3868:
2588:
8039:
7026:
3863:{\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}(x)&={\frac {\left((t+x)^{2}-1\right)^{n}}{2^{n}}}={\frac {\left(t+x+1\right)^{n}\left(t+x-1\right)^{n}}{2^{n}}},\\P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{\!2}(x-1)^{n-k}(x+1)^{k},\\P_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{\!k},\\P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {2n-2k}{n}}x^{n-2k},\\P_{n}(x)&=2^{n}\sum _{k=0}^{n}x^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {\frac {n+k-1}{2}}{n}},\\P_{n}(x)&={\begin{cases}{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cdot \cos(t)\right)}^{n}\,dt&{\text{if }}|x|>1\\{\frac {2}{\pi }}\cdot x^{n}\cdot |x|\cdot \int _{|x|}^{1}{\frac {t^{-n-1}}{\sqrt {t^{2}-x^{2}}}}\cdot {\frac {\cos \left(n\cdot \arccos(t)\right)}{\sin \left(\arccos(t)\right)}}\,dt&{\text{if }}|x|<1\\x^{n}&{\text{if }}|x|=1\end{cases}}.\end{aligned}}}
8034:{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}T_{0}(\cos \theta )&=1&&=P_{0}(\cos \theta ),\\T_{1}(\cos \theta )&=\cos \theta &&=P_{1}(\cos \theta ),\\T_{2}(\cos \theta )&=\cos 2\theta &&={\tfrac {1}{3}}{\bigl (}4P_{2}(\cos \theta )-P_{0}(\cos \theta ){\bigr )},\\T_{3}(\cos \theta )&=\cos 3\theta &&={\tfrac {1}{5}}{\bigl (}8P_{3}(\cos \theta )-3P_{1}(\cos \theta ){\bigr )},\\T_{4}(\cos \theta )&=\cos 4\theta &&={\tfrac {1}{105}}{\bigl (}192P_{4}(\cos \theta )-80P_{2}(\cos \theta )-7P_{0}(\cos \theta ){\bigr )},\\T_{5}(\cos \theta )&=\cos 5\theta &&={\tfrac {1}{63}}{\bigl (}128P_{5}(\cos \theta )-56P_{3}(\cos \theta )-9P_{1}(\cos \theta ){\bigr )},\\T_{6}(\cos \theta )&=\cos 6\theta &&={\tfrac {1}{1155}}{\bigl (}2560P_{6}(\cos \theta )-1152P_{4}(\cos \theta )-220P_{2}(\cos \theta )-33P_{0}(\cos \theta ){\bigr )}.\end{alignedat}}}
11561:
11915:
6484:
11223:
5287:
11566:
27:
10022:
8658:
11556:{\displaystyle {\begin{aligned}P_{\ell }(\cos \theta )&={\sqrt {\frac {\theta }{\sin \left(\theta \right)}}}\,J_{0}{\left(\left(\ell +{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-1}\right)\\&={\sqrt {\frac {2}{\pi \ell \sin \left(\theta \right)}}}\cos \left(\left(\ell +{\tfrac {1}{2}}\right)\theta -{\tfrac {\pi }{4}}\right)+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-3/2}\right),\quad \theta \in (0,\pi ),\end{aligned}}}
11910:{\displaystyle {\begin{aligned}P_{\ell }\left(\cosh \xi \right)&={\sqrt {\frac {\xi }{\sinh \xi }}}I_{0}\left(\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)\xi \right)\left(1+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-1}\right)\right)\,,\\P_{\ell }\left({\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}\right)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \ell e}}}{\frac {(1+e)^{\frac {\ell +1}{2}}}{(1-e)^{\frac {\ell }{2}}}}+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-1}\right)\end{aligned}}}
9699:
8343:
6183:
8925:
9651:
10017:{\displaystyle \sum _{p=0}^{\infty }t^{p}P_{p}(\cos \theta _{1})P_{p}(\cos \theta _{2})={\frac {2}{\pi }}{\frac {\mathbf {K} \left(2{\sqrt {\frac {t\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}}{t^{2}-2t\cos \left(\theta _{1}+\theta _{2}\right)+1}}}\right)}{\sqrt {t^{2}-2t\cos \left(\theta _{1}+\theta _{2}\right)+1}}}\,,}
12929:
8653:{\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left_{ij}\in \mathbb {R} ^{d\times d}{\text{,}}\quad &&a_{ij}=\left(2i+1\right){\begin{cases}-1&i<j\\(-1)^{i-j+1}&i\geq j\end{cases}},\\B&=\left_{i}\in \mathbb {R} ^{d\times 1}{\text{,}}\quad &&b_{i}=(2i+1)(-1)^{i}.\end{aligned}}}
14645:. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. pp. 332, 773.
2417:
is the polar angle. This approach to the
Legendre polynomials provides a deep connection to rotational symmetry. Many of their properties which are found laboriously through the methods of analysis — for example the addition theorem — are more easily found using the methods of symmetry and group
5977:
50:
with a vast number of mathematical properties and numerous applications. They can be defined in many ways, and the various definitions highlight different aspects as well as suggest generalizations and connections to different mathematical structures and physical and numerical applications.
11030:
6447:
10843:
6896:
8193:
1555:
11185:
8771:
13256:
12673:
13421:
13556:
9477:
6756:
5269:
5930:
2096:
14287:
6599:
9246:
Since the differential equation and the orthogonality property are independent of scaling, the
Legendre polynomials' definitions are "standardized" (sometimes called "normalization", but the actual norm is not 1) by being scaled so that
14133:
5141:
10848:
10606:
2593:
5026:
1124:
2554:
10461:
6296:
5807:
10613:
9458:
5485:
10323:
1889:
311:
4914:
8339:
4815:
6779:
8057:
9117:
6178:{\displaystyle {\frac {1}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+{r'}^{2}-2r{r'}\cos \gamma }}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {{r'}^{\ell }}{r^{\ell +1}}}P_{\ell }(\cos \gamma ),}
5642:
4076:
1709:
11228:
4719:
10194:
4636:
1394:
13990:
11055:
13125:
13075:
12642:
9366:
11571:
8348:
4556:
13263:
4489:
13432:
8247:
6654:
13891:
1345:
9031:
848:'s is the simplest one. It does not appeal to the theory of differential equations. Second, the completeness of the polynomials follows immediately from the completeness of the powers 1,
5814:
1981:
14148:
13629:
6494:
14339:
13808:
3930:
898:
4273:
2395:
12306:
977:
14030:
11218:
9206:
6971:
10468:
2243:
900:. Finally, by defining them via orthogonality with respect to the most obvious weight function on a finite interval, it sets up the Legendre polynomials as one of the three
12979:
9291:
1018:
12453:
8746:
5697:
13741:
8920:{\displaystyle u(t-\theta ')\approx \sum _{\ell =0}^{d-1}{\widetilde {P}}_{\ell }\left({\frac {\theta '}{\theta }}\right)\,m_{\ell }(t),\quad 0\leq \theta '\leq \theta .}
5152:
2433:
938:
10328:
9159:
5344:
2355:, of which the Legendre polynomials are (up to a multiplicative constant) the subset that is left invariant by rotations about the polar axis. The polynomials appear as
734:
502:
397:
355:
10051:
5702:
1243:
12342:
12193:
12001:
9377:
5370:
4373:
2279:
2116:
796:
538:
433:
187:
12551:
12130:
10199:
8700:
2415:
2180:
12924:{\displaystyle P_{2n}(0)={\frac {(-1)^{n}}{4^{n}}}{\binom {2n}{n}}={\frac {(-1)^{n}}{2^{2n}}}{\frac {(2n)!}{\left(n!\right)^{2}}}=(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}}
12514:
12403:
12223:
12036:
2151:
672:
116:
12254:
12157:
9241:
2583:
2312:
1375:
1270:
1167:
846:
646:
619:
592:
565:
460:
212:
13690:
5671:
5549:
4216:
4163:
12668:
12479:
12368:
12097:
9646:{\displaystyle P_{\ell }\left(r\cdot r'\right)={\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\varphi )Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\varphi ')\,,}
4304:
1974:, and the series for this solution terminates (i.e. it is a polynomial). The orthogonality and completeness of these solutions is best seen from the viewpoint of
760:
4130:
4103:
13655:
13583:
11965:
8766:
8724:
8680:
7031:
4336:
4236:
4183:
3950:
1207:
1187:
1005:
816:
692:
207:
12071:
5037:
151:
8260:
4425:
4399:
4925:
6244:. The expansion using Legendre polynomials might be useful, for instance, when integrating this expression over a continuous mass or charge distribution.
1347:
Expansion to higher orders gets increasingly cumbersome, but is possible to do systematically, and again leads to one of the explicit forms given below.
9038:
14555:
5558:
4306:. The last representation, which is also immediate from the recursion formula, expresses the Legendre polynomials by simple monomials and involves the
3955:
1756:
14443:
1579:
14911:
11025:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}P_{n+1}(x)={\frac {2P_{n}(x)}{\left\|P_{n}\right\|^{2}}}+{\frac {2P_{n-2}(x)}{\left\|P_{n-2}\right\|^{2}}}+\cdots }
10068:
4307:
14504:
4826:
13000:
798:. With work, all the coefficients of every polynomial can be systematically determined, leading to the explicit representation in powers of
12556:
10054:
6483:
6442:{\displaystyle \Phi (r,\theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\left(A_{\ell }r^{\ell }+B_{\ell }r^{-(\ell +1)}\right)P_{\ell }(\cos \theta )\,.}
4730:
10838:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}P_{n+1}(x)=(2n+1)P_{n}(x)+{\bigl (}2(n-2)+1{\bigr )}P_{n-2}(x)+{\bigl (}2(n-4)+1{\bigr )}P_{n-4}(x)+\cdots }
9298:
14931:
14844:
14785:
6491:
Legendre polynomials are also useful in expanding functions of the form (this is the same as before, written a little differently):
1275:
14451:
Mémoires de Mathématiques et de
Physique, présentés à l'Académie Royale des Sciences, par divers savans, et lus dans ses Assemblées
8952:
2281:. The orthogonality and completeness of this set of solutions follows at once from the larger framework of Sturm–Liouville theory.
10065:
As discussed above, the
Legendre polynomials obey the three-term recurrence relation known as Bonnet's recursion formula given by
4647:
2285:
13902:
4567:
6891:{\displaystyle \Phi (r,\theta )\propto {\frac {1}{r}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {a}{r}}\right)^{k}P_{k}(\cos \theta ),}
14853:
14821:
14794:
14765:
14739:
14720:
14650:
14488:
14426:
8188:{\displaystyle {\frac {\sin(n+1)\theta }{\sin \theta }}=\sum _{\ell =0}^{n}P_{\ell }(\cos \theta )P_{n-\ell }(\cos \theta ).}
14292:
14906:
5286:
4500:
8215:
4436:
14701:
13819:
12933:
9250:
5811:
This completeness property underlies all the expansions discussed in this article, and is often stated in the form
1550:{\displaystyle {\frac {x-t}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\left(1-2xt+t^{2}\right)\sum _{n=1}^{\infty }nP_{n}(x)t^{n-1}\,.}
901:
14936:
11180:{\displaystyle \|P_{n}\|={\sqrt {\int _{-1}^{1}{\bigl (}P_{n}(x){\bigr )}^{2}\,dx}}={\sqrt {\frac {2}{2n+1}}}\,.}
2325:
55:
13251:{\displaystyle \int _{0}^{1}{\widetilde {P}}_{m}(x){\widetilde {P}}_{n}(x)\,dx={\frac {1}{2n+1}}\delta _{mn}\,.}
14586:
979:, with weight functions that are the most natural analytic functions that ensure convergence of all integrals.
14894:
14385:
13589:
5962:
2344:
13752:
8250:
851:
67:
14884:
14879:
A quick informal derivation of the
Legendre polynomial in the context of the quantum mechanics of hydrogen
14454:
13416:{\displaystyle {\widetilde {P}}_{n}(x)=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}(-x)^{k}\,.}
3873:
1736:
in electrostatics, as explained below, and is how the polynomials were first defined by
Legendre in 1782.
83:
In this approach, the polynomials are defined as an orthogonal system with respect to the weight function
14889:
14142:
14009:
14003:
13551:{\displaystyle {\widetilde {P}}_{n}(x)={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(x^{2}-x\right)^{n}\,.}
9371:
4244:
2358:
14519:
12266:
6751:{\displaystyle \Phi (r,\theta )\propto {\frac {1}{R}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+a^{2}-2ar\cos \theta }}}.}
947:
8254:
1975:
63:
14360:
11197:
12257:
9164:
5264:{\textstyle {\tfrac {1}{256}}\left(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63\right)}
2204:
1564:
8455:
5925:{\displaystyle \sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {2\ell +1}{2}}P_{\ell }(x)P_{\ell }(y)=\delta (x-y),}
3451:
2091:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\left(1-x^{2}\right){\frac {d}{dx}}\right)P(x)=-\lambda P(x)\,,}
987:
The
Legendre polynomials can also be defined as the coefficients in a formal expansion in powers of
14480:
8203:
12408:
12132:. This is known as the interlacing property. Because of the parity property it is evident that if
8729:
5676:
14907:
Dr James B. Calvert's article on
Legendre polynomials from his personal collection of mathematics
13701:
6264:
6229:
2351:. From this standpoint, the eigenfunctions of the angular part of the Laplacian operator are the
911:
14282:{\displaystyle \left(x+1\right){\frac {d}{dx}}\left(x{\frac {d}{dx}}\left\right)+\lambda v(x)=0}
9122:
6594:{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+\eta ^{2}-2\eta x}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\eta ^{k}P_{k}(x),}
6472:
5307:
697:
465:
360:
318:
14380:
14355:
10027:
8946:
8934:
5522:
That the polynomials are complete means the following. Given any piecewise continuous function
1912:
1212:
47:
14916:
12311:
12162:
11970:
4342:
2248:
2101:
765:
507:
402:
156:
14640:
13426:
13089:
12527:
12102:
9667:
8685:
6990:
6628:
6248:
5968:
5511:
2427:
2400:
2348:
2340:
2183:
2156:
1908:
43:
14472:
12484:
12373:
12198:
12006:
5367:
with respect to the same norm, the two statements can be combined into the single equation,
2339:
In physical settings, Legendre's differential equation arises naturally whenever one solves
2121:
651:
86:
14941:
14863:
14804:
14668:
14013:
12232:
12135:
9219:
8703:
2561:
2290:
1353:
1248:
1145:
905:
824:
624:
597:
570:
543:
438:
14581:(4th ed.). Providence: American Mathematical Society. pp. 194 (Theorem 8.21.2).
14128:{\displaystyle R_{n}(x)={\frac {\sqrt {2}}{x+1}}\,P_{n}\left({\frac {x-1}{x+1}}\right)\,.}
13666:
5647:
5525:
5136:{\textstyle {\tfrac {1}{128}}\left(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x\right)}
357:, all the polynomials can be uniquely determined. We then start the construction process:
8:
14473:
14350:
12647:
12458:
12347:
12226:
12076:
9471:
6936:
6606:
6602:
6268:
5972:
5364:
4281:
4188:
4135:
2352:
1733:
1008:
941:
739:
20:
10601:{\displaystyle (2n+1)P_{n}(x)={\frac {d}{dx}}{\bigl (}P_{n+1}(x)-P_{n-1}(x){\bigr )}\,.}
14901:
14831:
14498:
14375:
13640:
13568:
11950:
8751:
8709:
8665:
6613:
6252:
4321:
4221:
4168:
4108:
4081:
3935:
2329:
1192:
1172:
990:
801:
677:
192:
12041:
5021:{\textstyle {\tfrac {1}{128}}\left(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35\right)}
1119:{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}\,.}
121:
14849:
14839:
14817:
14790:
14780:
14761:
14735:
14716:
14697:
14672:
14656:
14646:
14628:
14592:
14582:
14484:
14422:
14370:
6958:, the potential may still be expanded in the Legendre polynomials as above, but with
6237:
59:
2549:{\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{2}-1)^{n}\,.}
14878:
14689:
14365:
14017:
11936:
10456:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}P_{n+1}(x)=(n+1)P_{n}(x)+x{\frac {d}{dx}}P_{n}(x)\,.}
4410:
4384:
1923:
14521:
Legendre Memory Units: Continuous-Time
Representation in Recurrent Neural Networks
5802:{\displaystyle a_{\ell }={\frac {2\ell +1}{2}}\int _{-1}^{1}f(x)P_{\ell }(x)\,dx.}
14859:
14800:
14749:
14682:
14664:
14642:
Handbook of
Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
14636:
9453:{\displaystyle \sum _{j=0}^{n}P_{j}(x)\geq 0\quad {\text{for }}\quad x\geq -1\,.}
5497:
5480:{\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx={\frac {2}{2n+1}}\delta _{mn},}
10318:{\displaystyle {\frac {x^{2}-1}{n}}{\frac {d}{dx}}P_{n}(x)=xP_{n}(x)-P_{n-1}(x)}
9463:
4276:
4078:
The Legendre polynomial is determined by the values used for the two constants
306:{\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx=0\quad {\text{if }}n\neq m.}
14925:
14753:
14138:
8930:
1378:
8937:
units and related architectures, while using fewer computational resources.
2332:
are solutions of Legendre's differential equation (generalized or not) with
14632:
14596:
9467:
6632:
6241:
5510:
and to 0 otherwise). This normalization is most readily found by employing
1927:
6468:
are to be determined according to the boundary condition of each problem.
2426:
An especially compact expression for the Legendre polynomials is given by
1557:
Replacing the quotient of the square root with its definition in Eq.
5346:
fixes the normalization of the Legendre polynomials (with respect to the
35:
13260:
An explicit expression for the shifted Legendre polynomials is given by
4909:{\textstyle {\tfrac {1}{16}}\left(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x\right)}
12225:. These zeros play an important role in numerical integration based on
10325:
or, with the alternative expression, which also holds at the endpoints
8334:{\displaystyle \theta {\dot {\mathbf {m} }}(t)=A\mathbf {m} (t)+Bu(t),}
6233:
2558:
This formula enables derivation of a large number of properties of the
2284:
The differential equation admits another, non-polynomial solution, the
26:
4810:{\textstyle {\tfrac {1}{16}}\left(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5\right)}
13093:
2187:
78:
14842:; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.),
14834:; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010),
14783:; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.),
14676:
12524:
The parity and normalization implicate the values at the boundaries
14556:"A generating function for the product of two Legendre polynomials"
8726:
shifted Legendre polynomials, weighted together by the elements of
14610:
9112:{\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{n}(x)\,dx=0{\text{ for }}n\geq 1,}
6217:
is the angle between those two vectors. The series converges when
14453:(in French). Vol. X. Paris. pp. 411–435. Archived from
6272:
5637:{\displaystyle f_{n}(x)=\sum _{\ell =0}^{n}a_{\ell }P_{\ell }(x)}
5347:
4071:{\displaystyle a_{k+2}=-{\frac {(l-k)(l+k+1)}{(k+2)(k+1)}}a_{k}.}
2421:
1978:. We rewrite the differential equation as an eigenvalue problem,
1884:{\displaystyle (1-x^{2})P_{n}''(x)-2xP_{n}'(x)+n(n+1)P_{n}(x)=0.}
14660:
12099:
subintervals, each subinterval will contain exactly one zero of
6293:
axis (the zenith angle), the solution for the potential will be
14830:
9119:
which follows from considering the orthogonality relation with
2418:
theory, and acquire profound physical and geometrical meaning.
1732:
The generating function approach is directly connected to the
1704:{\displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)\,.}
8945:
Legendre polynomials have definite parity. That is, they are
7009:, can also be multipole expanded by the Legendre polynomials
12003:
are real, distinct from each other, and lie in the interval
9208:
is used to approximate a function or experimental data: the
8249:, can be optimized such that its neural activities obey the
6776:, the potential may be expanded in the Legendre polynomials
4714:{\textstyle {\tfrac {1}{8}}\left(63x^{5}-70x^{3}+15x\right)}
10189:{\displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)}
8524:
3849:
399:
is the only correctly standardized polynomial of degree 0.
14835:
14776:
14518:
Voelker, Aaron R.; Kajić, Ivana; Eliasmith, Chris (2019).
12038:. Furthermore, if we regard them as dividing the interval
6487:
Diagram for the multipole expansion of electric potential.
6287:
is the angle between the position of the observer and the
5967:
The Legendre polynomials were first introduced in 1782 by
5956:
4631:{\textstyle {\tfrac {1}{8}}\left(35x^{4}-30x^{2}+3\right)}
13985:{\displaystyle 252x^{5}-630x^{4}+560x^{3}-210x^{2}+30x-1}
1930:
method, a series about the origin will only converge for
6263:, in a charge-free region of space, using the method of
1739:
14444:"Recherches sur l'attraction des sphéroïdes homogènes"
13070:{\displaystyle {\widetilde {P}}_{n}(x)=P_{n}(2x-1)\,.}
11466:
11443:
11320:
10465:
Useful for the integration of Legendre polynomials is
9167:
7878:
7703:
7528:
7384:
7243:
5157:
5155:
5042:
5040:
4930:
4928:
4831:
4829:
4735:
4733:
4652:
4650:
4572:
4570:
4505:
4503:
4441:
4439:
4413:
4387:
4191:
4138:
4111:
4084:
3876:
14734:. Mathematical Tables. Vol. 18. Pergamon Press.
14528:
14517:
14295:
14151:
14033:
13905:
13822:
13755:
13704:
13669:
13643:
13592:
13571:
13435:
13266:
13128:
13003:
12983:
12936:
12676:
12650:
12637:{\displaystyle P_{n}(1)=1\,,\quad P_{n}(-1)=(-1)^{n}}
12559:
12530:
12487:
12461:
12411:
12376:
12350:
12314:
12269:
12235:
12201:
12165:
12138:
12105:
12079:
12044:
12009:
11973:
11953:
11569:
11226:
11200:
11058:
10851:
10616:
10471:
10331:
10202:
10071:
10030:
9702:
9480:
9380:
9301:
9253:
9222:
9216:
is simply given by the leading expansion coefficient
9125:
9041:
8955:
8933:
methods, these networks can be trained to outperform
8774:
8754:
8732:
8712:
8688:
8668:
8346:
8263:
8218:
8060:
7029:
6782:
6657:
6497:
6299:
5980:
5817:
5705:
5679:
5650:
5561:
5528:
5373:
5310:
4345:
4324:
4284:
4247:
4224:
4171:
3958:
3938:
2591:
2585:'s. Among these are explicit representations such as
2564:
2436:
2403:
2361:
2293:
2251:
2207:
2159:
2124:
2104:
1984:
1759:
1582:
1397:
1356:
1278:
1251:
1215:
1195:
1175:
1148:
1021:
993:
982:
950:
914:
854:
827:
804:
768:
742:
700:
680:
654:
627:
600:
573:
546:
510:
468:
441:
405:
363:
321:
215:
195:
159:
124:
89:
14732:
Tables of Normalized Associated Legendre Polynomials
1711:
This relation, along with the first two polynomials
5551:with finitely many discontinuities in the interval
1729:, allows all the rest to be generated recursively.
14553:
14333:
14281:
14127:
13984:
13885:
13802:
13735:
13684:
13649:
13623:
13577:
13550:
13415:
13250:
13069:
12973:
12923:
12662:
12636:
12545:
12508:
12473:
12447:
12397:
12362:
12336:
12300:
12248:
12217:
12187:
12151:
12124:
12091:
12065:
12030:
11995:
11959:
11909:
11555:
11212:
11179:
11024:
10837:
10600:
10455:
10317:
10188:
10045:
10016:
9645:
9452:
9360:
9285:
9235:
9200:
9153:
9111:
9025:
8919:
8760:
8740:
8718:
8694:
8674:
8652:
8333:
8241:
8187:
8033:
6890:
6750:
6593:
6441:
6177:
5924:
5801:
5691:
5665:
5636:
5543:
5479:
5338:
5263:
5135:
5020:
4908:
4809:
4713:
4630:
4551:{\textstyle {\tfrac {1}{2}}\left(5x^{3}-3x\right)}
4550:
4483:
4419:
4393:
4367:
4330:
4298:
4267:
4230:
4210:
4177:
4157:
4124:
4097:
4070:
3944:
3924:
3862:
2577:
2548:
2409:
2389:
2306:
2273:
2237:
2174:
2145:
2110:
2090:
1883:
1703:
1549:
1369:
1339:
1264:
1237:
1201:
1181:
1161:
1118:
999:
971:
932:
892:
840:
810:
790:
754:
728:
694:conditions, which, along with the standardization
686:
666:
640:
613:
586:
559:
532:
496:
454:
427:
391:
349:
305:
201:
181:
145:
110:
79:Definition by construction as an orthogonal system
14529:Advances in Neural Information Processing Systems
13384:
13363:
13354:
13341:
12758:
12740:
4484:{\textstyle {\tfrac {1}{2}}\left(3x^{2}-1\right)}
3407:
3375:
3366:
3353:
3251:
3224:
3215:
3202:
3081:
3047:
3026:
3017:
3004:
2891:
2884:
2871:
14923:
14627:
13560:The first few shifted Legendre polynomials are:
9361:{\displaystyle P_{n}'(1)={\frac {n(n+1)}{2}}\,.}
8242:{\displaystyle \mathbf {m} \in \mathbb {R} ^{d}}
1377:'s without resorting to direct expansion of the
73:
54:Closely related to the Legendre polynomials are
14902:Wolfram MathWorld entry on Legendre polynomials
14713:Mathematical Methods in Science and Engineering
14611:"DLMF: 14.15 Uniform Asymptotic Approximations"
12988:
8197:
6935:. This expansion is used to develop the normal
3952:can also be calculated using a general formula:
2153:. If we demand that the solution be regular at
1744:A third definition is in terms of solutions to
14748:
14016:on [0, ∞). They are obtained by composing the
13997:
13886:{\displaystyle 70x^{4}-140x^{3}+90x^{2}-20x+1}
11563:and for arguments of magnitude greater than 1
11220:, the Legendre polynomials can be written as
6247:Legendre polynomials occur in the solution of
2422:Rodrigues' formula and other explicit formulas
2314:. A two-parameter generalization of (Eq.
2190:. The eigenvalues are found to be of the form
1922:so if a solution is sought using the standard
1340:{\displaystyle P_{0}(x)=1\,,\quad P_{1}(x)=x.}
315:With the additional standardization condition
14419:Mathematical methods in the physical sciences
11127:
11100:
10799:
10768:
10733:
10702:
10589:
10529:
9026:{\displaystyle P_{n}(-x)=(-1)^{n}P_{n}(x)\,.}
8019:
7891:
7813:
7716:
7638:
7541:
7463:
7397:
7319:
7256:
6605:. The left-hand side of the equation is the
3870:Expressing the polynomial as a power series,
16:System of complete and orthogonal polynomials
14912:The Legendre Polynomials by Carlyle E. Moore
11072:
11059:
10055:complete elliptic integral of the first kind
9295:The derivative at the end point is given by
5971:as the coefficients in the expansion of the
4308:generalized form of the binomial coefficient
4262:
4248:
540:is determined by demanding orthogonality to
14760:. Vol. 1. New York, NY: Interscience.
14688:
14541:
14404:
7023:. The first several orders are as follows:
5290:Plot of the six first Legendre polynomials.
621:is fixed by demanding orthogonality to all
14503:: CS1 maint: location missing publisher (
14479:(3rd ed.). Wiley & Sons. p.
12670:one can show that the values are given by
9696:The product of two Legendre polynomials
9161:. It is convenient when a Legendre series
6970:exchanged. This expansion is the basis of
6478:
908:, which are orthogonal over the half line
14560:Norske Videnskabers Selskab Forhandlinger
14327:
14121:
14076:
13544:
13409:
13244:
13200:
13063:
12585:
11723:
11291:
11173:
11138:
10594:
10449:
10010:
9639:
9446:
9354:
9279:
9079:
9019:
8870:
8568:
8387:
8229:
6475:in three dimensions for a central force.
6435:
6271:have axial symmetry (no dependence on an
5789:
5430:
3773:
3542:
2542:
2084:
1697:
1543:
1304:
1112:
272:
62:, Legendre functions of the second kind,
14811:
14729:
14441:
13429:for the shifted Legendre polynomials is
12519:
8940:
4313:The first few Legendre polynomials are:
25:
14845:NIST Handbook of Mathematical Functions
14786:NIST Handbook of Mathematical Functions
14774:
14470:
14023:A rational Legendre function of degree
13624:{\displaystyle {\widetilde {P}}_{n}(x)}
12229:. The specific quadrature based on the
10060:
8043:Another property is the expression for
5957:Expanding an inverse distance potential
5276:The graphs of these polynomials (up to
1391:on both sides and rearranged to obtain
902:classical orthogonal polynomial systems
14924:
14917:Legendre Polynomials from Hyperphysics
14334:{\displaystyle \lambda _{n}=n(n+1)\,.}
12263:From this property and the facts that
14710:
14576:
13803:{\displaystyle 20x^{3}-30x^{2}+12x-1}
10610:From the above one can see also that
8706:by a linear combination of the first
4277:largest integer less than or equal to
3925:{\textstyle P_{n}(x)=\sum a_{k}x^{k}}
2324:differential equation, solved by the
2286:Legendre functions of the second kind
893:{\displaystyle x,x^{2},x^{3},\ldots }
46:(1782), are a system of complete and
14421:(3rd ed.). Hoboken, NJ: Wiley.
14416:
8662:In this case, the sliding window of
1750:
1740:Definition via differential equation
1350:It is possible to obtain the higher
1012:
14694:Mathematical Methods for Physicists
4268:{\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }
2390:{\displaystyle P_{n}(\cos \theta )}
13:
14814:Legendre Polynomials and Functions
13367:
13345:
12984:Variants with transformed argument
12744:
12301:{\displaystyle P_{n}(\pm 1)\neq 0}
11877:
11692:
11487:
11350:
11207:
9719:
6977:
6830:
6783:
6658:
6554:
6482:
6471:They also appear when solving the
6337:
6300:
6105:
5834:
5686:
5294:
5285:
3379:
3357:
3228:
3206:
3030:
3008:
2875:
1500:
1387:is differentiated with respect to
1078:
983:Definition via generating function
972:{\displaystyle (-\infty ,\infty )}
963:
957:
924:
30:The first six Legendre polynomials
14:
14953:
14872:
1573:in the resulting expansion gives
14932:Special hypergeometric functions
14777:"Legendre and Related Functions"
13104:, implying that the polynomials
11213:{\displaystyle \ell \to \infty }
9815:
9212:of the series over the interval
9201:{\textstyle \sum _{i}a_{i}P_{i}}
8734:
8297:
8271:
8220:
6001:
5992:
5299:
3932:, the coefficients of powers of
2347:) by separation of variables in
1746:Legendre's differential equation
944:, orthogonal over the full line
14758:Methods of Mathematical Physics
12589:
11524:
9433:
9427:
9374:for Legendre polynomials reads
8893:
8589:
8408:
6198:are the lengths of the vectors
5951:
5517:
2326:Associated Legendre polynomials
2245:and the eigenfunctions are the
2238:{\displaystyle n=0,1,2,\ldots }
1308:
285:
56:associated Legendre polynomials
23:(the interpolating polynomial).
14848:, Cambridge University Press,
14789:, Cambridge University Press,
14603:
14570:
14547:
14535:
14511:
14464:
14435:
14410:
14398:
14324:
14312:
14270:
14264:
14242:
14236:
14050:
14044:
13618:
13612:
13461:
13455:
13400:
13390:
13308:
13298:
13292:
13286:
13197:
13191:
13169:
13163:
13060:
13045:
13029:
13023:
12962:
12956:
12909:
12900:
12889:
12874:
12862:
12852:
12817:
12808:
12780:
12770:
12715:
12705:
12696:
12690:
12625:
12615:
12609:
12600:
12576:
12570:
12503:
12488:
12431:
12425:
12392:
12377:
12331:
12325:
12289:
12280:
12182:
12176:
12060:
12045:
12025:
12010:
11990:
11984:
11855:
11842:
11818:
11805:
11543:
11531:
11253:
11241:
11204:
11189:
11121:
11115:
11045:is the norm over the interval
11004:
10985:
10979:
10973:
10936:
10923:
10917:
10911:
10889:
10883:
10826:
10820:
10788:
10776:
10760:
10754:
10722:
10710:
10694:
10688:
10675:
10660:
10654:
10648:
10584:
10578:
10556:
10550:
10506:
10500:
10487:
10472:
10446:
10440:
10406:
10400:
10387:
10375:
10369:
10363:
10312:
10306:
10284:
10278:
10259:
10253:
10183:
10177:
10152:
10146:
10130:
10115:
10109:
10103:
10084:
10072:
10040:
10034:
9795:
9776:
9763:
9744:
9636:
9614:
9593:
9581:
9462:The Legendre polynomials of a
9418:
9412:
9345:
9333:
9321:
9315:
9270:
9264:
9142:
9136:
9076:
9070:
9016:
9010:
8991:
8981:
8975:
8966:
8887:
8881:
8795:
8778:
8634:
8624:
8621:
8606:
8489:
8479:
8325:
8319:
8307:
8301:
8287:
8281:
8179:
8167:
8148:
8136:
8082:
8070:
8014:
8002:
7983:
7971:
7952:
7940:
7921:
7909:
7847:
7835:
7808:
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7777:
7765:
7746:
7734:
7672:
7660:
7633:
7621:
7602:
7590:
7571:
7559:
7497:
7485:
7458:
7446:
7427:
7415:
7353:
7341:
7314:
7302:
7286:
7274:
7212:
7200:
7180:
7168:
7131:
7119:
7099:
7087:
7056:
7044:
6882:
6870:
6798:
6786:
6673:
6661:
6651:(see diagram right) varies as
6609:for the Legendre polynomials.
6585:
6579:
6432:
6420:
6400:
6388:
6315:
6303:
6169:
6157:
5916:
5904:
5895:
5889:
5876:
5870:
5786:
5780:
5767:
5761:
5683:
5660:
5654:
5631:
5625:
5578:
5572:
5538:
5532:
5427:
5421:
5408:
5402:
5327:
5321:
4362:
4356:
4241:In the fourth representation,
4049:
4037:
4034:
4022:
4017:
3999:
3996:
3984:
3893:
3887:
3836:
3828:
3796:
3788:
3762:
3756:
3729:
3723:
3635:
3627:
3614:
3606:
3565:
3557:
3527:
3521:
3436:
3430:
3299:
3293:
3110:
3104:
2970:
2964:
2938:
2925:
2910:
2897:
2819:
2813:
2713:
2700:
2659:
2646:
2635:
2622:
2612:
2606:
2533:
2513:
2453:
2447:
2384:
2372:
2345:partial differential equations
2268:
2262:
2140:
2128:
2081:
2075:
2060:
2054:
1872:
1866:
1853:
1841:
1832:
1826:
1801:
1795:
1779:
1760:
1694:
1688:
1663:
1657:
1641:
1626:
1620:
1614:
1595:
1583:
1524:
1518:
1325:
1319:
1295:
1289:
1225:
1217:
1099:
1093:
966:
951:
927:
915:
785:
779:
717:
711:
527:
521:
485:
479:
422:
416:
380:
374:
338:
332:
269:
263:
250:
244:
176:
170:
140:
125:
99:
93:
1:
14620:
14386:Laplace expansion (potential)
13077:Here the "shifting" function
12974:{\displaystyle P_{2n+1}(0)=0}
9286:{\displaystyle P_{n}(1)=1\,.}
5963:Laplace expansion (potential)
74:Definition and representation
68:associated Legendre functions
12995:shifted Legendre polynomials
12989:Shifted Legendre polynomials
12448:{\displaystyle dP_{n}(x)/dx}
8741:{\displaystyle \mathbf {m} }
8251:linear time-invariant system
8212:-dimensional memory vector,
8198:In recurrent neural networks
6982:The trigonometric functions
6972:interior multipole expansion
6281:is the axis of symmetry and
5692:{\displaystyle n\to \infty }
1946:is an integer, the solution
7:
14890:Encyclopedia of Mathematics
14696:. Elsevier Academic Press.
14554:Leonard C. Maximon (1957).
14343:
14020:with Legendre polynomials.
14010:Legendre rational functions
14004:Legendre rational functions
13998:Legendre rational functions
13736:{\displaystyle 6x^{2}-6x+1}
12370:local minima and maxima in
9035:Another useful property is
6228:. The expression gives the
2316:
1897:
1559:
1383:
1132:
933:{\displaystyle [0,\infty )}
10:
14958:
14001:
9154:{\displaystyle P_{0}(x)=1}
8255:state-space representation
6942:Conversely, if the radius
5960:
5339:{\displaystyle P_{n}(1)=1}
1575:Bonnet’s recursion formula
729:{\displaystyle P_{n}(1)=1}
497:{\displaystyle P_{1}(x)=x}
392:{\displaystyle P_{0}(x)=1}
350:{\displaystyle P_{n}(1)=1}
189:is a polynomial of degree
64:big q-Legendre polynomials
18:
14812:El Attar, Refaat (2009).
14692:; Weber, Hans J. (2005).
14475:Classical Electrodynamics
14442:Legendre, A.-M. (1785) .
12258:Gauss-Legendre quadrature
10046:{\displaystyle K(\cdot )}
6948:of the observation point
6766:of the observation point
6601:which arise naturally in
5644:converges in the mean to
1565:equating the coefficients
1381:, however. Equation
1238:{\displaystyle |x|\leq 1}
14836:"Orthogonal Polynomials"
14730:Belousov, S. L. (1962).
14392:
12337:{\displaystyle P_{n}(x)}
12188:{\displaystyle P_{n}(x)}
11996:{\displaystyle P_{n}(x)}
11942:
8204:recurrent neural network
4368:{\displaystyle P_{n}(x)}
2274:{\displaystyle P_{n}(x)}
2111:{\displaystyle \lambda }
904:. The other two are the
791:{\displaystyle P_{n}(x)}
533:{\displaystyle P_{2}(x)}
428:{\displaystyle P_{1}(x)}
182:{\displaystyle P_{n}(x)}
19:Not to be confused with
14775:Dunster, T. M. (2010),
14542:Arfken & Weber 2005
14471:Jackson, J. D. (1999).
14405:Arfken & Weber 2005
14143:Sturm–Liouville problem
12546:{\displaystyle x=\pm 1}
12125:{\displaystyle P_{n+1}}
9653:where the unit vectors
9372:Askey–Gasper inequality
8695:{\displaystyle \theta }
8253:given by the following
6479:In multipole expansions
6265:separation of variables
6230:gravitational potential
5555:, the sequence of sums
5363:). Since they are also
2410:{\displaystyle \theta }
2320:) is called Legendre's
2175:{\displaystyle x=\pm 1}
1913:regular singular points
821:This definition of the
14937:Orthogonal polynomials
14885:"Legendre polynomials"
14579:Orthogonal polynomials
14417:Boas, Mary L. (2006).
14381:Romanovski polynomials
14356:Gegenbauer polynomials
14335:
14283:
14129:
13986:
13887:
13804:
13737:
13686:
13651:
13625:
13579:
13552:
13417:
13337:
13252:
13071:
12975:
12925:
12664:
12638:
12547:
12510:
12509:{\displaystyle (-1,1)}
12475:
12449:
12399:
12398:{\displaystyle (-1,1)}
12364:
12338:
12302:
12250:
12219:
12218:{\displaystyle -x_{k}}
12189:
12153:
12126:
12093:
12067:
12032:
12031:{\displaystyle (-1,1)}
11997:
11961:
11911:
11557:
11214:
11181:
11026:
10839:
10602:
10457:
10319:
10190:
10047:
10018:
9723:
9647:
9567:
9454:
9401:
9362:
9287:
9237:
9202:
9155:
9113:
9027:
8935:long short-term memory
8921:
8827:
8762:
8742:
8720:
8696:
8676:
8654:
8335:
8243:
8189:
8125:
8035:
6989:, also denoted as the
6898:where we have defined
6892:
6834:
6752:
6595:
6558:
6488:
6443:
6341:
6179:
6109:
5926:
5838:
5803:
5693:
5667:
5638:
5604:
5545:
5481:
5340:
5291:
5265:
5137:
5022:
4910:
4811:
4715:
4632:
4552:
4485:
4421:
4395:
4369:
4332:
4300:
4269:
4232:
4212:
4179:
4159:
4126:
4099:
4072:
3946:
3926:
3864:
3339:
3175:
3000:
2866:
2579:
2550:
2411:
2391:
2308:
2275:
2239:
2176:
2147:
2146:{\displaystyle n(n+1)}
2112:
2092:
1976:Sturm–Liouville theory
1885:
1705:
1551:
1504:
1371:
1341:
1266:
1239:
1203:
1183:
1163:
1120:
1082:
1001:
973:
934:
894:
842:
812:
792:
756:
730:
688:
668:
667:{\displaystyle m<n}
642:
615:
588:
561:
534:
498:
456:
435:must be orthogonal to
429:
393:
351:
307:
203:
183:
147:
112:
111:{\displaystyle w(x)=1}
48:orthogonal polynomials
31:
14711:Bayin, S. S. (2006).
14577:Szegő, Gábor (1975).
14336:
14284:
14130:
13987:
13888:
13805:
13738:
13687:
13652:
13626:
13580:
13553:
13418:
13317:
13253:
13090:affine transformation
13072:
12976:
12926:
12665:
12639:
12548:
12520:Pointwise evaluations
12511:
12476:
12450:
12400:
12365:
12339:
12303:
12251:
12249:{\displaystyle P_{n}}
12220:
12190:
12154:
12152:{\displaystyle x_{k}}
12127:
12094:
12068:
12033:
11998:
11962:
11912:
11558:
11215:
11182:
11027:
10840:
10603:
10458:
10320:
10191:
10048:
10019:
9703:
9668:spherical coordinates
9648:
9544:
9470:can be expanded with
9455:
9381:
9363:
9288:
9238:
9236:{\displaystyle a_{0}}
9203:
9156:
9114:
9028:
8941:Additional properties
8922:
8801:
8763:
8743:
8721:
8697:
8677:
8655:
8336:
8244:
8190:
8105:
8036:
6991:Chebyshev polynomials
6893:
6814:
6753:
6629:spherical coordinates
6596:
6538:
6486:
6444:
6321:
6180:
6089:
5969:Adrien-Marie Legendre
5927:
5818:
5804:
5694:
5668:
5639:
5584:
5546:
5482:
5341:
5289:
5266:
5138:
5023:
4911:
4812:
4716:
4633:
4553:
4486:
4422:
4396:
4370:
4333:
4301:
4270:
4233:
4213:
4180:
4160:
4127:
4100:
4073:
3947:
3927:
3865:
3319:
3137:
2980:
2846:
2580:
2578:{\displaystyle P_{n}}
2551:
2412:
2392:
2349:spherical coordinates
2309:
2307:{\displaystyle Q_{n}}
2276:
2240:
2184:differential operator
2177:
2148:
2113:
2093:
1909:differential equation
1886:
1706:
1552:
1484:
1372:
1370:{\displaystyle P_{n}}
1342:
1267:
1265:{\displaystyle t^{1}}
1240:
1204:
1184:
1164:
1162:{\displaystyle t^{n}}
1121:
1062:
1002:
974:
935:
895:
843:
841:{\displaystyle P_{n}}
813:
793:
757:
731:
689:
669:
643:
641:{\displaystyle P_{m}}
616:
614:{\displaystyle P_{n}}
589:
587:{\displaystyle P_{1}}
562:
560:{\displaystyle P_{0}}
535:
499:
457:
455:{\displaystyle P_{0}}
430:
394:
352:
308:
204:
184:
148:
113:
44:Adrien-Marie Legendre
29:
14361:Turán's inequalities
14293:
14149:
14031:
14014:orthogonal functions
13903:
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13753:
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8929:When combined with
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6612:As an example, the
6607:generating function
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5973:Newtonian potential
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5699:, provided we take
5391:
5283:) are shown below:
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1960:that is regular at
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1142:The coefficient of
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14781:Olver, Frank W. J.
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14771:
14750:Courant, Richard
14745:
14726:
14715:. Wiley. ch. 2.
14707:
14681: See also
14680:
14635:, eds. (1983) .
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