4021:
2588:
4016:{\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}(x)&={\frac {\left((t+x)^{2}-1\right)^{n}}{2^{n}}}={\frac {\left(t+x+1\right)^{n}\left(t+x-1\right)^{n}}{2^{n}}},\\P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{\!2}(x-1)^{n-k}(x+1)^{k},\\P_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{\!k},\\P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {2n-2k}{n}}x^{n-2k},\\P_{n}(x)&=2^{n}\sum _{k=0}^{n}x^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {\frac {n+k-1}{2}}{n}},\\P_{n}(x)&={\begin{cases}{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cdot \cos(t)\right)}^{n}\,dt&{\text{if }}|x|>1\\x^{n}&{\text{if }}|x|=1\\{\frac {2}{\pi }}\cdot x^{n}\cdot |x|\cdot \int _{|x|}^{1}{\frac {t^{-n-1}}{\sqrt {t^{2}-x^{2}}}}\cdot {\frac {\cos \left(n\cdot \arccos(t)\right)}{\sin \left(\arccos(t)\right)}}\,dt&{\text{if }}0<|x|<1\\(-1)^{n/2}\cdot 2^{-n}\cdot {\binom {n}{n/2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}n{\text{ even}}\\0&{\text{if }}x=0{\text{ and }}n{\text{ odd}}\end{cases}}.\end{aligned}}}
8192:
7179:
8187:{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}T_{0}(\cos \theta )&=1&&=P_{0}(\cos \theta ),\\T_{1}(\cos \theta )&=\cos \theta &&=P_{1}(\cos \theta ),\\T_{2}(\cos \theta )&=\cos 2\theta &&={\tfrac {1}{3}}{\bigl (}4P_{2}(\cos \theta )-P_{0}(\cos \theta ){\bigr )},\\T_{3}(\cos \theta )&=\cos 3\theta &&={\tfrac {1}{5}}{\bigl (}8P_{3}(\cos \theta )-3P_{1}(\cos \theta ){\bigr )},\\T_{4}(\cos \theta )&=\cos 4\theta &&={\tfrac {1}{105}}{\bigl (}192P_{4}(\cos \theta )-80P_{2}(\cos \theta )-7P_{0}(\cos \theta ){\bigr )},\\T_{5}(\cos \theta )&=\cos 5\theta &&={\tfrac {1}{63}}{\bigl (}128P_{5}(\cos \theta )-56P_{3}(\cos \theta )-9P_{1}(\cos \theta ){\bigr )},\\T_{6}(\cos \theta )&=\cos 6\theta &&={\tfrac {1}{1155}}{\bigl (}2560P_{6}(\cos \theta )-1152P_{4}(\cos \theta )-220P_{2}(\cos \theta )-33P_{0}(\cos \theta ){\bigr )}.\end{alignedat}}}
11714:
12068:
6637:
11376:
5440:
11719:
27:
10175:
8811:
11709:{\displaystyle {\begin{aligned}P_{\ell }(\cos \theta )&={\sqrt {\frac {\theta }{\sin \left(\theta \right)}}}\,J_{0}{\left(\left(\ell +{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-1}\right)\\&={\sqrt {\frac {2}{\pi \ell \sin \left(\theta \right)}}}\cos \left(\left(\ell +{\tfrac {1}{2}}\right)\theta -{\tfrac {\pi }{4}}\right)+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-3/2}\right),\quad \theta \in (0,\pi ),\end{aligned}}}
12063:{\displaystyle {\begin{aligned}P_{\ell }\left(\cosh \xi \right)&={\sqrt {\frac {\xi }{\sinh \xi }}}I_{0}\left(\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)\xi \right)\left(1+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-1}\right)\right)\,,\\P_{\ell }\left({\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}\right)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \ell e}}}{\frac {(1+e)^{\frac {\ell +1}{2}}}{(1-e)^{\frac {\ell }{2}}}}+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-1}\right)\end{aligned}}}
9852:
8496:
6336:
9078:
9804:
10170:{\displaystyle \sum _{p=0}^{\infty }t^{p}P_{p}(\cos \theta _{1})P_{p}(\cos \theta _{2})={\frac {2}{\pi }}{\frac {\mathbf {K} \left(2{\sqrt {\frac {t\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}}{t^{2}-2t\cos \left(\theta _{1}+\theta _{2}\right)+1}}}\right)}{\sqrt {t^{2}-2t\cos \left(\theta _{1}+\theta _{2}\right)+1}}}\,,}
13082:
8806:{\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left_{ij}\in \mathbb {R} ^{d\times d}{\text{,}}\quad &&a_{ij}=\left(2i+1\right){\begin{cases}-1&i<j\\(-1)^{i-j+1}&i\geq j\end{cases}},\\B&=\left_{i}\in \mathbb {R} ^{d\times 1}{\text{,}}\quad &&b_{i}=(2i+1)(-1)^{i}.\end{aligned}}}
14798:. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. pp. 332, 773.
2417:
is the polar angle. This approach to the
Legendre polynomials provides a deep connection to rotational symmetry. Many of their properties which are found laboriously through the methods of analysis — for example the addition theorem — are more easily found using the methods of symmetry and group
6130:
50:
with a vast number of mathematical properties and numerous applications. They can be defined in many ways, and the various definitions highlight different aspects as well as suggest generalizations and connections to different mathematical structures and physical and numerical applications.
11183:
6600:
10996:
7049:
8346:
1555:
11338:
8924:
13409:
12826:
13574:
13709:
9630:
6909:
5422:
6083:
2096:
14440:
6752:
9399:
Since the differential equation and the orthogonality property are independent of scaling, the
Legendre polynomials' definitions are "standardized" (sometimes called "normalization", but the actual norm is not 1) by being scaled so that
14286:
5294:
11001:
10759:
2593:
5179:
1124:
2554:
10614:
6449:
5960:
10766:
9611:
5638:
10476:
1889:
311:
5067:
8492:
4968:
6932:
8210:
9270:
6331:{\displaystyle {\frac {1}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+{r'}^{2}-2r{r'}\cos \gamma }}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {{r'}^{\ell }}{r^{\ell +1}}}P_{\ell }(\cos \gamma ),}
5795:
4229:
1709:
11381:
4872:
10347:
4789:
1394:
14143:
11208:
13278:
13228:
12795:
9519:
11724:
8501:
4709:
13416:
4642:
13585:
8400:
6807:
14044:
1345:
9184:
848:'s is the simplest one. It does not appeal to the theory of differential equations. Second, the completeness of the polynomials follows immediately from the completeness of the powers 1,
5967:
1981:
14301:
13782:
6647:
14492:
13961:
4083:
898:
4426:
2395:
12459:
977:
14183:
11371:
9359:
7124:
10621:
2243:
900:. Finally, by defining them via orthogonality with respect to the most obvious weight function on a finite interval, it sets up the Legendre polynomials as one of the three
13132:
9444:
1018:
12606:
8899:
5850:
13894:
9073:{\displaystyle u(t-\theta ')\approx \sum _{\ell =0}^{d-1}{\widetilde {P}}_{\ell }\left({\frac {\theta '}{\theta }}\right)\,m_{\ell }(t),\quad 0\leq \theta '\leq \theta .}
5305:
2433:
938:
10481:
9312:
5497:
2355:, of which the Legendre polynomials are (up to a multiplicative constant) the subset that is left invariant by rotations about the polar axis. The polynomials appear as
734:
502:
397:
355:
10204:
5855:
1243:
12495:
12346:
12154:
9530:
5523:
4526:
2279:
2116:
796:
538:
433:
187:
12704:
12283:
10352:
8853:
2415:
2180:
13077:{\displaystyle P_{2n}(0)={\frac {(-1)^{n}}{4^{n}}}{\binom {2n}{n}}={\frac {(-1)^{n}}{2^{2n}}}{\frac {(2n)!}{\left(n!\right)^{2}}}=(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}}
12667:
12556:
12376:
12189:
2151:
672:
116:
12407:
12310:
9394:
2583:
2312:
1375:
1270:
1167:
846:
646:
619:
592:
565:
460:
212:
13843:
5824:
5702:
4369:
4316:
12821:
12632:
12521:
12250:
9799:{\displaystyle P_{\ell }\left(r\cdot r'\right)={\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\varphi )Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\varphi ')\,,}
4457:
1974:, and the series for this solution terminates (i.e. it is a polynomial). The orthogonality and completeness of these solutions is best seen from the viewpoint of
760:
4283:
4256:
13808:
13736:
12118:
8919:
8877:
8833:
7184:
4489:
4389:
4336:
4103:
1207:
1187:
1005:
816:
692:
207:
12224:
5190:
151:
8413:
4578:
4552:
5078:
6397:. The expansion using Legendre polynomials might be useful, for instance, when integrating this expression over a continuous mass or charge distribution.
1347:
Expansion to higher orders gets increasingly cumbersome, but is possible to do systematically, and again leads to one of the explicit forms given below.
9191:
14708:
5711:
4459:. The last representation, which is also immediate from the recursion formula, expresses the Legendre polynomials by simple monomials and involves the
4108:
1756:
14596:
1579:
15064:
11178:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}P_{n+1}(x)={\frac {2P_{n}(x)}{\left\|P_{n}\right\|^{2}}}+{\frac {2P_{n-2}(x)}{\left\|P_{n-2}\right\|^{2}}}+\cdots }
10221:
4460:
14657:
4979:
13153:
798:. With work, all the coefficients of every polynomial can be systematically determined, leading to the explicit representation in powers of
12709:
10207:
6636:
6595:{\displaystyle \Phi (r,\theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\left(A_{\ell }r^{\ell }+B_{\ell }r^{-(\ell +1)}\right)P_{\ell }(\cos \theta )\,.}
4883:
10991:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}P_{n+1}(x)=(2n+1)P_{n}(x)+{\bigl (}2(n-2)+1{\bigr )}P_{n-2}(x)+{\bigl (}2(n-4)+1{\bigr )}P_{n-4}(x)+\cdots }
9451:
15084:
14997:
14938:
6644:
Legendre polynomials are also useful in expanding functions of the form (this is the same as before, written a little differently):
1275:
14604:
Mémoires de Mathématiques et de
Physique, présentés à l'Académie Royale des Sciences, par divers savans, et lus dans ses Assemblées
9105:
2281:. The orthogonality and completeness of this set of solutions follows at once from the larger framework of Sturm–Liouville theory.
10218:
As discussed above, the
Legendre polynomials obey the three-term recurrence relation known as Bonnet's recursion formula given by
4800:
2285:
14055:
4720:
7044:{\displaystyle \Phi (r,\theta )\propto {\frac {1}{r}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {a}{r}}\right)^{k}P_{k}(\cos \theta ),}
15006:
14974:
14947:
14918:
14892:
14873:
14803:
14641:
14579:
8341:{\displaystyle {\frac {\sin(n+1)\theta }{\sin \theta }}=\sum _{\ell =0}^{n}P_{\ell }(\cos \theta )P_{n-\ell }(\cos \theta ).}
14445:
15059:
5439:
4653:
8368:
4589:
14854:
13972:
13086:
9403:
5964:
This completeness property underlies all the expansions discussed in this article, and is often stated in the form
1550:{\displaystyle {\frac {x-t}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\left(1-2xt+t^{2}\right)\sum _{n=1}^{\infty }nP_{n}(x)t^{n-1}\,.}
901:
15089:
11333:{\displaystyle \|P_{n}\|={\sqrt {\int _{-1}^{1}{\bigl (}P_{n}(x){\bigr )}^{2}\,dx}}={\sqrt {\frac {2}{2n+1}}}\,.}
2325:
55:
13404:{\displaystyle \int _{0}^{1}{\widetilde {P}}_{m}(x){\widetilde {P}}_{n}(x)\,dx={\frac {1}{2n+1}}\delta _{mn}\,.}
14739:
979:, with weight functions that are the most natural analytic functions that ensure convergence of all integrals.
15047:
14538:
13742:
6115:
2344:
13905:
8403:
851:
67:
15037:
15032:
A quick informal derivation of the
Legendre polynomial in the context of the quantum mechanics of hydrogen
14607:
13569:{\displaystyle {\widetilde {P}}_{n}(x)=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}(-x)^{k}\,.}
4026:
1736:
in electrostatics, as explained below, and is how the polynomials were first defined by
Legendre in 1782.
83:
In this approach, the polynomials are defined as an orthogonal system with respect to the weight function
15042:
14295:
14162:
14156:
13704:{\displaystyle {\widetilde {P}}_{n}(x)={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(x^{2}-x\right)^{n}\,.}
9524:
4397:
2358:
14672:
12419:
6904:{\displaystyle \Phi (r,\theta )\propto {\frac {1}{R}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+a^{2}-2ar\cos \theta }}}.}
947:
8407:
1975:
63:
14513:
11350:
12410:
9317:
5417:{\textstyle {\tfrac {1}{256}}\left(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63\right)}
2204:
1564:
8608:
6078:{\displaystyle \sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {2\ell +1}{2}}P_{\ell }(x)P_{\ell }(y)=\delta (x-y),}
3451:
2091:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\left(1-x^{2}\right){\frac {d}{dx}}\right)P(x)=-\lambda P(x)\,,}
987:
The
Legendre polynomials can also be defined as the coefficients in a formal expansion in powers of
14633:
8356:
12561:
12285:. This is known as the interlacing property. Because of the parity property it is evident that if
8882:
5829:
15060:
Dr James B. Calvert's article on
Legendre polynomials from his personal collection of mathematics
13854:
6417:
6382:
2351:. From this standpoint, the eigenfunctions of the angular part of the Laplacian operator are the
911:
14435:{\displaystyle \left(x+1\right){\frac {d}{dx}}\left(x{\frac {d}{dx}}\left\right)+\lambda v(x)=0}
9275:
6747:{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+\eta ^{2}-2\eta x}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\eta ^{k}P_{k}(x),}
6625:
5460:
697:
465:
360:
318:
14533:
14508:
10180:
9099:
9087:
5675:
That the polynomials are complete means the following. Given any piecewise continuous function
1912:
1212:
47:
15069:
12464:
12315:
12123:
4495:
2248:
2101:
765:
507:
402:
156:
14793:
13579:
13242:
12680:
12255:
9820:
8838:
7143:
6781:
6401:
6121:
5664:
2427:
2400:
2348:
2340:
2183:
2156:
1908:
43:
14625:
12637:
12526:
12351:
12159:
5520:
with respect to the same norm, the two statements can be combined into the single equation,
2339:
In physical settings, Legendre's differential equation arises naturally whenever one solves
2121:
651:
86:
15094:
15016:
14957:
14821:
14166:
12385:
12288:
9372:
8856:
2561:
2290:
1353:
1248:
1145:
905:
824:
624:
597:
570:
543:
438:
14734:(4th ed.). Providence: American Mathematical Society. pp. 194 (Theorem 8.21.2).
14281:{\displaystyle R_{n}(x)={\frac {\sqrt {2}}{x+1}}\,P_{n}\left({\frac {x-1}{x+1}}\right)\,.}
13819:
5800:
5678:
5289:{\textstyle {\tfrac {1}{128}}\left(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x\right)}
357:, all the polynomials can be uniquely determined. We then start the construction process:
8:
14626:
14503:
12800:
12611:
12500:
12379:
12229:
9624:
7089:
6759:
6755:
6421:
6125:
5517:
4434:
4341:
4288:
2352:
1733:
1008:
941:
739:
20:
10754:{\displaystyle (2n+1)P_{n}(x)={\frac {d}{dx}}{\bigl (}P_{n+1}(x)-P_{n-1}(x){\bigr )}\,.}
15054:
14984:
14651:
14528:
13793:
13721:
12103:
8904:
8862:
8818:
6766:
6405:
4474:
4374:
4321:
4261:
4234:
4088:
2329:
1192:
1172:
990:
801:
677:
192:
12194:
5174:{\textstyle {\tfrac {1}{128}}\left(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35\right)}
1119:{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}\,.}
121:
15002:
14992:
14970:
14943:
14933:
14914:
14888:
14869:
14850:
14825:
14809:
14799:
14781:
14745:
14735:
14637:
14575:
14523:
7111:, the potential may still be expanded in the Legendre polynomials as above, but with
6390:
59:
2549:{\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{2}-1)^{n}\,.}
15031:
14842:
14518:
14170:
12089:
10609:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}P_{n+1}(x)=(n+1)P_{n}(x)+x{\frac {d}{dx}}P_{n}(x)\,.}
4563:
4537:
1923:
14674:
Legendre Memory Units: Continuous-Time
Representation in Recurrent Neural Networks
5955:{\displaystyle a_{\ell }={\frac {2\ell +1}{2}}\int _{-1}^{1}f(x)P_{\ell }(x)\,dx.}
15012:
14953:
14902:
14835:
14817:
14795:
Handbook of
Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
14789:
9606:{\displaystyle \sum _{j=0}^{n}P_{j}(x)\geq 0\quad {\text{for }}\quad x\geq -1\,.}
5650:
5633:{\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx={\frac {2}{2n+1}}\delta _{mn},}
10471:{\displaystyle {\frac {x^{2}-1}{n}}{\frac {d}{dx}}P_{n}(x)=xP_{n}(x)-P_{n-1}(x)}
9616:
4429:
4231:
The Legendre polynomial is determined by the values used for the two constants
306:{\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx=0\quad {\text{if }}n\neq m.}
15078:
14906:
14291:
9083:
1378:
9090:
units and related architectures, while using fewer computational resources.
2332:
are solutions of Legendre's differential equation (generalized or not) with
14785:
14749:
9620:
6785:
6394:
5663:
and to 0 otherwise). This normalization is most readily found by employing
1927:
6621:
are to be determined according to the boundary condition of each problem.
2426:
An especially compact expression for the Legendre polynomials is given by
1557:
Replacing the quotient of the square root with its definition in Eq.
5499:
fixes the normalization of the Legendre polynomials (with respect to the
35:
13413:
An explicit expression for the shifted Legendre polynomials is given by
5062:{\textstyle {\tfrac {1}{16}}\left(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x\right)}
12378:. These zeros play an important role in numerical integration based on
10478:
or, with the alternative expression, which also holds at the endpoints
8487:{\displaystyle \theta {\dot {\mathbf {m} }}(t)=A\mathbf {m} (t)+Bu(t),}
6386:
2558:
This formula enables derivation of a large number of properties of the
2284:
The differential equation admits another, non-polynomial solution, the
26:
4963:{\textstyle {\tfrac {1}{16}}\left(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5\right)}
13246:
2187:
78:
14995:; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.),
14987:; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010),
14936:; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.),
14829:
12677:
The parity and normalization implicate the values at the boundaries
14709:"A generating function for the product of two Legendre polynomials"
8879:
shifted Legendre polynomials, weighted together by the elements of
14763:
9265:{\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{n}(x)\,dx=0{\text{ for }}n\geq 1,}
6370:
is the angle between those two vectors. The series converges when
14606:(in French). Vol. X. Paris. pp. 411–435. Archived from
6425:
5790:{\displaystyle f_{n}(x)=\sum _{\ell =0}^{n}a_{\ell }P_{\ell }(x)}
5500:
4224:{\displaystyle a_{k+2}=-{\frac {(l-k)(l+k+1)}{(k+2)(k+1)}}a_{k}.}
2421:
1978:. We rewrite the differential equation as an eigenvalue problem,
1884:{\displaystyle (1-x^{2})P_{n}''(x)-2xP_{n}'(x)+n(n+1)P_{n}(x)=0.}
14813:
12252:
subintervals, each subinterval will contain exactly one zero of
6446:
axis (the zenith angle), the solution for the potential will be
14983:
9272:
which follows from considering the orthogonality relation with
2418:
theory, and acquire profound physical and geometrical meaning.
1732:
The generating function approach is directly connected to the
1704:{\displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)\,.}
9098:
Legendre polynomials have definite parity. That is, they are
7162:, can also be multipole expanded by the Legendre polynomials
12156:
are real, distinct from each other, and lie in the interval
9361:
is used to approximate a function or experimental data: the
8402:, can be optimized such that its neural activities obey the
6929:, the potential may be expanded in the Legendre polynomials
4867:{\textstyle {\tfrac {1}{8}}\left(63x^{5}-70x^{3}+15x\right)}
10342:{\displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)}
8677:
4002:
399:
is the only correctly standardized polynomial of degree 0.
14988:
14929:
14671:
Voelker, Aaron R.; Kajić, Ivana; Eliasmith, Chris (2019).
12191:. Furthermore, if we regard them as dividing the interval
6640:
Diagram for the multipole expansion of electric potential.
6440:
is the angle between the position of the observer and the
6120:
The Legendre polynomials were first introduced in 1782 by
6109:
4784:{\textstyle {\tfrac {1}{8}}\left(35x^{4}-30x^{2}+3\right)}
14138:{\displaystyle 252x^{5}-630x^{4}+560x^{3}-210x^{2}+30x-1}
1930:
method, a series about the origin will only converge for
6416:, in a charge-free region of space, using the method of
1739:
14597:"Recherches sur l'attraction des sphéroïdes homogènes"
13223:{\displaystyle {\widetilde {P}}_{n}(x)=P_{n}(2x-1)\,.}
11619:
11596:
11473:
10618:
Useful for the integration of Legendre polynomials is
9320:
8031:
7856:
7681:
7537:
7396:
5310:
5308:
5195:
5193:
5083:
5081:
4984:
4982:
4888:
4886:
4805:
4803:
4725:
4723:
4658:
4656:
4594:
4592:
4566:
4540:
4344:
4291:
4264:
4237:
4029:
14887:. Mathematical Tables. Vol. 18. Pergamon Press.
14681:
14670:
14448:
14304:
14186:
14058:
13975:
13908:
13857:
13822:
13796:
13745:
13724:
13588:
13419:
13281:
13156:
13136:
13089:
12829:
12803:
12790:{\displaystyle P_{n}(1)=1\,,\quad P_{n}(-1)=(-1)^{n}}
12712:
12683:
12640:
12614:
12564:
12529:
12503:
12467:
12422:
12388:
12354:
12318:
12291:
12258:
12232:
12197:
12162:
12126:
12106:
11722:
11379:
11353:
11211:
11004:
10769:
10624:
10484:
10355:
10224:
10183:
9855:
9633:
9533:
9454:
9406:
9375:
9369:
is simply given by the leading expansion coefficient
9278:
9194:
9108:
9086:
methods, these networks can be trained to outperform
8927:
8907:
8885:
8865:
8841:
8821:
8499:
8416:
8371:
8213:
7182:
6935:
6810:
6650:
6452:
6133:
5970:
5858:
5832:
5803:
5714:
5681:
5526:
5463:
4498:
4477:
4437:
4400:
4377:
4324:
4111:
4091:
2591:
2585:'s. Among these are explicit representations such as
2564:
2436:
2403:
2361:
2293:
2251:
2207:
2159:
2124:
2104:
1984:
1759:
1582:
1397:
1356:
1278:
1251:
1215:
1195:
1175:
1148:
1021:
993:
982:
950:
914:
854:
827:
804:
768:
742:
700:
680:
654:
627:
600:
573:
546:
510:
468:
441:
405:
363:
321:
215:
195:
159:
124:
89:
14885:
Tables of Normalized Associated Legendre Polynomials
1711:
This relation, along with the first two polynomials
5704:with finitely many discontinuities in the interval
1729:, allows all the rest to be generated recursively.
14706:
14486:
14434:
14280:
14137:
14038:
13955:
13888:
13837:
13802:
13776:
13730:
13703:
13568:
13403:
13222:
13126:
13076:
12815:
12789:
12698:
12661:
12626:
12600:
12550:
12515:
12489:
12453:
12401:
12370:
12340:
12304:
12277:
12244:
12218:
12183:
12148:
12112:
12062:
11708:
11365:
11332:
11177:
10990:
10753:
10608:
10470:
10341:
10198:
10169:
9798:
9605:
9513:
9438:
9388:
9353:
9306:
9264:
9178:
9072:
8913:
8893:
8871:
8847:
8827:
8805:
8486:
8394:
8340:
8186:
7043:
6903:
6746:
6594:
6330:
6077:
5954:
5844:
5818:
5789:
5696:
5632:
5491:
5416:
5288:
5173:
5061:
4962:
4866:
4783:
4704:{\textstyle {\tfrac {1}{2}}\left(5x^{3}-3x\right)}
4703:
4636:
4572:
4546:
4520:
4483:
4451:
4420:
4383:
4363:
4330:
4310:
4277:
4250:
4223:
4097:
4077:
4015:
2577:
2548:
2409:
2389:
2306:
2273:
2237:
2174:
2145:
2110:
2090:
1883:
1703:
1549:
1369:
1339:
1264:
1237:
1201:
1181:
1161:
1118:
999:
971:
932:
892:
840:
810:
790:
754:
728:
694:conditions, which, along with the standardization
686:
666:
640:
613:
586:
559:
532:
496:
454:
427:
391:
349:
305:
201:
181:
145:
110:
79:Definition by construction as an orthogonal system
14682:Advances in Neural Information Processing Systems
13537:
13516:
13507:
13494:
12911:
12893:
4637:{\textstyle {\tfrac {1}{2}}\left(3x^{2}-1\right)}
3407:
3375:
3366:
3353:
3251:
3224:
3215:
3202:
3081:
3047:
3026:
3017:
3004:
2891:
2884:
2871:
15076:
14780:
13713:The first few shifted Legendre polynomials are:
9514:{\displaystyle P_{n}'(1)={\frac {n(n+1)}{2}}\,.}
8395:{\displaystyle \mathbf {m} \in \mathbb {R} ^{d}}
1377:'s without resorting to direct expansion of the
73:
54:Closely related to the Legendre polynomials are
15055:Wolfram MathWorld entry on Legendre polynomials
14866:Mathematical Methods in Science and Engineering
14764:"DLMF: 14.15 Uniform Asymptotic Approximations"
13141:
8350:
7088:. This expansion is used to develop the normal
4105:can also be calculated using a general formula:
2153:. If we demand that the solution be regular at
1744:A third definition is in terms of solutions to
14901:
14169:on [0, ∞). They are obtained by composing the
14150:
14039:{\displaystyle 70x^{4}-140x^{3}+90x^{2}-20x+1}
11716:and for arguments of magnitude greater than 1
11373:, the Legendre polynomials can be written as
6400:Legendre polynomials occur in the solution of
2422:Rodrigues' formula and other explicit formulas
2314:. A two-parameter generalization of (Eq.
2190:. The eigenvalues are found to be of the form
1922:so if a solution is sought using the standard
1340:{\displaystyle P_{0}(x)=1\,,\quad P_{1}(x)=x.}
315:With the additional standardization condition
14572:Mathematical methods in the physical sciences
11280:
11253:
10952:
10921:
10886:
10855:
10742:
10682:
9179:{\displaystyle P_{n}(-x)=(-1)^{n}P_{n}(x)\,.}
8172:
8044:
7966:
7869:
7791:
7694:
7616:
7550:
7472:
7409:
6758:. The left-hand side of the equation is the
4023:Expressing the polynomial as a power series,
3928:
3905:
16:System of complete and orthogonal polynomials
15065:The Legendre Polynomials by Carlyle E. Moore
11225:
11212:
10208:complete elliptic integral of the first kind
9448:The derivative at the end point is given by
6124:as the coefficients in the expansion of the
4461:generalized form of the binomial coefficient
4415:
4401:
540:is determined by demanding orthogonality to
14913:. Vol. 1. New York, NY: Interscience.
14841:
14694:
14557:
7176:. The first several orders are as follows:
5443:Plot of the six first Legendre polynomials.
621:is fixed by demanding orthogonality to all
14656:: CS1 maint: location missing publisher (
14632:(3rd ed.). Wiley & Sons. p.
12823:one can show that the values are given by
9849:The product of two Legendre polynomials
9314:. It is convenient when a Legendre series
7123:exchanged. This expansion is the basis of
6631:
908:, which are orthogonal over the half line
14713:Norske Videnskabers Selskab Forhandlinger
14480:
14274:
14229:
13697:
13562:
13397:
13353:
13216:
12738:
11876:
11444:
11326:
11291:
10747:
10602:
10163:
9792:
9599:
9507:
9432:
9232:
9172:
9023:
8721:
8540:
8382:
6628:in three dimensions for a central force.
6588:
6424:have axial symmetry (no dependence on an
5942:
5583:
3813:
3542:
2542:
2084:
1697:
1543:
1304:
1112:
272:
62:, Legendre functions of the second kind,
14964:
14882:
14594:
13582:for the shifted Legendre polynomials is
12672:
9093:
4466:The first few Legendre polynomials are:
25:
14998:NIST Handbook of Mathematical Functions
14939:NIST Handbook of Mathematical Functions
14927:
14623:
14176:A rational Legendre function of degree
13777:{\displaystyle {\widetilde {P}}_{n}(x)}
12382:. The specific quadrature based on the
10213:
8196:Another property is the expression for
6110:Expanding an inverse distance potential
5429:The graphs of these polynomials (up to
1391:on both sides and rearranged to obtain
902:classical orthogonal polynomial systems
15077:
15070:Legendre Polynomials from Hyperphysics
14487:{\displaystyle \lambda _{n}=n(n+1)\,.}
12416:From this property and the facts that
14863:
14729:
13956:{\displaystyle 20x^{3}-30x^{2}+12x-1}
10763:From the above one can see also that
8859:by a linear combination of the first
4430:largest integer less than or equal to
4078:{\textstyle P_{n}(x)=\sum a_{k}x^{k}}
2324:differential equation, solved by the
2286:Legendre functions of the second kind
893:{\displaystyle x,x^{2},x^{3},\ldots }
46:(1782), are a system of complete and
14574:(3rd ed.). Hoboken, NJ: Wiley.
14569:
8815:In this case, the sliding window of
1750:
1740:Definition via differential equation
1350:It is possible to obtain the higher
1012:
14847:Mathematical Methods for Physicists
4421:{\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }
2390:{\displaystyle P_{n}(\cos \theta )}
13:
14967:Legendre Polynomials and Functions
13520:
13498:
13137:Variants with transformed argument
12897:
12454:{\displaystyle P_{n}(\pm 1)\neq 0}
12030:
11845:
11640:
11503:
11360:
9872:
7130:
6983:
6936:
6811:
6707:
6635:
6624:They also appear when solving the
6490:
6453:
6258:
5987:
5839:
5447:
5438:
3909:
3379:
3357:
3228:
3206:
3030:
3008:
2875:
1500:
1387:is differentiated with respect to
1078:
983:Definition via generating function
972:{\displaystyle (-\infty ,\infty )}
963:
957:
924:
30:The first six Legendre polynomials
14:
15106:
15025:
1573:in the resulting expansion gives
15085:Special hypergeometric functions
14930:"Legendre and Related Functions"
13257:, implying that the polynomials
11366:{\displaystyle \ell \to \infty }
9968:
9365:of the series over the interval
9354:{\textstyle \sum _{i}a_{i}P_{i}}
8887:
8450:
8424:
8373:
6154:
6145:
5452:
4085:, the coefficients of powers of
2347:) by separation of variables in
1746:Legendre's differential equation
944:, orthogonal over the full line
14911:Methods of Mathematical Physics
12742:
11677:
9586:
9580:
9527:for Legendre polynomials reads
9046:
8742:
8561:
6351:are the lengths of the vectors
6104:
5670:
2326:Associated Legendre polynomials
2245:and the eigenfunctions are the
2238:{\displaystyle n=0,1,2,\ldots }
1308:
285:
56:associated Legendre polynomials
23:(the interpolating polynomial).
15001:, Cambridge University Press,
14942:, Cambridge University Press,
14756:
14723:
14700:
14688:
14664:
14617:
14588:
14563:
14551:
14477:
14465:
14423:
14417:
14395:
14389:
14203:
14197:
13771:
13765:
13614:
13608:
13553:
13543:
13461:
13451:
13445:
13439:
13350:
13344:
13322:
13316:
13213:
13198:
13182:
13176:
13115:
13109:
13062:
13053:
13042:
13027:
13015:
13005:
12970:
12961:
12933:
12923:
12868:
12858:
12849:
12843:
12778:
12768:
12762:
12753:
12729:
12723:
12656:
12641:
12584:
12578:
12545:
12530:
12484:
12478:
12442:
12433:
12335:
12329:
12213:
12198:
12178:
12163:
12143:
12137:
12008:
11995:
11971:
11958:
11696:
11684:
11406:
11394:
11357:
11342:
11274:
11268:
11198:is the norm over the interval
11157:
11138:
11132:
11126:
11089:
11076:
11070:
11064:
11042:
11036:
10979:
10973:
10941:
10929:
10913:
10907:
10875:
10863:
10847:
10841:
10828:
10813:
10807:
10801:
10737:
10731:
10709:
10703:
10659:
10653:
10640:
10625:
10599:
10593:
10559:
10553:
10540:
10528:
10522:
10516:
10465:
10459:
10437:
10431:
10412:
10406:
10336:
10330:
10305:
10299:
10283:
10268:
10262:
10256:
10237:
10225:
10193:
10187:
9948:
9929:
9916:
9897:
9789:
9767:
9746:
9734:
9615:The Legendre polynomials of a
9571:
9565:
9498:
9486:
9474:
9468:
9423:
9417:
9295:
9289:
9229:
9223:
9169:
9163:
9144:
9134:
9128:
9119:
9040:
9034:
8948:
8931:
8787:
8777:
8774:
8759:
8642:
8632:
8478:
8472:
8460:
8454:
8440:
8434:
8332:
8320:
8301:
8289:
8235:
8223:
8167:
8155:
8136:
8124:
8105:
8093:
8074:
8062:
8000:
7988:
7961:
7949:
7930:
7918:
7899:
7887:
7825:
7813:
7786:
7774:
7755:
7743:
7724:
7712:
7650:
7638:
7611:
7599:
7580:
7568:
7506:
7494:
7467:
7455:
7439:
7427:
7365:
7353:
7333:
7321:
7284:
7272:
7252:
7240:
7209:
7197:
7035:
7023:
6951:
6939:
6826:
6814:
6804:(see diagram right) varies as
6762:for the Legendre polynomials.
6738:
6732:
6585:
6573:
6553:
6541:
6468:
6456:
6322:
6310:
6069:
6057:
6048:
6042:
6029:
6023:
5939:
5933:
5920:
5914:
5836:
5813:
5807:
5784:
5778:
5731:
5725:
5691:
5685:
5580:
5574:
5561:
5555:
5480:
5474:
4515:
4509:
4394:In the fourth representation,
4202:
4190:
4187:
4175:
4170:
4152:
4149:
4137:
4046:
4040:
3866:
3856:
3842:
3834:
3802:
3796:
3769:
3763:
3675:
3667:
3654:
3646:
3605:
3597:
3565:
3557:
3527:
3521:
3436:
3430:
3299:
3293:
3110:
3104:
2970:
2964:
2938:
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2910:
2897:
2819:
2813:
2713:
2700:
2659:
2646:
2635:
2622:
2612:
2606:
2533:
2513:
2453:
2447:
2384:
2372:
2345:partial differential equations
2268:
2262:
2140:
2128:
2081:
2075:
2060:
2054:
1872:
1866:
1853:
1841:
1832:
1826:
1801:
1795:
1779:
1760:
1694:
1688:
1663:
1657:
1641:
1626:
1620:
1614:
1595:
1583:
1524:
1518:
1325:
1319:
1295:
1289:
1225:
1217:
1099:
1093:
966:
951:
927:
915:
785:
779:
717:
711:
527:
521:
485:
479:
422:
416:
380:
374:
338:
332:
269:
263:
250:
244:
176:
170:
140:
125:
99:
93:
1:
14773:
14539:Laplace expansion (potential)
13230:Here the "shifting" function
13127:{\displaystyle P_{2n+1}(0)=0}
9439:{\displaystyle P_{n}(1)=1\,.}
6116:Laplace expansion (potential)
74:Definition and representation
68:associated Legendre functions
13148:shifted Legendre polynomials
13142:Shifted Legendre polynomials
12601:{\displaystyle dP_{n}(x)/dx}
8894:{\displaystyle \mathbf {m} }
8404:linear time-invariant system
8365:-dimensional memory vector,
8351:In recurrent neural networks
7135:The trigonometric functions
7125:interior multipole expansion
6434:is the axis of symmetry and
5845:{\displaystyle n\to \infty }
1946:is an integer, the solution
7:
15043:Encyclopedia of Mathematics
14849:. Elsevier Academic Press.
14707:Leonard C. Maximon (1957).
14496:
14173:with Legendre polynomials.
14163:Legendre rational functions
14157:Legendre rational functions
14151:Legendre rational functions
13889:{\displaystyle 6x^{2}-6x+1}
12523:local minima and maxima in
9188:Another useful property is
6381:. The expression gives the
2316:
1897:
1559:
1383:
1132:
933:{\displaystyle [0,\infty )}
10:
15111:
14154:
9307:{\displaystyle P_{0}(x)=1}
8408:state-space representation
7095:Conversely, if the radius
6113:
5492:{\displaystyle P_{n}(1)=1}
1575:Bonnet’s recursion formula
729:{\displaystyle P_{n}(1)=1}
497:{\displaystyle P_{1}(x)=x}
392:{\displaystyle P_{0}(x)=1}
350:{\displaystyle P_{n}(1)=1}
189:is a polynomial of degree
64:big q-Legendre polynomials
18:
14965:El Attar, Refaat (2009).
14845:; Weber, Hans J. (2005).
14628:Classical Electrodynamics
14595:Legendre, A.-M. (1785) .
12411:Gauss-Legendre quadrature
10199:{\displaystyle K(\cdot )}
7101:of the observation point
6919:of the observation point
6754:which arise naturally in
5797:converges in the mean to
1565:equating the coefficients
1381:, however. Equation
1238:{\displaystyle |x|\leq 1}
14989:"Orthogonal Polynomials"
14883:Belousov, S. L. (1962).
14545:
12490:{\displaystyle P_{n}(x)}
12341:{\displaystyle P_{n}(x)}
12149:{\displaystyle P_{n}(x)}
12095:
8357:recurrent neural network
4521:{\displaystyle P_{n}(x)}
2274:{\displaystyle P_{n}(x)}
2111:{\displaystyle \lambda }
904:. The other two are the
791:{\displaystyle P_{n}(x)}
533:{\displaystyle P_{2}(x)}
428:{\displaystyle P_{1}(x)}
182:{\displaystyle P_{n}(x)}
19:Not to be confused with
14928:Dunster, T. M. (2010),
14695:Arfken & Weber 2005
14624:Jackson, J. D. (1999).
14558:Arfken & Weber 2005
14296:Sturm–Liouville problem
12699:{\displaystyle x=\pm 1}
12278:{\displaystyle P_{n+1}}
9806:where the unit vectors
9525:Askey–Gasper inequality
8848:{\displaystyle \theta }
8406:given by the following
6632:In multipole expansions
6418:separation of variables
6383:gravitational potential
5708:, the sequence of sums
5516:). Since they are also
2410:{\displaystyle \theta }
2320:) is called Legendre's
2175:{\displaystyle x=\pm 1}
1913:regular singular points
821:This definition of the
15090:Orthogonal polynomials
15038:"Legendre polynomials"
14732:Orthogonal polynomials
14570:Boas, Mary L. (2006).
14534:Romanovski polynomials
14509:Gegenbauer polynomials
14488:
14436:
14282:
14139:
14040:
13957:
13890:
13839:
13804:
13778:
13732:
13705:
13570:
13490:
13405:
13224:
13128:
13078:
12817:
12791:
12700:
12663:
12662:{\displaystyle (-1,1)}
12628:
12602:
12552:
12551:{\displaystyle (-1,1)}
12517:
12491:
12455:
12403:
12372:
12371:{\displaystyle -x_{k}}
12342:
12306:
12279:
12246:
12220:
12185:
12184:{\displaystyle (-1,1)}
12150:
12114:
12064:
11710:
11367:
11334:
11179:
10992:
10755:
10610:
10472:
10343:
10200:
10171:
9876:
9800:
9720:
9607:
9554:
9515:
9440:
9390:
9355:
9308:
9266:
9180:
9088:long short-term memory
9074:
8980:
8915:
8895:
8873:
8849:
8829:
8807:
8488:
8396:
8342:
8278:
8188:
7142:, also denoted as the
7051:where we have defined
7045:
6987:
6905:
6748:
6711:
6641:
6596:
6494:
6332:
6262:
6079:
5991:
5956:
5846:
5820:
5791:
5757:
5698:
5634:
5493:
5444:
5418:
5290:
5175:
5063:
4964:
4868:
4785:
4705:
4638:
4574:
4548:
4522:
4485:
4453:
4422:
4385:
4365:
4332:
4312:
4279:
4252:
4225:
4099:
4079:
4017:
3339:
3175:
3000:
2866:
2579:
2550:
2411:
2391:
2308:
2275:
2239:
2176:
2147:
2146:{\displaystyle n(n+1)}
2112:
2092:
1976:Sturm–Liouville theory
1885:
1705:
1551:
1504:
1371:
1341:
1266:
1239:
1203:
1183:
1163:
1120:
1082:
1001:
973:
934:
894:
842:
812:
792:
756:
730:
688:
668:
667:{\displaystyle m<n}
642:
615:
588:
561:
534:
498:
456:
435:must be orthogonal to
429:
393:
351:
307:
203:
183:
147:
112:
111:{\displaystyle w(x)=1}
48:orthogonal polynomials
31:
14864:Bayin, S. S. (2006).
14730:Szegő, Gábor (1975).
14489:
14437:
14283:
14140:
14041:
13958:
13891:
13840:
13805:
13779:
13733:
13706:
13571:
13470:
13406:
13243:affine transformation
13225:
13129:
13079:
12818:
12792:
12701:
12673:Pointwise evaluations
12664:
12629:
12603:
12553:
12518:
12492:
12456:
12404:
12402:{\displaystyle P_{n}}
12373:
12343:
12307:
12305:{\displaystyle x_{k}}
12280:
12247:
12221:
12186:
12151:
12115:
12065:
11711:
11368:
11335:
11180:
10993:
10756:
10611:
10473:
10344:
10201:
10172:
9856:
9821:spherical coordinates
9801:
9697:
9623:can be expanded with
9608:
9534:
9516:
9441:
9391:
9389:{\displaystyle a_{0}}
9356:
9309:
9267:
9181:
9094:Additional properties
9075:
8954:
8916:
8896:
8874:
8850:
8830:
8808:
8489:
8397:
8343:
8258:
8189:
7144:Chebyshev polynomials
7046:
6967:
6906:
6782:spherical coordinates
6749:
6691:
6639:
6597:
6474:
6333:
6242:
6122:Adrien-Marie Legendre
6080:
5971:
5957:
5847:
5821:
5792:
5737:
5699:
5635:
5494:
5442:
5419:
5291:
5176:
5064:
4965:
4869:
4786:
4706:
4639:
4575:
4549:
4523:
4486:
4454:
4423:
4386:
4366:
4333:
4313:
4280:
4253:
4226:
4100:
4080:
4018:
3319:
3137:
2980:
2846:
2580:
2578:{\displaystyle P_{n}}
2551:
2412:
2392:
2349:spherical coordinates
2309:
2307:{\displaystyle Q_{n}}
2276:
2240:
2184:differential operator
2177:
2148:
2113:
2093:
1909:differential equation
1886:
1706:
1552:
1484:
1372:
1370:{\displaystyle P_{n}}
1342:
1267:
1265:{\displaystyle t^{1}}
1240:
1204:
1184:
1164:
1162:{\displaystyle t^{n}}
1121:
1062:
1002:
974:
935:
895:
843:
841:{\displaystyle P_{n}}
813:
793:
757:
731:
689:
669:
643:
641:{\displaystyle P_{m}}
616:
614:{\displaystyle P_{n}}
589:
587:{\displaystyle P_{1}}
562:
560:{\displaystyle P_{0}}
535:
499:
457:
455:{\displaystyle P_{0}}
430:
394:
352:
308:
204:
184:
148:
113:
44:Adrien-Marie Legendre
29:
14514:Turán's inequalities
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9625:spherical harmonics
9467:
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9082:When combined with
7090:multipole expansion
6765:As an example, the
6760:generating function
6422:boundary conditions
6126:Newtonian potential
5910:
5852:, provided we take
5544:
5436:) are shown below:
4452:{\displaystyle n/2}
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3478:
2353:spherical harmonics
1967:is also regular at
1960:that is regular at
1825:
1794:
1734:multipole expansion
1169:is a polynomial in
1142:The coefficient of
1009:generating function
942:Hermite polynomials
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233:
21:Lagrange polynomial
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14934:Olver, Frank W. J.
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14903:Courant, Richard
14898:
14879:
14868:. Wiley. ch. 2.
14860:
14834: See also
14833:
14788:, eds. (1983) .
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