17:
384:
1170:
746:
687:
340:
1441:
1009:
902:
503:
261:
3391:
3358:
3335:
2504:
2456:
2426:
2418:
2398:
2390:
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1876:
1843:
1820:
1750:
1717:
1694:
1371:
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1641:
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1623:
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1618:
1659:
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2330:
2320:
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2302:
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2272:
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2254:
2244:
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2178:
2168:
2158:
2148:
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2130:
2120:
2110:
2102:
2092:
2082:
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2037:
2027:
2017:
2007:
1999:
1989:
1979:
1969:
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1901:
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1765:
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1600:
102:
82:
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1605:
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2032:
2022:
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1121:
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772:
350:
1271:
932:
825:
557:
226:
1400:
1330:
1244:
1554:, the non-reduced simple roots α (with 2α a root) are colored green. The first Dynkin diagram in a series sometimes does not follow the same rule as the others.
194:
526:
4904:
5014:
355:
1128:
692:
633:
274:
5050:
1405:
944:
837:
426:
1550:
The number of orbits given in the table is the number of orbits of simple roots under the Weyl group. In the
5009:, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 157, Cambridge: Cambridge University Press, pp. x+175,
234:
1344:
5040:
4953:
577:
1058:
389:
40:
1175:
137:
5045:
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4870:
64:
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1276:
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1021:
777:
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5024:
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803:
535:
199:
1376:
1306:
1220:
8:
173:
4966:
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4921:
4899:
4970:
4948:
4913:
4874:
5020:
4986:
4929:
56:
44:
1551:
76:
67:. Possibly non-reduced affine root systems were introduced and classified by
63:. The reduced affine root systems were used by Kac and Moody in their work on
5034:
4982:
4925:
119:
48:
36:
4974:
4917:
16:
570:
thanks to the chosen scalar product and we can define a product on
4873:, while the non-reduced affine root systems correspond to affine
800:
respectively. The identification let us define a reflection
3613:
4951:(1972), "Affine root systems and Dedekind's η-function",
75:(except that both these papers accidentally omitted the
1408:
1379:
1347:
1309:
1279:
1252:
1223:
1178:
1131:
1103:
1061:
1024:
947:
913:
840:
806:
780:
754:
695:
636:
580:
538:
511:
429:
392:
379:{\displaystyle f\colon E\longrightarrow \mathbb {R} }
358:
277:
237:
202:
176:
140:
4883:showed that affine roots systems index families of
1435:
1394:
1365:
1324:
1291:
1265:
1238:
1196:
1164:
1115:
1089:
1036:
1003:
926:
896:
819:
792:
766:
740:
681:
622:
551:
520:
497:
411:
378:
334:
255:
220:
188:
158:
126:the vector space of its translations. Recall that
5032:
5007:Affine Hecke algebras and orthogonal polynomials
47:. They are used in the classification of affine
1165:{\displaystyle (a,b^{\vee })\in \mathbb {Z} }
741:{\displaystyle v^{\vee }={\frac {2v}{(v,v)}}}
682:{\displaystyle f^{\vee }={\frac {2f}{(f,f)}}}
4869:Reduced affine root systems classify affine
335:{\displaystyle d(u,v)=\vert (u-v,u-v)\vert }
329:
299:
1436:{\displaystyle w(K)\cap H\neq \varnothing }
4897:
4859:
4853:showed that the affine root systems index
72:
5004:
4947:
4880:
4850:
1158:
1004:{\displaystyle w_{f}(g)=g-(f^{\vee },g)f}
897:{\displaystyle w_{f}(x)=x-f^{\vee }(x)Df}
498:{\displaystyle f(x)=Df(x-x_{0})+f(x_{0})}
372:
68:
166:, then it is well defined an element in
15:
3614:Irreducible affine root systems by rank
5033:
4900:"Groupes réductifs sur un corps local"
196:which is the only element w such that
1341:This means that for any two compacts
1332:as a discrete group acts properly on
532:that doesn't depend on the choice of
231:Now suppose we have a scalar product
4905:Publications Mathématiques de l'IHÉS
130:acts faithfully and transitively on
13:
4898:Bruhat, F.; Tits, Jacques (1972),
4862:used affine root systems to study
1053:and its elements are non-constant.
51:and superalgebras, and semisimple
14:
5062:
1446:
1430:
3601:
3596:
3591:
3586:
3581:
3576:
3571:
3566:
3561:
3553:
3548:
3543:
3538:
3533:
3528:
3523:
3515:
3510:
3505:
3500:
3495:
3487:
3482:
3477:
3424:
3419:
3414:
3409:
3404:
3399:
3394:
3389:
3381:
3376:
3371:
3366:
3361:
3356:
3348:
3343:
3338:
3333:
3325:
3320:
3315:
3310:
3305:
3252:
3247:
3242:
3237:
3232:
3227:
3222:
3217:
3212:
3204:
3199:
3194:
3189:
3184:
3179:
3174:
3166:
3161:
3156:
3151:
3146:
3138:
3133:
3128:
3075:
3070:
3065:
3060:
3055:
3050:
3045:
3040:
3035:
3027:
3022:
3017:
3012:
3007:
3002:
2997:
2989:
2984:
2979:
2974:
2969:
2961:
2956:
2951:
2904:
2899:
2894:
2889:
2884:
2857:
2852:
2847:
2842:
2837:
2815:
2810:
2805:
2800:
2795:
2790:
2785:
2780:
2775:
2748:
2743:
2738:
2733:
2728:
2723:
2718:
2713:
2708:
2686:
2681:
2676:
2671:
2666:
2661:
2656:
2651:
2646:
2641:
2636:
2631:
2626:
2621:
2616:
2594:
2589:
2584:
2579:
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2569:
2564:
2559:
2554:
2549:
2544:
2539:
2534:
2512:
2507:
2502:
2497:
2492:
2487:
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2424:
2416:
2411:
2406:
2401:
2396:
2388:
2383:
2378:
2348:
2343:
2338:
2333:
2328:
2323:
2318:
2313:
2308:
2300:
2295:
2290:
2285:
2280:
2275:
2270:
2262:
2257:
2252:
2247:
2242:
2234:
2229:
2224:
2186:
2181:
2176:
2171:
2166:
2161:
2156:
2151:
2146:
2138:
2133:
2128:
2123:
2118:
2113:
2108:
2100:
2095:
2090:
2085:
2080:
2045:
2040:
2035:
2030:
2025:
2020:
2015:
2010:
2005:
1997:
1992:
1987:
1982:
1977:
1972:
1967:
1959:
1954:
1949:
1944:
1939:
1909:
1904:
1899:
1894:
1889:
1884:
1879:
1874:
1866:
1861:
1856:
1851:
1846:
1841:
1833:
1828:
1823:
1818:
1783:
1778:
1773:
1768:
1763:
1758:
1753:
1748:
1740:
1735:
1730:
1725:
1720:
1715:
1707:
1702:
1697:
1692:
1662:
1657:
1652:
1647:
1639:
1634:
1629:
1621:
1616:
1608:
1603:
1598:
1496:are the same, as are the pairs
100:
95:
90:
85:
80:
59:, and correspond to families of
4844:
256:{\displaystyle (\cdot ,\cdot )}
20:The affine root system of type
1418:
1412:
1389:
1383:
1366:{\displaystyle K,H\subseteq E}
1319:
1313:
1233:
1227:
1151:
1132:
1078:
1072:
995:
976:
964:
958:
885:
879:
857:
851:
732:
720:
673:
661:
617:
599:
593:
581:
492:
479:
470:
451:
439:
433:
368:
326:
302:
293:
281:
250:
238:
1:
4891:
623:{\displaystyle (f,g)=(Df,Dg)}
109:
7:
1246:the group generated by the
267:. This defines a metric on
10:
5067:
1090:{\displaystyle w_{a}(S)=S}
412:{\displaystyle x_{0}\in E}
345:Consider the vector space
5005:Macdonald, I. G. (2003),
1451:The affine roots systems
4954:Inventiones Mathematicae
4860:Bruhat & Tits (1972)
1197:{\displaystyle a,b\in S}
159:{\displaystyle u,v\in E}
73:Bruhat & Tits (1972)
4866:-adic algebraic groups.
1302:
1047:
566:can be identified with
351:affine-linear functions
41:affine-linear functions
5051:Orthogonal polynomials
1437:
1396:
1367:
1326:
1293:
1292:{\displaystyle a\in S}
1267:
1240:
1198:
1166:
1117:
1116:{\displaystyle a\in S}
1091:
1038:
1037:{\displaystyle S\in F}
1005:
928:
898:
831:in the following way:
821:
794:
793:{\displaystyle v\in V}
768:
767:{\displaystyle f\in F}
742:
683:
624:
553:
522:
499:
413:
380:
336:
257:
222:
190:
160:
28:
4885:Macdonald polynomials
1443:are a finite number.
1438:
1397:
1368:
1327:
1294:
1268:
1266:{\displaystyle w_{a}}
1241:
1199:
1167:
1118:
1092:
1039:
1006:
929:
927:{\displaystyle w_{f}}
899:
822:
820:{\displaystyle w_{f}}
795:
769:
743:
684:
625:
554:
552:{\displaystyle x_{0}}
528:a linear function on
523:
500:
414:
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