4100:
3561:
6621:
6169:
4095:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}}{\left(\partial x\right)^{2}}}V(x_{c};\sigma ,\gamma )&={\frac {x_{c}^{2}-\gamma ^{2}-\sigma ^{2}}{\sigma ^{4}}}{\frac {\operatorname {Re} \left}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}-{\frac {2x_{c}\gamma }{\sigma ^{4}}}{\frac {\operatorname {Im} \left}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}+{\frac {\gamma }{\sigma ^{4}}}{\frac {1}{\pi }}\\&=-{\frac {1}{\sigma ^{5}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\gamma \cdot \left(2x_{c}\cdot \operatorname {Im} \left-\sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\right)+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-x_{c}^{2}\right)\cdot \operatorname {Re} \left\right),\end{aligned}}}
3550:
6971:
6175:
3137:
5776:
5178:
5491:
6627:
6616:{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial V''}{\partial \sigma }}=-{\frac {1}{\sigma ^{8}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \\&\left(\left(-3\gamma x_{c}\sigma ^{2}+\gamma x_{c}^{3}-\gamma ^{3}x_{c}\right)\cdot 4\cdot \Im _{w}+\left(\left(2x_{c}^{2}-2\gamma ^{2}-\sigma ^{2}\right)\cdot 3\sigma ^{2}+6\gamma ^{2}x_{c}^{2}-x_{c}^{4}-\gamma ^{4}\right)\cdot \Re _{w}+\left(\gamma ^{2}+5\sigma ^{2}-3x_{c}^{2}\right)\cdot \gamma \sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\right)\end{aligned}}}
3545:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}V(x_{c};\sigma ,\gamma )&=-{\frac {\operatorname {Re} \left}{\sigma ^{2}{\sqrt {\pi }}}}=-{\frac {x_{c}}{\sigma ^{2}}}{\frac {\operatorname {Re} \left}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}+{\frac {\gamma }{\sigma ^{2}}}{\frac {\operatorname {Im} \left}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\\&={\frac {1}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\gamma \cdot \operatorname {Im} \left-x_{c}\cdot \operatorname {Re} \left\right)\end{aligned}}}
2882:
6164:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V''}{\partial \mu _{V}}}=-{\frac {\partial V''}{\partial x}}=-{\frac {\partial ^{3}V}{\left(\partial x\right)^{3}}}=-{\frac {3}{\sigma ^{7}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\left(x_{c}^{2}-{\frac {\gamma ^{2}}{3}}-\sigma ^{2}\right)\cdot \gamma \cdot \Im _{w}+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-{\frac {x_{c}^{2}}{3}}\right)\cdot x_{c}\cdot \Re _{w}-\gamma \sigma x_{c}\cdot {\frac {2{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi }}}}\right)\end{aligned}}}
11804:
30:
5184:
4872:
5717:
47:
6966:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V''}{\partial \gamma }}=-{\frac {3}{\sigma ^{7}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-{\frac {x_{c}^{2}}{3}}\right)\cdot x_{c}\cdot \Im _{w}+\left({\frac {\gamma ^{2}}{3}}+\sigma ^{2}-x_{c}^{2}\right)\cdot \gamma \cdot \Re _{w}+\left(x_{c}^{2}-\gamma ^{2}-2\sigma ^{2}\right)\cdot \sigma \cdot {\frac {\sqrt {2}}{3{\sqrt {\pi }}}}\right)\end{aligned}}}
4684:
11814:
5486:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V'}{\partial \sigma }}={\frac {3}{\sigma ^{6}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(-\gamma \sigma x_{c}\cdot {\frac {2{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi }}}}+\left(x_{c}^{2}-{\frac {\gamma ^{2}}{3}}-\sigma ^{2}\right)\cdot \gamma \cdot \Im _{w}+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-{\frac {x_{c}^{2}}{3}}\right)\cdot x_{c}\cdot \Re _{w}\right)\end{aligned}}}
5173:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V'}{\partial \mu _{V}}}=-{\frac {\partial V'}{\partial x}}=-{\frac {\partial ^{2}V}{\left(\partial x\right)^{2}}}={\frac {1}{\sigma ^{5}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\gamma \cdot \left(2x_{c}\cdot \Im _{w}-\sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\right)+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-x_{c}^{2}\right)\cdot \Re _{w}\right)\end{aligned}}}
4841:
1752:
4473:
5497:
4479:
2631:
2086:
4690:
1533:
5712:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V'}{\partial \gamma }}={\frac {1}{\sigma ^{5}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(x_{c}\cdot \left(\sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}-2\gamma \cdot \Re _{w}\right)+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-x_{c}^{2}\right)\cdot \Im _{w}\right)\end{aligned}}}
4313:
4679:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V}{\partial \sigma }}={\frac {1}{\sigma ^{4}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\left(x_{c}^{2}-\gamma ^{2}-\sigma ^{2}\right)\cdot \Re _{w}-2x_{c}\gamma \cdot \Im _{w}+\gamma \sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\right)\end{aligned}}}
7450:
9573:
627:
9467:
772:
1902:
2769:
252:
1502:
2456:
1913:
994:
35:
Plot of the centered Voigt profile for four cases. Each case has a full width at half-maximum of very nearly 3.6. The black and red profiles are the limiting cases of the
Gaussian (γ =0) and the Lorentzian (σ =0) profiles respectively.
8395:
7555:
7044:
8891:
4836:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V}{\partial \gamma }}=-{\frac {1}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}-x_{c}\cdot \Im _{w}-\gamma \cdot \Re _{w}\right)\end{aligned}}}
7731:
1747:{\displaystyle F(x_{0};\mu ,\sigma )=\int _{-\infty }^{x_{0}}{\frac {\operatorname {Re} (w(z))}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,dx=\operatorname {Re} \left({\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{z(-\infty )}^{z(x_{0})}w(z)\,dz\right).}
895:
4468:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V}{\partial \mu _{V}}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}}={\frac {1}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(x_{c}\cdot \Re _{w}-\gamma \cdot \Im _{w}\right)\end{aligned}}}
10436:
The original article is : Voigt, Woldemar, 1912, ''Das Gesetz der
Intensitätsverteilung innerhalb der Linien eines Gasspektrums'', Sitzungsbericht der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, 25, 603 (see also:
1333:
2841:
9698:
8679:
8048:
8168:
Thus the line broadening function can be viewed, to first order, as a pure
Gaussian function plus a correction factor that depends linearly on the microscopic properties of the absorbing medium (encoded in
1061:
7113:, their respective partial derivatives also look quite similar in terms of their structure, although they result in totally different derivative profiles. Indeed, the partial derivatives with respect to
9307:
2333:
7823:
5768:
8282:
7777:
6632:
6180:
5781:
5502:
5189:
4877:
4695:
4484:
4318:
3566:
3142:
9578:
Again, this expression is exact for a pure
Gaussian or Lorentzian. In the same publication, a slightly more precise (within 0.012%), yet significantly more complicated expression can be found.
7306:
450:
4305:
4247:
9481:
7617:
9354:
2448:
9365:
137:
9910:
1157:
88:
7153:
show more similarity since both are width parameters. All these derivatives involve only simple operations (multiplications and additions) because the computationally expensive
8469:
677:
3125:
1771:
9732:
8711:
7271:
7236:
8163:
8127:
1237:
In spectroscopy, a Voigt profile results from the convolution of two broadening mechanisms, one of which alone would produce a
Gaussian profile (usually, as a result of the
503:
8084:
1227:
1192:
810:
669:
2968:
2942:
2916:
2669:
2125:
150:
11853:
9229:
1116:
1090:
7205:
7178:
7071:
4145:
3015:
2871:
2661:
2395:
2368:
9870:
9844:
9785:
7151:
7131:
7091:
4185:
4165:
3055:
3035:
2626:{\displaystyle \varphi _{f}(t;\sigma ,\gamma ,\mu _{\mathrm {G} },\mu _{\mathrm {L} })=e^{i(\mu _{\mathrm {G} }+\mu _{\mathrm {L} })t-\sigma ^{2}t^{2}/2-\gamma |t|}.}
2081:{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int w(z)\,dz={\frac {\operatorname {erf} (z)}{2}}+{\frac {iz^{2}}{\pi }}\,_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2}},2;-z^{2}\right),}
9811:
8504:
8433:
7880:
8968:
8941:
8914:
8761:
8734:
1368:
906:
8290:
9752:
9012:
8988:
8207:
8187:
7844:
7456:
7111:
4864:
3079:
2988:
328:
300:
10462:
8769:
7649:
818:
10082:
Sánchez-Bajo, F.; F. L. Cumbrera (August 1997). "The Use of the Pseudo-Voigt
Function in the Variance Method of X-ray Line-Broadening Analysis".
9243:(FWHM) of the Voigt profile can be found from the widths of the associated Gaussian and Lorentzian widths. The FWHM of the Gaussian profile is
6979:
10402:
Martinelli, L.; Biało, I.; Hong, X.; Oppliger, J.; et al. (2024). "Decoupled static and dynamical charge correlations in La2−xSrxCuO4".
9912:, the Martinelli function returns to a symmetry pseudo Voigt function. The Martinelli function has been used to model elastic scattering on
1359:
1347:
1263:
374:
10591:
10047:
Wertheim GK, Butler MA, West KW, Buchanan DN (1974). "Determination of the
Gaussian and Lorentzian content of experimental line shapes".
2780:
9595:
8576:
11817:
11074:
7899:
10982:
9943:
11769:
10154:"The Voigt Profile as a Sum of a Gaussian and a Lorentzian Functions, when the Weight Coefficient Depends Only on the Widths Ratio"
1009:
2135:
approaches negative infinity (as the CDF must do), an integration constant of 1/2 must be added. This gives for the CDF of Voigt:
11635:
10847:
10606:
10455:
9249:
2141:
7782:
11530:
11294:
9359:
An approximate relation (accurate to within about 1.2%) between the widths of the Voigt, Gaussian, and
Lorentzian profiles is:
10968:
9952:
4108:
Often, one or multiple Voigt profiles and/or their respective derivatives need to be fitted to a measured signal by means of
8212:
1338:
since it is a convolution of normalized profiles. The
Lorentzian profile has no moments (other than the zeroth), and so the
11289:
11233:
11131:
10893:
10531:
7445:{\displaystyle U(x,t)+iV(x,t)={\sqrt {\frac {\pi }{4t}}}e^{z^{2}}\operatorname {erfc} (z)={\sqrt {\frac {\pi }{4t}}}w(iz),}
8189:); however, as a result of the early truncation in the series expansion, the error in the approximation is still of order
11575:
11309:
11162:
10837:
10581:
9913:
9568:{\displaystyle f_{\mathrm {V} }\approx 0.5346f_{\mathrm {L} }+{\sqrt {0.2166f_{\mathrm {L} }^{2}+f_{\mathrm {G} }^{2}}}.}
8506:
is easy to implement as well as computationally fast. It is widely used in the field of quasar absorption line analysis.
7739:
5725:
11039:
10368:
John F. Kielkopf (1973), "New approximation to the Voigt function with applications to spectral-line profile analysis",
381:
11807:
11479:
11455:
11034:
10448:
10236:
P. Thompson, D. E. Cox and J. B. Hastings (1987). "Rietveld refinement of Debye-Scherrer synchrotron X-ray data from Al
4252:
4194:
11838:
11676:
11553:
11514:
11486:
11460:
11378:
11304:
10727:
10475:
7566:
29:
7847:, is a combination of an exponential function and rational functions that approximates the line broadening function
1241:), and the other would produce a Lorentzian profile. Voigt profiles are common in many branches of spectroscopy and
11664:
11630:
11496:
11491:
11336:
11144:
10842:
10596:
497:
Without loss of generality, we can consider only centered profiles, which peak at zero. The Voigt profile is then
258:
11414:
11327:
11299:
11208:
11157:
11029:
10812:
10777:
9462:{\displaystyle f_{\mathrm {V} }\approx f_{\mathrm {L} }/2+{\sqrt {f_{\mathrm {L} }^{2}/4+f_{\mathrm {G} }^{2}}}.}
9318:
2400:
11428:
11345:
11182:
11106:
10929:
10807:
10782:
10646:
10641:
10636:
10117:
Liu Y, Lin J, Huang G, Guo Y, Duan C (2001). "Simple empirical analytical approximation to the Voigt profile".
11744:
11610:
11318:
11167:
11099:
11084:
10977:
10951:
10883:
10722:
10616:
10611:
10553:
10538:
4116:. Then, further partial derivatives can be utilised to accelerate computations. Instead of approximating the
1346:
is not defined. It follows that the Voigt profile will not have a moment-generating function either, but the
101:
10325:
Olivero, J. J.; R. L. Longbothum (February 1977). "Empirical fits to the Voigt line width: A brief review".
9978:"Voigt profile fitting to quasar absorption lines: an analytic approximation to the Voigt-Hjerting function"
9875:
11580:
11570:
11261:
11187:
10888:
10747:
7623:
7238:. Such a reuse of previous calculations allows for a derivation at minimum costs. This is not the case for
143:
11640:
1121:
767:{\displaystyle G(x;\sigma )\equiv {\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}{{\sqrt {2\pi }}\,\sigma }},}
61:
11625:
11620:
11565:
11501:
11445:
11266:
11253:
11044:
10989:
10941:
10732:
10661:
10526:
1897:{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int w(z)\,dz={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int e^{-z^{2}}\left\,dz,}
1515:(up to change of scale), and it follows that the Voigt distributions are also closed under convolution.
11848:
11759:
11535:
11354:
11136:
11089:
10958:
10934:
10914:
10757:
10631:
10511:
9240:
8991:
8737:
8438:
1339:
622:{\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )\equiv \int _{-\infty }^{\infty }G(x';\sigma )L(x-x';\gamma )\,dx',}
364:
10201:
Ida T, Ando M, Toraya H (2000). "Extended pseudo-Voigt function for approximating the Voigt profile".
3084:
11764:
11548:
11509:
11383:
11220:
11064:
11009:
10907:
10871:
10742:
10707:
9705:
9587:
8684:
7245:
7210:
8132:
8089:
2764:{\displaystyle V(x;\mu _{V},\sigma ,\gamma )={\frac {\operatorname {Re} }{\sigma {\sqrt {2\pi }}}},}
247:{\displaystyle {\frac {\Re }{\sigma {\sqrt {2\pi }}}},~~~z={\frac {x+i\gamma }{\sigma {\sqrt {2}}}}}
11450:
11238:
11004:
10963:
10878:
10832:
10772:
10737:
10626:
10521:
10471:
9590:
by having different widths on each side of the peak position. Mathematically this is expressed as:
8056:
4109:
466:
10035:
1197:
1162:
780:
639:
11749:
11691:
11362:
11149:
11059:
11014:
10999:
10817:
10767:
10762:
10563:
10543:
2947:
2921:
2888:
2128:
2094:
10919:
3128:
11615:
11603:
11592:
11474:
11370:
11177:
10621:
10601:
10506:
9020:
1095:
1069:
7183:
7156:
7049:
4123:
2993:
2849:
2639:
2373:
2346:
1497:{\displaystyle \varphi _{f}(t;\sigma ,\gamma )=E(e^{ixt})=e^{-\sigma ^{2}t^{2}/2-\gamma |t|}.}
11843:
11739:
11696:
11540:
11215:
11069:
11049:
10946:
10516:
9849:
9816:
9757:
9475:
A better approximation with an accuracy of 0.02% is given by (originally found by
Kielkopf)
7136:
7116:
7076:
4170:
4150:
3040:
3020:
989:{\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )={\frac {\operatorname {Re} }{{\sqrt {2\pi }}\,\sigma }},}
94:
54:
9790:
8474:
8403:
7850:
3057:(the second, third, and fourth column, respectively), obtained analytically and numerically.
11789:
11784:
11779:
11774:
11711:
11681:
11560:
11203:
11094:
10697:
10656:
10651:
10548:
10377:
10334:
10288:
10253:
10165:
10126:
10091:
10056:
9999:
9962:
8946:
8919:
8899:
8746:
8719:
8390:{\displaystyle \epsilon \equiv {\frac {\vert H(a,u)-T(a,u)\vert }{H(a,u)}}\lesssim 10^{-4}}
1508:
10994:
7550:{\displaystyle H(a,u)={\frac {U({\frac {u}{a}},{\frac {1}{4a^{2}}})}{{\sqrt {\pi }}\,a}},}
8:
11723:
11248:
11228:
11198:
11172:
11126:
11054:
10866:
10802:
8564:
8546:
4113:
1355:
1351:
1343:
478:
474:
10381:
10338:
10292:
10257:
10169:
10130:
10095:
10060:
10003:
11754:
11243:
11024:
11019:
10924:
10861:
10856:
10712:
10702:
10586:
10403:
10218:
10017:
9989:
9737:
8997:
8973:
8531:
8192:
8172:
7239:
7096:
4849:
4188:
3064:
2973:
1242:
1238:
313:
285:
46:
11652:
11079:
10822:
10752:
10717:
10666:
10350:
10346:
10304:
10300:
10183:
10012:
9977:
9948:
9938:
8535:
7635:
1758:
1246:
1000:
306:
10222:
10021:
10827:
10501:
10440:
10385:
10342:
10296:
10261:
10210:
10173:
10134:
10099:
10064:
10007:
9958:
8886:{\displaystyle \eta =1.36603(f_{L}/f)-0.47719(f_{L}/f)^{2}+0.11116(f_{L}/f)^{3},}
4117:
354:
7726:{\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )={\frac {H(a,u)}{{\sqrt {2\pi }}\,\sigma }},}
10900:
10279:
Whiting, E. E. (June 1968). "An empirical approximation to the Voigt profile".
10178:
10153:
8570:
The mathematical definition of the normalized pseudo-Voigt profile is given by
2636:
The probability density function is simply offset from the centered profile by
1762:
462:
268:
10265:
10214:
10103:
890:{\displaystyle L(x;\gamma )\equiv {\frac {\gamma }{\pi (\gamma ^{2}+x^{2})}}.}
11832:
11523:
10558:
10354:
10308:
10187:
9472:
By construction, this expression is exact for a pure Gaussian or Lorentzian.
10138:
1249:, the Voigt profile is sometimes approximated using a pseudo-Voigt profile.
10389:
7883:
2881:
482:
10426:
10235:
9994:
8563:
The pseudo-Voigt function is often used for calculations of experimental
8557:
7039:{\displaystyle V''={\frac {\partial ^{2}V}{\left(\partial x\right)^{2}}}}
1512:
486:
470:
10034:
List of citations found in the SAO/NASA Astrophysics Data System (ADS):
10068:
1527:, the cumulative distribution function (CDF) can be found as follows:
1362:
for the (centered) Voigt profile will then be the product of the two:
10429:, numeric C library for complex error functions, provides a function
7882:
over a wide range of its parameters. It is obtained from a truncated
1328:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }V(x;\sigma ,\gamma )\,dx=1,}
9941:; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.),
3127:, the first and second derivatives can be expressed in terms of the
10408:
2836:{\displaystyle z={\frac {x-\mu _{V}+i\gamma }{\sigma {\sqrt {2}}}}}
344:
334:
9693:{\displaystyle V_{p}(x,f)=\eta \cdot L(x,f)+(1-\eta )\cdot G(x,f)}
8674:{\displaystyle V_{p}(x,f)=\eta \cdot L(x,f)+(1-\eta )\cdot G(x,f)}
9581:
8043:{\displaystyle T(a,u)=R-\left(a/{\sqrt {\pi }}P\right)~\left\,,}
4191:, the corresponding analytical expressions can be applied. With
10036:
https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/2006MNRAS.369.2025T/citations
278:
9586:
The asymmetry pseudo-Voigt (Martinelli) function resembles a
1056:{\displaystyle z={\frac {x+i\gamma }{{\sqrt {2}}\,\sigma }}.}
9934:
10401:
10327:
Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer
10281:
Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer
9302:{\displaystyle f_{\mathrm {G} }=2\sigma {\sqrt {2\ln(2)}}.}
2328:{\displaystyle F(x;\mu ,\sigma )=\operatorname {Re} \left.}
1354:
is well defined, as is the characteristic function for the
10081:
10046:
7818:{\displaystyle a={\frac {\gamma }{{\sqrt {2}}\,\sigma }}.}
2970:) and its first two partial derivatives with respect to
1507:
Since normal distributions and Cauchy distributions are
10324:
8277:{\displaystyle H(a,u)\approx T(a,u)+{\mathcal {O}}(a)}
9878:
9852:
9819:
9793:
9760:
9740:
9708:
9598:
9484:
9368:
9321:
9252:
9023:
9000:
8976:
8949:
8922:
8902:
8772:
8749:
8722:
8687:
8579:
8477:
8441:
8406:
8293:
8215:
8195:
8175:
8135:
8092:
8059:
7902:
7853:
7785:
7742:
7652:
7569:
7459:
7309:
7248:
7213:
7186:
7159:
7139:
7119:
7099:
7093:
play a relatively similar role in the calculation of
7079:
7052:
6982:
6630:
6178:
5779:
5728:
5500:
5187:
4875:
4852:
4693:
4482:
4316:
4255:
4197:
4173:
4153:
4126:
3564:
3140:
3087:
3067:
3043:
3023:
2996:
2976:
2950:
2924:
2891:
2852:
2783:
2672:
2642:
2459:
2403:
2376:
2349:
2144:
2097:
1916:
1774:
1536:
1371:
1266:
1200:
1165:
1124:
1098:
1072:
1012:
909:
821:
783:
680:
642:
506:
384:
316:
288:
153:
104:
64:
10470:
7772:{\displaystyle u={\frac {x}{{\sqrt {2}}\,\sigma }}}
5763:{\displaystyle V'={\frac {\partial V}{\partial x}}}
1518:
11854:Probability distributions with non-finite variance
9904:
9864:
9838:
9805:
9779:
9746:
9726:
9692:
9567:
9461:
9348:
9301:
9223:
9006:
8982:
8962:
8935:
8908:
8885:
8755:
8728:
8705:
8673:
8498:
8463:
8427:
8389:
8276:
8201:
8181:
8157:
8121:
8078:
8042:
7874:
7817:
7771:
7725:
7611:
7549:
7444:
7265:
7230:
7199:
7172:
7145:
7125:
7105:
7085:
7065:
7038:
6965:
6615:
6163:
5762:
5711:
5485:
5172:
4858:
4835:
4678:
4467:
4299:
4241:
4179:
4159:
4139:
4094:
3544:
3119:
3073:
3049:
3029:
3009:
2982:
2962:
2936:
2910:
2865:
2835:
2763:
2655:
2625:
2442:
2389:
2362:
2327:
2119:
2080:
1896:
1746:
1496:
1327:
1221:
1186:
1151:
1110:
1084:
1055:
988:
889:
804:
766:
663:
621:
445:{\displaystyle e^{-\gamma |t|-\sigma ^{2}t^{2}/2}}
444:
322:
294:
246:
131:
82:
9982:Monthly Notices of the Royal Astronomical Society
9734:being the weight of the Lorentzian and the width
9234:
8763:parameter. A simple formula, accurate to 1%, is
8471:. In addition to its high accuracy, the function
7886:expansion of the exact line broadening function.
4300:{\displaystyle \operatorname {Im} \left=\Im _{w}}
4242:{\displaystyle \operatorname {Re} \left=\Re _{w}}
11830:
10367:
8284:. This approximation has a relative accuracy of
7889:In its most computationally efficient form, the
2131:. In order for the function to approach zero as
10151:
7612:{\displaystyle z={\frac {1-ix}{2{\sqrt {t}}}},}
2338:
10116:
10456:
10200:
9975:
9582:Asymmetric Pseudo-Voigt (Martinelli) function
8509:
8345:
8303:
7843:, named after German-Mexican Astrophysicist
7641:
2990:(the first column) and the three parameters
8743:There are several possible choices for the
8522:) is an approximation of the Voigt profile
1232:
900:The defining integral can be evaluated as:
10463:
10449:
10437:http://publikationen.badw.de/de/003395768)
10433:with approximately 13–14 digits precision.
9349:{\displaystyle f_{\mathrm {L} }=2\gamma .}
2443:{\displaystyle \mu _{V}=\mu _{G}+\mu _{L}}
2370:and the Lorentzian profile is centered at
481:. It is often used in analyzing data from
10407:
10370:Journal of the Optical Society of America
10177:
10011:
9993:
8036:
7834:
7827:
7805:
7762:
7713:
7537:
2246:
2004:
1944:
1884:
1802:
1729:
1641:
1309:
1043:
976:
754:
604:
7240:finite difference gradient approximation
6976:for the second order partial derivative
2880:
2846:The mode and median are both located at
10278:
9944:NIST Handbook of Mathematical Functions
7736:with Gaussian sigma relative variables
5722:for the first order partial derivative
2343:If the Gaussian profile is centered at
132:{\displaystyle x\in (-\infty ,\infty )}
11831:
10427:http://jugit.fz-juelich.de/mlz/libcerf
9905:{\displaystyle f_{1}\rightarrow f_{2}}
9312:The FWHM of the Lorentzian profile is
1765:) yields for the indefinite integral:
1245:. Due to the expense of computing the
10444:
10320:
10318:
9932:
11813:
7207:are readily obtained when computing
2450:and the characteristic function is:
1152:{\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )}
812:is the centered Lorentzian profile:
83:{\displaystyle \gamma ,\sigma >0}
9914:resonant inelastic X-ray scattering
8994:(FWHM) parameters. The total FWHM (
1757:Substituting the definition of the
636:is the shift from the line center,
13:
10315:
10246:Journal of Applied Crystallography
10203:Journal of Applied Crystallography
10084:Journal of Applied Crystallography
9549:
9529:
9509:
9491:
9443:
9415:
9390:
9375:
9328:
9259:
8400:over the full wavelength range of
8260:
7276:
7188:
7161:
7017:
6998:
6858:
6778:
6651:
6638:
6511:
6350:
6200:
6187:
6093:
6006:
5876:
5857:
5838:
5825:
5800:
5787:
5751:
5743:
5691:
5619:
5521:
5508:
5465:
5378:
5208:
5195:
5152:
5059:
4972:
4953:
4934:
4921:
4896:
4883:
4815:
4796:
4709:
4701:
4634:
4602:
4498:
4490:
4447:
4428:
4365:
4357:
4332:
4324:
4288:
4230:
3587:
3572:
3151:
3147:
2556:
2541:
2512:
2497:
1688:
1579:
1280:
1275:
671:is the centered Gaussian profile:
547:
542:
157:
123:
117:
14:
11865:
10420:
8464:{\displaystyle a\lesssim 10^{-4}}
7242:as it requires the evaluation of
2397:, the convolution is centered at
1257:The Voigt profile is normalized:
999:where Re is the real part of the
11812:
11803:
11802:
10049:Review of Scientific Instruments
10013:10.1111/j.1365-2966.2006.10450.x
9976:Tepper-García, Thorsten (2006).
7273:for each gradient respectively.
3120:{\displaystyle x_{c}=x-\mu _{V}}
2885:A Voigt profile (here, assuming
1519:Cumulative distribution function
45:
43:Cumulative distribution function
28:
10395:
10361:
10272:
10152:Di Rocco HO, Cruzado A (2012).
9727:{\displaystyle 0<\eta <1}
8706:{\displaystyle 0<\eta <1}
7266:{\displaystyle w\left(z\right)}
7231:{\displaystyle w\left(z\right)}
4846:for the original voigt profile
4120:with respect to the parameters
3061:Using the definition above for
1523:Using the above definition for
10229:
10194:
10145:
10110:
10075:
10040:
10028:
9969:
9947:, Cambridge University Press,
9926:
9889:
9687:
9675:
9666:
9654:
9648:
9636:
9621:
9609:
9291:
9285:
9235:The width of the Voigt profile
9201:
9030:
8871:
8849:
8834:
8812:
8803:
8782:
8668:
8656:
8647:
8635:
8629:
8617:
8602:
8590:
8493:
8481:
8422:
8410:
8365:
8353:
8342:
8330:
8321:
8309:
8271:
8265:
8252:
8240:
8231:
8219:
8158:{\displaystyle R\equiv e^{-P}}
8122:{\displaystyle Q\equiv 3/(2P)}
8116:
8107:
8016:
7979:
7918:
7906:
7869:
7857:
7698:
7686:
7674:
7656:
7525:
7487:
7475:
7463:
7436:
7427:
7401:
7395:
7349:
7337:
7325:
7313:
4276:
4270:
4218:
4212:
4072:
4066:
3961:
3955:
3808:
3802:
3724:
3718:
3634:
3609:
3525:
3519:
3481:
3475:
3382:
3376:
3313:
3307:
3230:
3224:
3188:
3163:
2876:
2737:
2734:
2728:
2722:
2707:
2676:
2614:
2606:
2562:
2532:
2518:
2470:
2211:
2205:
2166:
2148:
1969:
1963:
1941:
1935:
1876:
1864:
1799:
1793:
1726:
1720:
1712:
1699:
1691:
1682:
1620:
1617:
1611:
1605:
1565:
1540:
1485:
1477:
1428:
1409:
1400:
1382:
1306:
1288:
1216:
1204:
1181:
1169:
1146:
1128:
961:
958:
952:
946:
931:
913:
878:
852:
837:
825:
799:
787:
696:
684:
658:
646:
601:
578:
572:
555:
528:
510:
405:
397:
175:
172:
166:
160:
126:
111:
1:
9919:
9014:) parameter is described by:
8079:{\displaystyle P\equiv u^{2}}
1907:which may be solved to yield
1511:, they are each closed under
1252:
492:
10347:10.1016/0022-4073(77)90161-3
10301:10.1016/0022-4073(68)90081-2
7624:complementary error function
2339:The uncentered Voigt profile
1222:{\displaystyle G(x;\sigma )}
1187:{\displaystyle L(x;\gamma )}
805:{\displaystyle L(x;\gamma )}
664:{\displaystyle G(x;\sigma )}
26:Probability density function
7:
2963:{\displaystyle \gamma =2.5}
2937:{\displaystyle \sigma =1.3}
2911:{\displaystyle \mu _{V}=10}
2120:{\displaystyle {}_{2}F_{2}}
475:Cauchy-Lorentz distribution
10:
11870:
11636:Wrapped asymmetric Laplace
10607:Extended negative binomial
10179:10.12693/APhysPolA.122.666
9241:full width at half maximum
8992:Full width at half maximum
8916:is a function of Lorentz (
8738:full width at half maximum
8510:Pseudo-Voigt approximation
1340:moment-generating function
11798:
11732:
11690:
11591:
11427:
11405:
11396:
11295:Generalized extreme value
11280:
11115:
11075:Relativistic Breit–Wigner
10791:
10688:
10679:
10572:
10492:
10483:
10472:Probability distributions
10266:10.1107/S0021889887087090
10215:10.1107/s0021889800010219
10104:10.1107/S0021889896015464
9588:split normal distribution
9224:{\displaystyle f=^{1/5}.}
7642:Relation to Voigt profile
1111:{\displaystyle \gamma =0}
1085:{\displaystyle \sigma =0}
1066:In the limiting cases of
378:
373:
368:
363:
358:
353:
348:
343:
338:
333:
310:
305:
282:
277:
272:
267:
262:
257:
147:
142:
98:
93:
58:
53:
41:
24:
11839:Continuous distributions
9754:being a split function (
7298:line broadening function
7200:{\displaystyle \Im _{w}}
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