1877:
1823:
2048:
1064:
823:
2031:
893:
1517:
1313:
1179:
1242:
1783:
2121:"Solution de plusieurs problèmes où il s'agit de trouver des Courbes dont la propriété consiste dans une certaine relation entre leurs branches, exprimée par une Équation donnée."
1711:
1436:
1609:
1922:
1868:
1876:
1822:
1649:
1356:
1549:
1806:
1376:
885:
846:
704:
445:
739:
188:
1059:{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dx}}+x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},}
2175:
319:
1947:
20:
360:
250:
849:
697:
268:
152:
1454:
1253:
571:
225:
2139:(in German), vol. 2. Partielle Differentialgleichungen 1er Ordnung fĂĽr eine gesuchte Funktion, Akad. Verlagsgesell
1075:
246:
198:
1561:
of the graphs of the general solutions. The singular solution is usually represented using parametric notation, as
314:
233:
208:
690:
1190:
625:
178:
350:
2158:
1938:
1378:. Substituting this into the Clairaut's equation, one obtains the family of straight line functions given by
365:
193:
183:
640:
491:
394:
281:
203:
2153:
2061:
1717:
326:
241:
2148:
531:
399:
1384:
502:
480:
1929:
In each case, the general solutions are depicted in black while the singular solution is in violet.
1660:
645:
496:
404:
2071:
1564:
576:
566:
558:
514:
355:
1885:
1831:
2066:
1558:
389:
852:. It is a particular case of the Lagrange differential equation. It is named after the French
1614:
1321:
730:
718:
635:
620:
509:
452:
434:
273:
29:
521:
457:
430:
1525:
8:
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553:
538:
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303:
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109:
100:
2053:
1791:
1361:
870:
831:
548:
543:
426:
2047:
1553:
605:
384:
119:
660:
670:
655:
856:
610:
526:
53:
665:
630:
615:
421:
409:
128:
2169:
853:
650:
600:
486:
114:
1816:
The following curves represent the solutions to two
Clairaut's equations:
58:
675:
818:{\displaystyle y(x)=x{\frac {dy}{dx}}+f\left({\frac {dy}{dx}}\right)}
416:
137:
80:
70:
1654:
The parametric description of the singular solution has the form
867:
To solve
Clairaut's equation, one differentiates with respect to
91:
86:
75:
2026:{\displaystyle \displaystyle u=xu_{x}+yu_{y}+f(u_{x},u_{y})}
2137:
Differentialgleichungen: Lösungen und Lösungsmethoden
1951:
1950:
1888:
1834:
1794:
1720:
1663:
1617:
1567:
1528:
1457:
1387:
1364:
1324:
1256:
1193:
1078:
896:
873:
834:
742:
2043:
1512:{\displaystyle x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)=0,}
1308:{\displaystyle x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)=0.}
2025:
1916:
1862:
1800:
1777:
1705:
1643:
1603:
1543:
1511:
1430:
1370:
1350:
1307:
1236:
1173:
1058:
879:
840:
817:
2167:
1174:{\displaystyle \left{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0.}
698:
2125:Histoire de l'Académie Royale des Sciences
1237:{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0}
705:
691:
1774:
1702:
1427:
2118:
2090:
2168:
2036:is also known as Clairaut's equation.
16:Type of ordinary differential equation
2146:
2134:
2102:
153:List of named differential equations
1778:{\displaystyle y(t)=f(t)-tf'(t),\,}
226:Dependent and independent variables
21:Clairaut's formula (disambiguation)
13:
14:
2187:
2119:Clairaut, Alexis Claude (1734),
2046:
1875:
1821:
361:Carathéodory's existence theorem
2176:Ordinary differential equations
1431:{\displaystyle y(x)=Cx+f(C),\,}
2096:
2084:
2019:
1993:
1898:
1892:
1844:
1838:
1768:
1762:
1745:
1739:
1730:
1724:
1706:{\displaystyle x(t)=-f'(t),\,}
1696:
1690:
1673:
1667:
1598:
1595:
1589:
1580:
1574:
1568:
1538:
1532:
1421:
1415:
1397:
1391:
752:
746:
448: / Integral solutions
1:
2112:
1939:partial differential equation
859:, who introduced it in 1734.
1937:By extension, a first-order
1932:
492:Exponential response formula
238:Coupled / Decoupled
7:
2154:Encyclopedia of Mathematics
2039:
1811:
1604:{\displaystyle (x(p),y(p))}
862:
850:continuously differentiable
10:
2192:
1917:{\displaystyle f(p)=p^{3}}
1863:{\displaystyle f(p)=p^{2}}
1522:defines only one solution
18:
626:Józef Maria Hoene-Wroński
572:Undetermined coefficients
481:Method of characteristics
366:Cauchy–Kowalevski theorem
2077:
1445:of Clairaut's equation.
351:Picard–Lindelöf theorem
345:Existence and uniqueness
2147:Rozov, N. Kh. (2001) ,
2072:Legendre transformation
1644:{\displaystyle p=dy/dx}
1351:{\displaystyle C=dy/dx}
577:Variation of parameters
567:Separation of variables
356:Peano existence theorem
2027:
1918:
1864:
1802:
1779:
1707:
1645:
1605:
1545:
1513:
1432:
1372:
1352:
1309:
1238:
1175:
1060:
881:
842:
819:
646:Carl David Tolmé Runge
189:Differential-algebraic
30:Differential equations
2062:D'Alembert's equation
2028:
1919:
1865:
1803:
1780:
1708:
1646:
1606:
1557:, whose graph is the
1546:
1514:
1433:
1373:
1353:
1310:
1239:
1176:
1061:
882:
843:
820:
731:differential equation
719:mathematical analysis
636:Augustin-Louis Cauchy
621:Joseph-Louis Lagrange
453:Numerical integration
435:Exponential stability
298:Relation to processes
1948:
1886:
1832:
1792:
1718:
1661:
1615:
1565:
1544:{\displaystyle y(x)}
1526:
1455:
1385:
1362:
1322:
1318:In the former case,
1254:
1191:
1076:
894:
871:
832:
740:
458:Dirac delta function
194:Integro-differential
19:For other uses, see
2149:"Clairaut equation"
2067:Chrystal's equation
723:Clairaut's equation
554:Perturbation theory
549:Integral transforms
440:Rate of convergence
306:(discrete analogue)
143:Population dynamics
110:Continuum mechanics
101:Applied mathematics
2135:Kamke, E. (1944),
2054:Mathematics portal
2023:
2022:
1914:
1860:
1798:
1775:
1703:
1641:
1601:
1541:
1509:
1428:
1368:
1358:for some constant
1348:
1305:
1234:
1171:
1056:
877:
838:
815:
544:Integrating factor
385:Initial conditions
320:Stochastic partial
1801:{\displaystyle t}
1554:singular solution
1494:
1448:The latter case,
1371:{\displaystyle C}
1293:
1226:
1163:
1120:
1051:
1013:
978:
938:
915:
880:{\displaystyle x}
841:{\displaystyle f}
809:
779:
727:Clairaut equation
715:
714:
606:Gottfried Leibniz
497:Finite difference
289:
288:
150:
149:
120:Dynamical systems
2183:
2161:
2140:
2128:
2106:
2100:
2094:
2088:
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2051:
2050:
2032:
2030:
2029:
2024:
2018:
2017:
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1913:
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1869:
1867:
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1861:
1859:
1858:
1825:
1808:is a parameter.
1807:
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1776:
1761:
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1710:
1709:
1704:
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1650:
1648:
1647:
1642:
1634:
1610:
1608:
1607:
1602:
1551:, the so-called
1550:
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1547:
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1443:general solution
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1435:
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1355:
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700:
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671:Phyllis Nicolson
656:Rudolf Lipschitz
539:Green's function
515:Infinite element
506:
471:Solution methods
449:
307:
218:By variable type
172:
171:
54:Natural sciences
47:
46:
26:
25:
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2190:
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1323:
1320:
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1285:
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156:
155:
151:
129:Social sciences
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2189:
2179:
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1767:
1764:
1760:
1757:
1753:
1750:
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