2793:
780:
50:
2500:
2816:
4729:
139:
3105:
2976:
2862:
3412:
3390:
3368:
3346:
3307:
3217:
3144:
3049:
2903:
2839:
2770:
2743:
2716:
2689:
2662:
2635:
4741:
2610:
27:
337:
1962:
2348:
1373:
1146:
880:
1614:, centred at the isolated singular point, and with sufficiently small radius so that it does not enclose, nor encounter, any other singular points. The intersection gives a submanifold of the hypersphere.
2169:
1506:
221:
1669:
2038:
1775:
1214:
1014:
2278:
2109:
1822:
1898:
489:
Other parameterizations are also possible, because knots are defined up to continuous deformation. The illustrations for the (2,3)- and (3,8)-torus knots can be obtained by taking
216:
192:
The direction in which the strands of the knot wrap around the torus is also subject to differing conventions. The most common is to have the strands form a right-handed screw for
1733:
692:
2412:
422:
2473:
634:
584:
480:
534:
387:
1903:
39:
681:
1553:
1863:
2283:
2201:
2228:
2058:
1610:)−torus knots arise when considering the link of an isolated complex hypersurface singularity. One intersects the complex hypersurface with a
1229:
885:(This formula assumes the common convention that braid generators are right twists, which is not followed by the Knowledge page on braids.)
3838:
1029:
813:
3498:
Note that this use of the roles of p and q is contrary to what appears on. It is also inconsistent with the pictures that appear in:
42:
3774:
2114:
4106:
4674:
1450:
158:(see Properties below) but geometrically distinct. The convention used in this article and its figures is the following.
1631:
4593:
1967:
3951:
3926:
3820:
3757:
3653:
3621:
3589:
4777:
1738:
4140:
3479:
1151:
953:
2233:
4782:
2067:
1780:
332:{\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos(p\phi )\\y&=r\sin(p\phi )\\z&=-\sin(q\phi )\end{aligned}}}
4588:
4583:
4459:
3526:
2590:
1868:
889:
4745:
4160:
2061:
1674:
4772:
4222:
2353:
392:
2417:
1957:{\displaystyle \mathbb {S} _{\varepsilon }^{3}\subset \mathbb {R} ^{4}\hookrightarrow \mathbb {C} ^{2}}
1591:
589:
539:
427:
208:
492:
345:
4292:
4287:
4228:
4099:
2572:
3968:
155:
651:
4420:
2343:{\displaystyle V_{f}\cap \mathbb {S} _{\varepsilon }^{3}\subset \mathbb {S} _{\varepsilon }^{3}.}
1518:
1442:
722:
483:
108:
131:
is equal to 1 or −1. The simplest nontrivial example is the (2,3)-torus knot, also known as the
85:
which lies on the surface of a torus in the same way. Each torus knot is specified by a pair of
4634:
4603:
1827:
3719:
4464:
3865:
2174:
4767:
4733:
4504:
4092:
3896:
3478:
For genus two, the simplest example of a double torus knot that is not a torus knot is the
2206:
1626:
1398:
1020:
31:
8:
4541:
4524:
3783:
3450:
1430:
1383:
744:) torus knot. This can be proved by moving the strands on the surface of the torus. The (
178:
4562:
4509:
4123:
4119:
3900:
3874:
3700:
3468:
2043:
82:
66:
3687:
3670:
4659:
4608:
4558:
4514:
4474:
4469:
4387:
4057:
4024:
4007:
3988:
3947:
3922:
3816:
3753:
3692:
3649:
3617:
3585:
1512:
3904:
2792:
4694:
4519:
4415:
4150:
4019:
3980:
3884:
3843:
3682:
3511:
1220:
536:, and in the case of the (2,3)-torus knot by furthermore subtracting respectively
189:
are not relatively prime, then we have a torus link with more than one component.
4654:
4618:
4553:
4499:
4454:
4447:
4337:
4249:
4132:
3892:
3888:
3808:
3521:
3442:
2565:
2523:
1590:
for his research proving this result, which solved a problem originally posed by
1571:
4084:
3563:
4714:
4613:
4575:
4494:
4407:
4282:
4274:
4234:
4060:
4048:
3516:
1559:
703:
120:
3984:
3551:
4761:
4649:
4437:
4430:
4425:
3992:
3696:
1368:{\displaystyle t^{(p-1)(q-1)/2}{\frac {1-t^{p+1}-t^{q+1}+t^{p+q}}{1-t^{2}}}.}
1582:)), so torus knots have unbounded stretch factors. Undergraduate researcher
4664:
4644:
4548:
4531:
4327:
4264:
2515:
1587:
796:
143:
132:
4079:
4679:
4442:
4347:
4216:
4196:
4186:
4178:
4170:
4115:
2531:
1611:
1583:
58:
3863:
Pardon, John (2011), "On the distortion of knots on embedded surfaces",
783:
The (3, 4) torus knot on the unwrapped torus surface, and its braid word
4699:
4684:
4639:
4536:
4489:
4484:
4479:
4206:
3811:(2005). "Braids: a Survey". In Menasco, W.; Thistlethwaite, M. (eds.).
3704:
3456:
1438:
936:
804:
718:
154:
A torus knot can be rendered geometrically in multiple ways which are
4704:
4372:
4065:
3531:
3411:
3389:
3367:
3345:
3306:
3216:
3143:
3104:
3048:
2975:
2902:
2861:
2838:
2769:
2742:
2715:
2688:
2661:
4043:
3848:
2815:
2499:
2483:
are coprime, and both greater than or equal to two, is exactly the (
779:
138:
4689:
4299:
4074:
2634:
1379:
1141:{\displaystyle t^{k}{\frac {(t^{pq}-1)(t-1)}{(t^{p}-1)(t^{q}-1)}},}
49:
3879:
3773:
Dehornoy, P.; Dynnikov, Ivan; Rolfsen, Dale; Wiest, Bert (2000).
3445:. More technically, it is the homeomorphic image of a circle in
1511:
Torus knots are the only knots whose knot groups have nontrivial
875:{\displaystyle (\sigma _{1}\sigma _{2}\cdots \sigma _{p-1})^{q}.}
89:
86:
1625:
be coprime integers, greater than or equal to two. Consider the
691:
16:
Knot which lies on the surface of a torus in 3-dimensional space
4709:
4357:
4317:
2511:
700:
116:
2609:
26:
4598:
2164:{\displaystyle \partial f/\partial w=\partial f/\partial z=0}
70:
20:
3772:
4669:
2350:
This intersection is the so-called link of the singularity
1409:-fold dunce cap with a disk removed from its interior, and
107:
are not coprime (in which case the number of components is
38:
1421:
along their boundary circle. The knot complement of the (
173:
times around a circle in the interior of the torus, and
1597:
2420:
2356:
2286:
2236:
2209:
2177:
2117:
2070:
2046:
1970:
1906:
1871:
1830:
1783:
1741:
1677:
1634:
1521:
1453:
1232:
1154:
1032:
956:
816:
654:
592:
542:
495:
430:
395:
348:
219:
142:
the (2,−3)-torus knot, also known as the left-handed
1515:(which is infinite cyclic, generated by the element
1501:{\displaystyle \langle x,y\mid x^{p}=y^{q}\rangle .}
4055:
752:) torus knot is the obverse (mirror image) of the (
2467:
2406:
2342:
2280:In order to do this, we consider the intersection
2272:
2222:
2195:
2163:
2103:
2052:
2032:
1956:
1892:
1857:
1816:
1769:
1727:
1664:{\displaystyle f:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} }
1663:
1547:
1500:
1367:
1208:
1140:
1008:
874:
776:) torus knot except for the reversed orientation.
675:
628:
578:
528:
474:
416:
381:
331:
4114:
3836:Kehoe, Elaine (April 2012), "2012 Morgan Prize",
3584:. Mathematical Association of America. p. .
2033:{\displaystyle |w|^{2}+|z|^{2}=\varepsilon ^{2}.}
1386:, fibred over the disc with two singular fibres.
644:. The latter generalizes smoothly to any coprime
424:. This lies on the surface of the torus given by
4759:
3675:Proceedings of the American Mathematical Society
2507:The figure on the right is torus link (72,4) .
3471:is a subset of a genus two handlebody, it is a
3842:, vol. 59, no. 4, pp. 569–571,
1413:be the quotient space obtained by identifying
4100:
3806:
1770:{\displaystyle V_{f}\subset \mathbb {C} ^{2}}
149:
3973:Journal of Knot Theory and Its Ramifications
3839:Notices of the American Mathematical Society
3575:
3573:
3571:
1492:
1454:
3743:
3741:
3739:
1223:of a (right-handed) torus knot is given by
1209:{\displaystyle k=-{\frac {(p-1)(q-1)}{2}}.}
1009:{\displaystyle g={\frac {1}{2}}(p-1)(q-1).}
4107:
4093:
3639:
3637:
3635:
3633:
3607:
3605:
3603:
3601:
3579:
2273:{\displaystyle (0,0)\in \mathbb {C} ^{2}.}
4023:
3878:
3847:
3747:
3686:
3568:
2322:
2302:
2257:
2104:{\displaystyle (0,0)\in \mathbb {C} ^{2}}
2091:
1944:
1929:
1909:
1817:{\displaystyle (w,z)\in \mathbb {C} ^{2}}
1804:
1757:
1657:
1643:
69:that lies on the surface of an unknotted
3921:. Princeton University Press. p. .
3919:Singular Points of Complex Hypersurfaces
3766:
3736:
3643:
3611:
2498:
778:
690:
137:
48:
37:
25:
4005:
3941:
3668:
3630:
3598:
3449:which can be realized as a subset of a
1893:{\displaystyle 0<\varepsilon \ll 1,}
1401:with a disk removed from the interior,
4760:
3916:
3910:
3862:
3800:
1378:The complement of a torus knot in the
4088:
4056:
3835:
3717:
4740:
4006:Norwood, Frederick (November 1989).
3966:
3946:. Publish or Perish, Inc. p. .
3492:
1728:{\displaystyle f(w,z):=w^{p}+z^{q}.}
636:from the above parameterizations of
4075:Torus knot renderer in Actionscript
3671:"Every two-generator knot is prime"
2407:{\displaystyle f(w,z)=w^{p}+z^{q}.}
2203:Thus, we consider the structure of
1598:Connection to complex hypersurfaces
768:) torus knot is equivalent to the (
736:) torus knot is equivalent to the (
417:{\displaystyle 0<\phi <2\pi }
13:
3562:"36 Torus Knots", The Knot Atlas.
3463:(whose complement is also a genus
2468:{\displaystyle f(w,z)=w^{p}+z^{q}}
2149:
2138:
2129:
2118:
14:
4794:
4036:
3688:10.1090/S0002-9939-1982-0663884-7
629:{\displaystyle 3\sin((p-q)\phi )}
579:{\displaystyle 3\cos((p-q)\phi )}
475:{\displaystyle (r-2)^{2}+z^{2}=1}
207:)-torus knot can be given by the
45:Award showing a (2,3)-torus knot.
4739:
4728:
4727:
3614:Knot Theory and its Applications
3550:Torus Knot on Wolfram Mathworld
3410:
3388:
3366:
3344:
3305:
3215:
3142:
3103:
3047:
2974:
2901:
2860:
2837:
2814:
2791:
2768:
2741:
2714:
2687:
2660:
2633:
2608:
1900:we define the real three-sphere
795:)-torus knot can be made from a
529:{\displaystyle r=\cos(q\phi )+4}
382:{\displaystyle r=\cos(q\phi )+2}
3999:
3960:
3935:
3856:
3829:
3429:
695:Diagram of a (3,−8)-torus knot.
4594:Dowker–Thistlethwaite notation
3750:An Introduction to Knot Theory
3711:
3662:
3556:
3544:
2436:
2424:
2372:
2360:
2249:
2237:
2083:
2071:
2004:
1995:
1981:
1972:
1939:
1846:
1834:
1796:
1784:
1693:
1681:
1653:
1265:
1253:
1250:
1238:
1194:
1182:
1179:
1167:
1129:
1110:
1107:
1088:
1083:
1071:
1068:
1046:
1000:
988:
985:
973:
860:
817:
717:Each nontrivial torus knot is
623:
617:
605:
602:
573:
567:
555:
552:
517:
508:
444:
431:
370:
361:
322:
313:
287:
278:
252:
243:
1:
4012:Topology and Its Applications
3967:Hill, Peter (December 1999).
3718:Baker, Kenneth (2011-03-28).
3669:Norwood, F. H. (1982-01-01).
3537:
3527:Irrational winding of a torus
3441:is a closed curve drawn on a
686:
4025:10.1016/0166-8641(89)90105-3
3889:10.4007/annals.2011.174.1.21
3748:Lickorish, W. B. R. (1997).
3580:Livingston, Charles (1993).
1570:) torus knot, as a curve in
1555:in the presentation above).
676:{\displaystyle p<q<2p}
7:
3969:"On Double-Torus Knots (I)"
3505:
1548:{\displaystyle x^{p}=y^{q}}
119:(equivalent to the unknot)
10:
4799:
4080:Fun with the PQ-Torus Knot
3782:. p. . Archived from
150:Geometrical representation
18:
4723:
4627:
4584:Alexander–Briggs notation
4571:
4406:
4308:
4273:
4131:
3985:10.1142/S0218216599000651
3776:Why are Braids Orderable?
1858:{\displaystyle f(w,z)=0.}
803:strands. The appropriate
177:times around its axis of
99:. A torus link arises if
3648:. Birkhäuser. p. .
3616:. Birkhäuser. p. .
3612:Murasugi, Kunio (1996).
3485:
1441:of a torus knot has the
1384:Seifert-fibered manifold
156:topologically equivalent
19:Not to be confused with
4778:Fibered knots and links
4675:List of knots and links
4223:Kinoshita–Terasaka knot
3813:Handbook of Knot Theory
3646:A Survey of Knot Theory
3644:Kawauchi, Akio (1996).
2494:
484:cylindrical coordinates
3942:Rolfsen, Dale (1976).
3815:. Elsevier. p. .
3752:. Springer. p. .
2504:
2469:
2408:
2344:
2274:
2224:
2197:
2196:{\displaystyle w=z=0.}
2165:
2105:
2054:
2034:
1958:
1894:
1859:
1818:
1771:
1729:
1665:
1549:
1502:
1369:
1210:
1142:
1010:
876:
784:
696:
677:
630:
580:
530:
476:
418:
383:
333:
146:
54:
46:
35:
4783:Torus knots and links
4465:Finite type invariant
3866:Annals of Mathematics
2502:
2470:
2409:
2345:
2275:
2225:
2223:{\displaystyle V_{f}}
2198:
2166:
2106:
2055:
2035:
1959:
1895:
1860:
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1772:
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