6042:
5578:
19195:
12413:
9686:
6037:{\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}\\&={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left({\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {1-k^{2}}}{2}},{\sqrt{1-k^{2}}}\right)}}\\&={\frac {\pi }{\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)\operatorname {agm} \left(1,{\frac {2{\sqrt{1-k^{2}}}}{\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}\right)}}\\&={\frac {2}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}K\left({\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)\end{aligned}}}
4432:
13154:
8145:
9165:
12764:
7658:
2702:
14333:
9428:
14109:
13877:
10556:
15865:
16199:
12160:
5328:
11958:
14831:
3368:
8871:
2409:
15313:
13681:
13149:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \Pi (n,k)}{\partial n}}&={\frac {1}{2\left(k^{2}-n\right)(n-1)}}\left(E(k)+{\frac {1}{n}}\left(k^{2}-n\right)K(k)+{\frac {1}{n}}\left(n^{2}-k^{2}\right)\Pi (n,k)\right)\\{\frac {\partial \Pi (n,k)}{\partial k}}&={\frac {k}{n-k^{2}}}\left({\frac {E(k)}{k^{2}-1}}+\Pi (n,k)\right)\end{aligned}}}
6861:
14120:
10286:
9171:
15572:
5058:
13888:
8140:{\displaystyle {\frac {K(k)}{2\pi }}=-{\frac {1}{4}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}=-{\frac {1}{4}}+{\cfrac {1}{1-q+{\cfrac {\left(1-q\right)^{2}}{1-q^{3}+{\cfrac {q\left(1-q^{2}\right)^{2}}{1-q^{5}+{\cfrac {q^{2}\left(1-q^{3}\right)^{2}}{1-q^{7}+{\cfrac {q^{3}\left(1-q^{4}\right)^{2}}{1-q^{9}+\cdots }}}}}}}}}},}
4682:
13691:
19157:
6562:
3938:
18987:
16988:
11967:
5082:
11768:
18584:
18301:
18018:
1335:
15578:
11759:
9887:
14535:
15880:
6703:
2398:
1039:
14541:
3776:
2871:
16667:
13521:
9160:{\displaystyle \left|{e}^{-\pi i\tau /4}\theta _{2}\!\left(\tau \right)-2\sum _{n=0}^{N-1}{q}^{n\left(n+1\right)}\right|\leq {\begin{cases}{\frac {2{\left|q\right|}^{N\left(N+1\right)}}{1-\left|q\right|^{2N+1}}},&\left|q\right|^{2N+1}<1\\\infty ,&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}\;}
19672:. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 587.
17572:
4111:
17741:
17118:
15019:
2124:
531:
In this notation, the use of a vertical bar as delimiter indicates that the argument following it is the "parameter" (as defined above), while the backslash indicates that it is the modular angle. The use of a semicolon implies that the argument preceding it is the sine of the amplitude:
12750:
666:
10868:
10277:
7290:
6712:
15025:
12588:
8535:
17272:
11217:
4824:
7150:
4298:
2697:{\displaystyle {\begin{aligned}E{\left(\operatorname {sn} (u;k);k\right)}=\int _{0}^{u}\operatorname {dn} ^{2}(w;k)\,dw&=u-k^{2}\int _{0}^{u}\operatorname {sn} ^{2}(w;k)\,dw\\&=\left(1-k^{2}\right)u+k^{2}\int _{0}^{u}\operatorname {cn} ^{2}(w;k)\,dw.\end{aligned}}}
493:
14328:{\displaystyle {\tfrac {4}{3}}K({\color {blue}{\tfrac {1}{3}}})E({\color {green}{\tfrac {1}{2}}})+{\tfrac {3}{2}}E({\color {blue}{\tfrac {1}{3}}})K({\color {green}{\tfrac {1}{2}}})-2K({\color {blue}{\tfrac {1}{3}}})K({\color {green}{\tfrac {1}{2}}})={\tfrac {1}{2}}\pi }
4490:
8667:
9423:{\displaystyle \left|\theta _{3}\!\left(\tau \right)-\left(1+2\sum _{n=1}^{N-1}{q}^{n^{2}}\right)\right|\leq {\begin{cases}{\frac {2{\left|q\right|}^{N^{2}}}{1-\left|q\right|^{2N+1}}},&\left|q\right|^{2N+1}<1\\\infty ,&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}\;}
15328:
14104:{\displaystyle (1+\varepsilon )K(\varepsilon )E({\tfrac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }})+{\tfrac {2}{1+\varepsilon }}E(\varepsilon )K({\tfrac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }})-2K(\varepsilon )K({\tfrac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }})={\tfrac {1}{2}}\pi }
17379:
6429:
3795:
13872:{\displaystyle K({\color {blueviolet}{\tfrac {3}{5}}})E({\color {blue}{\tfrac {4}{5}}})+E({\color {blueviolet}{\tfrac {3}{5}}})K({\color {blue}{\tfrac {4}{5}}})-K({\color {blueviolet}{\tfrac {3}{5}}})K({\color {blue}{\tfrac {4}{5}}})={\tfrac {1}{2}}\pi }
10690:
10551:{\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\left(1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}{\frac {k^{2}}{1}}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {k^{4}}{3}}-\cdots -\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{2n-1}}-\cdots \right).}
4814:
5470:
1202:
1195:
18998:
11399:
11647:
9717:
2843:
18847:
16848:
6571:
271:
are functions of a single argument. These arguments are expressed in a variety of different but equivalent ways as they give the same elliptic integral. Most texts adhere to a canonical naming scheme, using the following naming conventions.
2268:
883:
3375:
12369:
7642:
7469:
3947:
18307:
18024:
17756:
5569:
4422:
11619:
15860:{\displaystyle +\,{\frac {{\sqrt {2}}\,x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}{\biggl \{}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-F{\biggl }{\biggr \}}=\int _{0}^{1}{\frac {2\,x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}\,y^{4})}}}\,\mathrm {d} y}
1967:
2261:
535:
16194:{\displaystyle {\biggl \{}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-F{\biggl }{\biggr \}}{\biggl \{}2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-2E{\biggl }+F{\biggl }{\biggr \}}=}
12155:{\displaystyle E\left({\frac {3-{\sqrt {7}}}{4{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {7+2{\sqrt {7}}}{14}}K\left({\frac {3-{\sqrt {7}}}{4{\sqrt {2}}}}\right)+{\frac {\pi {\sqrt {7}}}{28K\left({\frac {3-{\sqrt {7}}}{4{\sqrt {2}}}}\right)}}.}
10697:
6957:
5323:{\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\left(1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}k^{2}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}k^{4}+\cdots +\left({\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right)^{2}k^{2n}+\cdots \right),}
9626:
14363:
11953:{\displaystyle E\left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {3+{\sqrt {3}}}{6}}K\left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)+{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{12K\left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)}},}
10111:
8369:
7161:
169:
12604:
19162:
Because if the derivative of a continuous function constantly takes the value zero, then the concerned function is a constant function. This means that this function results in the same function value for each abscissa value
12447:
14826:{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\,2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-2E{\biggl }+F{\biggl }={\frac {{\sqrt {2}}\,x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}}
16404:
13277:
16441:
17390:
11089:
7007:
4161:
18775:
8853:
17578:
17035:
14846:
404:
838:
Thus one must be careful with the notation when using these functions, because various reputable references and software packages use different conventions in the definitions of the elliptic functions. For example,
5583:
15308:{\displaystyle 2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-2E{\biggl }+F{\biggl }=\int _{0}^{1}{\frac {{\sqrt {2}}\,x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\,\mathrm {d} y}
16837:
13395:
8380:
11080:
3363:{\displaystyle E{\left}+E{\left}=E{\left}+{\frac {k^{2}xy}{k'^{2}x^{2}y^{2}+x^{2}+y^{2}+1}}\left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}+{\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right)}
13676:{\displaystyle K(\varepsilon )E\left({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\right)+E(\varepsilon )K\left({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\right)-K(\varepsilon )K\left({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}}
1944:
9993:
17129:
2414:
12769:
12251:
6856:{\displaystyle K\left({\frac {3-{\sqrt {7}}}{4{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{7}}\right)\Gamma \left({\frac {2}{7}}\right)\Gamma \left({\frac {4}{7}}\right)}{4{\sqrt{7}}\pi }}.}
9675:
8541:
10569:
4687:
12754:
Just like the complete elliptic integrals of the first and second kind, the complete elliptic integral of the third kind can be computed very efficiently using the arithmetic-geometric mean.
5352:
15567:{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}{\biggl \{}2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-2E{\biggl }+F{\biggl }{\biggr \}}\,+}
7519:
5053:{\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right)^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\bigl (}P_{2n}(0){\bigr )}^{2}k^{2n},}
1068:
11279:
9501:
11270:
17278:
14350:
For the lemniscatic case, the elliptic modulus or specific eccentricity ε is equal to half the square root of two. Legendre's identity for the lemniscatic case can be proved as follows:
2732:
18839:
9469:
1676:
4677:{\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}=\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}},}
6313:
11514:
8744:
6378:
668:
This potentially confusing use of different argument delimiters is traditional in elliptic integrals and much of the notation is compatible with that used in the reference book by
13495:
13435:
12255:
7524:
7355:
5485:
4317:
19152:{\displaystyle K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\tfrac {1}{2}}\pi }
11538:
6072:
2153:
6557:{\displaystyle K\left({\sqrt {2}}-1\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{8}}\right)\Gamma \left({\frac {3}{8}}\right){\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}}{8{\sqrt{2}}{\sqrt {\pi }}}},}
3933:{\displaystyle \Pi (n;\varphi \setminus \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {1}{1-n\sin ^{2}\theta }}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-\left(\sin \theta \sin \alpha \right)^{2}}}}}
18982:{\displaystyle 2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}^{2}={\frac {\pi }{2}}}
16983:{\displaystyle 2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}^{2}={\frac {\pi }{2}}}
19181:
18798:
17016:
17746:
Legendre's identity includes products of any two complete elliptic integrals. For the derivation of the function side from the equation scale of
Legendre's identity, the
8239:
78:
10099:
1396:
13297:
6868:
18579:{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl }}
18296:{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl }}
18013:{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl }}
13170:
13317:
16433:
1330:{\displaystyle F(\varphi \setminus \alpha )=F(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-\left(\sin \theta \sin \alpha \right)^{2}}}}.}
13475:
13455:
13415:
8767:
8270:
11754:{\displaystyle E\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{2}}K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\pi }{4K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}},}
9882:{\displaystyle E(k)=\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,d\theta =\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt,}
14530:{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\,K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-F{\biggl }={\frac {{\sqrt {2}}\,x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}}
333:
Each of the above three quantities is completely determined by any of the others (given that they are non-negative). Thus, they can be used interchangeably.
14338:
The
Legendre's relation for tangential modular counterparts results directly from the Legendre's identity for Pythagorean modular counterparts by using the
9512:
6698:{\displaystyle K\left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{8\pi }}{\sqrt{3}}\,{\sqrt{4}}\,\Gamma {\biggl (}{\frac {1}{3}}{\biggr )}^{3}}
8278:
2393:{\displaystyle E(\varphi \setminus \alpha )=E(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-\left(\sin \theta \sin \alpha \right)^{2}}}\,d\theta .}
1034:{\displaystyle F(\varphi ,k)=F\left(\varphi \mid k^{2}\right)=F(\sin \varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}.}
11005:
3771:{\displaystyle E{\left}=\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)E{\left}-{\sqrt {1-k^{2}}}F{\left}+{\frac {k^{2}x{\sqrt {1-x^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}}
16662:{\displaystyle K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggl }=\int _{0}^{1}{\frac {1}{y^{2}}}(y^{2}+1)\,{\text{artanh}}(y^{2})\,\mathrm {d} y=}
1683:
20124:
20046:
17567:{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl }}
16205:
9911:
4106:{\displaystyle \Pi (n;\varphi \,|\,m)=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{1-nt^{2}}}{\frac {dt}{\sqrt {\left(1-mt^{2}\right)\left(1-t^{2}\right)}}}.}
17736:{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {\varepsilon }{1-\varepsilon ^{2}}}{\bigl }}
17113:{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}=-\,{\frac {\varepsilon }{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}}
15014:{\displaystyle K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-F{\biggl }=\int _{0}^{1}{\frac {{\sqrt {2}}\,x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\,\mathrm {d} y}
2119:{\displaystyle E(\varphi ,k)=E\left(\varphi \,|\,k^{2}\right)=E(\sin \varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,d\theta .}
18595:
16998:
Now the modular general case is worked out. For this purpose, the derivatives of the complete elliptic integrals are derived after the modulus
12171:
8775:
661:{\displaystyle F(\varphi ,\sin \alpha )=F\left(\varphi \mid \sin ^{2}\alpha \right)=F(\varphi \setminus \alpha )=F(\sin \varphi ;\sin \alpha ).}
10863:{\displaystyle E(k)=\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)\,E\left({\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)-{\sqrt {1-k^{2}}}\,K(k)}
679:
There are still other conventions for the notation of elliptic integrals employed in the literature. The notation with interchanged arguments,
13513:
shows the relation of the integrals K and E of an elliptic modulus and its anti-related counterpart in an integral equation of second degree:
10272:{\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}\left(n!\right)^{2}}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{1-2n}},}
7285:{\displaystyle K\left(k\right)\approx {\frac {\pi }{2}}+{\frac {\pi }{8}}{\frac {k^{2}}{1-k^{2}}}-{\frac {\pi }{16}}{\frac {k^{4}}{1-k^{2}}}}
12745:{\displaystyle \Pi '(n,k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\left(1+n\sin ^{2}\theta \right){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}.}
12583:{\displaystyle \Pi (n,k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\left(1-n\sin ^{2}\theta \right){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}.}
8530:{\displaystyle \theta _{2}(\tau )=2e^{\pi i\tau /4}\sum _{n=0}^{\infty }q^{n(n+1)},\quad q=e^{\pi i\tau },\,\operatorname {Im} \tau >0,}
16675:
13326:
20746:
20547:
19787:
17267:{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl }}
11212:{\displaystyle a_{\infty }=\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }g_{n}=\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right).}
7145:{\displaystyle K\left(e^{5\pi i/6}\right)={\frac {e^{-\pi i/12}\Gamma ^{3}\left({\frac {1}{3}}\right){\sqrt{3}}}{4{\sqrt{2}}\pi }}.}
4293:{\displaystyle \Pi {\bigl (}n;\,\operatorname {am} (u;k);\,k{\bigr )}=\int _{0}^{u}{\frac {dw}{1-n\,\operatorname {sn} ^{2}(w;k)}}.}
11403:
In practice, the arithmetic-geometric mean would simply be computed up to some limit. This formula converges quadratically for all
11226:
10877:
Like the integral of the first kind, the complete elliptic integral of the second kind can be computed very efficiently using the
488:{\displaystyle \cos \varphi =\operatorname {cn} u,\quad {\textrm {and}}\quad {\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}=\operatorname {dn} u.}
19598:
1408:
19945:
20639:
20276:
20236:
20117:
20039:
19957:
19887:
19796:
19677:
732:
in their definition of the integrals of the second and third kinds, unless this argument is followed by a vertical bar: i.e.
39:
6087:
8662:{\displaystyle \theta _{3}(\tau )=1+2\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}},\quad q=e^{\pi i\tau },\,\operatorname {Im} \tau >0}
19249:
19229:
17:
9634:
20716:
20327:
20226:
20706:
20019:
19819:
19720:
19629:
19540:
19481:
N.Bagis,L.Glasser.(2015)"Evaluations of a
Continued fraction of Ramanujan". Rend.Sem.Mat.Univ.Padova, Vol.133 pp 1-10
19363:
19337:
7476:
234:
17374:{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E(\varepsilon )=-\,{\frac {1}{\varepsilon }}{\bigl }}
20405:
20110:
20032:
9474:
237:, every elliptic integral can be brought into a form that involves integrals over rational functions and the three
19214:
14837:
249:
18806:
9436:
20552:
20473:
20463:
20400:
19854:
19224:
10060:
1357:
38:
is one of a number of related functions defined as the value of certain integrals, which were first studied by
19517:
18589:
Of these three equations, adding the top two equations and subtracting the bottom equation gives this result:
20150:
20086:
19995:
19244:
10561:
5479:
20370:
20266:
19862:
11484:
8685:
6348:
19254:
10685:{\displaystyle E(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right).}
4809:{\displaystyle K(k)=F\left({\tfrac {\pi }{2}},k\right)=F\left({\tfrac {\pi }{2}}\,|\,k^{2}\right)=F(1;k).}
20741:
20629:
20593:
20292:
20205:
19990:
13882:
And for two modules that are tangential counterparts to each other, the following relationship is valid:
13480:
13420:
5465:{\displaystyle K(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right).}
377:
1190:{\displaystyle F(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}}.}
20603:
20241:
19985:
19866:
14339:
8272:
instead, because the squaring function introduces problems when inverting in the complex plane. So let
6049:
2862:
1399:
307:
19491:
11394:{\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2a_{\infty }}}\left(1-\sum _{n=0}^{\infty }2^{n-1}c_{n}^{2}\right).}
20649:
13320:
10878:
2403:
248:. Additional insight into the theory of the elliptic integral may be gained through the study of the
53:). Their name originates from their originally arising in connection with the problem of finding the
19557:
12592:
Note that sometimes the elliptic integral of the third kind is defined with an inverse sign for the
9283:
9008:
2838:{\displaystyle m(\varphi )=a\left(E(\varphi ,e)+{\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}E(\varphi ,e)\right),}
20562:
20542:
20478:
20395:
20297:
20256:
19239:
19166:
18783:
17001:
20453:
20261:
19905:
19858:
11521:
8859:
8154:
6385:
5344:
20246:
20091:
20055:
19518:"Complete elliptic integral of the second kind: Series representations (Formula 08.01.06.0002)"
19219:
13506:
245:
65:
20360:
13282:
20624:
20322:
20271:
20160:
19874:
19667:
19283:
18803:
The previously determined result shall be combined with the
Legendre equation to the modulus
808:
710:
673:
669:
17384:
In combination with the derivative of the circle function these derivatives are valid then:
12364:{\displaystyle \left(k^{2}-1\right){\frac {d}{dk}}\left(k\;{\frac {dE(k)}{dk}}\right)=kE(k)}
7637:{\displaystyle {\frac {d}{dk}}K(k)={\frac {E(k)}{k\left(1-k^{2}\right)}}-{\frac {K(k)}{k}}.}
7464:{\displaystyle {\frac {d}{dk}}\left(k\left(1-k^{2}\right){\frac {dK(k)}{dk}}\right)=k\,K(k)}
4125:
and can take on any value, independently of the other arguments. Note though that the value
20711:
20572:
20231:
20076:
19880:
19832:
19806:
19749:
19695:
19578:
19393:
5564:{\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}.}
5074:
4417:{\displaystyle m(\varphi )=a\left(1-e^{2}\right)\Pi \left(e^{2};\varphi \,|\,e^{2}\right).}
20483:
15870:
By forming the original antiderivative related to x from the function now shown using the
13302:
11614:{\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}}
8:
20537:
20415:
20380:
20337:
20317:
19923:
19909:
19468:
16412:
13516:
For two modules that are
Pythagorean counterparts to each other, this relation is valid:
11621:
and hence can be computed without the need for the infinite summation term. For example,
203:
19753:
19397:
2256:{\displaystyle E(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt.}
20678:
20458:
20438:
20251:
19765:
19739:
19619:
19427:
19414:
19381:
19200:
15319:
13460:
13440:
13400:
8752:
8255:
8148:
7652:
253:
244:
Besides the
Legendre form given below, the elliptic integrals may also be expressed in
20410:
19934:
19730:
Carlson, B. C. (1995). "Numerical
Computation of Real or Complex Elliptic Integrals".
20567:
20514:
20385:
20195:
20013:
20002:
19953:
19893:
19883:
19792:
19782:
19716:
19699:
19683:
19673:
19655:
19625:
19536:
19419:
19359:
19333:
19194:
12412:
9621:{\displaystyle K={\frac {\pi }{2}}\theta _{3}(\tau )^{2},\quad \tau =i{\frac {K}{K}}}
383:
Specifying the value of any one of these quantities determines the others. Note that
180:
31:
19769:
19431:
17018:
and then they are combined. And then the
Legendre's identity balance is determined.
8364:{\displaystyle K=\int _{0}^{\pi /2}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}
2868:
The incomplete elliptic integral of the second kind has following addition theorem:
164:{\displaystyle f(x)=\int _{c}^{x}R{\left({\textstyle t,{\sqrt {P(t)}}}\right)}\,dt,}
20557:
20443:
20420:
20081:
19963:
19870:
19757:
19409:
19401:
5340:
1405:
The incomplete elliptic integral of the first kind has following addition theorem:
840:
17123:
These are the derivatives of K and E shown in this article in the sections above:
851:
define the complete elliptic integral of the first kind in terms of the parameter
20683:
20488:
20430:
20332:
20155:
20134:
19828:
19802:
19691:
19669:
Handbook of
Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
19663:
6960:
6952:{\displaystyle {\frac {iK'}{K}}={\frac {iK\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)}{K(k)}}}
2852:
20657:
20355:
20180:
20165:
20142:
20071:
19919:
19815:
19234:
19209:
16399:{\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {1}{y^{2}}}(y^{2}+1){\biggl }\mathrm {d} y}
10041:
8673:
6400:
5475:
525:
43:
19533:
Pi and the AGM: A Study in
Analytic Number Theory and Computational Complexity
19356:
Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity
19330:
Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity
13272:{\displaystyle Z(\varphi ,k)=E(\varphi ,k)-{\frac {E(k)}{K(k)}}F(\varphi ,k).}
20735:
20698:
20468:
20448:
20375:
20170:
20102:
19287:
1043:
This is Legendre's trigonometric form of the elliptic integral; substituting
848:
286:
238:
16435:
is inserted in this integral identity, then the following identity emerges:
9685:
4431:
241:, also known as the elliptic integrals of the first, second and third kind.
20634:
20608:
20598:
20588:
20390:
20210:
19944:
Press, W. H.; Teukolsky, S. A.; Vetterling, W. T.; Flannery, B. P. (2007),
19659:
19423:
19183:
and the associated function graph is therefore a horizontal straight line.
17747:
15871:
10104:
4819:
4684:
or more compactly in terms of the incomplete integral of the first kind as
2707:
1402:
is a simple inverse of the incomplete elliptic integral of the first kind.
20024:
20007:
19836:
19405:
18770:{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}{\bigl }=0}
8848:{\displaystyle m={\frac {\theta _{2}(\tau )^{4}}{\theta _{3}(\tau )^{4}}}}
20509:
20347:
9891:
or more compactly in terms of the incomplete integral of the second kind
7352:
The differential equation for the elliptic integral of the first kind is
5474:
The complete elliptic integral of the first kind is sometimes called the
844:
10564:, the complete elliptic integral of the second kind can be expressed as
10103:
The complete elliptic integral of the second kind can be expressed as a
20504:
19936:
On The Direct Numerical Calculation Of Elliptic Functions And Integrals
19761:
16842:
This is how this lemniscatic excerpt from Legendre's identity appears:
14354:
8249:
Here, we use the complete elliptic integral of the first kind with the
5347:, the complete elliptic integral of the first kind can be expressed as
190:
54:
20365:
19744:
18992:
The combination of the last two formulas gives the following result:
233:
or if the integral is pseudo-elliptic. However, with the appropriate
19785:; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.),
19703:
16832:{\displaystyle ={\biggl }_{y=0}^{y=1}=2\arctan(1)={\frac {\pi }{2}}}
7322:. Keeping only the first two terms is correct to 0.01 precision for
15322:
of the two now mentioned integrals leads to the following formula:
2715:
1199:
Equivalently, in terms of the amplitude and modular angle one has:
202:
In general, integrals in this form cannot be expressed in terms of
19946:"Section 6.12. Elliptic Integrals and Jacobian Elliptic Functions"
19897:
13397:. In the literature (e.g. Whittaker and Watson (1927)), sometimes
13390:{\displaystyle Z(\varphi ,k)=\operatorname {zn} (F(\varphi ,k),k)}
1948:
20688:
20673:
19853:
19813:
11075:{\displaystyle c_{n}={\sqrt {\left|a_{n}^{2}-g_{n}^{2}\right|}}.}
3780:
2711:
866:
58:
19943:
19687:
9680:
8865:
For the purposes of computation, the error analysis is given by
4449:
Elliptic Integrals are said to be 'complete' when the amplitude
1939:{\displaystyle F{\bigl }={\frac {2}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}F\left}
20668:
19446:
12407:
9988:{\displaystyle E(k)=E\left({\tfrac {\pi }{2}},k\right)=E(1;k).}
4426:
19599:"integration - Proving Legendres Relation for elliptic curves"
14345:
256:
were discovered as inverse functions of elliptic integrals.
19827:. McGraw-Hill Book Company, Inc., New York-Toronto-London.
19713:
Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Scientists
9415:
9152:
2265:
Equivalently, in terms of the amplitude and modular angle:
19778:
12246:{\displaystyle {\frac {dE(k)}{dk}}={\frac {E(k)-K(k)}{k}}}
9689:
Plot of the complete elliptic integral of the second kind
19311:
19309:
19307:
12416:
Plot of the complete elliptic integral of the third kind
4435:
Plot of the complete elliptic integral of the first kind
64:
Modern mathematics defines an "elliptic integral" as any
19869:; Jeffrey, Alan (2015) . "8.1.". In Zwillinger, Daniel;
10049:
of the ellipse measured in units of the semi-major axis
7292:
This approximation has a relative precision better than
20014:
Rational Approximations for Complete Elliptic Integrals
12164:
8082:
8030:
8003:
7951:
7924:
7879:
7852:
7817:
7797:
7785:
20020:
A Brief History of Elliptic Integral Addition Theorems
19952:(3rd ed.), New York: Cambridge University Press,
19818:; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1953).
19304:
19135:
18800:
the equation balance constantly gives the value zero.
16993:
14311:
14291:
14266:
14235:
14210:
14190:
14170:
14145:
14125:
14087:
14053:
13998:
13960:
13926:
13855:
13835:
13810:
13782:
13757:
13729:
13704:
10644:
10626:
10589:
9939:
9746:
8085:
8033:
8006:
7954:
7927:
7882:
7855:
7820:
7800:
7788:
5478:. It can be computed very efficiently in terms of the
5424:
5409:
5372:
4749:
4715:
4519:
121:
19879:. Translated by Scripta Technica, Inc. (8 ed.).
19169:
19001:
18850:
18809:
18786:
18598:
18310:
18027:
17759:
17581:
17393:
17281:
17132:
17038:
17004:
16851:
16678:
16444:
16415:
16208:
15883:
15581:
15331:
15028:
14849:
14544:
14366:
14123:
13891:
13694:
13524:
13483:
13463:
13443:
13423:
13403:
13329:
13305:
13285:
13173:
12767:
12607:
12450:
12258:
12174:
11970:
11771:
11650:
11541:
11487:
11282:
11229:
11092:
11008:
10700:
10572:
10289:
10114:
10063:
9914:
9720:
9637:
9515:
9477:
9439:
9174:
8874:
8778:
8755:
8688:
8544:
8383:
8321:
8281:
8258:
8157:
7661:
7527:
7479:
7358:
7164:
7010:
6871:
6715:
6574:
6432:
6351:
6090:
6052:
5581:
5488:
5355:
5085:
4827:
4690:
4493:
4320:
4302:
The meridian arc length from the equator to latitude
4164:
3950:
3798:
3378:
2874:
2735:
2412:
2271:
2156:
1970:
1686:
1411:
1360:
1205:
1071:
886:
538:
407:
81:
19190:
10029:, the complete elliptic integral of the second kind
4158:A relation with the Jacobian elliptic functions is
20003:Eric W. Weisstein, "Elliptic Integral" (Mathworld)
19950:Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing
19175:
19151:
18981:
18833:
18792:
18769:
18578:
18295:
18012:
17735:
17566:
17373:
17266:
17112:
17010:
16982:
16831:
16661:
16427:
16398:
16193:
15859:
15566:
15307:
15013:
14825:
14529:
14327:
14103:
13871:
13675:
13489:
13469:
13449:
13429:
13409:
13389:
13311:
13291:
13271:
13148:
12744:
12582:
12363:
12245:
12154:
11952:
11753:
11613:
11508:
11393:
11264:
11211:
11074:
10862:
10684:
10550:
10271:
10093:
9987:
9881:
9670:{\displaystyle m\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}
9669:
9620:
9495:
9463:
9422:
9159:
8847:
8761:
8738:
8661:
8529:
8363:
8264:
8233:
8139:
7636:
7513:
7463:
7284:
7144:
6951:
6855:
6697:
6556:
6372:
6307:
6066:
6036:
5563:
5464:
5322:
5052:
4808:
4676:
4416:
4292:
4105:
3932:
3770:
3372:The elliptic modulus can be transformed that way:
3362:
2837:
2696:
2392:
2255:
2118:
1938:
1680:The elliptic modulus can be transformed that way:
1670:
1390:
1329:
1189:
1033:
660:
487:
163:
16767:
16684:
16563:
16481:
16383:
16268:
16183:
16176:
16134:
16121:
16079:
15989:
15982:
15975:
15933:
15886:
15726:
15719:
15677:
15630:
15555:
15548:
15506:
15493:
15451:
15361:
15211:
15169:
15156:
15114:
14934:
14892:
14753:
14708:
14695:
14650:
14474:
14429:
9190:
8919:
6684:
6666:
6317:
20733:
19654:
19617:
19531:Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987).
19354:Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987).
19328:Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987).
11413:. To speed up computation further, the relation
11231:
11136:
11107:
807:. And the integral of the third kind defined by
770:. Moreover, their complete integrals employ the
336:The other argument can likewise be expressed as
19621:Paul Halmos celebrating 50 years of mathematics
19451:Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
19386:Proceedings of the National Academy of Sciences
7514:{\displaystyle K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)}
1955:incomplete elliptic integral of the second kind
1949:Incomplete elliptic integral of the second kind
20132:
19530:
19353:
19327:
6399:is expressible in closed form in terms of the
3787:incomplete elliptic integral of the third kind
3781:Incomplete elliptic integral of the third kind
873:incomplete elliptic integral of the first kind
867:Incomplete elliptic integral of the first kind
524:. These are further defined in the article on
512:. Sometimes the literature also refers to the
20118:
20040:
20008:Matlab code for elliptic integrals evaluation
19444:
19379:
18955:
18930:
18917:
18893:
18883:
18859:
18756:
18620:
18571:
18410:
18288:
18127:
18005:
17859:
17728:
17660:
17559:
17481:
17366:
17332:
17259:
17203:
16956:
16931:
16918:
16894:
16884:
16860:
16556:
16532:
16519:
16495:
16474:
16450:
16376:
16304:
16063:
16039:
16026:
16002:
15920:
15896:
15664:
15640:
15435:
15411:
15398:
15374:
15098:
15074:
15061:
15037:
14879:
14855:
14634:
14610:
14597:
14573:
14416:
14392:
9705:complete elliptic integral of the second kind
9681:Complete elliptic integral of the second kind
9496:{\displaystyle \operatorname {Im} \tau >0}
8749:can then be solved (provided that a solution
8244:
5573:Therefore the modulus can be transformed as:
5023:
4993:
4212:
4170:
1720:
1692:
1486:
1458:
1445:
1417:
193:of degree 3 or 4 with no repeated roots, and
19925:Lectures on the Theory of Elliptic Functions
19710:
19469:"Legendre elliptic integrals (Entry 175b7a)"
12437:complete elliptic integral of the third kind
12408:Complete elliptic integral of the third kind
11265:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=0.}
9664:
9652:
4480:complete elliptic integral of the first kind
4427:Complete elliptic integral of the first kind
20054:
19715:(2nd ed.). New York: Springer-Verlag.
17029:and the reciprocal of the circle function:
713:substitute the integral of the first kind,
206:. Exceptions to this general rule are when
20125:
20111:
20047:
20033:
19492:"Approximations of Jacobi theta functions"
18841:that is worked out in the section before:
18834:{\displaystyle \varepsilon =1/{\sqrt {2}}}
12308:
11535:is expressible in closed form in terms of
9464:{\displaystyle N\in \mathbb {Z} _{\geq 1}}
9419:
9156:
1671:{\displaystyle F{\bigl }+F{\bigl }=F\left}
395:. Some additional relationships involving
19904:
19743:
19413:
17319:
17084:
16742:
16647:
16625:
16489:
16332:
15848:
15831:
15755:
15596:
15585:
15560:
15296:
15244:
15002:
14967:
14771:
14564:
14492:
14386:
14346:Special identity for the lemniscatic case
11496:
10847:
10752:
10694:The modulus can be transformed that way:
10600:
9869:
9794:
9645:
9448:
8643:
8508:
7448:
7154:
6660:
6647:
6360:
6060:
5383:
4766:
4760:
4395:
4389:
4255:
4206:
4181:
3972:
3966:
2680:
2578:
2505:
2380:
2243:
2106:
2009:
2003:
151:
19876:Table of Integrals, Series, and Products
13808:
13755:
13702:
12411:
9684:
7347:
4430:
672:and that used in the integral tables by
19918:
19821:Higher transcendental functions. Vol II
19788:NIST Handbook of Mathematical Functions
19776:
19729:
19315:
13158:
7521:. This solution satisfies the relation
2148:, one obtains Jacobi's algebraic form:
1063:, one obtains Jacobi's algebraic form:
27:Special function defined by an integral
14:
20734:
20548:Clifford's theorem on special divisors
19911:The applications of elliptic functions
19535:(First ed.). Wiley-Interscience.
19358:(First ed.). Wiley-Interscience.
19332:(First ed.). Wiley-Interscience.
13500:
13437:. Some authors (e.g. King (1924)) use
12757:
12373:A second solution to this equation is
7473:A second solution to this equation is
6308:{\displaystyle K(k)=n\left^{-1}K\left}
694:, is often encountered; and similarly
20106:
20028:
11509:{\displaystyle r\in \mathbb {Q} ^{+}}
8739:{\displaystyle \tau =i{\frac {K}{K}}}
7646:
6373:{\displaystyle r\in \mathbb {Q} ^{+}}
4308:is also related to a special case of
709:for the integral of the second kind.
19932:
19711:Byrd, P. F.; Friedman, M.D. (1971).
14342:on the Pythagorean counter modulus.
12165:Derivative and differential equation
9997:For an ellipse with semi-major axis
1962:in Legendre's trigonometric form is
779:as argument in place of the modulus
259:
19624:, New York : Springer-Verlag,
19496:The Mathematical Functions Grimoire
16994:Generalization for the overall case
14289:
14233:
14168:
13490:{\displaystyle \operatorname {zn} }
13430:{\displaystyle \operatorname {zn} }
6865:More generally, the condition that
831:first and not the "characteristic"
497:The latter is sometimes called the
73:which can be expressed in the form
24:
20717:Vector bundles on algebraic curves
20640:Weber's theorem (Algebraic curves)
20237:Hasse's theorem on elliptic curves
20227:Counting points on elliptic curves
18608:
18602:
18320:
18314:
18037:
18031:
17769:
17763:
17591:
17585:
17403:
17397:
17291:
17285:
17142:
17136:
17048:
17042:
16649:
16389:
15850:
15298:
15004:
14554:
14548:
14376:
14370:
14264:
14208:
14143:
13833:
13780:
13727:
13119:
13034:
13014:
13011:
12981:
12798:
12778:
12775:
12609:
12451:
11347:
11312:
11241:
11146:
11117:
11098:
10156:
9399:
9136:
8592:
8449:
7723:
7077:
6806:
6785:
6764:
6661:
6486:
6465:
4986:
4869:
4365:
4165:
3951:
3799:
857:, instead of the elliptic modulus
25:
20758:
19978:
17750:is now applied in the following:
14840:these formulas can be generated:
9649:
6067:{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
6046:This expression is valid for all
3814:
2281:
1215:
613:
20747:Special hypergeometric functions
19928:. New York: J. Wiley & sons.
19445:Chowla, S.; Selberg, A. (1967).
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19193:
6963:is sufficient. For instance, if
267:are functions of two arguments;
20328:Hurwitz's automorphisms theorem
19855:Gradshteyn, Izrail Solomonovich
19611:
19591:
19571:
19550:
19524:
19510:
19297:
17025:is the negative product of the
14838:Fundamental theorem of calculus
10040:is equal to one quarter of the
9570:
8617:
8482:
440:
432:
20553:Gonality of an algebraic curve
20464:Differential of the first kind
19791:, Cambridge University Press,
19484:
19475:
19461:
19438:
19373:
19347:
19321:
19273:
19128:
19105:
19099:
19093:
19084:
19061:
19055:
19049:
19040:
19017:
19011:
19005:
18751:
18728:
18722:
18716:
18707:
18684:
18678:
18672:
18663:
18640:
18634:
18628:
18566:
18543:
18537:
18531:
18525:
18503:
18497:
18474:
18468:
18462:
18453:
18430:
18424:
18418:
18402:
18383:
18368:
18345:
18339:
18333:
18283:
18260:
18254:
18248:
18242:
18223:
18217:
18194:
18188:
18182:
18173:
18150:
18144:
18138:
18119:
18100:
18085:
18062:
18056:
18050:
18000:
17977:
17971:
17965:
17946:
17923:
17917:
17911:
17902:
17879:
17873:
17867:
17851:
17832:
17817:
17794:
17788:
17782:
17723:
17700:
17691:
17668:
17627:
17604:
17554:
17531:
17522:
17499:
17473:
17454:
17439:
17416:
17361:
17355:
17346:
17340:
17310:
17304:
17254:
17248:
17242:
17223:
17217:
17211:
17195:
17176:
17161:
17155:
17021:Because the derivative of the
16813:
16807:
16761:
16748:
16739:
16720:
16704:
16698:
16644:
16631:
16622:
16603:
16291:
16278:
16263:
16244:
16151:
16145:
16096:
16090:
15950:
15944:
15842:
15812:
15809:
15790:
15785:
15766:
15694:
15688:
15523:
15517:
15468:
15462:
15186:
15180:
15131:
15125:
14909:
14903:
14728:
14719:
14670:
14661:
14449:
14440:
14304:
14285:
14279:
14260:
14248:
14229:
14223:
14204:
14183:
14164:
14158:
14139:
14080:
14049:
14043:
14037:
14025:
13994:
13988:
13982:
13953:
13922:
13916:
13910:
13904:
13892:
13848:
13829:
13823:
13804:
13795:
13776:
13770:
13751:
13742:
13723:
13717:
13698:
13626:
13620:
13580:
13574:
13534:
13528:
13384:
13375:
13363:
13357:
13345:
13333:
13263:
13251:
13242:
13236:
13228:
13222:
13210:
13198:
13189:
13177:
13134:
13122:
13092:
13086:
13029:
13017:
12996:
12984:
12932:
12926:
12881:
12875:
12861:
12849:
12793:
12781:
12628:
12616:
12466:
12454:
12358:
12352:
12324:
12318:
12234:
12228:
12219:
12213:
12190:
12184:
11551:
11545:
11292:
11286:
11238:
11143:
11114:
10872:
10857:
10851:
10710:
10704:
10582:
10576:
10481:
10472:
10461:
10446:
10299:
10293:
10178:
10169:
10124:
10118:
10085:
10079:
9979:
9967:
9924:
9918:
9730:
9724:
9612:
9606:
9598:
9586:
9558:
9551:
9525:
9519:
8833:
8826:
8805:
8798:
8730:
8724:
8716:
8704:
8561:
8555:
8474:
8462:
8400:
8394:
8291:
8285:
8228:
8225:
8219:
8208:
8202:
8185:
8173:
8167:
7674:
7668:
7622:
7616:
7570:
7564:
7552:
7546:
7458:
7452:
7423:
7417:
6943:
6937:
6318:Relation to the gamma function
6280:
6274:
6171:
6165:
6100:
6094:
5595:
5589:
5498:
5492:
5365:
5359:
5095:
5089:
5017:
5011:
4922:
4912:
4891:
4882:
4837:
4831:
4800:
4788:
4762:
4700:
4694:
4503:
4497:
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4330:
4324:
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4269:
4200:
4188:
3976:
3968:
3954:
3820:
3802:
3673:
3667:
3400:
3394:
2935:
2929:
2896:
2890:
2824:
2812:
2774:
2762:
2745:
2739:
2677:
2665:
2575:
2563:
2502:
2490:
2444:
2432:
2314:
2296:
2287:
2275:
2172:
2160:
2049:
2031:
2005:
1986:
1974:
1709:
1703:
1475:
1469:
1434:
1428:
1376:
1364:
1248:
1230:
1221:
1209:
1087:
1075:
961:
943:
902:
890:
652:
628:
619:
607:
560:
542:
139:
133:
91:
85:
13:
1:
20707:Birkhoff–Grothendieck theorem
20406:Nagata's conjecture on curves
20277:Schoof–Elkies–Atkin algorithm
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19261:
14340:Landen modular transformation
12428:with several fixed values of
10934:and the recurrence relations
10562:Gauss hypergeometric function
275:For expressing one argument:
265:Incomplete elliptic integrals
47:
20267:Supersingular elliptic curve
19447:"On Epstein's Zeta-Function"
19176:{\displaystyle \varepsilon }
18793:{\displaystyle \varepsilon }
17011:{\displaystyle \varepsilon }
13163:In 1829, Jacobi defined the
212:has repeated roots, or when
7:
20474:Riemann's existence theorem
20401:Hilbert's sixteenth problem
20293:Elliptic curve cryptography
20206:Fundamental pair of periods
19991:Encyclopedia of Mathematics
19867:Tseytlin, Michail Yulyevich
19225:Jacobi's elliptic functions
19215:Schwarz–Christoffel mapping
19186:
8234:{\displaystyle q=q(k)=\exp}
522:complementary modular angle
378:Jacobian elliptic functions
269:complete elliptic integrals
250:Schwarz–Christoffel mapping
10:
20763:
20604:Moduli of algebraic curves
19647:
17027:identical mapping function
11002:hold. Furthermore, define
8245:Inverting the period ratio
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227:contains no odd powers of
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20179:
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19618:Internet Archive (1991),
19245:Arithmetic–geometric mean
10879:arithmetic–geometric mean
10094:{\displaystyle C=4aE(e).}
6961:imaginary quadratic field
5480:arithmetic–geometric mean
5077:, which is equivalent to
4818:It can be expressed as a
2404:Jacobi elliptic functions
1391:{\displaystyle F(x;k)=u;}
20371:Cayley–Bacharach theorem
20298:Elliptic curve primality
19906:Greenhill, Alfred George
19859:Ryzhik, Iosif Moiseevich
19266:
19240:Ramanujan theta function
14357:these derivatives hold:
13292:{\displaystyle \varphi }
5343:. In terms of the Gauss
1398:demonstrating that this
239:Legendre canonical forms
20630:Riemann–Hurwitz formula
20594:Gromov–Witten invariant
20454:Compact Riemann surface
20242:Mazur's torsion theorem
20056:Nonelementary integrals
19933:King, Louis V. (1924).
19777:Carlson, B. C. (2010),
13319:. It is related to the
11522:modular lambda function
10281:which is equivalent to
8860:modular lambda function
6386:modular lambda function
5345:hypergeometric function
4487:may thus be defined as
2723:is written in terms of
514:complementary parameter
20247:Modular elliptic curve
20092:Trigonometric integral
20016:(Exstrom Laboratories)
19914:. New York: Macmillan.
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19881:Academic Press, Inc.
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19779:"Elliptic integral"
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20272:Schoof's algorithm
20252:Modularity theorem
19783:Olver, Frank W. J.
19762:10.1007/BF02198293
19656:Abramowitz, Milton
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