1924:
6986:
9269:
6896:
6528:
6234:
6950:
6510:
4584:
6968:
6932:
6211:
6188:
6142:
6824:
6788:
6165:
6914:
5946:
6287:
6275:
6860:
6806:
6770:
3637:
6299:
6878:
6119:
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6698:
6660:
6642:
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4560:
5896:
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2652:
7259:
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7166:
6546:
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3617:
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5754:
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5001:
4977:
4778:
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4472:
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4300:
7834:
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5996:
5973:
5815:
5761:
5693:
5424:
4970:
5401:
5214:
2740:
2729:
7041:
6678:
6622:
6366:
5871:
5789:
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5627:
5324:
5242:
5162:
5108:
5025:
4887:
7466:
7442:
7409:
7367:
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7322:
7299:
4458:
4372:
2120:
2109:
2012:
2001:
7730:
7707:
7685:
7652:
7630:
7605:
7582:
7560:
7537:
7497:
6582:
5594:
5504:
5368:
5139:
4544:
4535:
4449:
4363:
3583:
3574:
2685:
2663:
2098:
2076:
2054:
1990:
1968:
1946:
5660:
5535:
5447:
5221:
3760:
3626:
3488:
4526:
4508:
4490:
4440:
4422:
4404:
4354:
4336:
4318:
3565:
3547:
3529:
2718:
2696:
2087:
2065:
2043:
1979:
1957:
1935:
5700:
5473:
5265:
5082:
5056:
4918:
3691:
3425:
3731:
3461:
4517:
4499:
4481:
4431:
4413:
4395:
4345:
4327:
4309:
3556:
3538:
3520:
2707:
5634:
5115:
5032:
4894:
4806:
4751:
3751:
3479:
7960:
7865:
7911:
7879:
6346:
5667:
5601:
5511:
3711:
3606:
3443:
5542:
5293:
3597:
3720:
3452:
5570:
5480:
5190:
4946:
3740:
3470:
3771:
3700:
3497:
3434:
2032:
9276:
7102:(shorter) sides and alternating the same outer and "inner" internal angles; seeing this kind of isotoxal star polygons as their outlines allows it to be used in a tiling, and seeing isotoxal simple polygons as "regular" allows this kind of isotoxal star polygons to (but not all of them can) be used in a "uniform" tiling.
7150:
for vertices with at least 3 polygons suffices to define such a "uniform" tiling, and so that the latter has one vertex configuration alright (otherwise it would have two) β. There are 4 such uniform tilings with adjustable angles πΌ, and 18 such uniform tilings that only work with specific angles,
6309:
The tilings with zigzags are listed below. {β} denotes a zigzag with angle 0 < πΌ < Ο. The apeirogon can be considered the special case πΌ = Ο. The symmetries are given for the generic case, but there are sometimes special values of πΌ that increase the symmetry. Tilings 3.1 and 3.12 can even
7003:
Tilings 3.7 through 3.10 have the same edge arrangement as 2.1 and 2.2; 3.17 through 3.20 have the same edge arrangement as 2.10 through 2.13; 3.21 through 3.24 have the same edge arrangement as 2.18 through 2.23; and 3.25 through 3.33 have the same edge arrangement as 1.25 (the regular triangular
2850:
Further symmetry groups exist in the hyperbolic plane with quadrilateral fundamental domains β starting with (2 2 2 3), etc. β that can generate new forms. As well, there are fundamental domains that place vertices at infinity, such as (β 2 3), etc.
7013:
7154:
All of these tilings, with possible order-2 vertices ignored, with possible double edges and triple edges reduced to single edges, are topologically related to the ordinary uniform tilings (using only convex regular polygons).
4711:
The following three tilings are exceptional in that there is only finitely many of one face type: two apeirogons in each. Sometimes the order-2 apeirogonal tiling is not included, as its two faces meet at more than one edge.
1299:
There are symmetry groups on the
Euclidean plane constructed from fundamental triangles: (4 4 2), (6 3 2), and (3 3 3). Each is represented by a set of lines of reflection that divide the plane into fundamental triangles.
165:
takes the three integers and separates them by a vertical bar (|). If the generator point is off the mirror opposite to a domain vertex, then the reflection order of this domain vertex is given before the
158:= 2, then the graph is linear, since diagram nodes with connectivity 2 are not connected to each other by a diagram branch (since domain mirrors meeting at 90 degrees generate no new mirrors).
6265:(vertices come in two symmetry orbits). They use different sets of square faces. Hence, for star Euclidean tilings, the vertex configuration does not necessarily determine the tiling.
73:. A planar symmetry group has a polygonal fundamental domain and can be represented by its group notation: the sequence of the reflection orders of the fundamental domain vertices.
8589:
8474:
8431:
8388:
8345:
4830:
For clarity, the tilings are not colored from here onward (due to the overlaps). A set of polygons around one vertex is highlighted. McNeill only lists tilings given by
Coxeter
4675:, use the first three expansions and enumerate a total of 38 uniform tilings. If a tiling made of 2 apeirogons is also counted, the total can be considered 39 uniform tilings.
1310:
A prismatic symmetry group, (2 2 2 2), is represented by two sets of parallel mirrors, which in general can make a rectangular fundamental domain. It generates no new tilings.
8547:
8511:
769:
733:
665:
567:
531:
452:
373:
304:
4686:.'s definition). When the fourth is added, they list an additional 23 uniform tilings and 10 families (8 depending on continuous parameters and 2 on discrete parameters).
4185:
4175:
4165:
4146:
4136:
4126:
4107:
4087:
4068:
4029:
4019:
3980:
3941:
3931:
3892:
3332:
3322:
3312:
3303:
3293:
3283:
3274:
3254:
3245:
3216:
3206:
3177:
3148:
3138:
3109:
2536:
2526:
2516:
2497:
2487:
2477:
2458:
2438:
2419:
2380:
2370:
2331:
2292:
2282:
2243:
1825:
1815:
1805:
1796:
1786:
1776:
1767:
1747:
1738:
1709:
1699:
1670:
1641:
1631:
1602:
323:
318:
2794:
2774:
1269:
1259:
1249:
1214:
1204:
1140:
1073:
783:
679:
601:
581:
4097:
4058:
4048:
4009:
3990:
3970:
3951:
3912:
3902:
3264:
3235:
3225:
3196:
3187:
3167:
3158:
3129:
3119:
2799:
2789:
2779:
2769:
2448:
2409:
2399:
2360:
2341:
2321:
2302:
2263:
2253:
1757:
1728:
1718:
1689:
1680:
1660:
1651:
1622:
1612:
1264:
1254:
1244:
1209:
1199:
1189:
1135:
1125:
1115:
1078:
1068:
1058:
949:
939:
929:
884:
874:
864:
798:
788:
778:
684:
674:
606:
596:
586:
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481:
471:
461:
402:
392:
382:
313:
4190:
4180:
4170:
4160:
4151:
4141:
4131:
4121:
4112:
4102:
4092:
4082:
4073:
4063:
4053:
4043:
4034:
4024:
4014:
4004:
3995:
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3965:
3956:
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3936:
3926:
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3327:
3317:
3298:
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3269:
3259:
3240:
3230:
3211:
3201:
3182:
3172:
3153:
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3124:
3114:
2784:
2541:
2531:
2521:
2511:
2502:
2492:
2482:
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2453:
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2433:
2424:
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2404:
2394:
2385:
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2365:
2355:
2346:
2336:
2326:
2316:
2307:
2297:
2287:
2277:
2268:
2258:
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2238:
1820:
1810:
1791:
1781:
1762:
1752:
1733:
1723:
1704:
1694:
1675:
1665:
1646:
1636:
1617:
1607:
1239:
1194:
1184:
1130:
1120:
1110:
1063:
954:
944:
934:
924:
879:
869:
793:
591:
476:
466:
397:
387:
8057:
GrΓΌnbaum, Branko; Miller, J. C. P.; Shephard, G. C. (1981). "Uniform
Tilings with Hollow Tiles". In Davis, Chandler; GrΓΌnbaum, Branko; Sherk, F. A. (eds.).
7071:, is considered not edge-to-edge due to the large square, although the latter can be interpreted as a star polygon with four pairs of collinear edges.
6268:
In the pictures below, the included squares with horizontal and vertical edges are marked with a central dot. A single square has edges highlighted.
4610:
6310:
become regular; 3.32 already is (it has no free parameters). Sometimes, there are special values of πΌ that cause the tiling to degenerate.
9185:
10209:
7012:
9474:
9407:
10214:
9429:
9163:
7146:
These expansions to the definition for a tiling require corners with only 2 polygons to not be considered vertices β since the
1313:
A further prismatic symmetry group, (∞ 2 2), has an infinite fundamental domain. It constructs two uniform tilings: the
8229:
8066:
10024:
9859:
8275:
10174:
10149:
10139:
10109:
10064:
10014:
9994:
9809:
9694:
8008:
7000:
The tiling pairs 3.17 and 3.18, as well as 3.19 and 3.20, have identical vertex configurations but different symmetries.
2816:
10184:
10179:
10119:
10114:
10069:
10019:
10004:
7095:
simple polygons as "regular" allows regular star polygons to (but not all of them can) be used in a "uniform" tiling.
206:
10204:
9989:
9237:
8148:
6261:, 2.12 and 2.13), with different symmetries. There is also a third tiling for each vertex configuration that is only
10044:
9979:
9964:
9799:
9419:
8672:
8655:
3670:
10144:
10104:
10059:
9999:
9984:
9974:
9949:
9310:
9093:
8731:
4653:, section 12.3, enumerate a list of 25 uniform tilings, including the 11 convex forms, and add 14 more they call
3764:
2113:
2102:
1307:, and 7 semiregular ones. A number of the semiregular tilings are repeated from different symmetry constructors.
6286:
6274:
10009:
9929:
9784:
8115:
8106:
7098:
Also, the outlines of certain non-regular isotoxal star polygons are nonconvex isotoxal (simple) polygons with
182:
4682:, list 25 tilings using the first two expansions and 28 more when the third is added (making 53 using Coxeter
1923:
9939:
9924:
9884:
9814:
9764:
9679:
9499:
7645:
7035:
9909:
9874:
9864:
9724:
9105:
6298:
10049:
9879:
9869:
9849:
9829:
9804:
9749:
9729:
9714:
9704:
9639:
9305:
7575:
7530:
1329:
8552:
8437:
8394:
8351:
8308:
10199:
10194:
10189:
10094:
9854:
9819:
9779:
9759:
9734:
9719:
9709:
9669:
9156:
7700:
7678:
7190:
4765:
2058:
8516:
8480:
6257:, 2.10 and 2.11) and also two uniform tilings for the vertex configuration 4.8/3.4.8/3.-4.β (GrΓΌnbaum
738:
702:
634:
536:
500:
421:
342:
273:
10134:
10129:
10039:
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9754:
9744:
9739:
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9300:
8887:
8832:
8783:
7858:
7754:
7723:
6262:
4616:
The restriction that tiles meet edge-to-edge can be relaxed, allowing additional tilings such as the
3744:
3650:
3610:
1286:
10243:
10169:
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8003:
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7402:
7360:
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4644:
2005:
1972:
1950:
8219:
8084:
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9954:
9944:
9914:
9596:
9211:
2840:
828:
248:
221:
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139:
2833:
10054:
9959:
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9904:
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9894:
9889:
9644:
9434:
9149:
9131:
9124:
9117:
8939:
8877:
8822:
8773:
8711:
8162:
4822:
4664:
2124:
1318:
186:
7032:{4,4}, is self-dual; shown here are two square tilings (red and black), dual to each other.
10099:
9839:
9552:
9540:
9424:
9353:
9329:
9254:
9081:
9074:
9069:
7147:
4657:, using the first two expansions above: star polygon faces and generalized vertex figures.
4649:
4583:
4198:
3793:
3630:
3340:
2912:
2549:
2144:
1833:
1393:
170:
62:
8:
9844:
9664:
9510:
9469:
9464:
9344:
8984:
8922:
8917:
8860:
8855:
8805:
8800:
8756:
8751:
8699:
8261:
8200:
7776:
7621:
7598:
7283:
7036:
Uniform tilings using regular or isotoxal polygrams as nonconvex isotoxal simple polygons
6985:
4693:, grouped by shared edge graphs, are shown below, followed by 15 more listed by GrΓΌnbaum
3724:
2843:
is given in a linear form, although it is actually a triangle, with the trailing segment
2722:
2700:
2678:
2069:
100:, a Euclidean plane triangle, or a hyperbolic plane triangle, depending on the values of
9629:
9398:
9196:
8178:
7490:
4617:
2016:
201:
is an operation that combines truncation and cantellation. Snubbing is an operation of
97:
70:
8128:
7029:
4640:
3636:
2986:
1479:
120:
10124:
9674:
9601:
9444:
9227:
8929:
8867:
8812:
8763:
8741:
8721:
8603:
8289:
8285:
8197:
8144:
8098:, Branko Gruenbaum, G. C. Shephard, 1987, 2.5 Tilings using star polygons, pp. 82β85.
8062:
4794:
3510:
2744:
2711:
2689:
2667:
2091:
1314:
816:
236:
51:
36:
8247:
6895:
4559:
92:
are whole numbers > 1, i.e. β₯ 2; a fundamental domain right triangle is denoted (
10154:
9969:
9934:
9611:
9575:
9520:
9486:
9439:
9413:
9402:
9317:
9289:
9232:
9206:
9201:
8704:
8640:
8158:
8013:
7553:
7252:
6949:
6253:
There are two uniform tilings for the vertex configuration 4.8.-4.8.-4.β (GrΓΌnbaum
4660:
4595:
Vertex figures can have retrograde faces and turn around the vertex more than once.
3704:
2822:
2733:
2080:
2047:
2023:
47:
6527:
9515:
9339:
9249:
8662:
8166:
6967:
6931:
6509:
4840:
4668:
4568:
3877:
3665:
3099:
2762:
2228:
1592:
43:
32:
8214:
6823:
6787:
6233:
2651:
1291:
9452:
9365:
9334:
8971:
8964:
8957:
8904:
8897:
8842:
8132:
7998:
7805:
7258:
7088:
7084:
6913:
5753:
5736:
5393:
4689:
Besides the 11 convex solutions, the 28 uniform star tilings listed by
Coxeter
4576:
4471:
4385:
4299:
1325:
1324:
The stacking of the finite faces of these two prismatic tilings constructs one
1304:
198:
178:
162:
66:
8137:
7227:
7196:
7165:
7087:
with twice as many (shorter) sides but alternating the same outer and "inner"
6859:
6805:
6769:
6385:
5316:
4834:. (1954). The eleven convex uniform tilings have been repeated for reference.
3616:
1295:
The elongated triangular tiling, the only non-Wythoffian convex uniform tiling
10237:
9606:
9570:
9370:
9358:
9216:
8630:
8620:
8610:
7984:
7953:
7904:
7872:
7338:
7315:
7017:
6877:
6405:
6210:
6187:
6141:
5692:
4969:
4777:
4564:
3656:
2804:
2673:
1994:
1983:
1961:
1939:
1915:
823:
243:
217:
8237:
7833:
7760:
6841:
6751:
6733:
6715:
6697:
6659:
6641:
6164:
5213:
3676:
3645:
2821:
There are infinitely many uniform tilings by convex regular polygons on the
9505:
9242:
9172:
7040:
6467:
5945:
5626:
5107:
5024:
4886:
4716:
4598:
4457:
4371:
618:
194:
28:
6563:
5593:
5503:
4704:
This set is not proved complete. By "2.25" is meant tiling 25 in GrΓΌnbaum
4543:
4534:
4448:
4362:
3582:
3573:
2739:
2728:
177:
All uniform tilings can be constructed from various operations applied to
9491:
6601:
6118:
5918:
5659:
5534:
5344:
4525:
4507:
4489:
4439:
4421:
4403:
4353:
4335:
4317:
3564:
3546:
3528:
2717:
2695:
2119:
2108:
2011:
2000:
7819:} as "regular" polygons allows more tilings to be considered "uniform".
7784:
7729:
7706:
7684:
7651:
7629:
7604:
7581:
7559:
7536:
7496:
7465:
7441:
7408:
7366:
7344:
7321:
7298:
6545:
6425:
6091:
6068:
5472:
4516:
4498:
4480:
4430:
4412:
4394:
4344:
4326:
4308:
3555:
3537:
3519:
2757:
The only possible fundamental domain in
Euclidean 2-space that is not a
2706:
2684:
2662:
2097:
2075:
2053:
1989:
1967:
1945:
220:
for the plane define the
Wythoff construction and can be represented by
9560:
6365:
6045:
6022:
5895:
5423:
3759:
3625:
3487:
2086:
2064:
2042:
1978:
1956:
1934:
173:: the (identical) sequence of polygons around each (equivalent) vertex.
5842:
5400:
3730:
3690:
3460:
3424:
9580:
9565:
9481:
9457:
8205:
8182:
7080:
6677:
6621:
5995:
5972:
5814:
5760:
5323:
5241:
5161:
5000:
4976:
4805:
4750:
4604:
4572:
3750:
3478:
7959:
7910:
7878:
7864:
6581:
5699:
5367:
5138:
4591:
There are several ways the list of uniform tilings can be expanded:
3710:
3605:
3442:
9349:
7092:
5870:
5788:
5727:
5633:
5446:
5220:
3719:
3596:
3451:
20:
7159:
4 "uniform" tilings using star polygons with adjustable angles πΌ
6345:
5666:
5600:
5510:
5264:
5081:
5055:
4917:
8224:
5541:
5292:
5114:
5031:
4893:
2758:
7091:
allows regular star polygons to be used in a tiling, and seeing
5569:
5479:
3739:
3469:
9141:
7151:
yielding a total of 22 uniform tilings that use star polygons.
5189:
4945:
115:
There are several symbolic schemes for denoting these figures:
55:
7292:
18 "uniform" tilings using star polygons with specific angles
3770:
3699:
3496:
3433:
8195:
4613:(apeirogons alternating between two angles) can also be used.
9275:
7823:
Examples of "uniform" tilings using convex isotoxal simple 2
2031:
1332:, composed of alternating layers of squares and triangles.
2810:
1280:
16:
Vertex-transitive tiling of the plane by regular polygons
4678:
In 1981, GrΓΌnbaum, Miller, and
Shephard, in their paper
4628:(4/3 4/3 2), (6 3/2 2), (6/5 3 2), (6 6/5 3), (6 6 3/2).
2825:, each based on a different reflective symmetry group (
8056:
227:
For groups with integer reflection orders, including:
8555:
8519:
8483:
8440:
8397:
8354:
8311:
7785:
Uniform tilings using convex isotoxal simple polygons
741:
705:
637:
539:
503:
424:
345:
276:
7793:-gons always alternate two angles. Isotoxal simple 2
4554:
4624:Symmetry group triangles with retrogrades include:
8583:
8541:
8505:
8468:
8425:
8382:
8339:
8136:
8122:, Ph. D. Dissertation, University of Toronto, 1966
763:
727:
659:
561:
525:
446:
367:
298:
169:Finally, a uniform tiling can be described by its
7808:; the simplest ones are the rhombi (2Γ2-gons), {2
7112:-gon with outer internal angle πΌ is denoted by {
207:Uniform polyhedron#Wythoff construction operators
54:; these can be considered uniform tilings of the
10235:
8127:
4632:Symmetry group triangles with infinity include:
8120:The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs
8052:
8050:
8048:
8046:
8044:
8042:
8040:
8038:
1328:uniform tiling of the plane. It is called the
193:(cutting vertices until edges disappear), and
9157:
8269:
69:and a singular generator point inside of the
7830:
7789:Non-regular isotoxal either star or simple 2
7626:
7462:
7295:
7162:
50:. Uniform tilings are related to the finite
8059:The Geometric Vein: The Coxeter Festschrift
8035:
4636:(4 4/3 β), (3/2 3 β), (6 6/5 β), (3 3/2 β).
9164:
9150:
8276:
8262:
76:A fundamental domain triangle is denoted (
9475:Dividing a square into similar rectangles
8215:Uniform Tessellations on the Euclid plane
8080:
8078:
6216:3/2.∞.3/2.∞.3/2.12/7.6/5.12/7
6170:3/2.∞.3/2.∞.3/2.12/11.6.12/11
4671:, in the 1954 paper 'Uniform polyhedra',
904:
843:
490:
411:
332:
263:
8032:Tiles and Patterns, Table 12.3.1, p. 640
7039:
4701:.'s definition but were missed by them.
4582:
4558:
1290:
61:Most uniform tilings can be made from a
6239:3/2.∞.3/2.∞.3/2.12/5.6.12/5
2811:Uniform tilings of the hyperbolic plane
2803:. All forms generated from it become a
10236:
8075:
4587:Vertex figures for 21 uniform tilings.
1281:Uniform tilings of the Euclidean plane
42:Uniform tilings can exist in both the
9537:
9387:
9287:
9183:
9145:
8225:David Bailey's World of Tessellations
8196:
7119:}; its outer vertices are labeled as
6193:3/2.∞.3/2.∞.3/2.12.6/5.12
8245:
7007:
6241:3.-12/5.-6.-12/5.3.∞.3.∞
2855:Right angle fundamental triangles: (
1336:Right angle fundamental triangles: (
35:faces with the restriction of being
8009:Uniform tilings in hyperbolic plane
6124:3/2.∞.3/2.4/3.4/3.3/2.4/3.4/3
5901:3/2.∞.3/2.∞.3/2.4/3.4/3
4607:, {β}, can be used as tiling faces.
2817:Uniform tilings in hyperbolic plane
13:
9538:
8584:{\displaystyle {\tilde {E}}_{n-1}}
8469:{\displaystyle {\tilde {D}}_{n-1}}
8426:{\displaystyle {\tilde {B}}_{n-1}}
8383:{\displaystyle {\tilde {C}}_{n-1}}
8340:{\displaystyle {\tilde {A}}_{n-1}}
7011:
14:
10255:
8189:
6218:3.12/5.6.12/5.3.∞.3.∞
5006:(3.∞.3.∞.3.∞)/2
4680:Uniform Tilings with Hollow Tiles
4555:Expanded lists of uniform tilings
2761:is the rectangle (β 2 β 2), with
2753:Non-simplical fundamental domains
212:
9274:
9267:
9171:
8542:{\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}
8506:{\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}
7958:
7909:
7877:
7863:
7832:
7759:
7728:
7705:
7683:
7650:
7628:
7603:
7580:
7558:
7535:
7495:
7464:
7440:
7407:
7365:
7343:
7320:
7297:
7257:
7226:
7195:
7164:
6984:
6966:
6948:
6930:
6912:
6894:
6876:
6858:
6840:
6822:
6804:
6786:
6768:
6750:
6732:
6714:
6696:
6676:
6658:
6640:
6620:
6600:
6580:
6562:
6544:
6526:
6508:
6466:
6424:
6404:
6384:
6364:
6344:
6297:
6285:
6273:
6232:
6209:
6186:
6163:
6140:
6117:
6090:
6067:
6044:
6021:
5994:
5971:
5944:
5917:
5894:
5869:
5841:
5813:
5787:
5759:
5752:
5726:
5698:
5691:
5665:
5658:
5632:
5625:
5599:
5592:
5568:
5540:
5533:
5509:
5502:
5478:
5471:
5445:
5422:
5399:
5392:
5366:
5343:
5322:
5315:
5291:
5263:
5240:
5219:
5212:
5188:
5160:
5137:
5113:
5106:
5080:
5054:
5030:
5023:
4999:
4975:
4968:
4944:
4916:
4892:
4885:
4804:
4776:
4749:
4567:for the six tilings with convex
4542:
4533:
4524:
4515:
4506:
4497:
4488:
4479:
4470:
4456:
4447:
4438:
4429:
4420:
4411:
4402:
4393:
4384:
4370:
4361:
4352:
4343:
4334:
4325:
4316:
4307:
4298:
4188:
4183:
4178:
4173:
4168:
4163:
4158:
4149:
4144:
4139:
4134:
4129:
4124:
4119:
4110:
4105:
4100:
4095:
4090:
4085:
4080:
4071:
4066:
4061:
4056:
4051:
4046:
4041:
4032:
4027:
4022:
4017:
4012:
4007:
4002:
3993:
3988:
3983:
3978:
3973:
3968:
3963:
3954:
3949:
3944:
3939:
3934:
3929:
3924:
3915:
3910:
3905:
3900:
3895:
3890:
3885:
3782:General fundamental triangles: (
3769:
3758:
3749:
3738:
3729:
3718:
3709:
3698:
3689:
3675:
3664:
3655:
3644:
3635:
3624:
3615:
3604:
3595:
3581:
3572:
3563:
3554:
3545:
3536:
3527:
3518:
3509:
3495:
3486:
3477:
3468:
3459:
3450:
3441:
3432:
3423:
3330:
3325:
3320:
3315:
3310:
3301:
3296:
3291:
3286:
3281:
3272:
3267:
3262:
3257:
3252:
3243:
3238:
3233:
3228:
3223:
3214:
3209:
3204:
3199:
3194:
3185:
3180:
3175:
3170:
3165:
3156:
3151:
3146:
3141:
3136:
3127:
3122:
3117:
3112:
3107:
2832:A sampling is shown here with a
2797:
2792:
2787:
2782:
2777:
2772:
2767:
2738:
2727:
2716:
2705:
2694:
2683:
2672:
2661:
2650:
2539:
2534:
2529:
2524:
2519:
2514:
2509:
2500:
2495:
2490:
2485:
2480:
2475:
2470:
2461:
2456:
2451:
2446:
2441:
2436:
2431:
2422:
2417:
2412:
2407:
2402:
2397:
2392:
2383:
2378:
2373:
2368:
2363:
2358:
2353:
2344:
2339:
2334:
2329:
2324:
2319:
2314:
2305:
2300:
2295:
2290:
2285:
2280:
2275:
2266:
2261:
2256:
2251:
2246:
2241:
2236:
2133:General fundamental triangles: (
2118:
2107:
2096:
2085:
2074:
2063:
2052:
2041:
2030:
2010:
1999:
1988:
1977:
1966:
1955:
1944:
1933:
1922:
1823:
1818:
1813:
1808:
1803:
1794:
1789:
1784:
1779:
1774:
1765:
1760:
1755:
1750:
1745:
1736:
1731:
1726:
1721:
1716:
1707:
1702:
1697:
1692:
1687:
1678:
1673:
1668:
1663:
1658:
1649:
1644:
1639:
1634:
1629:
1620:
1615:
1610:
1605:
1600:
1267:
1262:
1257:
1252:
1247:
1242:
1237:
1212:
1207:
1202:
1197:
1192:
1187:
1182:
1138:
1133:
1128:
1123:
1118:
1113:
1108:
1076:
1071:
1066:
1061:
1056:
952:
947:
942:
937:
932:
927:
922:
882:
877:
872:
867:
862:
796:
791:
786:
781:
776:
764:{\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}
728:{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}
682:
677:
672:
660:{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}
604:
599:
594:
589:
584:
579:
574:
562:{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}
526:{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}
479:
474:
469:
464:
459:
447:{\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}
400:
395:
390:
385:
380:
368:{\displaystyle {\tilde {B}}_{2}}
321:
316:
311:
299:{\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}
205:of the omnitruncated form. (See
181:. These operations, as named by
96:2). The triangle may exist as a
6195:3.-12.6.-12.3.∞.3.∞
5951:3/2.∞.3/2.4.4.3/2.4/3.4/3
5924:3/2.∞.3/2.∞.3/2.4.4
1303:These symmetry groups create 3
8563:
8527:
8491:
8448:
8405:
8362:
8319:
8089:
8026:
6172:3.12.-6.12.3.∞.3.∞
4673:Table 8: Uniform Tessellations
2847:connecting to the first node.
749:
713:
645:
547:
511:
432:
353:
284:
197:(cutting edges and vertices).
123:for a right triangle domain: (
1:
9500:Regular Division of the Plane
9288:
8143:. W. H. Freeman and Company.
8019:
7812:}. Considering these convex {
9184:
8061:. Springer. pp. 17β64.
7020:(black) with its dual (red).
6979:
6961:
6943:
6925:
6907:
6889:
6871:
6853:
6835:
6817:
6799:
6781:
6763:
6745:
6727:
6709:
6691:
6671:
6653:
6635:
6615:
6595:
6575:
6557:
6539:
6521:
6503:
6461:
6419:
6399:
6379:
6359:
6339:
6227:
6204:
6181:
6158:
6135:
6108:
6085:
6062:
6039:
6012:
5989:
5962:
5935:
5912:
5885:
5859:
5831:
5803:
5777:
5744:
5716:
5683:
5650:
5617:
5584:
5558:
5525:
5494:
5463:
5440:
5417:
5384:
5361:
5355:6/5 6 (6/2 ∞/2) |
5338:
5307:
5281:
5258:
5252:4/3 4 (4/2 ∞/2) |
5235:
5204:
5178:
5155:
5129:
5098:
5072:
5046:
5015:
4991:
4960:
4934:
4908:
4877:
4465:
4379:
4293:
3684:
3590:
3504:
3418:
2643:
2021:
1913:
1226:
1164:
1090:
1037:
692:
624:
7:
9408:Architectonic and catoptric
9306:Aperiodic set of prototiles
8155:(Star tilings section 12.3)
7992:
6147:3/2.∞.3/2.4.4.3/2.4.4
5926:3.-4.-4.3.∞.3.∞
1330:elongated triangular tiling
804:2 reflective forms, 1 snub
612:3 reflective forms, 1 snub
487:7 reflective forms, 1 snub
408:5 reflective forms, 1 snub
329:3 reflective forms, 1 snub
142:is a triangular graph with
10:
10260:
8220:Tessellations of the Plane
7028:. The square tiling, with
4766:order-2 apeirogonal tiling
2814:
1284:
1231:(∞ ∞ ∞)
9693:
9620:
9589:
9551:
9547:
9533:
9394:
9388:
9383:
9296:
9283:
9265:
9192:
9179:
8257:
6315:
6149:3.-4.-4.3.-4.-4.3.∞
6114:
6109:
6018:
6013:
5968:
5963:
5903:3.4.4.3.∞.3.∞
5891:
5886:
5391:
5385:
5314:
5308:
5211:
5205:
5130:
5105:
5022:
4967:
4884:
4839:
1287:List of k-uniform tilings
1033:
839:
822:
616:
259:
242:
154:labeled on the edges. If
8651:Uniform convex honeycomb
6497:drawn for Ο=2 arctan 1/2
8004:List of uniform tilings
6097:4.∞.4/3.8/3.4.8/3
6074:4.∞.4/3.8/3.4.8/3
5953:3.4.4.3.-4.-4.3.∞
4764:(Two half-plane tiles,
4708:.'s table 2 from 1981.
1228:*∞∞∞
222:Coxeter-Dynkin diagrams
8585:
8543:
8507:
8470:
8427:
8384:
8341:
8248:"4D Euclidean tilings"
8201:"Uniform tessellation"
8177:, 1954, 246 A, 401β50
7072:
7021:
6455:drawn for Ο=2 arctan 2
6099:4.8/3.4.8/3.-4.∞
6076:4.8/3.4.8/3.-4.∞
5434:2 6/5 (3/2 6/2) |
4601:tiles can be included.
4588:
4580:
2841:Coxeter-Dynkin diagram
1296:
765:
729:
661:
563:
527:
495:(∞ 2 ∞ 2)
448:
369:
300:
140:Coxeter-Dynkin diagram
9025:Uniform 10-honeycomb
8586:
8544:
8508:
8471:
8428:
8385:
8342:
8163:M. S. Longuet-Higgins
7043:
7024:A tiling can also be
7015:
6316:Tilings with zigzags
6126:3.4.4.3.4.4.3.∞
6051:4.∞.4/3.8.4/3.8
6028:4.∞.4/3.8.4/3.8
5087:∞.3.∞.3/2
5061:6.∞.6/5.∞
4923:4.∞.4/3.∞
4823:Apeirogonal antiprism
4665:M. S. Longuet-Higgins
4586:
4562:
2815:Further information:
1319:apeirogonal antiprism
1294:
1285:Further information:
766:
730:
662:
564:
528:
449:
370:
301:
8553:
8517:
8481:
8438:
8395:
8352:
8309:
8139:Tilings and Patterns
8112:, Manuscript (1991)
8096:Tilings and Patterns
7148:vertex configuration
7131:, and inner ones as
7077:regular star polygon
6685:0<πΌ<Ο, πΌβ Ο/2
5853:| 4/3 4 ∞
5519:6/5 6 ∞ |
5488:4/3 4 ∞ |
5378:6/5 ∞ | 6
5332:6 ∞ | 6/5
5275:4/3 ∞ | 4
5229:4 ∞ | 4/3
5172:2 6 (3/2 6/2) |
5092:3/2 3 | ∞
5089:3.∞.-3.∞
5066:6/5 6 | ∞
5063:6.∞.-6.∞
5009:3/2 | 3 ∞
4928:4/3 4 | ∞
4925:4.∞.-4.∞
4650:Tilings and patterns
739:
703:
635:
537:
501:
422:
343:
274:
203:alternate truncation
189:(cutting vertices),
171:vertex configuration
63:Wythoff construction
8985:Uniform 9-honeycomb
8918:Uniform 8-honeycomb
8856:Uniform 7-honeycomb
8801:Uniform 6-honeycomb
8752:Uniform 5-honeycomb
8700:Uniform 4-honeycomb
8284:Fundamental convex
8246:Klitzing, Richard.
7828:
7293:
7160:
7105:An isotoxal simple
6292:2.11 and 2.13 (p4g)
6280:2.10 and 2.12 (p4m)
6053:4.8.-4.8.-4.∞
6030:4.8.-4.8.-4.∞
5978:4.∞.4/3.8/3.8
5848:3.4.3.4/3.3.∞
5329:6.12/5.∞.12/5
4720:
4647:, in the 1987 book
812:
232:
209:for more details.)
8581:
8539:
8503:
8466:
8423:
8380:
8337:
8290:uniform honeycombs
8198:Weisstein, Eric W.
7983:Topol. related to
7952:Topol. related to
7903:Topol. related to
7871:Topol. related to
7857:Topol. related to
7822:
7775:Topol. related to
7753:Topol. related to
7722:Topol. related to
7699:Topol. related to
7677:Topol. related to
7644:Topol. related to
7620:Topol. related to
7597:Topol. related to
7574:Topol. related to
7552:Topol. related to
7529:Topol. related to
7489:Topol. related to
7456:Topol. related to
7434:Topol. related to
7401:Topol. related to
7359:Topol. related to
7337:Topol. related to
7314:Topol. related to
7291:
7282:Topol. related to
7251:Topol. related to
7220:Topol. related to
7189:Topol. related to
7158:
7073:
7022:
6829:6.12/5.β.β.-β.12/5
6811:6.12/5.β.β.-β.12/5
6533:3.-4.-4.3.-β.-3.-β
6003:-4.8.8/3.4.∞
5980:4.8.8/3.-4.∞
5850:3.4.3.-4.3.∞
5350:12/5.12.12/7.12/11
4715:
4697:that meet Coxeter
4618:Pythagorean tiling
4589:
4581:
1297:
810:
761:
725:
657:
559:
523:
444:
365:
296:
230:
98:spherical triangle
71:fundamental domain
10231:
10230:
10227:
10226:
10223:
10222:
9529:
9528:
9420:Computer graphics
9379:
9378:
9263:
9262:
9140:
9139:
8742:24-cell honeycomb
8566:
8530:
8494:
8451:
8408:
8365:
8322:
8292:in dimensions 2β9
8171:Uniform polyhedra
8110:Uniform Polytopes
8068:978-1-4612-5650-2
7990:
7989:
7782:
7781:
7289:
7288:
7044:This example, 4.8
7008:Self-dual tilings
6998:
6997:
6251:
6250:
6001:4.∞.4.8.8/3
5373:12.6/5.12.∞
5352:12.12/5.-12.-12/5
5226:4.8/3.∞.8/3
4828:
4827:
4795:Apeirogonal prism
4579:is given in red.)
4552:
4551:
3779:
3778:
2903:
2750:
2749:
2130:
2129:
1384:
1315:apeirogonal prism
1278:
1277:
1176:∞ ∞)
811:Hyperbolic plane
808:
807:
752:
716:
648:
550:
514:
435:
356:
287:
52:uniform polyhedra
37:vertex-transitive
10251:
9549:
9548:
9535:
9534:
9487:Conway criterion
9414:Circle Limit III
9385:
9384:
9318:Einstein problem
9285:
9284:
9278:
9271:
9207:Schwarz triangle
9181:
9180:
9166:
9159:
9152:
9143:
9142:
8590:
8588:
8587:
8582:
8580:
8579:
8568:
8567:
8559:
8548:
8546:
8545:
8540:
8538:
8537:
8532:
8531:
8523:
8512:
8510:
8509:
8504:
8502:
8501:
8496:
8495:
8487:
8475:
8473:
8472:
8467:
8465:
8464:
8453:
8452:
8444:
8432:
8430:
8429:
8424:
8422:
8421:
8410:
8409:
8401:
8389:
8387:
8386:
8381:
8379:
8378:
8367:
8366:
8358:
8346:
8344:
8343:
8338:
8336:
8335:
8324:
8323:
8315:
8278:
8271:
8264:
8255:
8254:
8251:
8241:-uniform tilings
8233:-uniform tilings
8211:
8210:
8159:H. S. M. Coxeter
8154:
8142:
8129:GrΓΌnbaum, Branko
8099:
8093:
8087:
8082:
8073:
8072:
8054:
8033:
8030:
8014:Uniform polytope
7981:
7980:
7972:
7971:
7962:
7950:
7949:
7941:
7940:
7932:
7931:
7923:
7922:
7913:
7900:
7899:
7891:
7890:
7881:
7867:
7855:
7854:
7846:
7845:
7836:
7829:
7821:
7773:
7772:
7763:
7751:
7750:
7742:
7741:
7732:
7719:
7718:
7709:
7697:
7696:
7687:
7675:
7674:
7673:
7665:
7664:
7654:
7642:
7641:
7632:
7617:
7616:
7607:
7594:
7593:
7584:
7572:
7571:
7562:
7549:
7548:
7539:
7527:
7526:
7518:
7517:
7509:
7508:
7499:
7487:
7486:
7478:
7477:
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