1768:
8909:
36:
9184:
9111:
9005:
3427:
8005:
3232:
7263:
6571:
8335:
4133:
8490:
2302:
1565:
10268:
8689:
2030:
3422:{\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\frac {y}{x}}-y&{\text{if}}\quad 0\leq y<x\leq 1\\{\frac {x}{y}}-x&{\text{if}}\quad 0\leq x<y\leq 1\\1-x&{\text{if}}\quad 0<x=y\\0&{\text{everywhere else}}.\end{cases}}}
7734:
5961:
1315:
6227:
1129:
In single-variable calculus, operations like differentiation and integration are made to functions of a single variable. In multivariate calculus, it is required to generalize these to multiple variables, and the
4543:
4263:
7050:
6348:
5331:
9236:
9057:
5068:
4394:
4344:
2712:
2403:
6970:
6338:
2915:
2605:
1698:
1249:
224:
4828:
4750:
3790:
9156:
8954:
8838:
establishes a link between the derivative and the integral. The link between the derivative and the integral in multivariable calculus is embodied by the integral theorems of vector calculus:
8113:
7689:
6286:
4943:
4662:
4619:
3046:
2847:
7492:
10213:
8562:
8196:
5593:
4024:
8361:
5655:
4487:
3672:
2537:
5817:
5542:
8186:
7576:
6022:
5114:
4985:
4704:
4436:
2465:
2149:
7428:
5750:
3953:
3896:
3613:
8144:
2159:
1157:
define the limit and differential along a 1D parametrized curve, reducing the problem to the 1D case. Further higher-dimensional objects can be constructed from these operators.
1448:
3480:
10258:
1861:
4014:
8062:
6693:
5681:
5475:
4897:
2964:
2654:
3552:
10263:
9504:
7346:
5622:
5449:
6067:
2082:
7613:
7031:
6753:
6652:
3839:
1409:
8735:
1353:
9084:
8981:
7715:
3081:
6868:
5423:
5161:
4855:
4777:
4570:
2759:
2350:
1733:
8590:
6797:
6616:
6096:
5396:
3000:
1887:
1762:
1610:
1438:
5015:
3005:
Continuity in each argument not being sufficient for multivariate continuity can also be seen from the following example. For example, for a real-valued function
8582:
7448:
6841:
6817:
6713:
5701:
5367:
5197:
5134:
3520:
3500:
3221:
3201:
3181:
3161:
3141:
3121:
3101:
2732:
2423:
1373:
1134:
is therefore multi-dimensional. Care is therefore required in these generalizations, because of two key differences between 1D and higher dimensional spaces:
9882:
8864:
In a more advanced study of multivariable calculus, it is seen that these four theorems are specific incarnations of a more general theorem, the generalized
10251:
9887:
2664:
From the concept of limit along a path, we can then derive the definition for multivariate continuity in the same manner, that is: we say for a function
9274:
corresponding to each of the degrees of freedom are often used to model these systems, and multivariable calculus provides tools for characterizing the
8791:
to functions of any number of variables. Double and triple integrals may be used to calculate areas and volumes of regions in the plane and in space.
8000:{\displaystyle \left.{\frac {df}{dx}}\right|_{s(t),t=t_{0}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(s(t_{0})+s'(t_{0})h)-f(s(t_{0}))+O(h^{2})}{|s'(t_{0})h|+O(h^{2})}}}
8755:
matrix, may be used to represent the derivative of a function between two spaces of arbitrary dimension. The derivative can thus be understood as a
8072:
It is therefore possible to generate the definition of the directional derivative as follows: The directional derivative of a scalar-valued function
5822:
9497:
1254:
9611:
10246:
1141:
There are multiple extended objects associated with the dimension; for example, for a 1D function, it must be represented as a curve on the 2D
8699:
The partial derivative generalizes the notion of the derivative to higher dimensions. A partial derivative of a multivariable function is a
6134:
1138:
There are infinite ways to approach a single point in higher dimensions, as opposed to two (from the positive and negative direction) in 1D;
10064:
320:
9490:
2355:
A general limit can be defined if the limits to a point along all possible paths converge to the same value, i.e. we say for a function
10109:
9267:
7258:{\displaystyle \left.{\frac {df}{dx}}\right|_{s(t),t=t_{0}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(s(t_{0})+s'(\tau )h)-f(s(t_{0}))}{|s'(\tau )h|}}}
6566:{\displaystyle \left.{\frac {df}{dx}}\right|_{s(t),t=t_{0}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(s(t_{0}+h))-f(s(t_{0}))}{|s(t_{0}+h)-s(t_{0})|}}}
104:
9616:
4492:
4159:
76:
10025:
46:
6245:
Using the extension of limits discussed above, one can then extend the definition of the derivative to a scalar-valued function
5207:
83:
9626:
9394:
9347:
17:
9191:
9012:
5023:
4349:
4299:
2667:
2358:
10192:
6291:
2868:
2558:
1618:
1202:
586:
561:
4782:
1149:
The consequence of the first difference is the difference in the definition of the limit and differentiation. Directional
9646:
9641:
4709:
3683:
9118:
8916:
8709:
Partial derivatives may be combined in interesting ways to create more complicated expressions of the derivative. In
8075:
6248:
4905:
4624:
4581:
3008:
2769:
90:
8330:{\displaystyle \nabla _{\hat {\mathbf {u}}}f(x_{0})=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x_{0}+{\hat {\mathbf {u}}}t)-f(x_{0})}{t}}}
4128:{\displaystyle f(x(t),y(t))={\begin{cases}1-t&{\text{if}}\quad t>0\\0&{\text{everywhere else}}.\end{cases}}}
1091:
1062:
625:
8884:
Techniques of multivariable calculus are used to study many objects of interest in the material world. In particular,
6882:
143:
9421:
8485:{\displaystyle \nabla _{\hat {\mathbf {u}}}f(x_{0})=\left.{\frac {df(x_{0}+{\hat {\mathbf {u}}}t)}{dt}}\right|_{t=0}}
7453:
581:
299:
8511:
5546:
10059:
9743:
566:
72:
5627:
4441:
4281:
It is hence clear that the function is not multivariate continuous, despite being continuous in both coordinates.
10317:
9806:
9566:
9466:
8835:
8770:
8751:
3618:
2475:
902:
576:
551:
233:
5755:
5480:
4290:
All properties of linearity and superposition from single-variable calculus carry over to multivariate calculus.
9733:
8766:
8149:
7497:
5966:
5077:
4948:
4667:
4399:
2428:
61:
8706:
A partial derivative may be thought of as the directional derivative of the function along a coordinate axis.
7618:
1196:
in multivariable calculus yields many counterintuitive results not demonstrated by single-variable functions.
9738:
9631:
2087:
684:
631:
512:
7354:
5706:
3901:
3844:
3432:
It is easy to verify that this function is zero by definition on the boundary and outside of the quadrangle
2297:{\displaystyle \lim _{t\to 0}f(x(t),y(t))=\lim _{t\to 0}{\frac {\pm t^{4}}{t^{4}+t^{4}}}=\pm {\frac {1}{2}}}
10292:
9636:
3560:
1560:{\displaystyle \lim _{{\overrightarrow {x}}\to s(t_{0})}f({\overrightarrow {x}})=\lim _{t\to t_{0}}f(s(t))}
338:
310:
8587:
It is not possible to define a unique scalar derivative without a direction; it is clear for example that
8118:
2320:
Since taking different paths towards the same point yields different values, a general limit at the point
1612:, i.e. the path chosen, not just the point which the limit approaches. For example, consider the function
421:
9678:
1112:
935:
543:
381:
353:
10296:
9760:
9474:
8865:
6618:, it can be shown that the derivative along the path depends only on the tangent vector of the path at
3435:
1104:
806:
770:
547:
426:
315:
305:
1806:
1160:
The consequence of the second difference is the existence of multiple types of integration, including
10156:
10089:
10084:
10047:
9578:
9551:
9521:
8847:
3962:
570:
5660:
5454:
4860:
4072:
3262:
2920:
2610:
406:
97:
10013:
10008:
9917:
9877:
9593:
8691:. It is also possible for directional derivatives to exist for some directions but not for others.
3525:
705:
265:
7284:
5601:
5428:
10202:
9411:
9352:
8873:
6027:
2051:
1019:
811:
700:
9838:
57:
10207:
10197:
10171:
9993:
9988:
9983:
9978:
9936:
9899:
9571:
9561:
9539:
9165:
8762:
8026:
6991:
6657:
6116:
1154:
1145:, but a function with two variables is a surface in 3D, while curves can also live in 3D space.
1087:
1055:
984:
945:
765:
689:
6722:
6621:
3803:
1378:
10124:
10104:
10042:
9971:
9750:
9728:
9703:
9603:
8998:
8819:
8756:
8720:
8684:{\displaystyle \nabla _{\hat {\mathbf {u}}}f(x_{0})=-\nabla _{-{\hat {\mathbf {u}}}}f(x_{0})}
2025:{\displaystyle \lim _{t\to 0}f(x(t),y(t))=\lim _{t\to 0}{\frac {kt^{3}}{t^{4}+k^{2}t^{2}}}=0}
1320:
1095:
1029:
695:
466:
411:
372:
278:
9327:
over various inputs to use and outputs to produce, are modeled with multivariate calculus.
9063:
8960:
7694:
3051:
10282:
10176:
10161:
10076:
10003:
9966:
9961:
9951:
9711:
9665:
9445:
9271:
9263:
9161:
7584:
6846:
6716:
5401:
5139:
5071:
4833:
4755:
4548:
2737:
2323:
1767:
1706:
1131:
1034:
1014:
940:
609:
528:
502:
416:
6773:
6592:
6072:
5372:
2976:
1738:
1586:
1414:
8:
10151:
10020:
9931:
9818:
9789:
9513:
9441:
UC Berkeley video lectures on
Multivariable Calculus, Fall 2009, Professor Edward Frenkel
9335:
9324:
9293:
8792:
6871:
4990:
1193:
1189:
1177:
1150:
1009:
979:
969:
856:
710:
507:
363:
246:
241:
10288:
9941:
9927:
9909:
9892:
9872:
9855:
9765:
9588:
9450:
9331:
9253:
8869:
8857:
8852:
8746:
8567:
7433:
6826:
6802:
6698:
6112:
5686:
5352:
5182:
5119:
3505:
3485:
3206:
3186:
3166:
3146:
3126:
3106:
3086:
2717:
2408:
1358:
974:
877:
861:
801:
796:
791:
755:
636:
555:
461:
456:
260:
255:
53:
10114:
9850:
9828:
9755:
9716:
9693:
9482:
9417:
9390:
9315:
to model and study high-dimensional systems that exhibit deterministic behavior. In
8782:
1048:
882:
660:
538:
491:
348:
343:
10032:
9823:
9811:
9794:
9772:
9721:
9673:
9534:
9092:
8842:
8807:
6820:
1165:
892:
786:
760:
621:
533:
497:
10138:
10094:
9921:
9865:
9860:
9799:
9621:
9546:
9320:
9304:
9289:
9286:
9282:
9275:
9241:
8710:
5074:(with the appropriate normed spaces as needed) in the neighbourhood of the point
1169:
1142:
1117:
1024:
897:
851:
846:
733:
646:
591:
9782:
9308:
9297:
1173:
907:
715:
482:
9440:
5956:{\displaystyle |f(s(t))-f(s(t_{0}))|\leq K|s(t)-s(t_{0})|<K\delta =\alpha }
10311:
10099:
10054:
10037:
9683:
9556:
9177:
9104:
8986:
8811:
8803:
as long as the integrand is continuous throughout the domain of integration.
1310:{\displaystyle f({\overrightarrow {x}}):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}
1161:
887:
651:
401:
358:
10119:
9998:
9777:
9688:
9583:
641:
386:
1115:. The special case of calculus in three dimensional space is often called
10230:
10146:
9312:
8829:
8759:
which directly varies from point to point in the domain of the function.
6799:
continuous up to the first derivative (this statement is well defined as
6589:
Unlike limits, for which the value depends on the exact form of the path
1004:
4284:
10166:
9249:
8749:
in terms of partial derivatives. A matrix of partial derivatives, the
8742:
8700:
6222:{\displaystyle {\frac {df}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}
3955:. Therefore the function is continuous along both individual arguments.
1199:
A limit along a path may be defined by considering a parametrised path
750:
674:
396:
391:
295:
9334:
systems can be studied using a different kind of mathematics, such as
9296:
to derive formulas for estimating relationships among various sets of
10214:
The
Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences
9529:
9316:
9169:
8990:
8769:
or PDEs. These equations are generally more difficult to solve than
8703:
with respect to one variable with all other variables held constant.
679:
669:
8908:
35:
9458:
9245:
8815:
8788:
8738:
1099:
1083:
745:
487:
444:
133:
1583:
Note that the value of this limit can be dependent on the form of
1111:
Multivariable calculus may be thought of as an elementary part of
10269:
European
Community on Computational Methods in Applied Sciences
9833:
9651:
9183:
9110:
8773:, which contain derivatives with respect to only one variable.
8902:
8823:
4538:{\displaystyle g\circ f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}}
4258:{\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}f(x(t),y(t))=1\neq f(0,0)=0}
10264:
International
Council for Industrial and Applied Mathematics
9096:
9088:
9004:
8408:
7740:
7056:
6354:
6126:
The derivative of a single-variable function is defined as
4121:
3415:
8795:
guarantees that a multiple integral may be evaluated as a
5326:{\displaystyle |f(s(t))-f(s(t_{0}))|\leq K|s(t)-s(t_{0})|}
9384:
8714:
8353:
or, when expressed in terms of ordinary differentiation,
4396:
are both multivariate continuous functions at the points
9471:, Prof. Blair Perot, University of Massachusetts Amherst
4545:
is also a multivariate continuous function at the point
9455:: A free online textbook by George Cain and James Herod
9446:
6755:, and that the limit exits for at least one such path.
9512:
9231:{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}
9052:{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{n}}
8830:
Fundamental theorem of calculus in multiple dimensions
5063:{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}
4389:{\displaystyle g:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{p}}
4339:{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}
2707:{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}
2398:{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}
9883:
Numerical methods for ordinary differential equations
9194:
9121:
9066:
9015:
8963:
8919:
8723:
8593:
8570:
8514:
8364:
8199:
8152:
8121:
8078:
8029:
7737:
7697:
7621:
7587:
7500:
7456:
7436:
7357:
7287:
7053:
6994:
6885:
6849:
6829:
6805:
6776:
6725:
6701:
6660:
6624:
6595:
6351:
6333:{\displaystyle s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}
6294:
6251:
6137:
6075:
6030:
5969:
5825:
5758:
5709:
5689:
5663:
5630:
5604:
5549:
5483:
5457:
5431:
5404:
5375:
5355:
5210:
5185:
5142:
5122:
5080:
5026:
4993:
4951:
4908:
4863:
4836:
4785:
4758:
4712:
4670:
4627:
4584:
4551:
4495:
4444:
4402:
4352:
4302:
4285:
Theorems regarding multivariate limits and continuity
4162:
4027:
3965:
3904:
3847:
3806:
3686:
3621:
3563:
3528:
3508:
3488:
3438:
3235:
3209:
3189:
3169:
3149:
3129:
3109:
3089:
3054:
3011:
2979:
2923:
2910:{\displaystyle s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}
2871:
2772:
2740:
2720:
2670:
2613:
2600:{\displaystyle s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}
2561:
2478:
2431:
2411:
2361:
2326:
2162:
2090:
2054:
1890:
1809:
1741:
1709:
1693:{\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}.}
1621:
1589:
1451:
1417:
1381:
1361:
1323:
1257:
1244:{\displaystyle s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}
1205:
146:
10259:
Société de Mathématiques
Appliquées et Industrielles
10252:
Japan
Society for Industrial and Applied Mathematics
9888:
Numerical methods for partial differential equations
9602:
4823:{\displaystyle f/g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
10075:
4745:{\displaystyle fg:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
3785:{\displaystyle g_{0}(x)=f(x,0)=h_{0}(0,y)=f(0,y)=0}
1317:can then be projected on the path as a 1D function
1172:. Due to the non-uniqueness of these integrals, an
9230:
9151:{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
9150:
9078:
9051:
8975:
8949:{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}
8948:
8729:
8683:
8576:
8556:
8484:
8329:
8180:
8138:
8108:{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
8107:
8056:
7999:
7709:
7683:
7607:
7570:
7486:
7442:
7422:
7340:
7257:
7025:
6964:
6862:
6835:
6811:
6791:
6747:
6707:
6687:
6646:
6610:
6565:
6332:
6281:{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
6280:
6221:
6090:
6061:
6016:
5955:
5811:
5744:
5695:
5675:
5649:
5616:
5587:
5536:
5469:
5443:
5417:
5390:
5361:
5325:
5191:
5155:
5128:
5108:
5062:
5009:
4979:
4938:{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
4937:
4891:
4849:
4822:
4771:
4744:
4698:
4657:{\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
4656:
4614:{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
4613:
4564:
4537:
4481:
4430:
4388:
4338:
4257:
4127:
4008:
3947:
3890:
3833:
3784:
3666:
3607:
3546:
3514:
3494:
3482:. Furthermore, the functions defined for constant
3474:
3421:
3215:
3195:
3175:
3155:
3135:
3115:
3095:
3075:
3041:{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }
3040:
2994:
2958:
2909:
2842:{\displaystyle \lim _{t\to t_{0}}f(s(t))=f(x_{0})}
2841:
2753:
2726:
2706:
2648:
2599:
2531:
2459:
2417:
2397:
2344:
2296:
2143:
2076:
2024:
1855:
1756:
1727:
1692:
1604:
1559:
1432:
1403:
1367:
1347:
1309:
1243:
218:
9387:Introduction to Calculus and Analysis Volume II/2
9380:
9378:
9376:
9374:
9372:
9370:
9368:
9303:Multivariable calculus is used in many fields of
9262:Multivariable calculus can be applied to analyze
8787:The multiple integral extends the concept of the
6819:is a function of one variable), we can write the
10309:
9385:Richard Courant; Fritz John (14 December 1999).
8242:
7804:
7120:
6965:{\displaystyle s(t)=s(t_{0})+s'(\tau )(t-t_{0})}
6418:
6162:
5971:
4164:
3906:
3849:
2774:
2480:
2219:
2164:
1947:
1892:
1514:
1453:
219:{\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}
7487:{\displaystyle \forall x,y\in \mathbb {R} ^{n}}
1251:in n-dimensional Euclidean space. Any function
10247:Society for Industrial and Applied Mathematics
9365:
8557:{\displaystyle f(x_{0}+{\hat {\mathbf {u}}}t)}
5588:{\displaystyle \forall |t-t_{0}|<\epsilon }
5369:is the Lipschitz constant. Note also that, as
9498:
1056:
10065:Supersymmetric theory of stochastic dynamics
9468:Multivariable Calculus – A Very Quick Review
5650:{\displaystyle \delta ={\frac {\alpha }{K}}}
5179:From the Lipschitz continuity condition for
4482:{\displaystyle f(x_{0})\in \mathbb {R} ^{m}}
62:introducing citations to additional sources
8508:which is a well defined expression because
4664:are both continuous functions at the point
3667:{\displaystyle \quad h_{a}(y)=f(a,y)\quad }
2532:{\displaystyle \lim _{t\to t_{0}}f(s(t))=L}
1102:of functions involving multiple variables (
9505:
9491:
8765:containing partial derivatives are called
8564:is a scalar function with one variable in
5812:{\displaystyle |s(t)-s(t_{0})|<\delta }
5537:{\displaystyle |s(t)-s(t_{0})|<\delta }
1063:
1049:
27:Calculus of functions of several variables
9389:. Springer Science & Business Media.
9218:
9203:
9144:
9130:
9039:
9024:
8936:
8927:
8181:{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}
8168:
8101:
8087:
7571:{\displaystyle |f(x+O(h))-f(x)|\sim O(h)}
7474:
6320:
6311:
6274:
6260:
6121:
6017:{\displaystyle \lim _{t\to t_{0}}f(s(t))}
5109:{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}
5096:
5050:
5035:
4980:{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}
4967:
4931:
4917:
4816:
4802:
4738:
4724:
4699:{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}
4686:
4650:
4636:
4607:
4593:
4525:
4510:
4469:
4431:{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}
4418:
4376:
4361:
4326:
4311:
3987:
3841:and moreover, along the coordinate axes,
3034:
3020:
2897:
2888:
2694:
2679:
2587:
2578:
2460:{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}
2447:
2385:
2370:
2112:
1831:
1297:
1282:
1231:
1222:
179:
9463:: A free online textbook by Jeff Knisley
8879:
7684:{\displaystyle s'(\tau )=s'(t_{0})+O(h)}
3002:does not imply multivariate continuity.
1766:
52:Relevant discussion may be found on the
8776:
7720:Substituting these two conditions into
7581:Note also that given the continuity of
2969:As with limits, being continuous along
2144:{\displaystyle x(t)=t,\,y(t)=\pm t^{2}}
1879:Then the limit along the path will be:
587:Differentiating under the integral sign
14:
10310:
9409:
8868:, which applies to the integration of
7423:{\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq K|x-y|}
5745:{\displaystyle |t-t_{0}|<\epsilon }
3959:However, consider the parametric path
3948:{\displaystyle \lim _{y\to 0}f(0,y)=0}
3891:{\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x,0)=0}
9486:
9348:List of multivariable calculus topics
9281:Multivariate calculus is used in the
8694:
5017:is also continuous at the same point.
3608:{\displaystyle g_{a}(x)=f(x,a)\quad }
2151:) is chosen, then the limit becomes:
8737:) is used to define the concepts of
8355:
8190:
8139:{\displaystyle {\hat {\mathbf {u}}}}
7728:
7044:
6876:
6342:
6128:
5201:
4153:
4018:
2763:
2469:
2352:cannot be defined for the function.
2153:
1881:
1800:
1442:
29:
24:
9514:Industrial and applied mathematics
9479:, Online text by Dr. Jerry Shurman
8814:are used to integrate over curved
8724:
8639:
8595:
8366:
8201:
7457:
6106:
6069:regardless of the precise form of
5550:
4945:is a continuous function at point
4016:. The parametric function becomes
128:Part of a series of articles about
25:
10329:
9744:Stochastic differential equations
9434:
9416:. New York: W. A. Benjamin, Inc.
9099:through surfaces, and curvature.
8834:In single-variable calculus, the
3475:{\displaystyle (0,1)\times (0,1)}
3048:with two real-valued parameters,
10060:Supersymmetric quantum mechanics
9182:
9109:
9003:
8907:
8650:
8602:
8538:
8439:
8373:
8283:
8208:
8126:
1856:{\displaystyle x(t)=t,\,y(t)=kt}
45:relies largely or entirely on a
34:
9942:Stochastic variational calculus
9734:Ordinary differential equations
8836:fundamental theorem of calculus
8771:ordinary differential equations
4091:
4009:{\displaystyle x(t)=t,\,y(t)=t}
3663:
3622:
3604:
3379:
3337:
3288:
2048:On the other hand, if the path
1735:is approached through the line
1124:
9739:Partial differential equations
9612:Arbitrary-precision arithmetic
9403:
9213:
9140:
9034:
8931:
8767:partial differential equations
8678:
8665:
8654:
8629:
8616:
8606:
8551:
8542:
8518:
8452:
8443:
8419:
8400:
8387:
8377:
8318:
8305:
8296:
8287:
8263:
8249:
8235:
8222:
8212:
8130:
8097:
8051:
8038:
7991:
7978:
7968:
7961:
7948:
7936:
7930:
7917:
7908:
7905:
7892:
7886:
7877:
7871:
7858:
7844:
7831:
7825:
7811:
7776:
7770:
7701:
7678:
7672:
7663:
7650:
7636:
7630:
7602:
7596:
7565:
7559:
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7545:
7539:
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7527:
7521:
7509:
7502:
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7402:
7391:
7387:
7381:
7372:
7366:
7359:
7351:Lipschitz continuity gives us
7335:
7303:
7297:
7291:
7248:
7241:
7235:
7223:
7217:
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7201:
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7174:
7160:
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7092:
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7001:
6959:
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6937:
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6904:
6895:
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6780:
6742:
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6605:
6599:
6556:
6552:
6539:
6530:
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6504:
6498:
6495:
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6476:
6467:
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6445:
6439:
6425:
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6315:
6304:
6298:
6270:
6210:
6204:
6195:
6183:
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6085:
6079:
6056:
6053:
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6034:
6011:
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6002:
5996:
5978:
5934:
5930:
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5908:
5902:
5895:
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5880:
5877:
5864:
5858:
5849:
5846:
5840:
5834:
5827:
5799:
5795:
5782:
5773:
5767:
5760:
5732:
5711:
5676:{\displaystyle \epsilon >0}
5575:
5554:
5524:
5520:
5507:
5498:
5492:
5485:
5470:{\displaystyle \epsilon >0}
5385:
5379:
5319:
5315:
5302:
5293:
5287:
5280:
5269:
5265:
5262:
5249:
5243:
5234:
5231:
5225:
5219:
5212:
5136:is multivariate continuous at
5045:
5003:
4995:
4927:
4892:{\displaystyle g(x_{0})\neq 0}
4880:
4867:
4812:
4734:
4646:
4603:
4520:
4461:
4448:
4371:
4321:
4246:
4234:
4219:
4216:
4210:
4201:
4195:
4189:
4171:
4061:
4058:
4052:
4043:
4037:
4031:
3997:
3991:
3975:
3969:
3936:
3924:
3913:
3879:
3867:
3856:
3822:
3810:
3773:
3761:
3752:
3740:
3724:
3712:
3703:
3697:
3677:are continuous. Specifically,
3660:
3648:
3639:
3633:
3601:
3589:
3580:
3574:
3469:
3457:
3451:
3439:
3251:
3239:
3070:
3058:
3030:
2989:
2983:
2959:{\displaystyle s(t_{0})=x_{0}}
2940:
2927:
2892:
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2875:
2836:
2823:
2814:
2811:
2805:
2799:
2781:
2689:
2649:{\displaystyle s(t_{0})=x_{0}}
2630:
2617:
2582:
2571:
2565:
2520:
2517:
2511:
2505:
2487:
2380:
2339:
2327:
2226:
2212:
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2203:
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2122:
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1954:
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10172:Mathematical economics
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220:
10125:Supersymmetry algebra
10110:Representation theory
10105:Renormalization group
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9632:Optimization software
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