3857:
2369:
2134:
2161:
1908:
1668:
1337:
2821:
2364:{\displaystyle U={\begin{bmatrix}\cos \rho &-\sin \rho \\\sin \rho &\;\cos \rho \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\xi }&0\\0&e^{i\zeta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\;\cos \sigma &\sin \sigma \\-\sin \sigma &\cos \sigma \\\end{bmatrix}}~.}
1499:
2129:{\displaystyle U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\psi }&0\\0&e^{-i\psi }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\delta }&0\\0&e^{-i\delta }\end{bmatrix}}~.}
1185:
2860:
The physics of large systems is often understood as the outcome of the local operations among its components. Now, it is shown that this picture may be incomplete in quantum systems whose interactions are constrained by
1106:
1819:
1775:
1721:
202:
1901:
1860:
2679:
Barenco, Adriano; Bennett, Charles H.; Cleve, Richard; DiVincenzo, David P.; Margolus, Norman; Shor, Peter; et al. (1 November 1995). "Elementary gates for quantum computation".
1414:
480:
1018:
1663:{\displaystyle \ U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\alpha }\cos \theta &e^{i\beta }\sin \theta \\-e^{-i\beta }\sin \theta &e^{-i\alpha }\cos \theta \\\end{bmatrix}}\ ,}
983:
866:
778:
124:
1483:
357:
722:
425:
902:
814:
509:
1442:
657:
23:. For the restriction on the allowed evolution of quantum systems that ensures the sum of probabilities of all possible outcomes of any event always equals 1, see
1152:
1128:
924:
837:
745:
679:
628:
1332:{\displaystyle U={\begin{bmatrix}a&b\\-e^{i\varphi }b^{*}&e^{i\varphi }a^{*}\\\end{bmatrix}},\qquad \left|a\right|^{2}+\left|b\right|^{2}=1\ ,}
3515:
152:
3729:
2948:
3820:
1023:
2655:
2617:
1368:
3739:
3505:
1780:
74:
2535:
1726:
1675:
3540:
3087:
1865:
1827:
2906:
1486:
440:
3304:
2941:
988:
933:
3379:
2901:
3898:
3535:
3057:
2647:
2519:
842:
754:
3639:
3510:
3424:
2896:
3744:
3634:
3342:
3022:
1447:
316:
684:
3779:
3708:
3590:
3450:
3047:
2934:
2799:
Jarlskog, Cecilia (2006). "Recursive parameterisation and invariant phases of unitary matrices".
388:
3649:
3232:
3037:
2426:
871:
783:
3595:
3332:
3182:
3177:
3012:
2987:
2982:
2436:
2391:
485:
366:
238:
3789:
3147:
2977:
2957:
2398:
1421:
635:
139:
In physics, especially in quantum mechanics, the conjugate transpose is referred to as the
41:
233:. Unitary matrices have significant importance in quantum mechanics because they preserve
8:
3810:
3784:
3362:
3167:
3157:
578:
61:
3861:
3815:
3805:
3759:
3754:
3683:
3619:
3485:
3222:
3217:
3152:
3142:
3007:
2851:
2800:
2781:
2755:
2724:
2690:
2582:
2496:
2431:
1137:
1113:
909:
822:
730:
664:
613:
539:
234:
215:
3893:
3872:
3856:
3659:
3654:
3644:
3624:
3585:
3580:
3409:
3404:
3389:
3384:
3375:
3370:
3317:
3212:
3162:
3107:
3077:
3072:
3052:
3042:
3002:
2877:
2855:
2843:
2785:
2773:
2743:
2716:
2708:
2681:
2661:
2651:
2613:
2586:
2574:
2531:
2500:
2445:
2421:
2146:
748:
595:
Every square matrix with unit
Euclidean norm is the average of two unitary matrices.
230:
140:
52:
35:
20:
3867:
3835:
3764:
3703:
3698:
3678:
3614:
3520:
3490:
3475:
3455:
3394:
3347:
3322:
3312:
3283:
3202:
3197:
3172:
3102:
3082:
2992:
2972:
2880:
2835:
2826:
2765:
2728:
2700:
2605:
2564:
2523:
2488:
2459:
2412:
2403:
2383:
551:
378:
3460:
3565:
3500:
3480:
3465:
3445:
3429:
3327:
3258:
3248:
3207:
3092:
3062:
2633:
133:
2744:"Restrictions on realizable unitary operations imposed by symmetry and locality"
2609:
3825:
3769:
3749:
3734:
3693:
3570:
3530:
3495:
3358:
3337:
3278:
3268:
3253:
3187:
3132:
3122:
3117:
3027:
2918:
2839:
2769:
2479:
Li, Chi-Kwong; Poon, Edward (2002). "Additive decomposition of real matrices".
374:
38:
31:
2569:
2552:
2492:
2373:
Many other factorizations of a unitary matrix in basic matrices are possible.
3887:
3830:
3688:
3629:
3560:
3550:
3545:
3470:
3399:
3273:
3263:
3192:
3112:
3097:
3032:
2847:
2777:
2712:
2704:
2578:
2527:
2450:
1131:
582:
310:
274:
144:
2665:
3713:
3670:
3575:
3288:
3227:
3137:
3017:
2913:
2637:
607:
is a square, complex matrix, then the following conditions are equivalent:
2720:
2641:
3555:
3525:
3293:
3127:
2997:
2695:
2600:
Williams, Colin P. (2011). "Quantum gates". In
Williams, Colin P. (ed.).
1362:
1159:
1155:
226:
2805:
3606:
3067:
1134:(equivalently, there is an orthonormal basis formed by eigenvectors of
515:
3840:
3414:
2885:
24:
3774:
2760:
927:
19:
For matrices with orthogonality over the real number field, see
2926:
559:
2604:. Texts in Computer Science. London, UK: Springer. p. 82.
2914:"Show that the eigenvalues of a unitary matrix have modulus 1"
2689:(5). American Physical Society (APS): 3457â3467, esp.p. 3465.
2678:
1101:{\textstyle \|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}}
16:
Complex matrix whose conjugate transpose equals its inverse
868:
with respect to the usual inner product. In other words,
780:
with respect to the usual inner product. In other words,
2875:
2296:
2240:
2176:
2066:
2003:
1944:
1538:
1341:
which depends on 4 real parameters (the phase of
1200:
1026:
2164:
1911:
1868:
1830:
1783:
1729:
1678:
1502:
1450:
1424:
1371:
1188:
1140:
1116:
991:
936:
912:
874:
845:
825:
786:
757:
733:
687:
667:
638:
616:
488:
443:
391:
319:
155:
77:
577:
unitary matrices with matrix multiplication forms a
2819:
1814:{\displaystyle \ \varphi ,\alpha ,\beta ,\theta \ }
2363:
2128:
1895:
1854:
1813:
1769:
1715:
1662:
1477:
1436:
1408:
1331:
1146:
1122:
1100:
1012:
977:
918:
896:
860:
831:
808:
772:
739:
716:
673:
651:
622:
503:
474:
419:
351:
196:
118:
3885:
2138:This expression highlights the relation between
1454:
1372:
511:will be on the unit circle of the complex plane.
489:
449:
2550:
1770:{\displaystyle \ e^{i\beta }\sin \theta =b\ ,}
1716:{\displaystyle \ e^{i\alpha }\cos \theta =a\ }
377:to a diagonal matrix, as a consequence of the
197:{\displaystyle U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I.}
2942:
2632:
2551:FĂŒhr, Hartmut; Rzeszotnik, Ziemowit (2018).
2514:Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013).
1492:Among several alternative forms, the matrix
1034:
1027:
966:
959:
947:
937:
2643:Quantum Computation and Quantum Information
2513:
1166:
3516:Fundamental (linear differential equation)
2949:
2935:
2299:
2217:
2804:
2759:
2694:
2568:
1896:{\displaystyle \ \beta =\psi -\delta \ ,}
1855:{\displaystyle \ \alpha =\psi +\delta \ }
1000:
930:with respect to the usual norm. That is,
848:
760:
229:, the analogue of a unitary matrix is an
2798:
2599:
598:
3821:Matrix representation of conic sections
2894:
2820:Alhambra, Ălvaro M. (10 January 2022).
2741:
1409:{\displaystyle \det(U)=e^{i\varphi }~.}
1171:
3886:
2672:
2553:"A note on factoring unitary matrices"
2478:
475:{\displaystyle \left|\det(U)\right|=1}
147:(â ), so the equation above is written
2930:
2876:
1013:{\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}
978:{\displaystyle \|Ux\|_{2}=\|x\|_{2}}
253:of finite size, the following hold:
2557:Linear Algebra and Its Applications
13:
2956:
14:
3910:
2869:
2742:Marvian, Iman (10 January 2022).
2602:Explorations in Quantum Computing
1903:has the following factorization:
1361:). The form is configured so the
1349:, the relative magnitude between
3855:
1418:The sub-group of those elements
861:{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
773:{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
385:has a decomposition of the form
143:of a matrix and is denoted by a
119:{\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I,}
3723:Used in science and engineering
1277:
2966:Explicitly constrained entries
2813:
2792:
2735:
2626:
2593:
2544:
2507:
2481:Linear and Multilinear Algebra
2472:
1463:
1457:
1381:
1375:
1086:
1070:
498:
492:
458:
452:
1:
3740:Fundamental (computer vision)
2466:
1496:can be written in this form:
1478:{\displaystyle \ \det(U)=1\ }
839:form an orthonormal basis of
352:{\displaystyle U^{*}U=UU^{*}}
244:
2413:Special orthogonal group SO(
1176:One general expression of a
717:{\displaystyle U^{-1}=U^{*}}
7:
3506:Duplication and elimination
3305:eigenvalues or eigenvectors
2902:Encyclopedia of Mathematics
2610:10.1007/978-1-84628-887-6_2
2376:
546:is the imaginary unit, and
10:
3915:
3439:With specific applications
3068:Discrete Fourier Transform
2840:10.1038/s41567-021-01483-x
2770:10.1038/s41567-021-01464-0
2648:Cambridge University Press
2520:Cambridge University Press
420:{\displaystyle U=VDV^{*},}
257:Given two complex vectors
18:
3849:
3798:
3730:CabibboâKobayashiâMaskawa
3722:
3668:
3604:
3438:
3357:Satisfying conditions on
3356:
3302:
3241:
2965:
2570:10.1016/j.laa.2018.02.017
2493:10.1080/03081080290025507
2437:Special Unitary group SU(
2156:Another factorization is
214:if it is unitary and its
2895:Ivanova, O. A. (2001) ,
2705:10.1103/physreva.52.3457
2528:10.1017/CBO9781139020411
1167:Elementary constructions
897:{\displaystyle UU^{*}=I}
809:{\displaystyle U^{*}U=I}
435:is diagonal and unitary.
3088:Generalized permutation
2822:"Forbidden by symmetry"
504:{\displaystyle \det(U)}
249:For any unitary matrix
3862:Mathematics portal
2427:Semi-orthogonal matrix
2365:
2130:
1897:
1856:
1815:
1777:above, and the angles
1771:
1717:
1664:
1479:
1438:
1410:
1333:
1148:
1124:
1102:
1068:
1014:
979:
920:
898:
862:
833:
810:
774:
741:
718:
675:
653:
624:
505:
476:
421:
353:
239:probability amplitudes
198:
120:
2392:Skew-Hermitian matrix
2366:
2142:unitary matrices and
2131:
1898:
1857:
1821:can take any values.
1816:
1772:
1718:
1665:
1487:special unitary group
1480:
1439:
1437:{\displaystyle \ U\ }
1411:
1334:
1149:
1125:
1103:
1048:
1015:
980:
921:
899:
863:
834:
811:
775:
742:
719:
676:
654:
652:{\displaystyle U^{*}}
625:
599:Equivalent conditions
506:
477:
422:
354:
199:
121:
2824:. News & Views.
2399:Matrix decomposition
2162:
1909:
1866:
1828:
1781:
1727:
1676:
1500:
1448:
1422:
1369:
1365:of such a matrix is
1186:
1172:2 Ă 2 unitary matrix
1138:
1114:
1024:
989:
934:
910:
872:
843:
823:
784:
755:
731:
685:
665:
636:
614:
558:For any nonnegative
486:
441:
389:
317:
269:, multiplication by
153:
75:
3811:Linear independence
3058:Diagonally dominant
2404:Orthogonal group O(
2147:orthogonal matrices
681:is invertible with
62:conjugate transpose
3816:Matrix exponential
3806:Jordan normal form
3640:Fisher information
3511:Euclidean distance
3425:Totally unimodular
2878:Weisstein, Eric W.
2432:Quantum logic gate
2361:
2349:
2285:
2229:
2126:
2114:
2055:
1992:
1893:
1852:
1811:
1767:
1713:
1660:
1648:
1475:
1434:
1406:
1329:
1268:
1180:unitary matrix is
1144:
1120:
1098:
1010:
975:
916:
894:
858:
829:
806:
770:
737:
714:
671:
649:
620:
540:matrix exponential
524:can be written as
501:
472:
417:
349:
216:matrix determinant
194:
116:
3899:Unitary operators
3881:
3880:
3873:Category:Matrices
3745:Fuzzy associative
3635:Doubly stochastic
3343:Positive-definite
3023:Block tridiagonal
2922:. March 28, 2016.
2682:Physical Review A
2657:978-1-10700-217-3
2646:. Cambridge, UK:
2619:978-1-84628-887-6
2446:Symplectic matrix
2422:Orthogonal matrix
2357:
2122:
1889:
1871:
1851:
1833:
1810:
1786:
1763:
1732:
1712:
1681:
1656:
1505:
1474:
1453:
1433:
1427:
1402:
1325:
1147:{\displaystyle U}
1123:{\displaystyle U}
1096:
919:{\displaystyle U}
832:{\displaystyle U}
749:orthonormal basis
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