3555:
5726:
16698:
15983:
3021:
5363:
5460:
2206:
5145:
1395:
5721:{\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {v} )=\left\langle {\frac {\sum _{1\leq i_{2}<i_{3}<\dots <i_{n}\leq n}\varepsilon ^{ii_{2}\dots i_{n}}(\star \mathbf {e} _{i_{2}}\wedge \cdots \wedge \mathbf {e} _{i_{n}})}{\star (\mathbf {e} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {e} _{n})}},\mathbf {v} \right\rangle ,}
7776:
1878:
5058:
4853:
4326:
1248:
5358:{\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {v} )={\frac {1}{2}}\left\langle {\frac {\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon ^{ijk}\,(\mathbf {e} _{j}\times \mathbf {e} _{k})}{\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}},\mathbf {v} \right\rangle ,}
11028:
14489:
10853:
9845:
11232:
7629:
7568:
890:
2609:
14771:
14007:
9628:
10097:
4860:
14637:
4199:
10511:
10350:
12155:
11145:
1621:
1072:
4663:
1002:
4208:
1196:
9681:
2201:{\displaystyle {\begin{aligned}I(f+g)&=\int _{a}^{b}\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{a}^{b}g(x)\,dx=I(f)+I(g)\\I(\alpha f)&=\int _{a}^{b}\alpha f(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\alpha I(f).\end{aligned}}}
4598:
4079:
3225:
10765:
10937:
11370:. In finite dimensions, every linear functional is continuous, so the continuous dual is the same as the algebraic dual, but in infinite dimensions the continuous dual is a proper subspace of the algebraic dual.
10620:
9387:
4398:
3456:
8976:
8284:
7263:
3698:
10704:
7476:
1547:
2387:
12629:
8391:
8077:
7908:
7842:
14378:
9018:
7309:
6351:
13868:
13021:
However, this extension cannot always be done while keeping the linear functional continuous. The Hahn–Banach family of theorems gives conditions under which this extension can be done. For example,
11080:
7352:
5133:
9735:
7945:
6884:
6653:
10942:
10252:
618:
10440:
10178:
3740:
4865:
2486:
1883:
755:
8153:
9997:
9274:
13771:
12561:
3048:, the sets of vectors which map to a given value. In three dimensions, the level sets of a linear functional are a family of mutually parallel planes; in higher dimensions, they are parallel
8744:
8697:
8017:
11984:
7393:
2441:
8595:
5444:
2481:
8628:
3883:
3788:
2755:
1390:{\displaystyle f_{\mathbf {a} }(\mathbf {x} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.}
10770:
6050:
14383:
11657:
8915:
8784:
1786:
9525:
9081:
12903:
9951:
14197:
10571:
10029:
9338:
9189:
8194:
11150:
1437:
14532:
14101:
12379:
8863:
14142:
12700:
7481:
5922:
14315:
13180:
13105:
13067:
12486:
12440:
8472:
3325:
3123:
2657:
13899:
7218:
10653:
9480:
8546:
7596:
6566:
1698:
10281:
10211:
7422:
6822:
6728:
6511:
6430:
6298:
6166:
4658:
1101:
927:
13323:
9114:
6914:
726:
13816:
12767:
8110:
14790:
13019:
11530:
11304:
9730:
9452:
9423:
8518:
7133:
6753:
6262:
6115:
2792:
2476:
13138:
12269:
11556:
11276:
10024:
9301:
9236:
8650:
8413:
7970:
7177:
7155:
7108:
7062:
7016:
6983:
6940:
6699:
6462:
6373:
6237:
6137:
4629:
4499:
4470:
4430:
3002:
1243:
1221:
14066:
12948:
12310:
3492:
11433:
9895:
9046:
5877:
229:
14668:
14263:
13904:
13240:
7771:{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\varphi (x)&=\varphi _{\mathbb {R} }(x)-i\varphi _{\mathbb {R} }(ix)\\&=\varphi _{i}(ix)+i\varphi _{i}(x)\\\end{alignedat}}}
2976:
2906:
1667:
1491:
419:
13435:
13399:
11749:
10382:
9701:
9209:
9160:
5987:
5404:
932:
14230:
13601:
13556:
13352:
13269:
12977:
12847:
12204:
12030:
11582:
7625:
5951:
3957:
3912:
3264:
2932:
172:
14663:
14033:
12809:
12726:
5746:
2339:
2263:
519:
199:
9520:
8311:
4113:
2823:
2240:
669:
147:
1106:
3149:
2683:
12178:
10876:
10534:
7040:
6589:
6195:
4118:
14537:
13517:
13480:
12319:
Any two linear functionals with the same kernel are proportional (i.e. scalar multiples of each other). This fact can be generalized to the following theorem.
12224:
12004:
11897:
11877:
11857:
11837:
11817:
11789:
11769:
11717:
11697:
11677:
11622:
11602:
11500:
11480:
11360:
11326:
10445:
10402:
10286:
10133:
9865:
9136:
8935:
8804:
8331:
7634:
7086:
6960:
6793:
6773:
6677:
6531:
6482:
6401:
6215:
6090:
4517:
2859:
2718:
2298:
1873:
1821:
1641:
1457:
746:
444:
310:
1853:
348:
12035:
11085:
1552:
1009:
4333:
3330:
8199:
16019:
12996:
can be extended to the whole space; for example, the evaluation functionals described above can be extended to the vector space of polynomials on all of
5053:{\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {u}}({\mathbf {e} }_{j})&=\sum _{i}u_{i}\left\\&=\sum _{i}u_{i}{\delta }_{ij}\\&=u_{j}.\end{aligned}}}
3633:
15872:
8868:
9633:
15708:
4019:
16529:
11366:, then so is its (continuous) dual. To distinguish the ordinary dual space from the continuous dual space, the former is sometimes called the
3166:
15535:
10709:
10881:
4848:{\displaystyle {\tilde {u}}(\mathbf {e} _{j})=\sum _{i=1}^{n}\left(u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}\right)\mathbf {e} _{j}=\sum _{i}u_{i}\left}
524:
10576:
9343:
8940:
7227:
16146:
16121:
15698:
4321:{\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {e} _{j})={\begin{cases}1&{\text{if}}\ i=j\\0&{\text{if}}\ i\neq j.\end{cases}}}
3522:
to their own dual spaces. A state of a quantum mechanical system can be identified with a linear functional. For more information see
10658:
7427:
1496:
2395:
16103:
15825:
15680:
4437:
2344:
12568:
8336:
8022:
7847:
7781:
3834:
16571:
16073:
16012:
15656:
13617:
5992:
14320:
8981:
7272:
6303:
1725:
16316:
16140:
13821:
11033:
11023:{\displaystyle \left\|f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\right\|=\left\|\varphi _{\mathbb {R} }\right\|_{X_{\mathbb {R} }^{\prime }}.}
7314:
5085:
1463:. Matrices can be multiplied by scalars and two matrices of the same dimension can be added together; these operations make a
15496:
15475:
15441:
15390:
15356:
15273:
15252:
15162:
15110:
7915:
6827:
6593:
10216:
259:, mapping every vector to zero, is trivially a linear functional. Every other linear functional (such as the ones below) is
15348:
10407:
10145:
3709:
16581:
16078:
16048:
8115:
5062:
So each component of a linear functional can be extracted by applying the functional to the corresponding basis vector.
16701:
16352:
16005:
15548:
15320:
15215:
15098:
9964:
9241:
13675:
12491:
16489:
15637:
15528:
15420:
15302:
15227:
15189:
15133:
13274:
8702:
8655:
7975:
14484:{\textstyle \varphi _{\mathbb {R} }\left({\frac {1}{u_{b}}}b\right)=\varphi \left({\frac {1}{u_{b}}}b\right)=r_{b}.}
11902:
10848:{\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }(x)=\left\langle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}|\,x\right\rangle _{\mathbb {R} }}
7357:
16394:
15907:
15467:
15219:
15102:
8551:
5417:
8600:
4000:
Below, we assume that the dimension is finite. For a discussion of analogous results in infinite dimensions, see
3749:
2723:
15552:
9840:{\displaystyle \sup _{b\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(b)\right|=\sup _{b\in B}\left|\varphi _{i}(b)\right|.}
11627:
8886:
8749:
16424:
13201:
11227:{\displaystyle \|\varphi \|_{X^{\prime }}=\left\|\varphi _{\mathbb {R} }\right\|_{X_{\mathbb {R} }^{\prime }},}
9051:
3281:, and so can be expressed as a linear combination of these basis elements. In symbols, there are coefficients
353:
12864:
9900:
16556:
16158:
16135:
15703:
15382:
15244:
15150:
14147:
10543:
9310:
9303:
are continuous or none are continuous. This remains true if the word "continuous" is replaced with the word "
9165:
8158:
7563:{\displaystyle z=\operatorname {Re} z-i\operatorname {Re} (iz)=\operatorname {Im} (iz)+i\operatorname {Im} z}
1410:
885:{\displaystyle \mathrm {NPV} (R(t))=\langle w,R\rangle =\int _{t=0}^{\infty }{\frac {R(t)}{(1+i)^{t}}}\,dt.}
16722:
16607:
15986:
15759:
15693:
15521:
14071:
12332:
10537:
8809:
3966:
622:
14494:
14106:
12641:
5882:
16737:
16428:
15723:
14268:
13151:
13076:
13038:
12445:
12399:
8418:
4857:
due to linearity of scalar multiples of functionals and pointwise linearity of sums of functionals. Then
3284:
3082:
2616:
13873:
7190:
16664:
16201:
16116:
16111:
16053:
15968:
15922:
15846:
15728:
13623:
11244:
10625:
9457:
8523:
7573:
6536:
3539:
1672:
10257:
10187:
7398:
6798:
6704:
6487:
6406:
6274:
6142:
5791:, where the latter is considered as a module over itself. The space of linear forms is always denoted
4634:
2604:{\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(c)&=f(c)+g(c)\\(\alpha f)(c)&=\alpha f(c).\end{aligned}}}
1077:
903:
16732:
16460:
16270:
15963:
15779:
15347:. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY:
13663:
In some texts the roles are reversed and vectors are defined as linear maps from covectors to scalars
9304:
9086:
6889:
674:
626:
13795:
12731:
8082:
4257:
16233:
16228:
16221:
16216:
16088:
16028:
15815:
15713:
15616:
14775:
14766:{\textstyle \sup _{x\in B}|\varphi (x)|\leq \sup _{x\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(x)\right|.}
14002:{\textstyle \sup _{x\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(x)\right|\leq \sup _{x\in B}|\varphi (x)|.}
13638:
13612:
13367:
12999:
11509:
11447:
11382:
11329:
11284:
10108:
9706:
9428:
9399:
9139:
8477:
7113:
6733:
6265:
6242:
6095:
6063:
2759:
2446:
629:
can be considered a one-form, where the one-form is the kernel shifted to the appropriate location.
13117:
12229:
11535:
11259:
10002:
9623:{\displaystyle \sup _{b\in B}|\varphi (b)|=\sup _{b\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(b)\right|.}
9279:
9214:
8633:
8396:
7953:
7160:
7138:
7091:
7045:
6999:
6966:
6923:
6682:
6435:
6356:
6220:
6120:
5767:
are generalizations of vector spaces, which removes the restriction that coefficients belong to a
4605:
4475:
4446:
4405:
2985:
1226:
1204:
16727:
16494:
16475:
16151:
16131:
15912:
15688:
14038:
12987:
12908:
12274:
3583:
3461:
3228:
2795:
11399:
10092:{\displaystyle \|\varphi \|=\left\|\varphi _{\mathbb {R} }\right\|=\left\|\varphi _{i}\right\|.}
9874:
9025:
5856:
204:
16683:
16673:
16657:
16357:
16306:
16206:
16191:
15943:
15887:
15851:
15290:
14235:
8872:
3009:
2937:
2867:
2830:
1646:
1470:
1405:
236:
103:
11722:
10355:
9686:
9194:
9145:
5956:
5368:
16652:
16339:
16321:
16286:
16126:
15650:
14202:
13571:
13371:
13328:
13245:
12953:
12814:
12183:
12009:
11561:
11338:
9390:
8875:
in the natural way. It has many important consequences, some of which will now be described.
7601:
5927:
5078:, then it is possible to write explicitly a formula for the dual basis of a given basis. Let
3985:
3933:
3888:
3243:
2911:
15646:
14642:
14012:
13635: – Map from multiple vectors to an underlying field of scalars, linear in each argument
12788:
12705:
8871:
in 1934 (although it is usually credited to F. Murray), and can be generalized to arbitrary
5731:
2303:
2245:
449:
177:
16668:
16612:
16591:
15926:
15429:
14632:{\textstyle |\varphi (b)|=r_{b}\leq \sup _{x\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(x)\right|.}
13575:
9489:
8289:
6917:
5843:
5760:
4194:{\displaystyle {\tilde {\omega }}^{1},{\tilde {\omega }}^{2},\dots ,{\tilde {\omega }}^{n}}
4091:
3535:
3523:
3495:
2801:
2218:
642:
125:
52:
15513:
10506:{\displaystyle {\sqrt {\langle x|x\rangle _{\mathbb {R} }}}={\sqrt {\langle x|x\rangle }}}
10345:{\displaystyle \langle x|y\rangle _{\mathbb {R} }:=\operatorname {Re} \langle x|y\rangle }
1201:
This can be interpreted as either the matrix product or the dot product of the row vector
8:
16551:
16546:
16504:
16083:
15892:
15830:
15544:
15154:
13603:
is weak-* compact (and thus that every equicontinuous subset weak-* relatively compact).
13412:
13376:
11333:
6656:
5768:
5749:
3128:
2662:
1708:
260:
48:
13581:
13536:
12160:
10858:
10516:
7022:
6571:
6177:
152:
16536:
16479:
16413:
16398:
16265:
16255:
15917:
15784:
15459:
15374:
15236:
13502:
13465:
13070:
12393:
12209:
12150:{\displaystyle f^{-1}(s)=s\left(f^{-1}(1)\right)=\left({\frac {1}{s}}f\right)^{-1}(1).}
11989:
11882:
11862:
11842:
11822:
11802:
11774:
11754:
11702:
11682:
11662:
11607:
11587:
11485:
11465:
11345:
11311:
10387:
10118:
9850:
9121:
8920:
8789:
8316:
7071:
6945:
6778:
6758:
6662:
6516:
6467:
6386:
6200:
6075:
5764:
5411:
4502:
3519:
3057:
3053:
2862:
2844:
2688:
2268:
1858:
1791:
1626:
1442:
731:
429:
274:
11859:
is a affine hyperplane if and only if there exists some non-trivial linear functional
11140:{\displaystyle \left\|f_{\varphi }\right\|=\left\|f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\right\|}
3036:
maps to a given scalar value shown next to it along with the "sense" of increase. The
1826:
1616:{\displaystyle \operatorname {tr} (A+B)=\operatorname {tr} (A)+\operatorname {tr} (B)}
1067:{\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}}
315:
271:
Indexing into a vector: The second element of a three-vector is given by the one-form
16248:
16174:
15897:
15502:
15492:
15471:
15447:
15437:
15416:
15408:
15396:
15386:
15362:
15352:
15342:
15326:
15316:
15298:
15282:
15269:
15248:
15223:
15195:
15185:
15168:
15158:
15129:
15123:
15119:
15106:
13108:
6991:
5850:
5825:
3507:
632:
11699:
is maximal if and only if it is the kernel of some non-trivial linear functional on
16641:
16211:
16196:
15997:
15902:
15820:
15789:
15769:
15754:
15749:
15744:
15385:. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer.
14899:
13632:
6995:
6067:
4436:. Here the superscripts of the basis functionals are not exponents but are instead
1720:
16524:
16063:
15581:
16616:
16464:
15764:
15718:
15666:
15661:
15632:
15484:
13559:
13112:
12993:
6963:
6269:
4433:
3743:
3586:
3005:
997:{\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.}
749:
15591:
16647:
16596:
16311:
15953:
15805:
15606:
15142:
13447:
11378:
11279:
10181:
7266:
4001:
1712:
244:
60:
16716:
16631:
16541:
16484:
16444:
16372:
16347:
16291:
16243:
16179:
15958:
15882:
15611:
15596:
15586:
15506:
15451:
15400:
15330:
15315:. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press.
15090:
11443:
10140:
10136:
9958:
6170:
5075:
3962:
3602:
3594:
3543:
3511:
1460:
1191:{\displaystyle f_{\mathbf {a} }(\mathbf {x} )=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n},}
256:
232:
15366:
15199:
15172:
3044:
In finite dimensions, a linear functional can be visualized in terms of its
16678:
16626:
16586:
16576:
16454:
16301:
16296:
16093:
16043:
15948:
15601:
15571:
15338:
13563:
12854:
11363:
11250:
10104:
9868:
9676:{\displaystyle \varphi _{i}:=\operatorname {Im} \varphi :X\to \mathbb {R} }
5814:
3554:
3052:. This method of visualizing linear functionals is sometimes introduced in
1464:
44:
4593:{\displaystyle {\tilde {u}}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}.}
16636:
16621:
16514:
16408:
16403:
16388:
16367:
16331:
15877:
15867:
15774:
15576:
15207:
13567:
11254:
9483:
5447:
4074:{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots ,\mathbf {e} _{n}}
3791:
3610:
56:
20:
3220:{\displaystyle \operatorname {ev} _{x_{i}}:f\mapsto f\left(x_{i}\right)}
16449:
16362:
16326:
16186:
16068:
15810:
15642:
15286:
15057:
15055:
15053:
14965:
14963:
10760:{\displaystyle \varphi (x)=\left\langle f_{\varphi }|\,x\right\rangle }
4202:
4086:
4082:
3590:
3515:
3049:
3029:
240:
91:
40:
15067:
10932:{\displaystyle \left\|f_{\varphi }\right\|=\|\varphi \|_{X^{\prime }}}
2242:
denote the vector space of real-valued polynomial functions of degree
16601:
16418:
15261:
14950:
14948:
13490:
13459:
11819:
is a translate of a maximal vector subspace. By linearity, a subset
10615:{\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }\in X_{\mathbb {R} }^{\prime }}
10100:
9382:{\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }\in X_{\mathbb {R} }^{\prime }}
7948:
7221:
4393:{\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {e} _{j})=\delta _{ij}}
3451:{\displaystyle I(f)=a_{0}f(x_{0})+a_{1}f(x_{1})+\dots +a_{n}f(x_{n})}
3045:
636:
87:
15050:
15038:
14960:
14935:
14933:
14931:
12314:
8971:{\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }:=\operatorname {Re} \varphi }
8279:{\displaystyle L_{g}(x):=g(x)-ig(ix)\quad {\text{ for all }}x\in X.}
7258:{\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }:=\operatorname {Re} \varphi }
5824:
The existence of "enough" linear forms on a module is equivalent to
16566:
16561:
16519:
16499:
16469:
16260:
15004:
15002:
13357:
11451:
9954:
1716:
14945:
13620: – A vector space with a topology defined by convex open sets
3693:{\displaystyle v^{*}(w):=\langle v,w\rangle \quad \forall w\in V,}
3020:
16509:
15026:
14928:
1493:
matrices. The trace is a linear functional on this space because
14999:
14975:
13578:
implies that the weak-* closure of an equicontinuous subset of
11450:
is closed, and a non-trivial continuous linear functional is an
11388:
is continuous if and only if there exists a continuous seminorm
10213:
becomes a real
Hilbert space when endowed with the real part of
10699:{\displaystyle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\in X_{\mathbb {R} }}
7471:{\displaystyle \varphi =\varphi _{\mathbb {R} }+i\varphi _{i}.}
1542:{\displaystyle \operatorname {tr} (sA)=s\operatorname {tr} (A)}
2382:{\displaystyle \operatorname {ev} _{c}:P_{n}\to \mathbb {R} }
12624:{\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}\ker g_{i}\subseteq \ker f}
12157:
This equality can be used to relate different level sets of
8386:{\displaystyle L_{\bullet }:X_{\mathbb {R} }^{\#}\to X^{\#}}
8072:{\displaystyle L_{\bullet }:X_{\mathbb {R} }^{\#}\to X^{\#}}
7903:{\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }(x)=\varphi _{i}(ix).}
7837:{\displaystyle \varphi _{i}(x)=-\varphi _{\mathbb {R} }(ix)}
3032:
of constant value, each corresponding to those vectors that
15543:
14373:{\textstyle \varphi \left({\frac {1}{u_{b}}}b\right)=r_{b}}
4314:
423:
11454:, even if the (topological) vector space is not complete.
9013:{\displaystyle \varphi _{i}:=\operatorname {Im} \varphi .}
7304:{\displaystyle \varphi _{i}:=\operatorname {Im} \varphi .}
6346:{\displaystyle X=X_{\mathbb {R} }\oplus X_{\mathbb {R} }i}
1198:
and each linear functional can be expressed in this form.
13863:{\displaystyle \left|\operatorname {Re} z\right|\leq |z|}
11075:{\displaystyle f_{\varphi }=f_{\varphi _{\mathbb {R} }}.}
7347:{\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }:X\to \mathbb {R} }
6378:
5128:{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}.}
10184:
in its first coordinate (and linear in the second) then
11446:: a linear functional is continuous if and only if its
11442:
Continuous linear functionals have nice properties for
10099:
This conclusion extends to the analogous statement for
7940:{\displaystyle \varphi \mapsto \varphi _{\mathbb {R} }}
6879:{\displaystyle X^{\#}\cap X_{\mathbb {R} }^{\#}=\{0\},}
6648:{\displaystyle \varphi \left((s/\varphi (x))x\right)=s}
4505:
of basis functionals, with coefficients ("components")
15014:
14918:
14916:
14914:
14671:
14540:
14497:
14386:
14323:
13907:
13558:
then the following sets are also equicontinuous: the
10247:{\displaystyle \langle \,\cdot \,|\,\cdot \,\rangle .}
1342:
1299:
1026:
949:
613:{\displaystyle \operatorname {mean} (v)=\left\cdot v.}
239:
is fixed), then linear functionals are represented as
16:
Linear map from a vector space to its field of scalars
14778:
14645:
14271:
14238:
14205:
14150:
14109:
14074:
14041:
14015:
13876:
13824:
13798:
13678:
13584:
13539:
13505:
13468:
13415:
13379:
13331:
13277:
13248:
13204:
13154:
13120:
13079:
13041:
13002:
12956:
12911:
12867:
12817:
12791:
12734:
12708:
12644:
12571:
12494:
12448:
12402:
12335:
12277:
12232:
12212:
12186:
12163:
12038:
12012:
11992:
11905:
11885:
11865:
11845:
11825:
11805:
11777:
11757:
11725:
11705:
11685:
11665:
11630:
11610:
11590:
11564:
11538:
11512:
11488:
11468:
11402:
11348:
11314:
11287:
11262:
11153:
11088:
11036:
10945:
10884:
10861:
10773:
10712:
10661:
10628:
10579:
10546:
10519:
10448:
10435:{\displaystyle \langle \,\cdot \,|\,\cdot \,\rangle }
10410:
10390:
10358:
10289:
10260:
10219:
10190:
10173:{\displaystyle \langle \,\cdot \,|\,\cdot \,\rangle }
10148:
10121:
10032:
10005:
9967:
9903:
9877:
9853:
9738:
9709:
9689:
9636:
9528:
9492:
9460:
9431:
9402:
9346:
9313:
9282:
9244:
9217:
9197:
9168:
9148:
9124:
9089:
9054:
9028:
8984:
8943:
8923:
8889:
8812:
8792:
8752:
8705:
8658:
8636:
8603:
8554:
8526:
8480:
8421:
8399:
8339:
8319:
8292:
8202:
8161:
8118:
8085:
8025:
7978:
7956:
7918:
7850:
7784:
7632:
7604:
7576:
7484:
7430:
7401:
7360:
7317:
7275:
7230:
7193:
7163:
7141:
7116:
7094:
7074:
7048:
7025:
7002:
6969:
6948:
6926:
6892:
6830:
6801:
6781:
6761:
6736:
6707:
6685:
6665:
6596:
6574:
6539:
6519:
6490:
6470:
6438:
6409:
6389:
6359:
6306:
6277:
6245:
6223:
6203:
6180:
6145:
6123:
6098:
6078:
5995:
5959:
5930:
5885:
5859:
5734:
5463:
5420:
5371:
5148:
5088:
4863:
4666:
4637:
4608:
4520:
4478:
4449:
4408:
4336:
4211:
4121:
4094:
4022:
3936:
3891:
3837:
3752:
3735:{\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }
3712:
3636:
3464:
3333:
3287:
3246:
3169:
3131:
3085:
2988:
2940:
2914:
2870:
2847:
2804:
2762:
2726:
2691:
2665:
2619:
2484:
2449:
2398:
2347:
2306:
2271:
2248:
2221:
1881:
1861:
1829:
1794:
1728:
1675:
1649:
1629:
1555:
1499:
1473:
1445:
1413:
1251:
1229:
1207:
1109:
1080:
1012:
935:
906:
758:
734:
677:
645:
527:
452:
432:
356:
318:
277:
207:
180:
155:
128:
16027:
15434:
Topological Vector Spaces, Distributions and
Kernels
15235:
14838:
13628:
Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
11457:
11234:
which is the same conclusion that was reached above.
1875:
follows from the standard facts about the integral:
243:, and their values on specific vectors are given by
15281:
14911:
14885:
6403:is complex-valued while every linear functional on
5065:
3542:can be realized as linear functionals on spaces of
3063:
15873:Spectral theory of ordinary differential equations
15184:(in Romanian). New York: Interscience Publishers.
14784:
14765:
14657:
14631:
14526:
14483:
14372:
14309:
14257:
14224:
14191:
14136:
14095:
14060:
14027:
14001:
13893:
13862:
13810:
13765:
13595:
13550:
13511:
13474:
13429:
13393:
13346:
13317:
13263:
13234:
13174:
13132:
13099:
13061:
13013:
12971:
12942:
12897:
12841:
12803:
12761:
12720:
12694:
12623:
12555:
12480:
12434:
12373:
12304:
12263:
12218:
12198:
12172:
12149:
12024:
11998:
11978:
11891:
11871:
11851:
11831:
11811:
11783:
11763:
11743:
11711:
11691:
11671:
11651:
11616:
11596:
11576:
11550:
11524:
11494:
11474:
11437:
11427:
11354:
11320:
11298:
11270:
11226:
11139:
11074:
11022:
10931:
10870:
10847:
10759:
10698:
10647:
10614:
10565:
10528:
10505:
10434:
10396:
10376:
10344:
10275:
10246:
10205:
10172:
10127:
10091:
10018:
9991:
9945:
9889:
9859:
9839:
9724:
9695:
9675:
9622:
9514:
9474:
9446:
9417:
9381:
9332:
9295:
9268:
9230:
9203:
9183:
9154:
9130:
9108:
9075:
9040:
9012:
8970:
8929:
8909:
8857:
8798:
8778:
8738:
8691:
8644:
8622:
8589:
8540:
8512:
8466:
8407:
8385:
8325:
8305:
8278:
8188:
8148:{\displaystyle g:X_{\mathbb {R} }\to \mathbb {R} }
8147:
8104:
8071:
8011:
7964:
7939:
7902:
7836:
7770:
7619:
7590:
7562:
7470:
7416:
7387:
7346:
7303:
7257:
7212:
7171:
7149:
7127:
7102:
7080:
7056:
7034:
7010:
6977:
6954:
6934:
6908:
6878:
6816:
6787:
6767:
6747:
6722:
6693:
6671:
6647:
6583:
6560:
6525:
6505:
6476:
6456:
6424:
6395:
6367:
6345:
6292:
6256:
6231:
6209:
6189:
6160:
6131:
6109:
6084:
6044:
5981:
5945:
5916:
5871:
5740:
5720:
5457:In higher dimensions, this generalizes as follows
5438:
5398:
5357:
5127:
5052:
4847:
4652:
4623:
4592:
4493:
4464:
4424:
4392:
4320:
4193:
4107:
4073:
3951:
3906:
3877:
3782:
3734:
3692:
3549:
3486:
3450:
3319:
3258:
3219:
3143:
3117:
2996:
2970:
2926:
2900:
2853:
2817:
2786:
2749:
2712:
2677:
2651:
2603:
2470:
2435:
2381:
2333:
2292:
2257:
2234:
2200:
1867:
1847:
1815:
1780:
1692:
1661:
1635:
1615:
1541:
1485:
1451:
1431:
1389:
1237:
1215:
1190:
1095:
1066:
996:
921:
900:Suppose that vectors in the real coordinate space
884:
740:
720:
663:
612:
513:
438:
413:
342:
304:
223:
193:
166:
141:
15310:
15061:
15044:
15032:
15008:
14981:
14969:
14954:
14939:
13626: – ordered vector space with a partial order
12315:Relationships between multiple linear functionals
9992:{\displaystyle \varphi ,\varphi _{\mathbb {R} },}
9269:{\displaystyle \varphi ,\varphi _{\mathbb {R} },}
8597:Similarly for the imaginary part, the assignment
3506:Linear functionals are particularly important in
16714:
14714:
14673:
14580:
13959:
13909:
13766:{\displaystyle f(1+1)=a+2r\neq 2a+2r=f(1)+f(1).}
13358:Equicontinuity of families of linear functionals
12556:{\displaystyle sf=s_{1}g_{1}+\cdots +s_{n}g_{n}}
12226:can be reconstructed from the affine hyperplane
9790:
9740:
9571:
9530:
3538:, certain kinds of generalized functions called
3510:. Quantum mechanical systems are represented by
86:with addition and scalar multiplication defined
8878:
8739:{\displaystyle X_{\mathbb {R} }^{\#}\to X^{\#}}
8692:{\displaystyle X^{\#}\to X_{\mathbb {R} }^{\#}}
8012:{\displaystyle X^{\#}\to X_{\mathbb {R} }^{\#}}
7157:-linear functional has range too small to be a
15491:. Mineola, New York: Dover Publications, Inc.
15311:Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011).
15118:
13641: – Vector space with a notion of nearness
11979:{\displaystyle H=f^{-1}(1)=\{x\in X:f(x)=1\}.}
10622:) guarantees the existence of a unique vector
7388:{\displaystyle \varphi _{i}:X\to \mathbb {R} }
6533:) if and only if it is surjective (because if
2436:{\displaystyle \operatorname {ev} _{c}f=f(c).}
1715:. A typical example of a linear functional is
16013:
15529:
15415:, Cambridge, UK: Cambridge University Press,
15373:
15073:
8590:{\displaystyle g,h\in X_{\mathbb {R} }^{\#}.}
5439:{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
1788:is a linear functional from the vector space
11970:
11937:
11342:— is often simply called the dual space. If
11161:
11154:
10913:
10906:
10498:
10484:
10466:
10451:
10429:
10411:
10339:
10325:
10305:
10290:
10238:
10220:
10167:
10149:
10039:
10033:
9940:
9931:
9925:
9910:
9884:
9878:
9238:is continuous. That is, either all three of
8623:{\displaystyle \varphi \mapsto \varphi _{i}}
6870:
6864:
6824:is the trivial functional; in other words,
5911:
5886:
5433:
5421:
5142:), the dual basis can be written explicitly
3878:{\displaystyle \langle v,w\rangle =v^{*}(w)}
3850:
3838:
3783:{\displaystyle \langle v,w\rangle =v\cdot w}
3765:
3753:
3729:
3713:
3671:
3659:
3074:
2750:{\displaystyle \operatorname {ev} _{x_{i}},}
803:
791:
15489:Modern Methods in Topological Vector Spaces
9162:is continuous if and only if its real part
7182:
6045:{\displaystyle x=\sum _{a\in A}{f_{a}(x)a}}
3494:This forms the foundation of the theory of
1719:: the linear transformation defined by the
1399:
895:
16020:
16006:
15536:
15522:
11652:{\displaystyle M\subsetneq N\subsetneq X.}
8910:{\displaystyle \varphi :X\to \mathbb {C} }
8779:{\displaystyle I\in X_{\mathbb {R} }^{\#}}
6701:while the image of a linear functional on
6464:then a linear functional on either one of
4007:
1781:{\displaystyle I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}
15153:. Vol. 96 (2nd ed.). New York:
14740:
14606:
14393:
14089:
13935:
13884:
13194:, i.e., there exists a linear functional
13168:
13093:
13055:
13004:
11289:
11264:
11238:
11208:
11191:
11125:
11061:
11004:
10987:
10961:
10839:
10828:
10815:
10780:
10748:
10690:
10673:
10601:
10586:
10471:
10428:
10424:
10418:
10414:
10310:
10267:
10237:
10233:
10227:
10223:
10197:
10166:
10162:
10156:
10152:
10055:
9980:
9766:
9669:
9597:
9468:
9368:
9353:
9257:
9175:
9076:{\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }=0}
9061:
8950:
8903:
8765:
8712:
8678:
8638:
8573:
8534:
8401:
8359:
8182:
8141:
8131:
8045:
7998:
7958:
7931:
7857:
7816:
7689:
7662:
7584:
7443:
7408:
7381:
7340:
7324:
7237:
7165:
7143:
7118:
7096:
7050:
7004:
6971:
6928:
6893:
6850:
6808:
6738:
6714:
6687:
6497:
6416:
6361:
6334:
6319:
6284:
6247:
6225:
6152:
6125:
6100:
5258:
4736:
4567:
3728:
3724:
3720:
3716:
2990:
2375:
2166:
2126:
2033:
1996:
1959:
1771:
1702:
909:
872:
149:; other notations are also used, such as
74:, the set of all linear functionals from
15826:Group algebra of a locally compact group
15483:
15241:A (Terse) Introduction to Linear Algebra
15122:; Goldberg, Samuel (1980), "Chapter 4",
13026:Hahn–Banach dominated extension theorem(
12898:{\displaystyle N\cap (x+U)=\varnothing }
9946:{\displaystyle B=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}}
6513:is non-trivial (meaning not identically
5082:have (not necessarily orthogonal) basis
3995:
3553:
3019:
1823:of continuous functions on the interval
106:is also considered. It is often denoted
15179:
14192:{\displaystyle \varphi (b)=r_{b}u_{b},}
13618:Locally convex topological vector space
13148:, then there exists a linear extension
12992:Any (algebraic) linear functional on a
11584:) and does not exist a vector subspace
11147:and the previous equalities imply that
10566:{\displaystyle \varphi \in X^{\prime }}
10254:Explicitly, this real inner product on
9333:{\displaystyle \varphi \in X^{\prime }}
9184:{\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }}
8189:{\displaystyle L_{g}:X\to \mathbb {C} }
3501:
16715:
16159:Uniform boundedness (Banach–Steinhaus)
15428:
15407:
15206:
15141:
14862:
12981:
12777:is a non-trivial linear functional on
6379:Real versus complex linear functionals
1855:to the real numbers. The linearity of
1432:{\displaystyle \operatorname {tr} (A)}
16001:
15517:
15436:. Mineola, N.Y.: Dover Publications.
15337:
15089:
15020:
14993:
14922:
14850:
14811:
14527:{\textstyle {\frac {1}{u_{b}}}b\in B}
14096:{\displaystyle u_{b}\in \mathbb {C} }
13027:
12385:, then the following are equivalent:
12374:{\displaystyle f,g_{1},\ldots ,g_{n}}
8858:{\displaystyle x\mapsto I(ix)+iI(x).}
6117:Restricting scalar multiplication to
5853:if and only if there exists a subset
4205:defined by the special property that
3605:on a finite-dimensional vector space
3240:, the space of polynomials of degree
3024:Geometric interpretation of a 1-form
1707:Linear functionals first appeared in
15413:A first course in general relativity
15349:McGraw-Hill Science/Engineering/Math
14822:
14820:
14137:{\displaystyle \left|u_{b}\right|=1}
12695:{\displaystyle |f(x)|\leq rg_{i}(x)}
9389:where the prime denotes the space's
8867:This relationship was discovered by
6775:that is both a linear functional on
5917:{\displaystyle \{f_{a}\mid a\in A\}}
15260:
14886:Misner, Thorne & Wheeler (1973)
14874:
14310:{\displaystyle |\varphi (b)|=r_{b}}
13175:{\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }
13100:{\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }
13062:{\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }
12481:{\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}}
12435:{\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n}}
8467:{\displaystyle L_{g+h}=L_{g}+L_{h}}
6755:Consequently, the only function on
3593:intersected by a vector equals the
3320:{\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}
3118:{\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}
3064:Misner, Thorne & Wheeler (1973)
2826:
2652:{\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}
247:(with the row vector on the left).
13:
15458:
15216:Undergraduate Texts in Mathematics
15099:Undergraduate Texts in Mathematics
14839:Katznelson & Katznelson (2008)
14826:
13894:{\displaystyle z\in \mathbb {C} ,}
11214:
11170:
11010:
10922:
10607:
10558:
9374:
9325:
8771:
8731:
8718:
8684:
8664:
8579:
8378:
8365:
8064:
8051:
8004:
7984:
7213:{\displaystyle \varphi \in X^{\#}}
7205:
6901:
6856:
6836:
6300:such that we can (formally) write
6139:gives rise to a real vector space
6055:
3675:
1459:is the sum of all elements on its
929:are represented as column vectors
825:
766:
763:
760:
186:
14:
16749:
15239:; Katznelson, Yonatan R. (2008),
14897:
14817:
13805:
12892:
11458:Hyperplanes and maximal subspaces
10878:The theorem also guarantees that
10648:{\displaystyle f_{\varphi }\in X}
9953:is the closed unit ball then the
9475:{\displaystyle u\in \mathbb {C} }
8541:{\displaystyle r\in \mathbb {R} }
7591:{\displaystyle z\in \mathbb {C} }
6561:{\displaystyle \varphi (x)\neq 0}
3040:zero plane is through the origin.
1693:{\displaystyle A{\text{ and }}B.}
446:-vector is given by the one-form
16697:
16696:
15982:
15981:
15908:Topological quantum field theory
15212:Finite-Dimensional Vector Spaces
10384:and it induces the same norm on
10276:{\displaystyle X_{\mathbb {R} }}
10206:{\displaystyle X_{\mathbb {R} }}
7417:{\displaystyle X_{\mathbb {R} }}
7019:), but unless it is identically
6817:{\displaystyle X_{\mathbb {R} }}
6723:{\displaystyle X_{\mathbb {R} }}
6506:{\displaystyle X_{\mathbb {R} }}
6425:{\displaystyle X_{\mathbb {R} }}
6293:{\displaystyle X_{\mathbb {R} }}
6161:{\displaystyle X_{\mathbb {R} }}
5706:
5686:
5665:
5635:
5607:
5487:
5343:
5326:
5311:
5296:
5279:
5264:
5172:
5112:
5091:
5066:The dual basis and inner product
4958:
4886:
4826:
4763:
4684:
4653:{\displaystyle \mathbf {e} _{j}}
4640:
4361:
4236:
4061:
4040:
4025:
3965:, analogous results hold by the
3529:
3015:
2720:then the evaluation functionals
1287:
1279:
1268:
1258:
1231:
1209:
1126:
1116:
1096:{\displaystyle f_{\mathbf {a} }}
1087:
1014:
937:
922:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
231:When vectors are represented by
16684:With the approximation property
15466:, Universitext (2nd ed.),
15147:A course in functional analysis
15083:
14987:
14891:
14665:was arbitrary, it follows that
13786:
13533:is an equicontinuous subset of
13437:the following are equivalent:
13318:{\displaystyle |F(x)|\leq p(x)}
12442:; that is, there exist scalars
11438:Characterizing closed subspaces
9109:{\displaystyle \varphi _{i}=0.}
8415:-linear operator, meaning that
8258:
6909:{\displaystyle \,{\cdot }^{\#}}
6268:; that is, there exists a real
3674:
3550:Dual vectors and bilinear forms
3272:is also a linear functional on
3069:
721:{\displaystyle w(t)=(1+i)^{-t}}
312:That is, the second element of
70:is a vector space over a field
16147:Open mapping (Banach–Schauder)
14879:
14868:
14856:
14844:
14832:
14805:
14752:
14746:
14706:
14702:
14696:
14689:
14618:
14612:
14559:
14555:
14549:
14542:
14290:
14286:
14280:
14273:
14160:
14154:
13992:
13988:
13982:
13975:
13947:
13941:
13856:
13848:
13811:{\displaystyle B=\varnothing }
13757:
13751:
13742:
13736:
13694:
13682:
13666:
13657:
13312:
13306:
13296:
13292:
13286:
13279:
13229:
13223:
13214:
13208:
13164:
13089:
13051:
12930:
12926:
12920:
12913:
12886:
12874:
12827:
12821:
12762:{\displaystyle i=1,\ldots ,n.}
12689:
12683:
12663:
12659:
12653:
12646:
12258:
12252:
12141:
12135:
12091:
12085:
12058:
12052:
11961:
11955:
11931:
11925:
11412:
11404:
11197:
11182:
11133:
11111:
11103:
11090:
10993:
10978:
10969:
10947:
10899:
10886:
10824:
10792:
10786:
10744:
10722:
10716:
10491:
10458:
10420:
10332:
10297:
10229:
10158:
10082:
10069:
10061:
10046:
9961:(defined in the usual way) of
9826:
9820:
9778:
9772:
9665:
9609:
9603:
9563:
9559:
9553:
9546:
9502:
9494:
9191:is continuous, if and only if
8899:
8849:
8843:
8831:
8822:
8816:
8723:
8669:
8607:
8370:
8255:
8246:
8234:
8228:
8219:
8213:
8178:
8137:
8105:{\displaystyle g\mapsto L_{g}}
8089:
8056:
7989:
7922:
7894:
7885:
7869:
7863:
7831:
7822:
7801:
7795:
7761:
7755:
7736:
7727:
7704:
7695:
7674:
7668:
7646:
7640:
7542:
7533:
7521:
7512:
7377:
7336:
6628:
6625:
6619:
6605:
6549:
6543:
6035:
6029:
5976:
5970:
5755:
5696:
5660:
5652:
5599:
5491:
5483:
5471:
5289:
5259:
5176:
5168:
5156:
4939:
4897:
4880:
4874:
4808:
4744:
4694:
4679:
4673:
4615:
4602:Then, applying the functional
4575:
4527:
4485:
4456:
4371:
4356:
4344:
4246:
4231:
4219:
4179:
4151:
4129:
3872:
3866:
3653:
3647:
3445:
3432:
3407:
3394:
3375:
3362:
3343:
3337:
3193:
3163:, then the linear functionals
2950:
2944:
2880:
2874:
2836:
2704:
2692:
2591:
2585:
2569:
2563:
2560:
2551:
2544:
2538:
2529:
2523:
2510:
2504:
2501:
2489:
2465:
2459:
2453:
2427:
2421:
2371:
2325:
2313:
2284:
2272:
2188:
2182:
2163:
2157:
2123:
2117:
2086:
2077:
2067:
2061:
2052:
2046:
2030:
2024:
1993:
1987:
1956:
1953:
1947:
1938:
1932:
1926:
1901:
1889:
1842:
1830:
1810:
1798:
1768:
1762:
1738:
1732:
1610:
1604:
1592:
1586:
1574:
1562:
1536:
1530:
1515:
1506:
1426:
1420:
1272:
1264:
1130:
1122:
860:
847:
842:
836:
785:
782:
776:
770:
706:
693:
687:
681:
655:
649:
540:
534:
399:
381:
375:
357:
337:
319:
296:
278:
263:(that is, its range is all of
82:is itself a vector space over
1:
15704:Uniform boundedness principle
15245:American Mathematical Society
15151:Graduate Texts in Mathematics
15062:Narici & Beckenstein 2011
15045:Narici & Beckenstein 2011
15033:Narici & Beckenstein 2011
15009:Narici & Beckenstein 2011
14982:Narici & Beckenstein 2011
14970:Narici & Beckenstein 2011
14955:Narici & Beckenstein 2011
14940:Narici & Beckenstein 2011
14798:
14785:{\displaystyle \blacksquare }
13014:{\displaystyle \mathbb {R} .}
11525:{\displaystyle M\subsetneq X}
11299:{\displaystyle \mathbb {C} .}
9725:{\displaystyle iB\subseteq B}
9447:{\displaystyle uB\subseteq B}
9418:{\displaystyle B\subseteq X.}
8513:{\displaystyle L_{rg}=rL_{g}}
7128:{\displaystyle \mathbb {R} .}
6748:{\displaystyle \mathbb {R} .}
6257:{\displaystyle \mathbb {R} ,}
6110:{\displaystyle \mathbb {C} .}
3558:Linear functionals (1-forms)
2787:{\displaystyle i=0,\ldots ,n}
2471:{\displaystyle f\mapsto f(c)}
2210:
1074:there is a linear functional
15464:An Introduction to Manifolds
15377:; Wolff, Manfred P. (1999).
15125:Tensor Analysis on Manifolds
13650:
13133:{\displaystyle M\subseteq X}
12264:{\displaystyle H:=f^{-1}(1)}
11551:{\displaystyle M\subseteq X}
11271:{\displaystyle \mathbb {R} }
11030:It is readily verified that
10538:Riesz representation theorem
10019:{\displaystyle \varphi _{i}}
9683:denotes the complex part of
9296:{\displaystyle \varphi _{i}}
9231:{\displaystyle \varphi _{i}}
8879:Properties and relationships
8873:finite extensions of a field
8786:to the linear functional on
8645:{\displaystyle \mathbb {R} }
8408:{\displaystyle \mathbb {R} }
7965:{\displaystyle \mathbb {R} }
7179:-linear functional as well.
7172:{\displaystyle \mathbb {C} }
7150:{\displaystyle \mathbb {R} }
7103:{\displaystyle \mathbb {C} }
7088:because its range (which is
7057:{\displaystyle \mathbb {R} }
7011:{\displaystyle \mathbb {R} }
6978:{\displaystyle \mathbb {R} }
6935:{\displaystyle \mathbb {C} }
6694:{\displaystyle \mathbb {C} }
6457:{\displaystyle \dim X\neq 0}
6368:{\displaystyle \mathbb {R} }
6239:is also a vector space over
6232:{\displaystyle \mathbb {C} }
6132:{\displaystyle \mathbb {R} }
4624:{\displaystyle {\tilde {u}}}
4494:{\displaystyle {\tilde {V}}}
4472:belonging to the dual space
4465:{\displaystyle {\tilde {u}}}
4425:{\displaystyle \delta _{ij}}
3967:Riesz representation theorem
2997:{\displaystyle \mathbb {R} }
2829:proves this last fact using
1238:{\displaystyle \mathbf {x} }
1216:{\displaystyle \mathbf {a} }
7:
16368:Radially convex/Star-shaped
16353:Pre-compact/Totally bounded
14061:{\displaystyle r_{b}\geq 0}
13818:so assume otherwise. Since
13606:
12943:{\displaystyle |f(u)|<1}
12634:there exists a real number
12305:{\displaystyle \ker f=H-H.}
12006:is a linear functional and
11751:for some linear functional
6383:Every linear functional on
5813:is a field or not. It is a
3961:In an infinite dimensional
3805:The inverse isomorphism is
3702:where the bilinear form on
3487:{\displaystyle f\in P_{n}.}
3266:The integration functional
250:
90:. This space is called the
10:
16754:
16054:Continuous linear operator
15847:Invariant subspace problem
14907:. Unpublished. Lemma 3.12.
13624:Positive linear functional
12985:
12381:are linear functionals on
11428:{\displaystyle |f|\leq p.}
11245:Continuous linear operator
11242:
9890:{\displaystyle \|\cdot \|}
9041:{\displaystyle \varphi =0}
8917:is a linear functional on
8079:defined by the assignment
7395:are linear functionals on
6659:of a linear functional on
6061:
5872:{\displaystyle A\subset M}
3999:
1713:vector spaces of functions
224:{\displaystyle V^{\vee }.}
16692:
16437:
16399:Algebraic interior (core)
16381:
16279:
16167:
16141:Vector-valued Hahn–Banach
16102:
16036:
16029:Topological vector spaces
15977:
15936:
15860:
15839:
15798:
15737:
15679:
15625:
15567:
15560:
15379:Topological Vector Spaces
15313:Topological Vector Spaces
15095:Linear Algebra Done Right
15074:Schaefer & Wolff 1999
14258:{\displaystyle u_{b}:=1.}
13779:
13235:{\displaystyle F(m)=f(m)}
11336:linear functionals — the
10109:topological vector spaces
8699:whose inverse is the map
8155:to the linear functional
8019:whose inverse is the map
6795:and a linear function on
3916:The above defined vector
3827:is the unique element of
3589:. The number of (1-form)
3075:Application to quadrature
2971:{\displaystyle f(x)=1+2x}
2901:{\displaystyle f(x)=a+rx}
1662:{\displaystyle n\times n}
1486:{\displaystyle n\times n}
671:is given by the one-form
426:: The mean element of an
414:{\displaystyle \cdot =y.}
16229:Topological homomorphism
16089:Topological vector space
15816:Spectrum of a C*-algebra
15180:Dunford, Nelson (1988).
13645:
13639:Topological vector space
13613:Discontinuous linear map
13462:of some neighborhood of
13368:topological vector space
11791:that is not identically
11744:{\displaystyle M=\ker f}
11383:topological vector space
11330:topological vector space
10377:{\displaystyle x,y\in X}
9696:{\displaystyle \varphi }
9204:{\displaystyle \varphi }
9155:{\displaystyle \varphi }
9140:topological vector space
7183:Real and imaginary parts
7110:) is 2-dimensional over
6064:Linear complex structure
5982:{\displaystyle f_{a}(x)}
5399:{\displaystyle i=1,2,3,}
1400:Trace of a square matrix
15913:Noncommutative geometry
14225:{\displaystyle r_{b}=0}
13347:{\displaystyle x\in X.}
13264:{\displaystyle m\in M,}
12972:{\displaystyle u\in U.}
12842:{\displaystyle f(x)=1,}
12199:{\displaystyle f\neq 0}
12025:{\displaystyle s\neq 0}
11577:{\displaystyle M\neq X}
7778:and consequently, that
7620:{\displaystyle x\in X,}
7135:Conversely, a non-zero
6092:is a vector space over
5946:{\displaystyle x\in M,}
4008:Basis of the dual space
3952:{\displaystyle v\in V.}
3907:{\displaystyle w\in V.}
3259:{\displaystyle \leq n.}
2982:a linear functional on
2927:{\displaystyle a\neq 0}
2265:defined on an interval
896:Linear functionals in R
16287:Absolutely convex/disk
15969:Tomita–Takesaki theory
15944:Approximation property
15888:Calculus of variations
15268:, Wiley-Interscience,
15128:, Dover Publications,
14786:
14767:
14659:
14658:{\displaystyle b\in B}
14633:
14528:
14485:
14374:
14311:
14259:
14226:
14193:
14138:
14097:
14062:
14029:
14028:{\displaystyle b\in B}
14003:
13895:
13864:
13812:
13767:
13597:
13552:
13513:
13476:
13431:
13395:
13348:
13319:
13265:
13236:
13176:
13140:which is dominated by
13134:
13101:
13063:
13015:
12973:
12944:
12899:
12843:
12805:
12804:{\displaystyle x\in X}
12763:
12722:
12721:{\displaystyle x\in X}
12696:
12625:
12592:
12557:
12482:
12436:
12375:
12306:
12265:
12220:
12200:
12174:
12151:
12026:
12000:
11980:
11893:
11873:
11853:
11833:
11813:
11785:
11765:
11745:
11713:
11693:
11673:
11653:
11618:
11598:
11578:
11552:
11526:
11496:
11476:
11429:
11377:on a (not necessarily
11356:
11322:
11300:
11272:
11239:In infinite dimensions
11228:
11141:
11076:
11024:
10933:
10872:
10849:
10761:
10700:
10649:
10616:
10567:
10530:
10507:
10436:
10398:
10378:
10346:
10277:
10248:
10207:
10174:
10129:
10093:
10020:
9993:
9947:
9891:
9861:
9841:
9726:
9697:
9677:
9624:
9516:
9476:
9448:
9419:
9383:
9334:
9297:
9270:
9232:
9205:
9185:
9156:
9132:
9110:
9077:
9042:
9014:
8972:
8931:
8911:
8859:
8800:
8780:
8740:
8693:
8646:
8624:
8591:
8542:
8514:
8468:
8409:
8387:
8327:
8307:
8280:
8190:
8149:
8106:
8073:
8013:
7966:
7941:
7904:
7838:
7772:
7621:
7592:
7564:
7472:
7418:
7389:
7348:
7305:
7259:
7214:
7173:
7151:
7129:
7104:
7082:
7058:
7036:
7012:
6979:
6956:
6942:-linear functional on
6936:
6910:
6880:
6818:
6789:
6769:
6749:
6724:
6695:
6673:
6649:
6585:
6562:
6527:
6507:
6478:
6458:
6426:
6397:
6369:
6347:
6294:
6258:
6233:
6211:
6191:
6162:
6133:
6111:
6086:
6046:
5983:
5947:
5918:
5873:
5742:
5741:{\displaystyle \star }
5722:
5446:the inner product (or
5440:
5400:
5359:
5241:
5220:
5129:
5054:
4849:
4720:
4654:
4625:
4594:
4556:
4501:can be expressed as a
4495:
4466:
4426:
4394:
4322:
4195:
4109:
4075:
3953:
3908:
3879:
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3736:
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3119:
3041:
2998:
2972:
2928:
2902:
2855:
2831:Lagrange interpolation
2819:
2788:
2751:
2714:
2679:
2653:
2605:
2472:
2437:
2383:
2335:
2334:{\displaystyle c\in ,}
2294:
2259:
2258:{\displaystyle \leq n}
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2202:
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15893:Functional calculus
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15831:Von Neumann algebra
15545:Functional analysis
15375:Schaefer, Helmut H.
15344:Functional Analysis
15237:Katznelson, Yitzhak
15064:, pp. 225–273.
15047:, pp. 177–220.
14972:, pp. 126–128.
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