5766:
4595:
6768:
5933:
5514:
6474:
3237:
The uniqueness of these classes is proved for example, in section 17.2 – 17.6 in
Husemoller or section 8 in Milnor and Stasheff. There are several proofs of the existence, coming from various constructions, with several different flavours, their coherence is ensured by the unicity statement.
4417:
2780:
6527:
4880:
397:
5777:
6169:
5761:{\displaystyle i^{*}\theta _{1}\left(\gamma ^{1}\right)=\theta _{1}\left(i^{*}\gamma ^{1}\right)=\theta _{1}\left(\gamma _{1}^{1}\right)=w_{1}\left(\gamma _{1}^{1}\right)=w_{1}\left(i^{*}\gamma ^{1}\right)=i^{*}w_{1}\left(\gamma ^{1}\right).}
7919:
4344:
8152:
6913:
4989:
8367:
6322:
4590:{\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} ))&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{i}(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} ))&=\pi _{i}(S^{\infty })=0&&i>1\end{aligned}}}
2612:
6763:{\displaystyle f^{*}\theta (E)=\theta (f^{*}E)=\theta (\lambda _{1}\oplus \cdots \oplus \lambda _{n})=\theta (\lambda _{1})\cdots \theta (\lambda _{n})=w(\lambda _{1})\cdots w(\lambda _{n})=w(f^{*}E)=f^{*}w(E).}
6231:
2176:
3878:
2091:
2992:
6008:
2542:
3617:
4764:
4060:
1251:
730:
8023:
7833:
3382:
2381:
4422:
827:
576:
7382:
4659:
3986:
2607:
1042:
5317:
3061:
7507:
1972:
452:
212:
7734:
4787:
4116:
165:
6269:
5928:{\displaystyle i^{*}:H^{1}\left(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} \right);\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )\to H^{1}\left(\mathbf {P} ^{1}(\mathbf {R} );\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \right)}
5226:
2852:
4229:
3757:
3435:
1929:
286:
6519:
3197:
7177:
3537:
3134:
2915:
7239:
7009:
3921:
7139:
6310:
5474:
4166:
482:
5506:
116:
th
Stiefel–Whitney class indicates that every section of the bundle must vanish at some point. A nonzero first Stiefel–Whitney class indicates that the vector bundle is not
7624:
3488:
5100:, there are only two line bundles over the circle up to bundle isomorphism: the trivial one, and the open Möbius strip (i.e., the Möbius strip with its boundary deleted).
1740:
4405:
4374:
3704:
1594:
2431:
2218:
1818:
8205:
6053:
3303:
2287:
2012:
1641:
1486:
1287:
770:
612:
7842:
110:
6943:
4263:
3227:
3160:
2244:
994:
7692:
7658:
7204:
7083:
7056:
6974:
6798:
5253:
1862:
1772:
1685:
1534:
1432:
1405:
1320:
1161:
7103:
7029:
4274:
1112:
1083:
961:
932:
859:
519:
8055:
7949:
7772:
6815:
3665:
4900:
7736:. Wu classes are most often defined implicitly in terms of Steenrod squares, as the cohomology class representing the Steenrod squares. Let the manifold
6469:{\displaystyle \theta \left(g^{*}\gamma ^{1}\right)=g^{*}\theta \left(\gamma ^{1}\right)=g^{*}w\left(\gamma ^{1}\right)=w\left(g^{*}\gamma ^{1}\right),}
222:
In algebraic geometry one can also define analogous
Stiefel–Whitney classes for vector bundles with a non-degenerate quadratic form, taking values in
8225:
8173:, the Stiefel–Whitney classes of a smooth manifold (defined as the Stiefel–Whitney classes of the tangent bundle) are generated by those of the form
7524:
The
Stiefel–Whitney numbers of the tangent bundle of a smooth manifold are called the Stiefel–Whitney numbers of the manifold. They are known to be
5139:, 2). This isomorphism is true for topological line bundles, the obstruction to injectivity of the Chern class for algebraic vector bundles is the
2775:{\displaystyle w(\gamma _{1}^{1})=1+a\in H^{*}(\mathbf {P} ^{1}(\mathbb {R} );\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )/(a^{2})}
230:. As a special case one can define Stiefel–Whitney classes for quadratic forms over fields, the first two cases being the discriminant and the
2289:
class contains no information, because it is equal to 1 by definition. Its creation by
Whitney was an act of creative notation, allowing the
489:
7441:
of the vector bundle. For example, if the manifold has dimension 3, there are three linearly independent
Stiefel–Whitney numbers, given by
6174:
2457:
2096:
5394:
vanish if and only if the manifold is the boundary of some smooth compact (unoriented) manifold (Note that some
Stiefel-Whitney
3791:
2017:
6915:
is a bijection, the corresponding map is not necessarily injective in higher dimensions. For example, consider the tangent bundle
2920:
5941:
2475:
3552:
4670:
1189:
whose fibers can be equipped with vector space structures in such a way that it becomes a vector bundle). The cohomology group
3991:
1192:
634:
17:
7962:
7780:
4172:
is the appropriate classifying map. This in particular provides one proof of the existence of the
Stiefel–Whitney classes.
3323:
2296:
775:
524:
7279:
8531:
8457:
4614:
3930:
2572:
1003:
5258:
4062:
arising from a standard cell decomposition, and it then turns out that these generators are in fact just given by
3001:
8672:
4875:{\displaystyle H^{1}(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} );\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }
7444:
1942:
422:
182:
5323:
1168:
409:
392:{\displaystyle H^{\ast }(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=\bigoplus _{i\geq 0}H^{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}
51:
7701:
4065:
135:
5411:
The bijection above for line bundles implies that any functor θ satisfying the four axioms above is equal to
5185:
2790:
4187:
3715:
3394:
1870:
3539:, be a continuous map to the infinite Grassmannian. Then, up to isomorphism, the bundle induced by the map
7698:
in 1947. Most simply, the total
Stiefel–Whitney class is the total Steenrod square of the total Wu class:
6486:
3622:
depends only on the homotopy class of the map . The pullback operation thus gives a morphism from the set
8583:
7144:
3500:
3075:
2865:
1343:
which have the same
Stiefel–Whitney class are not necessarily isomorphic. This happens for instance when
7209:
6979:
6236:
3883:
8519:
7108:
6278:
5442:
4121:
458:
5479:
3165:
997:
968:
896:
7580:
3448:
8605:
3785:. This is the reason why we call infinite Grassmannians the classifying spaces of vector bundles.)
2563:
231:
6164:{\displaystyle f^{*}:H^{*}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} ))\to H^{*}(X';\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )}
5017:) is considered as a group under the operation of tensor product, then the Stiefel–Whitney class,
1697:
4609:
4383:
4352:
3673:
1567:
862:
8158:
7914:{\displaystyle \langle v_{k}\cup x,\mu \rangle =\langle \operatorname {Sq} ^{k}(x),\mu \rangle }
2394:
2181:
1781:
8574:
8176:
8034:
3269:
1540:
59:
8523:
8449:
5351:
For an orientable bundle, the second Stiefel–Whitney class is in the image of the natural map
2256:
1981:
1610:
1455:
1256:
739:
581:
8391:
8386:
5104:
4339:{\displaystyle \mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} )=\mathbf {R} ^{\infty }/\mathbf {R} ^{*},}
2567:
77:
47:
39:
8511:
8441:
8147:{\displaystyle \beta \colon H^{i}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )\to H^{i+1}(X;\mathbf {Z} ).}
6918:
4238:
3202:
3139:
2223:
973:
8634:
8489:
8378:
7670:
7636:
7393:
7182:
7061:
7034:
6952:
6776:
5238:
5232:
1835:
1745:
1658:
1537:
1507:
1410:
1383:
1298:
1139:
216:
8656:
8642:
7088:
7014:
1172:
1088:
1059:
937:
908:
835:
495:
8:
7928:
7751:
6908:{\displaystyle w_{1}\colon \mathrm {Vect} _{1}(X)\to H^{1}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}
6804:. Thus the Stiefel–Whitney class is the unique functor satisfying the four axioms above.
6031:
3389:
2444:
2434:
1182:
223:
4984:{\displaystyle w_{1}\colon {\text{Vect}}_{1}(X)\to H^{1}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )}
2461:
1501:
1497:
55:
35:
3628:
419:
8622:
8527:
8512:
8453:
8442:
7569:
7514:
7426:
7385:
3778:
3256:
2549:
5228:
8638:
8614:
8170:
5140:
4377:
4266:
1692:
1648:
1253:
has just one element other than 0. This element is the first Stiefel–Whitney class
485:
3441:
vector bundle that can be defined as the subbundle of the trivial bundle of fiber
1434:
have the same Stiefel–Whitney class, but they are not isomorphic. But if two real
8630:
8559:
8485:
8476:(1947). "Note sur les produits essentiels symétriques des espaces topologiques".
7661:
5383:
Stiefel–Whitney class is zero) if and only if the bundle admits a spin structure.
3230:
1493:
278:
227:
175:
121:
8411:
8362:{\displaystyle Sq^{i}(w_{j})=\sum _{t=0}^{i}{j+t-i-1 \choose t}w_{i-t}w_{j+t}.}
8157:
For instance, the third integral Stiefel–Whitney class is the obstruction to a
7564:
7529:
6807:
5345:
1975:
1688:
1489:
1374:
171:
129:
7513:, the number of possible independent Stiefel–Whitney numbers is the number of
1044:.) While it is in general difficult to decide whether two real vector bundles
8666:
8626:
2555:
is defined as the unique class such that the following axioms are fulfilled:
1544:
1130:
128:
over the circle, is not zero, whereas the first Stiefel–Whitney class of the
1355:
are trivial real vector bundles of different ranks over the same base space
8570:
8507:
8437:
4408:
3306:
1932:
1186:
7549:
5348:
if and only if both the first and second Stiefel–Whitney classes are zero.
8596:
8503:
8433:
8382:
7274:
5108:
3064:
2290:
1164:
125:
112:
everywhere linearly independent sections of the vector bundle. A nonzero
31:
70:
is the rank of the vector bundle. If the Stiefel–Whitney class of index
8618:
2247:
1936:
1604:
117:
8473:
8216:
7695:
7525:
5322:
The first Stiefel–Whitney class is zero if and only if the bundle is
3782:
6226:{\displaystyle f^{*}E=\lambda _{1}\oplus \cdots \oplus \lambda _{n}}
1114:
can often be computed easily. If they are different, one knows that
62:
of the vector bundle. Stiefel–Whitney classes are indexed from 0 to
8478:
Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences
7413:, then any product of Stiefel–Whitney classes of total degree
1134:
7560:
can be realised as the boundary of some smooth compact manifold.
5415:, by the following argument. The second axiom yields θ(γ) = 1 + θ
2171:{\displaystyle \pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }
3250:
3873:{\displaystyle w_{j}(f^{*}\gamma ^{n})=f^{*}w_{j}(\gamma ^{n})}
2086:{\displaystyle w_{i}(E)\in H^{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}
1444:
have the same Stiefel–Whitney class, then they are isomorphic.
1378:
8414:(1947). "Characteristic cycles on differentiable manifolds".
179:
6808:
Non-isomorphic bundles with the same Stiefel–Whitney classes
5406:
2987:{\displaystyle w(E)\in H^{\leqslant \mathrm {rank} (E)}(X).}
1655:
with twisted coefficients. The coefficient system being the
877:
is another real vector bundle which has the same base space
6003:{\displaystyle \theta _{1}(\gamma ^{1})=w_{1}(\gamma ^{1})}
5398:
could still be non-zero, even if all the Stiefel- Whitney
2537:{\displaystyle w(E)\in H^{*}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}
2093:
which are the Stiefel–Whitney classes. Moreover, whenever
1322:
has first Stiefel–Whitney class 0, it is not isomorphic to
5151:
3612:{\displaystyle f^{*}\gamma ^{n}\in \mathrm {Vect} _{n}(X)}
3255:
This section describes a construction using the notion of
8207:. In particular, the Stiefel–Whitney classes satisfy the
4759:{\displaystyle \left=H^{1}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}
4180:
We now restrict the above construction to line bundles,
3241:
1564:
denotes the dimension of the fibre of the vector bundle
4055:{\displaystyle x_{j}\in H^{j}(Gr_{n},\mathbb {Z} _{2})}
1246:{\displaystyle H^{1}(S^{1};\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}
725:{\displaystyle w(E)=w_{0}(E)+w_{1}(E)+w_{2}(E)+\cdots }
120:. For example, the first Stiefel–Whitney class of the
8164:
8018:{\displaystyle \beta w_{i}\in H^{i+1}(X;\mathbf {Z} )}
7828:{\displaystyle v_{k}\cup x=\operatorname {Sq} ^{k}(x)}
5111:
defines a bijection between complex line bundles over
8228:
8179:
8058:
7965:
7931:
7845:
7783:
7754:
7704:
7673:
7639:
7583:
7447:
7282:
7212:
7185:
7147:
7111:
7091:
7064:
7037:
7017:
6982:
6955:
6921:
6818:
6779:
6530:
6489:
6325:
6281:
6239:
6177:
6056:
5944:
5780:
5517:
5482:
5445:
5261:
5241:
5188:
4903:
4790:
4673:
4617:
4420:
4386:
4355:
4277:
4241:
4190:
4124:
4068:
3994:
3933:
3886:
3880:. So it suffices in principle to know the values of
3794:
3718:
3676:
3631:
3555:
3503:
3451:
3397:
3377:{\displaystyle Gr_{n}=Gr_{n}(\mathbb {R} ^{\infty })}
3326:
3272:
3205:
3168:
3142:
3078:
3004:
2923:
2868:
2793:
2615:
2575:
2478:
2397:
2376:{\displaystyle w(E_{1}\oplus E_{2})=w(E_{1})w(E_{2})}
2299:
2259:
2226:
2184:
2099:
2020:
1984:
1945:
1873:
1838:
1784:
1748:
1700:
1661:
1613:
1570:
1510:
1458:
1413:
1386:
1301:
1259:
1195:
1142:
1091:
1062:
1006:
976:
940:
911:
838:
778:
742:
637:
584:
527:
498:
461:
425:
289:
185:
138:
80:
3773:(The important fact in this construction is that if
3063:, that is, the Whitney class of a direct sum is the
7954:
4664:It is a property of Eilenberg-Maclane spaces, that
822:{\displaystyle H^{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}
571:{\displaystyle H^{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}
8361:
8199:
8146:
8017:
7943:
7913:
7827:
7766:
7728:
7686:
7652:
7618:
7501:
7376:
7233:
7198:
7171:
7133:
7097:
7077:
7050:
7023:
7003:
6968:
6937:
6907:
6792:
6762:
6513:
6468:
6304:
6263:
6225:
6163:
6002:
5927:
5760:
5500:
5468:
5311:
5247:
5220:
5127:), because the corresponding classifying space is
4983:
4874:
4758:
4653:
4589:
4399:
4368:
4338:
4257:
4223:
4160:
4110:
4054:
3980:
3915:
3872:
3751:
3698:
3659:
3611:
3531:
3482:
3429:
3376:
3297:
3221:
3191:
3154:
3128:
3055:
2986:
2909:
2846:
2774:
2601:
2536:
2425:
2375:
2281:
2238:
2212:
2170:
2085:
2006:
1966:
1923:
1856:
1812:
1766:
1734:
1679:
1635:
1588:
1528:
1480:
1426:
1407:and the trivial real vector bundle of rank 2 over
1399:
1314:
1281:
1245:
1155:
1106:
1077:
1036:
988:
955:
926:
853:
821:
764:
724:
606:
570:
513:
476:
446:
391:
206:
159:
104:
8318:
8285:
3762:of isomorphism classes of vector bundles of rank
8664:
7540:+1)–dimensional manifold with boundary equal to
7377:{\displaystyle e(TS^{n})=\chi (TS^{n})=2\not =0}
4886:Applying the former remark that α : → Vect
4654:{\displaystyle K(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,1)}
4349:which is doubly covered by the infinite sphere
58:to constructing everywhere independent sets of
8502:
8432:
6521:. It follows from the fourth axiom above that
3981:{\displaystyle H^{*}(Gr_{n},\mathbb {Z} _{2})}
2602:{\displaystyle \mathbf {P} ^{1}(\mathbb {R} )}
1774:linearly independent vectors in the fibres of
1037:{\displaystyle \mathrm {id} _{X}\colon X\to X}
5312:{\displaystyle w_{k-\ell +1}=\cdots =w_{k}=0}
4894:) is also a bijection, we obtain a bijection
3251:The infinite Grassmannians and vector bundles
7908:
7877:
7871:
7846:
7744:dimensional. Then, for any cohomology class
7563:One Stiefel–Whitney number of importance in
7509:. In general, if the manifold has dimension
5004:
3056:{\displaystyle w(E\oplus F)=w(E)\smile w(F)}
1056:are isomorphic, the Stiefel–Whitney classes
7552:that if all the Stiefel-Whitney numbers of
4175:
8410:
7502:{\displaystyle w_{1}^{3},w_{1}w_{2},w_{3}}
7404:
5390:(see below) of a smooth compact manifold
1967:{\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }
447:{\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }
207:{\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }
7548:are all zero. Moreover, it was proved by
7215:
7153:
6985:
6898:
6885:
5407:Uniqueness of the Stiefel–Whitney classes
4868:
4855:
4749:
4736:
4638:
4625:
4039:
3965:
3361:
2735:
2722:
2708:
2695:
2684:
2592:
2527:
2514:
2472:The Stiefel-Whitney characteristic class
2164:
2151:
2076:
2063:
1960:
1947:
1236:
1223:
812:
799:
561:
548:
464:
440:
427:
382:
369:
323:
310:
200:
187:
153:
8613:, With an appendix by J. Tate: 318–344,
7729:{\displaystyle \operatorname {Sq} (v)=w}
4111:{\displaystyle x_{j}=w_{j}(\gamma ^{n})}
3788:Now, by the naturality axiom (4) above,
170:The Stiefel–Whitney class was named for
160:{\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} }
8448:. Princeton University Press. pp.
8037:, corresponding to reduction modulo 2,
6949:even. With the canonical embedding of
5508:. Thus the first and third axiom imply
5221:{\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{\ell }}
5152:Topological interpretation of vanishing
4994:this defines the Stiefel–Whitney class
3317:, and denote the infinite Grassmannian
2847:{\displaystyle w_{0}(E)=1\in H^{0}(X),}
2467:
2178:, the two classes are identical. Thus,
246:
14:
8665:
8595:
8576:A Concise Course in Algebraic Topology
8033:Stiefel–Whitney class, where β is the
7544:, then the Stiefel-Whitney numbers of
7429:of the manifold to give an element of
7409:If we work on a manifold of dimension
4224:{\displaystyle \mathrm {Vect} _{1}(X)}
3752:{\displaystyle \mathrm {Vect} _{n}(X)}
3430:{\displaystyle \gamma ^{n}\to Gr_{n},}
1924:{\displaystyle \pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)}
235:
7399:
7265:⊕ ν) = 1. But, provided n is even,
5379:) (equivalently, the so-called third
1295:. Since the trivial line bundle over
488:whose only elements are 0 and 1. The
8381:for a general survey, in particular
6514:{\displaystyle {\text{Vect}}_{1}(X)}
3388:Recall that it is equipped with the
2544:of a finite rank real vector bundle
74:is nonzero, then there cannot exist
8569:
8547:
8165:Relations over the Steenrod algebra
7172:{\displaystyle T\mathbb {R} ^{n+1}}
5255:top degree Whitney classes vanish:
3532:{\displaystyle f\colon X\to Gr_{n}}
3129:{\displaystyle w(f^{*}E)=f^{*}w(E)}
2910:{\displaystyle w_{i}=0\in H^{i}(X)}
905:, then the Stiefel–Whitney classes
219:associated to real vector bundles.
24:
8472:
8289:
7234:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}
7004:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}
6843:
6840:
6837:
6834:
6264:{\displaystyle \lambda _{i}\to X'}
5816:
4811:
4692:
4557:
4513:
4445:
4392:
4361:
4311:
4285:
4202:
4199:
4196:
4193:
3916:{\displaystyle w_{j}(\gamma ^{n})}
3730:
3727:
3724:
3721:
3590:
3587:
3584:
3581:
3366:
2957:
2954:
2951:
2948:
1012:
1009:
25:
8684:
8650:
7134:{\displaystyle TS^{n}\oplus \nu }
3709:homotopy equivalence, to the set
3313:-dimensional linear subspaces of
8134:
8098:
8085:
8008:
7955:Integral Stiefel–Whitney classes
7839:Or more narrowly, we can demand
6305:{\displaystyle g^{*}\gamma ^{1}}
6154:
6141:
6103:
6090:
6018:be a real vector bundle of rank
5916:
5903:
5892:
5878:
5851:
5838:
5825:
5811:
5469:{\displaystyle i^{*}\gamma ^{1}}
5069:(μ) for all line bundles λ, μ →
4974:
4961:
4844:
4831:
4820:
4806:
4773:, with the isomorphism given by
4701:
4687:
4522:
4508:
4485:
4472:
4454:
4440:
4323:
4306:
4294:
4280:
4161:{\displaystyle w_{j}=f^{*}x_{j}}
3988:is free on specific generators
2670:
2578:
477:{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}
455:(often alternatively denoted by
7921:, again for cohomology classes
5501:{\displaystyle \gamma _{1}^{1}}
5048:), is an isomorphism. That is,
4118:. Thus, for any rank-n bundle,
3927:. However, the cohomology ring
3490:is the subspace represented by
3192:{\displaystyle f\colon X'\to X}
1864:linearly-independent sections.
1171:1) that is not isomorphic to a
1167:(i.e., a real vector bundle of
241:
8603:-theory and quadratic forms",
8540:
8496:
8466:
8426:
8404:
8255:
8242:
8138:
8124:
8105:
8102:
8075:
8012:
7998:
7899:
7893:
7822:
7816:
7717:
7711:
7619:{\displaystyle w_{2}w_{4k-1}.}
7365:
7352:
7343:
7330:
7327:
7311:
7302:
7286:
6902:
6875:
6862:
6859:
6853:
6754:
6748:
6729:
6713:
6704:
6691:
6682:
6669:
6660:
6647:
6638:
6625:
6616:
6584:
6575:
6559:
6550:
6544:
6508:
6502:
6250:
6158:
6126:
6113:
6110:
6107:
6080:
5997:
5984:
5968:
5955:
5896:
5888:
5858:
5855:
5821:
4978:
4951:
4938:
4935:
4929:
4848:
4824:
4816:
4801:
4753:
4726:
4705:
4697:
4648:
4621:
4562:
4549:
4529:
4526:
4518:
4503:
4461:
4458:
4450:
4435:
4298:
4290:
4218:
4212:
4105:
4092:
4049:
4018:
3975:
3944:
3910:
3897:
3867:
3854:
3828:
3805:
3746:
3740:
3680:
3654:
3632:
3606:
3600:
3513:
3483:{\displaystyle W\in Gr_{n}(V)}
3477:
3471:
3408:
3371:
3356:
3292:
3286:
3183:
3146:
3123:
3117:
3098:
3082:
3050:
3044:
3035:
3029:
3020:
3008:
2978:
2972:
2967:
2961:
2933:
2927:
2904:
2898:
2838:
2832:
2810:
2804:
2769:
2756:
2748:
2742:
2739:
2718:
2712:
2688:
2680:
2665:
2637:
2619:
2596:
2588:
2531:
2504:
2488:
2482:
2420:
2408:
2386:
2370:
2357:
2351:
2338:
2329:
2303:
2276:
2270:
2230:
2201:
2195:
2144:
2138:
2080:
2053:
2037:
2031:
2001:
1995:
1918:
1912:
1801:
1795:
1729:
1723:
1674:
1662:
1630:
1624:
1580:
1574:
1475:
1469:
1276:
1270:
1240:
1206:
1101:
1095:
1072:
1066:
1028:
980:
950:
944:
921:
915:
848:
842:
816:
789:
759:
753:
713:
707:
691:
685:
669:
663:
647:
641:
601:
595:
565:
538:
508:
502:
386:
359:
327:
300:
99:
81:
13:
1:
8397:
7628:
7528:invariants. It was proven by
5330:is orientable if and only if
5326:. In particular, a manifold
5146:
621:-th Stiefel–Whitney class of
27:Set of topological invariants
7633:The Stiefel–Whitney classes
4781:η, where η is the generator
4235:. The Grassmannian of lines
1735:{\displaystyle V_{n-i+1}(F)}
1452:The Stiefel–Whitney classes
7:
8584:University of Chicago Press
8418:. New Series (in Russian).
8372:
7141:is just the restriction of
5419:(γ). For the inclusion map
4400:{\displaystyle S^{\infty }}
4369:{\displaystyle S^{\infty }}
3699:{\displaystyle X\to Gr_{n}}
3136:for any real vector bundle
1589:{\displaystyle F\to E\to X}
10:
8689:
8520:Princeton University Press
8385:, the direct analogue for
7577:+1)-dimensional manifold,
5103:The same construction for
2426:{\displaystyle H^{i}(X;G)}
2220:if and only if the bundle
2213:{\displaystyle w_{1}(E)=0}
1813:{\displaystyle W_{i}(E)=0}
1607:, Whitney defined classes
1447:
1361:. It can also happen when
967:means that there exists a
865:of the real vector bundle
832:The Stiefel–Whitney class
277:. It is an element of the
8200:{\displaystyle w_{2^{i}}}
7206:, which is trivial since
7058:is a line bundle. Since
5005:The group of line bundles
3298:{\displaystyle Gr_{n}(V)}
3067:of the summands' classes.
2562:The Whitney class of the
2443:with coefficients in the
1824:, when restricted to the
1175:bundle. This line bundle
969:vector bundle isomorphism
259:Stiefel–Whitney class of
251:For a real vector bundle
8606:Inventiones Mathematicae
8566:, Springer-Verlag, 1994.
7241:is contractible. Hence
6479:by naturality. Thus θ =
6271:. Any line bundle over
5386:All the Stiefel–Whitney
4176:The case of line bundles
2997:Whitney product formula:
2564:tautological line bundle
2282:{\displaystyle w_{0}(E)}
2007:{\displaystyle W_{i}(E)}
1636:{\displaystyle W_{i}(E)}
1599:To be precise, provided
1481:{\displaystyle w_{i}(E)}
1373:have the same rank: the
1331:Two real vector bundles
1282:{\displaystyle w_{1}(L)}
765:{\displaystyle w_{i}(E)}
607:{\displaystyle w_{i}(E)}
7417:can be paired with the
7405:Stiefel–Whitney numbers
5439:), the pullback bundle
4610:Eilenberg-Maclane space
4380:as fibres. This sphere
4184:we consider the space,
3445:whose fiber at a point
1488:get their name because
224:etale cohomology groups
178:and is an example of a
105:{\displaystyle (n-i+1)}
44:Stiefel–Whitney classes
8673:Characteristic classes
8514:Characteristic Classes
8444:Characteristic Classes
8387:complex vector bundles
8363:
8281:
8201:
8148:
8035:Bockstein homomorphism
8019:
7945:
7915:
7829:
7768:
7730:
7688:
7654:
7620:
7503:
7439:Stiefel–Whitney number
7378:
7235:
7200:
7173:
7135:
7099:
7079:
7052:
7025:
7005:
6970:
6939:
6938:{\displaystyle TS^{n}}
6909:
6794:
6764:
6515:
6470:
6306:
6265:
6233:for some line bundles
6227:
6165:
6004:
5929:
5762:
5502:
5470:
5313:
5249:
5222:
5105:complex vector bundles
4985:
4876:
4760:
4655:
4591:
4401:
4370:
4340:
4259:
4258:{\displaystyle Gr_{1}}
4225:
4162:
4112:
4056:
3982:
3917:
3874:
3753:
3700:
3661:
3613:
3533:
3484:
3431:
3378:
3299:
3246:infinite Grassmannians
3231:pullback vector bundle
3223:
3222:{\displaystyle f^{*}E}
3193:
3156:
3155:{\displaystyle E\to X}
3130:
3057:
2988:
2911:
2848:
2776:
2603:
2550:paracompact base space
2538:
2427:
2377:
2283:
2240:
2239:{\displaystyle E\to X}
2214:
2172:
2087:
2008:
1968:
1925:
1858:
1814:
1778:. Whitney proved that
1768:
1736:
1681:
1637:
1590:
1530:
1482:
1428:
1401:
1316:
1283:
1247:
1157:
1108:
1079:
1038:
990:
989:{\displaystyle E\to F}
957:
928:
855:
823:
766:
726:
608:
572:
515:
478:
448:
393:
208:
161:
106:
48:topological invariants
8659:at the Manifold Atlas
8392:Real projective space
8364:
8261:
8202:
8149:
8020:
7946:
7916:
7830:
7769:
7731:
7689:
7687:{\displaystyle v_{k}}
7655:
7653:{\displaystyle w_{k}}
7621:
7536:is a smooth compact (
7504:
7379:
7236:
7201:
7199:{\displaystyle S^{n}}
7174:
7136:
7105:is trivial. The sum
7100:
7080:
7078:{\displaystyle S^{n}}
7053:
7051:{\displaystyle S^{n}}
7026:
7006:
6971:
6969:{\displaystyle S^{n}}
6940:
6910:
6795:
6793:{\displaystyle f^{*}}
6765:
6516:
6471:
6307:
6266:
6228:
6166:
6005:
5930:
5763:
5503:
5471:
5314:
5250:
5248:{\displaystyle \ell }
5231:which are everywhere
5223:
4986:
4877:
4761:
4656:
4592:
4402:
4371:
4341:
4265:is just the infinite
4260:
4231:of line bundles over
4226:
4163:
4113:
4057:
3983:
3918:
3875:
3754:
3701:
3662:
3614:
3534:
3485:
3432:
3379:
3300:
3262:For any vector space
3224:
3194:
3157:
3131:
3058:
2989:
2912:
2849:
2777:
2609:is nontrivial, i.e.,
2604:
2568:real projective space
2539:
2428:
2378:
2284:
2241:
2215:
2173:
2088:
2009:
1969:
1926:
1859:
1857:{\displaystyle n-i+1}
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