1400:
2478:
721:
1395:{\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {T}}\times _{1}U^{(1)})(i_{1},j_{2},j_{3})&=\sum _{j_{1}=1}^{d_{1}}{\mathcal {T}}(j_{1},j_{2},j_{3})U^{(1)}(j_{1},i_{1})\\({\mathcal {T}}\times _{2}U^{(2)})(j_{1},i_{2},j_{3})&=\sum _{j_{2}=1}^{d_{2}}{\mathcal {T}}(j_{1},j_{2},j_{3})U^{(2)}(j_{2},i_{2})\\({\mathcal {T}}\times _{3}U^{(3)})(j_{1},j_{2},i_{3})&=\sum _{j_{3}=1}^{d_{3}}{\mathcal {T}}(j_{1},j_{2},j_{3})U^{(3)}(j_{3},i_{3})\end{aligned}}}
1760:
58:
The model parameters are estimated in such a way that, given fixed numbers of components, the modelled data optimally resemble the actual data in the least squares sense. The model gives a summary of the information in the data, in the same way as principal components analysis does for two-way data.
57:
In practice, Tucker decomposition is used as a modelling tool. For instance, it is used to model three-way (or higher way) data by means of relatively small numbers of components for each of the three or more modes, and the components are linked to each other by a three- (or higher-) way core array.
1411:
297:
605:
2255:
367:
2004:
1755:{\displaystyle T(i_{1},i_{2},i_{3})=\sum _{j_{1}=1}^{d_{1}}\sum _{j_{2}=1}^{d_{2}}\sum _{j_{3}=1}^{d_{3}}{\mathcal {T}}(j_{1},j_{2},j_{3})U^{(1)}(j_{1},i_{1})U^{(2)}(j_{2},i_{2})U^{(3)}(j_{3},i_{3})}
125:
726:
2135:
713:
492:
1903:
637:
421:
194:
189:
167:
1803:
2360:
2327:
2294:
2173:
2079:
2046:
670:
1863:
1843:
1823:
391:
145:
497:
2178:
302:
2519:
2371:
44:
2376:
1908:
64:
2084:
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675:
2512:
426:
2538:
40:
2543:
1868:
618:
402:
2505:
172:
150:
1768:
32:
2493:
54:(parallel factor analysis) model. In PARAFAC the core tensor is restricted to be "diagonal".
2332:
2299:
2266:
2145:
2051:
2018:
642:
8:
1848:
1828:
1808:
376:
130:
292:{\displaystyle T={\mathcal {T}}\times _{1}U^{(1)}\times _{2}U^{(2)}\times _{3}U^{(3)}}
2418:
2396:
28:
2477:
373:, a 3rd-order tensor that contains the 1-mode, 2-mode and 3-mode singular values of
2410:
2436:
600:{\displaystyle F^{d_{1}\times n_{1}},F^{d_{2}\times n_{2}},F^{d_{3}\times n_{3}}}
36:
2489:
395:
2532:
2401:
43:
it may actually be generalized to higher mode analysis, which is also called
2399:(September 1966). "Some mathematical notes on three-mode factor analysis".
2422:
2006:, which can be effective when the difference in dimension sizes is large.
2439:(1927). "The expression of a tensor or a polyadic as a sum of products".
2485:
2460:
Nickel, Maximilian; Tresp, Volker; Kriegel, Hans-Peter (28 June 2011).
2414:
27:
into a set of matrices and one small core tensor. It is named after
2250:{\displaystyle T={\mathcal {T}}\times _{1}U^{(1)}\times _{2}U^{(2)}}
1405:
Altogether, the decomposition may also be written more directly as
362:{\displaystyle {\mathcal {T}}\in F^{d_{1}\times d_{2}\times d_{3}}}
2462:
A Three-Way Model for
Collective Learning on Multi-Relational Data
51:
24:
2263:
decomposition can be seen as a special case of Tucker where
1865:
can be compressed or efficiently approximately by choosing
35:
in 1927. Initially described as a three-mode extension of
1999:{\displaystyle d_{1}=d_{2}=d_{3}=\min(n_{1},n_{2},n_{3})}
120:{\displaystyle T\in F^{n_{1}\times n_{2}\times n_{3}}}
2335:
2302:
2269:
2181:
2148:
2087:
2054:
2021:
2009:
There are two special cases of Tucker decomposition:
1911:
1871:
1851:
1831:
1811:
1771:
1414:
724:
678:
645:
621:
500:
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405:
379:
305:
197:
175:
153:
133:
67:
191:, Tucker Decomposition can be denoted as follows,
2459:
2354:
2321:
2288:
2249:
2167:
2130:{\displaystyle T={\mathcal {T}}\times _{1}U^{(1)}}
2129:
2073:
2040:
1998:
1897:
1857:
1837:
1817:
1797:
1754:
1394:
707:
664:
631:
599:
486:
415:
399:of the 1-mode, 2-mode and 3-mode slices of tensor
385:
361:
291:
183:
161:
139:
119:
2395:
2530:
1951:
2435:
2513:
708:{\displaystyle {\mathcal {T}}\times U^{(k)}}
2520:
2506:
2372:Higher-order singular value decomposition
177:
155:
45:higher-order singular value decomposition
2377:Multilinear principal component analysis
2464:. ICML. Vol. 11. pp. 809–816.
487:{\displaystyle U^{(1)},U^{(2)},U^{(3)}}
2531:
50:It may be regarded as a more flexible
2472:
13:
2442:Journal of Mathematics and Physics
2190:
2096:
1825:is always sufficient to represent
1570:
1296:
1176:
1075:
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2555:
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2116:
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2060:
2033:
2027:
1993:
1954:
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1678:
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416:{\displaystyle {\mathcal {T}}}
284:
278:
258:
252:
232:
226:
1:
2382:
2492:. You can help Knowledge by
184:{\displaystyle \mathbb {C} }
162:{\displaystyle \mathbb {R} }
41:principal component analysis
7:
2365:
1798:{\displaystyle d_{i}=n_{i}}
393:, which are defined as the
10:
2560:
2471:
31:although it goes back to
494:are unitary matrices in
2355:{\displaystyle U^{(2)}}
2322:{\displaystyle U^{(1)}}
2289:{\displaystyle U^{(3)}}
2168:{\displaystyle U^{(3)}}
2074:{\displaystyle U^{(3)}}
2041:{\displaystyle U^{(2)}}
665:{\displaystyle U^{(k)}}
61:For a 3rd-order tensor
2488:-related article is a
2356:
2323:
2290:
2251:
2169:
2131:
2075:
2042:
2000:
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1859:
1839:
1819:
1799:
1756:
1567:
1532:
1497:
1396:
1293:
1072:
851:
709:
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601:
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417:
387:
363:
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141:
121:
2357:
2324:
2291:
2252:
2170:
2132:
2076:
2043:
2001:
1905:. A common choice is
1900:
1860:
1840:
1820:
1800:
1757:
1533:
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1397:
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710:
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173:
151:
131:
65:
21:Tucker decomposition
16:Tensor decomposition
2539:Dimension reduction
2081:are identity, then
1845:exactly, but often
2415:10.1007/BF02289464
2352:
2319:
2286:
2247:
2175:is identity, then
2165:
2127:
2071:
2038:
1996:
1895:
1855:
1835:
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1795:
1752:
1392:
1390:
705:
662:
629:
607:respectively. The
597:
484:
413:
383:
359:
289:
181:
159:
137:
117:
2501:
2500:
2397:Ledyard R. Tucker
1858:{\displaystyle T}
1838:{\displaystyle T}
1818:{\displaystyle i}
715:with entries as
386:{\displaystyle T}
140:{\displaystyle F}
29:Ledyard R. Tucker
2551:
2544:Statistics stubs
2522:
2515:
2508:
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2465:
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2325:
2320:
2318:
2317:
2296:is identity and
2295:
2293:
2292:
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1841:
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1566:
1565:
1564:
1554:
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100:
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2559:
2558:
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2458:
2454:
2437:F. L. Hitchcock
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