4067:
3104:
2350:
32:
20:
1155:
54:
43:
1974:
1361:
1738:
762:
509:
3787:
2332:
3335:
2649:
233:
3530:
3435:
3903:
2793:
3093:
1475:
2191:
1573:
377:
1969:{\displaystyle L=\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {(x')^{2}+(y')^{2}+(z')^{2}}}\,\mathrm {d} \varphi =\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {(1+m^{2})(r')^{2}+r^{2}}}\,\mathrm {d} \varphi \ .}
1686:
4057:
2908:
826:
644:
385:
3218:
2702:
1710:
885:
1026:
970:
637:
3592:
1216:
3995:
3004:
2206:
1619:
1144:
3825:
2832:
2408:
1400:
1105:
1060:
3677:
3685:
2491:
265:
2511:
2446:
925:
2531:
3932:
2957:
2371:
1508:
3956:
3635:
3615:
3149:
3129:
1204:
1184:
579:
559:
539:
152:
132:
3229:
3107:
The trace (purple) of the tangents of a conical spiral with a hyperbolic spiral as floor plan. The black line is the asymptote of the hyperbolic spiral.
2539:
4158:
160:
2713:
3441:
3346:
3012:
1408:
3830:
1993:
1513:
274:
1624:
2840:
757:{\displaystyle x=a\varphi \cos \varphi \ ,\qquad y=a\varphi \sin \varphi \ ,\qquad z=z_{0}+ma\varphi \ ,\quad \varphi \geq 0\ .}
4000:
784:
504:{\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi \ ,\qquad \color {red}{z=z_{0}+mr(\varphi )}\ .}
2378:
3164:
2655:
2353:
Development(green) of a conical spiral (red), right: a side view. The plane containing the development is designed by
1691:
840:
986:
930:
602:
1356:{\displaystyle \tan \beta ={\frac {z'}{\sqrt {(x')^{2}+(y')^{2}}}}={\frac {mr'}{\sqrt {(r')^{2}+r^{2}}}}\ .}
584:
A conical spiral can instead be seen as the orthogonal projection of the floor plan spiral onto the cone.
4155:
2327:{\displaystyle L={\frac {\sqrt {(1+m^{2})k^{2}+1}}{k}}(r{\big (}\varphi _{2})-r(\varphi _{1}){\big )}\ .}
3961:
2970:
1585:
1110:
3794:
3536:
2801:
2384:
1369:
1074:
4059:
and the tangent trace is a logarithmic spiral, which is congruent to the floor plan, because of the
3782:{\displaystyle \left({\frac {r^{2}}{r'}}\sin \varphi ,-{\frac {r^{2}}{r'}}\cos \varphi ,0\right)\ .}
4098:
1039:
2451:
241:
85:
2496:
3640:
2413:
897:
2516:
3908:
2933:
2356:
8:
2338:
1487:
766:
In this case the conical spiral can be seen as the intersection curve of the cone with a
81:
1166:
at a point of a conical spiral is the slope of this point's tangent with respect to the
3941:
3620:
3600:
3330:{\displaystyle (r'\cos \varphi -r\sin \varphi ,r'\sin \varphi +r\cos \varphi ,mr')^{T}}
3134:
3114:
1984:
1189:
1169:
778:
564:
544:
524:
137:
117:
93:
47:
36:
24:
4171:
4078:
4072:
4066:
980:
58:
4202:
4174:
4150:
3111:
The collection of intersection points of the tangents of a conical spiral with the
4162:
4060:
2644:{\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-z_{0})^{2}}}={\sqrt {1+m^{2}}}\;r\ ,}
228:{\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi }
4196:
98:
89:
3103:
2788:{\displaystyle \rho (\psi )={\sqrt {1+m^{2}}}\;r({\sqrt {1+m^{2}}}\psi )}
77:
65:
3525:{\displaystyle y(t)=r\sin \varphi +t(r'\sin \varphi +r\cos \varphi )\ ,}
3430:{\displaystyle x(t)=r\cos \varphi +t(r'\cos \varphi -r\sin \varphi )\ ,}
3088:{\displaystyle \rho =a{\sqrt {1+m^{2}}}\;e^{k{\sqrt {1+m^{2}}}\psi }\ .}
2349:
1470:{\displaystyle \tan \beta ={\frac {mn}{\sqrt {n^{2}+\varphi ^{2}}}}\ .}
3898:{\displaystyle \ {\tfrac {r^{2}}{r'}}={\tfrac {a}{n}}\varphi ^{n+1}\ }
2186:{\displaystyle L={\frac {a}{2}}\left_{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\ .}
4179:
1568:{\displaystyle \ \tan \beta ={\tfrac {m}{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}}\ .}
1033:
31:
19:
1154:
53:
2707:
Hence the polar representation of the developed conical spiral is:
1071:
The following investigation deals with conical spirals of the form
767:
4121:
Siegmund Günther, Anton Edler von Braunmühl, Heinrich
Wieleitner:
42:
1729:
515:
372:{\displaystyle \;m^{2}(x^{2}+y^{2})=(z-z_{0})^{2}\ ,\ m>0\;}
4138:
Band 2, Vereinigung wissenschaftlichen
Verleger, 1921, p. 229.
1681:{\displaystyle \ \tan \beta ={\tfrac {mk}{\sqrt {1+k^{2}}}}\ }
103:
2373:. Initially the cone and the plane touch at the purple line.
514:
Such curves are called conical spirals. They were known to
268:
2903:{\displaystyle \rho =a{\sqrt {1+m^{2}}}^{\,n+1}\psi ^{n},}
1036:(purple). The conical spiral approaches the hyperbola for
4052:{\displaystyle \ {\tfrac {r^{2}}{r'}}={\tfrac {r}{k}}\ }
2959:) the development is congruent to the floor plan spiral.
4169:
3934:(hyperbolic spiral) the tangent trace degenerates to a
821:{\displaystyle \;r(\varphi )=\pm a{\sqrt {\varphi }}\;}
4035:
4008:
3865:
3838:
1644:
1533:
4003:
3964:
3944:
3911:
3833:
3797:
3688:
3643:
3623:
3603:
3539:
3444:
3349:
3232:
3167:
3151:-plane (plane through the cone's apex) is called its
3137:
3117:
3015:
2973:
2936:
2921:
spiral than its development is an archimedean spiral.
2843:
2804:
2716:
2658:
2542:
2519:
2499:
2454:
2416:
2387:
2359:
2209:
1996:
1741:
1716:
Because of this property a conchospiral is called an
1694:
1627:
1588:
1516:
1490:
1411:
1372:
1219:
1192:
1172:
1113:
1077:
1042:
989:
933:
900:
843:
787:
647:
605:
567:
547:
541:
is the slope of the cone's lines with respect to the
527:
388:
277:
244:
163:
140:
120:
2834:the polar representation of the developed curve is
1732:of an arc of a conical spiral can be determined by
887:as floor plan. Its special feature is its constant
267:can be added such that the space curve lies on the
4051:
3989:
3950:
3926:
3897:
3819:
3781:
3671:
3629:
3609:
3586:
3524:
3429:
3329:
3213:{\displaystyle (r\cos \varphi ,r\sin \varphi ,mr)}
3212:
3143:
3123:
3087:
2998:
2951:
2902:
2826:
2787:
2697:{\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+m^{2}}}\psi \ .}
2696:
2643:
2525:
2505:
2485:
2440:
2402:
2365:
2326:
2185:
1968:
1704:
1680:
1613:
1567:
1502:
1469:
1394:
1355:
1198:
1178:
1138:
1099:
1054:
1020:
964:
919:
879:
820:
756:
631:
573:
553:
533:
503:
371:
259:
227:
146:
126:
1983:spiral the integral can be solved with help of a
776:The second diagram shows a conical spiral with a
16:Plane spiral projected onto the surface of a cone
4194:
3905:and the tangent trace is a spiral. In the case
1705:{\displaystyle \color {red}{\text{ constant!}}}
154:-plane a spiral with parametric representation
880:{\displaystyle \;r(\varphi )=ae^{k\varphi }\;}
2313:
2271:
4091:
2917:If the floor plan of a conical spiral is an
2913:which describes a spiral of the same type.
109:
1032:(black line), which is the floor plan of a
3045:
2752:
2631:
2533:of the development have to be determined:
2200:spiral the integral can be solved easily:
1158:Slope angle at a point of a conical spiral
1021:{\displaystyle \;r(\varphi )=a/\varphi \;}
1017:
990:
876:
844:
817:
788:
628:
606:
368:
278:
3006:the development is a logarithmic spiral:
2875:
1951:
1850:
965:{\displaystyle r(\varphi )=aK^{\varphi }}
632:{\displaystyle \;r(\varphi )=a\varphi \;}
4065:
3102:
2348:
1153:
52:
41:
30:
18:
1206:-plane. The corresponding angle is its
4195:
639:gives the conical spiral (see diagram)
4170:
2493:and the relation between the angle
13:
1987:, analogously to the planar case:
1953:
1852:
14:
4214:
4144:
2381:of a conical spiral the distance
1695:
457:
3990:{\displaystyle r=ae^{k\varphi }}
3597:The intersection point with the
3098:
2999:{\displaystyle r=ae^{k\varphi }}
1614:{\displaystyle r=ae^{k\varphi }}
1139:{\displaystyle r=ae^{k\varphi }}
3820:{\displaystyle r=a\varphi ^{n}}
3587:{\displaystyle z(t)=mr+tmr'\ .}
2827:{\displaystyle r=a\varphi ^{n}}
2403:{\displaystyle \rho (\varphi )}
1395:{\displaystyle r=a\varphi ^{n}}
1100:{\displaystyle r=a\varphi ^{n}}
738:
703:
675:
456:
422:
197:
92:. If the floor projection is a
4128:
4115:
3679:and the intersection point is
3549:
3543:
3513:
3478:
3454:
3448:
3418:
3383:
3359:
3353:
3318:
3233:
3207:
3168:
2782:
2756:
2726:
2720:
2597:
2577:
2480:
2455:
2435:
2417:
2397:
2391:
2344:
2308:
2295:
2286:
2263:
2238:
2219:
2124:
2105:
2083:
2064:
2043:
2024:
1927:
1915:
1912:
1893:
1839:
1827:
1815:
1803:
1791:
1779:
1322:
1310:
1279:
1267:
1255:
1243:
1046:
1000:
994:
943:
937:
854:
848:
798:
792:
616:
610:
490:
484:
438:
432:
404:
398:
341:
321:
315:
289:
254:
248:
213:
207:
179:
173:
1:
4085:
1066:
1055:{\displaystyle \varphi \to 0}
894:Introducing the abbreviation
2513:and the corresponding angle
1723:
7:
4125:G. J. Göschen, 1921, p. 92.
2486:{\displaystyle (0,0,z_{0})}
587:
260:{\displaystyle z(\varphi )}
10:
4219:
4123:Geschichte der mathematik.
4063:of a logarithmic spiral.
978:Example 4 is based on a
110:Parametric representation
2506:{\displaystyle \varphi }
1149:
834:The third example has a
4136:Darstellende Geometrie.
3672:{\displaystyle t=-r/r'}
3158:For the conical spiral
2441:{\displaystyle (x,y,z)}
1028:. Such a spiral has an
927:gives the description:
920:{\displaystyle K=e^{k}}
23:Conical spiral with an
4082:
4053:
3991:
3952:
3928:
3899:
3821:
3783:
3673:
3631:
3611:
3588:
3526:
3431:
3331:
3223:the tangent vector is
3214:
3145:
3125:
3108:
3089:
3000:
2953:
2904:
2828:
2789:
2698:
2645:
2527:
2507:
2487:
2442:
2404:
2374:
2367:
2328:
2187:
1970:
1706:
1682:
1615:
1569:
1510:and hence its slope is
1504:
1471:
1396:
1357:
1200:
1180:
1159:
1140:
1101:
1056:
1022:
966:
921:
881:
822:
758:
633:
575:
555:
535:
505:
373:
261:
229:
148:
128:
61:
50:
39:
28:
4069:
4054:
3992:
3953:
3929:
3900:
3822:
3784:
3674:
3637:-plane has parameter
3632:
3612:
3589:
3527:
3432:
3332:
3215:
3146:
3126:
3106:
3090:
3001:
2954:
2905:
2829:
2790:
2699:
2646:
2528:
2526:{\displaystyle \psi }
2508:
2488:
2443:
2405:
2368:
2352:
2329:
2188:
1971:
1707:
1683:
1616:
1570:
1505:
1472:
1397:
1358:
1201:
1181:
1157:
1141:
1102:
1057:
1023:
967:
922:
882:
823:
759:
634:
576:
556:
536:
506:
374:
262:
230:
149:
129:
56:
45:
34:
22:
4001:
3962:
3942:
3927:{\displaystyle n=-1}
3909:
3831:
3795:
3686:
3641:
3621:
3601:
3537:
3442:
3347:
3230:
3165:
3135:
3115:
3013:
2971:
2952:{\displaystyle n=-1}
2934:
2841:
2802:
2714:
2656:
2540:
2517:
2497:
2452:
2414:
2385:
2366:{\displaystyle \pi }
2357:
2339:elliptical integrals
2207:
1994:
1739:
1692:
1625:
1586:
1514:
1488:
1409:
1370:
1217:
1190:
1170:
1111:
1075:
1040:
987:
931:
898:
841:
785:
645:
603:
565:
545:
525:
386:
275:
242:
161:
138:
118:
3958:(see diagram). For
2448:to the cone's apex
2176:
1890:
1776:
1503:{\displaystyle n=1}
238:a third coordinate
82:right circular cone
27:as floor projection
4172:Weisstein, Eric W.
4161:2021-07-02 at the
4083:
4049:
4044:
4029:
3987:
3948:
3924:
3895:
3874:
3859:
3817:
3779:
3669:
3627:
3607:
3584:
3522:
3427:
3327:
3210:
3141:
3121:
3109:
3085:
2996:
2949:
2900:
2824:
2785:
2694:
2641:
2523:
2503:
2483:
2438:
2400:
2375:
2363:
2324:
2183:
2013:
1985:table of integrals
1966:
1862:
1748:
1702:
1701:
1678:
1673:
1611:
1565:
1557:
1500:
1467:
1392:
1353:
1196:
1176:
1160:
1136:
1097:
1052:
1018:
962:
917:
877:
836:logarithmic spiral
818:
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629:
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1210:(see diagram):
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783:
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