Hyperbolic functions

10270: 9352: 8889: 8232: 6322: 10265:{\displaystyle {\begin{aligned}\tanh x&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\coth x&=x^{-1}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \\\operatorname {sech} x&=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\operatorname {csch} x&=x^{-1}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \end{aligned}}} 5712: 8884:{\displaystyle {\begin{aligned}\int {{\frac {1}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}\,du}&=\operatorname {arsinh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {{\frac {1}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}\,du}&=\operatorname {sgn} {u}\operatorname {arcosh} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {artanh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C&&u^{2}<a^{2}\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {arcoth} \left({\frac {u}{a}}\right)+C&&u^{2}>a^{2}\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arsech} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arcsch} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\end{aligned}}} 7285: 8221: 6317:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)&&x\geq 1\\\operatorname {artanh} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)&&|x|<1\\\operatorname {arcoth} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)&&|x|>1\\\operatorname {arsech} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right)&&0<x\leq 1\\\operatorname {arcsch} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)&&x\neq 0\end{aligned}}} 6791: 7534: 6787: 6333: 7280:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}&&1<x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&1<|x|\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}&&0<x<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}&&x\neq 0\end{aligned}}} 5347: 8216:{\displaystyle {\begin{aligned}\int \sinh(ax)\,dx&=a^{-1}\cosh(ax)+C\\\int \cosh(ax)\,dx&=a^{-1}\sinh(ax)+C\\\int \tanh(ax)\,dx&=a^{-1}\ln(\cosh(ax))+C\\\int \coth(ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left|\sinh(ax)\right|+C\\\int \operatorname {sech} (ax)\,dx&=a^{-1}\arctan(\sinh(ax))+C\\\int \operatorname {csch} (ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left|\tanh \left({\frac {ax}{2}}\right)\right|+C=a^{-1}\ln \left|\coth \left(ax\right)-\operatorname {csch} \left(ax\right)\right|+C=-a^{-1}\operatorname {arcoth} \left(\cosh \left(ax\right)\right)+C\end{aligned}}} 982: 953: 11309: 12870: 4982: 6782:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sinh x&=\cosh x\\{\frac {d}{dx}}\cosh x&=\sinh x\\{\frac {d}{dx}}\tanh x&=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\\{\frac {d}{dx}}\coth x&=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}&&x\neq 0\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {sech} x&=-\tanh x\operatorname {sech} x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {csch} x&=-\coth x\operatorname {csch} x&&x\neq 0\end{aligned}}} 727: 12296: 3465: 927: 909: 40: 5342:{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\sqrt {2(\cosh x+1)}}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{2}}}\\\cosh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\sqrt {\frac {\cosh x+1}{2}}}\\\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\cosh x+1}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{\cosh x+1}}}={\frac {e^{x}-1}{e^{x}+1}}\end{aligned}}} 11912: 11903: 11894: 11885: 11930: 11921: 11039: 4971: 4496: 3317: 12865:{\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)=\cos x\\\sinh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\cosh(x+iy)&=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\\\sinh(x+iy)&=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\\\tanh(ix)&=i\tan x\\\cosh x&=\cos(ix)\\\sinh x&=-i\sin(ix)\\\tanh x&=-i\tan(ix)\end{aligned}}} 10688: 3286: 4275: 4750: 4009: 4757: 4282: 10696: 10362: 11298: 3109: 3460:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} x&=\operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\operatorname {arcsch} x&=\operatorname {arsinh} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\operatorname {arcoth} x&=\operatorname {artanh} \left({\frac {1}{x}}\right)\end{aligned}}} 4014: 4507: 3766: 2848: 9100: 9302: 3752: 5622: 3624: 11868: 1695: 1516: 1968: 1828: 5469: 1344: 1179: 12291: 11034:{\displaystyle \cosh x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{(n-1/2)^{2}\pi ^{2}}}\right)={\cfrac {1}{1-{\cfrac {x^{2}}{1\cdot 2+x^{2}-{\cfrac {1\cdot 2x^{2}}{3\cdot 4+x^{2}-{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6+x^{2}-\ddots }}}}}}}}} 3102: 2099: 4966:{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x-\sinh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x-\cosh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}} 4491:{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x+\sinh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x+\cosh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}} 10683:{\displaystyle \sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3+x^{2}-{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5+x^{2}-{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7+x^{2}-\ddots }}}}}}}}} 2713: 8922: 13316:

Nonlinear Workbook, The: Chaos, Fractals, Cellular Automata, Neural Networks, Genetic Algorithms, Gene Expression Programming, Support Vector Machine, Wavelets, Hidden Markov Models, Fuzzy Logic With C++, Java And Symbolicc++

9136: 3638: 5480: 11047: 3472: 3000:

into a hyperbolic identity, by expanding it completely in terms of integral powers of sines and cosines, changing sine to sinh and cosine to cosh, and switching the sign of every term containing a product of two sinhs.

4987: 3281:{\displaystyle {\begin{aligned}\tanh(-x)&=-\tanh x\\\coth(-x)&=-\coth x\\\operatorname {sech} (-x)&=\operatorname {sech} x\\\operatorname {csch} (-x)&=-\operatorname {csch} x\end{aligned}}} 11748: 1530: 1351: 4270:{\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(2x)&=\sinh ^{2}{x}+\cosh ^{2}{x}=2\sinh ^{2}x+1=2\cosh ^{2}x-1\\\sinh(2x)&=2\sinh x\cosh x\\\tanh(2x)&={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}}\\\end{aligned}}} 11736: 4745:{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x-y)&=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y\\\cosh(x-y)&=\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y\\\tanh(x-y)&={\frac {\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}} 4004:{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x+y)&=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\\\cosh(x+y)&=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\\\tanh(x+y)&={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}} 7441: 5692: 1842: 1702: 7371: 5374: 12301: 12181: 9357: 8237: 7539: 6796: 6338: 5717: 5485: 4762: 4512: 4287: 4019: 3771: 3643: 3477: 3322: 3114: 3012: 2002: 2658: 1190: 1025: 2603: 2245: 12176: 12133: 12100: 11577: 11640: 11520: 13620: 3007: 2496: 2386: 2551: 2438: 2155: 1997: 12067: 12034: 12001: 11968: 2998: 2958: 2935: 2978: 2912: 12902: 7515: 12925: 10338: 10302: 7485: 803:, the hyperbolic functions arise when applying the ordinary sine and cosine functions to an imaginary angle. The hyperbolic sine and the hyperbolic cosine are 13613: 11293:{\displaystyle \tanh x={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {5}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {7}{x}}+\ddots }}}}}}}}} 13606: 11645: 2843:{\displaystyle {\text{area}}=\int _{a}^{b}\cosh x\,dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {d}{dx}}\cosh x\right)^{2}}}\,dx={\text{arc length.}}} 7375: 5634: 9095:{\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}} 13534: 7309: 9297:{\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}} 3747:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sech} ^{2}x&=1-\tanh ^{2}x\\\operatorname {csch} ^{2}x&=\coth ^{2}x-1\end{aligned}}} 5617:{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh ^{2}x&={\tfrac {1}{2}}(\cosh 2x-1)\\\cosh ^{2}x&={\tfrac {1}{2}}(\cosh 2x+1)\end{aligned}}} 13476:

Audibert, Jean-Yves (2009). "Fast learning rates in statistical inference through aggregation". The Annals of Statistics. p. 1627.

2610: 2558: 13498: 12962: 7526: 3619:{\displaystyle {\begin{aligned}\cosh x+\sinh x&=e^{x}\\\cosh x-\sinh x&=e^{-x}\\\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x&=1\end{aligned}}} 873:) to refer to hyperbolic functions. Lambert adopted the names, but altered the abbreviations to those used today. The abbreviations 13541: 11434:

gives a direct relationship between the circular functions and the hyperbolic functions that does not involve complex numbers.

13507: 13355: 13325: 13193: 13156: 11525: 11398:= 1 at (1,1). The yellow sector depicts an area and angle magnitude. Similarly, the yellow and red regions together depict a 13689: 11585: 11471: 13042: 12977: 11739: 2894:

states that one can convert any trigonometric identity (up to but not including sinhs or implied sinhs of 4th degree) for

2445: 2335: 17: 2503: 3629: 2393: 13432: 13297: 13236: 13120: 11863:{\displaystyle e^{x}={\sqrt {\frac {1+\tanh x}{1-\tanh x}}}={\frac {1+\tanh {\frac {x}{2}}}{1-\tanh {\frac {x}{2}}}}} 2160: 1690:{\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}.} 1511:{\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}.} 815: 178: 13653: 1963:{\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}.} 1823:{\displaystyle \operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}.} 11456:, the curve formed by a uniform flexible chain, hanging freely between two fixed points under uniform gravity. 12106: 12073: 13715: 13567: 12148:

argument, we can also extend the definitions of the hyperbolic functions to complex arguments. The functions

5464:{\displaystyle \tanh \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\cosh x-1}{\sinh x}}=\coth x-\operatorname {csch} x} 13725: 13663: 773: 570: 13557: 1339:{\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}={\frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}.} 1174:{\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}={\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}.} 898: 13730: 13562: 12957: 5705: 793: 11465: 13478: 12936: 12286:{\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\\e^{-ix}&=\cos x-i\sin x\end{aligned}}} 13583: 2104: 13380: 13641: 12982: 12947: 12941: 8898: 8226: 1184: 834: 11341: 2887: 2321: 1019: 198: 55: 13362: 13332: 13287: 12040: 12007: 11974: 11941: 2983: 2940: 2917: 13720: 13179: 11431: 9346: 3097:{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(-x)&=-\sinh x\\\cosh(-x)&=\cosh x\end{aligned}}} 2963: 2897: 2858: 1979: 819: 190: 186: 182: 170: 13593: 12881: 7490: 13517: 13073: 12967: 12907: 12163: 12141: 10316: 10280: 9339: 7463: 7458: 2703: 1011: 808: 8: 13598: 13010: 11312:

Circle and hyperbola tangent at (1,1) display geometry of circular functions in terms of

166: 13405: 13397: 13242: 13185: 13144: 12170: 11580: 11313: 7446: 2682: 210: 11356: 13530: 13503: 13489: 13428: 13409: 13351: 13321: 13293: 13232: 13189: 13171: 13152: 13038: 12952: 12875: 11420: 11399: 11337: 11321: 9305: 9103: 7303: 2886:

The hyperbolic functions satisfy many identities, all of them similar in form to the

789: 2157:

The initial conditions make the solution unique; without them any pair of functions

13389: 13246: 12972: 11349: 10309: 5696:

It can be proved by comparing the Taylor series of the two functions term by term.

981: 952: 830: 823: 800: 785: 515: 463: 415: 349: 296: 230: 13207: 2094:{\displaystyle {\begin{aligned}c'(x)&=s(x),\\s'(x)&=c(x),\\\end{aligned}}} 13646: 13513: 13350:(2nd, illustrated ed.). Springer Science & Business Media. p. 290. 13345: 13314: 13181:

Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables

11424: 9335: 992: 804: 11308: 13587: 12145: 11406: 9309: 9107: 8914: 2668: 2325: 735: 731: 206: 95: 13709: 13574: 13453: 9324: 8910: 5356: 3309: 3305: 202: 13586:: Visualization of the unit circle, trigonometric and hyperbolic functions ( 13448: 13214: 13175: 11333: 10345: 9122: 13492:; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., eds. (2010), 165:

Hyperbolic functions occur in the calculations of angles and distances in

2706:

of the hyperbolic cosine (over a finite interval) is always equal to the

963: 781: 726: 79: 47: 9345:

The following series are followed by a description of a subset of their

13578: 13401: 13343: 2707: 944:

There are various equivalent ways to define the hyperbolic functions.

2681:

The above definitions are related to the exponential definitions via

59: 31: 13393: 13375: 13684: 13259:

Robert E. Bradley, Lawrence A. D'Antonio, Charles Edward Sandifer.

13053: 13051: 11453: 829:

Hyperbolic functions were introduced in the 1760s independently by

174: 13347:

An Atlas of Functions: with Equator, the Atlas Function Calculator

13320:(3rd ed.). World Scientific Publishing Company. p. 281. 9349:, where the series is convergent and its sum equals the function. 8917:, if the function is not defined at zero) of the above functions. 13679: 926: 908: 194: 39: 13533:, "On the introduction of the notion of hyperbolic functions", 13048: 30:"Hyperbolic curve" redirects here. For the geometric curve, see 12169:

Relationships to ordinary trigonometric functions are given by

11929: 11920: 11911: 11902: 11893: 11884: 10356:

The following expansions are valid in the whole complex plane:

63: 13427:(1st corr. ed.). New York: Springer-Verlag. p. 416. 13694: 11409:

with hypotenuse on the ray defining the angles are of length

11345: 2686: 776:

with comparison with the trigonometric (circular) functions).

533: 475: 379: 260: 13493: 11394:. In the diagram, such a circle is tangent to the hyperbola 10351: 442: 427: 388: 11872: 11459: 889:

are also currently used, depending on personal preference.

551: 545: 530: 524: 487: 472: 439: 361: 320: 272: 242: 13628: 11731:{\displaystyle e^{x+iy}=(\cosh x+\sinh x)(\cos y+i\sin y)} 11427:, just as the circular angle is invariant under rotation. 792:. The hyperbolic functions may be defined in terms of the 788:. The size of a hyperbolic angle is twice the area of its 764:

is twice the area between the ray, the hyperbola, and the

548: 484: 424: 323: 308: 305: 269: 7436:{\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\cosh x=\cosh x\,.} 5687:{\displaystyle \operatorname {cosh} (t)\leq e^{t^{2}/2}.} 391: 373: 358: 254: 239: 13488: 1978:

The hyperbolic functions may be defined as solutions of

13425:

The foundations of geometry and the non-euclidean plane

11402:

with area corresponding to hyperbolic angle magnitude.

11251: 11239: 11231: 11219: 11200: 11188: 11180: 11168: 11149: 11137: 11129: 11117: 11098: 11086: 11078: 11066: 10978: 10950: 10917: 10889: 10856: 10837: 10823: 10811: 10627: 10599: 10566: 10538: 10505: 10486: 10472: 10460: 2857:

The hyperbolic tangent is the (unique) solution to the

13449:"Prove the identity tanh(x/2) = (cosh(x) - 1)/sinh(x)" 11254: 11242: 11234: 11222: 11203: 11191: 11183: 11171: 11152: 11140: 11132: 11120: 11101: 11089: 11081: 11069: 10981: 10953: 10920: 10892: 10859: 10840: 10826: 10814: 10630: 10602: 10569: 10541: 10508: 10489: 10475: 10463: 7366:{\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sinh x=\sinh x} 5575: 5512: 566:

corresponding to the derived trigonometric functions.

13231:. Vol. 11. Mathematical Association of America. 12910: 12884: 12878:

with respect to the imaginary component, with period

12299: 12179: 12109: 12076: 12043: 12010: 11977: 11944: 11751: 11648: 11588: 11528: 11474: 11464:

The decomposition of the exponential function in its

11303: 11050: 10699: 10365: 10319: 10283: 9355: 9139: 8925: 8235: 7537: 7493: 7466: 7378: 7312: 6794: 6336: 5715: 5637: 5483: 5377: 4985: 4760: 4510: 4285: 4017: 3769: 3641: 3475: 3320: 3112: 3010: 2986: 2966: 2943: 2920: 2900: 2716: 2613: 2561: 2506: 2448: 2396: 2338: 2163: 2107: 2000: 1845: 1705: 1533: 1354: 1193: 1028: 554: 542: 527: 521: 490: 469: 436: 421: 394: 376: 317: 302: 275: 257: 251: 236: 13344:

Keith B. Oldham; Jan Myland; Jerome Spanier (2010).

13263:

Mathematical Association of America, 2007. Page 100.

2315: 1973: 370: 355: 11332:The hyperbolic functions represent an expansion of 539: 518: 481: 466: 433: 418: 385: 367: 352: 314: 299: 266: 248: 233: 12919: 12896: 12864: 12285: 12127: 12094: 12061: 12028: 11995: 11962: 11862: 11730: 11634: 11571: 11514: 11292: 11033: 10682: 10332: 10296: 10264: 9296: 9094: 8883: 8215: 7509: 7479: 7435: 7365: 7279: 6781: 6316: 5699: 5686: 5631:The following inequality is useful in statistics: 5616: 5463: 5341: 4965: 4744: 4490: 4269: 4003: 3746: 3618: 3459: 3280: 3096: 2992: 2972: 2952: 2929: 2906: 2842: 2652: 2597: 2545: 2490: 2432: 2380: 2239: 2149: 2093: 1982:: The hyperbolic sine and cosine are the solution 1962: 1822: 1689: 1510: 1338: 1173: 807:. As a result, the other hyperbolic functions are 169:. They also occur in the solutions of many linear 2653:{\displaystyle \operatorname {csch} x=i\csc(ix).} 13707: 13312: 13170: 2598:{\displaystyle \operatorname {sech} x=\sec(ix).} 2687:§ Hyperbolic functions for complex numbers 2240:{\displaystyle (ae^{x}+be^{-x},ae^{x}-be^{-x})} 2320:Hyperbolic functions may also be deduced from 13614: 13535:Bulletin of the American Mathematical Society 11416:times the circular and hyperbolic functions. 2265:are also the unique solution of the equation 768:-axis. For points on the hyperbola below the 13594:Web-based calculator of hyperbolic functions 13367: 8904: 8225:The following integrals can be proved using 2692: 772:-axis, the area is considered negative (see 98:. Also, similarly to how the derivatives of 9334:The sum of the sinh and cosh series is the 868: 850: 27:Collective name of 6 mathematical functions 13621: 13607: 11878:Hyperbolic functions in the complex plane 947: 13143: 12963:List of integrals of hyperbolic functions 10352:Infinite products and continued fractions 8909:It is possible to express explicitly the 8816: 8708: 8578: 8456: 8361: 8276: 7983: 7895: 7803: 7715: 7639: 7563: 7527:list of integrals of hyperbolic functions 7429: 5251: 5079: 4975: 2825: 2749: 13475: 12128:{\displaystyle \operatorname {csch} (z)} 12095:{\displaystyle \operatorname {sech} (z)} 11873:Hyperbolic functions for complex numbers 11460:Relationship to the exponential function 11307: 980: 951: 925: 907: 725: 38: 13499:NIST Handbook of Mathematical Functions 13037:, 4th edition, HarperCollins, Glasgow, 12927:for hyperbolic tangent and cotangent). 11572:{\displaystyle e^{-x}=\cosh x-\sinh x.} 4500: 899:Trigonometric functions § Notation 14: 13708: 13629:Trigonometric and hyperbolic functions 13422: 13373: 11635:{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,} 11515:{\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x,} 11320:and hyperbolic functions depending on 1187:of the exponential function, that is, 1022:of the exponential function, that is, 13602: 13226: 13008: 7520: 7445:All functions with this property are 7289: 2852: 855:) to refer to circular functions and 13333:Extract of page 281 (using lambda=1) 13285: 13068: 13066: 13004: 13002: 13000: 12998: 12978:Soboleva modified hyperbolic tangent 11740:general complex exponential function 3759: 3628:the last of which is similar to the 3469:Hyperbolic sine and cosine satisfy: 2697: 216:The basic hyperbolic functions are: 2881: 2491:{\displaystyle \tanh x=-i\tan(ix).} 2381:{\displaystyle \sinh x=-i\sin(ix).} 24: 13376:"Mnemonic for hyperbolic formulae" 11928: 11919: 11910: 11901: 11892: 11883: 11304:Comparison with circular functions 10728: 10397: 10137: 9934: 9716: 9474: 9255: 9041: 5473: 3630:Pythagorean trigonometric identity 2546:{\displaystyle \coth x=i\cot(ix).} 818:, the hyperbolic functions have a 25: 13742: 13550: 13063: 12995: 2433:{\displaystyle \cosh x=\cos(ix).} 2316:Complex trigonometric definitions 1974:Differential equation definitions 173:(such as the equation defining a 130:respectively, the derivatives of 13151:, London: Springer, p. 71, 2710:corresponding to that interval: 780:The hyperbolic functions take a 514: 462: 414: 348: 295: 229: 13524: 13482: 13469: 13441: 13416: 13337: 13306: 13292:. Firewall Media. p. 472. 13279: 13266: 13253: 13220: 13201: 13164: 12874:Thus, hyperbolic functions are 10234: 9991: 9792: 9575: 5700:Inverse functions as logarithms 5626: 2298:for the hyperbolic cosine, and 193:are important in many areas of 13502:, Cambridge University Press, 13276:Read Books, 1931. Page xlviii. 13261:Euler at 300: an appreciation. 13137: 13125: 13114: 13102: 13090: 13027: 12855: 12846: 12811: 12802: 12767: 12758: 12710: 12701: 12688: 12682: 12673: 12667: 12652: 12646: 12637: 12631: 12615: 12600: 12587: 12581: 12572: 12566: 12551: 12545: 12536: 12530: 12514: 12499: 12412: 12403: 12319: 12310: 12122: 12116: 12089: 12083: 12056: 12050: 12023: 12017: 11990: 11984: 11957: 11951: 11725: 11698: 11695: 11671: 10778: 10757: 10222: 10213: 10176: 10148: 9979: 9970: 9780: 9771: 9563: 9554: 9517: 9495: 9285: 9276: 9083: 9068: 7980: 7971: 7949: 7946: 7937: 7928: 7892: 7883: 7856: 7847: 7800: 7791: 7769: 7766: 7757: 7748: 7712: 7703: 7681: 7672: 7636: 7627: 7605: 7596: 7560: 7551: 7234: 7226: 7089: 7081: 7001: 6993: 6326: 6232: 6226: 6080: 6074: 6054: 6046: 5980: 5974: 5954: 5946: 5880: 5874: 5800: 5794: 5732: 5726: 5650: 5644: 5607: 5586: 5544: 5523: 5056: 5038: 4675: 4663: 4604: 4592: 4533: 4521: 4211: 4202: 4161: 4152: 4037: 4028: 3934: 3922: 3863: 3851: 3792: 3780: 3252: 3243: 3214: 3205: 3173: 3164: 3132: 3123: 3071: 3062: 3030: 3021: 2644: 2635: 2589: 2580: 2537: 2528: 2482: 2473: 2424: 2415: 2372: 2363: 2234: 2164: 2150:{\displaystyle s(0)=0,c(0)=1.} 2138: 2132: 2117: 2111: 2081: 2075: 2062: 2056: 2038: 2032: 2019: 2013: 903: 54:are analogues of the ordinary 13: 1: 13690:Jyā, koti-jyā and utkrama-jyā 12988: 816:Lindemann–Weierstrass theorem 12958:Inverse hyperbolic functions 9331:occur in its Taylor series. 9131:occur in its Taylor series. 2101:with the initial conditions 811:in the whole complex plane. 571:inverse hyperbolic functions 7: 13563:Encyclopedia of Mathematics 12930: 11419:The hyperbolic angle is an 5706:Inverse hyperbolic function 892: 94:form the right half of the 10: 13747: 13423:Martin, George E. (1986). 13132:Collins Concise Dictionary 13109:Collins Concise Dictionary 13097:Collins Concise Dictionary 13058:Collins Concise Dictionary 13035:Collins Concise Dictionary 11437:The graph of the function 11340:. Both types depend on an 9327:, only even exponents for 7524: 5703: 1520:Hyperbolic cotangent: for 896: 29: 13672: 13634: 13313:Willi-hans Steeb (2005). 12937:e (mathematical constant) 11357:area of a circular sector 9125:, only odd exponents for 8905:Taylor series expressions 3756:for the other functions. 2702:It can be shown that the 2693:Characterizing properties 2312:for the hyperbolic sine. 1832:Hyperbolic cosecant: for 870:sinus/cosinus hyperbolico 644:area hyperbolic cotangent 80:circle with a unit radius 13381:The Mathematical Gazette 13374:Osborn, G. (July 1902). 13289:Golden Integral Calculus 12062:{\displaystyle \coth(z)} 12029:{\displaystyle \tanh(z)} 11996:{\displaystyle \cosh(z)} 11963:{\displaystyle \sinh(z)} 3004:Odd and even functions: 2993:{\displaystyle \varphi } 2953:{\displaystyle 3\theta } 2930:{\displaystyle 2\theta } 2888:trigonometric identities 794:legs of a right triangle 688:area hyperbolic cosecant 335:from which are derived: 58:, but defined using the 13208:Some examples of using 12983:Trigonometric functions 12948:Hyperbolastic functions 12942:Equal incircles theorem 12144:can be defined for any 8899:constant of integration 8227:hyperbolic substitution 2973:{\displaystyle \theta } 2907:{\displaystyle \theta } 2322:trigonometric functions 1183:Hyperbolic cosine: the 948:Exponential definitions 852:sinus/cosinus circulare 835:Johann Heinrich Lambert 622:area hyperbolic tangent 56:trigonometric functions 13558:"Hyperbolic functions" 13494:"Hyperbolic functions" 13074:"Hyperbolic Functions" 13011:"Hyperbolic Functions" 12921: 12898: 12897:{\displaystyle 2\pi i} 12866: 12287: 12129: 12096: 12063: 12030: 11997: 11964: 11933: 11924: 11915: 11906: 11897: 11888: 11864: 11732: 11636: 11573: 11516: 11377:, it will be equal to 11329: 11294: 11035: 10732: 10684: 10401: 10334: 10298: 10266: 10141: 9938: 9720: 9478: 9298: 9259: 9096: 9045: 8885: 8217: 7511: 7510:{\displaystyle e^{-x}} 7481: 7437: 7367: 7294:Each of the functions 7281: 6783: 6318: 5688: 5618: 5465: 5343: 4976:Half argument formulas 4967: 4746: 4492: 4271: 4005: 3748: 3620: 3461: 3282: 3098: 2994: 2974: 2954: 2931: 2908: 2844: 2654: 2599: 2547: 2500:Hyperbolic cotangent: 2492: 2434: 2382: 2241: 2151: 2095: 1980:differential equations 1964: 1824: 1691: 1512: 1340: 1175: 1007: 978: 941: 923: 869: 851: 796:covering this sector. 777: 666:area hyperbolic secant 600:area hyperbolic cosine 199:electromagnetic theory 171:differential equations 43: 13654:Inverse trigonometric 13274:Hyperbolic functions. 13015:mathworld.wolfram.com 12922: 12920:{\displaystyle \pi i} 12899: 12867: 12288: 12173:for complex numbers: 12130: 12097: 12064: 12031: 11998: 11965: 11932: 11923: 11914: 11905: 11896: 11887: 11865: 11733: 11637: 11574: 11517: 11468:gives the identities 11432:Gudermannian function 11311: 11295: 11036: 10712: 10685: 10381: 10335: 10333:{\displaystyle E_{n}} 10299: 10297:{\displaystyle B_{n}} 10267: 10121: 9918: 9700: 9458: 9347:domain of convergence 9316:. Since the function 9299: 9239: 9114:. Since the function 9097: 9025: 8886: 8218: 7525:For a full list, see 7512: 7482: 7480:{\displaystyle e^{x}} 7459:exponential functions 7438: 7368: 7282: 6784: 6319: 5689: 5619: 5466: 5344: 4968: 4747: 4493: 4272: 4006: 3749: 3621: 3462: 3283: 3099: 2995: 2975: 2955: 2932: 2909: 2859:differential equation 2845: 2655: 2600: 2548: 2493: 2435: 2383: 2247:would be a solution. 2242: 2152: 2096: 1965: 1825: 1692: 1513: 1341: 1176: 1018:Hyperbolic sine: the 984: 955: 929: 911: 729: 187:Cartesian coordinates 66:. Just as the points 42: 13716:Hyperbolic functions 13575:Hyperbolic functions 13227:Niven, Ivan (1985). 12908: 12882: 12297: 12177: 12142:exponential function 12107: 12074: 12041: 12008: 11975: 11942: 11749: 11646: 11586: 11526: 11472: 11423:with respect to the 11405:The legs of the two 11048: 10697: 10363: 10317: 10281: 9353: 9340:exponential function 9137: 8923: 8233: 7535: 7491: 7464: 7457:, in particular the 7376: 7310: 6792: 6334: 5713: 5635: 5481: 5375: 4983: 4758: 4508: 4501:Subtraction formulas 4283: 4015: 3767: 3639: 3473: 3318: 3110: 3008: 2984: 2964: 2941: 2918: 2898: 2714: 2704:area under the curve 2611: 2607:Hyperbolic cosecant: 2559: 2504: 2446: 2442:Hyperbolic tangent: 2394: 2336: 2161: 2105: 1998: 1843: 1703: 1531: 1352: 1348:Hyperbolic tangent: 1191: 1026: 1012:exponential function 820:transcendental value 578:area hyperbolic sine 406:hyperbolic cotangent 52:hyperbolic functions 13726:Hyperbolic geometry 13363:Extract of page 290 13286:N.P., Bali (2005). 13247:10.4169/j.ctt5hh8zn 13145:Woodhouse, N. M. J. 13009:Weisstein, Eric W. 11879: 11253: 11241: 11233: 11221: 11202: 11190: 11182: 11170: 11151: 11139: 11131: 11119: 11100: 11088: 11080: 11068: 10980: 10952: 10919: 10891: 10858: 10839: 10825: 10813: 10629: 10601: 10568: 10540: 10507: 10488: 10474: 10462: 7447:linear combinations 2773: 2739: 2555:Hyperbolic secant: 2390:Hyperbolic cosine: 1699:Hyperbolic secant: 822:for every non-zero 502:hyperbolic cosecant 191:Laplace's equations 167:hyperbolic geometry 18:Hyperbolic function 13731:Analytic functions 13664:Inverse hyperbolic 13490:Olver, Frank W. 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