25:
897:
714:
1933:
794:
1811:
1305:
1014:
1445:
461:
1064:
1486:
374:
2613:
2380:
2548:
2473:
402:
1385:
1210:
2251:
1723:
1168:
958:
156:
2220:
2188:
2152:
1751:
1243:
1137:
925:
487:
1696:
lie on a circle centered at the intersection of their perpendicular bisector and the boundary. By the above proposition this circle can be moved by affine motion to
226:
2121:
2078:
1105:
650:
296:
1997:
1343:
751:
266:
192:
1965:
2503:
2440:
778:
2572:
2408:
2343:
2052:
2026:
1692:
1668:
1640:
1616:
1592:
1568:
1540:
1516:
611:
585:
565:
539:
515:
657:
1855:
892:{\displaystyle {\mathcal {Z}}:=\left\{\left(\cos ^{2}\theta ,{\tfrac {1}{2}}\sin 2\theta \right)\mid 0<\theta <\pi \right\}}
89:
61:
2675:
1758:
1252:
967:
1392:
410:
68:
2635:
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42:
1025:
75:
2665:
1450:
2726:
46:
57:
2721:
2262:
1826:
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2584:
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2522:
2447:
379:
1352:
1177:
2716:
2229:
1701:
1146:
934:
134:
2201:
2169:
2133:
1732:
1224:
1113:
906:
466:
547:
in the upper half-plane with centers on the boundary. Then there is an affine mapping that takes
2577:
35:
2736:
2731:
2277:
1545:
82:
2650:
2320:
2004:
1246:
313:
301:
205:
2289:
2100:
2057:
1075:
620:
275:
2514:
2084:
1970:
1316:
724:
239:
165:
1941:
8:
2618:
2576:
copies of the upper half-plane. Yet another space interesting to number theorists is the
2417:
2413:
2258:
1822:
1645:
2488:
2422:
760:
2645:
2557:
2393:
2328:
2308:
2304:
2293:
2281:
2037:
2011:
1677:
1653:
1625:
1601:
1577:
1553:
1525:
1501:
596:
570:
550:
524:
500:
2193:
1648:
can be used to define a distance that is invariant under dilation. In the former case
2692:
2689:
2630:
2266:
2161:
1813:
and logarithmic measure on this ray. In consequence, the upper half-plane becomes a
2385:
2324:
2088:
2000:
1818:
1215:
2670:
197:
2655:
2640:
2478:
2157:
2126:
1846:
1842:
2710:
2660:
2510:
2270:
1838:
709:{\displaystyle \lambda =({\text{diameter of}}\ B)/({\text{diameter of}}\ A)}
2092:
1814:
1928:{\displaystyle {\mathcal {H}}:=\{x+iy\mid y>0;\ x,y\in \mathbb {R} \}.}
1308:
122:
1596:
either intersects the boundary or is parallel to it. In the latter case
2517:
is concerned with the study of certain functions on the direct product
2031:
1019:
544:
2697:
2481:
1544:
in the upper half-plane can be consistently defined as follows: The
24:
1938:
The term arises from a common visualization of the complex number
2008:
1837:
Mathematicians sometimes identify the
Cartesian plane with the
1841:, and then the upper half-plane corresponds to the set of
2687:
2196:"), meaning that it is usually possible to pass between
1755:
can be defined using the correspondence with points on
979:
939:
838:
2587:
2560:
2525:
2491:
2450:
2425:
2396:
2354:
2331:
2307:
of the upper half-plane and the real axis. It is the
2232:
2204:
2172:
2136:
2103:
2060:
2040:
2014:
1973:
1944:
1858:
1761:
1735:
1704:
1680:
1656:
1628:
1604:
1580:
1556:
1528:
1504:
1453:
1395:
1355:
1319:
1255:
1227:
1180:
1149:
1116:
1078:
1028:
970:
937:
909:
797:
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727:
660:
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599:
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527:
503:
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413:
382:
326:
278:
242:
208:
168:
137:
1806:{\displaystyle {\bigl \{}(1,y)\mid y>0{\bigr \}}}
1300:{\displaystyle {\bigl \{}(1,y)\mid y>0{\bigr \}}}
1009:{\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},0{\bigr )},}
1440:{\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta }
49:. Unsourced material may be challenged and removed.
2607:
2566:
2542:
2497:
2467:
2434:
2402:
2374:
2337:
2245:
2214:
2182:
2146:
2125:is equally good, but less used by convention. The
2115:
2072:
2046:
2020:
1991:
1959:
1927:
1805:
1745:
1717:
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1586:
1562:
1534:
1510:
1480:
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1379:
1337:
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1237:
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1058:
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952:
919:
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772:
745:
708:
644:
605:
579:
559:
533:
509:
481:
456:{\displaystyle (x,y)\mapsto (\lambda x,\lambda y)}
455:
396:
368:
290:
260:
220:
186:
150:
2708:
2442:. In this terminology, the upper half-plane is
16:Complex numbers with non-negative imaginary part
1817:. The generic name of this metric space is the
1644:lie on a ray perpendicular to the boundary and
300:instead. Each is an example of two-dimensional
1798:
1764:
1292:
1258:
998:
973:
2269:. The Poincaré metric provides a hyperbolic
1919:
1869:
1059:{\displaystyle \rho (\theta )=\cos \theta .}
1481:{\displaystyle \rho (\theta )=\cos \theta }
1825:, this model is frequently designated the
929:can be recognized as the circle of radius
1915:
390:
109:Learn how and when to remove this message
2054:axis and thus complex numbers for which
2709:
2034:" corresponds to the region above the
2688:
784:
1496:The distance between any two points
369:{\displaystyle (x,y)\mapsto (x+c,y)}
47:adding citations to reliable sources
18:
2608:{\displaystyle {\mathcal {H}}_{n},}
2375:{\displaystyle {\mathcal {H}}^{n},}
2292:of surfaces with constant negative
2257:It also plays an important role in
2156:(the set of all complex numbers of
2095:. The lower half-plane, defined by
2030:is oriented vertically, the "upper
13:
2591:
2543:{\displaystyle {\mathcal {H}}^{n}}
2529:
2468:{\displaystyle {\mathcal {H}}^{2}}
2454:
2358:
2314:
2235:
2207:
2175:
2160:less than one) is equivalent by a
2139:
1861:
1738:
1707:
1491:
1488:is the reciprocal of that length.
1230:
1152:
912:
800:
307:
140:
14:
2748:
2636:Extended complex upper-half plane
2087:of many functions of interest in
591:Proof: First shift the center of
397:{\displaystyle c\in \mathbb {R} }
1832:
1380:{\displaystyle (1,\tan \theta )}
1205:{\displaystyle (1,\tan \theta )}
316:of the upper half-plane include
23:
2666:Moduli stack of elliptic curves
2246:{\displaystyle {\mathcal {D}}.}
1718:{\displaystyle {\mathcal {Z}}.}
1163:{\displaystyle {\mathcal {Z}},}
953:{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
151:{\displaystyle {\mathcal {H}},}
34:needs additional citations for
2319:One natural generalization in
2215:{\displaystyle {\mathcal {H}}}
2183:{\displaystyle {\mathcal {H}}}
2147:{\displaystyle {\mathcal {D}}}
1986:
1974:
1781:
1769:
1746:{\displaystyle {\mathcal {Z}}}
1463:
1457:
1374:
1356:
1332:
1320:
1275:
1263:
1238:{\displaystyle {\mathcal {Z}}}
1199:
1181:
1132:{\displaystyle \rho (\theta )}
1126:
1120:
1091:
1079:
1038:
1032:
920:{\displaystyle {\mathcal {Z}}}
740:
728:
703:
689:
681:
667:
636:
624:
482:{\displaystyle \lambda >0.}
450:
432:
429:
426:
414:
363:
345:
342:
339:
327:
255:
243:
181:
169:
1:
2681:
2676:Schwarz–Ahlfors–Pick theorem
2265:provides a way of examining
1821:. In terms of the models of
1311:. Indeed, the diagonal from
7:
2624:
10:
2753:
2384:the maximally symmetric,
2311:of the upper half-plane.
2263:Poincaré half-plane model
1827:Poincaré half-plane model
2290:universal covering space
2617:which is the domain of
2578:Siegel upper half-space
2301:closed upper half-plane
719:and dilate. Then shift
221:{\displaystyle y>0.}
2609:
2568:
2544:
2499:
2469:
2436:
2404:
2376:
2339:
2278:uniformization theorem
2247:
2216:
2184:
2148:
2117:
2116:{\displaystyle y<0}
2074:
2073:{\displaystyle y>0}
2048:
2022:
1993:
1961:
1929:
1807:
1747:
1719:
1688:
1664:
1636:
1612:
1588:
1564:
1546:perpendicular bisector
1536:
1512:
1482:
1441:
1381:
1339:
1301:
1239:
1206:
1164:
1133:
1101:
1100:{\displaystyle (0,0),}
1060:
1010:
954:
921:
893:
774:
747:
710:
646:
645:{\displaystyle (0,0).}
607:
581:
561:
535:
511:
483:
457:
398:
370:
314:affine transformations
292:
291:{\displaystyle y<0}
262:
222:
188:
152:
2727:Differential geometry
2610:
2569:
2545:
2515:Hilbert modular forms
2500:
2470:
2437:
2405:
2377:
2340:
2321:differential geometry
2248:
2217:
2185:
2149:
2118:
2075:
2049:
2023:
2005:Cartesian coordinates
1994:
1992:{\displaystyle (x,y)}
1962:
1930:
1808:
1748:
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1665:
1637:
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1589:
1565:
1537:
1513:
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1382:
1340:
1338:{\displaystyle (0,0)}
1302:
1240:
1207:
1165:
1134:
1102:
1061:
1011:
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922:
894:
775:
748:
746:{\displaystyle (0,0)}
711:
647:
608:
582:
562:
536:
512:
484:
458:
399:
371:
293:
263:
261:{\displaystyle (x,y)}
234:is the set of points
223:
189:
187:{\displaystyle (x,y)}
160:is the set of points
153:
2619:Siegel modular forms
2585:
2558:
2523:
2489:
2448:
2423:
2394:
2352:
2329:
2230:
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2170:
2134:
2101:
2058:
2038:
2012:
1971:
1960:{\displaystyle x+iy}
1942:
1856:
1759:
1733:
1702:
1678:
1654:
1626:
1602:
1578:
1554:
1548:of the segment from
1526:
1502:
1451:
1393:
1353:
1317:
1253:
1225:
1178:
1147:
1114:
1076:
1026:
968:
935:
907:
795:
761:
725:
658:
621:
597:
571:
551:
525:
501:
467:
411:
380:
324:
276:
240:
206:
166:
135:
43:improve this article
2722:Hyperbolic geometry
2418:sectional curvature
2414:Riemannian manifold
2259:hyperbolic geometry
1823:hyperbolic geometry
1646:logarithmic measure
1389:has squared length
2693:"Upper Half-Plane"
2690:Weisstein, Eric W.
2646:Fundamental domain
2605:
2564:
2540:
2498:{\displaystyle 2.}
2495:
2465:
2435:{\displaystyle -1}
2432:
2400:
2372:
2335:
2294:Gaussian curvature
2267:hyperbolic motions
2243:
2212:
2180:
2144:
2113:
2070:
2044:
2018:
1989:
1957:
1925:
1803:
1743:
1715:
1684:
1660:
1632:
1608:
1584:
1560:
1532:
1508:
1478:
1437:
1377:
1335:
1297:
1235:
1202:
1160:
1129:
1097:
1056:
1006:
988:
950:
948:
917:
889:
847:
785:Inversive geometry
773:{\displaystyle B.}
770:
743:
706:
642:
603:
577:
557:
531:
507:
479:
453:
394:
366:
288:
258:
218:
184:
148:
58:"Upper half-plane"
2631:Cusp neighborhood
2567:{\displaystyle n}
2403:{\displaystyle n}
2338:{\displaystyle n}
2162:conformal mapping
2047:{\displaystyle x}
2021:{\displaystyle y}
1901:
1687:{\displaystyle q}
1663:{\displaystyle p}
1635:{\displaystyle q}
1611:{\displaystyle p}
1587:{\displaystyle q}
1563:{\displaystyle p}
1535:{\displaystyle q}
1511:{\displaystyle p}
987:
947:
846:
755:to the center of
699:
695:
677:
673:
606:{\displaystyle A}
580:{\displaystyle B}
560:{\displaystyle A}
534:{\displaystyle B}
510:{\displaystyle A}
119:
118:
111:
93:
2744:
2717:Complex analysis
2703:
2702:
2616:
2614:
2612:
2611:
2606:
2601:
2600:
2595:
2594:
2575:
2573:
2571:
2570:
2565:
2551:
2549:
2547:
2546:
2541:
2539:
2538:
2533:
2532:
2513:, the theory of
2506:
2504:
2502:
2501:
2496:
2476:
2474:
2472:
2471:
2466:
2464:
2463:
2458:
2457:
2441:
2439:
2438:
2433:
2411:
2409:
2407:
2406:
2401:
2386:simply connected
2383:
2381:
2379:
2378:
2373:
2368:
2367:
2362:
2361:
2344:
2342:
2341:
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