2811:
2476:
2806:{\displaystyle {\begin{aligned}\cdots \\{\text{CH}}^{*-d}(Y,2)\to {\text{CH}}^{*}(X,2)\to {\text{CH}}^{*}(U,2)\to &\\{\text{CH}}^{*-d}(Y,1)\to {\text{CH}}^{*}(X,1)\to {\text{CH}}^{*}(U,1)\to &\\{\text{CH}}^{*-d}(Y,0)\to {\text{CH}}^{*}(X,0)\to {\text{CH}}^{*}(U,0)\to &{\text{ }}0\end{aligned}}}
1724:
1271:
958:
155:
624:
1837:
1969:
1562:
1554:
1384:
1161:
2434:
1092:
702:
788:
2998:
289:
2481:
2225:
2011:
1455:
214:
2147:
446:
396:
3112:
2055:
1882:
821:
3083:
1153:
863:
848:
2884:
2468:
3170:
Vladmir
Voevodsky, āMotivic cohomology groups are isomorphic to higher Chow groups in any characteristic,ā International Mathematics Research Notices 7 (2002), 351ā355.
2081:
1122:
2283:
997:
490:
329:
309:
2357:
349:
64:
2916:
2846:
2174:
3021:
2323:
2303:
234:
498:
1747:
1719:{\displaystyle \cdots \to z_{r}(X,q){\overset {d_{q}}{\to }}z_{r}(X,q-1){\overset {d_{q-1}}{\to }}\cdots {\overset {d_{1}}{\to }}z_{r}(X,0).}
1891:
1462:
1266:{\displaystyle \partial _{X,q,i}=\operatorname {id} _{X}\times \partial _{q,i}:X\times \Delta ^{q-1}\hookrightarrow X\times \Delta ^{q}}
1283:
2365:
1014:
636:
707:
2924:
239:
3023:
has pure codimension, then it yields the long exact sequence for higher Chow groups (called the localization sequence).
2182:
1977:
1400:
171:
2086:
1395:
351:, and the higher Chow groups are meant to encode the information of higher homotopy coherence. For example,
407:
357:
3183:
1885:
37:
2848:. In particular, this shows the higher chow groups naturally extend the exact sequence of chow groups.
3088:
463:
be a quasi-projective algebraic scheme over a field (āalgebraicā means separated and of finite type).
2016:
1845:
953:{\displaystyle \partial _{q,i}:\Delta ^{q-1}{\overset {\sim }{\to }}\{t_{i}=0\}\subset \Delta ^{q}.}
793:
3129:
3061:
1131:
826:
2863:
2447:
2285:
are covariant between the higher chow groups while flat maps are contravariant. Also, whenever
2060:
1101:
150:{\displaystyle \operatorname {H} ^{p}(X;\mathbb {Z} (q))\simeq \operatorname {CH} ^{q}(X,2q-p)}
2256:
966:
469:
314:
294:
2336:
334:
168:
One of the motivations for higher Chow groups comes from homotopy theory. In particular, if
3114:
and then, without loss of generality, assume one vertex is the origin 0 and the other is ā.
2889:
2819:
2152:
8:
3165:
1095:
3040:
3006:
2308:
2288:
2149:
and this means, by
Proposition 1.6. in Fultonās intersection theory, that the image of
1274:
619:{\displaystyle \Delta ^{q}=\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} /(t_{0}+\dots +t_{q}-1)),}
219:
25:
1832:{\displaystyle \operatorname {CH} _{r}(X,q):=\operatorname {H} _{q}(z_{r}(X,\cdot )).}
3143:
3124:
3138:
1000:
3177:
44:
29:
2176:
is precisely the group of cycles rationally equivalent to zero; that is,
2232:
21:
2359:
is an algebraic vector bundle, then there is the homotopy equivalence
1964:{\displaystyle \operatorname {CH} _{r}(X,q):=\pi _{q}z_{r}(X,\cdot )}
451:
can be thought of as the homotopy classes of homotopies of cycles.
3152:
Bloch, Spencer (1994). "The moving lemma for higher Chow groups".
1549:{\displaystyle d_{q}=\sum _{i=0}^{q}(-1)^{i}\partial _{X,q,i}^{*}}
1379:{\displaystyle \partial _{X,q,i}^{*}:z_{r}(X,q)\to z_{r}(X,q-1)}
2429:{\displaystyle {\text{CH}}^{*}(X,n)\cong {\text{CH}}^{*}(E,n)}
1087:{\displaystyle z_{r}(X,q)\subset Z_{r+q}(X\times \Delta ^{q})}
697:{\displaystyle 0\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{r}\leq q}
43:
In more precise terms, a theorem of
Voevodsky implies: for a
1888:, higher Chow groups can also be defined as homotopy groups
160:
between motivic cohomology groups and higher Chow groups.
401:
can be thought of as the homotopy classes of cycles while
1884:
is naturally a simplicial abelian group, in view of the
1094:
for the subgroup generated by closed subvarieties that
783:{\displaystyle t_{i_{1}}=t_{i_{2}}=\cdots =t_{i_{r}}=0}
36:) and the basic theory has been developed by Bloch and
2993:{\displaystyle z(X,\cdot )/z(Y,\cdot )\to z(U,\cdot )}
3091:
3064:
3009:
2927:
2892:
2866:
2822:
2479:
2450:
2368:
2339:
2311:
2291:
2259:
2185:
2155:
2089:
2063:
2019:
1980:
1894:
1848:
1750:
1565:
1465:
1403:
1286:
1164:
1134:
1104:
1017:
969:
866:
829:
796:
710:
639:
501:
472:
410:
360:
337:
317:
297:
284:{\displaystyle \gamma \in Z_{*}(X\times \Delta ^{1})}
242:
222:
174:
67:
2013:is a closed subvariety such that the intersections
3106:
3077:
3015:
2992:
2910:
2878:
2840:
2805:
2462:
2428:
2351:
2317:
2297:
2277:
2219:
2168:
2141:
2075:
2049:
2005:
1963:
1876:
1831:
1718:
1548:
1449:
1378:
1265:
1147:
1116:
1086:
991:
952:
842:
815:
782:
696:
618:
484:
440:
390:
343:
323:
303:
283:
228:
208:
149:
3175:
1273:is an effective Cartier divisor, there is the
3003:is a homotopy equivalence. In particular, if
2220:{\displaystyle \operatorname {CH} _{r}(X,0)=}
28:(for smooth varieties). It was introduced by
2006:{\displaystyle V\subset X\times \Delta ^{1}}
1450:{\displaystyle (X\times \{t_{i}=0\})\cap V.}
1432:
1413:
931:
912:
236:which are rationally equivalent via a cycle
2470:there is a localization long exact sequence
629:which is an algebraic analog of a standard
209:{\displaystyle \alpha ,\beta \in Z_{*}(X)}
3142:
3094:
2444:Given a closed equidimensional subscheme
525:
91:
2142:{\displaystyle d_{1}(V)=V(0)-V(\infty )}
24:, is a precursor and a basic example of
2851:
1390:that (by definition) maps a subvariety
3176:
3125:"Algebraic cycles and higher K-theory"
2328:
3151:
3122:
2857:
33:
3048:. Clay Math Monographs. p. 159.
2860:) showed that, given an open subset
441:{\displaystyle {\text{CH}}^{*}(X,1)}
391:{\displaystyle {\text{CH}}^{*}(X,0)}
311:can be thought of as a path between
3042:Lecture Notes on Motivic Cohomology
1741:-th homology of the above complex:
13:
3066:
2133:
2070:
2041:
1994:
1783:
1520:
1288:
1254:
1229:
1204:
1166:
1136:
1072:
938:
887:
868:
831:
798:
503:
269:
69:
14:
3195:
3166:An Overview of Motivic Cohomology
3123:Bloch, Spencer (September 1986).
58:, there is a natural isomorphism
3107:{\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}
2248:
2439:
2050:{\displaystyle V(0),V(\infty )}
1877:{\displaystyle z_{r}(X,\cdot )}
1556:which yields the chain complex
3052:
3033:
2987:
2975:
2969:
2966:
2954:
2943:
2931:
2786:
2783:
2771:
2756:
2753:
2741:
2726:
2723:
2711:
2685:
2682:
2670:
2655:
2652:
2640:
2625:
2622:
2610:
2584:
2581:
2569:
2554:
2551:
2539:
2524:
2521:
2509:
2423:
2411:
2393:
2381:
2343:
2269:
2211:
2199:
2136:
2130:
2121:
2115:
2106:
2100:
2044:
2038:
2029:
2023:
1958:
1946:
1920:
1908:
1871:
1859:
1823:
1820:
1808:
1795:
1776:
1764:
1710:
1698:
1673:
1647:
1642:
1624:
1599:
1594:
1582:
1569:
1510:
1500:
1435:
1404:
1373:
1355:
1342:
1339:
1327:
1244:
1081:
1062:
1040:
1028:
986:
980:
904:
610:
607:
569:
561:
529:
521:
435:
423:
385:
373:
278:
259:
203:
197:
144:
123:
104:
101:
95:
81:
1:
3154:Journal of Algebraic Geometry
3026:
2243:
1459:Define the boundary operator
816:{\displaystyle \Delta ^{q-r}}
454:
163:
3144:10.1016/0001-8708(86)90081-2
633:-simplex. For each sequence
7:
3078:{\displaystyle \Delta ^{1}}
1148:{\displaystyle \Delta ^{q}}
843:{\displaystyle \Delta ^{q}}
10:
3200:
2879:{\displaystyle U\subset X}
2463:{\displaystyle Y\subset X}
50:over a field and integers
18:Bloch's higher Chow groups
2076:{\displaystyle 0,\infty }
1733:-th higher Chow group of
1117:{\displaystyle X\times F}
857:, there is the embedding
790:, which is isomorphic to
2278:{\displaystyle f:X\to Y}
992:{\displaystyle Z_{i}(X)}
216:are algebraic cycles in
3130:Advances in Mathematics
1886:DoldāKan correspondence
704:, the closed subscheme
485:{\displaystyle q\geq 0}
324:{\displaystyle \alpha }
304:{\displaystyle \gamma }
16:In algebraic geometry,
3108:
3079:
3017:
2994:
2912:
2880:
2842:
2814:
2807:
2464:
2437:
2430:
2353:
2352:{\displaystyle E\to X}
2319:
2305:is smooth, any map to
2299:
2279:
2221:
2170:
2143:
2077:
2051:
2007:
1965:
1878:
1833:
1720:
1550:
1499:
1451:
1380:
1267:
1149:
1118:
1088:
993:
954:
844:
823:, is called a face of
817:
784:
698:
620:
486:
449:
442:
399:
392:
345:
344:{\displaystyle \beta }
325:
305:
285:
230:
210:
151:
20:, a generalization of
3109:
3080:
3018:
2995:
2913:
2911:{\displaystyle Y=X-U}
2881:
2843:
2841:{\displaystyle U=X-Y}
2808:
2472:
2465:
2431:
2361:
2354:
2320:
2300:
2280:
2222:
2171:
2169:{\displaystyle d_{1}}
2144:
2078:
2052:
2008:
1966:
1879:
1834:
1721:
1551:
1479:
1452:
1381:
1268:
1150:
1119:
1089:
994:
955:
845:
818:
785:
699:
621:
487:
443:
403:
393:
353:
346:
326:
306:
286:
231:
211:
152:
3089:
3085:with a subscheme of
3062:
3007:
2925:
2890:
2864:
2852:Localization theorem
2820:
2477:
2448:
2366:
2337:
2309:
2289:
2257:
2183:
2153:
2087:
2061:
2017:
1978:
1892:
1846:
1842:(More simply, since
1748:
1563:
1463:
1401:
1284:
1162:
1132:
1102:
1015:
967:
864:
827:
794:
708:
637:
499:
470:
408:
358:
335:
315:
295:
240:
220:
172:
65:
2329:Homotopy invariance
1545:
1313:
3184:Algebraic geometry
3104:
3075:
3058:Here, we identify
3013:
2990:
2908:
2876:
2838:
2803:
2801:
2460:
2426:
2349:
2325:is contravariant.
2315:
2295:
2275:
2217:
2166:
2139:
2073:
2047:
2003:
1961:
1874:
1829:
1737:is defined as the
1716:
1546:
1519:
1447:
1376:
1287:
1275:Gysin homomorphism
1263:
1145:
1114:
1096:intersect properly
1084:
989:
950:
840:
813:
780:
694:
616:
482:
438:
388:
341:
321:
301:
281:
226:
206:
147:
26:motivic cohomology
3016:{\displaystyle Y}
2794:
2763:
2733:
2697:
2662:
2632:
2596:
2561:
2531:
2495:
2403:
2373:
2318:{\displaystyle Y}
2298:{\displaystyle Y}
2083:are proper, then
1686:
1666:
1612:
999:for the group of
910:
466:For each integer
415:
365:
229:{\displaystyle X}
3191:
3161:
3148:
3146:
3115:
3113:
3111:
3110:
3105:
3103:
3102:
3097:
3084:
3082:
3081:
3076:
3074:
3073:
3056:
3050:
3049:
3047:
3037:
3022:
3020:
3019:
3014:
2999:
2997:
2996:
2991:
2950:
2917:
2915:
2914:
2909:
2885:
2883:
2882:
2877:
2847:
2845:
2844:
2839:
2812:
2810:
2809:
2804:
2802:
2795:
2792:
2770:
2769:
2764:
2761:
2740:
2739:
2734:
2731:
2710:
2709:
2698:
2695:
2689:
2669:
2668:
2663:
2660:
2639:
2638:
2633:
2630:
2609:
2608:
2597:
2594:
2588:
2568:
2567:
2562:
2559:
2538:
2537:
2532:
2529:
2508:
2507:
2496:
2493:
2469:
2467:
2466:
2461:
2435:
2433:
2432:
2427:
2410:
2409:
2404:
2401:
2380:
2379:
2374:
2371:
2358:
2356:
2355:
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2324:
2322:
2321:
2316:
2304:
2302:
2301:
2296:
2284:
2282:
2281:
2276:
2226:
2224:
2223:
2218:
2195:
2194:
2175:
2173:
2172:
2167:
2165:
2164:
2148:
2146:
2145:
2140:
2099:
2098:
2082:
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