4943:
2227:
4929:
4967:
4955:
1469:
1764:
1029:
906:
2032:
338:
is limited to the right (or left) then the asymptotic distribution of the range is equal to the asymptotic distribution of the largest (smallest) value. For more general distributions the asymptotic distribution can be expressed as a
606:
1509:
1464:{\displaystyle f(t)={\begin{cases}\sum _{x=1}^{N}^{n}&t=0\\\sum _{x=1}^{N-t}\left({\begin{alignedat}{2}&^{n}\\{}-{}&^{n}\\{}-{}&^{n}\\{}+{}&^{n}\\\end{alignedat}}\right)&t=1,2,3\ldots ,N-1.\end{cases}}}
2197:
296:
463:
723:
1882:
1893:
1818:
69:
1759:{\displaystyle f(t)={\begin{cases}{\frac {1}{N^{n-1}}}&t=0\\\sum _{x=1}^{N-t}\left(\left^{n}-2\left^{n}+\left^{n}\right)&t=1,2,3\ldots ,N-1.\end{cases}}}
499:
2499:
Evans, D. L.; Leemis, L. M.; Drew, J. H. (2006). "The
Distribution of Order Statistics for Discrete Random Variables with Applications to Bootstrapping".
2043:
2626:
4064:
172:
4993:
4569:
4719:
4343:
2984:
4117:
4556:
2398:
2377:
45:
which contains all the data. It is calculated as the difference between the largest and smallest values (also known as the
2979:
2679:
1149:
3583:
2731:
57:. Since it only depends on two of the observations, it is most useful in representing the dispersion of small data sets.
4366:
4258:
359:
2597:
Siotani, M. (1956). "Order statistics for discrete case with a numerical application to the binomial distribution".
4971:
4544:
4418:
946:
95:
1784:, and every other sample having a value between the two extremes. The probability of one sample having a value of
4602:
4263:
4008:
3379:
2969:
4653:
3865:
3672:
3561:
3519:
2304:
2279:
3593:
4896:
3855:
2758:
1494:
306:
notes that the "beauty of this formula is completely marred by the facts that, in general, we cannot express
901:{\displaystyle F(t)=\sum _{i=1}^{n}\int _{-\infty }^{\infty }g_{i}(x)\prod _{j=1,j\neq i}^{n}\,{\text{d}}x.}
4447:
4396:
4381:
4371:
4240:
4112:
4079:
3905:
3860:
3690:
1533:
1053:
488:
103:
27:
5003:
4959:
4791:
4592:
4516:
3817:
3571:
3240:
2704:
2624:
Paul R. Rider (1951). "The
Distribution of the Range in Samples from a Discrete Rectangular Population".
4676:
4648:
4643:
4391:
4150:
4056:
4036:
3944:
3655:
3473:
2956:
2828:
2211:. In particular, the range is a linear function of order statistics, which brings it into the scope of
989:
46:
4998:
4408:
4176:
3897:
3822:
3751:
3680:
3600:
3588:
3458:
3446:
3439:
3147:
2868:
957:
4891:
4658:
4521:
4206:
4171:
4135:
3920:
3362:
3271:
3230:
3142:
2833:
2672:
2027:{\displaystyle \left(\int _{x}^{x+t}g(x)\,{\text{d}}x\right)^{n-2}=\left(G(x+t)-G(x)\right)^{n-2}.}
1834:
4800:
4413:
4353:
4290:
3928:
3912:
3650:
3512:
3502:
3352:
3266:
4838:
4768:
4561:
4498:
4253:
4140:
3137:
3034:
2941:
2820:
2719:
54:
34:
2461:(1925). "On the Extreme Individuals and the Range of Samples Taken from a Normal Population".
4863:
4805:
4748:
4574:
4467:
4376:
4102:
3986:
3845:
3837:
3727:
3719:
3534:
3430:
3408:
3367:
3332:
3299:
3245:
3220:
3175:
3114:
3074:
2876:
2699:
993:
42:
4786:
4361:
4310:
4286:
4248:
4166:
4145:
4097:
3976:
3954:
3923:
3832:
3709:
3660:
3578:
3551:
3507:
3463:
3225:
3001:
2881:
1791:
8:
4933:
4858:
4781:
4462:
4226:
4219:
4181:
4089:
4069:
4041:
3774:
3640:
3635:
3625:
3617:
3435:
3396:
3286:
3276:
3185:
2964:
2920:
2838:
2763:
2665:
2245:
601:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }(1-(1-\Phi (x))^{n}-\Phi (x)^{n})\,{\text{d}}x.}
4947:
4758:
4612:
4508:
4457:
4333:
4230:
4214:
4191:
3968:
3702:
3685:
3645:
3556:
3451:
3413:
3384:
3344:
3304:
3250:
3167:
2853:
2643:
2583:
2549:
2478:
2440:
2351:
2232:
303:
4942:
4853:
4823:
4815:
4635:
4626:
4551:
4482:
4338:
4323:
4298:
4186:
4127:
3993:
3981:
3607:
3524:
3468:
3391:
3235:
3157:
2936:
2810:
2394:
2373:
2300:
2275:
2250:
2240:
2226:
4878:
4833:
4597:
4584:
4477:
4452:
4386:
4318:
4196:
3804:
3697:
3630:
3543:
3490:
3309:
3180:
2974:
2858:
2773:
2740:
2639:
2635:
2606:
2579:
2539:
2508:
2470:
2458:
2430:
2386:
2341:
1780:, can be determined by adding the probabilities of having two samples differing by
2192:{\displaystyle f(t)=n(n-1)\int _{-\infty }^{\infty }g(x)g(x+t)^{n-2}\,{\text{d}}x}
4795:
4539:
4401:
4328:
4003:
3877:
3850:
3827:
3796:
3423:
3418:
3372:
3102:
2753:
2528:"Calculation of Exact Sampling Distribution of Ranges from a Discrete Population"
2390:
2208:
340:
50:
4285:
2474:
4744:
4739:
3202:
3132:
2778:
2544:
2527:
2435:
2418:
2346:
2329:
4987:
4901:
4868:
4731:
4692:
4503:
4472:
3936:
3890:
3495:
3197:
3024:
2788:
2783:
2570:
Abdel-Aty, S. H. (1954). "Ordered variables in discontinuous distributions".
2414:
4843:
4776:
4753:
4668:
3998:
3294:
3192:
3127:
3069:
3054:
2991:
2946:
2512:
2325:
4886:
4848:
4531:
4432:
4294:
4107:
4074:
3566:
3483:
3478:
3122:
3079:
3059:
3039:
3029:
2798:
2212:
1887:
The probability of all other values lying between these two extremes is:
291:{\displaystyle F(t)=n\int _{-\infty }^{\infty }g(x)^{n-1}\,{\text{d}}x.}
3732:
3212:
2912:
2843:
2793:
2768:
2688:
2647:
2610:
2553:
2482:
2444:
2355:
3885:
3737:
3357:
3152:
3064:
3049:
3044:
3009:
20:
3401:
3019:
2896:
2891:
2886:
622:
nonidentically distributed independent continuous random variables
70:
independent and identically distributed continuous random variables
2385:. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 7314. p. 165.
922:
independent and identically distributed discrete random variables
4906:
4607:
326:), and that the numerical integration is lengthy and tiresome."
4828:
3809:
3783:
3763:
3014:
2805:
2379:
Analytical and
Stochastic Modeling Techniques and Applications
2371:
2657:
2748:
1752:
1457:
2376:(2012). "Controlling Variability in Split-Merge Systems".
613:
2419:"Universal Bounds for Mean Range and Extreme Observation"
478:) is the inverse function. In the case where each of the
2413:
164:
The range, T, has the cumulative distribution function
60:
2046:
1896:
1837:
1794:
1512:
1032:
726:
502:
362:
175:
4570:
Autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH)
2222:
913:
715:), the range has cumulative distribution function
110:), let T denote the range of them, that is, T= max(
4032:
2599:Annals of the Institute of Statistical Mathematics
2191:
2026:
1876:
1812:
1776:The probability of having a specific range value,
1758:
1463:
900:
600:
457:
290:
53:as the data. The range provides an indication of
4985:
2457:
4118:Multivariate adaptive regression splines (MARS)
2627:Journal of the American Statistical Association
2498:
2269:
458:{\displaystyle n\int _{0}^{1}x(G)\,{\text{d}}G}
2525:
2673:
2623:
2367:
2365:
2294:
980:from a population with distribution function
2324:
1820:. The probability of another having a value
2718:
2680:
2666:
2362:
41:of a set of data is size of the narrowest
3331:
2569:
2543:
2434:
2345:
2180:
1936:
886:
586:
446:
276:
28:Range (disambiguation) § Mathematics
2320:
2318:
2316:
1021:The range has probability mass function
2596:
2494:
2492:
2299:. Pearson South Africa. pp. 7â27.
645:with cumulative distribution functions
614:For continuous non-IID random variables
4986:
4644:KaplanâMeier estimator (product limit)
4717:
4284:
4031:
3330:
3100:
2717:
2661:
2565:
2563:
2532:The Annals of Mathematical Statistics
2423:The Annals of Mathematical Statistics
2334:The Annals of Mathematical Statistics
2313:
2202:
2037:Combining the three together yields:
4994:Statistical deviation and dispersion
4954:
4654:Accelerated failure time (AFT) model
2489:
680:) and probability density functions
4966:
4249:Analysis of variance (ANOVA, anova)
3101:
2207:The range is a specific example of
1013:is a positive integer or infinity.
61:For continuous IID random variables
13:
4344:CochranâMantelâHaenszel statistics
2970:Pearson product-moment correlation
2584:10.1111/j.1467-9574.1954.tb00442.x
2560:
2372:Tsimashenka, I.; Knottenbelt, W.;
2093:
2088:
776:
771:
564:
539:
516:
511:
207:
202:
14:
5015:
1016:
976:is the range of a sample of size
914:For discrete IID random variables
4965:
4953:
4941:
4928:
4927:
4718:
2274:. Cengage Learning. p. 74.
2225:
947:cumulative distribution function
96:cumulative distribution function
49:). It is expressed in the same
4603:Least-squares spectral analysis
2617:
2590:
2330:"The Distribution of the Range"
159:
3584:Mean-unbiased minimum-variance
2687:
2640:10.1080/01621459.1951.10500796
2519:
2451:
2407:
2288:
2263:
2165:
2161:
2155:
2146:
2134:
2128:
2125:
2113:
2107:
2101:
2077:
2065:
2056:
2050:
2001:
1995:
1986:
1974:
1933:
1927:
1868:
1856:
1850:
1838:
1807:
1801:
1522:
1516:
1399:
1395:
1389:
1380:
1362:
1356:
1332:
1328:
1316:
1307:
1289:
1283:
1259:
1255:
1249:
1240:
1228:
1222:
1198:
1194:
1182:
1173:
1161:
1155:
1093:
1089:
1083:
1077:
1042:
1036:
883:
880:
874:
858:
846:
833:
797:
791:
736:
730:
583:
574:
567:
552:
548:
542:
530:
521:
443:
428:
415:
393:
390:
384:
261:
257:
251:
242:
230:
224:
221:
215:
185:
179:
1:
4897:Geographic information system
4113:Simultaneous equations models
2272:An Introduction to Statistics
2256:
1771:
1495:discrete uniform distribution
491:, the mean range is given by
4080:Coefficient of determination
3691:Uniformly most powerful test
2501:INFORMS Journal on Computing
2391:10.1007/978-3-642-30782-9_12
2297:Elementary Statistics: Vol 2
1877:{\displaystyle (n-1)g(x+t).}
489:standard normal distribution
329:If the distribution of each
104:probability density function
7:
4649:Proportional hazards models
4593:Spectral density estimation
4575:Vector autoregression (VAR)
4009:Maximum posterior estimator
3241:Randomized controlled trial
2218:
351:The mean range is given by
10:
5020:
4409:Multivariate distributions
2829:Average absolute deviation
1476:
990:without loss of generality
346:
47:sample maximum and minimum
25:
18:
4923:
4877:
4814:
4767:
4730:
4726:
4713:
4685:
4667:
4634:
4625:
4583:
4530:
4491:
4440:
4431:
4397:Structural equation model
4352:
4309:
4305:
4280:
4239:
4205:
4159:
4126:
4088:
4055:
4051:
4027:
3967:
3876:
3795:
3759:
3750:
3733:Score/Lagrange multiplier
3718:
3671:
3616:
3542:
3533:
3343:
3339:
3326:
3285:
3259:
3211:
3166:
3148:Sample size determination
3113:
3109:
3096:
3000:
2955:
2929:
2911:
2867:
2819:
2739:
2730:
2726:
2713:
2695:
2475:10.1093/biomet/17.3-4.364
958:probability mass function
4892:Environmental statistics
4414:Elliptical distributions
4207:Generalized linear model
4136:Simple linear regression
3906:HodgesâLehmann estimator
3363:Probability distribution
3272:Stochastic approximation
2834:Coefficient of variation
2270:George Woodbury (2001).
19:Not to be confused with
4552:Cross-correlation (XCF)
4160:Non-standard predictors
3594:LehmannâScheffĂ© theorem
3267:Adaptive clinical trial
2545:10.1214/aoms/1177728500
2526:Irving W. Burr (1955).
2436:10.1214/aoms/1177728848
2347:10.1214/aoms/1177730387
4948:Mathematics portal
4769:Engineering statistics
4677:NelsonâAalen estimator
4254:Analysis of covariance
4141:Ordinary least squares
4065:Pearson product-moment
3469:Statistical functional
3380:Empirical distribution
3213:Controlled experiments
2942:Frequency distribution
2720:Descriptive statistics
2572:Statistica Neerlandica
2513:10.1287/ijoc.1040.0105
2417:; H. A. David (1954).
2295:Carin Viljoen (2000).
2193:
2028:
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