Knowledge

46256: 43930: 46251:{\displaystyle {\begin{aligned}\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma &=\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma \\1&=\cot \beta \cot \gamma +\cot \gamma \cot \alpha +\cot \alpha \cot \beta \\\cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)&=\cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\1&=\tan \left({\frac {\beta }{2}}\right)\tan \left({\frac {\gamma }{2}}\right)+\tan \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\tan \left({\frac {\beta }{2}}\right)\\\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma &=4\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cos \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\-\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma &=4\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma &=4\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)+1\\-\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma &=4\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cos \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)-1\\\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )&=4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \\-\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )&=4\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma \\\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )&=-4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1\\-\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )&=-4\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\\\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma &=2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +2\\-\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma &=2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma \\\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma &=-2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +1\\-\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma &=-2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\\\sin ^{2}(2\alpha )+\sin ^{2}(2\beta )+\sin ^{2}(2\gamma )&=-2\cos(2\alpha )\cos(2\beta )\cos(2\gamma )+2\\\cos ^{2}(2\alpha )+\cos ^{2}(2\beta )+\cos ^{2}(2\gamma )&=2\cos(2\alpha )\,\cos(2\beta )\,\cos(2\gamma )+1\\1&=\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\beta }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\gamma }{2}}\right)+2\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\,\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\,\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\end{aligned}}} 20861: 8135: 20021: 7258: 3251: 20856:{\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\\\cos {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}\\\tan {\frac {\theta }{2}}&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}=\csc \theta -\cot \theta ={\frac {\tan \theta }{1+\sec {\theta }}}\\&=\operatorname {sgn}(\sin \theta ){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}={\frac {-1+\operatorname {sgn}(\cos \theta ){\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}{\tan \theta }}\\\cot {\frac {\theta }{2}}&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}=\csc \theta +\cot \theta =\operatorname {sgn}(\sin \theta ){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}\\\sec {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {2}{1+\cos \theta }}}\\\csc {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {2}{1-\cos \theta }}}\\\end{aligned}}} 37364: 8130:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sgn}(\sin \theta )=\operatorname {sgn}(\csc \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ 0<\theta <\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <0\\0&{\text{if}}\ \ \theta \in \{0,\pi \}\end{cases}}\\\operatorname {sgn}(\cos \theta )=\operatorname {sgn}(\sec \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ {-{\tfrac {1}{2}}\pi }<\theta <{\tfrac {1}{2}}\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {1}{2}}\pi \ \ {\text{or}}\ \ {\tfrac {1}{2}}\pi <\theta <\pi \\0&{\text{if}}\ \ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {1}{2}}\pi },{\tfrac {1}{2}}\pi {\bigr \}}\end{cases}}\\\operatorname {sgn}(\tan \theta )=\operatorname {sgn}(\cot \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {1}{2}}\pi \ \ {\text{or}}\ \ 0<\theta <{\tfrac {1}{2}}\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-{\tfrac {1}{2}}\pi }<\theta <0\ \ {\text{or}}\ \ {\tfrac {1}{2}}\pi <\theta <\pi \\0&{\text{if}}\ \ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {1}{2}}\pi },0,{\tfrac {1}{2}}\pi ,\pi {\bigr \}}\end{cases}}\end{aligned}}} 36472: 37359:{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\arcsin x)&=x&\cos(\arcsin x)&={\sqrt {1-x^{2}}}&\tan(\arcsin x)&={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\\sin(\arccos x)&={\sqrt {1-x^{2}}}&\cos(\arccos x)&=x&\tan(\arccos x)&={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\\\sin(\arctan x)&={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\cos(\arctan x)&={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\tan(\arctan x)&=x\\\sin(\operatorname {arccsc} x)&={\frac {1}{x}}&\cos(\operatorname {arccsc} x)&={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}&\tan(\operatorname {arccsc} x)&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\\\sin(\operatorname {arcsec} x)&={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}&\cos(\operatorname {arcsec} x)&={\frac {1}{x}}&\tan(\operatorname {arcsec} x)&={\sqrt {x^{2}-1}}\\\sin(\operatorname {arccot} x)&={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\cos(\operatorname {arccot} x)&={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\tan(\operatorname {arccot} x)&={\frac {1}{x}}\\\end{aligned}}} 12552: 14433: 8240: 11768: 23178: 13690: 5825: 22569: 12547:{\displaystyle {\begin{aligned}{\tan }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {{\sin }{\bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\bigr )}/\prod _{i}\cos \theta _{i}}{{\cos }{\bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\bigr )}/\prod _{i}\cos \theta _{i}}}\\&={\frac {\displaystyle \sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{1,2,3,\dots \}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}{\displaystyle \sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}~(-1)^{\frac {k}{2}}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{1,2,3,\dots \}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}}={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\{\cot }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}} 12565: 10906: 15728: 23173:{\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}\\&={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}\\&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}\\\tan {\frac {\eta +\theta }{2}}&={\frac {\sin \eta +\sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\tan \theta \\{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}&={\frac {\left|1-\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}{\left|1+\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}}\\\tan {\frac {\theta }{2}}&={\frac {\tan \theta }{1+{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}\\&{\text{for }}\theta \in \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)\end{aligned}}} 24629: 38474: 28285: 25236: 359: 10360: 13685:{\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\theta _{1}+\theta _{2})&={\frac {e_{1}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{1\ -\ x_{1}x_{2}}}={\frac {\tan \theta _{1}+\tan \theta _{2}}{1\ -\ \tan \theta _{1}\tan \theta _{2}}},\\\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}},\\\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\&={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}},\end{aligned}}} 37947: 10901:{\displaystyle {\begin{aligned}{\sin }{\biggl (}\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}{\biggl )}&=\sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\!\!\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}{\biggl (}\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}{\biggr )}\\{\cos }{\biggl (}\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}{\biggr )}&=\sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}(-1)^{\frac {k}{2}}\,\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}{\biggl (}\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}{\biggr )}.\end{aligned}}} 36452: 26946: 38469:{\displaystyle {\begin{alignedat}{9}{\frac {\pi }{2}}~&=~\arcsin(x)&&+\arccos(x)~&&=~\arctan(r)&&+\operatorname {arccot}(r)~&&=~\operatorname {arcsec}(s)&&+\operatorname {arccsc}(s)\\\pi ~&=~\arccos(x)&&+\arccos(-x)~&&=~\operatorname {arccot}(r)&&+\operatorname {arccot}(-r)~&&=~\operatorname {arcsec}(s)&&+\operatorname {arcsec}(-s)\\0~&=~\arcsin(x)&&+\arcsin(-x)~&&=~\arctan(r)&&+\arctan(-r)~&&=~\operatorname {arccsc}(s)&&+\operatorname {arccsc}(-s)\\\end{alignedat}}} 42: 35980: 28273: 21159: 38741: 11759: 42883: 32205: 14411: 8232: 8634: 33243: 36447:{\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right),&\cos x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\!{\vphantom {)}}^{2}}}\right),\\\sinh x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right),&\cosh x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\!{\vphantom {)}}^{2}}}\right).\end{aligned}}} 27897: 20868: 17930: 38481: 11354: 42496: 31895: 14498:, as shown in the accompanying figure, the sum of the products of the lengths of opposite sides is equal to the product of the lengths of the diagonals. In the special cases of one of the diagonals or sides being a diameter of the circle, this theorem gives rise directly to the angle sum and difference trigonometric identities. The relationship follows most easily when the circle is constructed to have a diameter of length one, as shown here. 14117: 40256: 8334: 40811: 32847: 13976: 22563: 22386: 28268:{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\sin \theta _{k}={\frac {(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }}{2^{n}}}{\begin{cases}\displaystyle \sum _{e\in S}\cos(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\prod _{j=1}^{n}e_{j}\;{\text{if}}\;n\;{\text{is even}},\\\displaystyle \sum _{e\in S}\sin(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\prod _{j=1}^{n}e_{j}\;{\text{if}}\;n\;{\text{is odd}}\end{cases}}} 23386: 17487: 21154:{\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {\eta \pm \theta }{2}}&={\frac {\sin \eta \pm \sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\tan \theta \\{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}&={\frac {\left|1-\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}{\left|1+\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}}\end{aligned}}} 38736:{\displaystyle {\begin{aligned}\arctan x+\arctan {\dfrac {1}{x}}&={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}},&{\text{if }}x>0\\-{\frac {\pi }{2}},&{\text{if }}x<0\end{cases}}\\\operatorname {arccot} x+\operatorname {arccot} {\dfrac {1}{x}}&={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}},&{\text{if }}x>0\\{\frac {3\pi }{2}},&{\text{if }}x<0\end{cases}}\\\end{aligned}}} 41059: 11754:{\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}&=1\\e_{1}&=\sum _{i}x_{i}&&=\sum _{i}\tan \theta _{i}\\e_{2}&=\sum _{i<j}x_{i}x_{j}&&=\sum _{i<j}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\\e_{3}&=\sum _{i<j<k}x_{i}x_{j}x_{k}&&=\sum _{i<j<k}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\tan \theta _{k}\\&\ \ \vdots &&\ \ \vdots \end{aligned}}} 40021: 27891: 40562: 47364: 42878:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\sum _{k=1}^{n}\arctan(t_{k})\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\operatorname {sgn}(t_{k})\arccos \left({\frac {1-t_{k}^{2}}{1+t_{k}^{2}}}\right)\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\arcsin \left({\frac {2t_{k}}{1+t_{k}^{2}}}\right)\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\arctan \left({\frac {2t_{k}}{1-t_{k}^{2}}}\right)\,,\end{aligned}}} 32200:{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}\sin k\theta &={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}\theta -\cos \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}\\\sum _{k=0}^{n}\cos k\theta &={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}\theta +\sin \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}\end{aligned}}} 13708: 31556: 14406:{\displaystyle {\begin{aligned}\sec(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\tan \alpha \tan \beta -\tan \alpha \tan \gamma -\tan \beta \tan \gamma }}\\\csc(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma -\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma }}.\end{aligned}}} 40447: 26933: 18232: 21541: 8629:{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\alpha +\beta )&=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \\\sin(\alpha -\beta )&=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha +\beta )&=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha -\beta )&=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \end{aligned}}} 1165: 39767: 33238:{\displaystyle {\begin{aligned}&2\sin \alpha \sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha \\&\quad =\sum _{k=1}^{n}(\sin(2k\alpha )-\sin(2(k-1)\alpha ))\\&\quad =(\sin 2\alpha -\sin 0)+(\sin 4\alpha -\sin 2\alpha )+(\sin 6\alpha -\sin 4\alpha )+\ldots +(\sin(2n\alpha )-\sin(2(n-1)\alpha ))\\&\quad =\sin(2n\alpha ).\end{aligned}}} 17190: 33736: 22392: 22215: 18764: 41214: 17925:{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(n\theta )&=\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta =\sin \theta \sum _{i=0}^{(n+1)/2}\sum _{j=0}^{i}(-1)^{i-j}{n \choose 2i+1}{i \choose j}\cos ^{n-2(i-j)-1}\theta \\{}&=2^{(n-1)}\prod _{k=0}^{n-1}\sin(k\pi /n+\theta )\end{aligned}}} 23184: 32840: 40854: 26691: 37872: 26483: 47212: 42144: 19414: 17011: 16859: 31329: 46532: 32424: 40263: 14436: 46866: 41831: 27648: 21856: 16237: 30472: 21998: 35763: 880: 43100: 362: 47952:. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 72. 47534:. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 73. 31134: 29000: 35957: 27642: 27504: 40251:{\displaystyle {\begin{aligned}\cos 10^{\circ }\cdot \cos 50^{\circ }\cdot \cos 70^{\circ }&={\frac {\sqrt {3}}{8}},\\\cos 15^{\circ }\cdot \cos 45^{\circ }\cdot \cos 75^{\circ }&={\frac {\sqrt {2}}{8}},\\\cos 15^{\circ }\cdot \cos 75^{\circ }&={\frac {1}{4}}.\end{aligned}}} 21323: 15324: 982: 26697: 17936: 40806:{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{21}}+\cos \left(2\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)={\frac {1}{2}}.} 39612: 29221: 38899: 38820: 29109: 28884: 21329: 16052: 30148: 13971:{\displaystyle {\begin{aligned}{\sec }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\{\csc }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}} 33525: 37952: 43138: 26280: 37620: 41064: 16584: 9581: 9415: 32642: 37701: 40014: 39572: 22558:{\displaystyle {\begin{aligned}&\cos {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}\\\\&\left({\text{or }}\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1+\cos \theta }{2}}\right)\end{aligned}}} 22381:{\displaystyle {\begin{aligned}&\sin {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\\\\&\left({\text{or }}\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{2}}\right)\end{aligned}}} 17017: 16444: 14108: 23381:{\displaystyle {\begin{aligned}\cot {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta +\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}\\&={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}\\&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}\end{aligned}}} 18561: 30633: 24619: 16695: 29714: 29311: 42012: 35259: 29942: 29499: 39328: 37450: 35090: 19142: 26497: 31879: 46336: 41421: 32266: 40555: 46654: 43839: 41662: 39416: 30803: 27366: 27272: 27178: 27084: 22574: 7052: 6815: 34839: 35367: 24283: 18555: 26286: 41521: 30283: 41054:{\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {\pi }{3}}&=1,\\2\cos {\frac {\pi }{5}}\times 2\cos {\frac {2\pi }{5}}&=1,\\2\cos {\frac {\pi }{7}}\times 2\cos {\frac {2\pi }{7}}\times 2\cos {\frac {3\pi }{7}}&=1,\end{aligned}}} 35561: 23983: 18389: 10040: 760: 42969: 39889: 39191: 30268: 24491: 24388: 22204: 22101: 17293: 9876: 43529: 31007: 20026: 35447: 33417: 32540: 35767: 16865: 16713: 43682: 33520: 39098: 25885: 25226: 15404: 27886:{\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{k=1}^{n}\cos \theta _{k}&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{e\in S}\cos(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\\&{\text{where }}e=(e_{1},\ldots ,e_{n})\in S=\{1,-1\}^{n}\end{aligned}}} 9717: 9249: 42003: 41928: 47359:{\displaystyle \cos {\frac {\theta }{2}}\cdot \cos {\frac {\theta }{4}}\cdot \cos {\frac {\theta }{8}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos {\frac {\theta }{2^{n}}}={\frac {\sin \theta }{\theta }}=\operatorname {sinc} \theta .} 42342: 38824: 38745: 42214: 21714: 16058: 43391: 43232: 20010: 15710: 14468: 41307: 24173: 24079: 23719: 21862: 17469: 17381: 39013: 11359: 10292: 29967: 34919: 31551:{\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=a^{2}+b^{2}+2ab\cos \left(\theta _{a}-\theta _{b}\right),\\\tan \varphi &={\frac {a\sin \theta _{a}+b\sin \theta _{b}}{a\cos \theta _{a}+b\cos \theta _{b}}}.\end{aligned}}} 31280: 5728: 5401: 5074: 4747: 4420: 4093: 28897: 23879: 23800: 21703: 21622: 16318: 41651: 27510: 27372: 5602: 5275: 4948: 4621: 4294: 3967: 37493: 31767: 40442:{\displaystyle {\begin{aligned}\tan 50^{\circ }\cdot \tan 60^{\circ }\cdot \tan 70^{\circ }&=\tan 80^{\circ },\\\tan 40^{\circ }\cdot \tan 30^{\circ }\cdot \tan 20^{\circ }&=\tan 10^{\circ }.\end{aligned}}} 21202: 15147: 12570: 26928:{\displaystyle \sin ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}(-1)^{\left({\frac {n}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}} 18227:{\displaystyle \cos(n\theta )=\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta =\sum _{i=0}^{n/2}\sum _{j=0}^{i}(-1)^{i-j}{n \choose 2i}{i \choose j}\cos ^{n-2(i-j)}\theta } 3112: 3005: 2803: 2691: 2599: 2429: 2285: 2110: 1924: 1864: 1605: 1545: 34997: 34495: 23189: 11156: 7263: 35163: 34650: 10210: 6581: 6375: 6169: 5963: 34577: 31666: 29115: 21536:{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(2\theta )&=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \\&=2\cos ^{2}\theta -1\\&=1-2\sin ^{2}\theta \\&={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}} 9113: 8991: 29006: 28781: 20873: 11773: 5812: 5485: 5158: 4831: 4504: 4177: 34728: 33867: 30531: 34401: 23633: 23563: 10166: 7115: 6878: 40847: 39896: 39454: 35985: 15910: 31900: 27653: 14122: 13713: 3164: 2743: 2369: 2225: 1804: 1657: 34145: 19133: 1160:{\displaystyle {\begin{aligned}&1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta \\&1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \\&\sec ^{2}\theta +\csc ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \csc ^{2}\theta \end{aligned}}} 43879: 26133: 19760: 35493: 15898: 6698: 6492: 6286: 6080: 30538: 25970: 15063: 7175: 6938: 39762:{\displaystyle {\begin{aligned}\sin 15^{\circ }\cdot \sin 45^{\circ }\cdot \sin 75^{\circ }&={\frac {\sqrt {2}}{8}},\\\sin 15^{\circ }\cdot \sin 75^{\circ }&={\frac {1}{4}}.\end{aligned}}} 29548: 16450: 43925: 32253: 11122: 11120: 11065: 548: 43935: 42501: 42272: 40859: 40268: 40026: 39617: 38486: 36477: 34295: 32852: 31334: 31012: 29730: 29390: 22397: 22220: 21867: 21719: 21334: 21207: 19147: 17492: 10365: 9486: 9320: 8339: 3489: 987: 765: 477: 419: 39198: 34221: 32635: 24976: 15595: 30958: 25626: 35539: 17185:{\displaystyle \tan(3\theta )={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}=\tan \theta \tan \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\tan \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)} 6635: 6429: 6223: 6017: 5656: 5329: 5002: 4675: 4348: 4021: 3052: 2850: 2539: 2050: 1971: 1485: 11008: 33731:{\displaystyle f{\big (}g(x){\big )}=g{\big (}f(x){\big )}={\frac {{\big (}\cos(\alpha +\beta ){\big )}x-\sin(\alpha +\beta )}{{\big (}\sin(\alpha +\beta ){\big )}x+\cos(\alpha +\beta )}}.} 31772: 25747: 25088: 16324: 14733: 14689: 10956: 10350: 41312: 37942: 14821: 14777: 5538: 5211: 4884: 4557: 4230: 3903: 40454: 18759:{\displaystyle \tan(n\theta )={\frac {\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\tan ^{k}\theta }{\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\tan ^{k}\theta }}} 8811: 7243: 3525: 39335: 30693: 28658: 8864: 3774: 3356:-unit vector. The same concept may also be applied to lines in a Euclidean space, where the angle is that determined by a parallel to the given line through the origin and the positive 41209:{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{3}}+\cos {\frac {\pi }{5}}\times \cos {\frac {2\pi }{5}}+\cos {\frac {\pi }{7}}\times \cos {\frac {2\pi }{7}}\times \cos {\frac {3\pi }{7}}+\dots =1.} 3715: 3661: 3200: 2913: 2465: 2173: 1725: 1438: 15842: 15803: 24497: 16590: 14066: 9625: 9459: 9293: 9157: 9035: 8913: 46926: 46649: 34021: 28458: 28412: 11294: 10084: 9920: 9761: 41428: 32835:{\displaystyle 2\sin \alpha \sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha +2\sin \alpha \cos 3\alpha +2\sin \alpha \cos 5\alpha +\ldots +2\sin \alpha \cos(2n-1)\alpha } 29227: 15442: 15139: 15101: 8712: 8674: 8317: 8279: 39807: 39109: 35169: 30171: 29375: 697: 37375: 35003: 26686:{\displaystyle \cos ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}} 11347: 622: 37867:{\displaystyle \csc(\arccos x)={\frac {1}{\sin(\arccos x)}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\qquad {\text{ and }}\quad \sec(\arccos x)={\frac {1}{\cos(\arccos x)}}={\frac {1}{x}}.} 33319: 32433: 25691: 25412: 25032: 24808: 14924: 11240: 5881: 3444: 3307: 26119: 26085: 25917: 25569: 25537: 25505: 25444: 25376: 25315: 24913: 24872: 24840: 24772: 24662: 15506: 15474: 15009: 14860: 14645: 977: 944: 655: 583: 37696: 37658: 37488: 19869: 8207: 19813: 14950: 14106: 39802: 39607: 39449: 33422: 33274: 28696: 25655: 25473: 25344: 24691: 24632: 19621: 19572: 2945: 2631: 2317: 2003: 1689: 1375: 749: 39029: 28522: 26028: 26002: 18983: 18936: 3821: 3227: 2877: 2492: 2137: 1752: 1402: 1343: 1316: 1289: 1262: 1235: 1208: 33785: 28490: 14977: 11154: 43688: 27278: 27184: 27090: 26996: 24720: 14889: 14561: 14532: 6967: 6730: 41937: 41865: 33944: 26478:{\displaystyle \sin ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}(-1)^{\left({\frac {n-1}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\sin {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}} 25795: 25136: 3849: 3600: 42276: 34736: 31322: 31162: 31000: 30877: 29537: 28776: 28326: 19522: 19451: 18889: 15752: 8869: 3417: 3334: 909: 42151: 42139:{\displaystyle \pi =\arccos {\frac {4}{5}}+\arccos {\frac {5}{13}}+\arccos {\frac {16}{65}}=\arcsin {\frac {3}{5}}+\arcsin {\frac {12}{13}}+\arcsin {\frac {63}{65}}.} 35267: 33758: 28756: 28306: 25767: 25283: 25108: 24740: 24179: 19480: 19015: 18395: 8735: 5854: 3795: 3736: 3682: 3628: 3574: 3545: 3394: 3280: 47166: 47140: 47059: 47009: 43142: 41562: 28600: 19878: 19647: 8755: 8163: 46565: 41221: 18852: 18820: 14005: 11190: 6722: 6516: 6310: 6104: 38910: 33918: 33311: 30671: 23885: 18238: 14496: 9947: 7196: 6959: 28574: 28548: 25263: 24394: 24291: 22107: 22004: 19409:{\displaystyle {\begin{aligned}\cos((n-1)x+x)&=\cos((n-1)x)\cos x-\sin((n-1)x)\sin x\\\cos((n-1)x-x)&=\cos((n-1)x)\cos x+\sin((n-1)x)\sin x\end{aligned}}} 17196: 17006:{\displaystyle \cos(3\theta )=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta =4\cos \theta \cos \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\cos \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)} 16854:{\displaystyle \sin(3\theta )=3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta =4\sin \theta \sin \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\sin \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)} 14613: 14587: 9788: 43397: 31176: 47186: 46958: 46585: 35373: 33889: 33805: 31302: 30980: 30857: 28736: 28716: 28620: 28366: 28346: 24996: 23450: 10231: 10105: 9941: 9782: 9646: 9480: 9314: 9178: 9056: 8934: 3374: 3354: 41567: 46527:{\displaystyle 1+2\cos x+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots +2\cos(nx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}x\right)}}.} 32419:{\displaystyle D_{n}(\theta )=1+2\sum _{k=1}^{n}\cos k\theta ={\frac {\sin \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}.} 31671: 43535: 46861:{\displaystyle \sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}};\qquad \cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}};\qquad e^{ix}={\frac {1+it}{1-it}};\qquad dx={\frac {2\,dt}{1+t^{2}}},} 41826:{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\sin {\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}=\prod _{k=1}^{n}\cos {\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}={\frac {\sqrt {2}}{2^{n}}}} 48421: 186: 48207: 25800: 25141: 15329: 31576: 21851:{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(3\theta )&=-\sin ^{3}\theta +3\cos ^{2}\theta \sin \theta \\&=-4\sin ^{3}\theta +3\sin \theta \end{aligned}}} 16232:{\displaystyle \cos(2\theta )=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}} 9652: 9184: 363: 14432: 30467:{\displaystyle \sin(nx)=2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left({\frac {k}{n}}\pi +x\right)=2^{n-1}\prod _{k=1}^{n}\sin \left({\frac {k}{n}}\pi -x\right).} 21993:{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(3\theta )&=\cos ^{3}\theta -3\sin ^{2}\theta \cos \theta \\&=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \end{aligned}}} 43927: 35758:{\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}},} 3547: 875:{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }},\\\cos \theta &=\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}.\end{aligned}}} 43263: 43095:{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\arctan \left({\frac {a}{b}}\right)+\arctan \left({\frac {c}{d}}\right)+\arctan \left({\frac {bd-ac}{ad+bc}}\right)} 33810: 23394: 15616: 31129:{\displaystyle {\begin{aligned}c&=\operatorname {sgn}(a){\sqrt {a^{2}+b^{2}}},\\\varphi &={\arctan }{\bigl (}{-b/a}{\bigr )},\end{aligned}}} 30887: 24085: 23991: 23639: 17387: 17299: 48459: 28995:{\displaystyle \sin \theta \pm \sin \varphi =2\sin \left({\frac {\theta \pm \varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta \mp \varphi }{2}}\right)} 10237: 35952:{\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.} 27637:{\displaystyle \tan \theta \,\cot \varphi ={\frac {\sin(\theta +\varphi )+\sin(\theta -\varphi )}{\sin(\theta +\varphi )-\sin(\theta -\varphi )}}} 27499:{\displaystyle \tan \theta \,\tan \varphi ={\frac {\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi )}{\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi )}}} 34845: 5662: 5335: 5008: 4681: 4354: 4027: 34042: 23806: 23727: 21628: 21547: 21318:{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(2\theta )&=2\sin \theta \cos \theta \ \\&={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}} 19022: 16243: 15319:{\displaystyle |{\overline {AC}}|\cdot |{\overline {BD}}|=|{\overline {AB}}|\cdot |{\overline {CD}}|+|{\overline {AD}}|\cdot |{\overline {BC}}|} 23460: 19652: 5544: 5217: 4890: 4563: 4236: 3909: 8222: 3058: 2951: 2749: 2637: 2545: 2375: 2231: 2056: 1870: 1810: 1551: 1491: 47443: 41659: 34927: 34425: 29216:{\displaystyle \cos \theta -\cos \varphi =-2\sin \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\sin \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)} 182: 38894:{\displaystyle \arcsin {\frac {1}{x}}=\operatorname {arccsc} x\qquad {\text{ and }}\qquad \operatorname {arccsc} {\frac {1}{x}}=\arcsin x} 38815:{\displaystyle \arccos {\frac {1}{x}}=\operatorname {arcsec} x\qquad {\text{ and }}\qquad \operatorname {arcsec} {\frac {1}{x}}=\arccos x} 35098: 34585: 29104:{\displaystyle \cos \theta +\cos \varphi =2\cos \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)} 28879:{\displaystyle \sin \theta +\sin \varphi =2\sin \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)} 10177: 8866:. They can also be derived by using a slightly modified version of the figure for the angle sum identities, both of which are shown here. 6524: 6318: 6112: 5906: 492: 336: 47914: 42887: 42218: 34501: 34225: 8239: 3449: 34156: 32551: 9062: 8940: 30892: 5734: 5407: 5080: 4753: 4426: 4099: 192: 34656: 16047:{\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta =(\sin \theta +\cos \theta )^{2}-1={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}} 30143:{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\left(2a+2\cos \left({\frac {2\pi km}{n}}+x\right)\right)=2\left(T_{n}(a)+{(-1)}^{n+m}\cos(nx)\right)} 30483: 23569: 23499: 10111: 7058: 6821: 17: 47380: 30812: 26275:{\displaystyle \cos ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}} 37615:{\displaystyle \cot(\arcsin x)={\frac {1}{\tan(\arcsin x)}}={\frac {1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}} 3118: 2697: 2323: 2179: 1758: 1611: 23413: 23395: 284: 35456: 26973: 16579:{\displaystyle \sec(2\theta )={\frac {\sec ^{2}\theta }{2-\sec ^{2}\theta }}={\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan ^{2}\theta }}} 15847: 8226: 6641: 6435: 6229: 6023: 48613: 48281: 48253: 47957: 47539: 25922: 7121: 6884: 46612: 40559: 33966: 15014: 11253: 9576:{\displaystyle {\frac {\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta }{\csc \alpha \csc \beta \mp \sec \alpha \sec \beta }}} 9410:{\displaystyle {\frac {\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta }{\sec \alpha \csc \beta \pm \csc \alpha \sec \beta }}} 42440:. This last expression can be computed directly using the formula for the cotangent of a sum of angles whose tangents are 15727: 43882: 34405: 32210: 25239: 47740: 11070: 11012: 424: 366: 24918: 15537: 48716: 47458: 36467: 30832: 25574: 24628: 15731: 353: 40009:{\displaystyle \cos x\cdot \cos \left(60^{\circ }-x\right)\cdot \cos \left(60^{\circ }+x\right)={\frac {\cos 3x}{4}}.} 39567:{\displaystyle \sin x\cdot \sin \left(60^{\circ }-x\right)\cdot \sin \left(60^{\circ }+x\right)={\frac {\sin 3x}{4}}.} 35500: 19483: 16439:{\displaystyle \cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{2\tan \theta }}} 8235: 6587: 6381: 6175: 5969: 5608: 5281: 4954: 4627: 4300: 3973: 3011: 2809: 2498: 2009: 1930: 1444: 48086: 47756: 40451: 28284: 14427: 25235: 10961: 48706: 15103:. The quadrilateral's other diagonal is the diameter of length 1, so the product of the diagonals' lengths is also 14694: 14650: 358: 37883: 25695: 25036: 14782: 14738: 10913: 10307: 5493: 5166: 4839: 4512: 4185: 3858: 46604: 36462: 30836: 29323: 14012: 11247: 8760: 7211: 3496: 84: 48245: 30628:{\displaystyle \operatorname {crd} (nx)=\prod _{k=1}^{n}\operatorname {crd} \left({\frac {k}{n}}2\pi -x\right).} 28625: 24614:{\displaystyle \sin ^{5}\theta \cos ^{5}\theta ={\frac {10\sin(2\theta )-5\sin(6\theta )+\sin(10\theta )}{512}}} 16690:{\displaystyle \csc(2\theta )={\frac {\sec \theta \csc \theta }{2}}={\frac {1+\tan ^{2}\theta }{2\tan \theta }}} 8816: 3741: 3687: 3633: 3170: 2883: 2435: 2143: 1695: 1408: 29709:{\displaystyle \cot(z-a_{1})\cdots \cot(z-a_{n})=\cos {\frac {n\pi }{2}}+\sum _{k=1}^{n}A_{n,k}\cot(z-a_{k}).} 29306:{\displaystyle \tan \theta \pm \tan \varphi ={\frac {\sin(\theta \pm \varphi )}{\cos \theta \,\cos \varphi }}} 28886:. Similarly, the sum of the widths of the red and blue triangles yields the corresponding identity for cosine. 15773: 48121: 28288: 15808: 14022: 9592: 9426: 9260: 9124: 9002: 8880: 46871: 35254:{\displaystyle \operatorname {arcsec} x=-i\,\ln \left({\frac {1}{x}}+i{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)} 29937:{\displaystyle \cot(z-a_{1})\cot(z-a_{2})=-1+\cot(a_{1}-a_{2})\cot(z-a_{1})+\cot(a_{2}-a_{1})\cot(z-a_{2}).} 29494:{\displaystyle A_{n,k}=\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq k\end{smallmatrix}}\cot(a_{k}-a_{j})} 28417: 28371: 10051: 9887: 9728: 43240: 39323:{\displaystyle \prod _{j=0}^{k-1}\cos \left(2^{j}x\right)={\frac {\sin \left(2^{k}x\right)}{2^{k}\sin x}}.} 37445:{\displaystyle \csc ={\frac {1}{\sin }},\;\sec ={\frac {1}{\cos }},{\text{ and }}\cot ={\frac {1}{\tan }}.} 35085:{\displaystyle \operatorname {arccsc} x=-i\,\ln \left({\frac {i}{x}}+{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)} 30638: 40815: 15409: 15106: 15068: 8679: 8641: 8284: 8246: 329:, which are identities potentially involving angles but also involving side lengths or other lengths of a 47375: 29334: 14437: 3242: 660: 80: 11299: 588: 47473: 47385: 46592: 25660: 25381: 25001: 24777: 21169: 14894: 11195: 5859: 3422: 3285: 341: 277: 228: 177: 111: 31874:{\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sum _{i}a_{i}\sin \theta _{i}}{\sum _{i}a_{i}\cos \theta _{i}}}.} 30816: 26949: 26091: 26057: 25890: 25542: 25510: 25478: 25417: 25349: 25288: 24877: 24845: 24813: 24745: 24635: 15479: 15447: 14982: 14833: 14618: 949: 916: 627: 555: 47448: 41416:{\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\cos {\frac {k\pi }{n}}={\frac {\sin {\frac {\pi n}{2}}}{2^{n-1}}}.} 37663: 37625: 37455: 21174: 19818: 8172: 885: 40839: 40550:{\displaystyle \cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac {1}{2}}.} 38652: 38531: 27996: 19765: 14929: 14070: 7826: 7512: 7323: 1169: 47629: 47414: 43834:{\displaystyle \sin(t\cos x)=2\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}J_{2k+1}(t)\cos {\big (}(2k+1)x{\big )}} 39774: 39579: 39421: 39411:{\displaystyle \sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{8}}} 33250: 30798:{\displaystyle z^{n}-1=\prod _{k=1}^{n}\left(z-\exp {\Bigl (}{\frac {k}{n}}2\pi i{\Bigr )}\right).} 28663: 27361:{\displaystyle \cos \theta \,\sin \varphi ={\sin(\theta +\varphi )-\sin(\theta -\varphi ) \over 2}} 27267:{\displaystyle \sin \theta \,\cos \varphi ={\sin(\theta +\varphi )+\sin(\theta -\varphi ) \over 2}} 27173:{\displaystyle \sin \theta \,\sin \varphi ={\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi ) \over 2}} 27079:{\displaystyle \cos \theta \,\cos \varphi ={\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi ) \over 2}} 25631: 25449: 25320: 24667: 19576: 19527: 7047:{\displaystyle \cot(\theta \pm {\tfrac {\pi }{4}})={\tfrac {\cot \theta \mp 1}{1\pm \cot \theta }}} 6810:{\displaystyle \tan(\theta \pm {\tfrac {\pi }{4}})={\tfrac {\tan \theta \pm 1}{1\mp \tan \theta }}} 2921: 2607: 2293: 1979: 1665: 1351: 708: 90: 40843:: the cosines are the real parts of the zeroes of those polynomials; the sum of the zeroes is the 33314: 31566: 28495: 26007: 25981: 18941: 18894: 11126: 3800: 3206: 2856: 2471: 2116: 1731: 1381: 1322: 1295: 1268: 1241: 1214: 1187: 47731: 34834:{\displaystyle \tan \theta =-i\,{\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}} 33763: 28463: 11132: 310: 68: 56: 51: 35362:{\displaystyle \cot \theta =i\,{\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}} 24696: 24278:{\displaystyle \sin ^{4}\theta \cos ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos(4\theta )+\cos(8\theta )}{128}}} 18550:{\displaystyle \cos(2n\theta )=(-1)^{n}2^{2n-1}\prod _{k=0}^{2n-1}\cos((1+2k)\pi /(4n)-\theta )} 14955: 14865: 14537: 14508: 48682: 48659: 47436: 46295: 37452: 37369: 33923: 26945: 26031: 25772: 25113: 23406:, which allows one to prove that trisection is in general impossible using the given tools, by 15601: 13695: 3828: 3604: 3579: 326: 318: 314: 306: 48260: 41516:{\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\tan {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{\sin {\frac {\pi n}{2}}}}} 34299: 31307: 31141: 30985: 30862: 29506: 28761: 28311: 19492: 19421: 18859: 15734: 3399: 3316: 891: 48711: 48545: 48186: 47947: 47671: 47529: 47453: 46588: 40840: 33743: 31889: 28741: 28291: 25752: 25268: 25093: 24725: 23978:{\displaystyle \sin ^{3}\theta \cos ^{3}\theta ={\frac {3\sin(2\theta )-\sin(6\theta )}{32}}} 19456: 18988: 18384:{\displaystyle \cos((2n+1)\theta )=(-1)^{n}2^{2n}\prod _{k=0}^{2n}\cos(k\pi /(2n+1)-\theta )} 15530: 10035:{\displaystyle \arccos \left(xy\mp {\sqrt {\left(1-x^{2}\right)\left(1-y^{2}\right)}}\right)} 8717: 5839: 3780: 3721: 3667: 3613: 3559: 3530: 3379: 3265: 270: 47843: 47201: 47145: 47119: 47038: 46988: 41532: 39884:{\displaystyle \sin 10^{\circ }\cdot \sin 50^{\circ }\cdot \sin 70^{\circ }={\frac {1}{8}}.} 39186:{\displaystyle \cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}},} 30263:{\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{2^{n-1}}}.} 28579: 24486:{\displaystyle \cos ^{5}\theta ={\frac {10\cos \theta +5\cos(3\theta )+\cos(5\theta )}{16}}} 24383:{\displaystyle \sin ^{5}\theta ={\frac {10\sin \theta -5\sin(3\theta )+\sin(5\theta )}{16}}} 22199:{\displaystyle \cot(3\theta )={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}} 22096:{\displaystyle \tan(3\theta )={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}} 19626: 17288:{\displaystyle \cot(3\theta )={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}} 9871:{\displaystyle \arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}\pm y{\sqrt {1-x^{2}{\vphantom {y}}}}\right)} 8740: 8142: 48686: 48216: 47975: 47557: 47488: 47478: 46547: 43858: 43524:{\displaystyle \sin(t\sin x)=2\sum _{k=0}^{\infty }J_{2k+1}(t)\sin {\big (}(2k+1)x{\big )}} 43134: 41851: 34150: 30160: 23465: 18825: 18793: 14421: 13983: 11168: 10352: 6704: 6498: 6292: 6086: 197: 116: 61: 48038: 35442:{\displaystyle \operatorname {arccot} x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {x-i}{x+i}}\right)} 33894: 33412:{\displaystyle f(x)={\frac {(\cos \alpha )x-\sin \alpha }{(\sin \alpha )x+\cos \alpha }},} 33287: 32535:{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha ={\frac {\sin(2n\alpha )}{2\sin \alpha }}.} 14472: 7181: 6944: 3336: 8: 47468: 47401: 46541: 41859: 30643: 28553: 28527: 25242: 23461: 23407: 19873: 14592: 14566: 14502: 13698:. The case of infinitely many terms can be proved by using some elementary inequalities. 702: 243: 159: 48420: 48220: 48004: 47822: 47805: 48605: 48552: 48490: 48430: 48138: 47171: 46943: 46570: 43677:{\displaystyle \cos(t\cos x)=J_{0}(t)+2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}J_{2k}(t)\cos(2kx)} 42006: 41656: 33954: 33874: 33790: 31287: 30965: 30842: 28721: 28701: 28605: 28351: 28331: 26950: 26035: 24981: 23435: 12559: 10216: 10090: 9926: 9767: 9631: 9465: 9299: 9163: 9041: 8919: 3359: 3339: 41: 47776: 40844: 33515:{\displaystyle g(x)={\frac {(\cos \beta )x-\sin \beta }{(\sin \beta )x+\cos \beta }},} 25657: 23480: 48632: 48628: 48609: 48599: 48591: 48509: 48494: 48453: 48277: 48249: 48183: 48092: 48082: 48035: 48001: 47979: 47963: 47953: 47935: 47840: 47752: 47626: 47561: 47545: 47535: 47517: 47431: 47396: 46930: 46292: 39093:{\displaystyle \arctan {\frac {1}{2}}=\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}.} 35968: 35453: 34406: 25880:{\textstyle \sin \left(\theta /2\right)=\pm {\sqrt {\left(1-\cos \theta \right)/2}}.} 25221:{\textstyle \cos \left(\theta /2\right)=\pm {\sqrt {\left(1+\cos \theta \right)/2}}.} 18776: 248: 152: 48142: 35555: 15399:{\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta } 48482: 48440: 48310: 48224: 48130: 47801: 47744: 47463: 46316: 46309: 35972: 32258: 30477: 26977: 26957: 26039: 23399: 9712:{\displaystyle {\frac {\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha }}} 9244:{\displaystyle {\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}} 41998:{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=5\arctan {\frac {1}{7}}+2\arctan {\frac {3}{79}}} 41923:{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}} 41218: 48601: 48548: 48243: 47971: 47949: 47553: 47531: 47426: 43852: 42337:{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}.} 39103: 29328: 26969: 14827: 484: 147: 76: 72: 47943: 47525: 42209:{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}},} 29419: 12205: 12045: 10748: 10489: 48691: 47409: 47189: 43386:{\displaystyle \cos(t\sin x)=J_{0}(t)+2\sum _{k=1}^{\infty }J_{2k}(t)\cos(2kx)} 43257: 43227:{\displaystyle \sin ^{2}18^{\circ }+\sin ^{2}30^{\circ }=\sin ^{2}36^{\circ }.} 41931: 34028: 29378: 26981: 23414: 23403: 20005:{\displaystyle \tan(nx)={\frac {\tan((n-1)x)+\tan x}{1-\tan((n-1)x)\tan x}}\,.} 15705:{\displaystyle \cos(n\theta )+i\sin(n\theta )=(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}} 15609: 15144: 258: 253: 142: 48660: 48486: 41302:{\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\sin {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{2^{n-1}}}} 24168:{\displaystyle \cos ^{4}\theta ={\frac {3+4\cos(2\theta )+\cos(4\theta )}{8}}} 24074:{\displaystyle \sin ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos(2\theta )+\cos(4\theta )}{8}}} 23714:{\displaystyle \sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta ={\frac {1-\cos(4\theta )}{8}}} 17464:{\displaystyle \csc(3\theta )={\frac {\csc ^{3}\theta }{3\csc ^{2}\theta -4}}} 17376:{\displaystyle \sec(3\theta )={\frac {\sec ^{3}\theta }{4-3\sec ^{2}\theta }}} 48700: 48134: 47205: 39008:{\displaystyle \arctan(nx)=\sum _{m=1}^{n}\arctan {\frac {x}{1+(m-1)mx^{2}}}} 34149: 30813: 30674: 29540: 15770:× base × height is calculated in two orientations. When upright, the area is 10287:{\displaystyle \operatorname {arccot} \left({\frac {xy\mp 1}{y\pm x}}\right)} 7250: 344:, and then simplifying the resulting integral with a trigonometric identity. 238: 48298: 48248:(illustrated ed.). Springer Science & Business Media. p. 185. 48169: 48096: 340: 48595: 48314: 48156: 47939: 47521: 47483: 47421: 40836: 35552: 34914:{\displaystyle \arctan x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i+x}{i-x}}\right)} 31275:{\displaystyle a\sin(x+\theta _{a})+b\sin(x+\theta _{b})=c\sin(x+\varphi )} 30820: 23457: 11123: 8231: 5723:{\displaystyle \cot \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=+\tan \theta } 5396:{\displaystyle \sec \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\csc \theta } 5069:{\displaystyle \csc \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\sec \theta } 4742:{\displaystyle \tan \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=+\cot \theta } 4415:{\displaystyle \cos \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\sin \theta } 4088:{\displaystyle \sin \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\cos \theta } 317: 298: 137: 33: 48512: 23874:{\displaystyle \cos ^{3}\theta ={\frac {3\cos \theta +\cos(3\theta )}{4}}} 23795:{\displaystyle \sin ^{3}\theta ={\frac {3\sin \theta -\sin(3\theta )}{4}}} 23456: 21698:{\displaystyle \cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}} 21617:{\displaystyle \tan(2\theta )={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}} 16313:{\displaystyle \tan(2\theta )={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}} 48303: 46537: 41855: 41646:{\displaystyle \prod _{k=1}^{m}\tan {\frac {k\pi }{2m+1}}={\sqrt {2m+1}}} 7208: 5597:{\displaystyle \cot \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\tan \theta } 5270:{\displaystyle \sec \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\csc \theta } 4943:{\displaystyle \csc \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sec \theta } 4616:{\displaystyle \tan \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cot \theta } 4289:{\displaystyle \cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin \theta } 3962:{\displaystyle \sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta } 3250: 752: 223: 121: 48445: 48119: 47748: 47624: 42932: 31762:{\displaystyle a^{2}=\sum _{i,j}a_{i}a_{j}\cos(\theta _{i}-\theta _{j})} 39023: 38904: 28622: 5824: 233: 213: 48228: 37372: 14926:. Therefore, the symmetrical pair of red triangles each has the angle 10299: 3107:{\displaystyle \pm {\frac {\cos \theta }{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}} 3000:{\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}{\sin \theta }}} 2798:{\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}} 2686:{\displaystyle \pm {\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}} 2594:{\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}{\cot \theta }}} 2424:{\displaystyle \pm {\frac {\csc \theta }{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}} 2280:{\displaystyle \pm {\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}} 2105:{\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}} 1919:{\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}{\tan \theta }}} 1859:{\displaystyle \pm {\frac {\sec \theta }{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}} 1600:{\displaystyle \pm {\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}} 1540:{\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}} 48517: 48191: 48043: 48009: 47848: 47634: 47497: 46284: 46280: 34992:{\displaystyle \csc \theta ={\frac {2i}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}} 34490:{\displaystyle \sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}} 28660:, and this is equal to twice the height of one purple triangle, i.e. 26960: 25887: 23469: 18783: 18780: 47983: 47789: 47565: 35158:{\displaystyle \sec \theta ={\frac {2}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}} 34645:{\displaystyle \cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}} 30823:, because the measured or observed data are linearly related to the 28328:. Both have a hypotenuse of length 1. Auxiliary angles, here called 10205:{\displaystyle \operatorname {arccot} x\pm \operatorname {arccot} y} 6576:{\displaystyle \sec(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\mp \csc \theta } 6370:{\displaystyle \csc(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\pm \sec \theta } 6164:{\displaystyle \cos(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\mp \sin \theta } 5958:{\displaystyle \sin(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\pm \cos \theta } 3313: 48435: 47771: 47391: 46982: 46288: 46270: 43245: 34572:{\displaystyle \arcsin x=-i\,\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)} 31661:{\displaystyle \sum _{i}a_{i}\sin(x+\theta _{i})=a\sin(x+\theta ),} 30817: 337: 330: 168: 48181: 47737: 14952: 9108:{\displaystyle \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta } 8986:{\displaystyle \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta } 48081:(6th ed.). Philadelphia: Saunders College Pub. p. 309. 47889: 47493: 46276: 46266: 43236: 40832: 29952: 25090:. The half-angle formula for cosine can be obtained by replacing 13694: 5807:{\displaystyle \cot(2\pi -\theta )=-\cot(\theta )=\cot(-\theta )} 5480:{\displaystyle \sec(2\pi -\theta )=+\sec(\theta )=\sec(-\theta )} 5153:{\displaystyle \csc(2\pi -\theta )=-\csc(\theta )=\csc(-\theta )} 4826:{\displaystyle \tan(2\pi -\theta )=-\tan(\theta )=\tan(-\theta )} 4499:{\displaystyle \cos(2\pi -\theta )=+\cos(\theta )=\cos(-\theta )} 4172:{\displaystyle \sin(2\pi -\theta )=-\sin(\theta )=\sin(-\theta )} 755:. This equation can be solved for either the sine or the cosine: 218: 47967: 47838: 47549: 34723:{\displaystyle \arccos x=-i\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)} 1177: 48636: 48407: 47734: 43129: 33948: 33862:{\displaystyle f_{\alpha }\circ f_{\beta }=f_{\alpha +\beta }.} 30526:{\textstyle \operatorname {crd} x\equiv 2\sin {\tfrac {1}{2}}x} 26940: 25749:. The half-angle formula for sine can be obtained by replacing 23452: 48033: 46333: 23628:{\displaystyle \cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos(2\theta )}{2}}} 23558:{\displaystyle \sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos(2\theta )}{2}}} 10161:{\displaystyle \arctan \left({\frac {x\pm y}{1\mp xy}}\right)} 8223: 7110:{\displaystyle \cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\tan \theta } 6873:{\displaystyle \tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\cot \theta } 48532: 41854: 39195: 32842: 29946: 15326:, this yields the angle sum trigonometric identity for sine: 1170: 322: 47999: 33279: 25265: 8139: 47834: 47832: 38725: 38602: 28261: 8714: 8119: 7761: 7447: 3159:{\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}} 2738:{\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}} 2364:{\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}} 2220:{\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}} 1799:{\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}} 1652:{\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}} 34140:{\displaystyle e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x.} 19482: 19128:{\displaystyle \cos(nx)=2\cos x\cos((n-1)x)-\cos((n-2)x).} 3493: 43252: 28524:. This allows the two congruent purple-outline triangles 19755:{\displaystyle \sin(nx)=2\cos x\sin((n-1)x)-\sin((n-2)x)} 15511: 8227: 47829: 46587: 46567: 35488:{\displaystyle \operatorname {cis} \theta =e^{i\theta }} 32545: 29381:, no two of which differ by an integer multiple of  26961: 15893:{\displaystyle \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta .} 6693:{\displaystyle \sec(\theta +k\cdot 2\pi )=+\sec \theta } 6487:{\displaystyle \csc(\theta +k\cdot 2\pi )=+\csc \theta } 6281:{\displaystyle \cos(\theta +k\cdot 2\pi )=+\cos \theta } 6075:{\displaystyle \sin(\theta +k\cdot 2\pi )=+\sin \theta } 48272: 47995: 47993: 41844: 30166: 26976: 25965:{\displaystyle \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta } 15058:{\textstyle 2\times {\frac {1}{2}}\sin(\alpha +\beta )} 7170:{\displaystyle \cot(\theta +k\cdot \pi )=+\cot \theta } 6933:{\displaystyle \tan(\theta +k\cdot \pi )=+\tan \theta } 3237: 48027: 32396: 32363: 32176: 32140: 32100: 32029: 31993: 31953: 31883: 30646: 30509: 30486: 26964:. Historically, the first four of these were known as 25803: 25698: 25144: 25039: 23150: 23135: 15811: 15017: 14958: 11073: 11015: 10964: 10958: 10916: 10310: 8216: 8089: 8064: 8000: 7955: 7913: 7869: 7737: 7718: 7654: 7622: 7564: 7539: 7078: 7005: 6987: 6841: 6768: 6750: 6544: 6338: 6132: 5926: 5678: 5560: 5351: 5233: 5024: 4906: 4697: 4579: 4370: 4252: 4043: 3925: 47215: 47174: 47148: 47122: 47041: 46991: 46946: 46874: 46657: 46615: 46573: 46550: 46339: 43933: 43885: 43691: 43538: 43400: 43266: 43145: 42972: 42499: 42279: 42221: 42154: 42015: 41940: 41868: 41665: 41570: 41535: 41431: 41315: 41224: 41067: 40857: 40565: 40457: 40266: 40024: 39899: 39810: 39777: 39615: 39582: 39457: 39424: 39338: 39201: 39112: 39032: 38913: 38827: 38748: 38629: 38508: 38484: 37950: 37886: 37704: 37666: 37628: 37496: 37458: 37378: 36475: 35983: 35770: 35564: 35503: 35459: 35376: 35270: 35172: 35101: 35006: 34930: 34848: 34739: 34659: 34588: 34504: 34428: 34228: 34159: 34045: 33969: 33926: 33897: 33877: 33813: 33793: 33766: 33746: 33528: 33425: 33322: 33290: 33253: 32850: 32645: 32554: 32436: 32269: 32213: 31898: 31775: 31674: 31579: 31332: 31310: 31290: 31179: 31144: 31010: 30988: 30968: 30895: 30865: 30845: 30696: 30541: 30286: 30174: 29970: 29733: 29551: 29509: 29393: 29337: 29230: 29118: 29009: 28900: 28784: 28764: 28744: 28724: 28704: 28666: 28628: 28608: 28582: 28556: 28530: 28498: 28466: 28420: 28374: 28354: 28334: 28314: 28294: 28132: 27999: 27900: 27651: 27513: 27375: 27281: 27187: 27093: 26999: 26700: 26500: 26289: 26136: 26094: 26060: 26010: 25984: 25925: 25893: 25775: 25755: 25663: 25634: 25577: 25545: 25513: 25481: 25452: 25420: 25384: 25352: 25323: 25291: 25271: 25245: 25116: 25096: 25004: 24984: 24921: 24880: 24848: 24816: 24810:. That length is also equal to the summed lengths of 24780: 24748: 24728: 24699: 24670: 24638: 24500: 24397: 24294: 24182: 24088: 23994: 23888: 23809: 23730: 23642: 23572: 23502: 23468:, as they use intermediate complex numbers under the 23438: 23187: 22572: 22395: 22218: 22110: 22007: 21865: 21717: 21631: 21550: 21332: 21205: 20871: 20024: 19881: 19821: 19768: 19655: 19629: 19579: 19530: 19495: 19459: 19424: 19145: 19025: 18991: 18944: 18897: 18862: 18828: 18796: 18564: 18398: 18241: 17939: 17490: 17390: 17302: 17199: 17020: 16868: 16716: 16593: 16453: 16327: 16246: 16061: 15913: 15850: 15776: 15737: 15619: 15540: 15482: 15450: 15412: 15332: 15150: 15109: 15071: 14985: 14932: 14897: 14868: 14836: 14785: 14741: 14697: 14653: 14621: 14595: 14569: 14540: 14511: 14475: 14120: 14073: 14025: 13986: 13711: 12568: 12141: 11982: 11771: 11357: 11302: 11256: 11198: 11171: 11135: 10363: 10240: 10219: 10180: 10114: 10093: 10054: 9950: 9929: 9890: 9791: 9770: 9731: 9655: 9634: 9595: 9489: 9468: 9429: 9323: 9302: 9263: 9187: 9166: 9127: 9065: 9044: 9005: 8943: 8922: 8883: 8819: 8763: 8743: 8720: 8682: 8644: 8337: 8287: 8249: 8175: 8145: 7261: 7214: 7184: 7124: 7061: 6970: 6947: 6887: 6824: 6733: 6707: 6644: 6590: 6527: 6501: 6438: 6384: 6321: 6295: 6232: 6178: 6115: 6089: 6026: 5972: 5909: 5862: 5842: 5737: 5665: 5611: 5547: 5496: 5410: 5338: 5284: 5220: 5169: 5083: 5011: 4957: 4893: 4842: 4756: 4684: 4630: 4566: 4515: 4429: 4357: 4303: 4239: 4188: 4102: 4030: 3976: 3912: 3861: 3831: 3803: 3783: 3744: 3724: 3690: 3670: 3636: 3616: 3582: 3562: 3533: 3499: 3452: 3425: 3402: 3382: 3362: 3342: 3319: 3288: 3268: 3209: 3173: 3121: 3061: 3014: 2954: 2924: 2886: 2859: 2812: 2752: 2700: 2640: 2610: 2548: 2501: 2474: 2438: 2378: 2326: 2296: 2234: 2182: 2146: 2119: 2059: 2012: 1982: 1933: 1873: 1813: 1761: 1734: 1698: 1668: 1614: 1554: 1494: 1447: 1411: 1384: 1354: 1325: 1298: 1271: 1244: 1217: 1190: 985: 952: 919: 894: 763: 711: 663: 630: 591: 558: 495: 427: 369: 48568:. Krishna Prakashan Media. Meerut, India. page 636. 47990: 47620: 47618: 47616: 47614: 43920:{\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ },} 32248:{\displaystyle \theta \not \equiv 0{\pmod {2\pi }}.} 31171: 11115:{\textstyle \lim _{i\to \infty }\cos \theta _{i}=1.} 11060:{\textstyle \lim _{i\to \infty }\sin \theta _{i}=0,} 8243: 543:{\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,} 48625: 48536:(1993, Mathematical Association of America), p. 39. 47817: 47815: 47777: 42267:{\displaystyle \pi =\arctan 1+\arctan 2+\arctan 3,} 34290:{\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}} 19137:This can be proved by adding together the formulae 10300: 3484:{\displaystyle \theta ^{\prime }=2\alpha -\theta .} 472:{\displaystyle \tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta } 414:{\displaystyle 1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta } 48241: 47358: 47180: 47160: 47134: 47053: 47003: 46952: 46920: 46860: 46643: 46598: 46579: 46559: 46526: 46250: 43919: 43833: 43676: 43523: 43385: 43226: 43094: 42877: 42336: 42266: 42208: 42138: 41997: 41922: 41825: 41645: 41556: 41515: 41415: 41301: 41208: 41053: 40805: 40549: 40441: 40250: 40008: 39883: 39796: 39761: 39601: 39566: 39443: 39410: 39322: 39185: 39092: 39007: 38893: 38814: 38735: 38468: 37936: 37866: 37690: 37652: 37614: 37482: 37444: 37358: 36456: 36446: 35951: 35757: 35533: 35487: 35441: 35361: 35253: 35157: 35084: 34991: 34913: 34833: 34722: 34644: 34571: 34489: 34289: 34216:{\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}} 34215: 34139: 34015: 33938: 33912: 33883: 33861: 33799: 33779: 33752: 33730: 33514: 33411: 33305: 33268: 33237: 32834: 32630:{\displaystyle \sin(A+B)-\sin(A-B)=2\cos A\sin B.} 32629: 32534: 32418: 32247: 32199: 31873: 31761: 31660: 31550: 31316: 31296: 31274: 31156: 31128: 30994: 30974: 30952: 30871: 30851: 30797: 30665: 30627: 30525: 30466: 30262: 30142: 29936: 29718:The simplest non-trivial example is the case  29708: 29531: 29493: 29369: 29305: 29215: 29103: 28994: 28878: 28770: 28750: 28730: 28710: 28690: 28652: 28614: 28594: 28568: 28542: 28516: 28484: 28452: 28406: 28360: 28340: 28320: 28300: 28267: 27885: 27636: 27498: 27360: 27266: 27172: 27078: 26927: 26685: 26477: 26274: 26113: 26079: 26022: 25996: 25964: 25911: 25879: 25789: 25761: 25741: 25685: 25649: 25620: 25563: 25531: 25499: 25467: 25438: 25406: 25370: 25338: 25309: 25277: 25257: 25220: 25130: 25102: 25082: 25026: 24990: 24971:{\displaystyle 2\cos ^{2}\theta =1+\cos(2\theta )} 24970: 24907: 24866: 24834: 24802: 24766: 24734: 24714: 24685: 24656: 24613: 24485: 24382: 24277: 24167: 24073: 23977: 23873: 23794: 23713: 23627: 23557: 23444: 23380: 23172: 22557: 22380: 22198: 22095: 21992: 21850: 21697: 21616: 21535: 21317: 21153: 20855: 20004: 19863: 19807: 19754: 19641: 19615: 19566: 19516: 19474: 19445: 19408: 19127: 19009: 18977: 18930: 18883: 18846: 18814: 18758: 18549: 18383: 18226: 17924: 17463: 17375: 17287: 17184: 17005: 16853: 16689: 16578: 16438: 16312: 16231: 16046: 15892: 15836: 15797: 15746: 15704: 15590:{\displaystyle \cos(n\theta )=T_{n}(\cos \theta )} 15589: 15500: 15468: 15436: 15398: 15318: 15133: 15095: 15057: 15003: 14971: 14944: 14918: 14883: 14854: 14830:theorem, the central angle subtended by the chord 14815: 14771: 14727: 14683: 14639: 14607: 14581: 14563:are both right angles. The right-angled triangles 14555: 14526: 14490: 14428:History of trigonometry § Classical antiquity 14405: 14100: 14060: 13999: 13970: 13684: 12546: 11753: 11341: 11288: 11234: 11184: 11160: 11148: 11114: 11059: 11002: 10950: 10900: 10344: 10286: 10225: 10204: 10160: 10099: 10078: 10034: 9935: 9914: 9870: 9776: 9755: 9711: 9640: 9619: 9575: 9474: 9453: 9409: 9308: 9287: 9243: 9172: 9151: 9107: 9050: 9029: 8985: 8928: 8907: 8858: 8805: 8749: 8729: 8706: 8668: 8628: 8311: 8273: 8201: 8157: 8129: 7237: 7190: 7169: 7109: 7046: 6953: 6932: 6872: 6809: 6716: 6692: 6629: 6575: 6510: 6486: 6423: 6369: 6304: 6280: 6217: 6163: 6098: 6074: 6011: 5957: 5875: 5848: 5806: 5722: 5650: 5596: 5532: 5479: 5395: 5323: 5269: 5205: 5152: 5068: 4996: 4942: 4878: 4825: 4741: 4669: 4615: 4551: 4498: 4414: 4342: 4288: 4224: 4171: 4087: 4015: 3961: 3897: 3843: 3815: 3789: 3768: 3730: 3709: 3676: 3655: 3622: 3594: 3568: 3539: 3519: 3483: 3438: 3411: 3388: 3368: 3348: 3328: 3301: 3274: 3221: 3194: 3158: 3106: 3046: 2999: 2939: 2907: 2871: 2844: 2797: 2737: 2685: 2625: 2593: 2533: 2486: 2459: 2423: 2363: 2311: 2279: 2219: 2167: 2131: 2104: 2044: 1997: 1965: 1918: 1858: 1798: 1746: 1719: 1683: 1651: 1599: 1539: 1479: 1432: 1396: 1369: 1337: 1310: 1283: 1256: 1229: 1202: 1159: 971: 938: 903: 874: 743: 691: 649: 616: 577: 542: 471: 413: 47739:. ISSAC '89 (Portland US-OR, 1989-07). New York: 47611: 36410: 36182: 35975:formulae for trigonometric functions are useful: 33959:Euler's formula states that, for any real number 33920:is the slope of its rotation through an angle of 30953:{\displaystyle a\cos x+b\sin x=c\cos(x+\varphi )} 30782: 30756: 26984:for applications of the sum-to-product formulae. 26972:who used them for astronomical calculations. See 26876: 26863: 26758: 26740: 26634: 26621: 26558: 26540: 26426: 26413: 26223: 26210: 25621:{\displaystyle \cos 2\theta +2\sin ^{2}\theta =1} 18181: 18168: 18159: 18141: 18016: 18003: 17775: 17762: 17753: 17729: 17583: 17570: 13876: 13849: 13750: 13723: 12436: 12409: 11810: 11783: 10886: 10815: 10681: 10643: 10627: 10556: 10482: 10481: 10413: 10375: 48698: 48590: 48473:Humble, Steve (Nov 2004). "Grandma's identity". 48390: 47934: 47812: 47516: 43239:used this proposition to compute some angles in 35534:{\displaystyle \operatorname {arccis} x=-i\ln x} 26030:the following is true, and can be deduced using 13701: 11075: 11017: 10966: 6630:{\displaystyle \sec(\theta +\pi )=-\sec \theta } 6424:{\displaystyle \csc(\theta +\pi )=-\csc \theta } 6218:{\displaystyle \cos(\theta +\pi )=-\cos \theta } 6012:{\displaystyle \sin(\theta +\pi )=-\sin \theta } 5651:{\displaystyle \cot(\pi -\theta )=-\cot \theta } 5324:{\displaystyle \sec(\pi -\theta )=-\sec \theta } 4997:{\displaystyle \csc(\pi -\theta )=+\csc \theta } 4670:{\displaystyle \tan(\pi -\theta )=-\tan \theta } 4343:{\displaystyle \cos(\pi -\theta )=-\cos \theta } 4016:{\displaystyle \sin(\pi -\theta )=+\sin \theta } 3047:{\displaystyle \pm {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}} 2845:{\displaystyle \pm {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}} 2534:{\displaystyle \pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}} 2045:{\displaystyle \pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}} 1966:{\displaystyle \pm {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}} 1480:{\displaystyle \pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}} 48274:Handbook of Mathematical Formulas and Integrals 48052: 39017: 29317: 24998:yields the power-reduction formula for cosine: 11003:{\textstyle \lim _{i\to \infty }\theta _{i}=0,} 342:substitution rule with a trigonometric function 27:Equalities that involve trigonometric functions 47388:(values of sine and cosine expressed in surds) 43859:Further "conditional" identities for the case 37944:are in the domains of the relevant functions. 28890:The sum-to-product identities are as follows: 19484:Chebyshev polynomials#Trigonometric definition 12556:using the sine and cosine sum formulae above. 3446:of this reflected line (vector) has the value 313:and are true for every value of the occurring 48507: 48297:Fay, Temple H.; Kloppers, P. Hendrik (2001). 48177: 48175: 48079:An introduction to the history of mathematics 47930: 47928: 47116:. Thereby one converts rational functions of 43826: 43798: 43516: 43488: 33690: 33662: 33626: 33598: 33585: 33566: 33553: 33534: 31114: 31091: 29331:demonstrated the following identity. Suppose 26919: 26891: 26677: 26649: 26469: 26441: 26266: 26238: 25742:{\textstyle {\frac {1}{2}}(1-\cos(2\theta ))} 25083:{\textstyle {\frac {1}{2}}(1+\cos(2\theta ))} 18731: 18718: 18652: 18639: 15444:can be similarly derived by letting the side 14728:{\displaystyle {\overline {AD}}=\cos \alpha } 14684:{\displaystyle {\overline {AB}}=\sin \alpha } 11931: 11904: 11859: 11832: 10951:{\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}} 10345:{\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}} 8111: 8054: 7753: 7708: 278: 48458:: CS1 maint: multiple names: authors list ( 48381:Abramowitz and Stegun, p. 85, 4.5.68–69 48372:Abramowitz and Stegun, p. 75, 4.3.89–90 48363:Abramowitz and Stegun, p. 74, 4.3.65–66 48354:Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.26–31 48109:Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.34–39 48067:Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.31–33 48058:Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.27–28 48024:Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.24–26 47590:Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.13–15 47444:List of integrals of trigonometric functions 41061:and so forth for all odd numbers, and hence 37937:{\displaystyle x,r,s,-x,-r,{\text{ and }}-s} 37876:The following identities are implied by the 35962: 33949:Relation to the complex exponential function 28308:and the red right-angled triangle has angle 28279: 27870: 27854: 26987: 26941:Product-to-sum and sum-to-product identities 17475: 14816:{\displaystyle {\overline {CD}}=\cos \beta } 14772:{\displaystyle {\overline {BC}}=\sin \beta } 12238: 12214: 12078: 12054: 10783: 10757: 10524: 10498: 7441: 7429: 5533:{\displaystyle \cot(-\theta )=-\cot \theta } 5206:{\displaystyle \sec(-\theta )=+\sec \theta } 4879:{\displaystyle \csc(-\theta )=-\csc \theta } 4552:{\displaystyle \tan(-\theta )=-\tan \theta } 4225:{\displaystyle \cos(-\theta )=+\cos \theta } 3898:{\displaystyle \sin(-\theta )=-\sin \theta } 48296: 48206: 47195: 43132:showed in Book XIII, Proposition 10 of his 41930:or, alternatively, by using an identity of 41564:) we can make use of the symmetries to get 28778:yields a sum-to-product identity for sine: 23475: 8806:{\displaystyle \sin(-\beta )=-\sin(\beta )} 8210: 7238:{\displaystyle {-\pi }<\theta \leq \pi } 3520:{\displaystyle \theta ,\;\theta ^{\prime }} 979:, or both yields the following identities: 321:involving certain functions of one or more 48271: 48172: 47925: 47790:"On Tangents and Secants of Infinite Sums" 47599:Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.7–9 46291:were used in navigation. For example, the 37398: 32637:Then let's examine the following formula, 31560: 29947:Finite products of trigonometric functions 28653:{\displaystyle \sin \theta +\sin \varphi } 28251: 28247: 28241: 28118: 28114: 28108: 25797:and taking the square-root of both sides: 25138:and taking the square-root of both sides: 19762:This can be proved by adding formulae for 15717: 14862:at the circle's center is twice the angle 8859:{\displaystyle \cos(-\beta )=\cos(\beta )} 3769:{\displaystyle \alpha ={\frac {3\pi }{4}}} 3506: 285: 271: 48577:Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.23 48444: 48434: 48327:Abramowitz and Stegun, p. 74, 4.3.47 48242:Agarwal, Ravi P.; O'Regan, Donal (2008). 47863:Abramowitz and Stegun, p. 74, 4.3.48 47730: 47721:Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.34 47712:Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.33 47703:Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.32 47694:Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.19 47658:Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.18 47649:Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.17 47608:Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.16 46827: 46219: 46194: 46026: 46007: 42867: 42493:values are rational. With these values, 35286: 35191: 35025: 34758: 34523: 33280:Certain linear fractional transformations 32544:The proof is the following. By using the 29290: 27523: 27385: 27291: 27197: 27103: 27009: 23249: 22634: 19998: 10782: 10760: 10741: 10523: 10501: 5819: 3710:{\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{2}}} 3656:{\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{4}}} 3396:is reflected about a line with direction 3376:-axis. If a line (vector) with direction 3195:{\displaystyle {\frac {1}{\tan \theta }}} 2908:{\displaystyle {\frac {1}{\cot \theta }}} 2460:{\displaystyle {\frac {1}{\cos \theta }}} 2168:{\displaystyle {\frac {1}{\sec \theta }}} 1720:{\displaystyle {\frac {1}{\sin \theta }}} 1433:{\displaystyle {\frac {1}{\csc \theta }}} 347: 48647:(18th ed.), The Chemical Rubber Co. 48555:, New York, 1972, formulae 9.1.42–9.1.45 48345:Abramowitz and Stegun, p. 71, 4.3.1 48336:Abramowitz and Stegun, p. 71, 4.3.2 46260: 43124: 31166: 28576:to be constructed, each with hypotenuse 28283: 26944: 25317:of the red-outlined triangle has length 25234: 24627: 16701: 15837:{\textstyle {\frac {1}{2}}\sin 2\theta } 15798:{\displaystyle \sin \theta \cos \theta } 15726: 15722: 14431: 8238: 8230: 5823: 3249: 357: 48692:Complete List of Trigonometric Formulas 48622: 48118: 47871: 47869: 14061:{\displaystyle x_{i}=\tan \theta _{i},} 9620:{\displaystyle \cot(\alpha \pm \beta )} 9454:{\displaystyle \sec(\alpha \pm \beta )} 9288:{\displaystyle \csc(\alpha \pm \beta )} 9152:{\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta )} 9030:{\displaystyle \cos(\alpha \pm \beta )} 8908:{\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )} 8325:angle addition and subtraction theorems 701:This can be viewed as a version of the 14: 48699: 48526: 48472: 47381:Derivatives of trigonometric functions 46921:{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,} 46644:{\displaystyle t=\tan {\frac {x}{2}},} 43253:Composition of trigonometric functions 39418:is a special case of an identity with 38907:function can be expanded as a series: 34016:{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,} 30807: 28453:{\displaystyle q=(\theta -\varphi )/2} 28407:{\displaystyle p=(\theta +\varphi )/2} 23402:to the algebraic problem of solving a 20014: 18790:th multiple angle formula knowing the 15512:Multiple-angle and half-angle formulae 11289:{\displaystyle x_{i}=\tan \theta _{i}} 11129:When only finitely many of the angles 10079:{\displaystyle \arctan x\pm \arctan y} 9915:{\displaystyle \arccos x\pm \arccos y} 9756:{\displaystyle \arcsin x\pm \arcsin y} 487:is given by the Pythagorean identity: 48642: 48508: 48403: 48401: 48399: 48200: 48182: 48034: 48000: 47887: 47875: 47839: 47823:"Sine, Cosine, and Ptolemy's Theorem" 47787: 47672:"Angle Sum and Difference Identities" 47625: 47578: 47510: 23462:None of these solutions are reducible 23396:compass and straightedge construction 15805:. When on its side, the same area is 3262:) when shifting the reflection angle 48546:Milton Abramowitz and Irene Stegun, 48076: 47866: 47666: 47664: 30835:basis below, resulting in a simpler 15437:{\displaystyle \sin(\alpha -\beta )} 15134:{\displaystyle \sin(\alpha +\beta )} 15096:{\displaystyle \sin(\alpha +\beta )} 14415: 8707:{\displaystyle \cos(\alpha -\beta )} 8669:{\displaystyle \sin(\alpha -\beta )} 8638:The angle difference identities for 8312:{\displaystyle \cos(\alpha -\beta )} 8274:{\displaystyle \sin(\alpha -\beta )} 3238:Reflections, shifts, and periodicity 47915:"Multiple angles recursive formula" 47806:10.4169/amer.math.monthly.123.7.701 46303: 35546: 32546:angle sum and difference identities 32231: 31884:Lagrange's trigonometric identities 29370:{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}} 18770: 15406:. The angle difference formula for 8217:Angle sum and difference identities 692:{\displaystyle (\cos \theta )^{2}.} 483:The basic relationship between the 24: 48396: 47459:Proofs of trigonometric identities 47292: 43877:conditional trigonometric identity 43738: 43607: 43447: 43335: 42474:will be rational whenever all the 36345: 36251: 36117: 36023: 35886: 35680: 30882: 30833:in-phase and quadrature components 26867: 26744: 26625: 26544: 26417: 26214: 24700: 18722: 18643: 18172: 18145: 18007: 17766: 17733: 17574: 14869: 14541: 14512: 11342:{\displaystyle i=0,1,2,3,\ldots ,} 11085: 11027: 10976: 10933: 10664: 10396: 10327: 3512: 3458: 3431: 617:{\displaystyle (\sin \theta )^{2}} 421:, and the red triangle shows that 354:Pythagorean trigonometric identity 25: 48728: 48653: 48157:"Product Identity Multiple Angle" 47775:, volume 123, number 7, 701–703. 47773:The American Mathematical Monthly 47661: 47630:"Trigonometric Addition Formulas" 40851:Other cosine identities include: 29418: 26956:The product-to-sum identities or 25686:{\displaystyle \sin ^{2}\theta =} 25407:{\displaystyle 2\sin ^{2}\theta } 25027:{\displaystyle \cos ^{2}\theta =} 24803:{\displaystyle 2\cos ^{2}\theta } 14919:{\displaystyle 2(\alpha +\beta )} 12204: 12044: 11235:{\displaystyle k=0,1,2,3,\ldots } 10747: 10488: 5876:{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} 3439:{\displaystyle \theta ^{\prime }} 3302:{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}} 48276:(4th ed.). Academic Press. 47912: 47406:Laws for solution of triangles: 46298: 37877: 33740:More tersely stated, if for all 33315:linear fractional transformation 28738:in that equation in terms of 26114:{\displaystyle \sin ^{n}\theta } 26080:{\displaystyle \cos ^{n}\theta } 25912:{\displaystyle {\overline {EB}}} 25564:{\displaystyle {\overline {AD}}} 25532:{\displaystyle {\overline {DE}}} 25500:{\displaystyle {\overline {AE}}} 25439:{\displaystyle {\overline {AE}}} 25371:{\displaystyle {\overline {DE}}} 25310:{\displaystyle {\overline {BD}}} 24908:{\displaystyle 1+\cos(2\theta )} 24867:{\displaystyle {\overline {AF}}} 24835:{\displaystyle {\overline {BD}}} 24767:{\displaystyle {\overline {AE}}} 24664:of the blue triangle has length 24657:{\displaystyle {\overline {AD}}} 15501:{\displaystyle {\overline {BD}}} 15469:{\displaystyle {\overline {CD}}} 15004:{\displaystyle {\overline {AC}}} 14855:{\displaystyle {\overline {AC}}} 14640:{\displaystyle {\overline {BD}}} 8209:they take repeating values (see 972:{\displaystyle \cos ^{2}\theta } 939:{\displaystyle \sin ^{2}\theta } 705:, and follows from the equation 650:{\displaystyle \cos ^{2}\theta } 578:{\displaystyle \sin ^{2}\theta } 40: 48583: 48571: 48558: 48539: 48501: 48466: 48414: 48384: 48375: 48366: 48357: 48348: 48339: 48330: 48321: 48290: 48265: 48235: 48163: 48149: 48112: 48103: 48070: 48061: 48018: 47906: 47881: 47857: 47781: 47765: 47724: 47715: 47706: 47697: 47688: 46811: 46759: 46703: 46605:Tangent half-angle substitution 46599:Tangent half-angle substitution 42463:. In particular, the computed 38862: 38856: 38783: 38777: 37793: 37787: 37691:{\displaystyle \sec(\arccos x)} 37653:{\displaystyle \csc(\arccos x)} 37483:{\displaystyle \cot(\arcsin x)} 36463:Inverse trigonometric functions 36457:Inverse trigonometric functions 33247:So, dividing this formula with 33203: 33018: 32923: 32224: 30639:factorization of the polynomial 19864:{\displaystyle \sin((n-1)x-x).} 15476:serve as a diameter instead of 14013:elementary symmetric polynomial 11248:elementary symmetric polynomial 11161:Tangents and cotangents of sums 8202:{\displaystyle ({-\pi },\pi ],} 5828:Transformation of coordinates ( 3254:Transformation of coordinates ( 48643:Selby, Samuel M., ed. (1970), 47652: 47643: 47602: 47593: 47584: 47572: 46928:sometimes abbreviated to  46433: 46424: 46403: 46394: 46379: 46370: 46042: 46033: 46023: 46014: 46004: 45995: 45976: 45967: 45948: 45939: 45920: 45911: 45885: 45876: 45867: 45858: 45849: 45840: 45818: 45809: 45790: 45781: 45762: 45753: 45277: 45268: 45256: 45247: 45235: 45226: 45164: 45155: 45143: 45134: 45122: 45113: 45063: 45054: 45042: 45033: 45021: 45012: 44959: 44950: 44938: 44929: 44917: 44908: 43818: 43803: 43787: 43781: 43753: 43743: 43713: 43698: 43671: 43659: 43650: 43644: 43622: 43612: 43582: 43576: 43560: 43545: 43508: 43493: 43477: 43471: 43422: 43407: 43380: 43368: 43359: 43353: 43310: 43304: 43288: 43273: 42618: 42605: 42561: 42548: 41835: 39102:The curious identity known as 38986: 38974: 38929: 38920: 38459: 38450: 38433: 38427: 38404: 38395: 38378: 38372: 38349: 38340: 38323: 38317: 38288: 38279: 38262: 38256: 38233: 38224: 38207: 38201: 38178: 38169: 38152: 38146: 38117: 38111: 38094: 38088: 38065: 38059: 38042: 38036: 38013: 38007: 37990: 37984: 37842: 37830: 37812: 37800: 37753: 37741: 37723: 37711: 37685: 37673: 37647: 37635: 37545: 37533: 37515: 37503: 37477: 37465: 37332: 37320: 37277: 37265: 37222: 37210: 37170: 37158: 37130: 37118: 37075: 37063: 37018: 37006: 36963: 36951: 36923: 36911: 36888: 36876: 36833: 36821: 36778: 36766: 36721: 36709: 36688: 36676: 36638: 36626: 36581: 36569: 36531: 36519: 36498: 36486: 36416: 36188: 35937: 35928: 35904: 35894: 35743: 35728: 35698: 35688: 34104: 34095: 34080: 34071: 33907: 33901: 33719: 33707: 33685: 33673: 33655: 33643: 33621: 33609: 33580: 33574: 33548: 33542: 33488: 33476: 33456: 33444: 33435: 33429: 33385: 33373: 33353: 33341: 33332: 33326: 33300: 33294: 33225: 33213: 33193: 33190: 33184: 33172: 33166: 33154: 33142: 33133: 33121: 33091: 33085: 33055: 33049: 33022: 33008: 33005: 32999: 32987: 32981: 32969: 32957: 32948: 32910: 32895: 32826: 32811: 32700: 32685: 32597: 32585: 32573: 32561: 32509: 32497: 32479: 32464: 32286: 32280: 32238: 32225: 31888:These identities, named after 31756: 31730: 31652: 31640: 31625: 31606: 31269: 31257: 31242: 31223: 31208: 31189: 31037: 31031: 30947: 30935: 30557: 30548: 30302: 30293: 30272:More generally for an integer 30132: 30123: 30101: 30092: 30084: 30078: 29928: 29909: 29900: 29874: 29862: 29843: 29834: 29808: 29787: 29768: 29759: 29740: 29700: 29681: 29608: 29589: 29577: 29558: 29488: 29462: 29276: 29264: 28439: 28427: 28393: 28381: 28207: 28155: 28074: 28022: 27954: 27944: 27842: 27810: 27791: 27739: 27628: 27616: 27604: 27592: 27581: 27569: 27557: 27545: 27490: 27478: 27466: 27454: 27443: 27431: 27419: 27407: 27349: 27337: 27325: 27313: 27255: 27243: 27231: 27219: 27161: 27149: 27137: 27125: 27067: 27055: 27043: 27031: 26911: 26896: 26828: 26818: 26669: 26654: 26461: 26446: 26370: 26360: 26258: 26243: 25978:In general terms of powers of 25736: 25733: 25724: 25709: 25077: 25074: 25065: 25050: 24965: 24956: 24902: 24893: 24602: 24593: 24581: 24572: 24557: 24548: 24474: 24465: 24453: 24444: 24371: 24362: 24350: 24341: 24266: 24257: 24245: 24236: 24156: 24147: 24135: 24126: 24062: 24053: 24041: 24032: 23966: 23957: 23945: 23936: 23862: 23853: 23783: 23774: 23702: 23693: 23616: 23607: 23546: 23537: 22126: 22117: 22023: 22014: 21885: 21876: 21737: 21728: 21647: 21638: 21566: 21557: 21352: 21343: 21225: 21216: 20636: 20624: 20454: 20442: 20378: 20366: 19983: 19977: 19965: 19962: 19933: 19927: 19915: 19912: 19897: 19888: 19855: 19843: 19831: 19828: 19808:{\displaystyle \sin((n-1)x+x)} 19802: 19790: 19778: 19775: 19749: 19743: 19731: 19728: 19716: 19710: 19698: 19695: 19671: 19662: 19607: 19601: 19589: 19586: 19558: 19552: 19540: 19537: 19511: 19502: 19440: 19431: 19390: 19384: 19372: 19369: 19348: 19342: 19330: 19327: 19311: 19299: 19287: 19284: 19262: 19256: 19244: 19241: 19220: 19214: 19202: 19199: 19183: 19171: 19159: 19156: 19119: 19113: 19101: 19098: 19086: 19080: 19068: 19065: 19041: 19032: 19004: 18998: 18972: 18966: 18954: 18951: 18925: 18919: 18907: 18904: 18878: 18869: 18841: 18829: 18809: 18797: 18701: 18691: 18614: 18604: 18580: 18571: 18544: 18535: 18526: 18515: 18500: 18497: 18433: 18423: 18417: 18405: 18378: 18369: 18354: 18340: 18288: 18278: 18272: 18266: 18251: 18248: 18213: 18201: 18123: 18113: 17986: 17976: 17955: 17946: 17915: 17892: 17854: 17842: 17807: 17795: 17711: 17701: 17667: 17655: 17545: 17535: 17510: 17501: 17480:Formulae for multiple angles. 17406: 17397: 17318: 17309: 17215: 17206: 17036: 17027: 16884: 16875: 16732: 16723: 16609: 16600: 16469: 16460: 16343: 16334: 16262: 16253: 16077: 16068: 15984: 15959: 15929: 15920: 15693: 15665: 15659: 15650: 15635: 15626: 15584: 15572: 15556: 15547: 15431: 15419: 15351: 15339: 15312: 15292: 15284: 15264: 15256: 15236: 15228: 15208: 15200: 15180: 15172: 15152: 15128: 15116: 15090: 15078: 15052: 15040: 14945:{\displaystyle \alpha +\beta } 14913: 14901: 14288: 14270: 14149: 14131: 14101:{\displaystyle i=1,\ldots ,n,} 13669: 13626: 13614: 13476: 13459: 13327: 13315: 13263: 13173: 13121: 13102: 13033: 13016: 12983: 12971: 12932: 12862: 12823: 12605: 12579: 12179: 12169: 12017: 12007: 11082: 11024: 10973: 10727: 10717: 10459: 10449: 9614: 9602: 9448: 9436: 9282: 9270: 9146: 9134: 9024: 9012: 8902: 8890: 8853: 8847: 8835: 8826: 8800: 8794: 8779: 8770: 8701: 8689: 8663: 8651: 8573: 8561: 8502: 8490: 8431: 8419: 8360: 8348: 8306: 8294: 8268: 8256: 8193: 8176: 7811: 7799: 7787: 7775: 7497: 7485: 7473: 7461: 7308: 7296: 7284: 7272: 7149: 7131: 7089: 7068: 6998: 6977: 6912: 6894: 6852: 6831: 6761: 6740: 6672: 6651: 6609: 6597: 6555: 6534: 6466: 6445: 6403: 6391: 6349: 6328: 6260: 6239: 6197: 6185: 6143: 6122: 6054: 6033: 5991: 5979: 5937: 5916: 5801: 5792: 5780: 5774: 5759: 5744: 5630: 5618: 5512: 5503: 5474: 5465: 5453: 5447: 5432: 5417: 5303: 5291: 5185: 5176: 5147: 5138: 5126: 5120: 5105: 5090: 4976: 4964: 4858: 4849: 4820: 4811: 4799: 4793: 4778: 4763: 4649: 4637: 4531: 4522: 4493: 4484: 4472: 4466: 4451: 4436: 4322: 4310: 4204: 4195: 4166: 4157: 4145: 4139: 4124: 4109: 3995: 3983: 3877: 3868: 3245: 884:where the sign depends on the 677: 664: 605: 592: 13: 1: 48122:American Mathematical Monthly 47794:American Mathematical Monthly 47504: 41655:The transfer function of the 39797:{\displaystyle x=10^{\circ }} 39602:{\displaystyle x=15^{\circ }} 39444:{\displaystyle x=20^{\circ }} 33891:is the slope of a line, then 33269:{\displaystyle 2\sin \alpha } 28691:{\displaystyle 2\sin p\cos q} 25650:{\displaystyle \cos 2\theta } 25468:{\displaystyle \cos 2\theta } 25339:{\displaystyle 2\sin \theta } 24686:{\displaystyle 2\cos \theta } 19616:{\displaystyle \sin((n-2)x),} 19567:{\displaystyle \sin((n-1)x),} 19418:It follows by induction that 15903:Formulae for twice an angle. 13702:Secants and cosecants of sums 8211:§ Shifts and periodicity 2940:{\displaystyle \cot \theta =} 2626:{\displaystyle \tan \theta =} 2312:{\displaystyle \sec \theta =} 1998:{\displaystyle \cos \theta =} 1684:{\displaystyle \csc \theta =} 1370:{\displaystyle \sin \theta =} 744:{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1} 48645:Standard Mathematical Tables 48391:Abramowitz & Stegun 1972 47919:Ken Ward's Mathematics Pages 39893:The same cosine identity is 39018:Identities without variables 36414: 36186: 29324:Hermite's cotangent identity 29318:Hermite's cotangent identity 28517:{\displaystyle \varphi =p-q} 28368:, are constructed such that 26023:{\displaystyle \cos \theta } 25997:{\displaystyle \sin \theta } 25904: 25556: 25524: 25492: 25431: 25363: 25302: 24859: 24827: 24774:of that triangle has length 24759: 24649: 18978:{\displaystyle \cos((n-2)x)} 18931:{\displaystyle \cos((n-1)x)} 16706:Formulae for triple angles. 15493: 15461: 15306: 15278: 15250: 15222: 15194: 15166: 14996: 14847: 14796: 14752: 14708: 14664: 14647:of length 1. Thus, the side 14632: 9852: 8323:These are also known as the 5890:Shift by one quarter period 3816:{\displaystyle \alpha =\pi } 3222:{\displaystyle \cot \theta } 2872:{\displaystyle \tan \theta } 2487:{\displaystyle \sec \theta } 2132:{\displaystyle \cos \theta } 1747:{\displaystyle \csc \theta } 1397:{\displaystyle \sin \theta } 1338:{\displaystyle \cot \theta } 1311:{\displaystyle \tan \theta } 1284:{\displaystyle \sec \theta } 1257:{\displaystyle \cos \theta } 1230:{\displaystyle \csc \theta } 1203:{\displaystyle \sin \theta } 7: 48209:American Journal of Physics 48187:"Harmonic Addition Theorem" 47368: 41657:Butterworth low pass filter 33780:{\displaystyle f_{\alpha }} 30476:or written in terms of the 28485:{\displaystyle \theta =p+q} 14972:{\textstyle {\frac {1}{2}}} 11149:{\displaystyle \theta _{i}} 10: 48733: 48681:, and for the same angles 48627:(2nd ed.), New York: 47944:"Chapter 4, eqn 4.3.20-22" 47474:Tangent half-angle formula 47386:Exact trigonometric values 47199: 46940:When this substitution of 46602: 46307: 46264: 36460: 33952: 32257:A related function is the 31564: 29321: 25475:and sum of the lengths of 24715:{\displaystyle \angle DAE} 21170:Tangent half-angle formula 21167: 14884:{\displaystyle \angle ADC} 14615:both share the hypotenuse 14556:{\displaystyle \angle DCB} 14527:{\displaystyle \angle DAB} 14425: 14419: 8220: 5836:) when shifting the angle 913:Dividing this identity by 351: 178:Trigonometric substitution 48717:Mathematics-related lists 48566:Krishna's IIT MATHEMATIKA 48487:10.1017/s0025557200176223 48411:77(3), June 2004, p. 189. 47890:"Multiple-Angle Formulas" 47844:"Multiple-Angle Formulas" 47449:Mnemonics in trigonometry 47168:to rational functions of 43243:in Book I, chapter 11 of 42459:and its value will be in 41425:Combining these gives us 35963:Infinite product formulae 33939:{\displaystyle -\alpha .} 30673:into linear factors (cf. 28280:Sum-to-product identities 26988:Product-to-sum identities 26488: 26124: 26088: 26054: 26047: 25790:{\displaystyle \theta /2} 25571:, which is 1. Therefore, 25131:{\displaystyle \theta /2} 24978:. Dividing both sides by 10174: 10048: 9884: 9725: 9589: 9423: 9257: 9121: 8999: 8877: 8757:and using the facts that 5893:Shift by one half period 3844:{\displaystyle \alpha =0} 3595:{\displaystyle \alpha =0} 3419:then the direction angle 2918: 2604: 2290: 1976: 1662: 1348: 1319: 1292: 1265: 1238: 1211: 1184: 1181: 325:. They are distinct from 48623:Nielsen, Kaj L. (1966), 48135:10.4169/000298910x480784 47415:Spherical law of cosines 47376:Aristarchus's inequality 47196:Viète's infinite product 37622:while the equations for 31317:{\displaystyle \varphi } 31157:{\displaystyle a\neq 0.} 30995:{\displaystyle \varphi } 30872:{\displaystyle \varphi } 29532:{\displaystyle A_{1,1},} 28771:{\displaystyle \varphi } 28321:{\displaystyle \varphi } 23476:Power-reduction formulae 21163: 19517:{\displaystyle \sin(nx)} 19446:{\displaystyle \cos(nx)} 18884:{\displaystyle \cos(nx)} 15747:{\displaystyle 2\theta } 7203: 3412:{\displaystyle \alpha ,} 3329:{\displaystyle \theta ,} 904:{\displaystyle \theta .} 303:trigonometric identities 91:Generalized trigonometry 18:Trigonometric identities 48707:Mathematical identities 48299:"The Gibbs' phenomenon" 48039:"Double-Angle Formulas" 47788:Hardy, Michael (2016). 47733:Proceedings of the ACM- 47526:"Chapter 4, eqn 4.3.45" 47188:in order to find their 42346:Generally, for numbers 33753:{\displaystyle \alpha } 31571:The general case reads 31561:More than two sinusoids 28751:{\displaystyle \theta } 28301:{\displaystyle \theta } 26962:angle addition theorems 25762:{\displaystyle \theta } 25278:{\displaystyle \theta } 25103:{\displaystyle \theta } 24735:{\displaystyle \theta } 19475:{\displaystyle \cos x,} 19010:{\displaystyle \cos(x)} 17476:Multiple-angle formulae 15718:Multiple-angle formulae 8730:{\displaystyle -\beta } 5849:{\displaystyle \theta } 3790:{\displaystyle \theta } 3731:{\displaystyle \theta } 3677:{\displaystyle \theta } 3623:{\displaystyle \theta } 3569:{\displaystyle \theta } 3540:{\displaystyle \alpha } 3389:{\displaystyle \theta } 3275:{\displaystyle \alpha } 1173:a plus or minus sign): 311:trigonometric functions 48315:10.1080/00207390117151 47360: 47296: 47182: 47162: 47161:{\displaystyle \cos x} 47136: 47135:{\displaystyle \sin x} 47055: 47054:{\displaystyle \cos x} 47005: 47004:{\displaystyle \sin x} 46954: 46922: 46862: 46645: 46581: 46561: 46528: 46252: 43921: 43835: 43742: 43678: 43611: 43525: 43451: 43387: 43339: 43228: 43096: 42916:is rational, then the 42879: 42810: 42719: 42598: 42541: 42338: 42268: 42210: 42140: 41999: 41924: 41852:large number of digits 41827: 41755: 41686: 41647: 41591: 41558: 41557:{\displaystyle n=2m+1} 41517: 41458: 41417: 41342: 41303: 41251: 41210: 41055: 40841:cyclotomic polynomials 40807: 40551: 40443: 40252: 40010: 39885: 39798: 39763: 39603: 39568: 39445: 39412: 39324: 39228: 39187: 39094: 39009: 38955: 38895: 38816: 38737: 38470: 37938: 37868: 37692: 37654: 37616: 37484: 37446: 37370:multiplicative inverse 37360: 36448: 36349: 36255: 36121: 36027: 35953: 35890: 35759: 35684: 35535: 35489: 35443: 35363: 35255: 35159: 35086: 34993: 34915: 34835: 34724: 34646: 34573: 34491: 34291: 34217: 34141: 34017: 33940: 33914: 33885: 33863: 33801: 33781: 33754: 33732: 33516: 33413: 33307: 33270: 33239: 32947: 32888: 32836: 32678: 32631: 32536: 32457: 32428:A similar identity is 32420: 32321: 32249: 32201: 32070: 31923: 31875: 31763: 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