2541:
506:
2536:{\displaystyle {\begin{aligned}G&=-{\frac {1}{\pi i}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ln \ln \tan x\ln \tan x\,dx\\G&=\iint _{^{2}}\!{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,dx\,dy\\G&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-x}{\frac {1}{1-x^{2}-y^{2}}}\,dy\,dx\\G&=\int _{1}^{\infty }{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt\\G&=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt\\G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {t}{\sin t}}\,dt\\G&=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\ln \cot t\,dt\\G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ln \left(\sec t+\tan t\right)\,dt\\G&=\int _{0}^{1}{\frac {\arccos t}{\sqrt {1+t^{2}}}}\,dt\\G&=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {arcsinh} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt\\G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {arctan} t}{t{\sqrt {1+t^{2}}}}}\,dt\\G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {arctanh} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt\\G&=\int _{0}^{\infty }\operatorname {arccot} e^{t}\,dt\\G&={\frac {1}{4}}\int _{0}^{{\pi ^{2}}/{4}}\csc {\sqrt {t}}\,dt\\G&={\frac {1}{16}}\left(\pi ^{2}+4\int _{1}^{\infty }\operatorname {arccsc} ^{2}t\,dt\right)\\G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t}{\cosh t}}\,dt\\G&={\frac {\pi }{2}}\int _{1}^{\infty }{\frac {\left(t^{4}-6t^{2}+1\right)\ln \ln t}{\left(1+t^{2}\right)^{3}}}\,dt\\G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\arcsin \left(\sin t\right)}{t}}\,dt\\G&=1+\lim _{\alpha \to {1^{-}}}\!\left\{\int _{0}^{\alpha }\!{\frac {\left(1+6t^{2}+t^{4}\right)\arctan {t}}{t\left(1-t^{2}\right)^{2}}}\,dt+2\operatorname {artanh} {\alpha }-{\frac {\pi \alpha }{1-\alpha ^{2}}}\right\}\\G&=1-{\frac {1}{8}}\iint _{\mathbb {R} ^{2}}\!\!{\frac {x\sin \left(2xy/\pi \right)}{\,\left(x^{2}+\pi ^{2}\right)\cosh x\sinh y\,}}\,dx\,dy\\G&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {{\sqrt{x}}\left({\sqrt {x}}{\sqrt {y}}-1\right)}{(x+1)^{2}{\sqrt{y}}(y+1)^{2}\log(xy)}}dxdy\end{aligned}}}
4474:
3778:
4469:{\displaystyle {\begin{aligned}G&=3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n}}}\left(-{\frac {1}{2(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}\right)\\&\qquad -2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{4}(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{6}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{9}(8n+5)^{2}}}-{\frac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}\right)\end{aligned}}}
3557:
3277:
2960:
3552:{\displaystyle G=4\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {3}{8}}\right)G\left({\frac {7}{8}}\right)}{G\left({\frac {1}{8}}\right)G\left({\frac {5}{8}}\right)}}\right)+4\pi \log \left({\frac {\Gamma \left({\frac {3}{8}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{8}}\right)}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\log \left({\frac {1+{\sqrt {2}}}{2\left(2-{\sqrt {2}}\right)}}\right).}
5354:
258:
2757:
511:
3223:
4638:
The theoretical foundations for such series are given by
Broadhurst, for the first formula, and Ramanujan, for the second formula. The algorithms for fast evaluation of the Catalan constant were constructed by E. Karatsuba. Using these series, calculating Catalan's constant is now about as fast as
5071:
5672:
4634:
5079:
5890:
43:
4838:
7072:
3084:
2955:{\displaystyle {\begin{aligned}G&={\frac {\pi }{4}}\int _{0}^{1}\Gamma \left(1+{\frac {x}{2}}\right)\Gamma \left(1-{\frac {x}{2}}\right)\,dx\\&={\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{\frac {1}{2}}\Gamma (1+y)\Gamma (1-y)\,dy\end{aligned}}}
3688:
4479:
3050:
4846:
5430:
3766:
2736:
2639:
7103:
5349:{\displaystyle G=-{\frac {1}{1024}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-4096)^{k}(45136k^{4}-57184k^{3}+21240k^{2}-3160k+165)}{k^{3}(2k-1)^{3}}}\left({\frac {(2k)!^{6}(3k)!^{3}}{k!^{3}(6k)!^{3}}}\right)}
503:
As Seán
Stewart writes, "There is a rich and seemingly endless source of definite integrals that can be equated to or expressed in terms of Catalan's constant." Some of these expressions include:
3783:
3089:
2762:
5683:
253:{\displaystyle G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+{\frac {1}{9^{2}}}-\cdots ,}
4685:
3587:
5411:
2967:
4670:
6543:
7340:
6910:
474:
366:
has been called "arguably the most basic constant whose irrationality and transcendence (though strongly suspected) remain unproven". It is however known to be an
3246:
5913:
3693:
3218:{\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)&=\pi ^{2}+8G\\\psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)&=\pi ^{2}-8G.\end{aligned}}}
5927:
has increased dramatically during the last decades. This is due both to the increase of performance of computers as well as to algorithmic improvements.
5066:{\displaystyle G={\frac {1}{64}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {256^{k}(580k^{2}-184k+15)}{k^{3}(2k-1){\binom {6k}{3k}}{\binom {6k}{4k}}{\binom {4k}{2k}}}}}
2664:
2573:
6653:
5667:{\displaystyle G={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{4}}{8+{\cfrac {3^{4}}{16+{\cfrac {5^{4}}{24+{\cfrac {7^{4}}{32+{\cfrac {9^{4}}{40+\ddots }}}}}}}}}}}}}
7718:
7740:
4629:{\displaystyle G={\frac {\pi }{8}}\log \left(2+{\sqrt {3}}\right)+{\frac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}{\binom {2n}{n}}}}.}
7697:
7222:
Karatsuba, E. A. (2001). "Fast computation of some special integrals of mathematical physics". In Krämer, W.; von
Gudenberg, J. W. (eds.).
6547:
6518:
Bailey, David H.; Borwein, Jonathan M.; Mattingly, Andrew; Wightwick, Glenn (2013). "The computation of previously inaccessible digits of
7828:
6445:
278:
2652:
344:
7597:
Fee, Gregory J. (1990). "Computation of
Catalan's Constant Using Ramanujan's Formula". In Watanabe, Shunro; Nagata, Morio (eds.).
2561:
7905:
7800:
7599:
Proceedings of the
International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, ISSAC '90, Tokyo, Japan, August 20-24, 1990
7247:
7171:
7291:
5885:{\displaystyle G={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{8+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{88+\ddots }}}}}}}}}}}}}
6724:
3264:
in its closed form – in terms of
Clausen functions – and then expressing those Clausen functions in terms of the Barnes
7406:
6997:
van der Kruit, P. C. (March 1988). "The three-dimensional distribution of light and mass in disks of spiral galaxies".
6741:
7483:
3775:
The following two formulas involve quickly converging series, and are thus appropriate for numerical computation:
7927:
477:
7616:
7073:"Rediscovery of Malmsten's integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results"
6435:
5956:
7891:
4833:{\displaystyle G={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-8)^{k}(3k+2)}{(2k+1)^{3}{\binom {2k}{k}}^{3}}}}
6623:
Ers, Publiés Par l'Académie Royale des
Sciences, des Lettres et des Beaux-Arts de Belgique. Collection in 4
6006:
5993:
7127:
Broadhurst, D. J. (1998). "Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of
7886:
6999:
367:
6958:; Mayall, N. U. (January 1942). "Distribution of Mass in the Spiral Nebulae Messier 31 and Messier 33".
7722:
7881:
7744:
443:, Catalan's constant appears in a conjectured formula for the asymptotic number of primes of the form
6960:
6625:. Mémoires de l'Académie royale des sciences, des lettres et des beaux-arts de Belgique (in French).
5365:
6618:
5980:
374:
7785:
7028:
3261:
3242:
3053:
386:
7231:
7701:
268:
7269:
377:, who found quickly-converging series for its calculation and published a memoir on it in 1865.
7922:
7809:
7780:
6750:
4646:
7385:
6521:
6955:
6882:
6440:
446:
417:
359:
7634:
Bradley, David M. (1999). "A class of series acceleration formulae for
Catalan's constant".
7223:
7012:
7673:
7653:
7589:
7434:
7316:
7200:
7049:
7008:
6969:
6941:
6862:
6842:
6814:
6794:
6759:
6684:
6604:
6570:
481:
7208:
8:
7869:
7509:
7224:
6584:
4640:
3683:{\displaystyle \Phi (z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+\alpha )^{s}}},}
3581:
3057:
2546:
7657:
7320:
6973:
6846:
6798:
6763:
6621:(1865). "Mémoire sur la transformation des séries et sur quelques intégrales définies".
7677:
7643:
7622:
7332:
7306:
7142:
7095:
7053:
6929:
6688:
6662:
6588:
6499:
6430:
5898:
3072:
7854:
6854:
7899:
7851:
7794:
7612:
7534:
7336:
7243:
7167:
7099:
7057:
6833:
6806:
6503:
3257:, as well as integrals and series summable in terms of the aforementioned functions.
3250:
3076:
488:
429:
398:
355:
3045:{\displaystyle G=\operatorname {Ti} _{2}(1)=\int _{0}^{1}{\frac {\arctan t}{t}}\,dt}
7873:
7774:
7681:
7661:
7626:
7602:
7575:
7324:
7235:
7204:
7087:
7037:
6977:
6921:
6850:
6828:
6802:
6767:
6707:
6692:
6672:
6630:
6556:
6491:
4675:
Other quickly converging series, due to
Guillera and Pilehrood and employed by the
3269:
3238:
390:
6676:
7669:
7585:
7196:
7045:
6937:
6858:
6810:
6680:
6600:
6566:
5360:
406:
7239:
6745:
6711:
2741:
402:
20:
7665:
7091:
6771:
6495:
7916:
7462:
6876:
6057:
3227:
492:
440:
425:
421:
413:
7410:
3230:
gives an infinite collection of identities between the trigamma function,
7487:
7026:
Stewart, Seán M. (2020). "A Catalan constant inspired integral odyssey".
6748:(August 1961). "Dimer problem in statistical mechanics—an exact result".
6651:(2010). "The minimal volume orientable hyperbolic 2-cusped 3-manifolds".
27:
7607:
7187:
Karatsuba, E. A. (1991). "Fast evaluation of transcendental functions".
7147:
7041:
3761:{\displaystyle G={\tfrac {1}{4}}\Phi \left(-1,2,{\tfrac {1}{2}}\right).}
7762:
7580:
7563:
6933:
6634:
6466:
4676:
433:
394:
333:
7328:
6718:
7859:
6561:
6925:
7311:
6982:
6648:
3234:
and
Catalan's constant; these are expressible as paths on a graph.
2731:{\displaystyle G=-{\tfrac {1}{2}}+\int _{0}^{1}\mathrm {E} (k)\,dk}
7648:
6667:
7833:
5895:
This continued fraction would have infinite terms if and only if
2634:{\displaystyle G={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {K} (k)\,dk}
7849:
6517:
484:) whether there are even infinitely many primes of this form.
341:
Is Catalan's constant irrational? If so, is it transcendental?
6482:
Nesterenko, Yu. V. (January 2016). "On Catalan's constant".
6785:
Wu, F. Y. (1977). "Number of spanning trees on a lattice".
273:
7357:
7226:
Scientific Computing, Validated Numerics, Interval Methods
6879:(1959). "A sieve method for factoring numbers of the form
487:
Catalan's constant also appears in the calculation of the
7769:(Provides the first 300,000 digits of Catalan's constant)
7289:
3237:
Catalan's constant occurs frequently in relation to the
5838:
5826:
5812:
5800:
5786:
5774:
5760:
5748:
5734:
5722:
5708:
5696:
5620:
5601:
5587:
5568:
5554:
5535:
5521:
5502:
5488:
5469:
5455:
5443:
7757:(Provides a graphical interpretation of the relations)
5841:
5829:
5815:
5803:
5789:
5777:
5763:
5751:
5737:
5725:
5711:
5699:
5623:
5604:
5590:
5571:
5557:
5538:
5524:
5505:
5491:
5472:
5458:
5446:
3739:
3704:
3167:
3107:
3063:
2678:
2584:
7564:"A certain series associated with Catalan's constant"
6885:
6524:
5931:
Number of known decimal digits of Catalan's constant
5901:
5686:
5433:
5368:
5082:
4849:
4688:
4649:
4482:
3781:
3696:
3590:
3280:
3268:-function, the following expression is obtained (see
3087:
2970:
2760:
2667:
2576:
509:
449:
46:
6593:
Bulletin de la Société Royale des Sciences de Liège
6484:
Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics
405:. It is 1/8 of the volume of the complement of the
6904:
6537:
5907:
5884:
5666:
5405:
5348:
5065:
4832:
4664:
4628:
4468:
3760:
3682:
3551:
3217:
3044:
2954:
2730:
2633:
2535:
468:
252:
7741:"A few identities with Catalan constant and Pi^2"
7735:(Provides over one hundred different identities).
7510:"Catalan's constant world record by Seungmin Kim"
6914:Mathematical Tables and Other Aids to Computation
6589:"The mathematical achievements of Eugène Catalan"
5923:The number of known digits of Catalan's constant
3260:As a particular example, by first expressing the
2237:
2236:
2027:
2006:
648:
271:. Its numerical value is approximately (sequence
7914:
6831:(1963). "A soluble self-avoiding walk problem".
6706:
6654:Proceedings of the American Mathematical Society
1982:
389:, Catalan's constant is 1/4 of the volume of an
7263:
7261:
7259:
6740:
335:
7568:Zeitschrift fĂĽr Analysis und ihre Anwendungen
7267:
6996:
5054:
5031:
5022:
4999:
4990:
4967:
4815:
4797:
4614:
4596:
2653:complete elliptic integral of the second kind
2545:where the last three formulas are related to
480:. However, it is an unsolved problem (one of
7814:Ordner, a catalog of real numbers in Fungrim
7256:
6720:The Geometry and Topology of Three-Manifolds
6548:Notices of the American Mathematical Society
6464:
3770:
2562:complete elliptic integral of the first kind
7698:"33 representations for Catalan's constant"
7429:
7427:
7070:
5677:The simple continued fraction is given by:
7870:"Catalan constant: Series representations"
7529:
7527:
7379:
7377:
7126:
6954:
6481:
6446:Particular values of Riemann zeta function
5915:is irrational, which is still unresolved.
7784:
7647:
7606:
7579:
7310:
7290:Bowman, D. & Mc Laughlin, J. (2002).
7221:
7186:
7146:
6981:
6827:
6666:
6583:
6560:
3035:
2941:
2858:
2721:
2624:
2342:
2335:
2331:
2279:
2224:
2125:
1954:
1874:
1732:
1663:
1580:
1502:
1450:
1371:
1285:
1216:
1147:
1059:
1003:
934:
862:
793:
786:
691:
684:
598:
7764:Catalan's Constant (Ramanujan's Formula)
7561:
7457:
7455:
7453:
7451:
7424:
7383:
5424:can be expressed in the following form:
3052:is a known special function, called the
2655:, as a function of the elliptic modulus
2564:, as a function of the elliptic modulus
420:, it arises in connection with counting
7772:
7738:
7716:
7633:
7524:
7374:
7025:
6617:
345:(more unsolved problems in mathematics)
7915:
7484:"Catalan's constant records using YMP"
7463:"Catalan's constant records using YMP"
7386:"Constants and Records of Computation"
7161:
6875:
6468:Catalan's Constant to 1,500,000 Places
498:
7850:
7807:
7776:Representations of Catalan's constant
7719:"A few identities (III) with Catalan"
7448:
6214:Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
6192:Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
5416:
7837:. Let's Learn, Nemo!. 10 August 2020
7695:
6647:
6258:Alexander J. Yee & Raymond Chan
6236:Alexander J. Yee & Raymond Chan
7760:
7596:
7502:
7476:
6465:Papanikolaou, Thomas (March 1997).
3064:Relation to other special functions
478:Hardy and Littlewood's Conjecture F
373:Catalan's constant was named after
13:
7904:: CS1 maint: overridden setting (
7810:"0.915965594177219015054603514932"
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6730:from the original on 2011-01-25.
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3771:Quickly converging series
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7029:The Mathematical Gazette
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3243:inverse tangent integral
3054:inverse tangent integral
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350:It is not known whether
19:Not to be confused with
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7717:Plouffe, Simon (1993).
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469:{\displaystyle n^{2}+1}
380:
269:Dirichlet beta function
7928:Mathematical constants
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6280:Robert J. Setti
6277:
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