2058:
2031:
1994:
1896:
1802:
1686:. Indeed, there is an
1680:
1615:
1591:
1541:
1521:
1483:
1456:
1390:
1331:
1271:
1206:
1135:
1063:
1035:stable Steinberg group
1027:
1001:
963:
922:
884:
864:
837:
495:
469:
437:
417:
376:
354:
250:
224:, the Steinberg group
218:
190:
163:
134:
105:
73:
53:
2112:
2059:
2057:{\displaystyle H_{3}}
2032:
2030:{\displaystyle K_{3}}
1995:
1905:
1897:
1803:
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1616:
1592:
1550:
1542:
1522:
1484:
1482:{\displaystyle K_{1}}
1457:
1391:
1349:
1332:
1272:
1207:
1136:
1064:
1028:
1002:
964:
923:
885:
865:
838:
496:
470:
468:{\displaystyle (p,q)}
438:
418:
377:
355:
251:
219:
191:
189:{\displaystyle K_{3}}
164:
162:{\displaystyle K_{2}}
135:
106:
74:
54:
2101:
2093:Milnor, John Willard
2041:
2014:
1922:
1827:
1696:
1628:
1605:
1563:
1531:
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1404:
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1309:
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1077:
1041:
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479:
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386:
364:
288:
228:
208:
173:
146:
124:
95:
89:general linear group
63:
31:
1817:elementary matrices
1279:commutator subgroup
503:Steinberg relations
423:is the matrix with
282:Elementary matrices
262:commutator subgroup
85:commutator subgroup
2107:
2054:
2027:
1990:
1892:
1819:, so it is also a
1798:
1676:
1611:
1587:
1537:
1517:
1479:
1452:
1386:
1327:
1299:classifying spaces
1267:
1214:group homomorphism
1202:
1131:
1059:
1023:
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959:
918:
880:
860:
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831:
491:
465:
433:
413:
372:
350:
246:
214:
186:
159:
130:
114:It is named after
101:
69:
49:
18:algebraic K-theory
2110:{\displaystyle K}
1614:{\displaystyle K}
1291:fundamental group
883:{\displaystyle A}
863:{\displaystyle r}
815:
801:
705:
217:{\displaystyle A}
133:{\displaystyle K}
104:{\displaystyle A}
72:{\displaystyle A}
2175:
2154:
2149:, archived from
2131:
2116:
2114:
2113:
2108:
2088:
2063:
2061:
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2055:
2053:
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2033:
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2026:
2025:
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1815:of the group of
1813:Schur multiplier
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1805:
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1781:
1780:
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1596:
1594:
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1588:
1577:
1576:
1575:
1546:
1544:
1543:
1538:
1527:and the mapping
1526:
1524:
1523:
1518:
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1505:
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1485:
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1478:
1477:
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1441:
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165:
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137:
136:
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116:Robert Steinberg
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107:
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76:
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1566:
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1560:
1558:
1556:
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1528:
1501:
1497:
1496:
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1467:
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