7402:
6958:
7855:
7397:{\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|&\leq \sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}\left\|a_{\sigma (i)}\right\|\\&\leq \sum _{j=S_{\sigma ,\varepsilon }}^{L_{\sigma ,\varepsilon }}\left\|a_{j}\right\|&&{\text{ since }}I_{\sigma ,\varepsilon }\subseteq \left\{S_{\sigma ,\varepsilon },S_{\sigma ,\varepsilon }+1,\ldots ,L_{\sigma ,\varepsilon }\right\}\\&\leq \sum _{j=N_{\varepsilon }+1}^{\infty }\left\|a_{j}\right\|&&{\text{ since }}S_{\sigma ,\varepsilon }\geq N_{\varepsilon }+1\\&<{\frac {\varepsilon }{2}}\end{aligned}}}
6953:
7407:
25:
6597:
12386:
7850:{\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\sum _{i=1}^{N}a_{\sigma (i)}-A\right\|&=\left\|\sum _{i\in \sigma ^{-1}\left(\{1,\dots ,N_{\varepsilon }\}\right)}a_{\sigma (i)}-A+\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|\\&\leq \left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+\left\|\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|\\&<\left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+{\frac {\varepsilon }{2}}\\&<\varepsilon \end{aligned}}}
6948:{\displaystyle {\begin{aligned}I_{\sigma ,\varepsilon }&=\left\{1,\ldots ,N\right\}\setminus \sigma ^{-1}\left(\left\{1,\ldots ,N_{\varepsilon }\right\}\right)\\S_{\sigma ,\varepsilon }&=\min \sigma \left(I_{\sigma ,\varepsilon }\right)=\min \left\{\sigma (k)\ :\ k\in I_{\sigma ,\varepsilon }\right\}\\L_{\sigma ,\varepsilon }&=\max \sigma \left(I_{\sigma ,\varepsilon }\right)=\max \left\{\sigma (k)\ :\ k\in I_{\sigma ,\varepsilon }\right\}\\\end{aligned}}}
12695:
6064:
6237:
11762:
5876:
8008:
6071:
1192:
10705:
6382:
7862:
394:
Absolute convergence is important for the study of infinite series, because its definition guarantees that a series will have some "nice" behaviors of finite sums that not all convergent series possess. For instance, rearrangements do not change the value of the sum, which is not necessarily true for
5217:
5633:
For series with more general coefficients, the converse is more complicated. As stated in the previous section, for real-valued and complex-valued series, unconditional convergence always implies absolute convergence. However, in the more general case of a series with values in any normed abelian
11645:
Finally, all of the above holds for integrals with values in a Banach space. The definition of a Banach-valued
Riemann integral is an evident modification of the usual one. For the Lebesgue integral one needs to circumvent the decomposition into positive and negative parts with Daniell's more
5325:
When a series of real or complex numbers is absolutely convergent, any rearrangement or reordering of that series' terms will still converge to the same value. This fact is one reason absolutely convergent series are useful: showing a series is absolutely convergent allows terms to be paired or
2970:
then every absolutely convergent series is convergent. The proof is the same as for complex-valued series: use the completeness to derive the Cauchy criterion for convergence—a series is convergent if and only if its tails can be made arbitrarily small in norm—and apply the triangle inequality.
687:
6059:{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ for all }}N>\kappa _{\varepsilon }&\quad \sum _{n=N}^{\infty }\|a_{n}\|<{\tfrac {\varepsilon }{2}}\\{\text{ for all }}N>\lambda _{\varepsilon }&\quad \left\|\sum _{n=1}^{N}a_{n}-A\right\|<{\tfrac {\varepsilon }{2}}\end{aligned}}}
970:
5014:
1308:
1031:
10529:
3468:
6232:{\displaystyle {\begin{aligned}N_{\varepsilon }&=\max \left\{\kappa _{\varepsilon },\lambda _{\varepsilon }\right\}\\M_{\sigma ,\varepsilon }&=\max \left\{\sigma ^{-1}\left(\left\{1,\ldots ,N_{\varepsilon }\right\}\right)\right\}\end{aligned}}}
9335:
3834:
5025:
8191:
5526:
4360:
6242:
4139:
11743:
Here, the disk of convergence is used to refer to all points whose distance from the center of the series is less than the radius of convergence. That is, the disk of convergence is made up of all points for which the power series
6494:
5871:
4504:
9711:
537:
8003:{\displaystyle {\text{ for all }}\varepsilon >0,{\text{ there exists }}M_{\sigma ,\varepsilon },{\text{ for all }}N>M_{\sigma ,\varepsilon }\quad \left\|\sum _{i=1}^{N}a_{\sigma (i)}-A\right\|<\varepsilon ,}
10524:
3967:
3705:
9901:
9785:
3284:
3230:
797:
225:
1379:
9537:
2760:
4860:
9006:
9976:
9617:
4568:
2494:
5722:
3624:
3530:
3066:
1389:, any conditionally convergent series can be permuted so that its sum is any finite real number or so that it diverges. When an absolutely convergent series is rearranged, its sum is always preserved.
385:
3375:
10102:
4038:
3328:
2155:
314:
8074:
5628:
157:
5562:
2856:
2350:
2271:
7412:
6963:
6602:
6076:
5881:
8300:
6547:
10809:
2430:
9240:
8420:
3710:
6592:
1646:
1187:{\displaystyle S=\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots }
12101:
1209:
8095:
10928:
8873:
5775:
5421:
1501:
10979:
6415:
1983:
1204:
is grouped with the reciprocal of twice its value, while the reciprocals of every multiple of 4 are evaluated separately. However, evaluating the terms inside the parentheses yields
10753:
8814:
2650:
1560:
1443:
10879:
4796:
3875:
8484:
3380:
10431:
9191:
4689:
5820:
4224:
5265:
4826:
2550:
11253:
8575:
8773:
8642:
11640:
10033:
2039:
11371:
4603:
4395:
3176:
2785:
1888:
790:
250:
10700:{\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx={\frac {1}{2}}{\bigl }\approx 0.62,{\text{ but }}\int _{1}^{\infty }\left|{\frac {\sin x}{x}}\right|dx=\infty .}
2906:
2594:
11280:
11199:
4195:
2978:, absolute convergence implies convergence. The converse is also true: if absolute convergence implies convergence in a normed space, then the space is a Banach space.
1925:
10307:
4636:
4249:
3563:
1726:
735:
4719:
1845:
1788:
1757:
527:
489:
451:
4855:
8360:
8333:
8220:
1587:
1024:
6377:{\displaystyle \sigma ^{-1}\left(\left\{1,\ldots ,N_{\varepsilon }\right\}\right)=\left\{\sigma ^{-1}(1),\ldots ,\sigma ^{-1}\left(N_{\varepsilon }\right)\right\}}
1814:
11558:
11506:
11424:
11109:
11015:
10281:
2187:
998:
11612:
11453:
11307:
10223:
9828:
9031:
8875:
is absolutely convergent. Note that here, "absolutely convergent" uses the more basic definition, applied to an indexed series. In this case, the value of the
8685:
8527:
5311:
5288:
4742:
2968:
2879:
2699:
2517:
2070:
11578:
11528:
11476:
11394:
11327:
11129:
11079:
11055:
11035:
10451:
10379:
10359:
10251:
10178:
10158:
10122:
9805:
9437:
9417:
9397:
9377:
9357:
9233:
9213:
9157:
9134:
9114:
9094:
9071:
9051:
8915:
8895:
8725:
8705:
8662:
8597:
8504:
8447:
8429:
A generalization of the absolute convergence of a series, is the absolute convergence of a sum of a function over a set. We can first consider a countable set
5652:
5416:
5383:
5363:
4244:
2941:
2808:
2676:
2574:
2374:
2295:
2219:
2092:
1694:
1666:
755:
12577:
11161:
10339:
5333:
shows that the converse is also true: every real or complex-valued series whose terms cannot be reordered to give a different value is absolutely convergent.
4043:
5212:{\displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{m}x_{k}-\sum _{k=1}^{n}x_{k}\right\|=\left\|\sum _{k=n+1}^{m}x_{k}\right\|\leq \sum _{k=n+1}^{m}\|x_{k}\|<\varepsilon ,}
12040:
6420:
5345:
is used to refer to a series where any rearrangement of its terms still converges to the same value. For any series with values in a normed abelian group
9442:
12032:
8921:
12093:
5825:
12161:
682:{\displaystyle S=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots }
11711:
4400:
9622:
5664:
12220:
1312:
or half the original series. The violation of the associativity and commutativity of addition reveals that the alternating harmonic series is
12567:
3629:
965:{\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots }
10456:
8013:
5567:
3880:
12660:
3286:
converge by termwise comparison of non-negative terms. It suffices to show that the convergence of these series implies the convergence of
9832:
9716:
166:
10140:(gauge) integral is considered; for the Riemann integral, it also depends on whether we only consider integrability in its proper sense (
3235:
3181:
8225:
1319:
2704:
11720:
11889:
Dvoretzky, A.; Rogers, C. A. (1950), "Absolute and unconditional convergence in normed linear spaces", Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.
10983:
The situation is different for the
Lebesgue integral, which does not handle bounded and unbounded domains of integration separately (
4149:
By applying the Cauchy criterion for the convergence of a complex series, we can also prove this fact as a simple implication of the
8365:
12501:
9906:
9547:
4509:
5785:
asserts that every infinite-dimensional Banach space has an unconditionally convergent series that is not absolutely convergent.
5654:, the converse does not always hold: there can exist series which are not absolutely convergent, yet unconditionally convergent.
2438:
9010:
Note that because the series is absolutely convergent, then every rearrangement is identical to a different choice of bijection
11687:
3570:
3476:
3012:
319:
8092:
of two series converges to the product of the sums if at least one of the series converges absolutely. That is, suppose that
12511:
12181:
12143:
12113:
12048:
11973:
9399:
takes non-zero values on a set that is at most countable. Therefore, the following is a consistent definition of the sum of
3333:
263:
10042:
3982:
3289:
2097:
112:
11614:
one recovers the notion of unordered summation of series developed by Moore–Smith using (what are now called) nets. When
5531:
5009:{\displaystyle \left|\sum _{k=1}^{m}\|x_{k}\|-\sum _{k=1}^{n}\|x_{k}\|\right|=\sum _{k=n+1}^{m}\|x_{k}\|<\varepsilon .}
2813:
2307:
2228:
6499:
12734:
12675:
12506:
12266:
12213:
12007:
11937:
11912:
10761:
11455:
the
Lebesgue integral of a real-valued function is defined in terms of its positive and negative parts, so the facts:
12655:
12075:
11874:
11846:
11801:
2379:
1303:{\displaystyle S={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots }
68:
46:
11642:
is the set of natural numbers, Lebesgue integrability, unordered summability and absolute convergence all coincide.
39:
12665:
6558:
11772:
1604:
12557:
12547:
11584:
are essentially built into the definition of the
Lebesgue integral. In particular, applying the theory to the
10137:
5729:
10884:
8819:
6387:
3463:{\textstyle \sum a_{k}=\sum \operatorname {Re} \left(a_{k}\right)+i\sum \operatorname {Im} \left(a_{k}\right)}
1929:
1448:
12670:
12572:
12206:
11965:
11675:
10933:
8778:
5330:
1382:
10710:
10453:
is. However, this implication does not hold in the case of improper integrals. For instance, the function
2599:
1517:
1400:
316:
is said to converge absolutely if the integral of the absolute value of the integrand is finite—that is, if
12719:
12698:
12169:
10814:
4154:
11037:
is also not integrable in the
Lebesgue sense. In fact, in the Lebesgue theory of integration, given that
8452:
4747:
3839:
12729:
12680:
10384:
9162:
4651:
2986:
530:
529:. However, associativity and commutativity do not necessarily hold for infinite sums. One example is the
5796:
4200:
12724:
12562:
9330:{\displaystyle \sup \left\{\sum _{x\in A}|f(x)|:A\subseteq X,A{\text{ is finite }}\right\}<\infty .}
4805:
3829:{\displaystyle 0\leq \sum _{k=1}^{n}(a_{k}+\left|a_{k}\right|)\leq \sum _{k=1}^{n}2\left|a_{k}\right|.}
2522:
12039:. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Vol. 66 (Second ed.). Berlin, New York:
11208:
5222:
12552:
12542:
12532:
11705:
10930:
converges absolutely, converges conditionally or diverges according to the corresponding behavior of
8532:
5342:
1590:
11666: – Method for assigning values to certain improper integrals which would otherwise be undefined
11617:
8733:
8602:
4141:
is the difference of convergent series, we conclude that it too is a convergent series, as desired.
1991:
11779:
11332:
9992:
8186:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=A\quad {\text{ and }}\quad \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}=B.}
4573:
4365:
2982:
2765:
2222:
1849:
760:
230:
33:
5521:{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=A\in G,\quad \sum _{i=1}^{\infty }\|a_{i}\|<\infty .}
4355:{\textstyle \left|\sum _{i=m}^{n}\left|a_{i}\right|\right|=\sum _{i=m}^{n}|a_{i}|<\varepsilon }
3071:
12647:
12469:
11669:
8644:
cannot be understood by the more basic definition of a series. In fact, for certain examples of
2884:
1313:
388:
8727:
may not be defined at all, since some indexing may produce a conditionally convergent series.
2579:
12309:
12256:
11699:
11663:
11258:
11166:
10526:
is improperly
Riemann integrable on its unbounded domain, but it is not absolutely integrable:
10226:
3004:
1895:
1386:
1197:
257:
50:
10286:
4640:
4160:
1699:
702:
12516:
12261:
11693:
5782:
4608:
3973:
3535:
1821:
1761:
1733:
494:
456:
418:
4834:
4694:
12627:
12233:
12131:
11131:
is measurable is crucial; it is not generally true that absolutely integrable functions on
8338:
8311:
8198:
1565:
1201:
1003:
412:
408:
86:
4134:{\textstyle \sum a_{k}=\sum \left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)-\sum \left|a_{k}\right|}
1793:
8:
12607:
12474:
12173:
12105:
11681:
11647:
11533:
11481:
11399:
11084:
11058:
10990:
10256:
10230:
4150:
2944:
2162:
977:
11594:
11435:
11289:
10190:
9810:
9013:
8667:
8509:
5293:
5270:
4724:
2950:
2861:
2681:
2499:
2052:
12537:
12448:
12433:
12405:
12385:
12324:
11957:
11869:, Graduate Texts in Mathematics, vol. 183, New York: Springer-Verlag, p. 20,
11563:
11513:
11461:
11379:
11312:
11283:
11114:
11064:
11040:
11020:
10436:
10364:
10344:
10236:
10163:
10143:
10107:
9790:
9422:
9402:
9382:
9362:
9342:
9218:
9198:
9142:
9119:
9099:
9079:
9056:
9036:
8900:
8880:
8710:
8690:
8647:
8582:
8489:
8432:
6489:{\displaystyle a_{\sigma (1)},\ldots ,a_{\sigma \left(M_{\sigma ,\varepsilon }\right)}}
5637:
5401:
5368:
5348:
4229:
4144:
2926:
2793:
2661:
2559:
2359:
2280:
2204:
2077:
1679:
1651:
1598:
740:
11134:
10312:
1669:
12637:
12438:
12410:
12364:
12354:
12334:
12319:
12187:
12177:
12149:
12139:
12119:
12109:
12081:
12071:
12054:
12044:
12013:
12003:
11979:
11969:
11933:
11908:
11870:
11842:
11589:
10133:
5385:
is complete, every series which converges absolutely also converges unconditionally.
2433:
1503:
692:
253:
5661:ℓ, one series which is unconditionally convergent but not absolutely convergent is:
12622:
12443:
12369:
12359:
12339:
12241:
11968:. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer.
11862:
11651:
11585:
10181:
10129:
696:
415:, meaning that grouping and rearrangment do not alter the final sum. For instance,
12400:
12329:
9541:
Note that the final series uses the definition of a series over a countable set.
9136:
is uncountable. But first we define what it means for the sum to be convergent.
5778:
4799:
2989:. Many standard tests for divergence and convergence, most notably including the
11778:
The references used may be made clearer with a different or consistent style of
10283:
continuous, every continuous function is absolutely integrable. In fact, since
12632:
12617:
12612:
12291:
12276:
11783:
10128:. The issue of absolute integrability is intricate and depends on whether the
8089:
5866:{\displaystyle \kappa _{\varepsilon },\lambda _{\varepsilon }\in \mathbb {N} ,}
4829:
2190:
1594:
106:
98:
12713:
12597:
12271:
12153:
12017:
12002:. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press.
11983:
11430:
10756:
4499:{\textstyle {\big |}\sum _{i=m}^{n}a_{i}{\big |}\leq \sum _{i=m}^{n}|a_{i}|,}
3470:
would follow, by the definition of the convergence of complex-valued series.
2912:
12123:
11426:
is not. This includes the case of improperly
Riemann integrable functions.
9706:{\textstyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }|a_{m,n}|<\infty .}
3005:
Proof that any absolutely convergent series of complex numbers is convergent
12602:
12344:
12286:
12191:
5658:
4646:
4641:
Proof that any absolutely convergent series in a Banach space is convergent
3970:
3473:
The preceding discussion shows that we need only prove that convergence of
2998:
2975:
2553:
2042:
12085:
12058:
12349:
12296:
11836:
2274:
102:
82:
1445:
is absolutely convergent if the sum of the absolute values of the terms
12198:
10519:{\textstyle f:[1,\infty )\to \mathbb {R} :x\mapsto {\frac {\sin x}{x}}}
3962:{\textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)}
3700:{\displaystyle 0\leq a_{k}+\left|a_{k}\right|\leq 2\left|a_{k}\right|,}
2990:
2981:
If a series is convergent but not absolutely convergent, it is called
12281:
9896:{\textstyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }a_{m,n},}
9780:{\textstyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }a_{m,n}.}
8579:
First note that because no particular enumeration (or "indexing") of
3001:
is absolutely convergent on the interior of its disk of convergence.
2994:
2911:
Absolutely summable families play an important role in the theory of
11163:
are integrable (simply because they may fail to be measurable): let
4145:
Alternative proof using the Cauchy criterion and triangle inequality
3279:{\textstyle \sum \left|\operatorname {Im} \left(a_{k}\right)\right|}
3225:{\textstyle \sum \left|\operatorname {Re} \left(a_{k}\right)\right|}
220:{\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|=L}
12229:
9987:
3976:
2656:
2046:
1374:{\textstyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots }
404:
9532:{\displaystyle \sum _{x\in X}f(x):=\sum _{x\in X:f(x)\neq 0}f(x).}
2755:{\textstyle \left(p\left(x_{\alpha }\right)\right)_{\alpha \in A}}
11684: – Conditions for switching order of integration in calculus
6553:
5336:
691:
whose terms are fractions that alternate in sign. This series is
9001:{\displaystyle \sum _{x\in X}f(x):=\sum _{n=1}^{\infty }f(g(n))}
5326:
rearranged in convenient ways without changing the sum's value.
387:
A convergent series that is not absolutely convergent is called
11816:
11202:
8078:
5315:
9971:{\textstyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{m,n}}
9903:
converges absolutely, as defined above, then the iterated sum
9612:{\textstyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{m,n}}
4563:{\textstyle \left|\sum _{i=m}^{n}a_{i}\right|<\varepsilon }
11396:
may be
Kurzweil-Henstock integrable (gauge integrable) while
9033:
Since all of these sums have the same value, then the sum of
11678: – Mathematical problem in classical harmonic analysis
2489:{\displaystyle \left(x_{H}\right)_{H\in {\mathcal {F}}(A)}}
10184:), or permit the more general case of improper integrals.
9713:
This is in fact equivalent to the absolute convergence of
5717:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{n}}e_{n},}
3619:{\textstyle \sum \left|a_{k}\right|,a_{k}\in \mathbb {R} }
3525:{\textstyle \sum \left|a_{k}\right|,a_{k}\in \mathbb {R} }
3061:{\textstyle \sum \left|a_{k}\right|,a_{k}\in \mathbb {C} }
1392:
2985:. An example of a conditionally convergent series is the
1316:. Indeed, the sum of the absolute values of each term is
380:{\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }|f(x)|dx=L.}
11329:
is not
Lebesgue measurable and thus not integrable, but
11111:
is (Lebesgue) integrable. However, the hypothesis that
3370:{\textstyle \sum \operatorname {Im} \left(a_{k}\right),}
11725:
Pages displaying short descriptions of redirect targets
11690: – Annotated index of various modes of convergence
10097:{\textstyle \int _{A}\left|f(x)\right|\,dx<\infty .}
4033:{\textstyle \sum \left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)}
3323:{\textstyle \sum \operatorname {Re} \left(a_{k}\right)}
2150:{\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\|a_{n}\|<\infty .}
309:{\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx,}
11907:. New Delhi: Hindustan Book Agency. pp. 188–191.
10936:
10887:
10713:
10459:
10045:
9995:
9909:
9835:
9719:
9625:
9550:
8822:
8736:
8605:
8535:
8069:{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{\sigma (i)}=A.}
6041:
5951:
5690:
5623:{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{\sigma (i)}=A.}
5225:
4750:
4697:
4611:
4512:
4403:
4252:
4163:
4046:
3985:
3883:
3842:
3573:
3538:
3479:
3383:
3336:
3292:
3238:
3184:
3074:
3015:
2997:, demonstrate absolute convergence. This is because a
2816:
2707:
2602:
2382:
2310:
2231:
2100:
1607:
1520:
1451:
1403:
1322:
323:
267:
234:
170:
116:
12578:
1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (inverses of primes)
12568:
1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ (alternating factorials)
11620:
11597:
11566:
11536:
11516:
11484:
11464:
11438:
11402:
11382:
11335:
11315:
11292:
11261:
11211:
11169:
11137:
11117:
11087:
11067:
11043:
11023:
10993:
10817:
10764:
10532:
10439:
10387:
10367:
10347:
10315:
10289:
10259:
10239:
10193:
10187:
As a standard property of the
Riemann integral, when
10166:
10146:
10110:
9813:
9793:
9445:
9425:
9405:
9385:
9365:
9345:
9243:
9221:
9201:
9165:
9145:
9122:
9102:
9082:
9059:
9039:
9016:
8924:
8903:
8883:
8781:
8713:
8693:
8670:
8650:
8585:
8512:
8492:
8455:
8435:
8368:
8341:
8314:
8228:
8201:
8098:
8016:
7865:
7410:
6961:
6600:
6561:
6502:
6423:
6390:
6245:
6074:
5879:
5828:
5799:
5732:
5667:
5640:
5570:
5534:
5424:
5404:
5371:
5351:
5296:
5273:
5028:
4863:
4837:
4808:
4727:
4654:
4576:
4368:
4232:
4203:
3713:
3632:
2953:
2929:
2887:
2864:
2796:
2768:
2684:
2664:
2582:
2562:
2525:
2502:
2441:
2362:
2283:
2207:
2165:
2159:
In particular, these statements apply using the norm
2080:
2055:
1994:
1932:
1898:
1852:
1824:
1796:
1764:
1736:
1702:
1682:
1654:
1568:
1212:
1034:
1006:
980:
800:
763:
743:
705:
540:
497:
459:
421:
322:
266:
233:
169:
152:{\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}
115:
12166:
Schwartz Spaces, Nuclear Spaces, and Tensor Products
12136:
Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels
11932:. Jones & Bartlett Learning. pp. 259, 260.
11716:
Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
9981:
9339:
There is a theorem which states that, if the sum of
5557:{\displaystyle \sigma :\mathbb {N} \to \mathbb {N} }
4645:
The above result can be easily generalized to every
2851:{\textstyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}
2345:{\textstyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}
2266:{\textstyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}
1589:
are not numbers but rather elements of an arbitrary
11708: – Order-independent convergence of a sequence
9619:to be absolutely convergent if the iterated series
8775:only in the case where there exists some bijection
2881:then necessarily all but a countable collection of
2193:) in the space of real numbers or complex numbers.
11634:
11606:
11572:
11552:
11522:
11500:
11470:
11447:
11418:
11388:
11365:
11321:
11301:
11274:
11247:
11193:
11155:
11123:
11103:
11073:
11049:
11029:
11009:
10973:
10922:
10873:
10803:
10747:
10699:
10518:
10445:
10425:
10373:
10353:
10333:
10301:
10275:
10245:
10217:
10172:
10152:
10116:
10096:
10027:
9970:
9895:
9822:
9799:
9779:
9705:
9611:
9531:
9431:
9411:
9391:
9371:
9351:
9329:
9227:
9207:
9185:
9151:
9128:
9108:
9088:
9065:
9045:
9025:
9000:
8909:
8889:
8867:
8808:
8767:
8719:
8699:
8679:
8656:
8636:
8591:
8569:
8521:
8498:
8478:
8441:
8414:
8354:
8327:
8295:{\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.}
8294:
8214:
8195:The Cauchy product is defined as the sum of terms
8185:
8068:
8002:
7849:
7396:
6947:
6586:
6542:{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{N_{\varepsilon }}}
6541:
6488:
6417:is the smallest natural number such that the list
6409:
6376:
6231:
6058:
5865:
5814:
5769:
5716:
5646:
5622:
5556:
5520:
5410:
5377:
5357:
5305:
5282:
5259:
5211:
5008:
4849:
4820:
4790:
4736:
4713:
4683:
4630:
4597:
4562:
4498:
4389:
4354:
4238:
4218:
4189:
4133:
4032:
3961:
3869:
3828:
3699:
3618:
3557:
3524:
3462:
3369:
3322:
3278:
3224:
3170:
3060:
2962:
2935:
2900:
2873:
2850:
2802:
2779:
2754:
2693:
2670:
2644:
2588:
2568:
2544:
2511:
2488:
2424:
2368:
2344:
2289:
2265:
2213:
2181:
2149:
2086:
2064:
2033:
1977:
1919:
1882:
1839:
1808:
1782:
1751:
1720:
1688:
1660:
1640:
1581:
1554:
1495:
1437:
1373:
1302:
1186:
1018:
992:
964:
784:
749:
729:
681:
521:
483:
445:
379:
308:
244:
219:
151:
11997:
10804:{\displaystyle f_{a}:[0,\infty )\to \mathbb {R} }
8424:
12711:
12098:Introduction to Tensor Products of Banach Spaces
11702: – Unconditional series converge absolutely
11017:is unbounded in the examples above implies that
10035:of a real or complex-valued function is said to
9244:
6885:
6852:
6769:
6736:
6159:
6096:
2425:{\textstyle \lim _{H\in {\mathcal {F}}(A)}x_{H}}
2384:
1509:
11373:is a constant function and clearly integrable.
10233:is bounded and (Riemann) integrable, and since
2196:
11998:Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011).
8486:We will give a definition below of the sum of
8415:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}=AB.}
5337:Series with coefficients in more general space
1597:, the definition requires the group to have a
101:of the summands is finite. More precisely, a
12214:
11956:
11822:
11696: – Domain of convergence of power series
10622:
10588:
9076:Even more generally we may define the sum of
6587:{\displaystyle N>M_{\sigma ,\varepsilon }}
4444:
4406:
2974:In particular, for series with values in any
1641:{\textstyle \|\cdot \|:G\to \mathbb {R} _{+}}
1026:. The sum can also be rearranged as follows:
12661:Hypergeometric function of a matrix argument
7537:
7512:
5944:
5931:
5747:
5733:
5506:
5493:
5316:Rearrangements and unconditional convergence
5197:
5184:
4994:
4981:
4943:
4930:
4903:
4890:
4785:
4772:
4672:
4664:
2135:
2122:
2028:
2016:
1969:
1963:
1957:
1951:
1945:
1933:
1874:
1868:
1862:
1853:
1771:
1765:
1709:
1703:
1614:
1608:
12517:1 + 1/2 + 1/3 + ... (Riemann zeta function)
5320:
2094:-valued series is absolutely convergent if
1601:, which is a positive real-valued function
1514:The same definition can be used for series
12221:
12207:
11927:
9159:be any set, countable or uncountable, and
4605:which is exactly the Cauchy criterion for
2918:
1000:reveals that the original sum is equal to
12573:1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ (harmonic series)
12065:
11861:
11841:. New York: McGraw-Hill. pp. 71–72.
11802:Learn how and when to remove this message
11628:
10923:{\textstyle \int _{0}^{\infty }f_{a}\,dx}
10913:
10797:
10707:Indeed, more generally, given any series
10602:
10566:
10485:
10078:
10018:
9868:
9860:
9752:
9744:
9439:when the sum is absolutely convergent.
9179:
8868:{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f(g(n))}
8790:
8469:
5856:
5770:{\displaystyle \{e_{n}\}_{n=1}^{\infty }}
5550:
5542:
4671:
4667:
4397:But the triangle inequality implies that
3612:
3518:
3054:
2770:
1628:
1496:{\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|}
1397:A sum of real numbers or complex numbers
295:
69:Learn how and when to remove this message
16:Mode of convergence of an infinite series
12228:
11081:is (Lebesgue) integrable if and only if
10974:{\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.}
6410:{\displaystyle M_{\sigma ,\varepsilon }}
5018:By the triangle inequality for the norm
1978:{\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.}
32:This article includes a list of general
12070:. Cambridge England: University Press.
12031:
10748:{\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}
8809:{\displaystyle g:\mathbb {Z} ^{+}\to X}
5788:
5777:is an orthonormal basis. A theorem of
2645:{\textstyle x_{H}:=\sum _{i\in H}x_{i}}
1555:{\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}
1438:{\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}
1393:Definition for real and complex numbers
12712:
12130:
11867:An introduction to Banach space theory
11688:Modes of convergence (annotated index)
9978:converges absolutely, and vice versa.
4721:be an absolutely convergent series in
1672:, with identity element 0) such that:
403:When adding a finite number of terms,
12202:
12138:. Mineola, N.Y.: Dover Publications.
11991:
11834:
11672: – A property of infinite series
10874:{\displaystyle f_{a}([n,n+1))=a_{n}.}
8083:
4791:{\textstyle \sum _{k=1}^{n}\|x_{k}\|}
3870:{\textstyle \sum 2\left|a_{k}\right|}
1593:. In that case, instead of using the
12160:
12092:
11755:
11723: – Mathematical infinite series
11714: – mathematical infinite series
9544:Some authors define an iterated sum
8479:{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} .}
5418:be a normed abelian group. Suppose
2858:is an absolutely summable family in
1676:The norm of the identity element of
18:
12538:1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (Grandi's series)
12026:Principles of Mathematical Analysis
11902:
11838:Principles of Mathematical Analysis
10426:{\displaystyle |f|=|\cdot |\circ f}
9186:{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }
8599:has yet been specified, the series
4684:{\displaystyle (X,\|\,\cdot \,\|).}
13:
12172:. Vol. 726. Berlin New York:
12102:Springer Monographs in Mathematics
10987:). The fact that the integral of
10953:
10898:
10787:
10730:
10691:
10651:
10607:
10604:
10543:
10475:
10433:is properly Riemann integrable if
10088:
9947:
9926:
9697:
9663:
9642:
9588:
9567:
9321:
8972:
8839:
8385:
8159:
8115:
8033:
7304:
5926:
5815:{\displaystyle \varepsilon >0,}
5762:
5684:
5587:
5512:
5488:
5441:
5290:hence the series is convergent in
4219:{\displaystyle \varepsilon >0,}
3178:is convergent, which implies that
3068:is convergent. Then equivalently,
2528:
2470:
2396:
2141:
2117:
1537:
1468:
1420:
841:
563:
334:
278:
187:
133:
38:it lacks sufficient corresponding
14:
12746:
12656:Generalized hypergeometric series
9982:Absolute convergence of integrals
6653:
5260:{\textstyle \sum _{k=1}^{n}x_{k}}
4821:{\displaystyle \varepsilon >0}
4197:converges if and only if for any
2545:{\displaystyle {\mathcal {F}}(A)}
395:conditionally convergent series.
12694:
12693:
12666:Lauricella hypergeometric series
12384:
11760:
11248:{\displaystyle f=\chi _{S}-1/2,}
10755:one can consider the associated
8570:{\textstyle \sum _{x\in X}f(x).}
4040:must also converge. Noting that
23:
12676:Riemann's differential equation
10381:is continuous, it follows that
9379:is absolutely convergent, then
8768:{\textstyle \sum _{x\in X}f(x)}
8637:{\textstyle \sum _{x\in X}f(x)}
8142:
8136:
7934:
5989:
5909:
5471:
695:and can be evaluated using the
12028:(McGraw-Hill: New York, 1964).
11950:
11921:
11896:
11883:
11855:
11828:
11737:
11721:1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + · · ·
11712:1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · ·
11635:{\displaystyle S=\mathbb {N} }
11546:
11538:
11494:
11486:
11412:
11404:
11376:On the other hand, a function
11345:
11337:
11188:
11176:
11150:
11138:
11097:
11089:
11003:
10995:
10852:
10849:
10831:
10828:
10793:
10790:
10778:
10617:
10611:
10495:
10481:
10478:
10466:
10413:
10405:
10397:
10389:
10328:
10316:
10269:
10261:
10212:
10200:
10070:
10064:
10028:{\textstyle \int _{A}f(x)\,dx}
10015:
10009:
9853:
9841:
9787:That is to say, if the sum of
9737:
9725:
9690:
9669:
9523:
9517:
9503:
9497:
9471:
9465:
9286:
9282:
9276:
9269:
9175:
8995:
8992:
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8980:
8950:
8944:
8862:
8859:
8853:
8847:
8800:
8762:
8756:
8631:
8625:
8561:
8555:
8465:
8425:Absolute convergence over sets
8362:sum converges absolutely then
8052:
8046:
7987:
7975:
7969:
7936:
7813:
7764:
7749:
7743:
7737:
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7688:
7639:
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7618:
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7561:
7555:
7479:
7467:
7455:
7449:
7416:
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7310:
7158:
7145:
7083:
7078:
7072:
7061:
7020:
7014:
7008:
6967:
6902:
6896:
6786:
6780:
6438:
6432:
6326:
6320:
6033:
5991:
5606:
5600:
5546:
5150:
5108:
5100:
5030:
4675:
4655:
4489:
4474:
4342:
4327:
4183:
4168:
3775:
3741:
2539:
2533:
2481:
2475:
2407:
2401:
2175:
2167:
2034:{\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}
2010:
1998:
1623:
1489:
1474:
859:
849:
819:
807:
724:
712:
581:
571:
510:
498:
478:
466:
434:
422:
357:
353:
347:
340:
292:
286:
1:
12671:Modular hypergeometric series
12512:1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
12037:Nuclear Locally Convex Spaces
11751:
11676:Convergence of Fourier series
11366:{\displaystyle |f|\equiv 1/2}
10361:is (properly) integrable and
5331:Riemann rearrangement theorem
4598:{\displaystyle n>m\geq N,}
4390:{\displaystyle n>m\geq N.}
3377:for then, the convergence of
3171:{\textstyle \sum \left^{1/2}}
2780:{\displaystyle \mathbb {R} .}
1883:{\displaystyle \|-x\|=\|x\|.}
1510:Sums of more general elements
785:{\displaystyle -1<x\leq 1}
398:
245:{\displaystyle \textstyle L.}
12170:Lecture Notes in Mathematics
11960:; Wolff, Manfred P. (1999).
2197:In topological vector spaces
7:
12681:Theta hypergeometric series
11928:Strichartz, Robert (2000).
11657:
11429:In a general sense, on any
3532:implies the convergence of
2987:alternating harmonic series
2947:with respect to the metric
2901:{\displaystyle x_{\alpha }}
2810:is a normable space and if
2041:induces the structure of a
1988:In this case, the function
1196:In this rearrangement, the
531:alternating harmonic series
10:
12751:
12563:Infinite arithmetic series
12507:1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯
12502:1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯
6496:includes all of the terms
5564:is any permutation, then
2589:{\displaystyle \subseteq }
737:, which converges for all
12735:Convergence (mathematics)
12689:
12646:
12590:
12525:
12494:
12487:
12457:
12426:
12419:
12393:
12382:
12305:
12249:
12240:
12068:Topological vector spaces
12066:Robertson, A. P. (1973).
12000:Topological Vector Spaces
11962:Topological Vector Spaces
11823:Schaefer & Wolff 1999
11706:Unconditional convergence
11275:{\displaystyle \chi _{S}}
11194:{\displaystyle S\subset }
10309:is Riemann integrable on
9193:a function. We say that
5343:unconditional convergence
4802:of real numbers, for any
4190:{\textstyle \sum |a_{i}|}
2556:of all finite subsets of
1920:{\displaystyle x,y\in G,}
1591:abelian topological group
11730:
11650:approach, obtaining the
10302:{\displaystyle g\circ f}
7885: there exists
5321:Real and complex numbers
5267:is a Cauchy sequence in
5022:, one immediately gets:
4631:{\textstyle \sum a_{i}.}
3558:{\textstyle \sum a_{k}.}
2983:conditionally convergent
2223:topological vector space
1721:{\displaystyle \|0\|=0.}
1314:conditionally convergent
730:{\displaystyle \ln(1+x)}
389:conditionally convergent
12394:Properties of sequences
11670:Conditional convergence
11284:characteristic function
6549:(and possibly others).
4714:{\textstyle \sum x_{n}}
2919:Relation to convergence
2376:(that is, if the limit
1840:{\displaystyle x\in G,}
1783:{\displaystyle \|x\|=0}
1752:{\displaystyle x\in G,}
522:{\displaystyle (3+2)+1}
484:{\displaystyle 1+(2+3)}
446:{\displaystyle (1+2)+3}
53:more precise citations.
12257:Arithmetic progression
11903:Tao, Terrance (2016).
11835:Rudin, Walter (1976).
11700:Riemann series theorem
11664:Cauchy principal value
11636:
11608:
11574:
11554:
11524:
11502:
11472:
11449:
11420:
11390:
11367:
11323:
11303:
11276:
11249:
11195:
11157:
11125:
11105:
11075:
11051:
11031:
11011:
10975:
10957:
10924:
10875:
10805:
10749:
10734:
10701:
10520:
10447:
10427:
10375:
10355:
10335:
10303:
10277:
10247:
10219:
10174:
10154:
10118:
10098:
10029:
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9951:
9930:
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9824:
9801:
9781:
9707:
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9646:
9613:
9592:
9571:
9533:
9433:
9413:
9393:
9373:
9353:
9331:
9229:
9209:
9187:
9153:
9130:
9110:
9090:
9067:
9047:
9027:
9002:
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8911:
8891:
8869:
8843:
8810:
8769:
8721:
8701:
8681:
8658:
8638:
8593:
8571:
8523:
8500:
8480:
8443:
8416:
8389:
8356:
8329:
8296:
8262:
8216:
8187:
8163:
8119:
8070:
8037:
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6543:
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6378:
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6060:
6015:
5930:
5867:
5816:
5783:C. A. Rogers
5771:
5718:
5688:
5648:
5624:
5591:
5558:
5522:
5492:
5445:
5412:
5388:Stated more formally:
5379:
5359:
5307:
5284:
5261:
5246:
5213:
5183:
5138:
5088:
5054:
5010:
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4929:
4889:
4851:
4850:{\displaystyle m>n}
4822:
4792:
4771:
4738:
4715:
4685:
4632:
4599:
4564:
4538:
4500:
4472:
4431:
4391:
4356:
4325:
4278:
4240:
4220:
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3963:
3917:
3871:
3830:
3801:
3740:
3701:
3626:be convergent. Since
3620:
3559:
3526:
3464:
3371:
3324:
3280:
3226:
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2695:
2672:
2646:
2590:
2576:directed by inclusion
2570:
2546:
2513:
2490:
2426:
2370:
2346:
2291:
2267:
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2066:
2035:
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1884:
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1753:
1722:
1690:
1662:
1642:
1583:
1556:
1541:
1497:
1472:
1439:
1424:
1387:Riemann series theorem
1375:
1304:
1188:
1020:
994:
966:
845:
786:
751:
731:
683:
567:
523:
485:
447:
381:
310:
246:
221:
191:
153:
137:
89:of numbers is said to
12648:Hypergeometric series
12262:Geometric progression
11694:Radius of convergence
11637:
11609:
11575:
11555:
11525:
11503:
11473:
11450:
11421:
11391:
11368:
11324:
11304:
11277:
11250:
11196:
11158:
11126:
11106:
11076:
11052:
11032:
11012:
10976:
10937:
10925:
10876:
10806:
10750:
10714:
10702:
10521:
10448:
10428:
10376:
10356:
10336:
10304:
10278:
10248:
10220:
10175:
10155:
10126:absolutely integrable
10119:
10099:
10030:
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9414:
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9374:
9354:
9332:
9310: is finite
9230:
9210:
9188:
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9068:
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8770:
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8702:
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8639:
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8572:
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8357:
8355:{\displaystyle b_{n}}
8330:
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8215:{\displaystyle c_{n}}
8188:
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8005:
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7852:
7768:
7643:
7420:
7399:
7275:
7097:
6950:
6589:
6544:
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11825:, pp. 179–180.
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