13605:
13143:
14690:
14100:
13050:
13600:{\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=x_{1}\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)=1+{\frac {9}{29}}\sum _{i=2}^{30}x_{i}\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)=1-{\sqrt {\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}}-\left({\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}\right)\sin \left(10\pi f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)\end{cases}}}
12585:
11057:
14227:
13691:
13136:
12671:
12219:
11375:
14234:
12163:
13698:
15738:
15569:
12678:
6585:
9620:
12226:
6892:
9196:
14776:
14685:{\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=1-\exp \left(-4x_{1}\right)\sin ^{6}\left(6\pi x_{1}\right)\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)=1+9\left^{0.25}\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)=1-\left({\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}\right)^{2}\\\end{cases}}}
11682:
14095:{\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=x_{1}\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)=91+\sum _{i=2}^{10}\left(x_{i}^{2}-10\cos \left(4\pi x_{i}\right)\right)\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)=1-{\sqrt {\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}}\end{cases}}}
8708:
3342:
9982:
361:
2987:
5800:
1644:
100:
10790:
13045:{\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=x_{1}\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)=1+{\frac {9}{29}}\sum _{i=2}^{30}x_{i}\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)=1-\left({\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}\right)^{2}\\\end{cases}}}
15099:
3809:
4485:
12580:{\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=x_{1}\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)=1+{\frac {9}{29}}\sum _{i=2}^{30}x_{i}\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)=1-{\sqrt {\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}}\\\end{cases}}}
7162:
908:
16261:
7556:
16616:
10406:
7984:
8333:
17029:
5379:
5121:
4870:
4220:
2256:
12158:{\displaystyle {\text{where}}={\begin{cases}A_{1}=0.5\sin \left(1\right)-2\cos \left(1\right)+\sin \left(2\right)-1.5\cos \left(2\right)\\A_{2}=1.5\sin \left(1\right)-\cos \left(1\right)+2\sin \left(2\right)-0.5\cos \left(2\right)\\B_{1}\left(x,y\right)=0.5\sin \left(x\right)-2\cos \left(x\right)+\sin \left(y\right)-1.5\cos \left(y\right)\\B_{2}\left(x,y\right)=1.5\sin \left(x\right)-\cos \left(x\right)+2\sin \left(y\right)-0.5\cos \left(y\right)\end{cases}}}
659:
2676:
2493:
2048:
1364:
6100:
3550:
15564:{\displaystyle {\text{s.t.}}={\begin{cases}g_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=x_{1}+x_{2}-2\geq 0\\g_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)=6-x_{1}-x_{2}\geq 0\\g_{3}\left({\boldsymbol {x}}\right)=2-x_{2}+x_{1}\geq 0\\g_{4}\left({\boldsymbol {x}}\right)=2-x_{1}+3x_{2}\geq 0\\g_{5}\left({\boldsymbol {x}}\right)=4-\left(x_{3}-3\right)^{2}-x_{4}\geq 0\\g_{6}\left({\boldsymbol {x}}\right)=\left(x_{5}-3\right)^{2}+x_{6}-4\geq 0\end{cases}}}
15093:
16210:
11325:
16623:
4165:
4815:
3289:
14783:
5745:
1276:
15913:
11064:
17024:{\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)=0.5\left(x^{2}+y^{2}\right)+\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)\\f_{2}\left(x,y\right)={\frac {\left(3x-2y+4\right)^{2}}{8}}+{\frac {\left(x-y+1\right)^{2}}{27}}+15\\f_{3}\left(x,y\right)={\frac {1}{x^{2}+y^{2}+1}}-1.1\exp \left(-\left(x^{2}+y^{2}\right)\right)\\\end{cases}}}
9117:
10701:
10350:
9402:
3974:
4624:
8902:
9894:
15907:
45:
Here some test functions are presented with the aim of giving an idea about the different situations that optimization algorithms have to face when coping with these kinds of problems. In the first part, some objective functions for single-objective optimization cases are presented. In the second
11677:
4385:
15088:{\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=-25\left(x_{1}-2\right)^{2}-\left(x_{2}-2\right)^{2}-\left(x_{3}-1\right)^{2}-\left(x_{4}-4\right)^{2}-\left(x_{5}-1\right)^{2}\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)=\sum _{i=1}^{6}x_{i}^{2}\\\end{cases}}}
3110:
3711:
61:
The test functions used to evaluate the algorithms for MOP were taken from Deb, Binh et al. and Binh. The software developed by Deb can be downloaded, which implements the NSGA-II procedure with GAs, or the program posted on
Internet, which implements the NSGA-II procedure with ES.
5572:
1077:
16205:{\displaystyle {\text{s.t.}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)={\frac {f_{2}\left(x,y\right)}{0.858\exp \left(-0.541f_{1}\left(x,y\right)\right)}}\geq 1\\g_{2}\left(x,y\right)={\frac {f_{2}\left(x,y\right)}{0.728\exp \left(-0.295f_{1}\left(x,y\right)\right)}}\geq 1\end{cases}}}
9564:
11320:{\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x\right)={\begin{cases}-x,&{\text{if }}x\leq 1\\x-2,&{\text{if }}1<x\leq 3\\4-x,&{\text{if }}3<x\leq 4\\x-4,&{\text{if }}x>4\\\end{cases}}\\f_{2}\left(x\right)=\left(x-5\right)^{2}\\\end{cases}}}
6470:
10920:
16540:
16392:
10129:
4618:
8908:
6258:
10413:
10135:
6011:
9203:
4160:{\displaystyle {\text{Min}}={\begin{cases}f\left(1.34941,-1.34941\right)&=-2.06261\\f\left(1.34941,1.34941\right)&=-2.06261\\f\left(-1.34941,1.34941\right)&=-2.06261\\f\left(-1.34941,-1.34941\right)&=-2.06261\\\end{cases}}}
4810:{\displaystyle {\text{Min}}={\begin{cases}f\left(8.05502,9.66459\right)&=-19.2085\\f\left(-8.05502,9.66459\right)&=-19.2085\\f\left(8.05502,-9.66459\right)&=-19.2085\\f\left(-8.05502,-9.66459\right)&=-19.2085\end{cases}}}
5918:
8715:
2805:
2361:
9627:
57:
The artificial landscapes presented herein for single-objective optimization problems are taken from Bäck, Haupt et al. and from Rody
Oldenhuis software. Given the number of problems (55 in total), just a few are presented here.
15745:
5284:
11382:
1484:
4988:
4227:
8117:
3284:{\displaystyle {\text{Min}}={\begin{cases}f\left(3.0,2.0\right)&=0.0\\f\left(-2.805118,3.131312\right)&=0.0\\f\left(-3.779310,-3.283186\right)&=0.0\\f\left(3.584428,-1.848126\right)&=0.0\\\end{cases}}}
2161:
5740:{\displaystyle {\text{Min}}={\begin{cases}f\left(0,1.25313\right)&=0.292579\\f\left(0,-1.25313\right)&=0.292579\\f\left(1.25313,0\right)&=0.292579\\f\left(-1.25313,0\right)&=0.292579\end{cases}}}
3557:
1271:{\displaystyle {\text{Min}}={\begin{cases}n=2&\rightarrow \quad f(1,1)=0,\\n=3&\rightarrow \quad f(1,1,1)=0,\\n>3&\rightarrow \quad f(\underbrace {1,\dots ,1} _{n{\text{ times}}})=0\\\end{cases}}}
3453:
2889:
8572:
7350:
5566:
9408:
6767:
3104:
731:
1071:
6264:
2581:
10797:
8200:
8624:
225:
17228:
8249:
7474:
820:
16398:
16268:
9989:
7902:
6989:
6682:
17317:
1546:
15635:
6516:
1319:
863:
7849:
5039:
4492:
9112:{\displaystyle {\text{s.t.}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)=\left(x-5\right)^{2}+y^{2}\leq 25\\g_{2}\left(x,y\right)=\left(x-8\right)^{2}+\left(y+3\right)^{2}\geq 7.7\\\end{cases}}}
8502:
7422:
4430:
3968:
10696:{\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=\sum _{i=1}^{2}\left\\&\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)=\sum _{i=1}^{3}\left\\\end{cases}}}
10345:{\displaystyle {\text{s.t.}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)=6.5-{\frac {x}{6}}-y\geq 0\\g_{2}\left(x,y\right)=7.5-0.5x-y\geq 0\\g_{3}\left(x,y\right)=30-5x-y\geq 0\\\end{cases}}}
7672:
348:
15687:
6107:
12208:
8666:
17254:
7938:
5787:
5368:
4472:
3798:
1631:
469:
256:
7973:
5924:
14184:
10746:
9939:
9606:
7151:
7116:
6881:
6846:
6054:
4857:
4207:
2974:
2665:
2245:
15726:
14732:
14142:
13647:
13092:
12627:
8285:
7037:
17073:
10392:
9612:
9188:
7545:
5793:
5075:
3537:
3331:
2445:
2035:
1637:
648:
563:
16573:
16249:
11363:
9397:{\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)=2+\left(x-2\right)^{2}+\left(y-1\right)^{2}\\f_{2}\left(x,y\right)=9x-\left(y-1\right)^{2}\\\end{cases}}}
7510:
3756:
305:
14764:
14216:
13679:
13124:
12659:
10958:
8320:
5110:
2480:
16605:
10778:
9971:
9182:
9150:
6548:
6086:
1351:
895:
8382:
7080:
6810:
1807:
2406:
1589:
1993:
5326:
3495:
2932:
2623:
2203:
606:
4478:
11025:
1947:
8700:
5807:
8897:{\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)=4x^{2}+4y^{2}\\f_{2}\left(x,y\right)=\left(x-5\right)^{2}+\left(y-5\right)^{2}\\\end{cases}}}
10998:
65:
Just a general form of the equation, a plot of the objective function, boundaries of the object variables and the coordinates of global minima are given herein.
11045:
10978:
9889:{\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=1-\exp \left\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)=1-\exp \left\\\end{cases}}}
2683:
2263:
17339:. ASME 2002 International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference. Montreal, Canada. pp. 891–897
15902:{\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)=x\\f_{2}\left(x,y\right)=\left(1+y\right)\exp \left(-{\frac {x}{1+y}}\right)\end{cases}}}
8326:
17602:
Schaffer, J. David (1984). "Multiple
Objective Optimization with Vector Evaluated Genetic Algorithms". In G.J.E Grefensette; J.J. Lawrence Erlbraum (eds.).
17358:
17210:
17403:
5128:
4863:
4213:
11672:{\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)=\left\\f_{2}\left(x,y\right)=\left(x+3\right)^{2}+\left(y+1\right)^{2}\\\end{cases}}}
17382:
10398:
4380:{\displaystyle f(x,y)=-\left(y+47\right)\sin {\sqrt {\left|{\frac {x}{2}}+\left(y+47\right)\right|}}-x\sin {\sqrt {\left|x-\left(y+47\right)\right|}}}
17675:
Osyczka, A.; Kundu, S. (1 October 1995). "A new method to solve generalized multicriteria optimization problems using the simple genetic algorithm".
2486:
1371:
17144:
4877:
3543:
2041:
1357:
7991:
17718:
Jimenez, F.; Gomez-Skarmeta, A. F.; Sanchez, G.; Deb, K. (May 2002). "An evolutionary algorithm for constrained multi-objective optimization".
6584:
3706:{\displaystyle f(x,y)=-\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)\exp \left(-\left(\left(x-\pi \right)^{2}+\left(y-\pi \right)^{2}\right)\right)}
2055:
3349:
2810:
9559:{\displaystyle {\text{s.t.}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)=x^{2}+y^{2}\leq 225\\g_{2}\left(x,y\right)=x-3y+10\leq 0\\\end{cases}}}
8506:
7169:
5386:
17159:
6689:
2994:
17774:
6465:{\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n-1},x_{n})=\sum _{i=1}^{m}\;\left(c_{i}+\sum \limits _{j=1}^{n}(x_{j}-a_{ij})^{2}\right)^{-1}}
666:
14226:
13690:
13135:
12670:
12218:
10915:{\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x\right)=x^{2}\\f_{2}\left(x\right)=\left(x-2\right)^{2}\\\end{cases}}}
6891:
915:
11374:
2500:
8124:
17585:
17497:
17128:
17103:
16535:{\displaystyle {\text{s.t.}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)=y+9x\geq 6\\g_{2}\left(x,y\right)=-y+9x\geq 1\\\end{cases}}}
16387:{\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)=x\\f_{2}\left(x,y\right)={\frac {1+y}{x}}\\\end{cases}}}
8579:
107:
10124:{\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)=x^{2}-y\\f_{2}\left(x,y\right)=-0.5x-y-1\\\end{cases}}}
17589:
8207:
7429:
737:
17461:
Simionescu, P.A. (2020). "A collection of bivariate nonlinear optimisation test problems with graphical representations".
17634:
Deb, Kalyan; Thiele, L.; Laumanns, Marco; Zitzler, Eckart (2002). "Scalable multi-objective optimization test problems".
6099:
17096:
Evolutionary algorithms in theory and practice : evolution strategies, evolutionary programming, genetic algorithms
17540:
7863:
6899:
6592:
11056:
1489:
17735:
17651:
17522:
17194:
4613:{\displaystyle f(x,y)=-\left|\sin x\cos y\exp \left(\left|1-{\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\pi }}\right|\right)\right|}
15575:
9619:
6479:
1282:
826:
15737:
7679:
9195:
4994:
17764:
17189:
Deb, Kalyanmoy (2002) Multiobjective optimization using evolutionary algorithms (Repr. ed.). Chichester : Wiley.
7555:
17538:
Fonseca, C. M.; Fleming, P. J. (1995). "An
Overview of Evolutionary Algorithms in Multiobjective Optimization".
14775:
6253:{\displaystyle f({\vec {x}})=\sum _{i=1}^{m}\;\left(c_{i}+\sum \limits _{j=1}^{n}(x_{j}-a_{ji})^{2}\right)^{-1}}
360:
8389:
7357:
4391:
3816:
907:
7563:
311:
15640:
3341:
12172:
8630:
6006:{\displaystyle -39.16617n<f(\underbrace {-2.903534,\ldots ,-2.903534} _{n{\text{ times}}})<-39.16616n}
2986:
99:
17769:
5799:
1643:
51:
17318:
Hybridization of interval methods and evolutionary algorithms for solving difficult optimization problems.
17213:. In: Proceedings of the Third International Conference on Genetic Algorithms. Czech Republic. pp. 176–182
7908:
7161:
5751:
5332:
4436:
3762:
1595:
368:
230:
7943:
14147:
10709:
9902:
9570:
8707:
7121:
7086:
6851:
6816:
6017:
4821:
4171:
2938:
2629:
2209:
15692:
14698:
14108:
13613:
13058:
12593:
8255:
6996:
3808:
17320:
PhD thesis. Ecole
Nationale de l'Aviation Civile. Institut National Polytechnique de Toulouse, France.
17037:
10356:
7515:
5045:
4484:
3501:
3295:
2412:
1999:
612:
474:
16546:
16216:
11333:
7983:
7480:
3717:
263:
17419:"Some new test functions for global optimization and performance of repulsive particle swarm method"
16640:
16415:
16285:
15930:
15762:
15116:
14800:
14737:
14251:
14189:
13715:
13652:
13160:
13097:
12695:
12632:
12243:
11699:
11399:
11113:
11081:
10928:
10814:
10789:
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8:
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2800:{\displaystyle f(x,y)=\sin ^{2}3\pi x+\left(x-1\right)^{2}\left(1+\sin ^{2}3\pi y\right)}
2492:
2356:{\displaystyle f(x,y)=100{\sqrt {\left|y-0.01x^{2}\right|}}+0.01\left|x+10\right|.\quad }
901:
10983:
17741:
17720:
Proceedings of the 2002 Congress on
Evolutionary Computation. CEC'02 (Cat. No.02TH8600)
17700:
17657:
17636:
Proceedings of the 2002 Congress on
Evolutionary Computation. CEC'02 (Cat. No.02TH8600)
17567:
17138:
11030:
10963:
3549:
93:
17731:
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17190:
17124:
17099:
5279:{\displaystyle f(x,y)=0.5+{\frac {\sin ^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)-0.5}{\left^{2}}}}
17745:
17661:
17723:
17684:
17639:
17571:
17559:
17470:
17289:
6093:
354:
17240:
Deb K. (2011) Software for multi-objective NSGA-II code in C. Available at URL:
17211:
MOBES: A Multiobjective
Evolution Strategy for Constrained Optimization Problems
17474:
17231:
Technical report. Institute for
Automation and Communication. Barleben, Germany
1479:{\displaystyle f(x,y)=\left(1.5-x+xy\right)^{2}+\left(2.25-x+xy^{2}\right)^{2}}
27:, are useful to evaluate characteristics of optimization algorithms, such as:
17758:
17727:
17696:
17643:
17303:
4983:{\displaystyle f(x,y)=\sin \left(x+y\right)+\left(x-y\right)^{2}-1.5x+2.5y+1}
17611:
17592:
I, Vol 496 Lect Notes in Comput Sc. Springer-Verlag, 1991, pp. 193–197.
17563:
17269:
17241:
8112:{\displaystyle f(x,y)=4x^{2}-2.1x^{4}+{\frac {1}{3}}x^{6}+xy-4y^{2}+4y^{4}}
47:
17463:
International
Journal of Mathematical Modelling and Numerical Optimisation
17276:
Whitley, Darrell; Rana, Soraya; Dzubera, John; Mathias, Keith E. (1996).
17418:
17688:
17604:
Proceedings of the First International Conference on Genetic Algorithms
2156:{\displaystyle f(x,y)=\left(x+2y-7\right)^{2}+\left(2x+y-5\right)^{2}}
3448:{\displaystyle f(x,y)=2x^{2}-1.05x^{4}+{\frac {x^{6}}{6}}+xy+y^{2}}
2884:{\displaystyle +\left(y-1\right)^{2}\left(1+\sin ^{2}2\pi y\right)}
68:
8673:
8567:{\displaystyle {\text{where: }}r_{T}=1,r_{S}=0.2{\text{ and }}n=8}
7345:{\displaystyle f(x,y)=\sin(y)e^{\left}+\cos(x)e^{\left}+(x-y)^{2}}
5561:{\displaystyle f(x,y)=0.5+{\frac {\cos ^{2}\left-0.5}{\left^{2}}}}
17255:"Multi-objective optimization using ES as Evolutionary Algorithm"
17717:
17359:"Solve a Constrained Nonlinear Problem - MATLAB & Simulink"
17490:
Computer Aided Graphing and Simulation Tools for AutoCAD Users
17330:
Simionescu, P.A.; Beale, D. (September 29 – October 2, 2002).
6762:{\displaystyle (x-1)^{3}-y+1\leq 0{\text{ and }}x+y-2\leq 0}
6555:
3099:{\displaystyle f(x,y)=(x^{2}+y-11)^{2}+(x+y^{2}-7)^{2}.\quad }
726:{\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}
17333:
New Concepts in Graphic Visualization of Objective Functions
17017:
16528:
16380:
16198:
15895:
15557:
15081:
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5733:
4803:
4153:
3277:
1264:
1066:{\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=\sum _{i=1}^{n-1}\left}
2576:{\displaystyle f(x,y)=0.26\left(x^{2}+y^{2}\right)-0.48xy}
17586:
A variant of evolution strategies for vector optimization
17329:
17275:
17229:
A multiobjective evolutionary algorithm. The study cases.
17633:
8195:{\displaystyle -\sin(4\pi x)+2\sin ^{2}(2\pi y)\leq 1.5}
6580:
Rosenbrock function constrained with a cubic and a line
8619:{\displaystyle f(\pm 0.84852813,\mp 0.84852813)=-0.072}
220:{\displaystyle f(\mathbf {x} )=An+\sum _{i=1}^{n}\left}
17515:
Multiobjective decision making. Theory and methodology
17310:
17040:
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16581:
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17383:"Bird Problem (Constrained) | Phoenix Integration"
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250:
219:
16:Functions used to evaluate optimization algorithms
17618:
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6984:{\displaystyle f(x,y)=(1-x)^{2}+100(y-x^{2})^{2}}
6677:{\displaystyle f(x,y)=(1-x)^{2}+100(y-x^{2})^{2}}
17756:
17668:
17402:: CS1 maint: bot: original URL status unknown (
17098:. Oxford: Oxford University Press. p. 328.
1541:{\displaystyle +\left(2.625-x+xy^{3}\right)^{2}}
69:Test functions for single-objective optimization
17711:
8674:Test functions for multi-objective optimization
17537:
17512:
15630:{\displaystyle 0\leq x_{1},x_{2},x_{6}\leq 10}
11027:have been used successfully. Higher values of
6511:{\displaystyle -\infty \leq x_{i}\leq \infty }
1314:{\displaystyle -\infty \leq x_{i}\leq \infty }
858:{\displaystyle -\infty \leq x_{i}\leq \infty }
17595:
7844:{\displaystyle x^{2}+y^{2}<\left^{2}+^{2}}
17674:
17578:
17143:: CS1 maint: multiple names: authors list (
5034:{\displaystyle f(-0.54719,-1.54719)=-1.9133}
17492:(1st ed.). Boca Raton, FL: CRC Press.
17160:"Many test functions for global optimizers"
6556:Test functions for constrained optimization
46:part, test functions with their respective
17487:
17460:
17385:. Archived from the original on 2016-12-29
17185:
17183:
17181:
17179:
17177:
6887:Rosenbrock function constrained to a disk
6368:
6156:
17553:
17513:Chankong, Vira; Haimes, Yacov Y. (1983).
17293:
17242:https://www.iitk.ac.in/kangal/codes.shtml
17119:Haupt, Randy L. Haupt, Sue Ellen (2004).
8497:{\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq \left^{2}}
7417:{\displaystyle (x+5)^{2}+(y+5)^{2}<25}
4425:{\displaystyle f(512,404.2319)=-959.6407}
3963:{\displaystyle f(x,y)=-0.0001\left^{0.1}}
17601:
17435:
17223:
17221:
17219:
17205:
17203:
17121:Practical genetic algorithms with CD-Rom
11047:increase the difficulty of the problem.
7667:{\displaystyle f(x,y)=-^{2}-x\sin(3x+y)}
343:{\displaystyle -5.12\leq x_{i}\leq 5.12}
17234:
17174:
15682:{\displaystyle 1\leq x_{3},x_{5}\leq 5}
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17416:
12203:{\displaystyle -\pi \leq x,y\leq \pi }
8661:{\displaystyle -1.25\leq x,y\leq 1.25}
17438:"Constrained optimization in Chebfun"
17216:
17200:
17157:
17118:
7157:Mishra's Bird function - constrained
17278:"Evaluating evolutionary algorithms"
17123:(2nd ed.). New York: J. Wiley.
17093:
14222:Zitzler–Deb–Thiele's function N. 6:
13686:Zitzler–Deb–Thiele's function N. 4:
13131:Zitzler–Deb–Thiele's function N. 3:
12666:Zitzler–Deb–Thiele's function N. 2:
12214:Zitzler–Deb–Thiele's function N. 1:
7933:{\displaystyle -2.25\leq x\leq 2.25}
5782:{\displaystyle -100\leq x,y\leq 100}
5363:{\displaystyle -100\leq x,y\leq 100}
4467:{\displaystyle -512\leq x,y\leq 512}
3793:{\displaystyle -100\leq x,y\leq 100}
1626:{\displaystyle -4.5\leq x,y\leq 4.5}
464:{\displaystyle f(x,y)=-20\exp \left}
251:{\displaystyle {\text{where: }}A=10}
17722:. Vol. 2. pp. 1133–1138.
7979:Gomez and Levy function (modified)
7968:{\displaystyle -2.5\leq y\leq 1.75}
6389:
6177:
13:
14179:{\displaystyle -5\leq x_{i}\leq 5}
10741:{\displaystyle -5\leq x_{i}\leq 5}
9934:{\displaystyle -4\leq x_{i}\leq 4}
9601:{\displaystyle -20\leq x,y\leq 20}
7146:{\displaystyle -1.5\leq y\leq 1.5}
7111:{\displaystyle -1.5\leq x\leq 1.5}
6876:{\displaystyle -0.5\leq y\leq 2.5}
6841:{\displaystyle -1.5\leq x\leq 1.5}
6505:
6486:
6049:{\displaystyle -5\leq x_{i}\leq 5}
4852:{\displaystyle -10\leq x,y\leq 10}
4202:{\displaystyle -10\leq x,y\leq 10}
2969:{\displaystyle -10\leq x,y\leq 10}
2660:{\displaystyle -10\leq x,y\leq 10}
2240:{\displaystyle -10\leq x,y\leq 10}
1308:
1289:
852:
833:
14:
17791:
17638:. Vol. 1. pp. 825–830.
17252:
15721:{\displaystyle 0\leq x_{4}\leq 6}
14727:{\displaystyle 0\leq x_{i}\leq 1}
14137:{\displaystyle 0\leq x_{1}\leq 1}
13642:{\displaystyle 0\leq x_{i}\leq 1}
13087:{\displaystyle 0\leq x_{i}\leq 1}
12622:{\displaystyle 0\leq x_{i}\leq 1}
11370:Poloni's two objective function:
8280:{\displaystyle -1\leq x\leq 0.75}
7032:{\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq 2}
17068:{\displaystyle -3\leq x,y\leq 3}
16614:
16259:
15736:
14774:
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9618:
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8706:
8331:
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7160:
6890:
6583:
6098:
5798:
5377:
5119:
5070:{\displaystyle -1.5\leq x\leq 4}
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4483:
4218:
3807:
3548:
3532:{\displaystyle -5\leq x,y\leq 5}
3340:
3326:{\displaystyle -5\leq x,y\leq 5}
2985:
2674:
2491:
2440:{\displaystyle -15\leq x\leq -5}
2254:
2046:
2030:{\displaystyle -2\leq x,y\leq 2}
1642:
1362:
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657:
643:{\displaystyle -5\leq x,y\leq 5}
558:{\displaystyle -\exp \left+e+20}
359:
118:
98:
17775:Test functions for optimization
17506:
17481:
17454:
17436:Townsend, Alex (January 2014).
17429:
17410:
17375:
17351:
17323:
16568:{\displaystyle 0.1\leq x\leq 1}
16244:{\displaystyle 0\leq x,y\leq 1}
11358:{\displaystyle -5\leq x\leq 10}
7505:{\displaystyle -10\leq x\leq 0}
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300:{\displaystyle f(0,\dots ,0)=0}
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14211:{\displaystyle 2\leq i\leq 10}
13674:{\displaystyle 1\leq i\leq 30}
13119:{\displaystyle 1\leq i\leq 30}
12654:{\displaystyle 1\leq i\leq 30}
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2507:
2475:{\displaystyle -3\leq y\leq 3}
2389:
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2270:
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114:
1:
17081:
16600:{\displaystyle 0\leq y\leq 5}
15733:CTP1 function (2 variables):
10773:{\displaystyle 1\leq i\leq 3}
9966:{\displaystyle 1\leq i\leq n}
9177:{\displaystyle 0\leq y\leq 3}
9145:{\displaystyle 0\leq x\leq 5}
7551:Townsend function (modified)
6543:{\displaystyle 1\leq i\leq n}
6081:{\displaystyle 1\leq i\leq n}
1346:{\displaystyle 1\leq i\leq n}
890:{\displaystyle 1\leq i\leq n}
17295:10.1016/0004-3702(95)00124-7
14771:Osyczka and Kundu function:
9189:Chankong and Haimes function
8377:{\displaystyle f(x,y)=0.1xy}
7075:{\displaystyle f(1.0,1.0)=0}
6805:{\displaystyle f(1.0,1.0)=0}
1802:{\displaystyle f(x,y)=\left}
52:multi-objective optimization
7:
17209:Binh T. and Korn U. (1997)
10:
17796:
17475:10.1504/IJMMNO.2020.110704
17417:Mishra, Sudhanshu (2006).
3337:Three-hump camel function
2401:{\displaystyle f(-10,1)=0}
1584:{\displaystyle f(3,0.5)=0}
54:problems (MOP) are given.
17488:Simionescu, P.A. (2014).
17288:(1–2). Elsevier BV: 264.
1988:{\displaystyle f(0,-1)=3}
17728:10.1109/CEC.2002.1004402
17644:10.1109/CEC.2002.1007032
11052:Schaffer function N. 2:
10785:Schaffer function N. 1:
9613:Fonseca–Fleming function
5794:Styblinski–Tang function
5321:{\displaystyle f(0,0)=0}
3490:{\displaystyle f(0,0)=0}
2927:{\displaystyle f(1,1)=0}
2618:{\displaystyle f(0,0)=0}
2198:{\displaystyle f(1,3)=0}
1638:Goldstein–Price function
601:{\displaystyle f(0,0)=0}
19:In applied mathematics,
17677:Structural Optimization
17564:10.1162/evco.1995.3.1.1
17282:Artificial Intelligence
5374:Schaffer function N. 4
5116:Schaffer function N. 2
3804:Cross-in-tray function
17765:Constraint programming
17069:
17025:
16601:
16569:
16536:
16388:
16245:
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11020:{\displaystyle 10^{5}}
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157:
17094:Bäck, Thomas (1995).
17070:
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312:
264:
231:
108:
40:General performance.
17770:Convex optimization
17253:Ortiz, Gilberto A.
16256:Constr-Ex problem:
15077:
13924:
10676:
10548:
10524:
8327:Simionescu function
5887:
5866:
2671:LĂ©vi function N.13
2251:Bukin function N.6
1010:
902:Rosenbrock function
722:
177:
17689:10.1007/BF01743536
17316:Vanaret C. (2015)
17065:
17021:
17016:
16611:Viennet function:
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