857:
64:
7131:
4634:
3707:
5948:
is finite. The inequality expressing this fact has constants that do not involve the dimension of the space and, thus, the inequality holds in the setting of a
Gaussian measure on an infinite-dimensional space. It is now known that logarithmic Sobolev inequalities hold for many different types of
4376:
4355:
2629:
1005:
3573:
4927:
2915:
5341:
2049:
5247:
1792:
1109:
1230:
342:
248:
451:
2268:
3842:
4629:{\displaystyle \int _{|x|\geq \rho }\left|{\hat {u}}(x)\right|^{2}\,dx\leq \int _{|x|\geq \rho }{\frac {|x|^{2}}{\rho ^{2}}}\left|{\hat {u}}(x)\right|^{2}\,dx\leq \rho ^{-2}\int _{\mathbf {R} ^{n}}|Du|^{2}\,dx}
4107:
2407:
536:
3125:
2722:
2493:
3328:
4176:
3427:
2511:
5053:
6010:
operator. This result means that if a function is in the range of the exponential of the
Dirichlet form operatorâwhich means that the function has, in some sense, infinitely many derivatives in
908:
1865:
4776:
4004:
3562:
5791:, that has dimension-independent constants and therefore continues to hold in the infinite-dimensional setting. The logarithmic Sobolev inequality says, roughly, that if a function is in
2986:
5420:
4708:
608:
1874:(compact). Note that the condition is just as in the first part of the Sobolev embedding theorem, with the equality replaced by an inequality, thus requiring a more regular space
3702:{\displaystyle \gamma ={\begin{cases}\left+1-{\frac {n}{p}}&{\frac {n}{p}}\notin \mathbf {Z} \\{\text{any element in }}(0,1)&{\frac {n}{p}}\in \mathbf {Z} \end{cases}}}
5570:
1395:
1268:
5946:
2115:
771:
4793:
2147:
6102:
804:
722:
6069:
5501:
1731:
1142:
689:
3905:
1531:
1491:
1346:
1300:
6593:
6035:
6004:
5977:
5890:
5843:
5816:
5754:
5727:
5620:
5447:
2803:
1462:
851:
635:
1118:. Intuitively, this inclusion expresses the fact that the existence of sufficiently many weak derivatives implies some continuity of the classical derivatives. If
5258:
2173:
1326:
2745:
5863:
5774:
5700:
5680:
5660:
5640:
5593:
5467:
5375:
3925:
1936:
1511:
1435:
1415:
1366:
824:
655:
563:
5108:
7020:
1023:
2652:
1147:
259:
184:
367:
5776:). In particular, for functions on an infinite-dimensional space, we cannot expect any direct analog of the classical Sobolev embedding theorems.
2181:
6856:
3718:
6683:
4020:
2359:
6846:
478:
3031:
2426:
6973:
6828:
4350:{\displaystyle \|u\|_{L^{2}(\mathbf {R} ^{n})}^{1+2/n}\leq C\|u\|_{L^{1}(\mathbf {R} ^{n})}^{2/n}\|Du\|_{L^{2}(\mathbf {R} ^{n})}.}
3277:
2287:
Sobolev's original proof of the
Sobolev embedding theorem relied on the following, sometimes known as the HardyâLittlewoodâSobolev
1624:
and the boundary is
Lipschitz (meaning that the boundary can be locally represented as a graph of a Lipschitz continuous function).
6804:
2624:{\displaystyle m\left\{x:\left|I_{\alpha }f(x)\right|>\lambda \right\}\leq C\left({\frac {\|f\|_{1}}{\lambda }}\right)^{q},}
3339:
6448:
6368:
6309:
6250:
2175:
to
Gagliardo and Nirenberg independently. The GagliardoâNirenbergâSobolev inequality implies directly the Sobolev embedding
1000:{\displaystyle {\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}=-{\frac {r+\alpha }{n}},{\mbox{ or, equivalently, }}r+\alpha =k-{\frac {n}{p}}}
6360:
4983:
6696:
1800:
6785:
6676:
6653:
6393:
6343:
6134:
4716:
3952:
3489:
2759:
implies that the latter inequality gives a unified way to write the family of inequalities for the Riesz potential.
7055:
6207:
Brezis, H.; Nirenberg, L. (September 1995). "Degree theory and BMO; part I: Compact manifolds without boundaries".
5788:
5352:
6700:
6493:
2949:
1697:
44:
7165:
6851:
6561:
6440:
6385:
6006:, this improvement is sufficient to derive an important result, namely hypercontractivity for the associated
5380:
4655:
3148:. This version of the inequality follows from the previous one by applying the norm-preserving extension of
2762:
The HardyâLittlewoodâSobolev lemma implies the
Sobolev embedding essentially by the relationship between the
568:
7134:
6907:
6841:
6669:
6871:
6556:
6551:
6469:
3201:
may also be unbounded, but in this case its boundary, if it exists, must be sufficiently well-behaved.)
2505:, then one has two possible replacement estimates. The first is the more classical weak-type estimate:
7116:
7070:
6994:
6876:
6645:
5509:
4922:{\displaystyle \int _{|x|\leq \rho }|{\hat {u}}(x)|^{2}\,dx\leq \rho ^{n}\omega _{n}\|u\|_{L^{1}}^{2}}
1371:
1235:
7111:
6927:
5895:
2057:
3588:
727:
6963:
6861:
6764:
4011:
7160:
7060:
6836:
2120:
6074:
776:
694:
7091:
7035:
6999:
6040:
5472:
2288:
1621:
1121:
660:
52:
4121:
3876:
2910:{\displaystyle \|u\|_{C^{0,\gamma }(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})}}
7155:
6798:
6488:
4133:
3171:
1871:
1516:
1467:
1331:
1276:
24:
6794:
5336:{\displaystyle a\left({\frac {1}{q}}-{\frac {1}{r}}+1\right)={\frac {1}{q}}-{\frac {1}{p}}.}
7074:
6571:
6502:
6457:
6319:
6281:
6260:
6013:
5982:
5955:
5868:
5821:
5794:
5732:
5705:
5598:
5425:
5357:
The simplest of the
Sobolev embedding theorems, described above, states that if a function
1591:
1440:
829:
613:
6661:
6465:
5074:
case, in which case it is a generalization of the
Gagliardo-Nirenberg-Sobolev inequality (
3011:
2044:{\displaystyle \|u\|_{L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|Du\|_{L^{p}(\mathbf {R} ^{n})}.}
856:
8:
7040:
6978:
6692:
2152:
1645:
1612:
1305:
6506:
2727:
7065:
6932:
6638:
6622:
6604:
6528:
6475:
6422:
6335:
6224:
5848:
5759:
5685:
5665:
5645:
5625:
5578:
5452:
5360:
3910:
1635:
1496:
1420:
1400:
1351:
809:
640:
548:
48:
7045:
6649:
6444:
6389:
6377:
6364:
6339:
6305:
6246:
6228:
6169:
Gagliardo, Emilio (1958). "ProprietĂ di alcune classi di funzioni in piĂč variabili".
6130:
4361:
1631:
464:
6626:
7050:
6968:
6937:
6917:
6902:
6897:
6892:
6614:
6518:
6510:
6461:
6414:
6297:
6216:
5242:{\displaystyle \|u\|_{L^{p}(I)}\leq C\|u\|_{L^{q}(I)}^{1-a}\|u\|_{W^{1,r}(I)}^{a},}
6729:
1787:{\displaystyle {\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}<{\frac {1}{q}}-{\frac {\ell }{n}}}
6912:
6866:
6814:
6809:
6780:
6454:
6315:
6293:
6277:
6256:
2763:
2756:
2748:
2340:
1904:
1104:{\displaystyle W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset C^{r,\alpha }(\mathbf {R} ^{n}).}
119:
6739:
3480:
1542:
1225:{\displaystyle W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset C^{r,\gamma }(\mathbf {R} ^{n})}
879:
337:{\displaystyle W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subseteq W^{\ell ,q}(\mathbf {R} ^{n})}
243:{\displaystyle {\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}={\frac {1}{q}}-{\frac {\ell }{n}},}
7101:
6953:
6754:
6150:
Sobolev, SergeÄ Lâvovich (1938). "Sur un thĂ©orĂšme de l'analyse fonctionnelle".
6007:
1595:
1513:
will be continuous (and actually Hölder continuous with some positive exponent
81:, embeds into the spaces indicated by red dots, all lying on a line with slope
6523:
6352:
6327:
6301:
446:{\displaystyle W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})\subseteq L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n})}
7149:
7106:
7030:
6759:
6744:
6734:
6402:
6152:
Comptes Rendus (Doklady) de l'Académie des
Sciences de l'URSS, Nouvelle SĂ©rie
5780:
2263:{\displaystyle W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n}).}
1609:
40:
32:
6268:
Aubin, Thierry (1976), "Espaces de
Sobolev sur les variétés riemanniennes",
3927:
is continuous (and actually Hölder continuous with some positive exponent).
63:
7096:
6749:
6719:
6190:
Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. Classe di Scienze. Serie III
5818:
with respect to a Gaussian measure and has one derivative that is also in
878:
The second part of the Sobolev embedding theorem applies to embeddings in
541:
This special case of the Sobolev embedding is a direct consequence of the
7025:
7015:
6922:
6724:
6633:
3837:{\displaystyle \|u\|_{C^{k-\left-1,\gamma }(U)}\leq C\|u\|_{W^{k,p}(U)},}
1578:
657:
itself has improved local behavior, meaning that it belongs to the space
20:
47:
showing that under slightly stronger conditions some Sobolev spaces are
6958:
6790:
6532:
6491:(1958), "Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations",
6426:
6220:
6188:
Nirenberg, Louis (1959). "On elliptic partial differential equations".
6618:
6357:
Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations
6568:
Schikorra, Armin; Spector, Daniel; Van Schaftingen, Jean (2017), "An
6514:
6418:
112:
denote the Sobolev space consisting of all real-valued functions on
6434:
4955:
1581:
128:
6609:
4102:{\displaystyle \|u\|_{BMO}\leq C\|Du\|_{L^{n}(\mathbf {R} ^{n})},}
2402:{\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {1}{p}}-{\frac {\alpha }{n}}}
146:. The first part of the Sobolev embedding theorem states that if
6292:, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , vol. 252,
4364:. Indeed, integrating over the complement of the ball of radius
870:(red) holds. White circles indicate intersection points at which
531:{\displaystyle {\frac {1}{p^{*}}}={\frac {1}{p}}-{\frac {1}{n}}.}
6640:
Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions
5779:
There is, however, a type of Sobolev inequality, established by
3120:{\displaystyle \|u\|_{C^{0,\gamma }(U)}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(U)}}
2717:{\displaystyle \left\|I_{\alpha }f\right\|_{q}\leq C\|Rf\|_{1},}
545:. The result should be interpreted as saying that if a function
67:
Graphical representation of the embedding conditions. The space
6567:
2752:
2488:{\displaystyle \left\|I_{\alpha }f\right\|_{q}\leq C\|f\|_{p}.}
6245:, Pure and Applied Mathematics, vol. 65, Academic Press,
5682:
is defined is large, the improvement in the local behavior of
1114:
This part of the Sobolev embedding is a direct consequence of
3323:{\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}.}
860:
If the line from the picture above intersects the y-axis at
6691:
3695:
542:
5979:-log condition is a very small improvement over being in
1897:
is a continuously differentiable real-valued function on
1888:
6482:, Springer Series in Soviet Mathematics, Springer-Verlag
3422:{\displaystyle \|u\|_{L^{q}(U)}\leq C\|u\|_{W^{k,p}(U)}}
3018:, after possibly being redefined on a set of measure 0.
347:
and the embedding is continuous. In the special case of
6290:
Nonlinear analysis on manifolds. Monge-AmpĂšre equations
1547:
The Sobolev embedding theorem holds for Sobolev spaces
91:
indicates the impossibility of optimal embeddings into
963:
6574:
6484:, Translated from the Russian by T. O. Shaposhnikova.
6077:
6043:
6016:
5985:
5958:
5898:
5871:
5851:
5824:
5797:
5762:
5735:
5708:
5688:
5668:
5648:
5628:
5601:
5581:
5512:
5475:
5455:
5428:
5383:
5363:
5261:
5111:
4986:
4796:
4719:
4658:
4379:
4179:
4023:
3955:
3913:
3879:
3721:
3576:
3492:
3342:
3280:
3034:
2952:
2806:
2730:
2655:
2514:
2429:
2362:
2184:
2155:
2123:
2060:
1939:
1803:
1734:
1519:
1499:
1470:
1443:
1423:
1403:
1374:
1354:
1334:
1308:
1279:
1238:
1150:
1124:
1026:
911:
832:
812:
779:
730:
697:
663:
643:
616:
571:
551:
481:
370:
262:
187:
5048:{\displaystyle \|{\hat {u}}\|_{L^{2}}=\|u\|_{L^{2}}}
4360:
The inequality follows from basic properties of the
7021:Spectral theory of ordinary differential equations
6637:
6587:
6542:Direct Methods in the Theory of Elliptic Equations
6124:
6096:
6063:
6029:
5998:
5971:
5940:
5884:
5857:
5837:
5810:
5768:
5748:
5721:
5694:
5674:
5654:
5634:
5614:
5587:
5564:
5495:
5461:
5441:
5414:
5369:
5335:
5241:
5047:
4921:
4770:
4702:
4628:
4349:
4101:
3998:
3919:
3899:
3836:
3701:
3556:
3421:
3322:
3119:
2980:
2909:
2739:
2716:
2623:
2487:
2401:
2262:
2167:
2141:
2109:
2043:
1859:
1786:
1525:
1505:
1485:
1456:
1429:
1409:
1389:
1360:
1340:
1320:
1294:
1262:
1224:
1136:
1103:
999:
845:
818:
798:
765:
716:
683:
649:
629:
602:
557:
530:
445:
336:
242:
5346:
2291:theorem. An equivalent statement is known as the
2282:
1570:), both parts of the Sobolev embedding hold when
826:must be more mild than for a typical function in
7147:
1860:{\displaystyle W^{k,p}(M)\subset W^{\ell ,q}(M)}
6206:
6127:Partial Differential Equations I - Basic Theory
4781:which, when integrated over the ball of radius
3176:
1691:
16:Theorem about inclusions between Sobolev spaces
6332:Analyse Fonctionnelle: théorie et applications
4771:{\displaystyle |{\hat {u}}|\leq \|u\|_{L^{1}}}
3999:{\displaystyle u\in W^{1,n}(\mathbf {R} ^{n})}
3557:{\displaystyle u\in C^{k-\left-1,\gamma }(U),}
6677:
5068:, the Nash inequality can be extended to the
3222:
2753:Schikorra, Spector & Van Schaftingen 2017
6405:(1975), "Logarithmic Sobolev inequalities",
5200:
5193:
5157:
5150:
5119:
5112:
5029:
5022:
5003:
4987:
4898:
4891:
4752:
4745:
4310:
4300:
4253:
4246:
4187:
4180:
4062:
4052:
4031:
4024:
3800:
3793:
3729:
3722:
3388:
3381:
3350:
3343:
3086:
3079:
3042:
3035:
2867:
2860:
2814:
2807:
2702:
2692:
2593:
2586:
2473:
2466:
2004:
1994:
1947:
1940:
1115:
58:
3021:A similar result holds in a bounded domain
6684:
6670:
1594:boundary (or whose boundary satisfies the
6608:
6522:
6187:
6168:
5399:
4861:
4619:
4554:
4444:
2981:{\displaystyle \gamma =1-{\frac {n}{p}}.}
2279:are then obtained by suitable iteration.
1377:
1302:, the embedding criterion will hold with
587:
73:, represented by a blue dot at the point
6974:Group algebra of a locally compact group
3025:with Lipschitz boundary. In this case,
855:
62:
6149:
5415:{\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}
4703:{\displaystyle 1\leq |x|^{2}/\rho ^{2}}
4140:), states that there exists a constant
603:{\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}
7148:
6595:-type estimate for Riesz potentials",
6351:
5949:measures, not just Gaussian measures.
5078:, Comments on Chapter 8). In fact, if
5075:
4120:. This estimate is a corollary of the
2769:
1889:GagliardoâNirenbergâSobolev inequality
543:GagliardoâNirenbergâSobolev inequality
6665:
6632:
6539:
6401:
6361:Springer Science & Business Media
6287:
6267:
6240:
6118:
6105:
5784:
2649:. Alternatively one has the estimate
2300:
2296:
1685:
1599:
1567:
1563:
6544:, Springer Monographs in Mathematics
6487:
5892:-log", meaning that the integral of
5082:is a bounded interval, then for all
4787:
4370:
4137:
864:, the embedding into a Hölder space
806:.) Thus, any local singularities in
39:, giving inclusions between certain
31:, relating norms including those of
6439:, Graduate Studies in Mathematics,
6270:Bulletin des Sciences Mathématiques
4977:) and applying Parseval's theorem:
4132:The Nash inequality, introduced by
13:
6037:âthen the function does belong to
4127:
2273:The embeddings in other orders on
1536:
14:
7177:
6597:Revista MatemĂĄtica Iberoamericana
5952:Although it might seem as if the
3712:We have in addition the estimate
3333:We have in addition the estimate
7130:
7129:
7056:Topological quantum field theory
6436:A First Course in Sobolev Spaces
5565:{\displaystyle 1/p^{*}=1/p-1/n.}
5353:Logarithmic Sobolev inequalities
4584:
4329:
4272:
4206:
4081:
3983:
3930:
3688:
3644:
3170:. The inequality is named after
2892:
2839:
2244:
2206:
2023:
1973:
1390:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
1263:{\displaystyle \gamma \in (0,1)}
1209:
1172:
1085:
1048:
430:
392:
321:
284:
51:in others. They are named after
6494:American Journal of Mathematics
6407:American Journal of Mathematics
5941:{\displaystyle |f|^{p}\log |f|}
5102:the following inequality holds
3873:. In particular, the condition
2785:. Then there exists a constant
2149:is due to Sobolev and the case
2110:{\displaystyle 1/p^{*}=1/p-1/n}
1688:, Section 1.1.5, Theorem 1.4).
1662:with continuous boundary, then
178:are two real numbers such that
6382:Partial Differential Equations
6200:
6181:
6162:
6143:
5934:
5926:
5909:
5900:
5789:logarithmic Sobolev inequality
5409:
5394:
5347:Logarithmic Sobolev inequality
5226:
5220:
5177:
5171:
5139:
5133:
4996:
4851:
4846:
4840:
4834:
4824:
4811:
4803:
4738:
4731:
4721:
4675:
4666:
4609:
4597:
4540:
4534:
4528:
4493:
4484:
4468:
4460:
4430:
4424:
4418:
4394:
4386:
4339:
4324:
4282:
4267:
4216:
4201:
4091:
4076:
3993:
3978:
3826:
3820:
3782:
3776:
3669:
3657:
3548:
3542:
3414:
3408:
3370:
3364:
3256:In this case we conclude that
3219:. Then we consider two cases:
3112:
3106:
3068:
3062:
2902:
2887:
2849:
2834:
2676:
2658:
2553:
2547:
2450:
2432:
2299:, Chapter 2). A proof is in (
2283:HardyâLittlewoodâSobolev lemma
2254:
2239:
2216:
2201:
2033:
2018:
1983:
1968:
1854:
1848:
1826:
1820:
1257:
1245:
1219:
1204:
1182:
1167:
1095:
1080:
1058:
1043:
766:{\displaystyle 1/p^{*}<1/p}
597:
582:
440:
425:
402:
387:
331:
316:
294:
279:
138:is a non-negative integer and
35:. These are used to prove the
1:
6852:Uniform boundedness principle
6441:American Mathematical Society
6386:American Mathematical Society
6129:(2nd ed.). p. 286.
6111:
5756:is only slightly larger than
4710:. On the other hand, one has
3458:
965: or, equivalently,
5702:from having a derivative in
3185:be a bounded open subset of
3177:General Sobolev inequalities
1716:Kondrachov embedding theorem
1692:Kondrachov embedding theorem
7:
6557:Encyclopedia of Mathematics
6125:Taylor, Michael E. (1997).
4973:
4967:
4935:
4642:
2142:{\displaystyle 1<p<n}
1794:then the Sobolev embedding
1328:and some positive value of
1017:then one has the embedding
10:
7182:
6995:Invariant subspace problem
6646:Princeton University Press
6550:Nikol'skii, S.M. (2001) ,
6097:{\displaystyle p^{*}>p}
5350:
2766:and the Riesz potentials.
2755:). The boundedness of the
1698:RellichâKondrachov theorem
1695:
1558:on other suitable domains
1540:
1348:. That is, for a function
1273:In particular, as long as
799:{\displaystyle p^{*}>p}
717:{\displaystyle p^{*}>p}
361:, Sobolev embedding gives
45:RellichâKondrachov theorem
7125:
7084:
7008:
6987:
6946:
6885:
6827:
6773:
6715:
6708:
6302:10.1007/978-1-4612-5734-9
6241:Adams, Robert A. (1975),
6064:{\displaystyle L^{p^{*}}}
5642:. Thus, if the dimension
5496:{\displaystyle L^{p^{*}}}
1673:is compactly embedded in
1656:is a bounded open set in
1634:Riemannian manifold with
1137:{\displaystyle \alpha =1}
874:embeddings are not valid.
684:{\displaystyle L^{p^{*}}}
59:Sobolev embedding theorem
37:Sobolev embedding theorem
6964:Spectrum of a C*-algebra
6433:Leoni, Giovanni (2009),
4965:to minimize the sum of (
4012:bounded mean oscillation
3900:{\displaystyle k>n/p}
2412:there exists a constant
1620:is a compact Riemannian
7061:Noncommutative geometry
6288:Aubin, Thierry (1982),
5061:In the special case of
3475:Here, we conclude that
1526:{\displaystyle \alpha }
1486:{\displaystyle pk>n}
1341:{\displaystyle \alpha }
1295:{\displaystyle pk>n}
7117:TomitaâTakesaki theory
7092:Approximation property
7036:Calculus of variations
6589:
6171:Ricerche di Matematica
6098:
6065:
6031:
6000:
5973:
5942:
5886:
5859:
5839:
5812:
5770:
5750:
5723:
5696:
5676:
5662:of the space on which
5656:
5636:
5616:
5589:
5566:
5497:
5463:
5443:
5422:has one derivative in
5416:
5371:
5337:
5243:
5058:gives the inequality.
5049:
4923:
4772:
4704:
4630:
4351:
4103:
4000:
3921:
3901:
3838:
3703:
3558:
3423:
3324:
3121:
2982:
2911:
2741:
2718:
2625:
2489:
2403:
2289:fractional integration
2264:
2169:
2143:
2111:
2045:
1861:
1788:
1702:On a compact manifold
1622:manifold with boundary
1527:
1507:
1487:
1458:
1431:
1411:
1391:
1362:
1342:
1322:
1296:
1264:
1226:
1138:
1105:
1001:
875:
847:
820:
800:
767:
718:
685:
651:
631:
610:has one derivative in
604:
559:
532:
447:
338:
244:
98:
87:. The white circle at
53:Sergei Lvovich Sobolev
7112:BanachâMazur distance
7075:Generalized functions
6590:
6588:{\displaystyle L^{1}}
6099:
6066:
6032:
6030:{\displaystyle L^{p}}
6001:
5999:{\displaystyle L^{p}}
5974:
5972:{\displaystyle L^{p}}
5943:
5887:
5885:{\displaystyle L^{p}}
5860:
5840:
5838:{\displaystyle L^{p}}
5813:
5811:{\displaystyle L^{p}}
5771:
5751:
5749:{\displaystyle p^{*}}
5724:
5722:{\displaystyle L^{p}}
5697:
5677:
5657:
5637:
5617:
5615:{\displaystyle p^{*}}
5590:
5567:
5498:
5464:
5444:
5442:{\displaystyle L^{p}}
5417:
5372:
5338:
5244:
5050:
4954:is the volume of the
4924:
4773:
4705:
4631:
4352:
4104:
4001:
3922:
3902:
3839:
3704:
3559:
3424:
3325:
3172:Charles B. Morrey Jr.
3122:
2983:
2912:
2747:is the vector-valued
2742:
2719:
2626:
2490:
2404:
2265:
2170:
2144:
2112:
2046:
1872:completely continuous
1862:
1789:
1541:Further information:
1528:
1508:
1488:
1459:
1457:{\displaystyle L^{p}}
1432:
1412:
1392:
1363:
1343:
1323:
1297:
1265:
1227:
1139:
1106:
1002:
859:
848:
846:{\displaystyle L^{p}}
821:
801:
768:
719:
686:
652:
632:
630:{\displaystyle L^{p}}
605:
560:
533:
448:
339:
245:
66:
25:mathematical analysis
7166:Compactness theorems
6857:Kakutani fixed-point
6842:Riesz representation
6572:
6552:"Imbedding theorems"
6075:
6041:
6014:
5983:
5956:
5896:
5869:
5849:
5822:
5795:
5760:
5733:
5706:
5686:
5666:
5646:
5626:
5599:
5579:
5510:
5473:
5453:
5426:
5381:
5361:
5259:
5109:
4984:
4794:
4717:
4656:
4377:
4177:
4147:, such that for all
4021:
3953:
3911:
3877:
3719:
3654:any element in
3574:
3490:
3340:
3278:
3032:
2950:
2804:
2789:, depending only on
2728:
2653:
2512:
2427:
2360:
2303:, Chapter V, §1.3).
2182:
2153:
2121:
2058:
1937:
1918:there is a constant
1801:
1732:
1517:
1497:
1468:
1441:
1421:
1401:
1372:
1352:
1332:
1306:
1277:
1236:
1148:
1122:
1024:
909:
830:
810:
777:
728:
695:
661:
641:
614:
569:
549:
479:
368:
260:
185:
29:Sobolev inequalities
7041:Functional calculus
7000:Mahler's conjecture
6979:Von Neumann algebra
6693:Functional analysis
6507:1958AmJM...80..931N
6476:Maz'ja, Vladimir G.
6209:Selecta Mathematica
5595:tends to infinity,
5575:We can see that as
5235:
5192:
4918:
4299:
4239:
4122:Poincaré inequality
3130:where the constant
2770:Morrey's inequality
2168:{\displaystyle p=1}
1646:sectional curvature
1613:Riemannian manifold
1321:{\displaystyle r=0}
1116:Morrey's inequality
7066:Riemann hypothesis
6765:Topological vector
6585:
6540:NeÄas, J. (2012),
6524:10338.dmlcz/101876
6221:10.1007/BF01671566
6094:
6061:
6027:
5996:
5969:
5938:
5882:
5855:
5835:
5808:
5766:
5746:
5719:
5692:
5672:
5652:
5632:
5612:
5585:
5562:
5493:
5459:
5439:
5412:
5367:
5333:
5239:
5199:
5156:
5045:
4919:
4897:
4768:
4700:
4626:
4347:
4252:
4186:
4116:depending only on
4112:for some constant
4099:
3996:
3917:
3897:
3851:depending only on
3834:
3699:
3694:
3554:
3483:, more precisely:
3437:depending only on
3419:
3320:
3117:
2978:
2907:
2740:{\displaystyle Rf}
2737:
2714:
2621:
2485:
2416:depending only on
2399:
2260:
2165:
2139:
2107:
2041:
1922:depending only on
1857:
1784:
1636:injectivity radius
1523:
1503:
1483:
1454:
1427:
1407:
1387:
1358:
1338:
1318:
1292:
1260:
1222:
1134:
1101:
997:
967:
876:
843:
816:
796:
763:
714:
681:
647:
627:
600:
555:
528:
443:
334:
240:
99:
49:compactly embedded
7143:
7142:
7046:Integral operator
6823:
6822:
6644:, Princeton, NJ:
6450:978-0-8218-4768-8
6384:, Providence RI:
6370:978-0-387-70913-0
6311:978-0-387-90704-8
6252:978-0-12-044150-1
5858:{\displaystyle f}
5787:) and known as a
5769:{\displaystyle p}
5695:{\displaystyle f}
5675:{\displaystyle f}
5655:{\displaystyle n}
5635:{\displaystyle p}
5588:{\displaystyle n}
5462:{\displaystyle f}
5370:{\displaystyle f}
5328:
5315:
5291:
5278:
4999:
4943:
4942:
4837:
4734:
4650:
4649:
4531:
4514:
4421:
4362:Fourier transform
4010:is a function of
3920:{\displaystyle u}
3756:
3682:
3655:
3638:
3626:
3603:
3522:
3315:
3302:
3289:
3012:Hölder continuous
2973:
2606:
2397:
2384:
2371:
1782:
1769:
1756:
1743:
1562:. In particular (
1506:{\displaystyle f}
1430:{\displaystyle k}
1410:{\displaystyle f}
1361:{\displaystyle f}
995:
966:
957:
933:
920:
819:{\displaystyle f}
650:{\displaystyle f}
558:{\displaystyle f}
523:
510:
497:
465:Sobolev conjugate
235:
222:
209:
196:
126:are functions in
7173:
7133:
7132:
7051:Jones polynomial
6969:Operator algebra
6713:
6712:
6686:
6679:
6672:
6663:
6662:
6658:
6643:
6629:
6612:
6594:
6592:
6591:
6586:
6584:
6583:
6564:
6545:
6535:
6526:
6483:
6453:
6429:
6413:(4): 1061â1083,
6398:
6373:
6348:
6322:
6284:
6263:
6233:
6232:
6204:
6198:
6197:
6185:
6179:
6178:
6166:
6160:
6159:
6147:
6141:
6140:
6122:
6103:
6101:
6100:
6095:
6087:
6086:
6070:
6068:
6067:
6062:
6060:
6059:
6058:
6057:
6036:
6034:
6033:
6028:
6026:
6025:
6005:
6003:
6002:
5997:
5995:
5994:
5978:
5976:
5975:
5970:
5968:
5967:
5947:
5945:
5944:
5939:
5937:
5929:
5918:
5917:
5912:
5903:
5891:
5889:
5888:
5883:
5881:
5880:
5864:
5862:
5861:
5856:
5844:
5842:
5841:
5836:
5834:
5833:
5817:
5815:
5814:
5809:
5807:
5806:
5775:
5773:
5772:
5767:
5755:
5753:
5752:
5747:
5745:
5744:
5728:
5726:
5725:
5720:
5718:
5717:
5701:
5699:
5698:
5693:
5681:
5679:
5678:
5673:
5661:
5659:
5658:
5653:
5641:
5639:
5638:
5633:
5621:
5619:
5618:
5613:
5611:
5610:
5594:
5592:
5591:
5586:
5571:
5569:
5568:
5563:
5555:
5541:
5530:
5529:
5520:
5502:
5500:
5499:
5494:
5492:
5491:
5490:
5489:
5468:
5466:
5465:
5460:
5448:
5446:
5445:
5440:
5438:
5437:
5421:
5419:
5418:
5413:
5408:
5407:
5402:
5393:
5392:
5376:
5374:
5373:
5368:
5342:
5340:
5339:
5334:
5329:
5321:
5316:
5308:
5303:
5299:
5292:
5284:
5279:
5271:
5248:
5246:
5245:
5240:
5234:
5229:
5219:
5218:
5191:
5180:
5170:
5169:
5143:
5142:
5132:
5131:
5101:
5089:
5081:
5073:
5067:
5054:
5052:
5051:
5046:
5044:
5043:
5042:
5041:
5018:
5017:
5016:
5015:
5001:
5000:
4992:
4964:
4958:
4953:
4937:
4928:
4926:
4925:
4920:
4917:
4912:
4911:
4910:
4890:
4889:
4880:
4879:
4860:
4859:
4854:
4839:
4838:
4830:
4827:
4822:
4821:
4814:
4806:
4788:
4784:
4777:
4775:
4774:
4769:
4767:
4766:
4765:
4764:
4741:
4736:
4735:
4727:
4724:
4709:
4707:
4706:
4701:
4699:
4698:
4689:
4684:
4683:
4678:
4669:
4644:
4635:
4633:
4632:
4627:
4618:
4617:
4612:
4600:
4595:
4594:
4593:
4592:
4587:
4576:
4575:
4553:
4552:
4547:
4543:
4533:
4532:
4524:
4515:
4513:
4512:
4503:
4502:
4501:
4496:
4487:
4481:
4479:
4478:
4471:
4463:
4443:
4442:
4437:
4433:
4423:
4422:
4414:
4405:
4404:
4397:
4389:
4371:
4367:
4356:
4354:
4353:
4348:
4343:
4342:
4338:
4337:
4332:
4323:
4322:
4298:
4294:
4285:
4281:
4280:
4275:
4266:
4265:
4238:
4234:
4219:
4215:
4214:
4209:
4200:
4199:
4169:
4146:
4119:
4115:
4108:
4106:
4105:
4100:
4095:
4094:
4090:
4089:
4084:
4075:
4074:
4045:
4044:
4009:
4005:
4003:
4002:
3997:
3992:
3991:
3986:
3977:
3976:
3945:
3926:
3924:
3923:
3918:
3907:guarantees that
3906:
3904:
3903:
3898:
3893:
3872:
3868:
3850:
3843:
3841:
3840:
3835:
3830:
3829:
3819:
3818:
3786:
3785:
3775:
3774:
3761:
3757:
3749:
3708:
3706:
3705:
3700:
3698:
3697:
3691:
3683:
3675:
3656:
3653:
3647:
3639:
3631:
3627:
3619:
3608:
3604:
3596:
3563:
3561:
3560:
3555:
3541:
3540:
3527:
3523:
3515:
3478:
3471:
3454:
3450:
3436:
3428:
3426:
3425:
3420:
3418:
3417:
3407:
3406:
3374:
3373:
3363:
3362:
3329:
3327:
3326:
3321:
3316:
3308:
3303:
3295:
3290:
3282:
3270:
3252:
3245:
3235:
3218:
3200:
3196:
3190:
3184:
3169:
3158:
3147:
3143:
3133:
3126:
3124:
3123:
3118:
3116:
3115:
3105:
3104:
3072:
3071:
3061:
3060:
3024:
3017:
3009:
3005:
2987:
2985:
2984:
2979:
2974:
2966:
2942:
2916:
2914:
2913:
2908:
2906:
2905:
2901:
2900:
2895:
2886:
2885:
2853:
2852:
2848:
2847:
2842:
2833:
2832:
2796:
2792:
2788:
2784:
2764:Riesz transforms
2757:Riesz transforms
2746:
2744:
2743:
2738:
2723:
2721:
2720:
2715:
2710:
2709:
2685:
2684:
2679:
2675:
2671:
2670:
2648:
2630:
2628:
2627:
2622:
2617:
2616:
2611:
2607:
2602:
2601:
2600:
2584:
2571:
2567:
2560:
2556:
2543:
2542:
2504:
2494:
2492:
2491:
2486:
2481:
2480:
2459:
2458:
2453:
2449:
2445:
2444:
2419:
2415:
2408:
2406:
2405:
2400:
2398:
2390:
2385:
2377:
2372:
2364:
2352:
2348:
2338:
2328:
2316:
2278:
2269:
2267:
2266:
2261:
2253:
2252:
2247:
2238:
2237:
2236:
2235:
2215:
2214:
2209:
2200:
2199:
2174:
2172:
2171:
2166:
2148:
2146:
2145:
2140:
2116:
2114:
2113:
2108:
2103:
2089:
2078:
2077:
2068:
2050:
2048:
2047:
2042:
2037:
2036:
2032:
2031:
2026:
2017:
2016:
1987:
1986:
1982:
1981:
1976:
1967:
1966:
1965:
1964:
1929:
1925:
1921:
1917:
1902:
1896:
1884:
1866:
1864:
1863:
1858:
1847:
1846:
1819:
1818:
1793:
1791:
1790:
1785:
1783:
1775:
1770:
1762:
1757:
1749:
1744:
1736:
1727:
1713:
1707:
1683:
1672:
1661:
1655:
1643:
1629:
1619:
1607:
1589:
1576:
1561:
1557:
1532:
1530:
1529:
1524:
1512:
1510:
1509:
1504:
1492:
1490:
1489:
1484:
1463:
1461:
1460:
1455:
1453:
1452:
1436:
1434:
1433:
1428:
1416:
1414:
1413:
1408:
1396:
1394:
1393:
1388:
1386:
1385:
1380:
1367:
1365:
1364:
1359:
1347:
1345:
1344:
1339:
1327:
1325:
1324:
1319:
1301:
1299:
1298:
1293:
1269:
1267:
1266:
1261:
1231:
1229:
1228:
1223:
1218:
1217:
1212:
1203:
1202:
1181:
1180:
1175:
1166:
1165:
1143:
1141:
1140:
1135:
1110:
1108:
1107:
1102:
1094:
1093:
1088:
1079:
1078:
1057:
1056:
1051:
1042:
1041:
1016:
1006:
1004:
1003:
998:
996:
988:
968:
964:
958:
953:
942:
934:
926:
921:
913:
901:
891:
869:
852:
850:
849:
844:
842:
841:
825:
823:
822:
817:
805:
803:
802:
797:
789:
788:
772:
770:
769:
764:
759:
748:
747:
738:
723:
721:
720:
715:
707:
706:
690:
688:
687:
682:
680:
679:
678:
677:
656:
654:
653:
648:
636:
634:
633:
628:
626:
625:
609:
607:
606:
601:
596:
595:
590:
581:
580:
564:
562:
561:
556:
537:
535:
534:
529:
524:
516:
511:
503:
498:
496:
495:
483:
471:
461:
452:
450:
449:
444:
439:
438:
433:
424:
423:
422:
421:
401:
400:
395:
386:
385:
360:
353:
343:
341:
340:
335:
330:
329:
324:
315:
314:
293:
292:
287:
278:
277:
249:
247:
246:
241:
236:
228:
223:
215:
210:
202:
197:
189:
177:
165:
155:
145:
137:
133:
125:
120:weak derivatives
117:
111:
96:
90:
86:
80:
72:
7181:
7180:
7176:
7175:
7174:
7172:
7171:
7170:
7146:
7145:
7144:
7139:
7121:
7085:Advanced topics
7080:
7004:
6983:
6942:
6908:HilbertâSchmidt
6881:
6872:GelfandâNaimark
6819:
6769:
6704:
6690:
6656:
6619:10.4171/rmi/937
6579:
6575:
6573:
6570:
6569:
6549:
6515:10.2307/2372841
6474:
6451:
6432:
6419:10.2307/2373688
6396:
6378:Evans, Lawrence
6376:
6371:
6346:
6326:
6312:
6294:Springer-Verlag
6253:
6237:
6236:
6205:
6201:
6186:
6182:
6167:
6163:
6148:
6144:
6137:
6123:
6119:
6114:
6082:
6078:
6076:
6073:
6072:
6053:
6049:
6048:
6044:
6042:
6039:
6038:
6021:
6017:
6015:
6012:
6011:
5990:
5986:
5984:
5981:
5980:
5963:
5959:
5957:
5954:
5953:
5933:
5925:
5913:
5908:
5907:
5899:
5897:
5894:
5893:
5876:
5872:
5870:
5867:
5866:
5850:
5847:
5846:
5829:
5825:
5823:
5820:
5819:
5802:
5798:
5796:
5793:
5792:
5761:
5758:
5757:
5740:
5736:
5734:
5731:
5730:
5713:
5709:
5707:
5704:
5703:
5687:
5684:
5683:
5667:
5664:
5663:
5647:
5644:
5643:
5627:
5624:
5623:
5606:
5602:
5600:
5597:
5596:
5580:
5577:
5576:
5551:
5537:
5525:
5521:
5516:
5511:
5508:
5507:
5485:
5481:
5480:
5476:
5474:
5471:
5470:
5454:
5451:
5450:
5433:
5429:
5427:
5424:
5423:
5403:
5398:
5397:
5388:
5384:
5382:
5379:
5378:
5362:
5359:
5358:
5355:
5349:
5320:
5307:
5283:
5270:
5269:
5265:
5260:
5257:
5256:
5230:
5208:
5204:
5203:
5181:
5165:
5161:
5160:
5127:
5123:
5122:
5118:
5110:
5107:
5106:
5091:
5083:
5079:
5069:
5062:
5037:
5033:
5032:
5028:
5011:
5007:
5006:
5002:
4991:
4990:
4985:
4982:
4981:
4962:
4956:
4951:
4946:
4913:
4906:
4902:
4901:
4885:
4881:
4875:
4871:
4855:
4850:
4849:
4829:
4828:
4823:
4810:
4802:
4801:
4797:
4795:
4792:
4791:
4782:
4760:
4756:
4755:
4751:
4737:
4726:
4725:
4720:
4718:
4715:
4714:
4694:
4690:
4685:
4679:
4674:
4673:
4665:
4657:
4654:
4653:
4613:
4608:
4607:
4596:
4588:
4583:
4582:
4581:
4577:
4568:
4564:
4548:
4523:
4522:
4521:
4517:
4516:
4508:
4504:
4497:
4492:
4491:
4483:
4482:
4480:
4467:
4459:
4458:
4454:
4438:
4413:
4412:
4411:
4407:
4406:
4393:
4385:
4384:
4380:
4378:
4375:
4374:
4365:
4333:
4328:
4327:
4318:
4314:
4313:
4309:
4290:
4286:
4276:
4271:
4270:
4261:
4257:
4256:
4230:
4220:
4210:
4205:
4204:
4195:
4191:
4190:
4178:
4175:
4174:
4148:
4141:
4130:
4128:Nash inequality
4117:
4113:
4085:
4080:
4079:
4070:
4066:
4065:
4061:
4034:
4030:
4022:
4019:
4018:
4007:
3987:
3982:
3981:
3966:
3962:
3954:
3951:
3950:
3947:
3932:
3912:
3909:
3908:
3889:
3878:
3875:
3874:
3870:
3852:
3848:
3808:
3804:
3803:
3799:
3748:
3744:
3737:
3733:
3732:
3728:
3720:
3717:
3716:
3693:
3692:
3687:
3674:
3672:
3652:
3649:
3648:
3643:
3630:
3628:
3618:
3595:
3591:
3584:
3583:
3575:
3572:
3571:
3514:
3510:
3503:
3499:
3491:
3488:
3487:
3476:
3473:
3459:
3452:
3438:
3434:
3396:
3392:
3391:
3387:
3358:
3354:
3353:
3349:
3341:
3338:
3337:
3307:
3294:
3281:
3279:
3276:
3275:
3257:
3254:
3247:
3237:
3223:
3205:
3198:
3192:
3186:
3182:
3179:
3160:
3149:
3145:
3135:
3134:depends now on
3131:
3094:
3090:
3089:
3085:
3050:
3046:
3045:
3041:
3033:
3030:
3029:
3022:
3015:
3007:
2992:
2965:
2951:
2948:
2947:
2921:
2896:
2891:
2890:
2875:
2871:
2870:
2866:
2843:
2838:
2837:
2822:
2818:
2817:
2813:
2805:
2802:
2801:
2794:
2790:
2786:
2775:
2772:
2749:Riesz transform
2729:
2726:
2725:
2705:
2701:
2680:
2666:
2662:
2661:
2657:
2656:
2654:
2651:
2650:
2635:
2612:
2596:
2592:
2585:
2583:
2579:
2578:
2538:
2534:
2533:
2529:
2522:
2518:
2513:
2510:
2509:
2499:
2476:
2472:
2454:
2440:
2436:
2435:
2431:
2430:
2428:
2425:
2424:
2417:
2413:
2389:
2376:
2363:
2361:
2358:
2357:
2350:
2344:
2341:Riesz potential
2335:
2330:
2318:
2307:
2285:
2274:
2248:
2243:
2242:
2231:
2227:
2226:
2222:
2210:
2205:
2204:
2189:
2185:
2183:
2180:
2179:
2154:
2151:
2150:
2122:
2119:
2118:
2099:
2085:
2073:
2069:
2064:
2059:
2056:
2055:
2027:
2022:
2021:
2012:
2008:
2007:
2003:
1977:
1972:
1971:
1960:
1956:
1955:
1951:
1950:
1946:
1938:
1935:
1934:
1927:
1923:
1919:
1908:
1905:compact support
1898:
1894:
1891:
1875:
1836:
1832:
1808:
1804:
1802:
1799:
1798:
1774:
1761:
1748:
1735:
1733:
1730:
1729:
1719:
1718:states that if
1709:
1703:
1700:
1694:
1674:
1663:
1657:
1653:
1638:
1627:
1617:
1605:
1585:
1574:
1559:
1548:
1545:
1539:
1537:Generalizations
1518:
1515:
1514:
1498:
1495:
1494:
1469:
1466:
1465:
1448:
1444:
1442:
1439:
1438:
1437:derivatives in
1422:
1419:
1418:
1402:
1399:
1398:
1381:
1376:
1375:
1373:
1370:
1369:
1353:
1350:
1349:
1333:
1330:
1329:
1307:
1304:
1303:
1278:
1275:
1274:
1237:
1234:
1233:
1213:
1208:
1207:
1192:
1188:
1176:
1171:
1170:
1155:
1151:
1149:
1146:
1145:
1123:
1120:
1119:
1089:
1084:
1083:
1068:
1064:
1052:
1047:
1046:
1031:
1027:
1025:
1022:
1021:
1011:
987:
962:
943:
941:
925:
912:
910:
907:
906:
893:
882:
865:
837:
833:
831:
828:
827:
811:
808:
807:
784:
780:
778:
775:
774:
755:
743:
739:
734:
729:
726:
725:
702:
698:
696:
693:
692:
673:
669:
668:
664:
662:
659:
658:
642:
639:
638:
621:
617:
615:
612:
611:
591:
586:
585:
576:
572:
570:
567:
566:
550:
547:
546:
515:
502:
491:
487:
482:
480:
477:
476:
469:
457:
434:
429:
428:
417:
413:
412:
408:
396:
391:
390:
375:
371:
369:
366:
365:
355:
348:
325:
320:
319:
304:
300:
288:
283:
282:
267:
263:
261:
258:
257:
227:
214:
201:
188:
186:
183:
182:
167:
157:
147:
139:
135:
127:
123:
113:
102:
92:
88:
82:
74:
68:
61:
17:
12:
11:
5:
7179:
7169:
7168:
7163:
7161:Sobolev spaces
7158:
7141:
7140:
7138:
7137:
7126:
7123:
7122:
7120:
7119:
7114:
7109:
7104:
7102:Choquet theory
7099:
7094:
7088:
7086:
7082:
7081:
7079:
7078:
7068:
7063:
7058:
7053:
7048:
7043:
7038:
7033:
7028:
7023:
7018:
7012:
7010:
7006:
7005:
7003:
7002:
6997:
6991:
6989:
6985:
6984:
6982:
6981:
6976:
6971:
6966:
6961:
6956:
6954:Banach algebra
6950:
6948:
6944:
6943:
6941:
6940:
6935:
6930:
6925:
6920:
6915:
6910:
6905:
6900:
6895:
6889:
6887:
6883:
6882:
6880:
6879:
6877:BanachâAlaoglu
6874:
6869:
6864:
6859:
6854:
6849:
6844:
6839:
6833:
6831:
6825:
6824:
6821:
6820:
6818:
6817:
6812:
6807:
6805:Locally convex
6802:
6788:
6783:
6777:
6775:
6771:
6770:
6768:
6767:
6762:
6757:
6752:
6747:
6742:
6737:
6732:
6727:
6722:
6716:
6710:
6706:
6705:
6689:
6688:
6681:
6674:
6666:
6660:
6659:
6654:
6630:
6603:(1): 291â304,
6582:
6578:
6565:
6547:
6537:
6501:(4): 931â954,
6485:
6480:Sobolev Spaces
6472:
6449:
6430:
6403:Gross, Leonard
6399:
6394:
6374:
6369:
6349:
6344:
6324:
6310:
6285:
6276:(2): 149â173,
6265:
6251:
6243:Sobolev Spaces
6235:
6234:
6215:(2): 197â263.
6199:
6180:
6161:
6142:
6135:
6116:
6115:
6113:
6110:
6093:
6090:
6085:
6081:
6056:
6052:
6047:
6024:
6020:
6008:Dirichlet form
5993:
5989:
5966:
5962:
5936:
5932:
5928:
5924:
5921:
5916:
5911:
5906:
5902:
5879:
5875:
5854:
5832:
5828:
5805:
5801:
5765:
5743:
5739:
5716:
5712:
5691:
5671:
5651:
5631:
5609:
5605:
5584:
5573:
5572:
5561:
5558:
5554:
5550:
5547:
5544:
5540:
5536:
5533:
5528:
5524:
5519:
5515:
5488:
5484:
5479:
5458:
5436:
5432:
5411:
5406:
5401:
5396:
5391:
5387:
5366:
5351:Main article:
5348:
5345:
5344:
5343:
5332:
5327:
5324:
5319:
5314:
5311:
5306:
5302:
5298:
5295:
5290:
5287:
5282:
5277:
5274:
5268:
5264:
5250:
5249:
5238:
5233:
5228:
5225:
5222:
5217:
5214:
5211:
5207:
5202:
5198:
5195:
5190:
5187:
5184:
5179:
5176:
5173:
5168:
5164:
5159:
5155:
5152:
5149:
5146:
5141:
5138:
5135:
5130:
5126:
5121:
5117:
5114:
5056:
5055:
5040:
5036:
5031:
5027:
5024:
5021:
5014:
5010:
5005:
4998:
4995:
4989:
4949:
4941:
4940:
4931:
4929:
4916:
4909:
4905:
4900:
4896:
4893:
4888:
4884:
4878:
4874:
4870:
4867:
4864:
4858:
4853:
4848:
4845:
4842:
4836:
4833:
4826:
4820:
4817:
4813:
4809:
4805:
4800:
4779:
4778:
4763:
4759:
4754:
4750:
4747:
4744:
4740:
4733:
4730:
4723:
4697:
4693:
4688:
4682:
4677:
4672:
4668:
4664:
4661:
4648:
4647:
4638:
4636:
4625:
4622:
4616:
4611:
4606:
4603:
4599:
4591:
4586:
4580:
4574:
4571:
4567:
4563:
4560:
4557:
4551:
4546:
4542:
4539:
4536:
4530:
4527:
4520:
4511:
4507:
4500:
4495:
4490:
4486:
4477:
4474:
4470:
4466:
4462:
4457:
4453:
4450:
4447:
4441:
4436:
4432:
4429:
4426:
4420:
4417:
4410:
4403:
4400:
4396:
4392:
4388:
4383:
4358:
4357:
4346:
4341:
4336:
4331:
4326:
4321:
4317:
4312:
4308:
4305:
4302:
4297:
4293:
4289:
4284:
4279:
4274:
4269:
4264:
4260:
4255:
4251:
4248:
4245:
4242:
4237:
4233:
4229:
4226:
4223:
4218:
4213:
4208:
4203:
4198:
4194:
4189:
4185:
4182:
4129:
4126:
4110:
4109:
4098:
4093:
4088:
4083:
4078:
4073:
4069:
4064:
4060:
4057:
4054:
4051:
4048:
4043:
4040:
4037:
4033:
4029:
4026:
3995:
3990:
3985:
3980:
3975:
3972:
3969:
3965:
3961:
3958:
3946:
3929:
3916:
3896:
3892:
3888:
3885:
3882:
3845:
3844:
3833:
3828:
3825:
3822:
3817:
3814:
3811:
3807:
3802:
3798:
3795:
3792:
3789:
3784:
3781:
3778:
3773:
3770:
3767:
3764:
3760:
3755:
3752:
3747:
3743:
3740:
3736:
3731:
3727:
3724:
3710:
3709:
3696:
3690:
3686:
3681:
3678:
3673:
3671:
3668:
3665:
3662:
3659:
3651:
3650:
3646:
3642:
3637:
3634:
3629:
3625:
3622:
3617:
3614:
3611:
3607:
3602:
3599:
3594:
3590:
3589:
3587:
3582:
3579:
3565:
3564:
3553:
3550:
3547:
3544:
3539:
3536:
3533:
3530:
3526:
3521:
3518:
3513:
3509:
3506:
3502:
3498:
3495:
3472:
3457:
3431:
3430:
3416:
3413:
3410:
3405:
3402:
3399:
3395:
3390:
3386:
3383:
3380:
3377:
3372:
3369:
3366:
3361:
3357:
3352:
3348:
3345:
3331:
3330:
3319:
3314:
3311:
3306:
3301:
3298:
3293:
3288:
3285:
3253:
3221:
3178:
3175:
3128:
3127:
3114:
3111:
3108:
3103:
3100:
3097:
3093:
3088:
3084:
3081:
3078:
3075:
3070:
3067:
3064:
3059:
3056:
3053:
3049:
3044:
3040:
3037:
2989:
2988:
2977:
2972:
2969:
2964:
2961:
2958:
2955:
2918:
2917:
2904:
2899:
2894:
2889:
2884:
2881:
2878:
2874:
2869:
2865:
2862:
2859:
2856:
2851:
2846:
2841:
2836:
2831:
2828:
2825:
2821:
2816:
2812:
2809:
2771:
2768:
2736:
2733:
2713:
2708:
2704:
2700:
2697:
2694:
2691:
2688:
2683:
2678:
2674:
2669:
2665:
2660:
2632:
2631:
2620:
2615:
2610:
2605:
2599:
2595:
2591:
2588:
2582:
2577:
2574:
2570:
2566:
2563:
2559:
2555:
2552:
2549:
2546:
2541:
2537:
2532:
2528:
2525:
2521:
2517:
2496:
2495:
2484:
2479:
2475:
2471:
2468:
2465:
2462:
2457:
2452:
2448:
2443:
2439:
2434:
2410:
2409:
2396:
2393:
2388:
2383:
2380:
2375:
2370:
2367:
2333:
2284:
2281:
2271:
2270:
2259:
2256:
2251:
2246:
2241:
2234:
2230:
2225:
2221:
2218:
2213:
2208:
2203:
2198:
2195:
2192:
2188:
2164:
2161:
2158:
2138:
2135:
2132:
2129:
2126:
2106:
2102:
2098:
2095:
2092:
2088:
2084:
2081:
2076:
2072:
2067:
2063:
2052:
2051:
2040:
2035:
2030:
2025:
2020:
2015:
2011:
2006:
2002:
1999:
1996:
1993:
1990:
1985:
1980:
1975:
1970:
1963:
1959:
1954:
1949:
1945:
1942:
1890:
1887:
1868:
1867:
1856:
1853:
1850:
1845:
1842:
1839:
1835:
1831:
1828:
1825:
1822:
1817:
1814:
1811:
1807:
1781:
1778:
1773:
1768:
1765:
1760:
1755:
1752:
1747:
1742:
1739:
1714:boundary, the
1696:Main article:
1693:
1690:
1650:
1649:
1625:
1615:
1603:
1602:, Theorem 5.4)
1596:cone condition
1538:
1535:
1522:
1502:
1482:
1479:
1476:
1473:
1451:
1447:
1426:
1406:
1384:
1379:
1357:
1337:
1317:
1314:
1311:
1291:
1288:
1285:
1282:
1259:
1256:
1253:
1250:
1247:
1244:
1241:
1221:
1216:
1211:
1206:
1201:
1198:
1195:
1191:
1187:
1184:
1179:
1174:
1169:
1164:
1161:
1158:
1154:
1133:
1130:
1127:
1112:
1111:
1100:
1097:
1092:
1087:
1082:
1077:
1074:
1071:
1067:
1063:
1060:
1055:
1050:
1045:
1040:
1037:
1034:
1030:
1008:
1007:
994:
991:
986:
983:
980:
977:
974:
971:
961:
956:
952:
949:
946:
940:
937:
932:
929:
924:
919:
916:
840:
836:
815:
795:
792:
787:
783:
762:
758:
754:
751:
746:
742:
737:
733:
713:
710:
705:
701:
676:
672:
667:
646:
624:
620:
599:
594:
589:
584:
579:
575:
554:
539:
538:
527:
522:
519:
514:
509:
506:
501:
494:
490:
486:
454:
453:
442:
437:
432:
427:
420:
416:
411:
407:
404:
399:
394:
389:
384:
381:
378:
374:
345:
344:
333:
328:
323:
318:
313:
310:
307:
303:
299:
296:
291:
286:
281:
276:
273:
270:
266:
251:
250:
239:
234:
231:
226:
221:
218:
213:
208:
205:
200:
195:
192:
60:
57:
41:Sobolev spaces
33:Sobolev spaces
23:, there is in
15:
9:
6:
4:
3:
2:
7178:
7167:
7164:
7162:
7159:
7157:
7154:
7153:
7151:
7136:
7128:
7127:
7124:
7118:
7115:
7113:
7110:
7108:
7107:Weak topology
7105:
7103:
7100:
7098:
7095:
7093:
7090:
7089:
7087:
7083:
7076:
7072:
7069:
7067:
7064:
7062:
7059:
7057:
7054:
7052:
7049:
7047:
7044:
7042:
7039:
7037:
7034:
7032:
7031:Index theorem
7029:
7027:
7024:
7022:
7019:
7017:
7014:
7013:
7011:
7007:
7001:
6998:
6996:
6993:
6992:
6990:
6988:Open problems
6986:
6980:
6977:
6975:
6972:
6970:
6967:
6965:
6962:
6960:
6957:
6955:
6952:
6951:
6949:
6945:
6939:
6936:
6934:
6931:
6929:
6926:
6924:
6921:
6919:
6916:
6914:
6911:
6909:
6906:
6904:
6901:
6899:
6896:
6894:
6891:
6890:
6888:
6884:
6878:
6875:
6873:
6870:
6868:
6865:
6863:
6860:
6858:
6855:
6853:
6850:
6848:
6845:
6843:
6840:
6838:
6835:
6834:
6832:
6830:
6826:
6816:
6813:
6811:
6808:
6806:
6803:
6800:
6796:
6792:
6789:
6787:
6784:
6782:
6779:
6778:
6776:
6772:
6766:
6763:
6761:
6758:
6756:
6753:
6751:
6748:
6746:
6743:
6741:
6738:
6736:
6733:
6731:
6728:
6726:
6723:
6721:
6718:
6717:
6714:
6711:
6707:
6702:
6698:
6694:
6687:
6682:
6680:
6675:
6673:
6668:
6667:
6664:
6657:
6655:0-691-08079-8
6651:
6647:
6642:
6641:
6635:
6631:
6628:
6624:
6620:
6616:
6611:
6606:
6602:
6598:
6580:
6576:
6566:
6563:
6559:
6558:
6553:
6548:
6543:
6538:
6534:
6530:
6525:
6520:
6516:
6512:
6508:
6504:
6500:
6496:
6495:
6490:
6486:
6481:
6477:
6473:
6471:
6467:
6463:
6459:
6456:
6452:
6446:
6442:
6438:
6437:
6431:
6428:
6424:
6420:
6416:
6412:
6408:
6404:
6400:
6397:
6395:0-8218-0772-2
6391:
6387:
6383:
6379:
6375:
6372:
6366:
6362:
6358:
6354:
6350:
6347:
6345:0-8218-0772-2
6341:
6337:
6333:
6329:
6325:
6321:
6317:
6313:
6307:
6303:
6299:
6295:
6291:
6286:
6283:
6279:
6275:
6271:
6266:
6262:
6258:
6254:
6248:
6244:
6239:
6238:
6230:
6226:
6222:
6218:
6214:
6210:
6203:
6195:
6191:
6184:
6176:
6172:
6165:
6157:
6153:
6146:
6138:
6136:0-387-94653-5
6132:
6128:
6121:
6117:
6109:
6107:
6091:
6088:
6083:
6079:
6054:
6050:
6045:
6022:
6018:
6009:
5991:
5987:
5964:
5960:
5950:
5930:
5922:
5919:
5914:
5904:
5877:
5873:
5852:
5830:
5826:
5803:
5799:
5790:
5786:
5782:
5781:Leonard Gross
5777:
5763:
5741:
5737:
5714:
5710:
5689:
5669:
5649:
5629:
5607:
5603:
5582:
5559:
5556:
5552:
5548:
5545:
5542:
5538:
5534:
5531:
5526:
5522:
5517:
5513:
5506:
5505:
5504:
5486:
5482:
5477:
5469:itself is in
5456:
5434:
5430:
5404:
5389:
5385:
5364:
5354:
5330:
5325:
5322:
5317:
5312:
5309:
5304:
5300:
5296:
5293:
5288:
5285:
5280:
5275:
5272:
5266:
5262:
5255:
5254:
5253:
5236:
5231:
5223:
5215:
5212:
5209:
5205:
5196:
5188:
5185:
5182:
5174:
5166:
5162:
5153:
5147:
5144:
5136:
5128:
5124:
5115:
5105:
5104:
5103:
5099:
5095:
5087:
5077:
5072:
5065:
5059:
5038:
5034:
5025:
5019:
5012:
5008:
4993:
4980:
4979:
4978:
4976:
4975:
4970:
4969:
4960:
4952:
4939:
4932:
4930:
4914:
4907:
4903:
4894:
4886:
4882:
4876:
4872:
4868:
4865:
4862:
4856:
4843:
4831:
4818:
4815:
4807:
4798:
4790:
4789:
4786:
4761:
4757:
4748:
4742:
4728:
4713:
4712:
4711:
4695:
4691:
4686:
4680:
4670:
4662:
4659:
4646:
4639:
4637:
4623:
4620:
4614:
4604:
4601:
4589:
4578:
4572:
4569:
4565:
4561:
4558:
4555:
4549:
4544:
4537:
4525:
4518:
4509:
4505:
4498:
4488:
4475:
4472:
4464:
4455:
4451:
4448:
4445:
4439:
4434:
4427:
4415:
4408:
4401:
4398:
4390:
4381:
4373:
4372:
4369:
4363:
4344:
4334:
4319:
4315:
4306:
4303:
4295:
4291:
4287:
4277:
4262:
4258:
4249:
4243:
4240:
4235:
4231:
4227:
4224:
4221:
4211:
4196:
4192:
4183:
4173:
4172:
4171:
4167:
4163:
4159:
4155:
4151:
4144:
4139:
4135:
4134:John Nash
4125:
4123:
4096:
4086:
4071:
4067:
4058:
4055:
4049:
4046:
4041:
4038:
4035:
4027:
4017:
4016:
4015:
4013:
3988:
3973:
3970:
3967:
3963:
3959:
3956:
3943:
3939:
3935:
3928:
3914:
3894:
3890:
3886:
3883:
3880:
3867:
3863:
3859:
3855:
3847:the constant
3831:
3823:
3815:
3812:
3809:
3805:
3796:
3790:
3787:
3779:
3771:
3768:
3765:
3762:
3758:
3753:
3750:
3745:
3741:
3738:
3734:
3725:
3715:
3714:
3713:
3684:
3679:
3676:
3666:
3663:
3660:
3640:
3635:
3632:
3623:
3620:
3615:
3612:
3609:
3605:
3600:
3597:
3592:
3585:
3580:
3577:
3570:
3569:
3568:
3551:
3545:
3537:
3534:
3531:
3528:
3524:
3519:
3516:
3511:
3507:
3504:
3500:
3496:
3493:
3486:
3485:
3484:
3482:
3479:belongs to a
3470:
3466:
3462:
3456:
3449:
3445:
3441:
3433:the constant
3411:
3403:
3400:
3397:
3393:
3384:
3378:
3375:
3367:
3359:
3355:
3346:
3336:
3335:
3334:
3317:
3312:
3309:
3304:
3299:
3296:
3291:
3286:
3283:
3274:
3273:
3272:
3268:
3264:
3260:
3250:
3244:
3240:
3234:
3230:
3226:
3220:
3216:
3212:
3208:
3202:
3195:
3189:
3174:
3173:
3167:
3163:
3156:
3152:
3142:
3138:
3109:
3101:
3098:
3095:
3091:
3082:
3076:
3073:
3065:
3057:
3054:
3051:
3047:
3038:
3028:
3027:
3026:
3019:
3013:
3003:
2999:
2995:
2975:
2970:
2967:
2962:
2959:
2956:
2953:
2946:
2945:
2944:
2940:
2936:
2932:
2928:
2924:
2897:
2882:
2879:
2876:
2872:
2863:
2857:
2854:
2844:
2829:
2826:
2823:
2819:
2810:
2800:
2799:
2798:
2782:
2778:
2767:
2765:
2760:
2758:
2754:
2750:
2734:
2731:
2711:
2706:
2698:
2695:
2689:
2686:
2681:
2672:
2667:
2663:
2647:
2643:
2639:
2618:
2613:
2608:
2603:
2597:
2589:
2580:
2575:
2572:
2568:
2564:
2561:
2557:
2550:
2544:
2539:
2535:
2530:
2526:
2523:
2519:
2515:
2508:
2507:
2506:
2502:
2482:
2477:
2469:
2463:
2460:
2455:
2446:
2441:
2437:
2423:
2422:
2421:
2394:
2391:
2386:
2381:
2378:
2373:
2368:
2365:
2356:
2355:
2354:
2349:. Then, for
2347:
2342:
2336:
2326:
2322:
2315:
2311:
2304:
2302:
2298:
2294:
2293:Sobolev lemma
2290:
2280:
2277:
2257:
2249:
2232:
2228:
2223:
2219:
2211:
2196:
2193:
2190:
2186:
2178:
2177:
2176:
2162:
2159:
2156:
2136:
2133:
2130:
2127:
2124:
2104:
2100:
2096:
2093:
2090:
2086:
2082:
2079:
2074:
2070:
2065:
2061:
2038:
2028:
2013:
2009:
2000:
1997:
1991:
1988:
1978:
1961:
1957:
1952:
1943:
1933:
1932:
1931:
1916:
1912:
1906:
1901:
1886:
1882:
1878:
1873:
1851:
1843:
1840:
1837:
1833:
1829:
1823:
1815:
1812:
1809:
1805:
1797:
1796:
1795:
1779:
1776:
1771:
1766:
1763:
1758:
1753:
1750:
1745:
1740:
1737:
1726:
1722:
1717:
1712:
1706:
1699:
1689:
1687:
1681:
1677:
1670:
1666:
1660:
1647:
1641:
1637:
1633:
1626:
1623:
1616:
1614:
1611:
1604:
1601:
1597:
1593:
1588:
1583:
1580:
1573:
1572:
1571:
1569:
1566:, Chapter 2;
1565:
1555:
1551:
1544:
1534:
1520:
1500:
1480:
1477:
1474:
1471:
1449:
1445:
1424:
1404:
1382:
1355:
1335:
1315:
1312:
1309:
1289:
1286:
1283:
1280:
1271:
1254:
1251:
1248:
1242:
1239:
1214:
1199:
1196:
1193:
1189:
1185:
1177:
1162:
1159:
1156:
1152:
1131:
1128:
1125:
1117:
1098:
1090:
1075:
1072:
1069:
1065:
1061:
1053:
1038:
1035:
1032:
1028:
1020:
1019:
1018:
1014:
992:
989:
984:
981:
978:
975:
972:
969:
959:
954:
950:
947:
944:
938:
935:
930:
927:
922:
917:
914:
905:
904:
903:
900:
896:
889:
885:
881:
880:Hölder spaces
873:
868:
863:
858:
854:
838:
834:
813:
793:
790:
785:
781:
760:
756:
752:
749:
744:
740:
735:
731:
724:. (Note that
711:
708:
703:
699:
674:
670:
665:
644:
622:
618:
592:
577:
573:
552:
544:
525:
520:
517:
512:
507:
504:
499:
492:
488:
484:
475:
474:
473:
467:
466:
460:
435:
418:
414:
409:
405:
397:
382:
379:
376:
372:
364:
363:
362:
358:
351:
326:
311:
308:
305:
301:
297:
289:
274:
271:
268:
264:
256:
255:
254:
237:
232:
229:
224:
219:
216:
211:
206:
203:
198:
193:
190:
181:
180:
179:
175:
171:
164:
160:
154:
150:
143:
132:
131:
121:
116:
109:
105:
95:
85:
78:
71:
65:
56:
54:
50:
46:
42:
38:
34:
30:
26:
22:
7156:Inequalities
7097:Balanced set
7071:Distribution
7009:Applications
6862:KreinâMilman
6847:Closed graph
6639:
6634:Stein, Elias
6600:
6596:
6555:
6541:
6498:
6492:
6479:
6435:
6410:
6406:
6381:
6356:
6353:Brezis, HaĂŻm
6331:
6328:Brezis, HaĂŻm
6289:
6273:
6272:, 2e SĂ©rie,
6269:
6242:
6212:
6208:
6202:
6193:
6189:
6183:
6174:
6170:
6164:
6155:
6151:
6145:
6126:
6120:
6108:Theorem 6).
5951:
5778:
5574:
5356:
5251:
5097:
5093:
5085:
5070:
5063:
5060:
5057:
4972:
4966:
4961:. Choosing
4947:
4944:
4933:
4780:
4651:
4640:
4359:
4165:
4161:
4157:
4153:
4149:
4142:
4131:
4111:
3948:
3941:
3937:
3933:
3865:
3861:
3857:
3853:
3846:
3711:
3566:
3481:Hölder space
3474:
3468:
3464:
3460:
3447:
3443:
3439:
3432:
3332:
3266:
3262:
3258:
3255:
3248:
3242:
3238:
3232:
3228:
3224:
3214:
3210:
3206:
3203:
3193:
3187:
3180:
3165:
3161:
3154:
3150:
3140:
3136:
3129:
3020:
3014:of exponent
3001:
2997:
2993:
2990:
2938:
2934:
2930:
2926:
2922:
2919:
2797:, such that
2780:
2776:
2773:
2761:
2645:
2641:
2637:
2633:
2500:
2497:
2411:
2345:
2331:
2324:
2320:
2313:
2309:
2305:
2292:
2286:
2275:
2272:
2053:
1914:
1910:
1899:
1893:Assume that
1892:
1880:
1876:
1869:
1724:
1720:
1715:
1710:
1704:
1701:
1679:
1675:
1668:
1664:
1658:
1651:
1644:and bounded
1639:
1586:
1553:
1549:
1546:
1543:SouÄek space
1272:
1113:
1012:
1009:
898:
894:
887:
883:
877:
871:
866:
861:
540:
463:
458:
455:
356:
349:
346:
252:
173:
169:
162:
158:
152:
148:
141:
129:
122:up to order
114:
107:
103:
100:
93:
83:
76:
69:
36:
28:
18:
7026:Heat kernel
7016:Hardy space
6923:Trace class
6837:HahnâBanach
6799:Topological
5622:approaches
5076:Brezis 2011
3197:boundary. (
3010:is in fact
2353:defined by
2117:. The case
1907:. Then for
472:, given by
27:a class of
21:mathematics
7150:Categories
6959:C*-algebra
6774:Properties
6470:MAA review
6466:1180.46001
6196:: 115â162.
6177:: 102â137.
6112:References
6106:Gross 1975
5785:Gross 1975
5729:is small (
2751:, c.f. (
2420:such that
2301:Stein 1970
2297:Aubin 1982
1930:such that
1909:1 ≤
1686:NeÄas 2012
1600:Adams 1975
1568:Aubin 1976
1564:Aubin 1982
1232:for every
773:, so that
43:, and the
6933:Unbounded
6928:Transpose
6886:Operators
6815:Separable
6810:Reflexive
6795:Algebraic
6781:Barrelled
6610:1411.2318
6562:EMS Press
6334:, Paris:
6229:195270732
6084:∗
6071:for some
6055:∗
5923:
5742:∗
5608:∗
5546:−
5527:∗
5487:∗
5318:−
5281:−
5201:‖
5194:‖
5186:−
5158:‖
5151:‖
5145:≤
5120:‖
5113:‖
5030:‖
5023:‖
5004:‖
4997:^
4988:‖
4899:‖
4892:‖
4883:ω
4873:ρ
4869:≤
4835:^
4819:ρ
4816:≤
4799:∫
4753:‖
4746:‖
4743:≤
4732:^
4692:ρ
4663:≤
4579:∫
4570:−
4566:ρ
4562:≤
4529:^
4506:ρ
4476:ρ
4473:≥
4456:∫
4452:≤
4419:^
4402:ρ
4399:≥
4382:∫
4311:‖
4301:‖
4254:‖
4247:‖
4241:≤
4188:‖
4181:‖
4063:‖
4053:‖
4047:≤
4032:‖
4025:‖
3960:∈
3801:‖
3794:‖
3788:≤
3772:γ
3763:−
3742:−
3730:‖
3723:‖
3685:∈
3641:∉
3616:−
3578:γ
3538:γ
3529:−
3508:−
3497:∈
3389:‖
3382:‖
3376:≤
3351:‖
3344:‖
3305:−
3191:, with a
3087:‖
3080:‖
3074:≤
3058:γ
3043:‖
3036:‖
2963:−
2954:γ
2868:‖
2861:‖
2855:≤
2830:γ
2815:‖
2808:‖
2703:‖
2693:‖
2687:≤
2668:α
2604:λ
2594:‖
2587:‖
2573:≤
2565:λ
2540:α
2474:‖
2467:‖
2461:≤
2442:α
2392:α
2387:−
2233:∗
2220:⊂
2094:−
2075:∗
2005:‖
1995:‖
1989:≤
1962:∗
1948:‖
1941:‖
1838:ℓ
1830:⊂
1777:ℓ
1772:−
1746:−
1592:Lipschitz
1521:α
1336:α
1243:∈
1240:γ
1200:γ
1186:⊂
1126:α
1076:α
1062:⊂
985:−
976:α
951:α
939:−
923:−
862:s = r + α
786:∗
745:∗
704:∗
675:∗
513:−
493:∗
419:∗
406:⊆
306:ℓ
298:⊆
230:ℓ
225:−
199:−
7135:Category
6947:Algebras
6829:Theorems
6786:Complete
6755:Schwartz
6701:glossary
6636:(1970),
6627:55497245
6489:Nash, J.
6478:(1985),
6380:(1998),
6355:(2011),
6330:(1983),
5503:, where
5090:and all
4652:because
3271:, where
2991:Thus if
2943:, where
2920:for all
2677:‖
2659:‖
2451:‖
2433:‖
1632:complete
1582:open set
1015:â (0, 1)
134:. Here
6938:Unitary
6918:Nuclear
6903:Compact
6898:Bounded
6893:Adjoint
6867:Minâmax
6760:Sobolev
6745:Nuclear
6735:Hilbert
6730:Fréchet
6695: (
6533:2372841
6503:Bibcode
6458:2527916
6427:2373688
6320:0681859
6282:0488125
6261:0450957
5865:is in "
5845:, then
5449:, then
5252:where:
4971:) and (
4136: (
4006:, then
3204:Assume
3006:, then
2774:Assume
2339:be the
2329:. Let
2319:1 <
2308:0 <
1610:compact
1579:bounded
1493:, then
872:optimal
637:, then
462:is the
6913:Normal
6750:Orlicz
6740:Hölder
6720:Banach
6709:Spaces
6697:topics
6652:
6625:
6531:
6464:
6447:
6425:
6392:
6367:
6342:
6336:Masson
6318:
6308:
6280:
6259:
6249:
6227:
6158:: 5â9.
6133:
5100:< â
5088:< â
4945:where
4785:gives
4145:> 0
3869:, and
3567:where
3451:, and
2724:where
2640:= 1 â
2634:where
2337:= (âÎ)
2327:< â
1642:> 0
691:where
456:where
176:< â
144:< â
118:whose
6725:Besov
6623:S2CID
6605:arXiv
6529:JSTOR
6423:JSTOR
6225:S2CID
4959:-ball
3931:Case
3463:>
3227:<
2779:<
2323:<
2312:<
2054:with
1913:<
1903:with
1723:>
1708:with
1630:is a
1608:is a
1590:with
1577:is a
1397:, if
1144:then
1010:with
897:<
892:. If
253:then
172:<
161:<
151:>
89:(0,0)
7073:(or
6791:Dual
6650:ISBN
6445:ISBN
6390:ISBN
6365:ISBN
6340:ISBN
6306:ISBN
6247:ISBN
6131:ISBN
6089:>
5092:1 â€
5084:1 â€
4160:) â©
4138:1958
4014:and
3884:>
3181:Let
3144:and
2933:) â©
2793:and
2562:>
2317:and
2306:Let
2295:in (
2134:<
2128:<
1926:and
1759:<
1478:>
1464:and
1417:has
1287:>
902:and
791:>
750:<
709:>
354:and
168:1 â€
166:and
140:1 â€
101:Let
79:, 3)
6615:doi
6519:hdl
6511:doi
6462:Zbl
6415:doi
6298:doi
6274:100
6217:doi
5920:log
5377:in
5066:= 1
3949:If
3251:= 1
3236:or
3159:to
2783:†â
2503:= 1
2498:If
2343:on
1870:is
1728:and
1652:If
1584:in
1533:).
1368:on
565:in
468:of
359:= 0
352:= 1
75:(1/
19:In
7152::
6699:â
6648:,
6621:,
6613:,
6601:33
6599:,
6560:,
6554:,
6527:,
6517:,
6509:,
6499:80
6497:,
6468:,
6460:,
6455:MR
6443:,
6421:,
6411:97
6409:,
6388:,
6363:,
6359:,
6338:,
6316:MR
6314:,
6304:,
6296:,
6278:MR
6257:MR
6255:,
6223:.
6211:.
6194:13
6192:.
6173:.
6156:20
6154:.
5096:â€
4368:,
4170:,
4152:â
4124:.
3944:=1
3940:,
3864:,
3860:,
3856:,
3455:.
3446:,
3442:,
3261:â
3246:,
3241:=
3209:â
3139:,
2996:â
2925:â
2636:1/
1885:.
1598:;
1270:.
899:pk
853:.
156:,
55:.
7077:)
6801:)
6797:/
6793:(
6703:)
6685:e
6678:t
6671:v
6617::
6607::
6581:1
6577:L
6546:.
6536:.
6521::
6513::
6505::
6417::
6323:.
6300::
6264:.
6231:.
6219::
6213:1
6175:7
6139:.
6104:(
6092:p
6080:p
6051:p
6046:L
6023:p
6019:L
5992:p
5988:L
5965:p
5961:L
5935:|
5931:f
5927:|
5915:p
5910:|
5905:f
5901:|
5878:p
5874:L
5853:f
5831:p
5827:L
5804:p
5800:L
5783:(
5764:p
5738:p
5715:p
5711:L
5690:f
5670:f
5650:n
5630:p
5604:p
5583:n
5560:.
5557:n
5553:/
5549:1
5543:p
5539:/
5535:1
5532:=
5523:p
5518:/
5514:1
5483:p
5478:L
5457:f
5435:p
5431:L
5410:)
5405:n
5400:R
5395:(
5390:p
5386:L
5365:f
5331:.
5326:p
5323:1
5313:q
5310:1
5305:=
5301:)
5297:1
5294:+
5289:r
5286:1
5276:q
5273:1
5267:(
5263:a
5237:,
5232:a
5227:)
5224:I
5221:(
5216:r
5213:,
5210:1
5206:W
5197:u
5189:a
5183:1
5178:)
5175:I
5172:(
5167:q
5163:L
5154:u
5148:C
5140:)
5137:I
5134:(
5129:p
5125:L
5116:u
5098:p
5094:q
5086:r
5080:I
5071:L
5064:n
5039:2
5035:L
5026:u
5020:=
5013:2
5009:L
4994:u
4974:2
4968:1
4963:Ï
4957:n
4950:n
4948:Ï
4938:)
4936:2
4934:(
4915:2
4908:1
4904:L
4895:u
4887:n
4877:n
4866:x
4863:d
4857:2
4852:|
4847:)
4844:x
4841:(
4832:u
4825:|
4812:|
4808:x
4804:|
4783:Ï
4762:1
4758:L
4749:u
4739:|
4729:u
4722:|
4696:2
4687:/
4681:2
4676:|
4671:x
4667:|
4660:1
4645:)
4643:1
4641:(
4624:x
4621:d
4615:2
4610:|
4605:u
4602:D
4598:|
4590:n
4585:R
4573:2
4559:x
4556:d
4550:2
4545:|
4541:)
4538:x
4535:(
4526:u
4519:|
4510:2
4499:2
4494:|
4489:x
4485:|
4469:|
4465:x
4461:|
4449:x
4446:d
4440:2
4435:|
4431:)
4428:x
4425:(
4416:u
4409:|
4395:|
4391:x
4387:|
4366:Ï
4345:.
4340:)
4335:n
4330:R
4325:(
4320:2
4316:L
4307:u
4304:D
4296:n
4292:/
4288:2
4283:)
4278:n
4273:R
4268:(
4263:1
4259:L
4250:u
4244:C
4236:n
4232:/
4228:2
4225:+
4222:1
4217:)
4212:n
4207:R
4202:(
4197:2
4193:L
4184:u
4168:)
4166:R
4164:(
4162:W
4158:R
4156:(
4154:L
4150:u
4143:C
4118:n
4114:C
4097:,
4092:)
4087:n
4082:R
4077:(
4072:n
4068:L
4059:u
4056:D
4050:C
4042:O
4039:M
4036:B
4028:u
4008:u
3994:)
3989:n
3984:R
3979:(
3974:n
3971:,
3968:1
3964:W
3957:u
3942:k
3938:n
3936:=
3934:p
3915:u
3895:p
3891:/
3887:n
3881:k
3871:U
3866:Îł
3862:n
3858:p
3854:k
3849:C
3832:,
3827:)
3824:U
3821:(
3816:p
3813:,
3810:k
3806:W
3797:u
3791:C
3783:)
3780:U
3777:(
3769:,
3766:1
3759:]
3754:p
3751:n
3746:[
3739:k
3735:C
3726:u
3689:Z
3680:p
3677:n
3670:)
3667:1
3664:,
3661:0
3658:(
3645:Z
3636:p
3633:n
3624:p
3621:n
3613:1
3610:+
3606:]
3601:p
3598:n
3593:[
3586:{
3581:=
3552:,
3549:)
3546:U
3543:(
3535:,
3532:1
3525:]
3520:p
3517:n
3512:[
3505:k
3501:C
3494:u
3477:u
3469:p
3467:/
3465:n
3461:k
3453:U
3448:n
3444:p
3440:k
3435:C
3429:,
3415:)
3412:U
3409:(
3404:p
3401:,
3398:k
3394:W
3385:u
3379:C
3371:)
3368:U
3365:(
3360:q
3356:L
3347:u
3318:.
3313:n
3310:k
3300:p
3297:1
3292:=
3287:q
3284:1
3269:)
3267:U
3265:(
3263:L
3259:u
3249:p
3243:n
3239:k
3233:p
3231:/
3229:n
3225:k
3217:)
3215:U
3213:(
3211:W
3207:u
3199:U
3194:C
3188:R
3183:U
3168:)
3166:R
3164:(
3162:W
3157:)
3155:U
3153:(
3151:W
3146:U
3141:p
3137:n
3132:C
3113:)
3110:U
3107:(
3102:p
3099:,
3096:1
3092:W
3083:u
3077:C
3069:)
3066:U
3063:(
3055:,
3052:0
3048:C
3039:u
3023:U
3016:Îł
3008:u
3004:)
3002:R
3000:(
2998:W
2994:u
2976:.
2971:p
2968:n
2960:1
2957:=
2941:)
2939:R
2937:(
2935:L
2931:R
2929:(
2927:C
2923:u
2903:)
2898:n
2893:R
2888:(
2883:p
2880:,
2877:1
2873:W
2864:u
2858:C
2850:)
2845:n
2840:R
2835:(
2827:,
2824:0
2820:C
2811:u
2795:n
2791:p
2787:C
2781:p
2777:n
2735:f
2732:R
2712:,
2707:1
2699:f
2696:R
2690:C
2682:q
2673:f
2664:I
2646:n
2644:/
2642:α
2638:q
2619:,
2614:q
2609:)
2598:1
2590:f
2581:(
2576:C
2569:}
2558:|
2554:)
2551:x
2548:(
2545:f
2536:I
2531:|
2527::
2524:x
2520:{
2516:m
2501:p
2483:.
2478:p
2470:f
2464:C
2456:q
2447:f
2438:I
2418:p
2414:C
2395:n
2382:p
2379:1
2374:=
2369:q
2366:1
2351:q
2346:R
2334:α
2332:I
2325:q
2321:p
2314:n
2310:α
2276:R
2258:.
2255:)
2250:n
2245:R
2240:(
2229:p
2224:L
2217:)
2212:n
2207:R
2202:(
2197:p
2194:,
2191:1
2187:W
2163:1
2160:=
2157:p
2137:n
2131:p
2125:1
2105:n
2101:/
2097:1
2091:p
2087:/
2083:1
2080:=
2071:p
2066:/
2062:1
2039:.
2034:)
2029:n
2024:R
2019:(
2014:p
2010:L
2001:u
1998:D
1992:C
1984:)
1979:n
1974:R
1969:(
1958:p
1953:L
1944:u
1928:p
1924:n
1920:C
1915:n
1911:p
1900:R
1895:u
1883:)
1881:M
1879:(
1877:W
1855:)
1852:M
1849:(
1844:q
1841:,
1834:W
1827:)
1824:M
1821:(
1816:p
1813:,
1810:k
1806:W
1780:n
1767:q
1764:1
1754:n
1751:k
1741:p
1738:1
1725:â
1721:k
1711:C
1705:M
1684:(
1682:)
1680:M
1678:(
1676:L
1671:)
1669:M
1667:(
1665:W
1659:R
1654:M
1648:.
1640:ÎŽ
1628:M
1618:M
1606:M
1587:R
1575:M
1560:M
1556:)
1554:M
1552:(
1550:W
1501:f
1481:n
1475:k
1472:p
1450:p
1446:L
1425:k
1405:f
1383:n
1378:R
1356:f
1316:0
1313:=
1310:r
1290:n
1284:k
1281:p
1258:)
1255:1
1252:,
1249:0
1246:(
1220:)
1215:n
1210:R
1205:(
1197:,
1194:r
1190:C
1183:)
1178:n
1173:R
1168:(
1163:p
1160:,
1157:k
1153:W
1132:1
1129:=
1099:.
1096:)
1091:n
1086:R
1081:(
1073:,
1070:r
1066:C
1059:)
1054:n
1049:R
1044:(
1039:p
1036:,
1033:k
1029:W
1013:α
993:p
990:n
982:k
979:=
973:+
970:r
960:,
955:n
948:+
945:r
936:=
931:n
928:k
918:p
915:1
895:n
890:)
888:R
886:(
884:C
867:C
839:p
835:L
814:f
794:p
782:p
761:p
757:/
753:1
741:p
736:/
732:1
712:p
700:p
671:p
666:L
645:f
623:p
619:L
598:)
593:n
588:R
583:(
578:p
574:L
553:f
526:.
521:n
518:1
508:p
505:1
500:=
489:p
485:1
470:p
459:p
441:)
436:n
431:R
426:(
415:p
410:L
403:)
398:n
393:R
388:(
383:p
380:,
377:1
373:W
357:â
350:k
332:)
327:n
322:R
317:(
312:q
309:,
302:W
295:)
290:n
285:R
280:(
275:p
272:,
269:k
265:W
238:,
233:n
220:q
217:1
212:=
207:n
204:k
194:p
191:1
174:q
170:p
163:n
159:p
153:â
149:k
142:p
136:k
130:L
124:k
115:R
110:)
108:R
106:(
104:W
97:.
94:L
84:n
77:p
70:W
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
.svg)