8972:
1228:
201:
12407:
554:
8499:
87:
431:
7803:
476:
8967:{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=0}^{n-1}\left(b+id\right)a^{i}&=b\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}+d\sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}\\&=b\left({\frac {1-a^{n}}{1-a}}\right)+d\left({\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}\right)\\&={\frac {b(1-a^{n})-(n-1)da^{n}}{1-a}}+{\frac {da(1-a^{n-1})}{(1-a)^{2}}}\end{aligned}}}
5922:
316:
704:
619:
6598:
8051:
7591:
6415:
10169:
1030:, there is no need for parentheses, and the result is the same irrespective of the order of the summands. Summation of a sequence of only one element results in this element itself. Summation of an empty sequence (a sequence with no elements), by convention, results in 0.
5657:
196:{\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{term}}\,+\,{\text{term}}\\\scriptstyle {\text{summand}}\,+\,{\text{summand}}\\\scriptstyle {\text{addend}}\,+\,{\text{addend}}\\\scriptstyle {\text{augend}}\,+\,{\text{addend}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}
359:
10013:
4461:
11614:
549:{\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{dividend}}}{\scriptstyle {\text{divisor}}}}\\\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{numerator}}}{\scriptstyle {\text{denominator}}}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}
7606:
4779:
5664:
244:
3546:
6970:
4296:
4127:
6240:
1406:
11457:
638:
6071:
561:
9611:
5266:
5131:
10796:
8484:
6713:
6820:
871:
9815:
7188:
4625:
8332:
6426:
11320:
785:
7848:
10323:
7412:
6247:
4985:
11134:
3403:
9127:
4894:
10950:
5367:
3281:
10611:
1626:
10709:
5462:
2835:
10425:
9324:
2695:
8233:
10019:
10866:
9472:
3073:
11050:
5469:
1796:
11836:
11212:
3180:
1203:
426:{\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{factor}}\,\times \,{\text{factor}}\\\scriptstyle {\text{multiplier}}\,\times \,{\text{multiplicand}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}
7401:
9208:
8504:
1714:
Alternatively, index and bounds of summation are sometimes omitted from the definition of summation if the context is sufficiently clear. This applies particularly when the index runs from 1 to
7268:
1801:
Generalizations of this notation are often used, in which an arbitrary logical condition is supplied, and the sum is intended to be taken over all values satisfying the condition. For example:
10503:
341:
12015:) to denote integers, if there is a risk of confusion. For example, even if there should be no doubt about the interpretation, it could look slightly confusing to many mathematicians to see
7336:
896:
2015:
457:
7020:
3884:
729:
11742:
9821:
3652:
1853:
1208:
Although such formulas do not always exist, many summation formulas have been discovered—with some of the most common and elementary ones being listed in the remainder of this article.
810:
7080:
226:
2140:
4322:
1037:
of their place in the sequence. For simple patterns, summation of long sequences may be represented with most summands replaced by ellipses. For example, summation of the first 100
11473:
2558:
2493:
The phrase 'algebraic sum' refers to a sum of terms which may have positive or negative signs. Terms with positive signs are added, while terms with negative signs are subtracted.
7798:{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}={\biggl (}\sum _{i=0}^{n}i{\biggr )}^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}\qquad }
2299:
1909:
10195:
5917:{\displaystyle \sum _{k\leq j\leq i\leq n}a_{i,j}=\sum _{i=k}^{n}\sum _{j=k}^{i}a_{i,j}=\sum _{j=k}^{n}\sum _{i=j}^{n}a_{i,j}=\sum _{j=0}^{n-k}\sum _{i=k}^{n-j}a_{i+j,i}\quad }
3807:
4636:
311:{\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{term}}\,-\,{\text{term}}\\\scriptstyle {\text{minuend}}\,-\,{\text{subtrahend}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}
8124:
3710:
9373:
1119:
4490:
2721:
9675:
2253:
3937:
3739:
3418:
6831:
4146:
3977:
3572:
2172:
7841:
2584:
8081:
2483:
1631:
In general, while any variable can be used as the index of summation (provided that no ambiguity is incurred), some of the most common ones include letters such as
6086:
2934:
2047:
1938:
699:{\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{base}}^{\text{exponent}}\\\scriptstyle {\text{base}}^{\text{power}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}
2451:
2353:
2326:
614:{\displaystyle \scriptstyle \left\{{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{fraction}}\\\scriptstyle {\text{quotient}}\\\scriptstyle {\text{ratio}}\end{matrix}}\right.}
1269:
1257:
1067:
12073:
12053:
12033:
12013:
11993:
11961:
11336:
2914:
2894:
2404:
2384:
2214:
2192:
2087:
2067:
1962:
1709:
1689:
1669:
1649:
5929:
2870:
6990:
9498:
5142:
5007:
10715:
8346:
6605:
6724:
828:
6593:{\displaystyle \sum _{i=s}^{m}\sum _{j=t}^{n}{a_{i}}{c_{j}}={\biggl (}\sum _{i=s}^{m}a_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=t}^{n}c_{j}{\biggr )}\quad }
9697:
7094:
4531:
923:
59:
8244:
8046:{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {n^{p+1}}{p+1}}+{\frac {1}{2}}n^{p}+\sum _{k=2}^{p}{\binom {p}{k}}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}\,n^{p-k+1},}
12313:
11225:
7586:{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{2}=\sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}\qquad }
6410:{\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=0}^{n}a_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=0}^{n}b_{j}{\biggr )}=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{n}a_{i}b_{j}\quad }
750:
10213:
4901:
11063:
3303:
9018:
4794:
10881:
5273:
10509:
2427:
These degenerate cases are usually only used when the summation notation gives a degenerate result in a special case. For example, if
1525:
10617:
10164:{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i!\cdot {n \choose i}=\sum _{i=0}^{n}{}_{n}P_{i}=\lfloor n!\cdot e\rfloor ,\quad n\in \mathbb {Z} ^{+}}
5374:
2750:
10329:
9225:
2593:
8148:
3191:
5652:{\displaystyle \sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}a_{i,j}=\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}a_{i,j}\quad }
10809:
9383:
2962:
10979:
1724:
12389:
12209:
12183:
11777:
8996:
1124:
For long summations, and summations of variable length (defined with ellipses or Σ notation), it is a common problem to find
11147:
11672:
1134:
7343:
9137:
916:
52:
7203:
11972:
11925:
10431:
8979:
3096:
4500:: it is clear that for wildly oscillating functions the Riemann sum can be arbitrarily far from the Riemann integral.
322:
12216:
12134:
7275:
1014:
The summation of an explicit sequence is denoted as a succession of additions. For example, summation of is denoted
877:
10008:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{}_{i+k}P_{k+1}=\sum _{i=1}^{n}\prod _{j=0}^{k}(i+j)={\frac {(n+k+1)!}{(n-1)!(k+2)}}}
1970:
438:
6995:
4496:
is fixed, and little can be said about the error in the above approximation without additional assumptions about
3815:
3083:
710:
11683:
4456:{\displaystyle {\frac {b-a}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}f\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)\approx \int _{a}^{b}f(x)\ dx,}
3580:
1807:
791:
12427:
12235:
7034:
4316:
occurring in the definition of the corresponding definite integral. One can therefore expect that for instance
3087:
909:
207:
45:
11609:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\cdot b^{i}\in \Theta (n^{d}\cdot \log(n)^{c}\cdot b^{n})}
4508:
The formulae below involve finite sums; for infinite summations or finite summations of expressions involving
2095:
1217:
2507:
10953:
4774:{\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)\pm \sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left(f(n)\pm g(n)\right)\quad }
4517:
4302:
2264:
12411:
12150:
10174:
3744:
1861:
28:
12199:
11867:
11862:
11638:
8090:
3676:
12275:
12269:
9343:
11767:
1235:
Mathematical notation uses a symbol that compactly represents summation of many similar terms: the
4469:
2700:
1083:
9644:
7806:
7598:
4513:
3541:{\displaystyle n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}{\biggl (}\sum _{j=0}^{k-1}{\binom {k}{j}}i^{j}{\biggr )}.}
2225:
993:
12229:
6965:{\displaystyle \sum _{m=0}^{k}\sum _{n=0}^{m}f(m,n)=\sum _{m=0}^{k}\sum _{n=m}^{k}f(n,m),\quad }
5369:(the sum from the first term up to the last is equal to the sum from the last down to the first)
4291:{\displaystyle \int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds.}
4122:{\displaystyle \int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds.}
3900:
3715:
12329:
Mémoires de l'Académie royale des sciences de l'Institut de France pour l'année 1825, tome VIII
12252:
9001:
There exist very many summation identities involving binomial coefficients (a whole chapter of
7814:
7191:
4509:
3894:
3890:
2953:
1125:
1034:
973:
464:
12289:
11872:
9376:
8236:
6235:{\displaystyle \sum _{n=2s+1}^{2t}f(n)=\sum _{n=s+1}^{t}f(2n)+\sum _{n=s+1}^{t}f(2n-1)\quad }
3557:
2305:
2148:
435:
38:
12333:
12327:
7820:
2563:
12299:
12293:
11975:
does not matter (by definition), one usually uses letters from the middle of the alphabet (
9003:
8127:
8059:
6078:
6074:
2456:
1401:{\displaystyle \sum _{i\mathop {=} m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}}
1004:
981:
24:
11452:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\in \Theta (n^{d+1}\cdot \log(n)^{c})}
2919:
2023:
1914:
8:
12357:
12351:
11847:
9007:
is devoted to just the basic techniques). Some of the most basic ones are the following.
6066:{\displaystyle \sum _{n=2s}^{2t+1}f(n)=\sum _{n=s}^{t}f(2n)+\sum _{n=s}^{t}f(2n+1)\quad }
3944:
3552:
2430:
1008:
989:
2335:
2311:
12307:
12096:
12058:
12038:
12018:
11998:
11978:
11946:
11877:
4133:
3964:
3079:
2899:
2879:
2389:
2369:
2199:
2177:
2072:
2052:
1947:
1694:
1674:
1654:
1634:
1242:
1052:
12379:
3959:
Many such approximations can be obtained by the following connection between sums and
2843:
12432:
12385:
12179:
12130:
11921:
11902:
11852:
2741:
1000:
1033:
Very often, the elements of a sequence are defined, through a regular pattern, as a
11759:
is attested as a summation symbol for series. This usage was apparently widespread.
11660:
9606:{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {n \choose i}{i+1}}={\frac {2^{n+1}-1}{n+1}},}
9130:
8084:
6975:
5261:{\displaystyle \sum _{n=a}^{b}f(n)=\sum _{n=0}^{b}f(n)-\sum _{n=0}^{a-1}f(n)\quad }
5126:{\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s}^{j}f(n)+\sum _{n=j+1}^{t}f(n)\quad }
4309:
3409:
2937:
2414:
10791:{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {1}{i!}}={\frac {\lfloor n!\;e\rfloor }{n!}}}
8479:{\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}={\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}}
11857:
11642:
11137:
10873:
19:
This article is about sums of several elements. For more elementary aspects, see
11916:
Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994). "Chapter 2: Sums".
11882:
6708:{\displaystyle \sum _{n=s}^{t}\log _{b}f(n)=\log _{b}\prod _{n=s}^{t}f(n)\quad }
3809:
This function is defined up to the addition of a constant, and may be chosen as
12375:
12347:
12265:
11941:
11914:
For a detailed exposition on summation notation, and arithmetic with sums, see
11763:
11667:
10970:
10198:
9625:
6823:
6418:
4628:
3666:
3661:
is a function defined on the nonnegative integers. Thus, given such a function
2733:
1038:
626:
347:
12203:
6815:{\displaystyle C^{\sum \limits _{n=s}^{t}f(n)}=\prod _{n=s}^{t}C^{f(n)}\quad }
866:{\displaystyle \scriptstyle \log _{\text{base}}({\text{anti-logarithm}})\,=\,}
12421:
12205:
Der
Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. Erster Band
10966:
9678:
7594:
5134:
4786:
4782:
9810:{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{}_{i}P_{k}{n \choose i}={}_{n}P_{k}(2^{n-k})}
7183:{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}\qquad }
4308:
For summations in which the summand is given (or can be interpolated) by an
2219:
There are also ways to generalize the use of many sigma signs. For example,
11323:
4620:{\displaystyle \sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{t}f(n)\quad }
1070:
977:
8327:{\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{2^{i}}}=2-{\frac {1}{2^{n-1}}}}
11315:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\in \Theta (n\cdot \log(n)^{c})}
4313:
2329:
1027:
1023:
937:
780:{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt{\scriptstyle {\text{radicand}}}}\,=\,}
232:
9486:
3287:
2410:
985:
10318:{\displaystyle \sum _{k=0}^{m}{\binom {n+k}{n}}={\binom {n+m+1}{n+1}}}
7404:
6716:
4988:
4980:{\displaystyle \sum _{n\in B}f(n)=\sum _{m\in A}f(\sigma (m)),\quad }
3940:
2419:
816:
11129:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\in \Theta (\log _{e}n)}
3398:{\displaystyle n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}\left((i+1)^{k}-i^{k}\right).}
2453:
in the definition above, then there is only one term in the sum; if
1711:; the latter is also often used for the upper bound of a summation.
11749:
11655:
9122:{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}a^{n-i}b^{i}=(a+b)^{n},}
4889:{\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s+p}^{t+p}f(n-p)\quad }
3960:
3297:
An example of application of the above equation is the following:
2737:
949:
945:
735:
558:
75:
20:
7026:
10945:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{k}}}=H_{n}^{k}\quad }
5362:{\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t-s}f(t-n)\quad }
2194:
1941:
1227:
11940:
in contexts where there is no possibility of confusion with the
10606:{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{m+i-1 \choose i}={m+n \choose n}}
1621:{\displaystyle \sum _{i=3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86.}
1478:, is incremented by one for each successive term, stopping when
12406:
10704:{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}^{2}={2n \choose n}}
5457:{\displaystyle \sum _{n=0}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t}f(t-n)\quad }
2873:
2830:{\displaystyle \sum _{k\mathop {=} a}^{b}f(k)=\int _{}f\,d\mu }
972:. Beside numbers, other types of values can be summed as well:
953:
485:
10420:{\displaystyle \sum _{i=k}^{n}{i \choose k}={n+1 \choose k+1}}
9319:{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}=1}
6242:(splitting a sum into its odd and even parts, for odd indexes)
2690:{\displaystyle \sum _{i=a}^{b}g(i)=g(b)+\sum _{i=a}^{b-1}g(i)}
11770:. Fourier's use includes lower and upper bounds, for example:
11646:
8997:
Binomial coefficient § Sums of the binomial coefficients
8228:{\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}a^{i}={\frac {1-a^{n}}{1-a}}}
4312:
function of the index, the summation can be interpreted as a
3551:
The above formula is more commonly used for inverting of the
1260:
1073:
3276:{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}
2409:
If the summation has no summands, then the evaluated sum is
6826:
of a sum is the product of the exponential of the summands)
644:
607:
482:
365:
250:
93:
11645:, suggests the symbol ∫ to mark the sum of differentials (
1430:
is an indexed variable representing each term of the sum;
10861:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=H_{n}\quad }
9467:{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i{n \choose i}=n(2^{n-1}),}
6719:
of a product is the sum of the logarithms of the factors)
4466:
since the right-hand side is by definition the limit for
3068:{\displaystyle f(n)-f(m)=\sum _{i=m}^{n-1}(f(i+1)-f(i)).}
11045:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{c}\in \Theta (n^{c+1})}
5924:(another application of commutativity and associativity)
1791:{\displaystyle \sum a_{i}^{2}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}.}
12129:, Kenneth H. Rosen, John G. Michaels, CRC Press, 1999,
11918:
Concrete
Mathematics: A Foundation for Computer Science
11831:{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }e^{-i^{2}t}\ldots }
8990:
5002:(index change); this generalizes the preceding formula.
1259:, an enlarged form of the upright capital Greek letter
11207:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c^{i}\in \Theta (c^{n})}
6998:
6978:
4492:
of the left-hand side. However, for a given summation
3954:
2338:
2314:
1864:
1245:
1086:
1055:
881:
832:
795:
757:
754:
714:
668:
650:
647:
642:
596:
585:
574:
571:
565:
522:
515:
512:
498:
491:
488:
480:
442:
392:
371:
368:
363:
326:
277:
256:
253:
248:
211:
162:
141:
120:
99:
96:
91:
12244:
12242:
12240:
12238:
12221:
12219:
12061:
12041:
12021:
12001:
11981:
11949:
11780:
11686:
11653:), hence the S-shape. The renaming of this symbol to
11476:
11339:
11228:
11150:
11066:
10982:
10884:
10812:
10718:
10620:
10512:
10434:
10332:
10216:
10177:
10022:
9824:
9700:
9647:
9501:
9386:
9346:
9228:
9140:
9021:
8502:
8349:
8247:
8151:
8093:
8062:
7851:
7823:
7609:
7415:
7346:
7278:
7206:
7097:
7037:
6834:
6727:
6608:
6429:
6250:
6089:
5932:
5667:
5472:
5377:
5276:
5145:
5010:
4904:
4797:
4639:
4534:
4472:
4325:
4149:
3980:
3903:
3818:
3747:
3718:
3679:
3583:
3560:
3421:
3306:
3194:
3099:
2965:
2922:
2902:
2882:
2846:
2753:
2703:
2596:
2566:
2510:
2459:
2433:
2392:
2372:
2267:
2228:
2202:
2180:
2151:
2098:
2075:
2055:
2026:
1973:
1950:
1917:
1810:
1727:
1697:
1677:
1657:
1637:
1528:
1519:
Here is an example showing the summation of squares:
1272:
1198:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}.}
1137:
880:
831:
794:
753:
713:
641:
564:
479:
441:
362:
325:
247:
210:
90:
11915:
7396:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log i=\log n!\qquad }
9203:{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n},}
12127:Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics
12067:
12047:
12027:
12007:
11987:
11955:
11830:
11736:
11608:
11451:
11314:
11206:
11128:
11044:
10944:
10860:
10790:
10703:
10605:
10497:
10419:
10317:
10189:
10163:
10007:
9809:
9669:
9605:
9466:
9367:
9318:
9202:
9121:
8966:
8478:
8326:
8227:
8118:
8075:
8045:
7835:
7797:
7585:
7395:
7330:
7263:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(2i-1)=n^{2}\qquad }
7262:
7182:
7074:
7014:
6984:
6964:
6814:
6707:
6592:
6409:
6234:
6065:
5916:
5651:
5456:
5361:
5260:
5125:
4979:
4888:
4773:
4619:
4484:
4455:
4290:
4121:
3931:
3878:
3801:
3733:
3704:
3646:
3566:
3540:
3397:
3275:
3174:
3067:
2928:
2908:
2888:
2864:
2829:
2715:
2689:
2578:
2552:
2477:
2445:
2398:
2378:
2347:
2320:
2293:
2247:
2208:
2186:
2166:
2134:
2081:
2061:
2041:
2009:
1956:
1932:
1903:
1847:
1790:
1703:
1683:
1663:
1643:
1620:
1460:" under the summation symbol means that the index
1400:
1251:
1197:
1113:
1061:
890:
865:
804:
779:
723:
698:
613:
548:
451:
425:
335:
310:
220:
195:
10695:
10677:
10659:
10646:
10597:
10576:
10564:
10537:
10498:{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i\cdot i!=(n+1)!-1}
10411:
10382:
10370:
10357:
10309:
10274:
10262:
10241:
10069:
10056:
9757:
9744:
9427:
9414:
9266:
9253:
9178:
9165:
9059:
9046:
9010:
8110:
8097:
7980:
7967:
7678:
7646:
6584:
6546:
6539:
6501:
6336:
6298:
6291:
6253:
3530:
3512:
3499:
3464:
3175:{\displaystyle f(n)-f(m)=\int _{m}^{n}f'(x)\,dx,}
2943:
2501:Summation may be defined recursively as follows:
12419:
9636:
3216:
336:{\displaystyle \scriptstyle {\text{difference}}}
11762:In 1829, the summation symbol Σ is attested by
11666:In 1755, the summation symbol Σ is attested in
8133:
7331:{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}2i=n(n+1)\qquad }
7027:Powers and logarithm of arithmetic progressions
2328:, an enlarged form of the Greek capital letter
891:{\displaystyle \scriptstyle {\text{logarithm}}}
12356:(in French). Paris: Gauthier-Villars. p.
12381:A History Of Mathematical Notations Volume II
12288:
11920:(2nd ed.). Addison-Wesley Professional.
9540:
9527:
2010:{\displaystyle \sum _{x\mathop {\in } S}f(x)}
917:
452:{\displaystyle \scriptstyle {\text{product}}}
53:
12346:
11676:. Euler uses the symbol in expressions like:
10774:
10761:
10184:
10178:
10136:
10121:
7015:{\textstyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }
2362:It is possible to sum fewer than 2 numbers:
12176:The History of Mathematics: An Introduction
3879:{\displaystyle F(n)=\sum _{i=0}^{n-1}f(i).}
1046:
1045:. Otherwise, summation is denoted by using
724:{\displaystyle \scriptstyle {\text{power}}}
16:Addition of several numbers or other values
12332:(in French). Paris: Didot. 1829. pp.
12312:: CS1 maint: location missing publisher (
12178:(7th ed.). McGraw-Hill. p. 414.
11737:{\displaystyle \Sigma \ (2wx+w^{2})=x^{2}}
10770:
3647:{\displaystyle \Delta (f)(n)=f(n+1)-f(n),}
2727:
2119:
1848:{\displaystyle \sum _{0\leq k<100}f(k)}
1011:, and are not considered in this article.
924:
910:
805:{\displaystyle \scriptstyle {\text{root}}}
60:
46:
11748:In 1772, usage of Σ and Σ is attested by
10151:
8017:
7075:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c=nc\quad }
7008:
7000:
4301:For more general approximations, see the
3897:provides a closed form in the case where
3162:
2952:that is defined over the integers in the
2820:
2113:
2107:
1222:
1218:Iterated binary operation § Notation
988:and, in general, elements of any type of
861:
857:
775:
771:
694:
690:
544:
540:
421:
417:
402:
398:
381:
377:
306:
302:
287:
283:
266:
262:
221:{\displaystyle \scriptstyle {\text{sum}}}
191:
187:
172:
168:
151:
147:
130:
126:
109:
105:
5659:(commutativity and associativity, again)
5464:(a particular case of the formula above)
2135:{\displaystyle \sum _{d\,|\,n}\;\mu (d)}
1226:
12202:(1899). Gerhardt, Karl Immanuel (ed.).
12198:
12420:
12374:
12248:
12225:
12208:. Berlin: Mayer & Müller. p.
12173:
12264:
12122:
12120:
12118:
12116:
8490:times the derivative with respect to
6600:(distributivity allows factorization)
4523:
2553:{\displaystyle \sum _{i=a}^{b}g(i)=0}
1718:. For example, one might write that:
12271:Institutiones Calculi differentialis
12145:
12143:
11673:Institutiones calculi differentialis
8991:Binomial coefficients and factorials
5268:(a variant of the preceding formula)
2740:theory, a sum can be expressed as a
2496:
1076:. For example, the sum of the first
10801:
8142:is assumed to be different from 1.
7338:(Sum of first even natural numbers)
6734:
3955:Approximation by definite integrals
2417:for addition. This is known as the
2304:A similar notation is used for the
2294:{\displaystyle \sum _{i}\sum _{j}.}
1964:in the specified range. Similarly,
13:
12113:
11797:
11687:
11549:
11399:
11275:
11185:
11101:
11017:
10681:
10650:
10580:
10541:
10386:
10361:
10278:
10245:
10060:
9748:
9531:
9418:
9257:
9169:
9050:
8101:
7971:
7270:(Sum of first odd natural numbers)
4479:
3719:
3687:
3584:
3561:
3503:
1904:{\textstyle \sum _{k=0}^{99}f(k),}
1080:natural numbers can be denoted as
14:
12444:
12399:
12151:"Calculus I - Summation Notation"
12140:
10190:{\displaystyle \lfloor x\rfloor }
3802:{\displaystyle F(n+1)-F(n)=f(n).}
2366:If the summation has one summand
12405:
12274:(in Latin). Petropolis. p.
12055:in the above formulae involving
7407:is the logarithm of the product)
3665:, the problem is to compute the
2956:, the following equation holds:
2488:
2357:
1858:is an alternative notation for
12368:
12340:
12320:
12282:
12258:
11883:Sigma § Character encoding
10960:
10941:
10857:
10142:
8119:{\displaystyle {\binom {p}{k}}}
7794:
7582:
7392:
7327:
7259:
7179:
7071:
6961:
6811:
6704:
6589:
6406:
6231:
6062:
5913:
5648:
5453:
5358:
5257:
5122:
4976:
4885:
4770:
4616:
3705:{\displaystyle F=\Delta ^{-1}f}
3084:fundamental theorem of calculus
12192:
12167:
12089:
11965:
11934:
11908:
11895:
11718:
11693:
11659:arose later in exchanges with
11603:
11581:
11574:
11552:
11511:
11504:
11446:
11437:
11430:
11402:
11374:
11367:
11309:
11300:
11293:
11278:
11263:
11256:
11201:
11188:
11123:
11104:
11039:
11020:
10483:
10471:
9999:
9987:
9981:
9969:
9961:
9943:
9934:
9922:
9804:
9785:
9458:
9439:
9368:{\displaystyle 0\leq p\leq 1,}
9295:
9282:
9107:
9094:
9011:Involving the binomial theorem
8980:arithmetico–geometric sequence
8948:
8935:
8930:
8905:
8863:
8851:
8845:
8826:
8794:
8781:
8760:
8748:
8464:
8451:
8430:
8418:
7715:
7703:
7520:
7505:
7502:
7490:
7324:
7312:
7243:
7228:
7170:
7158:
6955:
6943:
6892:
6880:
6806:
6800:
6763:
6757:
6701:
6695:
6652:
6646:
6228:
6213:
6177:
6168:
6132:
6126:
6059:
6044:
6014:
6005:
5975:
5969:
5450:
5438:
5408:
5402:
5355:
5343:
5307:
5301:
5254:
5248:
5212:
5206:
5176:
5170:
5119:
5113:
5077:
5071:
5041:
5035:
4970:
4967:
4961:
4955:
4930:
4924:
4882:
4870:
4828:
4822:
4762:
4756:
4747:
4741:
4706:
4700:
4670:
4664:
4613:
4607:
4571:
4565:
4476:
4438:
4432:
4273:
4267:
4231:
4225:
4186:
4180:
4104:
4098:
4062:
4056:
4017:
4011:
3913:
3907:
3870:
3864:
3828:
3822:
3793:
3787:
3778:
3772:
3763:
3751:
3638:
3632:
3623:
3611:
3602:
3596:
3593:
3587:
3365:
3352:
3264:
3258:
3249:
3237:
3223:
3209:
3203:
3159:
3153:
3124:
3118:
3109:
3103:
3088:calculus of finite differences
3059:
3056:
3050:
3041:
3029:
3023:
2990:
2984:
2975:
2969:
2944:Calculus of finite differences
2859:
2847:
2812:
2800:
2789:
2783:
2684:
2678:
2642:
2636:
2627:
2621:
2541:
2535:
2161:
2155:
2129:
2123:
2109:
2036:
2030:
2004:
1998:
1927:
1921:
1895:
1889:
1842:
1836:
1183:
1171:
1007:. They involve the concept of
854:
846:
1:
12348:Fourier, Jean-Baptiste Joseph
12082:
9641:In the following summations,
9637:Involving permutation numbers
8494:of the geometric progression)
8138:In the following summations,
4503:
3412:, this may be rewritten as:
1128:for the result. For example,
1114:{\textstyle \sum _{i=1}^{n}i}
1018:, and results in 9, that is,
12298:(in French). Paris. p.
11755:In 1823, the capital letter
8134:Summation index in exponents
4485:{\displaystyle n\to \infty }
2716:{\displaystyle b\geqslant a}
2386:, then the evaluated sum is
1043:1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 99 + 100
7:
12295:Oeuvres de Lagrange. Tome 3
11841:
10954:generalized harmonic number
9670:{\displaystyle {}_{n}P_{k}}
4518:list of mathematical series
3082:and is the analogue of the
2248:{\displaystyle \sum _{i,j}}
2174:over all positive integers
1211:
10:
12449:
12353:Oeuvres de Fourier. Tome 2
12200:Leibniz, Gottfried Wilhelm
11631:
8994:
7194:, consisting of the first
6073:(splitting a sum into its
3932:{\displaystyle f(n)=n^{k}}
3893:for such a summation, but
3734:{\displaystyle \Delta F=f}
1215:
29:Summation (disambiguation)
18:
12384:. Open Court Publishing.
12174:Burton, David M. (2011).
11971:Although the name of the
11868:Kahan summation algorithm
11863:Iterated binary operation
11639:Gottfried Wilhelm Leibniz
10965:The following are useful
10205:
9375:expresses the sum of the
9326:, the special case where
823:
815:
745:
734:
633:
625:
471:
463:
354:
346:
239:
231:
82:
74:
23:. For infinite sums, see
11888:
7813:More generally, one has
7086:that does not depend on
6081:parts, for even indexes)
5133:(splitting a sum, using
4514:transcendental functions
1491:This is read as "sum of
1448:upper bound of summation
1438:lower bound of summation
996:denoted "+" is defined.
12155:tutorial.math.lamar.edu
9632:of the binomial theorem
9493:of the binomial theorem
9210:the special case where
7599:square pyramidal number
4510:trigonometric functions
4303:Euler–Maclaurin formula
3567:{\displaystyle \Delta }
2728:Measure theory notation
2167:{\displaystyle \mu (d)}
1126:closed-form expressions
1069:is an enlarged capital
12290:Lagrange, Joseph-Louis
12069:
12049:
12029:
12009:
11989:
11957:
11832:
11801:
11738:
11616:for non-negative real
11610:
11497:
11459:for non-negative real
11453:
11360:
11316:
11249:
11208:
11171:
11130:
11087:
11046:
11003:
10946:
10905:
10862:
10833:
10792:
10739:
10705:
10641:
10607:
10533:
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10191:
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10043:
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9900:
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8120:
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8047:
7963:
7872:
7837:
7836:{\displaystyle p>1}
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7332:
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7227:
7192:arithmetic progression
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4486:
4457:
4370:
4292:
4221:
4123:
4052:
3963:, which holds for any
3933:
3891:closed-form expression
3889:There is not always a
3880:
3860:
3803:
3735:
3706:
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2617:
2580:
2579:{\displaystyle b<a}
2554:
2531:
2485:, then there is none.
2479:
2447:
2413:, because zero is the
2400:
2380:
2349:
2322:
2295:
2249:
2210:
2188:
2168:
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2063:
2043:
2011:
1958:
1934:
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1769:
1705:
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1645:
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1549:
1402:
1298:
1253:
1232:
1223:Capital-sigma notation
1199:
1158:
1115:
1107:
1063:
1022:. Because addition is
964:; the result is their
892:
867:
806:
781:
725:
700:
615:
550:
453:
427:
337:
312:
222:
197:
27:. For other uses, see
12428:Mathematical notation
12070:
12050:
12030:
12010:
11990:
11958:
11873:Product (mathematics)
11833:
11781:
11739:
11611:
11477:
11454:
11340:
11317:
11229:
11209:
11151:
11131:
11067:
11047:
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10947:
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10863:
10813:
10793:
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10500:
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10320:
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9701:
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9377:binomial distribution
9370:
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8237:geometric progression
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7279:
7265:
7207:
7190:(Sum of the simplest
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7125:
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7077:
7038:
7017:
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6967:
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6817:
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6733:
6710:
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3543:
3469:
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3320:
3278:
3177:
3090:, which states that:
3070:
2996:
2931:
2911:
2891:
2876:of the integers from
2867:
2832:
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2350:
2332:, is used instead of
2323:
2306:product of a sequence
2296:
2250:
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1686:
1666:
1646:
1623:
1529:
1403:
1273:
1263:. This is defined as
1254:
1230:
1216:Further information:
1200:
1138:
1116:
1087:
1064:
893:
868:
807:
782:
726:
701:
616:
551:
454:
428:
338:
313:
223:
198:
39:Arithmetic operations
12414:at Wikimedia Commons
12097:"Summation Notation"
12059:
12039:
12019:
11999:
11979:
11947:
11778:
11684:
11651:calculus summatorius
11474:
11337:
11226:
11148:
11064:
10980:
10882:
10810:
10716:
10618:
10510:
10432:
10330:
10214:
10175:
10020:
9822:
9698:
9645:
9499:
9384:
9344:
9226:
9138:
9019:
9004:Concrete Mathematics
8500:
8347:
8245:
8149:
8128:binomial coefficient
8091:
8060:
7849:
7821:
7807:Nicomachus's theorem
7607:
7413:
7344:
7276:
7204:
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6976:
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5930:
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5470:
5375:
5274:
5143:
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3097:
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2929:{\displaystyle \mu }
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2370:
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2149:
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2024:
1971:
1948:
1933:{\displaystyle f(k)}
1915:
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1675:
1655:
1635:
1526:
1466:starts out equal to
1270:
1243:
1231:The summation symbol
1135:
1084:
1053:
990:mathematical objects
878:
829:
792:
751:
711:
639:
562:
477:
439:
360:
323:
245:
208:
88:
25:Series (mathematics)
11848:Capital-pi notation
10940:
7815:Faulhaber's formula
4428:
4263:
4176:
4094:
4007:
3945:polynomial function
3895:Faulhaber's formula
3553:difference operator
3144:
3078:This is known as a
2940:over the integers.
2732:In the notation of
2446:{\displaystyle n=m}
2348:{\textstyle \sum .}
2321:{\textstyle \prod }
1784:
1745:
12065:
12045:
12025:
12005:
11985:
11953:
11878:Summation by parts
11828:
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8962:
8476:
8334:(special case for
8324:
8225:
8116:
8073:
8043:
7833:
7795:
7593:(Sum of the first
7583:
7393:
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5123:
4994:from a finite set
4977:
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4617:
4524:General identities
4482:
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3130:
3080:telescoping series
3065:
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2576:
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2376:
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2244:
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2184:
2164:
2132:
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