Backstepping - Knowledge

26034: 24706: 26029:{\displaystyle {\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{x},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{x}({\textbf {x}}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{1}=f_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})+g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})z_{2}\end{cases}}\\{\dot {z}}_{2}=f_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})+g_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})z_{3}\end{cases}}\\\vdots \\\end{cases}}\\{\dot {z}}_{i}=f_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i})+g_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i})z_{i+1}\end{cases}}\\\vdots \end{cases}}\\{\dot {z}}_{k-2}=f_{k-2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots z_{k-2})+g_{k-2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-2})z_{k-1}\end{cases}}\\{\dot {z}}_{k-1}=f_{k-1}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots z_{k-2},z_{k-1})+g_{k-1}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-2},z_{k-1})z_{k}\end{cases}}\\{\dot {z}}_{k}=f_{k}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots z_{k-1},z_{k})+g_{k}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-1},z_{k})u\end{cases}}} 24695: 23472: 8964: 24690:{\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{x},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{x}({\textbf {x}}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{1}=f_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})+g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})z_{2}\\{\dot {z}}_{2}=f_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})+g_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})z_{3}\\\vdots \\{\dot {z}}_{i}=f_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i})+g_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i})z_{i+1}\\\vdots \\{\dot {z}}_{k-2}=f_{k-2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots z_{k-2})+g_{k-2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-2})z_{k-1}\\{\dot {z}}_{k-1}=f_{k-1}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots z_{k-2},z_{k-1})+g_{k-1}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-2},z_{k-1})z_{k}\\{\dot {z}}_{k}=f_{k}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots z_{k-1},z_{k})+g_{k}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-1},z_{k})u\end{cases}}} 1102: 8237: 26843: 84: 8959:{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {V}}_{1}&={\dot {V}}_{x}(\mathbf {x} )+{\frac {1}{2}}\left(2e_{1}{\dot {e}}_{1}\right)\\&={\dot {V}}_{x}(\mathbf {x} )+e_{1}{\dot {e}}_{1}\\&={\dot {V}}_{x}(\mathbf {x} )+e_{1}\overbrace {v_{1}} ^{{\dot {e}}_{1}}\\&=\overbrace {{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}\underbrace {\dot {\mathbf {x} }} _{{\text{(i.e., }}{\frac {\operatorname {d} \mathbf {x} }{\operatorname {d} t}}{\text{)}}}} ^{{\dot {V}}_{x}{\text{ (i.e.,}}{\frac {\operatorname {d} V_{x}}{\operatorname {d} t}}{\text{)}}}+e_{1}v_{1}\\&=\overbrace {{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}\underbrace {\left((f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} ))+g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}\right)} _{\dot {\mathbf {x} }}} ^{{\dot {V}}_{x}}+e_{1}v_{1}\end{aligned}}} 26127: 20314: 1097:{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}&=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}&=f_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})+g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})z_{2}\\{\dot {z}}_{2}&=f_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})+g_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})z_{3}\\\vdots \\{\dot {z}}_{i}&=f_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i-1},z_{i})+g_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i-1},z_{i})z_{i+1}\quad {\text{ for }}1\leq i<k-1\\\vdots \\{\dot {z}}_{k-1}&=f_{k-1}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-1})+g_{k-1}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-1})z_{k}\\{\dot {z}}_{k}&=f_{k}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-1},z_{k})+g_{k}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\dots ,z_{k-1},z_{k})u\end{cases}}\end{aligned}}} 11093: 26838:{\displaystyle {\begin{cases}\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }}\\{\dot {z}}_{1}\\{\dot {z}}_{2}\\\vdots \\{\dot {z}}_{i-2}\\{\dot {z}}_{i-1}\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,{\dot {\mathbf {x} }}_{i-1}}=\overbrace {\begin{bmatrix}f_{i-2}(\mathbf {x} _{i-2})+g_{i-2}(\mathbf {x} _{i-2})z_{i-2}\\f_{i-1}(\mathbf {x} _{i})\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,f_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})}+\overbrace {\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\g_{i-1}(\mathbf {x} _{i})\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,g_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})}z_{i}&\quad {\text{ ( by Lyap. func. }}V_{i-1},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{i-1}({\textbf {x}}_{i-1}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{i}=f_{i}(\mathbf {x} _{i})+g_{i}(\mathbf {x} _{i})u_{i}\end{cases}}} 16898: 19626: 19719: 27432: 14976: 10594: 17416: 16439: 19121: 20309:{\displaystyle {\begin{cases}\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }}\\{\dot {z}}_{1}\\{\dot {z}}_{2}\\\vdots \\{\dot {z}}_{i-2}\\{\dot {z}}_{i-1}\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,{\dot {\mathbf {x} }}_{i-1}}=\overbrace {\begin{bmatrix}f_{i-2}(\mathbf {x} _{i-2})+g_{i-2}(\mathbf {x} _{i-1})z_{i-2}\\0\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,f_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})}+\overbrace {\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\1\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,g_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})}z_{i}&\quad {\text{ ( by Lyap. func. }}V_{i-1},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{i-1}({\textbf {x}}_{i-1}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{i}=u_{i}\end{cases}}} 26860: 14561: 11088:{\displaystyle \underbrace {u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})=v_{1}+{\dot {u}}_{x}} _{{\text{By definition of }}v_{1}}=\overbrace {-{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )-k_{1}(\underbrace {z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} )} _{e_{1}})} ^{v_{1}}\,+\,\overbrace {{\frac {\partial u_{x}}{\partial \mathbf {x} }}(\underbrace {f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}} _{{\dot {\mathbf {x} }}{\text{ (i.e., }}{\frac {\operatorname {d} \mathbf {x} }{\operatorname {d} t}}{\text{)}}})} ^{{\dot {u}}_{x}{\text{ (i.e., }}{\frac {\operatorname {d} u_{x}}{\operatorname {d} t}}{\text{)}}}} 16992: 16893:{\displaystyle {\begin{cases}\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }}\\{\dot {z}}_{1}\\{\dot {z}}_{2}\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,{\dot {\mathbf {x} }}_{2}}=\overbrace {\begin{bmatrix}f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{2}\\z_{2}\\0\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,f_{2}(\mathbf {x} _{2})}+\overbrace {\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\0\\1\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,g_{2}(\mathbf {x} _{2})}z_{3}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{2},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{2}({\textbf {x}}_{2}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{3}=u_{3}\end{cases}}} 19621:{\displaystyle {\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{x},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{x}({\textbf {x}}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{1}=z_{2}\end{cases}}\\{\dot {z}}_{2}=z_{3}\end{cases}}\\\vdots \end{cases}}\\{\dot {z}}_{i}=z_{i+1}\end{cases}}\\\vdots \end{cases}}\\{\dot {z}}_{k-2}=z_{k-1}\end{cases}}\\{\dot {z}}_{k-1}=z_{k}\end{cases}}\\{\dot {z}}_{k}=u\end{cases}}} 5236: 27427:{\displaystyle u_{i}(\overbrace {\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\dots ,z_{i}} ^{\triangleq \,\mathbf {x} _{i}})={\frac {1}{g_{i}(\mathbf {x} _{i})}}\left(\overbrace {-{\frac {\partial V_{i-1}}{\partial \mathbf {x} _{i-1}}}g_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})\,-\,k_{i}\left(z_{i}\,-\,u_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})\right)\,+\,{\frac {\partial u_{i-1}}{\partial \mathbf {x} _{i-1}}}(f_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})\,+\,g_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})z_{i})} ^{{\text{Single-integrator stabilizing control }}u_{a\;\!i}(\mathbf {x} _{i})}\,-\,f_{i}(\mathbf {x} _{i-1})\right)} 14971:{\displaystyle {\begin{cases}\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }}\\{\dot {z}}_{1}\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,{\dot {\mathbf {x} }}_{1}}=\overbrace {\begin{bmatrix}f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\0\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,f_{1}(\mathbf {x} _{1})}+\overbrace {\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\1\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,g_{1}(\mathbf {x} _{1})}z_{2}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{1},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{1}({\textbf {x}}_{1}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{2}=u_{2}\end{cases}}} 19110: 20756: 17411:{\displaystyle {\begin{cases}\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}\\{\dot {z}}_{2}\end{bmatrix}} ^{{\dot {\mathbf {x} }}_{2}}=\overbrace {\begin{bmatrix}f_{1}(\mathbf {x} _{1})+g_{1}(\mathbf {x} _{1})z_{2}\\0\end{bmatrix}} ^{f_{2}(\mathbf {x} _{2})}+\overbrace {\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\1\end{bmatrix}} ^{g_{2}(\mathbf {x} _{2})}z_{3}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{2},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{2}({\textbf {x}}_{2}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{3}=u_{3}\end{cases}}} 9386: 23220: 10223: 4921: 18710: 7191: 22242: 20325: 9024: 22830: 18174: 9898: 15694: 5231:{\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\underbrace {\mathbf {0} } _{\mathbf {x} })+(g_{x}(\underbrace {\mathbf {0} } _{\mathbf {x} }))(\underbrace {0} _{z_{1}})=0+(g_{x}(\mathbf {0} ))(0)=\mathbf {0} &\quad {\text{ (i.e., }}\mathbf {x} =\mathbf {0} {\text{ is stationary)}}\\{\dot {z}}_{1}=\overbrace {0} ^{u_{1}}&\quad {\text{ (i.e., }}z_{1}=0{\text{ is stationary)}}\end{cases}}} 17727: 15287: 12586: 6887: 9854: 22784: 13933: 19105:{\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{x},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{x}({\textbf {x}}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{1}=z_{2}\\{\dot {z}}_{2}=z_{3}\\\vdots \\{\dot {z}}_{i}=z_{i+1}\\\vdots \\{\dot {z}}_{k-2}=z_{k-1}\\{\dot {z}}_{k-1}=z_{k}\\{\dot {z}}_{k}=u\end{cases}}} 6904: 21896: 20751:{\displaystyle u_{i}(\overbrace {\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\dots ,z_{i}} ^{\triangleq \,\mathbf {x} _{i}})=-{\frac {\partial V_{i-1}}{\partial \mathbf {x} _{i-1}}}g_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})\,-\,k_{i}(z_{i}\,-\,u_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1}))\,+\,{\frac {\partial u_{i-1}}{\partial \mathbf {x} _{i-1}}}(f_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})\,+\,g_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})z_{i})} 9381:{\displaystyle {\dot {V}}_{1}=\overbrace {{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} ))} ^{{}\leq -W(\mathbf {x} )}+{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}+e_{1}v_{1}\leq -W(\mathbf {x} )+{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}+e_{1}v_{1}} 23215:{\displaystyle u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})={\frac {1}{g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}}\left(\overbrace {-{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )-k_{1}(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} ))+{\frac {\partial u_{x}}{\partial \mathbf {x} }}(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1})} ^{u_{a1}(\mathbf {x} ,z_{1})}\,-\,f_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})\right)} 10218:{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {V}}_{1}&=-W(\mathbf {x} )+{\mathord {\overbrace {{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}-e_{1}{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )} ^{0}}}-k_{1}e_{1}^{2}\\&=-W(\mathbf {x} )-k_{1}e_{1}^{2}\leq -W(\mathbf {x} )\\&<0\end{aligned}}} 17858: 15391: 17510: 15070: 7615: 12378: 21354: 6634: 16424: 7942: 9620: 5599: 22533: 13685: 7186:{\displaystyle {\begin{cases}{\dot {x}}={\mathord {\underbrace {\left(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )\right)} _{F(\mathbf {x} )}}}+g_{x}(\mathbf {x} )\underbrace {\left(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} )\right)} _{z_{1}{\text{ error tracking }}u_{x}}\\{\dot {z}}_{1}=u_{1}\end{cases}}} 5862: 22237:{\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}=f_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})+g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})\overbrace {{\frac {1}{g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}}\left(u_{a1}-f_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})\right)} ^{u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}\end{cases}}} 21125:

to the next cascaded system and repeating the procedure. So it is critical to develop a single-step procedure; that procedure can be recursively applied to cover the many-step case. Fortunately, due to the requirements on the functions in the strict-feedback form, each single-step system can be

14546: 11922: 12837:

In the two-integrator case, the upper single-integrator subsystem was stabilized yielding a new single-integrator system that can be similarly stabilized. This recursive procedure can be extended to handle any finite number of integrators. This claim can be formally proved with

22391: 13602: 4635: 18169:{\displaystyle u_{3}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},z_{3})=-{\frac {\partial V_{2}}{\partial \mathbf {x} _{2}}}g_{2}(\mathbf {x} _{2})-k_{3}(z_{3}-u_{2}(\mathbf {x} _{2}))+{\frac {\partial u_{2}}{\partial \mathbf {x} _{2}}}(f_{2}(\mathbf {x} _{2})+g_{2}(\mathbf {x} _{2})z_{3})} 18636: 21846: 12284: 3470: 3236: 15689:{\displaystyle u_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})=-{\frac {\partial V_{1}}{\partial \mathbf {x} _{1}}}g_{1}(\mathbf {x} _{1})-k_{2}(z_{2}-u_{1}(\mathbf {x} _{1}))+{\frac {\partial u_{1}}{\partial \mathbf {x} _{1}}}(f_{1}(\mathbf {x} _{1})+g_{1}(\mathbf {x} _{1})z_{2})} 27644: 20962: 16083: 17722:{\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}_{2}=f_{2}(\mathbf {x} _{2})+g_{2}(\mathbf {x} _{2})z_{3}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{2},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{2}({\textbf {x}}_{2}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{3}=u_{3}\end{cases}}} 15282:{\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}=f_{1}(\mathbf {x} _{1})+g_{1}(\mathbf {x} _{1})z_{2}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{1},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{1}({\textbf {x}}_{1}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{2}=u_{2}\end{cases}}} 46:

structure, the designer can start the design process at the known-stable system and "back out" new controllers that progressively stabilize each outer subsystem. The process terminates when the final external control is reached. Hence, this process is known as

10530: 4477:, it is convenient to discuss the approach for a smaller class of strict-feedback form systems. These systems connect a series of integrators to the input of a system with a known feedback-stabilizing control law, and so the stabilizing approach is known as 7407: 12581:{\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {y} }}=f_{y}(\mathbf {y} )+g_{y}(\mathbf {y} )z_{2}&\quad {\text{( where this }}\mathbf {y} {\text{ subsystem is stabilized by }}z_{2}=u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{2}=u_{2}.\end{cases}}} 6882:{\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}+{\mathord {\underbrace {\left(g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )-g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )\right)} _{0}}}\\{\dot {z}}_{1}=u_{1}\end{cases}}} 21148: 23415: 14241: 2913: 2718: 16217: 9570: 7756: 2367: 1777: 9849:{\displaystyle {\dot {V}}_{1}=-W(\mathbf {x} )+{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}+e_{1}\overbrace {\left(-{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )-k_{1}e_{1}\right)} ^{v_{1}}} 8220: 22779:{\displaystyle u_{a1}(\mathbf {x} ,z_{1})=-{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )-k_{1}(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} ))+{\frac {\partial u_{x}}{\partial \mathbf {x} }}(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1})} 12359: 13928:{\displaystyle u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})=-{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )-k_{1}(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} ))+{\frac {\partial u_{x}}{\partial \mathbf {x} }}(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1})} 5466: 12162: 5707: 23437:

has a feedback-stabilizing control and a corresponding Lyapunov function, it can be cascaded as part of a larger strict-feedback system, and this procedure can be repeated to find the surrounding feedback-stabilizing control.

12942: 27754: 21073: 14375: 11751: 11730: 12677: 1396: 1562: 1270: 1638: 21468: 13068: 22253: 13467: 7396: 4500: 9454: 18466: 6547: 11374: 11272: 7245: 5303: 21694: 12169: 10387: 9013: 7683: 3301: 3058: 9903: 8242: 6340: 89: 27482: 20800: 15926: 13120: 11975: 4688: 1145: 21621: 3049: 10400: 18428: 15888: 14067: 13358:, then the output states (and the Lyapunov function) return to the origin after a single perturbation (e.g., after a nonzero initial condition or a sharp disturbance). This subsystem is 13188: 7610:{\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} ))+g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}\\{\dot {e}}_{1}=u_{1}-{\dot {u}}_{x}\end{cases}}} 6407: 6244: 6132: 6101: 4880: 4318: 1819: 7745: 12761: 11644: 11593: 5376: 2570: 11740:

Before discussing the recursive procedure for the general multiple-integrator case, it is instructive to study the recursion present in the two-integrator case. That is, consider the

5696: 21349:{\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}=f_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})+g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})u_{1}\end{cases}}} 6064: 21105:

Hence, any system in this special many-integrator strict-feedback form can be feedback stabilized using a straightforward procedure that can even be automated (e.g., as part of an

6582: 5649: 4816: 4279: 2453: 1905: 1463: 26078: 19671: 7332: 7291: 6623: 6462: 6213: 5417: 22519: 22478: 13356: 13278: 13233: 6014: 2409: 1861: 23285: 14111: 2783: 2579: 6281: 17449: 16931: 15009: 5451: 16419:{\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}=z_{2}\\{\dot {z}}_{2}=z_{3}\\{\dot {z}}_{3}=u_{3}\end{cases}}} 6176: 5899: 11538: 11502: 6376: 3537: 2980: 4205: 4144: 1965: 1670: 7937:{\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} ))+g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}\\{\dot {e}}_{1}=v_{1}\end{cases}}} 21882: 9469: 27468: 23269: 22820: 20793: 18211: 15731: 13970: 11309: 9609: 4423: 18397: 18364: 18331: 15857: 15824: 14036: 13153: 8012: 4913: 4849: 4456: 4384: 4351: 3841: 3804: 3771: 3731: 3694: 3661: 3621: 2272: 2143: 2076: 1682: 1171: 22424: 21682: 8122: 5594:{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=F(\mathbf {x} )\qquad {\text{where}}\qquad F(\mathbf {x} )\triangleq f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )} 26105: 21652: 21564: 21524: 21497: 19698: 18694: 18667: 18459: 18292: 18265: 18238: 17851: 17818: 17791: 17764: 17503: 17476: 16985: 16958: 16200: 16173: 16141: 16114: 15919: 15785: 15758: 15384: 15351: 15324: 15063: 15036: 14358: 14331: 14299: 14272: 14098: 13997: 13678: 13645: 13450: 13423: 13387: 13318: 12973: 12827: 12800: 12704: 12291: 12095: 12062: 12029: 12002: 11466: 11439: 11406: 11224: 11197: 11170: 11143: 10579: 10325: 10298: 10260: 9887: 8104: 8066: 8039: 7979: 5964: 4763: 4715: 4235: 4173: 4112: 4062: 4028: 3997: 3970: 3936: 3905: 3878: 3584: 3501: 3294: 3267: 2944: 2776: 2749: 2514: 2480: 2238: 2211: 2184: 2106: 2043: 2013: 1935: 27780: 21099: 12106: 21121:

have a recursive structure similar to the many-integrator system structure. Likewise, they are stabilized by stabilizing the smallest cascaded system and then

5857:{\displaystyle {\dot {V}}_{x}={\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} ))\leq -W(\mathbf {x} )} 42:. These systems are built from subsystems that radiate out from an irreducible subsystem that can be stabilized using some other method. Because of this 23446:

As in many-integrator backstepping, the single-step procedure can be completed iteratively to stabilize an entire strict-feedback system. In each step,

14541:{\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}=z_{2}\\{\dot {z}}_{2}=u_{2}\end{cases}}} 12858: 11917:{\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}=z_{2}\\{\dot {z}}_{2}=u_{2}\end{cases}}} 27652: 20971: 11540:

plus some offset. The other terms provide damping to remove that offset and any other perturbation effects that would be magnified by the integrator.

27782:). Hence, any strict-feedback system can be feedback stabilized using a straightforward procedure that can even be automated (e.g., as part of an 11649: 12607: 1291: 2516:

for this stable subsystem is known. Backstepping provides a way to extend the controlled stability of this subsystem to the larger system.

27832:"A method of goal-oriented formation of the local topological structure of co-dimension one foliations for dynamic systems with control" 10549:

As discussed below, this Lyapunov function will be used again when this procedure is applied iteratively to multiple-integrator problem.

21126:

rendered by feedback to a single-integrator system, and that single-integrator system can be stabilized using methods discussed above.

1470: 1178: 22386:{\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}=u_{a1}\end{cases}}} 1567: 21378: 13597:{\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}=u_{1}\end{cases}}} 12978: 12842:. Here, a stabilized multiple-integrator system is built up from subsystems of already-stabilized multiple-integrator subsystems. 4630:{\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}=u_{1}\end{cases}}} 4459: 18631:{\displaystyle V_{3}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},z_{3})=V_{2}(\mathbf {x} _{2})+{\frac {1}{2}}(z_{3}-u_{2}(\mathbf {x} _{2}))^{2}} 7337: 9397: 27954: 21841:{\displaystyle u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})={\frac {1}{g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}}\left(u_{a1}-f_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})\right)} 12279:{\displaystyle f_{y}(\mathbf {y} )\triangleq {\begin{bmatrix}f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\0\end{bmatrix}}\,} 3465:{\displaystyle V_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})=V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})+{\frac {1}{2}}(z_{2}-u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1}))^{2}} 3231:{\displaystyle {\dot {z}}_{2}=f_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})+g_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})u_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})} 6493: 4481:

With a small modification, the integrator backstepping approach can be extended to handle all strict-feedback form systems.

26039:

and can be feedback stabilized by finding the feedback-stabilizing control and Lyapunov function for the single-integrator

19632:

and can be feedback stabilized by finding the feedback-stabilizing control and Lyapunov function for the single-integrator

11318: 11229: 7202: 5247: 10330: 8975: 7626: 27639:{\displaystyle V_{i}(\mathbf {x} _{i})=V_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})+{\frac {1}{2}}(z_{i}-u_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1}))^{2}} 20957:{\displaystyle V_{i}(\mathbf {x} _{i})=V_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})+{\frac {1}{2}}(z_{i}-u_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1}))^{2}} 16078:{\displaystyle V_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})=V_{1}(\mathbf {x} _{1})+{\frac {1}{2}}(z_{2}-u_{1}(\mathbf {x} _{1}))^{2}} 6289: 13079: 12769:) is a new single-integrator system that is structurally equivalent to the single-integrator system in Equation ( 11943: 4656: 1113: 21569: 10581:

ultimately depends on all of our original state variables. In particular, the actual feedback-stabilizing control law

10525:{\displaystyle V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})\triangleq V_{x}(\mathbf {x} )+{\frac {1}{2}}(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} ))^{2}} 2990: 11414:) drives the input of an integrator that is connected to a subsystem that is feedback-stabilized by the control law 18402: 15862: 14041: 13162: 6412:

Because the energy is always decaying, then the system must be stable; its trajectories must approach the origin.

6381: 6218: 6106: 6075: 4854: 4292: 1793: 7688: 12715: 11598: 11547: 5330: 2524: 13614:), and so the single-integrator backstepping procedure leads to the stabilizing control law in Equation ( 5657: 17739:), and so the single-integrator backstepping procedure can be applied again. That is, if we feed back states 15299:), and so the single-integrator backstepping procedure can be applied again. That is, if we feed back states 6022: 23410:{\displaystyle V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})=V_{x}(\mathbf {x} )+{\frac {1}{2}}(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} ))^{2}} 14236:{\displaystyle V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})=V_{x}(\mathbf {x} )+{\frac {1}{2}}(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} ))^{2}} 6556: 5610: 4777: 4240: 2908:{\displaystyle V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})=V_{x}(\mathbf {x} )+{\frac {1}{2}}(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} ))^{2}} 2713:{\displaystyle {\dot {z}}_{1}=f_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})+g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})} 2414: 1866: 1408: 26042: 19635: 7296: 7255: 6587: 6426: 6409:. That is, so long as the system is not at its equilibrium at the origin, its "energy" will be decreasing. 6181: 5381: 22486: 22445: 13323: 13245: 13200: 5981: 2376: 1828: 27976: 6249: 5902: 17425: 16907: 14985: 5422: 6150: 5873: 26136: 24771: 24763: 24755: 24747: 24739: 24731: 24723: 24715: 23481: 22262: 21905: 21157: 19728: 19186: 19178: 19170: 19162: 19154: 19146: 19138: 19130: 18719: 17519: 17001: 16448: 16226: 15079: 14570: 14384: 13476: 12387: 12064:

enters through an integrator, and the output of that integrator enters the system in Equation (

11760: 11507: 11471: 9565:{\displaystyle v_{1}=-{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )-k_{1}e_{1}} 7765: 7416: 6913: 6643: 6345: 4930: 4509: 3506: 2949: 97: 18701:

This process can continue for each integrator added to the system, and hence any system of the form

12031:

are scalars. This system is a cascade connection of the single-integrator system in Equation (

4178: 4117: 4080:

because it starts with the requirements on some internal subsystem for stability and progressively

1946: 1643: 21854: 27440: 23241: 22792: 20765: 18183: 15703: 13942: 11281: 9581: 2362:{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )} 1772:{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )} 12839: 8215:{\displaystyle V_{1}(\mathbf {x} ,e_{1})\triangleq V_{x}(\mathbf {x} )+{\frac {1}{2}}e_{1}^{2}} 4389: 26113:) and iterating out from that inner subsystem until the ultimate feedback-stabilizing control 19706:) and iterating out from that inner subsystem until the ultimate feedback-stabilizing control 12354:{\displaystyle g_{y}(\mathbf {y} )\triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\1\end{bmatrix}},\,} 27900: 18369: 18336: 18303: 15829: 15796: 14008: 13125: 7984: 6476:, and by choosing the control properly, we can ensure that it is decaying everywhere as well. 4885: 4821: 4428: 4356: 4323: 3813: 3776: 3743: 3703: 3666: 3633: 3593: 2115: 2048: 1150: 22399: 21657: 10389:). Using the variables from the original coordinate system, the equivalent Lyapunov function 5327:) around its equilibrium at the origin. To be less precise, we wish to design a control law 5309:) of the system. If the system ever reaches the origin, it will remain there forever after. 27800: 26083: 22521:

for the upper subsystem is known, the feedback-stabilizing control law from Equation (

21630: 21542: 21527: 21502: 21475: 21135: 21118: 19676: 18672: 18645: 18437: 18270: 18243: 18216: 17829: 17796: 17769: 17742: 17481: 17454: 16963: 16936: 16178: 16151: 16119: 16092: 15897: 15763: 15736: 15362: 15329: 15302: 15041: 15014: 14336: 14309: 14277: 14250: 14076: 13975: 13656: 13623: 13428: 13401: 13365: 13296: 12951: 12805: 12778: 12682: 12073: 12040: 12007: 11980: 11444: 11417: 11384: 11202: 11175: 11148: 11121: 10557: 10303: 10276: 10238: 9865: 8082: 8044: 8017: 7957: 5942: 5242: 4741: 4693: 4471: 4213: 4151: 4090: 4040: 4006: 3975: 3948: 3914: 3883: 3856: 3562: 3479: 3272: 3245: 2922: 2754: 2727: 2492: 2458: 2216: 2189: 2162: 2084: 2021: 1991: 1943:

subsystem is stabilized by some other method and backstepping extends its stability to the

1913: 1787: 1402: 1398: 1283: 1273: 71: 67: 12157:{\displaystyle \mathbf {y} \triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {x} \\z_{1}\end{bmatrix}}\,} 8: 27759: 21078: 27881: 27861: 11312: 5927: 5318: 4718: 1783: 63: 32: 28: 27950: 27843: 27795: 22481: 13239: 11732:, it can be used as the upper subsystem in another single-integrator cascade system. 10266: 5652: 2487: 1908: 27885: 27940: 27936: 27915: 27873: 27810: 27783: 21138: 21106: 13156: 12847: 11741: 5306: 4490: 4474: 75: 39: 36: 12937:{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}} 11311:

affects the convergence rate or our system. Under this control law, our system is

3296:

control. The control design is based on the augmented Lyapunov function candidate

2778:

control. The control design is based on the augmented Lyapunov function candidate

27749:{\displaystyle u(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k})=u_{k}(\mathbf {x} _{k})} 21068:{\displaystyle u(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k})=u_{k}(\mathbf {x} _{k})} 27805: 17733:

So the re-grouped system has the single-integrator structure of Equation (

20: 12802:

can be found using the same single-integrator procedure that was used to find

27970: 27946: 27847: 11725:{\displaystyle {\dot {V}}_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})\leq -W(\mathbf {x} )<0} 24: 23450:

The smallest "unstabilized" single-step strict-feedback system is isolated.

23453:

Feedback is used to convert the system into a single-integrator system.

13395: 12672:{\displaystyle u_{y}(\mathbf {y} )\triangleq u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})} 4722: 27877: 15293:

This system matches the single-integrator structure of Equation (

27919: 1391:{\displaystyle f_{x},f_{1},f_{2},\ldots ,f_{i},\ldots ,f_{k-1},f_{k}} 59: 43: 23459:

The stabilized system is used as the upper system in the next step.

11504:

term that will be integrated to follow the stabilizing control law

7247:

subsystem plus some error perturbation generated by the integrator.

5453:

after the system is started from some arbitrary initial condition.

4736: 11735: 2252:

out of the strict-feedback form system until the ultimate control

6472:

for this new system. That candidate will depend upon the control

27831: 6549:(i.e., we don't change the system in any way because we make no 2186:, and then proceeds with determining how to make the next state 6144:

states will continuously approach the origin as time increases.

4084:

out of the system, maintaining stability at each step. Because

1557:{\displaystyle g_{1},g_{2},\ldots ,g_{i},\ldots ,g_{k-1},g_{k}} 1265:{\displaystyle z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i},\ldots ,z_{k-1},z_{k}} 14100:, and the corresponding Lyapunov function from Equation ( 27901:"Adaptive control of robot manipulators with flexible joints" 1633:{\displaystyle g_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},\ldots ,z_{k})\neq 0} 21463:{\displaystyle \mathbf {x} =^{\text{T}}\in \mathbb {R} ^{n}} 13063:{\displaystyle \mathbf {x} =^{\text{T}}\in \mathbb {R} ^{n}} 26831: 26022: 25816: 25573: 25362: 25348: 25164: 25150: 25010: 24683: 22379: 22230: 21342: 20302: 19614: 19578: 19529: 19474: 19460: 19411: 19397: 19354: 19098: 17715: 17404: 16987:

from the previous step, this system is also represented by

16886: 16412: 15275: 14964: 14534: 13590: 12574: 11910: 7930: 7603: 7179: 6875: 5978:

states of the system move away from the origin, the energy

5224: 4623: 2265:

It is given that the smaller (i.e., lower-order) subsystem

1086: 23271:. The corresponding Lyapunov function from Equation ( 7199:

So our cascaded supersystem encapsulates the known-stable

26854:), the corresponding feedback-stabilizing control law is 13608:

This "cascade" system matches the form in Equation (

7391:{\displaystyle e_{1}\triangleq z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} )} 4470:

Before describing the backstepping procedure for general

9449:{\displaystyle {\dot {V}}_{1}\leq -W(\mathbf {x} )<0} 27864:(1992). "The joy of feedback: nonlinear and adaptive". 13235:

stabilizes the system at the equilibrium at the origin.

26539: 26330: 26146: 20320:

The corresponding feedback-stabilizing control law is

20100: 19922: 19738: 17236: 17104: 17011: 16707: 16571: 16458: 14792: 14670: 14580: 12324: 12202: 12123: 6542:{\displaystyle g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )} 6378:

is bounded away from zero for all points except where

5932:

Roughly speaking, this notion of stability means that:

27762: 27655: 27485: 27443: 26863: 26130: 26086: 26045: 24709: 23475: 23456:

The resulting single-integrator system is stabilized.

23288: 23244: 22833: 22795: 22536: 22489: 22448: 22402: 22256: 21899: 21857: 21697: 21660: 21633: 21572: 21545: 21505: 21478: 21381: 21151: 21081: 20974: 20803: 20768: 20328: 19722: 19679: 19638: 19124: 18713: 18675: 18648: 18469: 18440: 18405: 18372: 18339: 18306: 18273: 18246: 18219: 18186: 17861: 17832: 17799: 17772: 17745: 17513: 17484: 17457: 17428: 16995: 16966: 16939: 16910: 16442: 16220: 16181: 16154: 16122: 16095: 15929: 15900: 15865: 15832: 15799: 15766: 15739: 15706: 15394: 15365: 15332: 15305: 15073: 15044: 15017: 14988: 14564: 14378: 14339: 14312: 14280: 14253: 14114: 14079: 14044: 14011: 13978: 13945: 13688: 13659: 13626: 13470: 13431: 13404: 13368: 13326: 13299: 13248: 13203: 13165: 13128: 13082: 12981: 12954: 12861: 12808: 12781: 12718: 12685: 12610: 12381: 12294: 12172: 12109: 12076: 12043: 12010: 11983: 11946: 11754: 11652: 11601: 11550: 11510: 11474: 11447: 11420: 11387: 11369:{\displaystyle (\mathbf {x} ,z_{1})=(\mathbf {0} ,0)} 11321: 11284: 11267:{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=F(\mathbf {x} )} 11232: 11205: 11178: 11151: 11124: 10597: 10560: 10403: 10333: 10306: 10279: 10241: 9901: 9868: 9623: 9584: 9472: 9400: 9027: 8978: 8240: 8125: 8085: 8047: 8020: 7987: 7960: 7759: 7691: 7629: 7410: 7340: 7299: 7258: 7240:{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=F(\mathbf {x} )} 7205: 6907: 6637: 6590: 6559: 6496: 6429: 6384: 6348: 6292: 6252: 6221: 6184: 6153: 6109: 6078: 6025: 5984: 5945: 5876: 5710: 5660: 5613: 5469: 5425: 5384: 5333: 5298:{\displaystyle (\mathbf {x} ,z_{1})=(\mathbf {0} ,0)} 5250: 4924: 4888: 4857: 4824: 4780: 4744: 4696: 4659: 4503: 4431: 4392: 4359: 4326: 4295: 4243: 4216: 4181: 4154: 4120: 4093: 4043: 4009: 3978: 3951: 3917: 3886: 3859: 3816: 3779: 3746: 3706: 3669: 3636: 3596: 3565: 3509: 3482: 3304: 3275: 3248: 3061: 2993: 2952: 2925: 2786: 2757: 2730: 2582: 2527: 2495: 2461: 2417: 2379: 2275: 2219: 2192: 2165: 2118: 2087: 2051: 2024: 1994: 1949: 1916: 1869: 1831: 1796: 1685: 1646: 1570: 1473: 1411: 1294: 1181: 1153: 1116: 87: 27756:(i.e., ultimate control is found at final iteration 22442:). Assuming that a feedback-stabilizing control law 21075:(i.e., ultimate control is found at final iteration 12604:

By the single-integrator procedure, the control law

10382:{\displaystyle v_{1}\triangleq u_{1}-{\dot {u}}_{x}} 9008:{\displaystyle \partial V_{x}/\partial \mathbf {x} } 7678:{\displaystyle v_{1}\triangleq u_{1}-{\dot {u}}_{x}} 4285:

then the resulting system has an equilibrium at the

2373:

is already stabilized to the origin by some control

2259: 22822:. So the final feedback-stabilizing control law is 21627:Rather than designing feedback-stabilizing control 9456:(i.e., to ensure stability of the supersystem), we 6335:{\displaystyle {\dot {V}}_{x}\leq -W(\mathbf {x} )} 1988:has its most immediate stabilizing impact on state 27774: 27748: 27638: 27462: 27426: 26837: 26099: 26072: 26028: 24689: 23409: 23263: 23214: 22814: 22778: 22513: 22472: 22418: 22385: 22236: 21876: 21840: 21676: 21646: 21615: 21558: 21518: 21491: 21462: 21348: 21093: 21067: 20956: 20787: 20750: 20308: 19692: 19665: 19620: 19104: 18696:decays to zero as the states return to the origin. 18688: 18661: 18630: 18453: 18422: 18391: 18358: 18325: 18286: 18259: 18232: 18205: 18168: 17845: 17812: 17785: 17758: 17721: 17497: 17470: 17443: 17410: 16979: 16952: 16925: 16892: 16418: 16194: 16167: 16143:decays to zero as the states return to the origin. 16135: 16108: 16077: 15913: 15882: 15851: 15818: 15779: 15752: 15725: 15688: 15378: 15345: 15318: 15281: 15057: 15030: 15003: 14970: 14540: 14352: 14325: 14301:decays to zero as the states return to the origin. 14293: 14266: 14235: 14092: 14061: 14030: 13991: 13964: 13927: 13672: 13639: 13596: 13444: 13417: 13381: 13350: 13312: 13272: 13227: 13182: 13147: 13114: 13062: 12967: 12936: 12821: 12794: 12755: 12698: 12671: 12580: 12353: 12278: 12156: 12089: 12056: 12023: 11996: 11969: 11916: 11724: 11638: 11587: 11532: 11496: 11460: 11433: 11400: 11368: 11303: 11266: 11218: 11191: 11164: 11137: 11087: 10573: 10524: 10381: 10319: 10292: 10254: 10217: 9881: 9848: 9603: 9564: 9448: 9380: 9007: 8958: 8214: 8098: 8060: 8033: 8006: 7973: 7936: 7739: 7677: 7609: 7390: 7326: 7285: 7239: 7185: 6881: 6617: 6576: 6541: 6456: 6401: 6370: 6334: 6275: 6238: 6207: 6170: 6126: 6095: 6058: 6008: 5958: 5893: 5856: 5690: 5643: 5593: 5445: 5411: 5370: 5297: 5230: 4907: 4874: 4843: 4810: 4757: 4709: 4682: 4629: 4450: 4417: 4378: 4345: 4312: 4273: 4229: 4199: 4167: 4138: 4106: 4056: 4022: 3991: 3964: 3930: 3899: 3872: 3835: 3798: 3765: 3725: 3688: 3655: 3615: 3578: 3531: 3495: 3464: 3288: 3261: 3230: 3043: 2974: 2938: 2907: 2770: 2743: 2712: 2564: 2508: 2474: 2447: 2403: 2361: 2232: 2205: 2178: 2137: 2100: 2070: 2045:then acts like a stabilizing control on the state 2037: 2007: 1959: 1937:for this stable subsystem is known. That is, this 1929: 1899: 1855: 1813: 1771: 1664: 1632: 1556: 1457: 1390: 1264: 1165: 1139: 1096: 27354: 12364:then the two-integrator system in Equation ( 11544:So because this system is feedback stabilized by 5312: 27968: 13115:{\displaystyle f_{x}(\mathbf {x} )=\mathbf {0} } 11970:{\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}} 4683:{\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}} 4484: 1140:{\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}} 27898: 21616:{\displaystyle g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})\neq 0} 18430:after a single perturbation. This subsystem is 15890:after a single perturbation. This subsystem is 14069:after a single perturbation. This subsystem is 12832: 11736:Motivating Example: Two-integrator Backstepping 5321:the single-integrator system in Equation ( 3044:{\displaystyle u_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})} 1564:are nonzero over the domain of interest (i.e., 27836:Journal of Automation and Information Sciences 18461:, and the corresponding Lyapunov function is 16208:. The resulting augmented dynamical system is 15921:, and the corresponding Lyapunov function is 14366:. The resulting augmented dynamical system is 13458:. The resulting augmented dynamical system is 13242:corresponding to this system is described by 27854: 27649:By this construction, the ultimate control 27342:Single-integrator stabilizing control 20968:By this construction, the ultimate control 18423:{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,} 15883:{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,} 14062:{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,} 13183:{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,} 12037:) with another integrator (i.e., the input 8068:which will result in stabilizing the inner 6402:{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,} 6239:{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,} 6127:{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,} 6096:{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,} 4875:{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,} 4313:{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,} 2246:. Hence, the process "steps backward" from 1814:{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,} 27476:), the corresponding Lyapunov function is 27353: 7740:{\displaystyle u_{1}=v_{1}+{\dot {u}}_{x}} 4465: 2482:to stabilize this system must occur using 2081:This process continues so that each state 27860: 27829: 27384: 27380: 27279: 27275: 27183: 27179: 27133: 27129: 27103: 27099: 26941: 26601: 26486: 26290: 23172: 23168: 21450: 20795:. The corresponding Lyapunov function is 20694: 20690: 20598: 20594: 20550: 20546: 20522: 20518: 20406: 20131: 20047: 19882: 18419: 16745: 16666: 16537: 15879: 14823: 14751: 14636: 14058: 13179: 13050: 12756:{\displaystyle V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})} 12350: 12275: 12153: 11957: 11639:{\displaystyle V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})} 11588:{\displaystyle u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})} 10854: 10850: 6398: 6235: 6123: 6092: 5371:{\displaystyle u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})} 5317:In this example, backstepping is used to 4871: 4670: 4309: 2565:{\displaystyle u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})} 2153:approach determines how to stabilize the 1810: 1127: 27945:(3rd ed.). Upper Saddle River, NJ: 27931: 27929: 21129: 13190:. In this case, the origin is called an 5691:{\displaystyle V_{x}(\mathbf {x} )>0} 3544:This process continues until the actual 1984:The backstepping-designed control input 53: 23:, backstepping is a technique developed 21112: 17505:, this system can also be expressed as 16175:so that the augmented system has input 15065:, this system can also be expressed as 14333:so that the augmented system has input 13425:so that the augmented system has input 12370:) becomes the single-integrator system 27969: 27935: 27908:IEEE Transactions on Automatic Control 23441: 13452:(to the integrator) and output states 12712:subsystem using the Lyapunov function 12477: subsystem is stabilized by 6464:system also stable. So we must find a 6059:{\displaystyle V_{x}(\mathbf {x} (t))} 6019:By showing that over time, the energy 5966:is like a "generalized energy" of the 27926: 6577:{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}} 5644:{\displaystyle u_{x}(\mathbf {0} )=0} 4811:{\displaystyle f_{x}(\mathbf {0} )=0} 4274:{\displaystyle u_{x}(\mathbf {0} )=0} 2448:{\displaystyle u_{x}(\mathbf {0} )=0} 2240:to the control required to stabilize 1900:{\displaystyle u_{x}(\mathbf {0} )=0} 1458:{\displaystyle f_{i}(0,0,\dots ,0)=0} 58:The backstepping approach provides a 16:Technique in nonlinear control theory 26073:{\displaystyle (\mathbf {x} ,z_{1})} 23279: 22824: 21142: 19666:{\displaystyle (\mathbf {x} ,z_{1})} 18642:That is, under feedback control law 17422:Further, using these definitions of 16089:That is, under feedback control law 14247:That is, under feedback control law 12372: 11745: 10588: 10394: 8079:From our existing Lyapunov function 7954:by feedback through the new control 7327:{\displaystyle (\mathbf {x} ,e_{1})} 7286:{\displaystyle (\mathbf {x} ,z_{1})} 6618:{\displaystyle (\mathbf {x} ,z_{1})} 6457:{\displaystyle (\mathbf {x} ,z_{1})} 6208:{\displaystyle W(\mathbf {x} )>0} 5412:{\displaystyle (\mathbf {x} ,z_{1})} 4494: 27892: 26708: 26683: subsystem stabilized by 24887: 24869: subsystem stabilized by 23597: 23579: subsystem stabilized by 22514:{\displaystyle V_{x}(\mathbf {x} )} 22473:{\displaystyle u_{x}(\mathbf {x} )} 20238: 20213: subsystem stabilized by 19302: 19284: subsystem stabilized by 18835: 18817: subsystem stabilized by 17657: 17638: subsystem stabilized by 17346: 17327: subsystem stabilized by 16828: 16809: subsystem stabilized by 15217: 15198: subsystem stabilized by 14906: 14887: subsystem stabilized by 13620:). That is, if we feed back states 13351:{\displaystyle u_{x}(\mathbf {x} )} 13273:{\displaystyle V_{x}(\mathbf {x} )} 13228:{\displaystyle u_{x}(\mathbf {x} )} 11199:come from the system. The function 10300:(which corresponds the control law 6009:{\displaystyle V_{x}(\mathbf {x} )} 5457:First, by assumption, the subsystem 2404:{\displaystyle u_{x}(\mathbf {x} )} 1952: 1856:{\displaystyle u_{x}(\mathbf {x} )} 13: 27899:Lozano, R.; Brogliato, B. (1992). 27208: 27187: 27035: 27014: 24851: ( by Lyapunov function 23561: ( by Lyapunov function 23050: 23035: 22944: 22929: 22704: 22689: 22598: 22583: 21884:. So the system in Equation ( 21654:directly, introduce a new control 20623: 20602: 20454: 20433: 19266: ( by Lyapunov function 18799: ( by Lyapunov function 18073: 18058: 17946: 17931: 17620: ( by Lyapunov function 17309: ( by Lyapunov function 16791: ( by Lyapunov function 15593: 15578: 15466: 15451: 15180: ( by Lyapunov function 14869: ( by Lyapunov function 14306:Connect a new integrator to input 13853: 13838: 13747: 13732: 11066: 11048: 10992: 10979: 10877: 10862: 10723: 10708: 10049: 10034: 9976: 9961: 9768: 9753: 9684: 9669: 9507: 9492: 9313: 9298: 9207: 9192: 9072: 9057: 8997: 8979: 8751: 8736: 8677: 8659: 8606: 8593: 8553: 8538: 5751: 5736: 14: 27988: 7252:We now can change variables from 6276:{\displaystyle W(\mathbf {0} )=0} 5928:stable (in the sense of Lyapunov) 2260:Recursive Control Design Overview 27733: 27663: 27607: 27538: 27501: 27400: 27365: 27301: 27256: 27213: 27155: 27080: 27040: 26983: 26944: 26882: 26805: 26774: 26623: 26572: 26543: 26508: 26457: 26397: 26354: 26296: 26153: 26050: 25945: 25860: 25726: 25629: 25496: 25418: 25277: 25208: 25104: 25054: 24977: 24940: 24829: 24805: 24778: 24606: 24521: 24394: 24297: 24171: 24093: 23966: 23897: 23807: 23757: 23687: 23650: 23539: 23515: 23488: 23390: 23340: 23303: 23187: 23146: 23102: 23078: 23054: 23019: 22969: 22948: 22891: 22848: 22756: 22732: 22708: 22673: 22623: 22602: 22554: 22504: 22463: 22434:single-integrator cascade system 22320: 22296: 22269: 22205: 22159: 22101: 22057: 22020: 21963: 21939: 21912: 21813: 21755: 21712: 21587: 21383: 21309: 21272: 21215: 21191: 21164: 21052: 20982: 20925: 20856: 20819: 20716: 20671: 20628: 20572: 20499: 20459: 20409: 20347: 20153: 20104: 20069: 19989: 19946: 19888: 19745: 19643: 19244: 19220: 19193: 18777: 18753: 18726: 18605: 18548: 18484: 18415: 18407: 18140: 18109: 18078: 18036: 17979: 17951: 17876: 17592: 17561: 17527: 17444:{\displaystyle \mathbf {x} _{2}} 17431: 17279: 17240: 17211: 17153: 17122: 17076: 17019: 16926:{\displaystyle \mathbf {x} _{1}} 16913: 16761: 16711: 16682: 16612: 16588: 16543: 16465: 16284: 16260: 16233: 16052: 15995: 15944: 15875: 15867: 15660: 15629: 15598: 15556: 15499: 15471: 15409: 15152: 15121: 15087: 15004:{\displaystyle \mathbf {x} _{1}} 14991: 14839: 14796: 14767: 14711: 14687: 14642: 14587: 14442: 14418: 14391: 14216: 14166: 14129: 14054: 14046: 13905: 13881: 13857: 13822: 13772: 13751: 13703: 13534: 13510: 13483: 13341: 13263: 13218: 13175: 13167: 13108: 13097: 12983: 12917: 12893: 12866: 12733: 12649: 12625: 12507: 12471: 12445: 12421: 12394: 12328: 12309: 12243: 12219: 12187: 12127: 12111: 11948: 11818: 11794: 11767: 11709: 11676: 11616: 11565: 11441:. Not surprisingly, the control 11353: 11326: 11257: 11237: 10986: 10961: 10933: 10909: 10881: 10802: 10748: 10727: 10616: 10505: 10455: 10418: 10191: 10143: 10074: 10053: 10001: 9980: 9942: 9793: 9772: 9709: 9688: 9656: 9532: 9511: 9433: 9338: 9317: 9285: 9232: 9211: 9177: 9145: 9124: 9100: 9076: 9001: 8890: 8859: 8832: 8811: 8787: 8755: 8600: 8570: 8557: 8461: 8389: 8294: 8177: 8140: 7874: 7847: 7826: 7802: 7772: 7525: 7498: 7477: 7453: 7423: 7381: 7304: 7263: 7230: 7210: 7095: 7053: 7025: 7000: 6979: 6955: 6811: 6790: 6766: 6745: 6701: 6677: 6650: 6595: 6564: 6532: 6511: 6434: 6394: 6386: 6325: 6260: 6231: 6223: 6192: 6178:is positive definite means that 6161: 6119: 6111: 6088: 6080: 6040: 5999: 5884: 5847: 5824: 5803: 5779: 5755: 5675: 5628: 5584: 5563: 5539: 5515: 5494: 5474: 5446:{\displaystyle (\mathbf {0} ,0)} 5430: 5389: 5348: 5282: 5255: 5133: 5125: 5112: 5089: 5021: 5010: 4978: 4967: 4937: 4867: 4859: 4795: 4661: 4567: 4543: 4516: 4305: 4297: 4258: 3432: 3369: 3319: 3195: 3148: 3098: 3008: 2888: 2838: 2801: 2690: 2656: 2619: 2542: 2432: 2394: 2352: 2331: 2307: 2280: 1884: 1846: 1806: 1798: 1762: 1741: 1717: 1690: 1585: 1118: 1009: 921: 811: 730: 555: 467: 375: 325: 253: 216: 157: 133: 104: 35:controls for a special class of 26656: 24848: 23558: 20186: 19263: 18796: 17617: 17306: 16788: 16430:which can be re-grouped as the 16148:Connect an integrator to input 15177: 14866: 12464: 8041:will track the desired control 7981:. By stabilizing the system at 6171:{\displaystyle W(\mathbf {x} )} 5894:{\displaystyle W(\mathbf {x} )} 5507: 5501: 5194: 5118: 3051:is designed so that the system 2572:is designed so that the system 1676:Also assume that the subsystem 642: 27823: 27743: 27728: 27712: 27659: 27627: 27623: 27602: 27570: 27554: 27533: 27511: 27496: 27416: 27395: 27375: 27360: 27330: 27317: 27296: 27272: 27251: 27232: 27171: 27150: 27096: 27075: 26993: 26978: 26956: 26874: 26815: 26800: 26784: 26769: 26725: 26702: 26639: 26618: 26582: 26567: 26524: 26503: 26467: 26452: 26413: 26392: 26370: 26349: 26067: 26046: 26013: 25941: 25925: 25856: 25800: 25722: 25700: 25625: 25551: 25492: 25470: 25414: 25326: 25273: 25257: 25204: 25134: 25100: 25084: 25050: 24994: 24973: 24957: 24936: 24892: 24882: 24833: 24825: 24809: 24801: 24674: 24602: 24586: 24517: 24468: 24390: 24368: 24293: 24226: 24167: 24145: 24089: 24015: 23962: 23946: 23893: 23837: 23803: 23787: 23753: 23704: 23683: 23667: 23646: 23602: 23592: 23543: 23535: 23519: 23511: 23398: 23394: 23386: 23360: 23344: 23336: 23320: 23299: 23204: 23183: 23163: 23142: 23119: 23106: 23098: 23082: 23074: 23061: 23026: 23023: 23015: 22989: 22973: 22965: 22908: 22887: 22865: 22844: 22773: 22760: 22752: 22736: 22728: 22715: 22680: 22677: 22669: 22643: 22627: 22619: 22571: 22550: 22508: 22500: 22467: 22459: 22324: 22316: 22300: 22292: 22222: 22201: 22176: 22155: 22118: 22097: 22074: 22053: 22037: 22016: 21967: 21959: 21943: 21935: 21830: 21809: 21772: 21751: 21729: 21708: 21604: 21583: 21436: 21390: 21326: 21305: 21289: 21268: 21219: 21211: 21195: 21187: 21062: 21047: 21031: 20978: 20945: 20941: 20920: 20888: 20872: 20851: 20829: 20814: 20745: 20732: 20711: 20687: 20666: 20647: 20591: 20588: 20567: 20533: 20515: 20494: 20421: 20339: 20255: 20232: 20169: 20148: 20085: 20064: 20005: 19984: 19962: 19941: 19660: 19639: 19307: 19297: 19248: 19240: 19224: 19216: 18840: 18830: 18781: 18773: 18757: 18749: 18619: 18615: 18600: 18574: 18558: 18543: 18527: 18480: 18163: 18150: 18135: 18119: 18104: 18091: 18049: 18046: 18031: 18005: 17989: 17974: 17919: 17872: 17668: 17651: 17602: 17587: 17571: 17556: 17357: 17340: 17289: 17274: 17221: 17206: 17163: 17148: 17132: 17117: 16839: 16822: 16771: 16756: 16692: 16677: 16616: 16608: 16592: 16584: 16288: 16280: 16264: 16256: 16066: 16062: 16047: 16021: 16005: 15990: 15974: 15940: 15683: 15670: 15655: 15639: 15624: 15611: 15569: 15566: 15551: 15525: 15509: 15494: 15439: 15405: 15228: 15211: 15162: 15147: 15131: 15116: 14917: 14900: 14849: 14834: 14777: 14762: 14715: 14707: 14691: 14683: 14446: 14438: 14422: 14414: 14224: 14220: 14212: 14186: 14170: 14162: 14146: 14125: 13922: 13909: 13901: 13885: 13877: 13864: 13829: 13826: 13818: 13792: 13776: 13768: 13720: 13699: 13538: 13530: 13514: 13506: 13345: 13337: 13267: 13259: 13222: 13214: 13122:so that the zero-input (i.e., 13101: 13093: 13036: 12990: 12921: 12913: 12897: 12889: 12750: 12729: 12666: 12645: 12629: 12621: 12524: 12503: 12449: 12441: 12425: 12417: 12313: 12305: 12247: 12239: 12223: 12215: 12191: 12183: 11822: 11814: 11798: 11790: 11713: 11705: 11693: 11672: 11633: 11612: 11582: 11561: 11533:{\displaystyle {\dot {u}}_{x}} 11497:{\displaystyle {\dot {u}}_{x}} 11363: 11349: 11343: 11322: 11261: 11253: 11011: 10937: 10929: 10913: 10905: 10888: 10828: 10806: 10798: 10768: 10752: 10744: 10633: 10612: 10513: 10509: 10501: 10475: 10459: 10451: 10435: 10414: 10195: 10187: 10147: 10139: 10078: 10070: 10005: 9997: 9946: 9938: 9797: 9789: 9713: 9705: 9660: 9652: 9536: 9528: 9437: 9429: 9342: 9334: 9289: 9281: 9236: 9228: 9181: 9173: 9152: 9149: 9141: 9128: 9120: 9104: 9096: 9083: 8863: 8855: 8839: 8836: 8828: 8815: 8807: 8791: 8783: 8770: 8465: 8457: 8393: 8385: 8298: 8290: 8181: 8173: 8157: 8136: 7878: 7870: 7854: 7851: 7843: 7830: 7822: 7806: 7798: 7785: 7529: 7521: 7505: 7502: 7494: 7481: 7473: 7457: 7449: 7436: 7385: 7377: 7321: 7300: 7280: 7259: 7234: 7226: 7099: 7091: 7057: 7049: 7029: 7021: 7004: 6996: 6983: 6975: 6959: 6951: 6815: 6807: 6794: 6786: 6770: 6762: 6749: 6741: 6705: 6697: 6681: 6673: 6612: 6591: 6536: 6528: 6515: 6507: 6451: 6430: 6419:Our task is to find a control 6371:{\displaystyle {\dot {V}}_{x}} 6329: 6321: 6264: 6256: 6196: 6188: 6165: 6157: 6053: 6050: 6044: 6036: 6003: 5995: 5888: 5880: 5851: 5843: 5831: 5828: 5820: 5807: 5799: 5783: 5775: 5762: 5679: 5671: 5632: 5624: 5588: 5580: 5567: 5559: 5543: 5535: 5519: 5511: 5498: 5490: 5440: 5426: 5406: 5385: 5365: 5344: 5313:Single-integrator Backstepping 5292: 5278: 5272: 5251: 5105: 5099: 5096: 5093: 5085: 5072: 5060: 5033: 5030: 5027: 5003: 4990: 4984: 4960: 4799: 4791: 4735:enters an integrator, and the 4717:is a scalar. This system is a 4571: 4563: 4547: 4539: 4460:globally asymptotically stable 4262: 4254: 3532:{\displaystyle {\dot {V}}_{2}} 3453: 3449: 3428: 3402: 3386: 3365: 3349: 3315: 3225: 3191: 3178: 3144: 3128: 3094: 3038: 3004: 2975:{\displaystyle {\dot {V}}_{1}} 2896: 2892: 2884: 2858: 2842: 2834: 2818: 2797: 2707: 2686: 2673: 2652: 2636: 2615: 2559: 2538: 2436: 2428: 2398: 2390: 2356: 2348: 2335: 2327: 2311: 2303: 1888: 1880: 1850: 1842: 1766: 1758: 1745: 1737: 1721: 1713: 1621: 1581: 1446: 1422: 1077: 1005: 989: 917: 866: 807: 785: 726: 623: 551: 535: 463: 405: 371: 355: 321: 270: 249: 233: 212: 161: 153: 137: 129: 1: 27866:IEEE Control Systems Magazine 27816: 17853:according to the control law 15386:according to the control law 13680:according to the control law 5378:that ensures that the states 4485:Single-integrator Equilibrium 4200:{\displaystyle 1\leq i\leq k} 4139:{\displaystyle 0\leq i\leq k} 1960:{\displaystyle {\textbf {z}}} 1665:{\displaystyle 1\leq i\leq k} 26659: ( by Lyap. func. 26080:subsystem (i.e., with input 24700:has the recursive structure 20189: ( by Lyap. func. 19673:subsystem (i.e., with input 19116:has the recursive structure 12833:Many-integrator backstepping 12775:). So a stabilizing control 11226:comes from our known-stable 6895:which we can re-group to get 1907:. It is also assumed that a 27:1990 by Myroslav Sparavalo, 7: 27789: 27472: 26850: 26121:, the equivalent system is 23423: 23273: 23228: 22523: 22438: 21886: 21877:{\displaystyle g_{1}\neq 0} 21362: 19714:, the equivalent system is 17735: 15295: 14982:Using these definitions of 14552:which is equivalent to the 14102: 13616: 13610: 12771: 12765: 12594: 12366: 12066: 12033: 11930: 11410: 11101: 10538: 5323: 5305:is an equilibrium (i.e., a 4731:subsystem (i.e., the input 4643: 31:, and others for designing 10: 27993: 27463:{\displaystyle k_{i}>0} 23264:{\displaystyle k_{1}>0} 22815:{\displaystyle k_{1}>0} 21851:which is possible because 20788:{\displaystyle k_{i}>0} 18206:{\displaystyle k_{3}>0} 15726:{\displaystyle k_{2}>0} 13965:{\displaystyle k_{1}>0} 13293:are fed back to the input 13287:That is, if output states 11595:and has Lyapunov function 11304:{\displaystyle k_{1}>0} 9604:{\displaystyle k_{1}>0} 7950:We seek to stabilize this 7125: error tracking 5903:positive-definite function 2486:It is also assumed that a 27830:Sparavalo, M. K. (1992). 13197:The feedback control law 6072:states must decay toward 6066:decays to zero, then the 4418:{\displaystyle z_{k-1}=0} 4114:vanish at the origin for 4076:This process is known as 18669:, the Lyapunov function 18434:by feedback control law 16116:, the Lyapunov function 15894:by feedback control law 14274:, the Lyapunov function 14073:by feedback control law 13362:by feedback control law 12763:, and so Equation ( 6423:that makes our cascaded 4479:integrator backstepping. 26117:is known. At iteration 21117:Systems in the special 19710:is known. At iteration 18392:{\displaystyle z_{3}=0} 18359:{\displaystyle z_{2}=0} 18326:{\displaystyle z_{1}=0} 15852:{\displaystyle z_{2}=0} 15819:{\displaystyle z_{1}=0} 14031:{\displaystyle z_{1}=0} 13148:{\displaystyle u_{x}=0} 10273:under this control law 9862:After distributing the 8007:{\displaystyle e_{1}=0} 4908:{\displaystyle z_{1}=0} 4844:{\displaystyle u_{1}=0} 4466:Integrator Backstepping 4451:{\displaystyle z_{k}=0} 4379:{\displaystyle z_{2}=0} 4346:{\displaystyle z_{1}=0} 3836:{\displaystyle u_{k-3}} 3799:{\displaystyle z_{k-2}} 3766:{\displaystyle u_{k-2}} 3726:{\displaystyle u_{k-2}} 3689:{\displaystyle z_{k-1}} 3656:{\displaystyle u_{k-1}} 3616:{\displaystyle u_{k-1}} 3503:can be picked to bound 2946:can be picked to bound 2138:{\displaystyle z_{i+1}} 2071:{\displaystyle z_{n-1}} 1166:{\displaystyle n\geq 1} 27776: 27750: 27640: 27464: 27428: 26839: 26101: 26074: 26030: 24691: 23465:strict-feedback system 23435:strict-feedback system 23411: 23265: 23216: 22816: 22780: 22515: 22474: 22420: 22419:{\displaystyle u_{a1}} 22387: 22238: 21878: 21842: 21688:) and use control law 21678: 21677:{\displaystyle u_{a1}} 21648: 21617: 21560: 21520: 21493: 21464: 21350: 21095: 21069: 20958: 20789: 20752: 20310: 19694: 19667: 19622: 19106: 18690: 18663: 18632: 18455: 18424: 18393: 18360: 18327: 18288: 18261: 18234: 18207: 18170: 17847: 17814: 17787: 17760: 17723: 17499: 17472: 17445: 17412: 16981: 16954: 16927: 16904:By the definitions of 16894: 16420: 16196: 16169: 16137: 16110: 16079: 15915: 15884: 15853: 15820: 15781: 15754: 15727: 15690: 15380: 15347: 15320: 15283: 15059: 15032: 15005: 14972: 14542: 14354: 14327: 14295: 14268: 14237: 14094: 14063: 14032: 13993: 13966: 13929: 13674: 13641: 13598: 13446: 13419: 13383: 13352: 13314: 13274: 13229: 13184: 13149: 13116: 13064: 12969: 12948:that has scalar input 12938: 12840:mathematical induction 12823: 12796: 12757: 12700: 12673: 12582: 12355: 12280: 12158: 12091: 12058: 12025: 11998: 11971: 11918: 11726: 11640: 11589: 11534: 11498: 11462: 11435: 11402: 11370: 11305: 11268: 11220: 11193: 11166: 11139: 11089: 10680:By definition of 10575: 10554:Our choice of control 10526: 10383: 10321: 10294: 10256: 10219: 9883: 9850: 9605: 9566: 9450: 9382: 9009: 8960: 8216: 8100: 8062: 8035: 8008: 7975: 7938: 7741: 7679: 7611: 7392: 7328: 7287: 7241: 7187: 6883: 6619: 6578: 6543: 6458: 6403: 6372: 6336: 6277: 6240: 6215:everywhere except for 6209: 6172: 6128: 6103:. That is, the origin 6097: 6060: 6010: 5960: 5895: 5858: 5692: 5645: 5595: 5447: 5413: 5372: 5299: 5232: 4909: 4876: 4845: 4812: 4759: 4711: 4684: 4631: 4452: 4419: 4380: 4347: 4314: 4275: 4231: 4201: 4169: 4140: 4108: 4058: 4024: 3993: 3966: 3932: 3901: 3874: 3837: 3800: 3767: 3727: 3690: 3657: 3617: 3580: 3533: 3497: 3466: 3290: 3263: 3242:is stabilized so that 3232: 3045: 2976: 2940: 2909: 2772: 2745: 2724:is stabilized so that 2714: 2566: 2510: 2476: 2449: 2405: 2363: 2234: 2207: 2180: 2139: 2102: 2072: 2039: 2009: 1961: 1931: 1901: 1857: 1815: 1773: 1666: 1634: 1558: 1459: 1392: 1266: 1167: 1141: 1098: 74:. That is, consider a 27777: 27751: 27641: 27465: 27429: 26840: 26102: 26100:{\displaystyle z_{2}} 26075: 26031: 24692: 23412: 23266: 23217: 22817: 22781: 22516: 22475: 22421: 22388: 22239: 21879: 21843: 21679: 21649: 21647:{\displaystyle u_{1}} 21618: 21561: 21559:{\displaystyle z_{1}} 21521: 21519:{\displaystyle u_{1}} 21494: 21492:{\displaystyle z_{1}} 21465: 21351: 21130:Single-step Procedure 21096: 21070: 20959: 20790: 20753: 20311: 19695: 19693:{\displaystyle z_{2}} 19668: 19623: 19107: 18691: 18689:{\displaystyle V_{3}} 18664: 18662:{\displaystyle u_{3}} 18633: 18456: 18454:{\displaystyle u_{3}} 18425: 18394: 18361: 18328: 18289: 18287:{\displaystyle z_{3}} 18262: 18260:{\displaystyle z_{2}} 18235: 18233:{\displaystyle z_{1}} 18208: 18171: 17848: 17846:{\displaystyle u_{3}} 17815: 17813:{\displaystyle z_{3}} 17788: 17786:{\displaystyle z_{2}} 17761: 17759:{\displaystyle z_{1}} 17724: 17500: 17498:{\displaystyle g_{2}} 17473: 17471:{\displaystyle f_{2}} 17446: 17413: 16982: 16980:{\displaystyle g_{1}} 16955: 16953:{\displaystyle f_{1}} 16928: 16895: 16421: 16197: 16195:{\displaystyle u_{3}} 16170: 16168:{\displaystyle u_{2}} 16138: 16136:{\displaystyle V_{2}} 16111: 16109:{\displaystyle u_{2}} 16080: 15916: 15914:{\displaystyle u_{2}} 15885: 15854: 15821: 15782: 15780:{\displaystyle z_{2}} 15755: 15753:{\displaystyle z_{1}} 15728: 15691: 15381: 15379:{\displaystyle u_{2}} 15348: 15346:{\displaystyle z_{2}} 15321: 15319:{\displaystyle z_{1}} 15284: 15060: 15058:{\displaystyle g_{1}} 15033: 15031:{\displaystyle f_{1}} 15006: 14973: 14543: 14355: 14353:{\displaystyle u_{2}} 14328: 14326:{\displaystyle u_{1}} 14296: 14294:{\displaystyle V_{1}} 14269: 14267:{\displaystyle u_{1}} 14238: 14095: 14093:{\displaystyle u_{1}} 14064: 14033: 13994: 13992:{\displaystyle z_{1}} 13967: 13930: 13675: 13673:{\displaystyle u_{1}} 13642: 13640:{\displaystyle z_{1}} 13599: 13447: 13445:{\displaystyle u_{1}} 13420: 13418:{\displaystyle u_{x}} 13384: 13382:{\displaystyle u_{x}} 13353: 13315: 13313:{\displaystyle u_{x}} 13275: 13230: 13185: 13150: 13117: 13065: 12970: 12968:{\displaystyle u_{x}} 12939: 12824: 12822:{\displaystyle u_{1}} 12797: 12795:{\displaystyle u_{2}} 12758: 12701: 12699:{\displaystyle z_{2}} 12679:stabilizes the upper 12674: 12583: 12356: 12281: 12159: 12092: 12090:{\displaystyle u_{1}} 12059: 12057:{\displaystyle u_{2}} 12026: 12024:{\displaystyle z_{2}} 11999: 11997:{\displaystyle z_{1}} 11972: 11919: 11727: 11641: 11590: 11535: 11499: 11463: 11461:{\displaystyle u_{1}} 11436: 11434:{\displaystyle u_{x}} 11403: 11401:{\displaystyle u_{1}} 11371: 11306: 11269: 11221: 11219:{\displaystyle u_{x}} 11194: 11192:{\displaystyle g_{x}} 11167: 11165:{\displaystyle f_{x}} 11140: 11138:{\displaystyle z_{1}} 11090: 10576: 10574:{\displaystyle v_{1}} 10527: 10384: 10322: 10320:{\displaystyle u_{1}} 10295: 10293:{\displaystyle v_{1}} 10257: 10255:{\displaystyle V_{1}} 10220: 9884: 9882:{\displaystyle e_{1}} 9851: 9606: 9567: 9451: 9383: 9010: 8961: 8217: 8101: 8099:{\displaystyle V_{x}} 8063: 8061:{\displaystyle u_{x}} 8036: 8034:{\displaystyle z_{1}} 8009: 7976: 7974:{\displaystyle v_{1}} 7939: 7742: 7680: 7623:Additionally, we let 7612: 7393: 7329: 7288: 7242: 7188: 6884: 6620: 6579: 6544: 6459: 6404: 6373: 6337: 6278: 6241: 6210: 6173: 6129: 6098: 6061: 6011: 5961: 5959:{\displaystyle V_{x}} 5896: 5859: 5693: 5646: 5596: 5448: 5414: 5373: 5300: 5233: 4910: 4877: 4846: 4813: 4760: 4758:{\displaystyle z_{1}} 4712: 4710:{\displaystyle z_{1}} 4685: 4632: 4453: 4420: 4381: 4348: 4315: 4276: 4232: 4230:{\displaystyle u_{x}} 4202: 4170: 4168:{\displaystyle g_{i}} 4141: 4109: 4107:{\displaystyle f_{i}} 4059: 4057:{\displaystyle u_{x}} 4025: 4023:{\displaystyle u_{x}} 3994: 3992:{\displaystyle z_{1}} 3967: 3965:{\displaystyle u_{1}} 3933: 3931:{\displaystyle u_{1}} 3902: 3900:{\displaystyle z_{2}} 3875: 3873:{\displaystyle u_{2}} 3838: 3801: 3768: 3728: 3691: 3658: 3618: 3581: 3579:{\displaystyle z_{k}} 3534: 3498: 3496:{\displaystyle u_{2}} 3467: 3291: 3289:{\displaystyle u_{1}} 3264: 3262:{\displaystyle z_{2}} 3233: 3046: 2977: 2941: 2939:{\displaystyle u_{1}} 2910: 2773: 2771:{\displaystyle u_{x}} 2746: 2744:{\displaystyle z_{1}} 2715: 2567: 2511: 2509:{\displaystyle V_{x}} 2477: 2475:{\displaystyle u_{x}} 2455:. That is, choice of 2450: 2406: 2364: 2235: 2233:{\displaystyle z_{1}} 2208: 2206:{\displaystyle z_{2}} 2181: 2179:{\displaystyle z_{1}} 2140: 2108:is stabilized by the 2103: 2101:{\displaystyle z_{i}} 2073: 2040: 2038:{\displaystyle z_{n}} 2010: 2008:{\displaystyle z_{n}} 1962: 1932: 1930:{\displaystyle V_{x}} 1902: 1858: 1816: 1774: 1667: 1635: 1559: 1460: 1393: 1267: 1168: 1142: 1099: 54:Backstepping approach 27801:Strict-feedback form 27760: 27653: 27483: 27470:. By Equation ( 27441: 26861: 26128: 26084: 26043: 24707: 23473: 23286: 23242: 22831: 22793: 22534: 22487: 22446: 22400: 22254: 22247:which simplifies to 21897: 21855: 21695: 21658: 21631: 21570: 21543: 21503: 21476: 21379: 21149: 21134:Consider the simple 21119:strict-feedback form 21113:Generic Backstepping 21079: 20972: 20801: 20766: 20326: 19720: 19677: 19636: 19122: 18711: 18673: 18646: 18467: 18438: 18403: 18370: 18337: 18304: 18271: 18244: 18217: 18184: 17859: 17830: 17797: 17770: 17743: 17511: 17482: 17455: 17426: 16993: 16964: 16937: 16908: 16440: 16218: 16179: 16152: 16120: 16093: 15927: 15898: 15863: 15830: 15797: 15764: 15737: 15704: 15392: 15363: 15330: 15303: 15071: 15042: 15015: 14986: 14562: 14376: 14337: 14310: 14278: 14251: 14112: 14077: 14042: 14009: 13976: 13943: 13686: 13657: 13624: 13468: 13429: 13402: 13366: 13324: 13297: 13246: 13201: 13163: 13126: 13080: 12979: 12952: 12859: 12846:First, consider the 12806: 12779: 12716: 12683: 12608: 12379: 12292: 12170: 12107: 12074: 12041: 12008: 11981: 11944: 11752: 11650: 11599: 11548: 11508: 11472: 11445: 11418: 11385: 11319: 11282: 11230: 11203: 11176: 11149: 11122: 10595: 10558: 10401: 10331: 10304: 10277: 10269:, and our system is 10239: 9899: 9866: 9621: 9582: 9470: 9398: 9025: 8976: 8238: 8123: 8083: 8045: 8018: 7985: 7958: 7757: 7689: 7627: 7408: 7338: 7297: 7256: 7203: 6905: 6635: 6588: 6557: 6494: 6427: 6382: 6346: 6290: 6250: 6219: 6182: 6151: 6138:of the system – the 6107: 6076: 6023: 5982: 5943: 5874: 5708: 5658: 5611: 5467: 5423: 5382: 5331: 5248: 5218: is stationary) 5139: is stationary) 4922: 4886: 4855: 4822: 4778: 4742: 4694: 4657: 4501: 4472:strict-feedback form 4429: 4390: 4357: 4324: 4293: 4241: 4214: 4179: 4152: 4118: 4091: 4041: 4007: 3976: 3949: 3915: 3884: 3857: 3814: 3777: 3744: 3704: 3667: 3634: 3594: 3563: 3507: 3480: 3302: 3273: 3269:follows the desired 3246: 3059: 2991: 2950: 2923: 2784: 2755: 2751:follows the desired 2728: 2580: 2525: 2493: 2459: 2415: 2377: 2273: 2217: 2190: 2163: 2116: 2085: 2049: 2022: 1992: 1972:strict-feedback form 1947: 1914: 1867: 1829: 1794: 1683: 1644: 1568: 1471: 1409: 1292: 1286:input to the system, 1179: 1151: 1114: 85: 72:strict-feedback form 27775:{\displaystyle i=k} 23442:Many-step Procedure 22432:system matches the 21094:{\displaystyle i=k} 16434:-integrator system 14556:-integrator system 13320:by the control law 10177: 10122: 8211: 6584:part of the larger 6286:The statement that 1970:In systems of this 27772: 27746: 27636: 27460: 27424: 26848:By Equation ( 26835: 26830: 26587: 26472: 26276: 26097: 26070: 26026: 26021: 25815: 25572: 25361: 25347: 25163: 25149: 25009: 24687: 24682: 23407: 23261: 23212: 22812: 22776: 22511: 22470: 22436:in Equation ( 22416: 22383: 22378: 22234: 22229: 21874: 21838: 21674: 21644: 21613: 21556: 21516: 21489: 21460: 21346: 21341: 21091: 21065: 20954: 20785: 20748: 20306: 20301: 20117: 20033: 19868: 19690: 19663: 19618: 19613: 19577: 19528: 19473: 19459: 19410: 19396: 19353: 19102: 19097: 18686: 18659: 18628: 18451: 18420: 18389: 18356: 18323: 18284: 18257: 18230: 18213:, then the states 18203: 18166: 17843: 17810: 17783: 17756: 17719: 17714: 17495: 17468: 17441: 17408: 17403: 17253: 17185: 17060: 16977: 16950: 16923: 16890: 16885: 16731: 16652: 16523: 16416: 16411: 16202:and output states 16192: 16165: 16133: 16106: 16075: 15911: 15880: 15849: 15816: 15777: 15750: 15733:, then the states 15723: 15686: 15376: 15343: 15316: 15279: 15274: 15055: 15028: 15001: 14968: 14963: 14809: 14737: 14622: 14538: 14533: 14360:and output states 14350: 14323: 14291: 14264: 14233: 14090: 14059: 14028: 13989: 13972:, then the states 13962: 13925: 13670: 13637: 13594: 13589: 13442: 13415: 13379: 13348: 13310: 13270: 13225: 13180: 13145: 13112: 13060: 12975:and output states 12965: 12934: 12819: 12792: 12753: 12696: 12669: 12578: 12573: 12467:( where this 12351: 12341: 12276: 12269: 12154: 12147: 12087: 12054: 12021: 11994: 11967: 11914: 11909: 11722: 11636: 11585: 11530: 11494: 11458: 11431: 11408:in Equation ( 11398: 11366: 11301: 11264: 11216: 11189: 11162: 11135: 11085: 11042: (i.e., 11010: 10973: (i.e., 10954: 10827: 10813: 10694: 10675: 10571: 10522: 10379: 10317: 10290: 10252: 10235:Lyapunov function 10215: 10213: 10163: 10108: 9879: 9846: 9601: 9562: 9446: 9378: 9005: 8956: 8954: 8900: 8884: 8624: 8582: 8212: 8197: 8110:Lyapunov function 8096: 8058: 8031: 8004: 7971: 7934: 7929: 7737: 7675: 7607: 7602: 7388: 7324: 7283: 7237: 7183: 7178: 7139: 7110: 7033: 7015: 6879: 6874: 6833: 6826: 6625:system, it becomes 6615: 6574: 6539: 6468:Lyapunov function 6454: 6399: 6368: 6332: 6273: 6236: 6205: 6168: 6136:stable equilibrium 6124: 6093: 6056: 6006: 5972:subsystem. As the 5956: 5891: 5854: 5688: 5641: 5591: 5443: 5409: 5368: 5295: 5228: 5223: 5197: (i.e., 5121: (i.e., 5059: 5045: 5026: 5017: 4983: 4974: 4905: 4872: 4841: 4808: 4755: 4719:cascade connection 4707: 4680: 4627: 4622: 4448: 4415: 4376: 4343: 4310: 4271: 4227: 4210:the given control 4197: 4165: 4136: 4104: 4054: 4020: 3989: 3962: 3928: 3897: 3870: 3833: 3796: 3763: 3723: 3686: 3653: 3613: 3576: 3529: 3493: 3462: 3286: 3259: 3228: 3041: 2972: 2936: 2905: 2768: 2741: 2710: 2562: 2506: 2484:some other method. 2472: 2445: 2401: 2359: 2230: 2203: 2176: 2135: 2098: 2068: 2035: 2005: 1957: 1927: 1897: 1853: 1811: 1769: 1662: 1630: 1554: 1455: 1388: 1262: 1163: 1137: 1094: 1092: 1085: 29:Petar V. Kokotovic 27977:Nonlinear control 27956:978-0-13-067389-3 27942:Nonlinear Systems 27878:10.1109/37.165507 27796:Nonlinear control 27568: 27379: 27343: 27337: 27230: 27057: 26997: 26955: 26935: 26747: 26731: 26710: 26684: 26660: 26643: 26595: 26528: 26480: 26319: 26303: 26284: 26259: 26230: 26200: 26177: 26160: 25834: 25591: 25380: 25182: 25028: 24914: 24898: 24889: 24870: 24852: 24785: 24495: 24259: 24055: 23871: 23731: 23624: 23608: 23599: 23580: 23562: 23495: 23431: 23430: 23358: 23236: 23235: 23167: 23126: 23059: 22953: 22912: 22713: 22607: 22482:Lyapunov function 22351: 22276: 22226: 22188: 22122: 21994: 21919: 21776: 21442: 21370: 21369: 21246: 21171: 20886: 20645: 20476: 20420: 20400: 20277: 20261: 20240: 20214: 20190: 20173: 20125: 20089: 20041: 19911: 19895: 19876: 19851: 19822: 19792: 19769: 19752: 19596: 19547: 19492: 19429: 19372: 19329: 19313: 19304: 19285: 19267: 19200: 19080: 19038: 18990: 18941: 18898: 18862: 18846: 18837: 18818: 18800: 18733: 18572: 18089: 17962: 17690: 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