1217:
36:
178:
1212:
1694:
856:
3151:
1207:{\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}\ \Gamma (\lambda +\mu +1)}{2^{\lambda +1}\Gamma (\lambda +3/2)}}{\frac {e^{i\mu \pi }(z^{2}-1)^{\mu /2}}{z^{\lambda +\mu +1}}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {\lambda +\mu +1}{2}},{\frac {\lambda +\mu +2}{2}};\lambda +{\frac {3}{2}};{\frac {1}{z^{2}}}\right),\qquad {\text{for}}\ \ |z|>1.}
1635:
2439:
2118:
2890:
851:
3770:. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 332.
2865:
1367:
2164:
1771:
617:
173:
are also solutions of the differential equation in special cases, which, by virtue of being polynomials, have a large number of additional properties, mathematical structure, and applications. For these polynomial solutions, see the separate
Knowledge articles.
3146:{\displaystyle P_{s}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cos \theta \right)^{s}d\theta ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{1}\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}(2t-1)\right)^{s}{\frac {dt}{\sqrt {t(1-t)}}},\qquad s\in \mathbb {C} }
2677:
3558:
2689:
1216:
349:
1630:{\displaystyle P_{\lambda }^{m}(z)=\lim _{\mu \to m}P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {(-\lambda )_{m}(\lambda +1)_{m}}{m!}}\left^{m/2}\,_{2}F_{1}\left(-\lambda ,\lambda +1;1+m;{\frac {1-z}{2}}\right),}
2434:{\displaystyle Q_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\log {\frac {1+x}{1-x}}&n=0\\P_{1}(x)Q_{0}(x)-1&n=1\\{\frac {2n-1}{n}}xQ_{n-1}(x)-{\frac {n-1}{n}}Q_{n-2}(x)&n\geq 2\,.\end{cases}}}
2113:{\displaystyle Q_{n}(x)={\frac {n!}{1\cdot 3\cdots (2n+1)}}\left(x^{-(n+1)}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2(2n+3)}}x^{-(n+3)}+{\frac {(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{2\cdot 4(2n+3)(2n+5)}}x^{-(n+5)}+\cdots \right)}
3434:
550:
Since the differential equation is linear, homogeneous (the right hand side =zero) and of second order, it has two linearly independent solutions, which can both be expressed in terms of the
2487:
1740:
2528:
1293:
846:{\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left^{\mu /2}\,_{2}F_{1}\left(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu ;{\frac {1-z}{2}}\right),\qquad {\text{for }}\ |1-z|<2,}
2533:
1360:
1325:
3608:
for integer degree, Legendre functions of the first kind reduce to
Legendre polynomials, which are bounded on . It can be shown that the singularity of the Legendre functions
3439:
3311:
1670:
1220:
Plot of the
Legendre function of the second kind Q n(x) with n=0.5 in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D
3364:
3234:
588:
2153:
608:
1766:
3185:
3267:
3589:
of non-integer degree are unbounded at the interval . In applications in physics, this often provides a selection criterion. Indeed, because
Legendre functions
3619:
for non-integer degree is a consequence of the mirror symmetry of
Legendre's equation. Thus there is a symmetry under the selection rule just mentioned.
2860:{\displaystyle P_{\lambda }(z)=P_{\lambda }^{0}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{1,z}{\frac {(t^{2}-1)^{\lambda }}{2^{\lambda }(t-z)^{\lambda +1}}}dt}
1224:
These are generally known as
Legendre functions of the first and second kind of noninteger degree, with the additional qualifier 'associated' if
208:
3369:
3836:
2159:
3929:
3845:
3775:
535:
363:
may be complex, and are called the degree and order of the relevant function, respectively. The polynomial solutions when
3887:, National Bureau of Standards Applied Mathematics Series, No. 19, Washington, D.C.: U. S. Government Printing Office,
3600:
of the second kind are always unbounded, in order to have a bounded solution of
Legendre's equation at all, the degree
3978:
79:
57:
2451:
1704:
50:
3707:"The Singularity of Legendre Functions of the First Kind as a Consequence of the Symmetry of Legendre's Equation"
170:
24:
2492:
1257:
3874:
3649:
1330:
3962:
3956:
3562:
3950:
3944:
3869:
1298:
3276:
3921:
3864:
2123:
2195:
1642:
3314:
510:
is an integer is often discussed separately as
Legendre's function of the second kind, and denoted
44:
3884:
Hypergeometric and
Legendre functions with applications to integral equations of potential theory
3320:
3190:
551:
539:
2672:{\displaystyle Q_{n}^{m}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{\frac {m}{2}}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}Q_{n}(x)\,.}
557:
61:
3765:
2129:
593:
1745:
3902:
3882:
3855:
3793:
3718:
3671:
3553:{\displaystyle {\hat {f}}(s)=\int _{1}^{\infty }f(x)P_{s}(x)dx,\qquad -1\leq \Re (s)\leq 0}
3163:
166:
20:
3239:
8:
3722:
3675:
3687:
3661:
3925:
3841:
3831:
3797:
3781:
3771:
3753:
3736:
3270:
1673:
3893:
3888:
3726:
3691:
3679:
3628:
1243:
3909:
3898:
3851:
3809:
3789:
3767:
Handbook of
Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
3761:
1327:
above involves cancellation of singular terms. We can find the limit valid for
611:
2158:
The Legendre functions of the second kind can also be defined recursively via
522:
This is a second order linear equation with three regular singular points (at
3972:
3813:
3740:
3913:
3757:
3683:
177:
2686:
The Legendre functions can be written as contour integrals. For example,
3731:
3706:
3834:; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.),
3801:
1693:
3666:
3650:"Fast generation of isotropic Gaussian random fields on the sphere"
2443:
1701:
The nonpolynomial solution for the special case of integer degree
2448:
The nonpolynomial solution for the special case of integer degree
538:
by a change of variable, and its solutions can be expressed using
3785:
1697:
Plot of the first five Legendre functions of the second kind.
1679:
165:, are all solutions of Legendre's differential equation. The
426:
are the associated Legendre polynomials. All other cases of
2427:
3827:
545:
3563:
Singularities of Legendre functions of the first kind (
534:). Like all such equations, it can be converted into a
438:
can be discussed as one, and the solutions are written
344:{\displaystyle \left(1-x^{2}\right)y''-2xy'+\lefty=0,}
3442:
3372:
3323:
3279:
3242:
3193:
3187:
are very useful in the study of harmonic analysis on
3166:
2893:
2692:
2536:
2495:
2454:
2167:
2132:
1774:
1748:
1707:
1645:
1370:
1333:
1301:
1260:
859:
620:
596:
560:
211:
2877:in the positive direction and does not wind around
196:
3552:
3429:{\displaystyle L^{1}(G//K)\ni f\mapsto {\hat {f}}}
3428:
3358:
3305:
3261:
3228:
3179:
3155:
3145:
2859:
2671:
2522:
2481:
2433:
2147:
2112:
1760:
1734:
1664:
1629:
1354:
1319:
1287:
1206:
845:
602:
582:
477:, the superscript is omitted, and one writes just
343:
1768:, is often discussed separately. It is given by
3970:
3752:
2444:Associated Legendre functions of the second kind
1399:
19:For the most common case of integer degree, see
3908:
3808:
2482:{\displaystyle \lambda =n\in \mathbb {N} _{0}}
1735:{\displaystyle \lambda =n\in \mathbb {N} _{0}}
3704:
16:Solutions of Legendre's differential equation
3647:
2681:
1230:is non-zero. A useful relation between the
2867:where the contour winds around the points
2523:{\displaystyle \mu =m\in \mathbb {N} _{0}}
1288:{\displaystyle \mu =m\in \mathbb {N} ^{+}}
181:Associated Legendre polynomial curves for
3892:
3818:Methods of Mathematical Physics, Volume 1
3730:
3665:
3296:
3139:
2665:
2510:
2469:
2420:
1722:
1546:
1342:
1275:
1249:
1053:
725:
92:In physical science and mathematics, the
80:Learn how and when to remove this message
3648:Creasey, Peter E.; Lang, Annika (2018).
1692:
1215:
176:
43:This article includes a list of general
3837:NIST Handbook of Mathematical Functions
3825:
3820:, New York: Interscience Publisher, Inc
1680:Legendre functions of the second kind (
3971:
3862:
3705:van der Toorn, Ramses (4 April 2022).
546:Solutions of the differential equation
3317:). Actually the Fourier transform on
1355:{\displaystyle m\in \mathbb {N} _{0}}
154:Legendre functions of the second kind
3880:
3654:Monte Carlo Methods and Applications
3160:The real integral representation of
536:hypergeometric differential equation
29:
1320:{\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }}
13:
3532:
3477:
3306:{\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}
942:
900:
654:
597:
49:it lacks sufficient corresponding
14:
3990:
3938:
3828:"Legendre and Related Functions"
197:Legendre's differential equation
34:
3522:
3156:Legendre function as characters
3131:
1173:
806:
171:associated Legendre polynomials
25:associated Legendre polynomials
3965:on the Wolfram functions site.
3963:Associated Legendre function Q
3959:on the Wolfram functions site.
3957:Associated Legendre function P
3953:on the Wolfram functions site.
3947:on the Wolfram functions site.
3840:, Cambridge University Press,
3698:
3641:
3574:) as a consequence of symmetry
3541:
3535:
3510:
3504:
3491:
3485:
3461:
3455:
3449:
3420:
3411:
3402:
3383:
3353:
3334:
3300:
3286:
3223:
3204:
3122:
3110:
3082:
3067:
2910:
2904:
2833:
2820:
2799:
2779:
2736:
2730:
2709:
2703:
2662:
2656:
2603:
2583:
2574:
2564:
2558:
2552:
2406:
2400:
2360:
2354:
2290:
2284:
2271:
2265:
2184:
2178:
2094:
2082:
2068:
2053:
2050:
2035:
2021:
2009:
2006:
1994:
1991:
1979:
1976:
1964:
1953:
1941:
1927:
1912:
1904:
1892:
1889:
1877:
1866:
1854:
1835:
1820:
1791:
1785:
1665:{\displaystyle (\lambda )_{n}}
1653:
1646:
1476:
1463:
1454:
1444:
1435:
1429:
1406:
1392:
1386:
1194:
1186:
1010:
990:
965:
945:
921:
903:
881:
875:
830:
816:
669:
657:
642:
636:
286:
274:
1:
3634:
2122:This solution is necessarily
382:are the Legendre polynomials
119:associated Legendre functions
7:
3918:A Course in Modern Analysis
3870:Encyclopedia of Mathematics
3622:
3359:{\displaystyle L^{1}(G//K)}
3229:{\displaystyle L^{1}(G//K)}
10:
3995:
3922:Cambridge University Press
2160:Bonnet's recursion formula
18:
583:{\displaystyle _{2}F_{1}}
203:general Legendre equation
3979:Hypergeometric functions
3315:Zonal spherical function
2682:Integral representations
614:, the first solution is
540:hypergeometric functions
495:. However, the solution
413:is also an integer with
3894:2027/mdp.39015011416826
3881:Snow, Chester (1952) ,
3826:Dunster, T. M. (2010),
2148:{\displaystyle x=\pm 1}
603:{\displaystyle \Gamma }
552:hypergeometric function
397:is an integer (denoted
369:is an integer (denoted
64:more precise citations.
3863:Ivanov, A.B. (2001) ,
3684:10.1515/mcma-2018-0001
3554:
3430:
3360:
3307:
3263:
3230:
3181:
3147:
2861:
2673:
2524:
2483:
2435:
2149:
2114:
1762:
1761:{\displaystyle \mu =0}
1736:
1698:
1666:
1631:
1356:
1321:
1289:
1250:Positive integer order
1221:
1208:
847:
604:
584:
345:
193:
3555:
3431:
3361:
3308:
3264:
3231:
3182:
3180:{\displaystyle P_{s}}
3148:
2862:
2674:
2525:
2484:
2436:
2150:
2115:
1763:
1737:
1696:
1667:
1632:
1357:
1322:
1290:
1254:For positive integer
1219:
1209:
848:
605:
585:
346:
180:
3440:
3370:
3321:
3277:
3262:{\displaystyle G//K}
3240:
3191:
3164:
2891:
2690:
2534:
2493:
2452:
2165:
2130:
1772:
1746:
1705:
1643:
1368:
1331:
1299:
1258:
857:
618:
594:
558:
209:
167:Legendre polynomials
21:Legendre polynomials
3951:Legendre function Q
3945:Legendre function P
3865:"Legendre function"
3732:10.3390/sym14040741
3723:2022Symm...14..741V
3676:2018MCMA...24....1C
3604:be integer valued:
3578:Legendre functions
3481:
3034:
2948:
2729:
2551:
1428:
1385:
1316:
874:
635:
3832:Olver, Frank W. J.
3754:Abramowitz, Milton
3550:
3467:
3426:
3356:
3303:
3271:double coset space
3259:
3226:
3177:
3143:
3020:
2931:
2857:
2715:
2669:
2537:
2520:
2479:
2431:
2426:
2145:
2110:
1758:
1732:
1699:
1662:
1627:
1414:
1413:
1371:
1352:
1317:
1302:
1295:the evaluation of
1285:
1222:
1204:
860:
853:and the second is
843:
621:
600:
580:
351:where the numbers
341:
194:
94:Legendre functions
3931:978-0-521-58807-2
3847:978-0-521-19225-5
3777:978-0-486-61272-0
3758:Stegun, Irene Ann
3452:
3423:
3126:
3125:
3065:
3018:
2979:
2929:
2849:
2758:
2644:
2614:
2382:
2333:
2238:
2206:
2072:
1931:
1839:
1674:Pochhammer symbol
1617:
1525:
1494:
1398:
1244:Whipple's formula
1184:
1181:
1177:
1163:
1143:
1124:
1097:
1050:
969:
899:
895:
814:
810:
796:
704:
673:
322:
90:
89:
82:
3986:
3934:
3910:Whittaker, E. T.
3905:
3896:
3877:
3858:
3821:
3810:Courant, Richard
3805:
3760:, eds. (1983) .
3745:
3744:
3734:
3702:
3696:
3695:
3669:
3645:
3629:Ferrers function
3618:
3599:
3588:
3573:
3559:
3557:
3556:
3551:
3503:
3502:
3480:
3475:
3454:
3453:
3445:
3435:
3433:
3432:
3427:
3425:
3424:
3416:
3398:
3393:
3382:
3381:
3365:
3363:
3362:
3357:
3349:
3344:
3333:
3332:
3312:
3310:
3309:
3304:
3299:
3268:
3266:
3265:
3260:
3255:
3250:
3235:
3233:
3232:
3227:
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