1673:
1119:
346:
276:
410:
746:
542:
1458:
633:
1302:
1410:
1212:
1365:
125:
versions of the Dold–Kan theorem, and relates them to a previous equivalence of categories between cubical omega-groupoids and crossed complexes, which is fundamental to the work of that book.
1501:
882:
811:
964:
440:
972:
912:
181:
89:
65:
1503:
are given by natural transformations, meaning the maps of the simplicial identities still hold, the normalized chain complex construction is functorial.
287:
217:
1714:
362:
647:
452:
108:
1418:
553:
1585:
1738:
1619:
1559:
1223:
1370:
1127:
1310:
1707:
1466:
816:
1743:
1611:
754:
1700:
1603:
1688:
146:
917:
208:
36:
1114:{\displaystyle NA_{n}\xrightarrow {(-1)^{n}d_{n}} NA_{n-1}\xrightarrow {(-1)^{n-1}d_{n-1}} NA_{n-2}}
1733:
415:
44:
1608:
Nonabelian
Algebraic Topology: filtered spaces, crossed complexes, cubical homotopy groupoids
887:
151:
203:) of nonnegatively graded chain complexes can be constructed explicitly through a pair of
8:
100:
1651:
74:
50:
1639:
1615:
1592:
1555:
16:
Equivalence between the categories of chain complexes and simplicial abelian groups
1680:
1572:
1684:
1215:
639:
341:{\displaystyle \Gamma :{\text{Ch}}_{\geq 0}({\textbf {Ab}})\to s{\textbf {Ab}}}
115:
104:
96:
92:
68:
20:
1727:
1554:. Progress in Mathematics. Vol. 174. Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser.
40:
28:
1547:
121:
The book "Nonabelian
Algebraic Topology" cited below has a Section 14.8 on
1635:
1569:
271:{\displaystyle N:s{\textbf {Ab}}\to {\text{Ch}}_{\geq 0}({\textbf {Ab}})}
145:
and zero in all other degrees, the corresponding simplicial group is the
122:
32:
1672:
405:{\displaystyle A_{\bullet }\in {\text{Ob}}({\text{s}}{\textbf {Ab}})}
1048:
993:
741:{\displaystyle d_{i}\circ d_{n}=d_{n-1}\circ d_{i}:A_{n}\to A_{n-2}}
574:
537:{\displaystyle NA_{n}=\bigcap _{i=0}^{n-1}\ker(d_{i})\subset A_{n}}
204:
103:. (In fact, the correspondence preserves the respective standard
966:. Now, composing these differentials gives a commutative diagram
351:
constructing a simplicial abelian group from a chain complex.
1655:
1453:{\displaystyle A_{\bullet }:{\text{Ord}}\to {\textbf {Ab}}}
1367:, hence the normalized chain complex is a chain complex in
628:{\displaystyle NA_{n}\xrightarrow {(-1)^{n}d_{n}} NA_{n-1}}
211:. The first functor is the normalized chain complex functor
281:
and the second functor is the "simplicialization" functor
1297:{\displaystyle d_{n-1}\circ d_{n}=d_{n-1}\circ d_{n-1}}
1469:
1421:
1373:
1313:
1226:
1130:
975:
920:
890:
819:
757:
650:
556:
455:
418:
365:
290:
220:
154:
95:
of the corresponding simplicial abelian group, and a
77:
53:
1405:{\displaystyle {\text{Ch}}_{\geq 0}({\textbf {Ab}})}
1207:{\displaystyle (-1)^{n}(-1)^{n-1}d_{n-1}\circ d_{n}}
638:
These differentials are well defined because of the
1602:
1495:
1452:
1404:
1360:{\displaystyle {\text{Im}}(d_{n})\subset NA_{n-1}}
1359:
1296:
1214:. This composition is the zero map because of the
1206:
1113:
958:
906:
876:
805:
740:
627:
536:
434:
404:
340:
270:
175:
83:
59:
1412:. Because a simplicial abelian group is a functor
191:The Dold-Kan correspondence between the category
19:In mathematics, more precisely, in the theory of
1725:
195:of simplicial abelian groups and the category Ch
1610:. Tracts in Mathematics. Vol. 15. Zurich:
39:between the category of (nonnegatively graded)
1708:
1606:; Higgins, Philip J.; Sivera, Rafael (2011).
1545:
1522:
1496:{\displaystyle A_{\bullet }\to B_{\bullet }}
354:
107:.) The correspondence is an example of the
1715:
1701:
877:{\displaystyle d_{i}:NA_{n-1}\to NA_{n-2}}
118:-version of the Dold–Kan correspondence.
186:
806:{\displaystyle d_{n}:NA_{n}\to A_{n-1}}
47:. Moreover, under the equivalence, the
1726:
1667:
1518:
1516:
884:. This is because the definition of
1445:
1394:
394:
333:
317:
260:
232:
13:
1629:
1583:
291:
14:
1755:
1645:
1568:
1534:
1513:
359:Given a simplicial abelian group
1671:
959:{\displaystyle d_{i}(NA_{n})=0}
207:so that these functors form an
1528:
1480:
1440:
1399:
1389:
1332:
1319:
1160:
1150:
1141:
1131:
1059:
1049:
1004:
994:
947:
931:
852:
784:
719:
585:
575:
518:
505:
399:
384:
325:
322:
312:
265:
255:
237:
170:
158:
109:nerve and realization paradigm
1:
1612:European Mathematical Society
1586:"The Dold–Kan correspondence"
1506:
435:{\displaystyle NA_{\bullet }}
1739:Theorems in abstract algebra
1687:. You can help Knowledge by
7:
1523:Goerss & Jardine (1999)
128:
10:
1760:
1666:
1552:Simplicial Homotopy Theory
547:and differentials given by
137:that has an abelian group
71:of a chain complex is the
35:) states that there is an
813:is in the kernel of each
412:there is a chain complex
209:equivalence of categories
45:simplicial abelian groups
1580:last updated August 2017
1124:and the composition map
444:normalized chain complex
355:Normalized chain complex
1652:Dold-Kan correspondence
147:Eilenberg–MacLane space
25:Dold–Kan correspondence
1683:-related article is a
1497:
1461:
1454:
1406:
1361:
1305:
1298:
1208:
1122:
1115:
960:
908:
907:{\displaystyle NA_{n}}
878:
807:
749:
742:
636:
629:
545:
538:
498:
436:
406:
349:
342:
279:
272:
177:
176:{\displaystyle K(A,n)}
85:
61:
1744:Category theory stubs
1525:, Ch 3. Corollary 2.3
1498:
1455:
1414:
1407:
1362:
1299:
1219:
1209:
1116:
968:
961:
909:
879:
808:
751:showing the image of
743:
643:
630:
549:
539:
472:
448:
437:
407:
343:
283:
273:
213:
187:Detailed construction
178:
86:
62:
1467:
1419:
1371:
1311:
1224:
1128:
973:
918:
888:
817:
755:
648:
554:
453:
416:
363:
288:
218:
152:
133:For a chain complex
75:
51:
43:and the category of
1216:simplicial identity
1090:
1023:
640:simplicial identity
604:
101:simplicial homotopy
1493:
1450:
1402:
1357:
1307:and the inclusion
1294:
1204:
1111:
956:
904:
874:
803:
738:
625:
534:
432:
402:
338:
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173:
81:
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1696:
1695:
1621:978-3-03719-083-8
1561:978-3-7643-6064-1
1546:Goerss, Paul G.;
1447:
1438:
1396:
1378:
1317:
1091:
1024:
605:
396:
390:
382:
335:
319:
301:
262:
244:
234:
114:There is also an
99:corresponds to a
84:{\displaystyle n}
60:{\displaystyle n}
1751:
1717:
1710:
1703:
1675:
1668:
1625:
1599:
1597:
1591:. Archived from
1590:
1579:
1577:
1573:"Higher Algebra"
1565:
1548:Jardine, John F.
1538:
1532:
1526:
1520:
1502:
1500:
1499:
1494:
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1318:
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1292:
1274:
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277:
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263:
254:
253:
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242:
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235:
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180:
179:
174:
105:model structures
90:
88:
87:
82:
66:
64:
63:
58:
1759:
1758:
1754:
1753:
1752:
1750:
1749:
1748:
1734:Simplicial sets
1724:
1723:
1722:
1721:
1681:category theory
1664:
1648:
1632:
1630:Further reading
1622:
1595:
1588:
1584:Mathew, Akhil.
1575:
1562:
1542:
1541:
1533:
1529:
1521:
1514:
1509:
1487:
1483:
1474:
1470:
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1426:
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1393:
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1380:
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1372:
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219:
216:
215:
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189:
153:
150:
149:
131:
76:
73:
72:
52:
49:
48:
41:chain complexes
21:simplicial sets
17:
12:
11:
5:
1757:
1747:
1746:
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1705:
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1693:
1676:
1662:
1661:
1647:
1646:External links
1644:
1643:
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1628:
1627:
1626:
1620:
1600:
1598:on 2016-09-13.
1581:
1566:
1560:
1540:
1539:
1527:
1511:
1510:
1508:
1505:
1490:
1486:
1482:
1477:
1473:
1463:and morphisms
1442:
1434:
1429:
1425:
1401:
1391:
1386:
1383:
1354:
1351:
1348:
1344:
1340:
1337:
1334:
1329:
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1285:
1281:
1277:
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1262:
1258:
1253:
1249:
1245:
1240:
1237:
1234:
1230:
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1197:
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