1825:
606:
1820:{\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)&={\frac {y_{2}-y}{y_{2}-y_{1}}}f(x,y_{1})+{\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}f(x,y_{2})\\&={\frac {y_{2}-y}{y_{2}-y_{1}}}\left({\frac {x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{11})+{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{21})\right)+{\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}\left({\frac {x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{12})+{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{22})\right)\\&={\frac {1}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}\left(f(Q_{11})(x_{2}-x)(y_{2}-y)+f(Q_{21})(x-x_{1})(y_{2}-y)+f(Q_{12})(x_{2}-x)(y-y_{1})+f(Q_{22})(x-x_{1})(y-y_{1})\right)\\&={\frac {1}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}{\begin{bmatrix}x_{2}-x&x-x_{1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f(Q_{11})&f(Q_{12})\\f(Q_{21})&f(Q_{22})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{2}-y\\y-y_{1}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}
8466:
6067:
2920:
5032:
2909:
3934:
7817:
2385:
110:
4532:
2396:
3482:
3471:
4509:
8461:{\displaystyle {\begin{aligned}I_{T_{1},P_{1}-P_{2}}&={\frac {P_{2}-P_{x}}{P_{2}-P_{1}}}\cdot V_{11}+{\frac {P_{x}-P_{1}}{P_{2}-P_{1}}}\cdot V_{12}=V_{1x},\\I_{T_{2},P_{1}-P_{2}}&={\frac {P_{2}-P_{x}}{P_{2}-P_{1}}}\cdot V_{21}+{\frac {P_{x}-P_{1}}{P_{2}-P_{1}}}\cdot V_{22}=V_{2x},\\I_{P_{x},T_{1}-T_{2}}&={\frac {T_{2}-T_{x}}{T_{2}-T_{1}}}\cdot V_{1x}+{\frac {T_{x}-T_{1}}{T_{2}-T_{1}}}\cdot V_{2x}=V_{xx}\end{aligned}}}
1963:
5027:{\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)\approx {\frac {1}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}{\begin{bmatrix}f(Q_{11})&f(Q_{12})&f(Q_{21})&f(Q_{22})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}y_{2}&-y_{2}&-x_{2}&1\\-x_{2}y_{1}&y_{1}&x_{2}&-1\\-x_{1}y_{2}&y_{2}&x_{1}&-1\\x_{1}y_{1}&-y_{1}&-x_{1}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\x\\y\\xy\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}
2904:{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}a_{00}\\a_{10}\\a_{01}\\a_{11}\end{bmatrix}}={\frac {1}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}{\begin{bmatrix}x_{2}y_{2}&-x_{2}y_{1}&-x_{1}y_{2}&x_{1}y_{1}\\-y_{2}&y_{1}&y_{2}&-y_{1}\\-x_{2}&x_{2}&x_{1}&-x_{1}\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f(Q_{11})\\f(Q_{12})\\f(Q_{21})\\f(Q_{22})\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}
20:
3929:{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}w_{11}\\w_{21}\\w_{12}\\w_{22}\end{bmatrix}}={\frac {1}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}{\begin{bmatrix}x_{2}y_{2}&-y_{2}&-x_{2}&1\\-x_{2}y_{1}&y_{1}&x_{2}&-1\\-x_{1}y_{2}&y_{2}&x_{1}&-1\\x_{1}y_{1}&-y_{1}&-x_{1}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\x\\y\\xy\end{bmatrix}},\end{aligned}}}
591:
7623:
3118:
3945:
2380:{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&x_{1}&y_{1}&x_{1}y_{1}\\1&x_{1}&y_{2}&x_{1}y_{2}\\1&x_{2}&y_{1}&x_{2}y_{1}\\1&x_{2}&y_{2}&x_{2}y_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{00}\\a_{10}\\a_{01}\\a_{11}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}f(Q_{11})\\f(Q_{12})\\f(Q_{21})\\f(Q_{22})\end{bmatrix}},\end{aligned}}}
8830:
6209:(by considering the coordinates of the quadrilateral as a vector field which is bilinearly interpolated on the unit square). Using this procedure bilinear interpolation can be extended to any convex quadrilateral, though the computation is significantly more complicated if it is not a parallelogram. The resulting map between quadrilaterals is known as a
6747:
5446:
6049:
235:
3466:{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&1&1\\x_{1}&x_{1}&x_{2}&x_{2}\\y_{1}&y_{2}&y_{1}&y_{2}\\x_{1}y_{1}&x_{1}y_{2}&x_{2}y_{1}&x_{2}y_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{11}\\w_{12}\\w_{21}\\w_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\x\\y\\xy\end{bmatrix}},}
8922:
These two repetitions can be assigned temporary variables whilst computing a single interpolation which will reduce the number of calculations down to 14 operations which is the minimum number of steps required for producing the desired interpolation. Doing this interpolation in 14 rather than 18
7401:
7382:
7049:
4504:{\displaystyle {\begin{aligned}w_{11}&=(x_{2}-x)(y_{2}-y)/((x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})),\\w_{12}&=(x_{2}-x)(y-y_{1})/((x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})),\\w_{21}&=(x-x_{1})(y_{2}-y)/((x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})),\\w_{22}&=(x-x_{1})(y-y_{1})/((x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})),\end{aligned}}}
6563:
8477:
6911:
5641:
7255:
6572:
2923:
A geometric visualisation of bilinear interpolation. The product of the value at the desired point (black) and the entire area is equal to the sum of the products of the value at each corner and the partial area diagonally opposite the corner (corresponding
7738:
73:
Bilinear interpolation is performed using linear interpolation first in one direction, and then again in another direction. Although each step is linear in the sampled values and in the position, the interpolation as a whole is not linear but rather
5252:
6916:
3107:
7743:
This algorithm reduces some of the visual distortion caused by resizing an image to a non-integral zoom factor, as opposed to nearest-neighbor interpolation, which will make some pixels appear larger than others in the resized image.
5760:
7377:
Bilinear interpolation considers the closest 2 × 2 neighborhood of known pixel values surrounding the unknown pixel's computed location. It then takes a weighted average of these 4 pixels to arrive at its final, interpolated value.
7394:
As seen in the example on the right, the intensity value at the pixel computed to be at row 20.2, column 14.5 can be calculated by first linearly interpolating between the values at column 14 and 15 on each rows 20 and 21, giving
7345:
When an image needs to be scaled up, each pixel of the original image needs to be moved in a certain direction based on the scale constant. However, when scaling up an image by a non-integral scale factor, there are pixels (i.e.,
586:{\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y_{1})={\frac {x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{11})+{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{21}),\\f(x,y_{2})={\frac {x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{12})+{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{22}).\end{aligned}}}
7618:{\displaystyle {\begin{aligned}I_{20,14.5}&={\frac {15-14.5}{15-14}}\cdot 91+{\frac {14.5-14}{15-14}}\cdot 210=150.5,\\I_{21,14.5}&={\frac {15-14.5}{15-14}}\cdot 162+{\frac {14.5-14}{15-14}}\cdot 95=128.5,\end{aligned}}}
7365:
Bilinear interpolation can be used where perfect image transformation with pixel matching is impossible, so that one can calculate and assign appropriate intensity values to pixels. Unlike other interpolation techniques such as
6380:
6752:
5241:
8825:{\displaystyle V_{xx}={\frac {((P_{2}-P_{x})\cdot V_{11}+(P_{x}-P_{1})\cdot V_{12})\cdot (T_{2}-T_{x})+((P_{2}-P_{x})\cdot V_{21}+(P_{x}-P_{1})\cdot V_{22})\cdot (T_{x}-T_{1})}{(P_{2}-P_{1})\cdot (T_{2}-T_{1})}}.}
7154:
1952:
7149:
5749:
5457:
7822:
7406:
6921:
6757:
6577:
6385:
5765:
5462:
4537:
3950:
3487:
2401:
1968:
611:
240:
6375:
7374:, bilinear interpolation uses values of only the 4 nearest pixels, located in diagonal directions from a given pixel, in order to find the appropriate color intensity values of that pixel.
8917:
8926:
Simplification of terms is good practice for application of mathematical methodology to engineering applications and can reduce computational and energy requirements for a process.
7634:
6742:{\displaystyle {\begin{aligned}(A+B\lambda +C\mu )&\times D&=0\\(A+B\lambda )&\times (C+D\lambda )&=0\\(A+C\mu )&\times (B+D\mu )&=0\\\end{aligned}}}
6319:
5441:{\displaystyle f(x,y)\approx {\begin{bmatrix}1-x&x\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f(0,0)&f(0,1)\\f(1,0)&f(1,1)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1-y\\y\end{bmatrix}}.}
6202:, then the interpolation is invertible (under certain conditions). In particular, this inverse can be used to find the "unit square coordinates" of a point inside any
6148:
The result of bilinear interpolation is independent of which axis is interpolated first and which second. If we had first performed the linear interpolation in the
2946:
6044:{\displaystyle {\begin{aligned}a_{00}&=f(0,0),\\a_{10}&=f(1,0)-f(0,0),\\a_{01}&=f(0,1)-f(0,0),\\a_{11}&=f(1,1)-f(1,0)-f(0,1)+f(0,0).\end{aligned}}}
7307:
7281:
6275:
7044:{\displaystyle {\begin{aligned}a&=A\times B\\b&=A\times C\qquad d=B\times C\\c&=A\times D\qquad e=B\times D\qquad f=C\times D\end{aligned}}}
5052:
7058:
6558:{\displaystyle {\begin{aligned}A&=F_{00}-F\\B&=F_{10}-F_{00}\\C&=F_{01}-F_{00}\\D&=F_{11}-F_{01}-F_{10}+F_{00}\end{aligned}}}
6906:{\displaystyle {\begin{aligned}c+e\lambda +f\mu &=0\\b+(c+d)\lambda +e\lambda ^{2}&=0\\a+(c-d)\mu +f\mu ^{2}&=0\\\end{aligned}}}
9061:
8960:
6324:
1855:
5636:{\displaystyle {\begin{aligned}w_{11}&=(1-x)(1-y),\\w_{12}&=(1-x)y,\\w_{21}&=x(1-y),\\w_{22}&=xy.\end{aligned}}}
9096:"BL-ALM: A Blind Scalable Edge-Guided Reconstruction Filter for Smart Environmental Monitoring Through Green IoMT-UAV Networks"
4514:
in agreement with the result obtained by repeated linear interpolation. The set of weights can also be interpreted as a set of
9081:
7250:{\displaystyle \lambda ={\frac {-c-d\pm {\sqrt {\mathbb {D} }}}{2e}}\qquad \mu ={\frac {-c+d\mp {\sqrt {\mathbb {D} }}}{2f}}}
5652:
9150:
4515:
7342:
is computed and applied to the screen pixel. This process is repeated for each pixel forming the object being textured.
8995:
5046:
is known are (0, 0), (0, 1), (1, 0), and (1, 1), then the interpolation formula simplifies to
8841:
7752:
This example is of tabularised
Pressure (columns) vs Temperature (rows) data as a lookup against some Variable
7367:
7309:
must be handled separately. Given the right conditions, one of the two solutions should be in the unit square.
6198:
However, when bilinear interpolation is applied to two functions simultaneously, such as when interpolating a
6228:
between a quadrilateral and the unit square may be used, but the resulting interpolant will not be bilinear.
7733:{\displaystyle I_{20.2,14.5}={\frac {21-20.2}{21-20}}\cdot 150.5+{\frac {20.2-20}{21-20}}\cdot 128.5=146.1.}
8471:
This can all be simplified from the initial 18 individual operations to 16 individual operations as such;
7334:
images and textures. An algorithm is used to map a screen pixel location to a corresponding point on the
113:
The four red dots show the data points and the green dot is the point at which we want to interpolate.
9132:
6280:
8955:
8940:
6239:
8987:
8981:
6160:
1847:
3102:{\displaystyle f(x,y)\approx w_{11}f(Q_{11})+w_{12}f(Q_{12})+w_{21}f(Q_{21})+w_{22}f(Q_{22}),}
8935:
7371:
6321:. Inverting the interpolation requires solving a system of two bilinear polynomial equations:
6168:
6054:
In both cases, the number of constants (four) correspond to the number of data points where
8945:
7338:. A weighted average of the attributes (color, transparency, etc.) of the four surrounding
52:
8980:
Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (1992).
8:
7331:
7286:
7260:
6172:
6106:
1830:
Note that we will arrive at the same result if the interpolation is done first along the
82:
27:
values 0, 1, 1 and 0.5 as indicated. Interpolated values in between represented by color.
6066:
9115:
8950:
6126:
2919:
75:
6277:
be a vector field that is bilinearly interpolated on the unit square parameterized by
9119:
9034:
8991:
7052:
6164:
6235:, a linear mapping to the unit square exists and the generalization follows easily.
6176:
6145:
linear in the interpolation values, as can be seen in the (matrix) equations above.
9107:
9024:
7339:
7327:
6566:
6260:
6095:
dots correspond to the interpolated point and neighbouring samples, respectively.
90:
56:
5236:{\displaystyle f(x,y)\approx f(0,0)(1-x)(1-y)+f(0,1)(1-x)y+f(1,0)x(1-y)+f(1,1)xy,}
7335:
7323:
86:
9095:
6225:
6203:
64:
9111:
6238:
The obvious extension of bilinear interpolation to three dimensions is called
1846:
An alternative way is to write the solution to the interpolation problem as a
9144:
9038:
6569:) of the system with a carefully chosen vectors allows us to eliminate terms:
6232:
6206:
2929:
67:
40:
9053:
6199:
6191:
of the vertex values) at an infinite number of points (forming branches of
60:
9029:
109:
59:, though it can be generalized to functions defined on the vertices of (a
6188:
32:
9012:
8986:(2nd ed.). New York, NY, USA: Cambridge University Press. pp.
7811:
The following standard calculation by parts has 18 required operations.
7350:) that are not assigned appropriate pixel values. In this case, those
7359:
7257:(opposite signs are enforced by the linear relation). The cases when
6192:
6125:
is held constant. Along any other straight line, the interpolant is
5646:
Alternatively, the interpolant on the unit square can be written as
3112:
where the weights sum to 1 and satisfy the transposed linear system
9082:
Bilinear interpolation definition (popular article on www.pcmag.com
7362:
values so that the output image does not have non-valued pixels.
8979:
5042:
If we choose a coordinate system in which the four points where
117:
Suppose that we want to find the value of the unknown function
1957:
where the coefficients are found by solving the linear system
1947:{\displaystyle f(x,y)\approx a_{00}+a_{10}x+a_{01}y+a_{11}xy,}
23:
Example of bilinear interpolation on the unit square with the
19:
7628:
and then interpolating linearly between these values, giving
6187:
In general, the interpolant will assume any value (in the
6156:
direction, the resulting approximation would be the same.
6097:
Their heights above the ground correspond to their values.
7381:
7355:
9100:
7144:{\displaystyle \mathbb {D} =(c+d)^{2}-4eb=(c-d)^{2}-4fa}
8983:
Numerical recipes in C: the art of scientific computing
5744:{\displaystyle f(x,y)=a_{00}+a_{10}x+a_{01}y+a_{11}xy,}
6283:
6263:
5408:
5312:
5282:
4979:
4731:
4633:
3881:
3633:
3495:
3422:
3351:
3127:
2795:
2547:
2409:
2271:
2200:
1976:
1763:
1663:
1613:
8844:
8480:
7820:
7637:
7404:
7385:
Example of bilinear interpolation in grayscale values
7289:
7263:
7157:
7061:
6919:
6755:
6575:
6383:
6327:
5763:
5655:
5460:
5255:
5055:
4535:
3948:
3485:
3121:
2949:
2399:
1966:
1858:
609:
238:
55:. It is usually applied to functions sampled on a 2D
8963:- for interpolating within a triangle or tetrahedron
9013:"Extraction of the Level Lines of a Bilinear Image"
6105:linear; but it is linear (i.e. affine) along lines
8911:
8824:
8460:
7732:
7617:
7317:
7301:
7275:
7249:
7143:
7043:
6905:
6741:
6557:
6369:
6313:
6269:
6101:As the name suggests, the bilinear interpolant is
6043:
5743:
5635:
5440:
5235:
5026:
4503:
3928:
3465:
3101:
2903:
2379:
1946:
1819:
585:
6370:{\displaystyle A+B\lambda +C\mu +D\lambda \mu =0}
9142:
7051:The quadratic equations can be solved using the
6231:In the special case when the quadrilateral is a
220:
6074:with some 1- and 2-dimensional interpolations.
16:Method of interpolating functions on a 2D grid
6182:
8912:{\displaystyle (P_{2}-P_{x}),(P_{x}-P_{1}).}
7747:
9133:"Web tutorial: Digital Image Interpolation"
6195:), so the interpolation is not invertible.
600:-direction to obtain the desired estimate:
129:). It is assumed that we know the value of
81:Bilinear interpolation is one of the basic
4521:
9028:
7230:
7185:
7063:
9093:
8923:operations makes it 22% more efficient.
7380:
6065:
2918:
225:We first do linear interpolation in the
108:
18:
9010:
8835:The above has two repeated operations.
5246:or equivalently, in matrix operations:
9143:
9051:
7055:. We have the equivalent determinants
2928:The solution can also be written as a
5037:
7330:, bilinear interpolation is used to
5451:Here we also recognize the weights:
6129:. Even though the interpolation is
4516:generalized barycentric coordinates
596:We proceed by interpolating in the
13:
43:functions of two variables (e.g.,
14:
9162:
1841:
9054:"Inverse bilinear interpolation"
6565:Taking a 2-d cross product (see
2914:
9064:from the original on 2010-08-13
7354:should be assigned appropriate
7318:Application in image processing
7202:
7021:
7005:
6966:
9126:
9094:Khosravi, M. R. (2021-03-19).
9087:
9075:
9045:
9011:Monasse, Pascal (2019-08-10).
9004:
8973:
8903:
8877:
8871:
8845:
8813:
8787:
8781:
8755:
8750:
8724:
8718:
8702:
8676:
8657:
8631:
8628:
8622:
8596:
8590:
8574:
8548:
8529:
8503:
8500:
7368:nearest-neighbor interpolation
7120:
7107:
7083:
7070:
6867:
6855:
6813:
6801:
6724:
6709:
6699:
6684:
6669:
6654:
6644:
6629:
6604:
6580:
6314:{\textstyle \mu ,\lambda \in }
6308:
6296:
6031:
6019:
6010:
5998:
5989:
5977:
5968:
5956:
5926:
5914:
5905:
5893:
5863:
5851:
5842:
5830:
5800:
5788:
5671:
5659:
5593:
5581:
5548:
5536:
5509:
5497:
5494:
5482:
5392:
5380:
5372:
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1:
8967:
6061:
4526:Combining the above, we have
1834:direction and then along the
221:Repeated linear interpolation
7:
8929:
6117:direction, equivalently if
10:
9167:
9151:Multivariate interpolation
7389:
6183:Inverse and generalization
6152:direction and then in the
93:, where it is also called
9112:10.1109/TGCN.2021.3067555
7748:A Simplification of Terms
9017:Image Processing on Line
6133:linear in the position (
229:-direction. This yields
99:bilinear texture mapping
78:in the sample location.
8961:Barycentric coordinates
8956:Stairstep interpolation
8941:Trilinear interpolation
6240:trilinear interpolation
6211:bilinear transformation
6141:), at a fixed point it
6072:Bilinear interpolation
4522:Alternative matrix form
9052:Quilez, Inigo (2010).
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2390:yielding the result
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7276:{\displaystyle e=0}
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6169:Laplace's equation
6163:, which is also a
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