1787:
1169:
1782:{\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\0&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}\right\},{\text{ }}\left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&0&a_{33}&a_{34}\\0&0&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}\right\},{\text{ }}\left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\0&0&0&a_{44}\end{bmatrix}}\right\}}
32:
2026:
1118:
1818:
899:
2021:{\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&0&0&0\\0&a_{22}&0&0\\0&0&a_{33}&0\\0&0&0&a_{44}\end{bmatrix}}:a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}\cdot a_{44}\neq 0\right\}}
2157:
1113:{\displaystyle \left\{A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&0&a_{33}&a_{34}\\0&0&0&a_{44}\end{bmatrix}}:\det(A)\neq 0\right\}}
851:
2333:
2309:
2281:
2253:
2225:
2198:
790:
and the corresponding negative root groups. Moreover, any parabolic subgroup is conjugate to such a parabolic subgroup.) The corresponding subgroups of the Weyl group of
782:
itself corresponding to the set of all nodes. (In general, each node of the Dynkin diagram determines a simple negative root and thus a one-dimensional 'root group' of
1810:
1161:
1141:
891:
871:
449:
497:
502:
2034:
492:
487:
795:
307:
571:
454:
2284:
602:
2497:
2433:
2399:
2380:
2515:
464:
2525:
2507:
672:
Borel subgroups are one of the two key ingredients in understanding the structure of simple (more generally,
459:
439:
809:
404:
312:
2520:
2502:
2409:
2417:
662:
444:
2541:
2314:
2290:
2262:
2234:
2206:
2179:
595:
79:
774:
of parabolic subgroups is in bijection with the set of all subsets of nodes of the corresponding
655:
399:
362:
330:
317:
2473:
2336:
431:
99:
174:
164:
154:
144:
2443:
641:
59:
49:
8:
588:
576:
417:
247:
2358:
1795:
1146:
1126:
876:
856:
637:
348:
338:
2493:
2429:
2395:
2376:
2201:
412:
375:
751:. Working over algebraically closed fields, the Borel subgroups turn out to be the
527:
265:
2421:
2348:
2256:
2168:
748:
631:
616:
547:
227:
219:
211:
203:
195:
128:
109:
69:
715:, who played a leading role in the development of the theory of algebraic groups.
2439:
2353:
771:
673:
666:
624:
532:
285:
270:
41:
775:
634:
552:
370:
275:
537:
2535:
701:
260:
89:
2228:
712:
677:
557:
542:
343:
325:
255:
2450:
Gary Seitz (1991). "Algebraic Groups". In B. Hartley; et al. (eds.).
2425:
2414:
Algebraic Groups: The Theory of Group
Schemes of Finite Type over a Field
2174:
739:
are also characterized, among algebraic subgroups, by the condition that
681:
383:
299:
23:
786:. A subset of the nodes thus yields a parabolic subgroup, generated by
522:
388:
280:
19:
2152:{\displaystyle (\mathbb {C} ^{*})^{4}={\text{Spec}}(\mathbb {C} )}
479:
31:
2373:
Essays in the
History of Lie Groups and Algebraic Groups
763:
is a complete variety which is "as large as possible".
1832:
1589:
1389:
1182:
919:
778:; the Borel subgroup corresponds to the empty set and
2317:
2293:
2265:
2237:
2209:
2182:
2037:
1821:
1798:
1172:
1149:
1129:
902:
879:
859:
812:
2327:
2303:
2275:
2247:
2219:
2192:
2151:
2020:
1804:
1781:
1155:
1135:
1112:
885:
865:
845:
654:invertible matrices), the subgroup of invertible
2533:
1087:
450:Representation theory of semisimple Lie algebras
759:is a Borel subgroup when the homogeneous space
1123:and the maximal proper parabolic subgroups of
596:
2474:"Lectures on the geometry of flag varieties"
2389:
2449:
2335:containing a Borel subalgebra is called a
2311:with positive weight. A Lie subalgebra of
2031:This is isomorphic to the algebraic torus
603:
589:
488:Particle physics and representation theory
30:
2075:
2043:
836:
794:are also called parabolic subgroups, see
2513:
2370:
796:Parabolic subgroup of a reflection group
893:is the set of upper triangular matrices
455:Representations of classical Lie groups
2534:
846:{\displaystyle G=GL_{4}(\mathbb {C} )}
718:
2492:
2408:
308:Lie group–Lie algebra correspondence
2320:
2296:
2268:
2240:
2212:
2185:
723:Subgroups between a Borel subgroup
13:
14:
2553:
2486:
2471:
2452:Finite and Locally Finite Groups
2328:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
2304:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
2276:{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
2248:{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
2220:{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
2193:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
2465:
2162:
2146:
2143:
2079:
2071:
2054:
2038:
1096:
1090:
840:
832:
503:Galilean group representations
498:Poincaré group representations
1:
2364:
766:For a simple algebraic group
711:The notion was introduced by
493:Lorentz group representations
460:Theorem of the highest weight
632:Zariski closed and connected
7:
2521:Encyclopedia of Mathematics
2503:Encyclopedia of Mathematics
2342:
753:minimal parabolic subgroups
663:algebraically closed fields
10:
2558:
2418:Cambridge University Press
2173:For the special case of a
2166:
801:
680:' theory of groups with a
445:Lie algebra representation
1792:Also, a maximal torus in
661:For groups realized over
656:upper triangular matrices
2514:Platonov, V.P. (2001) ,
696:is a Borel subgroup and
440:Lie group representation
2392:Linear Algebraic Groups
735:. Parabolic subgroups
700:is the normalizer of a
676:) algebraic groups, in
465:Borel–Weil–Bott theorem
2394:. New York: Springer.
2375:. Providence RI: AMS.
2329:
2305:
2277:
2249:
2221:
2194:
2153:
2029:
2022:
1806:
1790:
1783:
1157:
1137:
1121:
1114:
887:
867:
847:
727:and the ambient group
640:. For example, in the
363:Semisimple Lie algebra
318:Adjoint representation
2426:10.1017/9781316711736
2390:J. Humphreys (1972).
2337:parabolic Lie algebra
2330:
2306:
2278:
2259:is the direct sum of
2250:
2222:
2195:
2154:
2023:
1814:
1807:
1784:
1165:
1158:
1138:
1115:
895:
888:
868:
848:
658:is a Borel subgroup.
432:Representation theory
2498:"Parabolic subgroup"
2315:
2291:
2263:
2235:
2207:
2180:
2035:
1819:
1796:
1170:
1147:
1127:
900:
877:
857:
810:
755:in this sense. Thus
669:of Borel subgroups.
665:, there is a single
642:general linear group
853:. A Borel subgroup
733:parabolic subgroups
719:Parabolic subgroups
577:Table of Lie groups
418:Compact Lie algebra
2359:Mirabolic subgroup
2325:
2301:
2273:
2245:
2217:
2190:
2149:
2018:
1949:
1802:
1779:
1769:
1562:
1362:
1153:
1133:
1110:
1078:
883:
863:
843:
638:algebraic subgroup
349:Affine Lie algebra
339:Simple Lie algebra
80:Special orthogonal
2454:. pp. 45–70.
2371:A. Borel (2001).
2202:Cartan subalgebra
2069:
1805:{\displaystyle B}
1578:
1378:
1156:{\displaystyle B}
1136:{\displaystyle G}
886:{\displaystyle G}
866:{\displaystyle B}
772:conjugacy classes
692:. Here the group
615:In the theory of
613:
612:
413:Split Lie algebra
376:Cartan subalgebra
238:
237:
129:Simple Lie groups
2549:
2542:Algebraic groups
2528:
2516:"Borel subgroup"
2510:
2481:
2480:
2478:
2469:
2455:
2446:
2405:
2386:
2349:Hyperbolic group
2334:
2332:
2331:
2326:
2324:
2323:
2310:
2308:
2307:
2302:
2300:
2299:
2282:
2280:
2279:
2274:
2272:
2271:
2257:Borel subalgebra
2254:
2252:
2251:
2246:
2244:
2243:
2226:
2224:
2223:
2218:
2216:
2215:
2199:
2197:
2196:
2191:
2189:
2188:
2169:Borel subalgebra
2158:
2156:
2155:
2150:
2142:
2141:
2126:
2125:
2110:
2109:
2094:
2093:
2078:
2070:
2067:
2062:
2061:
2052:
2051:
2046:
2027:
2025:
2024:
2019:
2017:
2013:
2006:
2005:
1993:
1992:
1980:
1979:
1967:
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1954:
1953:
1946:
1945:
1912:
1911:
1878:
1877:
1844:
1843:
1811:
1809:
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1803:
1788:
1786:
1785:
1780:
1778:
1774:
1773:
1766:
1765:
1737:
1736:
1725:
1724:
1713:
1712:
1701:
1700:
1687:
1686:
1675:
1674:
1663:
1662:
1651:
1650:
1637:
1636:
1625:
1624:
1613:
1612:
1601:
1600:
1579:
1576:
1571:
1567:
1566:
1559:
1558:
1547:
1546:
1523:
1522:
1511:
1510:
1487:
1486:
1475:
1474:
1463:
1462:
1451:
1450:
1437:
1436:
1425:
1424:
1413:
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1401:
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1379:
1376:
1371:
1367:
1366:
1359:
1358:
1347:
1346:
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1315:
1304:
1303:
1292:
1291:
1273:
1272:
1261:
1260:
1249:
1248:
1230:
1229:
1218:
1217:
1206:
1205:
1194:
1193:
1162:
1160:
1159:
1154:
1142:
1140:
1139:
1134:
1119:
1117:
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1111:
1109:
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1083:
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1075:
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1045:
1034:
1033:
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1009:
998:
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986:
985:
967:
966:
955:
954:
943:
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931:
930:
892:
890:
889:
884:
872:
870:
869:
864:
852:
850:
849:
844:
839:
831:
830:
749:complete variety
617:algebraic groups
605:
598:
591:
548:Claude Chevalley
405:Complexification
248:Other Lie groups
134:
133:
42:Classical groups
34:
16:
15:
2557:
2556:
2552:
2551:
2550:
2548:
2547:
2546:
2532:
2531:
2489:
2484:
2476:
2472:Brion, Michel.
2470:
2466:
2436:
2402:
2383:
2367:
2354:Cartan subgroup
2345:
2319:
2318:
2316:
2313:
2312:
2295:
2294:
2292:
2289:
2288:
2267:
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2239:
2238:
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2211:
2210:
2208:
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2181:
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2177:
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2165:
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2130:
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2036:
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1997:
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1907:
1903:
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1890:
1889:
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1835:
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1816:
1797:
1794:
1793:
1768:
1767:
1761:
1757:
1755:
1750:
1745:
1739:
1738:
1732:
1728:
1726:
1720:
1716:
1714:
1708:
1704:
1702:
1696:
1692:
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1682:
1678:
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1664:
1658:
1654:
1652:
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1616:
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1596:
1592:
1585:
1584:
1580:
1575:
1561:
1560:
1554:
1550:
1548:
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1525:
1524:
1518:
1514:
1512:
1506:
1502:
1500:
1495:
1489:
1488:
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1476:
1470:
1466:
1464:
1458:
1454:
1452:
1446:
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1439:
1438:
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1428:
1426:
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1416:
1414:
1408:
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1396:
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1384:
1380:
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