5233:
2206:
5542:
3014:
The ratio test and the root test are both based on comparison with a geometric series, and as such they work in similar situations. In fact, if the ratio test works (meaning that the limit exists and is not equal to 1) then so does the root test; the converse, however, is not true. The root test is
2059:
1779:
2180:
1366:
1501:
1131:
889:
1903:
1245:
1619:
4993:
3183:
1002:
3939:
2859:
235:
376:
4882:
3256:
4472:
3791:
3313:
2979:
631:
1914:
1634:
4276:
4105:
3998:
4639:
3694:
3499:
2078:
1264:
1385:
3839:
1029:
123:
4716:
787:
712:
452:
2619:
2462:
2718:
2561:
4520:
4324:
4220:
4153:
4046:
3629:
3412:
3361:
2667:
2510:
1794:
3581:
3534:
2406:
2371:
4760:
4385:
states that if a series converges conditionally, it is possible to rearrange the terms of the series in such a way that the series converges to any value, or even diverges.
4812:
2327:
2297:
2267:
2237:
1146:
527:
1520:
4892:
3063:
4557:
4369:
3075:
576:
2756:
654:
507:
483:
4780:
2776:
904:
550:
5424:
1021:
3851:
2784:
489:, one gets partial sums that become closer and closer to a given number. More precisely, a series converges, if and only if there exists a number
5067:
5414:
138:
5507:
272:
3015:
therefore more generally applicable, but as a practical matter the limit is often difficult to compute for commonly seen types of series.
4820:
31:
17:
3199:
5348:
4402:
3721:
3261:
2911:
584:
2054:{\displaystyle {1 \over 1}-{1 \over n}+{1 \over n^{2}}-{1 \over n^{3}}+{1 \over n^{4}}-{1 \over n^{5}}+\cdots ={n \over n+1}.}
1774:{\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over n}+{1 \over n^{2}}+{1 \over n^{3}}+{1 \over n^{4}}+{1 \over n^{5}}+\cdots ={n \over n-1}.}
5358:
717:
is used for the series, and, if it is convergent, to its sum. This convention is similar to that which is used for addition:
4225:
4054:
3947:
2175:{\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =\psi .}
5571:
5522:
5353:
5113:
5060:
1361:{\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+\cdots =e.}
4565:
1496:{\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 4}+{1 \over 9}+{1 \over 16}+{1 \over 25}+{1 \over 36}+\cdots ={\pi ^{2} \over 6}.}
5502:
3634:
1126:{\displaystyle {1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+{1 \over 7}+{1 \over 11}+{1 \over 13}+\cdots \rightarrow \infty .}
3437:
5512:
884:{\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+\cdots \rightarrow \infty .}
3796:
5404:
5394:
63:
4673:
669:
392:
2572:
2415:
1898:{\displaystyle {1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 4}-{1 \over 8}+{1 \over 16}-{1 \over 32}+\cdots ={2 \over 3}.}
5517:
5419:
5053:
5031:
3019:
2672:
2515:
2070:
779:
4477:
4281:
4177:
4110:
4003:
3586:
3369:
3318:
2624:
2467:
5566:
5545:
4664:
38:
3551:
3504:
2376:
2341:
5527:
5026:
5008:
896:
4736:
5409:
5399:
5389:
5379:
1512:
1256:
1240:{\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+{1 \over 21}+\cdots =2.}
1017:
1614:{\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+\cdots =2.}
4988:{\displaystyle \lim _{m\to \infty }\left(\sup _{n>m}\left|\sum _{k=m}^{n}a_{k}\right|\right)=0.}
4785:
4327:
3544:
2302:
2272:
2242:
2212:
512:
5494:
5316:
3427:
3418:
3178:{\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,}
3026:
5156:
5103:
4529:
4382:
2334:
4336:
5363:
5108:
4156:
3192:
555:
5021:
895:
Alternating the signs of the reciprocals of positive integers produces a convergent series (
5474:
5311:
5080:
4164:
3188:
then the series converges. But if the integral diverges, then the series does so as well.
2734:
1909:
Alternating the signs of reciprocals of powers of any n>1 produces a convergent series:
639:
492:
461:
126:
49:
997:{\displaystyle {1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\ln(2)}
8:
5454:
5321:
5039:
4394:
3700:
3023:. The series can be compared to an integral to establish convergence or divergence. Let
455:
4651:
There is an analogue of the comparison test for infinite series of functions called the
5384:
5295:
5280:
5252:
5232:
5171:
5003:
4765:
4652:
4331:
3934:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\leq \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|.}
3431:
3066:
2761:
535:
5484:
5257:
5211:
5201:
5181:
5166:
2193:
1138:
57:
5469:
5290:
5216:
5206:
5186:
5088:
4160:
2199:
2066:
1626:
1013:
775:
758:
5247:
5176:
4730:
5479:
5464:
5459:
5138:
5123:
4722:
4168:
3707:
3364:
2986:
771:
5560:
5444:
5118:
1377:
1373:
2854:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r.}
5449:
5191:
5133:
2898:
2198:
There are a number of methods of determining whether a series converges or
1786:
1508:
1009:
5196:
5143:
4726:
2205:
247:
45:
2882:
the ratio test is inconclusive, and the series may converge or diverge.
5045:
3537:
3011:
the root test is inconclusive, and the series may converge or diverge.
2723:
230:{\displaystyle S=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots =\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}.}
5128:
2886:
1252:
371:{\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}.}
53:
5076:
4877:{\displaystyle \left|\sum _{k=m}^{n}a_{k}\right|<\varepsilon .}
530:
37:"Convergence (mathematics)" redirects here. For other uses, see
3540:, and has a limit of 0 at infinity, then the series converges.
3251:{\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}>0}
764:
636:
If the series is convergent, the (necessarily unique) number
4467:{\displaystyle \left\{f_{1},\ f_{2},\ f_{3},\dots \right\}}
3786:{\displaystyle \left\{a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\dots \right\}}
1511:
produce a convergent series (so the set of powers of 2 is "
3308:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}
2974:{\displaystyle r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt{|a_{n}|}},}
2897:. Suppose that the terms of the sequence in question are
626:{\displaystyle \left|S_{n}-\ell \right|<\varepsilon .}
3713:
2989:(possibly ∞; if the limit exists it is the same value).
4480:
4284:
4228:
4180:
4113:
4057:
4006:
3950:
3637:
3589:
3440:
3372:
3321:
2868:< 1, then the series is absolutely convergent. If
2675:
2627:
2518:
2470:
2239:, can be proven to converge, then the smaller series,
1022:
divergence of the sum of the reciprocals of the primes
509:
such that for every arbitrarily small positive number
5425:
1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (inverses of primes)
5415:
1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ (alternating factorials)
4895:
4823:
4788:
4768:
4739:
4676:
4568:
4532:
4405:
4339:
3854:
3799:
3724:
3554:
3507:
3264:
3202:
3078:
3029:
2914:
2787:
2764:
2737:
2575:
2418:
2379:
2344:
2305:
2275:
2245:
2215:
2081:
1917:
1797:
1637:
1523:
1388:
1267:
1149:
1032:
907:
790:
672:
642:
587:
558:
538:
515:
495:
464:
395:
275:
141:
66:
4271:{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|}
4100:{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|}
3993:{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|}
2269:
must converge. By contraposition, if the red series
4987:
4876:
4806:
4774:
4754:
4710:
4633:
4551:
4514:
4466:
4363:
4318:
4270:
4214:
4147:
4099:
4040:
3992:
3933:
3833:
3785:
3688:
3623:
3575:
3528:
3493:
3406:
3355:
3307:
3250:
3177:
3057:
2973:
2853:
2770:
2750:
2712:
2661:
2613:
2555:
2504:
2456:
2400:
2365:
2321:
2291:
2261:
2231:
2174:
2053:
1897:
1773:
1613:
1495:
1360:
1239:
1125:
996:
883:
706:
648:
625:
570:
544:
521:
501:
477:
446:
370:
229:
117:
3583:is a positive monotone decreasing sequence, then
60:of numbers. More precisely, an infinite sequence
5558:
4918:
4897:
4634:{\displaystyle s_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(x)}
3689:{\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }2^{k}a_{2^{k}}}
3266:
3117:
2922:
2789:
757:Any series that is not convergent is said to be
4658:
3494:{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(-1)^{n}}
5061:
5508:Hypergeometric function of a matrix argument
4546:
4533:
3834:{\displaystyle a_{n}\leq \left|a_{n}\right|}
5364:1 + 1/2 + 1/3 + ... (Riemann zeta function)
765:Examples of convergent and divergent series
118:{\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}
5068:
5054:
4711:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
2373:are compared to those of another sequence
707:{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}
447:{\displaystyle (S_{1},S_{2},S_{3},\dots )}
32:Convergent Series (short story collection)
5420:1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ (harmonic series)
4474:be a sequence of functions. The series
3159:
3106:
2614:{\displaystyle 0\leq \ b_{n}\leq \ a_{n}}
2457:{\displaystyle 0\leq \ a_{n}\leq \ b_{n}}
5075:
2758:is not zero. Suppose that there exists
2713:{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}
2556:{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}
2204:
1785:Alternating the signs of reciprocals of
4515:{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}
4319:{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
4215:{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
4148:{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
4041:{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
3624:{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
3407:{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}
3356:{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
2997:< 1, then the series converges. If
2662:{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}
2505:{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}
14:
5559:
4388:
5049:
4048:also converges (but not vice versa).
27:Mathematical series with a finite sum
3714:Conditional and absolute convergence
3576:{\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}
3529:{\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}
2401:{\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}
2366:{\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}
2187:
5385:1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (Grandi's series)
4167:is absolutely convergent for every
1789:also produces a convergent series:
458:; that means that, when adding one
24:
4907:
4755:{\displaystyle \varepsilon >0,}
4693:
4497:
4301:
4245:
4197:
4130:
4074:
4023:
3967:
3905:
3871:
3654:
3606:
3457:
3389:
3338:
3276:
3169:
3127:
3089:
2932:
2799:
2692:
2644:
2535:
2487:
2306:
2276:
2246:
2216:
1117:
875:
689:
529:, there is a (sufficiently large)
209:
25:
5583:
5503:Generalized hypergeometric series
5014:
4522:is said to converge uniformly to
3067:monotonically decreasing function
2069:produce a convergent series (see
1376:produce a convergent series (the
1255:produce a convergent series (see
487:in the order given by the indices
5541:
5540:
5513:Lauricella hypergeometric series
5231:
4371:is conditionally convergent for
266:terms of the sequence; that is,
5523:Riemann's differential equation
454:of its partial sums tends to a
4904:
4628:
4622:
4585:
4579:
4358:
4346:
4330:. The Maclaurin series of the
3482:
3472:
3273:
3156:
3150:
3124:
3103:
3097:
3039:
3033:
3004:then the series diverges. If
2956:
2941:
2929:
2875:then the series diverges. If
2796:
1114:
991:
985:
872:
738:as well as the result of this
441:
396:
389:) if and only if the sequence
112:
67:
13:
1:
5518:Modular hypergeometric series
5359:1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
4807:{\displaystyle n\geq m\geq N}
3315:exists and is not zero, then
1629:produce a convergent series:
1141:produce a convergent series:
4762:there is a positive integer
4733:. This means that for every
4665:Cauchy convergence criterion
4659:Cauchy convergence criterion
2985:where "lim sup" denotes the
2338:. The terms of the sequence
2322:{\displaystyle \Sigma b_{n}}
2292:{\displaystyle \Sigma a_{n}}
2262:{\displaystyle \Sigma a_{n}}
2232:{\displaystyle \Sigma b_{n}}
522:{\displaystyle \varepsilon }
39:Convergence (disambiguation)
7:
5528:Theta hypergeometric series
5027:Encyclopedia of Mathematics
5009:List of mathematical series
4997:
4559:of partial sums defined by
4107:converges, then the series
2299:is proven to diverge, then
897:alternating harmonic series
10:
5588:
5410:Infinite arithmetic series
5354:1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯
5349:1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯
4392:
4278:diverges, then the series
3058:{\displaystyle f(n)=a_{n}}
2191:
1016:(so the set of primes is "
36:
29:
5572:Convergence (mathematics)
5536:
5493:
5437:
5372:
5341:
5334:
5304:
5273:
5266:
5240:
5229:
5152:
5096:
5087:
5042:. Retrieved May 16, 2005.
4552:{\displaystyle \{s_{n}\}}
4222:converges but the series
3631:converges if and only if
30:For the publication, see
18:Convergence (mathematics)
5038:Weisstein, Eric (2005).
4364:{\displaystyle \ln(1+x)}
4328:conditionally convergent
3545:Cauchy condensation test
2512:converges, then so does
260:is the sum of the first
5241:Properties of sequences
4887:This is equivalent to
4644:converges uniformly to
4171:value of the variable.
3428:alternating series test
3419:Alternating series test
2669:diverges, then so does
770:The reciprocals of the
571:{\displaystyle n\geq N}
5104:Arithmetic progression
5040:Riemann Series Theorem
4989:
4958:
4878:
4849:
4808:
4776:
4756:
4712:
4697:
4635:
4611:
4553:
4516:
4501:
4468:
4383:Riemann series theorem
4365:
4320:
4305:
4272:
4249:
4216:
4201:
4149:
4134:
4101:
4078:
4042:
4027:
3994:
3971:
3935:
3909:
3875:
3835:
3787:
3690:
3658:
3625:
3610:
3577:
3530:
3495:
3461:
3408:
3393:
3357:
3342:
3309:
3252:
3179:
3059:
2975:
2855:
2772:
2752:
2727:. Assume that for all
2714:
2696:
2663:
2648:
2615:
2557:
2539:
2506:
2491:
2458:
2402:
2367:
2330:
2323:
2293:
2263:
2233:
2176:
2055:
1899:
1775:
1615:
1497:
1362:
1241:
1127:
998:
885:
742:, which is called the
708:
693:
650:
627:
572:
546:
523:
503:
479:
448:
372:
354:
231:
213:
119:
5495:Hypergeometric series
5109:Geometric progression
4990:
4938:
4879:
4829:
4809:
4777:
4757:
4713:
4677:
4667:states that a series
4636:
4591:
4554:
4517:
4481:
4469:
4366:
4321:
4285:
4273:
4229:
4217:
4181:
4157:absolutely convergent
4150:
4114:
4102:
4058:
4043:
4007:
3995:
3951:
3936:
3889:
3855:
3836:
3788:
3691:
3638:
3626:
3590:
3578:
3531:
3496:
3441:
3409:
3373:
3358:
3322:
3310:
3253:
3193:Limit comparison test
3180:
3060:
2976:
2856:
2773:
2753:
2751:{\displaystyle a_{n}}
2715:
2676:
2664:
2628:
2616:
2565:However, if, for all
2558:
2519:
2507:
2471:
2459:
2403:
2368:
2324:
2294:
2264:
2234:
2208:
2177:
2056:
1900:
1776:
1616:
1498:
1363:
1242:
1128:
999:
886:
709:
673:
651:
649:{\displaystyle \ell }
628:
573:
547:
524:
504:
502:{\displaystyle \ell }
480:
478:{\displaystyle a_{k}}
449:
373:
334:
232:
193:
120:
5475:Trigonometric series
5267:Properties of series
5114:Harmonic progression
4893:
4821:
4786:
4766:
4737:
4674:
4566:
4530:
4478:
4403:
4337:
4282:
4226:
4178:
4165:exponential function
4111:
4055:
4004:
3948:
3852:
3797:
3722:
3635:
3587:
3552:
3505:
3438:
3422:. Also known as the
3370:
3319:
3262:
3200:
3076:
3027:
2912:
2785:
2762:
2735:
2673:
2625:
2573:
2516:
2468:
2416:
2377:
2342:
2303:
2273:
2243:
2213:
2209:If the blue series,
2079:
1915:
1795:
1635:
1627:powers of any n>1
1521:
1386:
1265:
1147:
1030:
905:
788:
729:operation of adding
670:
640:
585:
556:
536:
513:
493:
462:
393:
273:
139:
64:
5567:Mathematical series
5455:Formal power series
4395:Uniform convergence
4389:Uniform convergence
3944:This means that if
3430:states that for an
3146:
3093:
2065:The reciprocals of
1625:The reciprocals of
1507:The reciprocals of
1372:The reciprocals of
1251:The reciprocals of
1137:The reciprocals of
1008:The reciprocals of
663:The same notation
56:of the terms of an
5253:Monotonic function
5172:Fibonacci sequence
5004:Normal convergence
4985:
4932:
4911:
4874:
4804:
4782:such that for all
4772:
4752:
4708:
4653:Weierstrass M-test
4631:
4549:
4512:
4464:
4361:
4332:logarithm function
4316:
4268:
4212:
4145:
4097:
4038:
3990:
3931:
3831:
3783:
3686:
3621:
3573:
3526:
3491:
3432:alternating series
3404:
3353:
3305:
3280:
3248:
3175:
3132:
3131:
3079:
3065:be a positive and
3055:
2971:
2936:
2851:
2803:
2768:
2748:
2710:
2659:
2611:
2553:
2502:
2454:
2398:
2363:
2331:
2329:must also diverge.
2319:
2289:
2259:
2229:
2172:
2051:
1895:
1771:
1611:
1493:
1358:
1237:
1139:triangular numbers
1123:
994:
881:
704:
646:
623:
568:
552:such that for all
542:
519:
499:
475:
444:
368:
227:
115:
5554:
5553:
5485:Generating series
5433:
5432:
5405:1 − 2 + 4 − 8 + ⋯
5400:1 + 2 + 4 + 8 + ⋯
5395:1 − 2 + 3 − 4 + ⋯
5390:1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
5380:1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
5330:
5329:
5258:Periodic sequence
5227:
5226:
5212:Triangular number
5202:Pentagonal number
5182:Heptagonal number
5167:Complete sequence
5089:Integer sequences
4917:
4896:
4775:{\displaystyle N}
4442:
4426:
3761:
3745:
3718:For any sequence
3536:is monotonically
3424:Leibniz criterion
3303:
3265:
3116:
2966:
2921:
2836:
2788:
2771:{\displaystyle r}
2600:
2584:
2443:
2427:
2194:Convergence tests
2188:Convergence tests
2155:
2142:
2129:
2116:
2103:
2090:
2067:Fibonacci numbers
2046:
2019:
1999:
1979:
1959:
1939:
1926:
1890:
1871:
1858:
1845:
1832:
1819:
1806:
1766:
1739:
1719:
1699:
1679:
1659:
1646:
1597:
1584:
1571:
1558:
1545:
1532:
1488:
1462:
1449:
1436:
1423:
1410:
1397:
1341:
1328:
1315:
1302:
1289:
1276:
1223:
1210:
1197:
1184:
1171:
1158:
1106:
1093:
1080:
1067:
1054:
1041:
968:
955:
942:
929:
916:
864:
851:
838:
825:
812:
799:
772:positive integers
658:sum of the series
545:{\displaystyle N}
132:that is denoted
58:infinite sequence
16:(Redirected from
5579:
5544:
5543:
5470:Dirichlet series
5339:
5338:
5271:
5270:
5235:
5207:Polygonal number
5187:Hexagonal number
5160:
5094:
5093:
5070:
5063:
5056:
5047:
5046:
5035:
4994:
4992:
4991:
4986:
4978:
4974:
4973:
4969:
4968:
4967:
4957:
4952:
4931:
4910:
4883:
4881:
4880:
4875:
4864:
4860:
4859:
4858:
4848:
4843:
4813:
4811:
4810:
4805:
4781:
4779:
4778:
4773:
4761:
4759:
4758:
4753:
4725:the sequence of
4717:
4715:
4714:
4709:
4707:
4706:
4696:
4691:
4640:
4638:
4637:
4632:
4621:
4620:
4610:
4605:
4578:
4577:
4558:
4556:
4555:
4550:
4545:
4544:
4526:if the sequence
4521:
4519:
4518:
4513:
4511:
4510:
4500:
4495:
4473:
4471:
4470:
4465:
4463:
4459:
4452:
4451:
4440:
4436:
4435:
4424:
4420:
4419:
4377:
4370:
4368:
4367:
4362:
4325:
4323:
4322:
4317:
4315:
4314:
4304:
4299:
4277:
4275:
4274:
4269:
4267:
4263:
4262:
4248:
4243:
4221:
4219:
4218:
4213:
4211:
4210:
4200:
4195:
4161:Maclaurin series
4154:
4152:
4151:
4146:
4144:
4143:
4133:
4128:
4106:
4104:
4103:
4098:
4096:
4092:
4091:
4077:
4072:
4047:
4045:
4044:
4039:
4037:
4036:
4026:
4021:
4000:converges, then
3999:
3997:
3996:
3991:
3989:
3985:
3984:
3970:
3965:
3940:
3938:
3937:
3932:
3927:
3923:
3922:
3908:
3903:
3885:
3884:
3874:
3869:
3840:
3838:
3837:
3832:
3830:
3826:
3825:
3809:
3808:
3792:
3790:
3789:
3784:
3782:
3778:
3771:
3770:
3759:
3755:
3754:
3743:
3739:
3738:
3701:Dirichlet's test
3695:
3693:
3692:
3687:
3685:
3684:
3683:
3682:
3668:
3667:
3657:
3652:
3630:
3628:
3627:
3622:
3620:
3619:
3609:
3604:
3582:
3580:
3579:
3574:
3572:
3568:
3567:
3535:
3533:
3532:
3527:
3525:
3521:
3520:
3500:
3498:
3497:
3492:
3490:
3489:
3471:
3470:
3460:
3455:
3413:
3411:
3410:
3405:
3403:
3402:
3392:
3387:
3362:
3360:
3359:
3354:
3352:
3351:
3341:
3336:
3314:
3312:
3311:
3306:
3304:
3302:
3301:
3292:
3291:
3282:
3279:
3258:, and the limit
3257:
3255:
3254:
3249:
3241:
3237:
3236:
3220:
3216:
3215:
3184:
3182:
3181:
3176:
3145:
3140:
3130:
3092:
3087:
3064:
3062:
3061:
3056:
3054:
3053:
3010:
3003:
2980:
2978:
2977:
2972:
2967:
2965:
2960:
2959:
2954:
2953:
2944:
2938:
2935:
2881:
2874:
2860:
2858:
2857:
2852:
2841:
2837:
2835:
2834:
2825:
2824:
2809:
2802:
2777:
2775:
2774:
2769:
2757:
2755:
2754:
2749:
2747:
2746:
2719:
2717:
2716:
2711:
2706:
2705:
2695:
2690:
2668:
2666:
2665:
2660:
2658:
2657:
2647:
2642:
2620:
2618:
2617:
2612:
2610:
2609:
2598:
2594:
2593:
2582:
2562:
2560:
2559:
2554:
2549:
2548:
2538:
2533:
2511:
2509:
2508:
2503:
2501:
2500:
2490:
2485:
2463:
2461:
2460:
2455:
2453:
2452:
2441:
2437:
2436:
2425:
2407:
2405:
2404:
2399:
2397:
2393:
2392:
2372:
2370:
2369:
2364:
2362:
2358:
2357:
2328:
2326:
2325:
2320:
2318:
2317:
2298:
2296:
2295:
2290:
2288:
2287:
2268:
2266:
2265:
2260:
2258:
2257:
2238:
2236:
2235:
2230:
2228:
2227:
2181:
2179:
2178:
2173:
2156:
2148:
2143:
2135:
2130:
2122:
2117:
2109:
2104:
2096:
2091:
2083:
2060:
2058:
2057:
2052:
2047:
2045:
2031:
2020:
2018:
2017:
2005:
2000:
1998:
1997:
1985:
1980:
1978:
1977:
1965:
1960:
1958:
1957:
1945:
1940:
1932:
1927:
1919:
1904:
1902:
1901:
1896:
1891:
1883:
1872:
1864:
1859:
1851:
1846:
1838:
1833:
1825:
1820:
1812:
1807:
1799:
1780:
1778:
1777:
1772:
1767:
1765:
1751:
1740:
1738:
1737:
1725:
1720:
1718:
1717:
1705:
1700:
1698:
1697:
1685:
1680:
1678:
1677:
1665:
1660:
1652:
1647:
1639:
1620:
1618:
1617:
1612:
1598:
1590:
1585:
1577:
1572:
1564:
1559:
1551:
1546:
1538:
1533:
1525:
1502:
1500:
1499:
1494:
1489:
1484:
1483:
1474:
1463:
1455:
1450:
1442:
1437:
1429:
1424:
1416:
1411:
1403:
1398:
1390:
1367:
1365:
1364:
1359:
1342:
1334:
1329:
1321:
1316:
1308:
1303:
1295:
1290:
1282:
1277:
1269:
1246:
1244:
1243:
1238:
1224:
1216:
1211:
1203:
1198:
1190:
1185:
1177:
1172:
1164:
1159:
1151:
1132:
1130:
1129:
1124:
1107:
1099:
1094:
1086:
1081:
1073:
1068:
1060:
1055:
1047:
1042:
1034:
1014:divergent series
1003:
1001:
1000:
995:
969:
961:
956:
948:
943:
935:
930:
922:
917:
909:
890:
888:
887:
882:
865:
857:
852:
844:
839:
831:
826:
818:
813:
805:
800:
792:
776:divergent series
753:
749:
736:
732:
726:
713:
711:
710:
705:
703:
702:
692:
687:
655:
653:
652:
647:
632:
630:
629:
624:
613:
609:
602:
601:
577:
575:
574:
569:
551:
549:
548:
543:
528:
526:
525:
520:
508:
506:
505:
500:
485:after the other
484:
482:
481:
476:
474:
473:
453:
451:
450:
445:
434:
433:
421:
420:
408:
407:
377:
375:
374:
369:
364:
363:
353:
348:
330:
329:
311:
310:
298:
297:
285:
284:
265:
259:
245:
236:
234:
233:
228:
223:
222:
212:
207:
183:
182:
170:
169:
157:
156:
131:
124:
122:
121:
116:
105:
104:
92:
91:
79:
78:
21:
5587:
5586:
5582:
5581:
5580:
5578:
5577:
5576:
5557:
5556:
5555:
5550:
5532:
5489:
5438:Kinds of series
5429:
5368:
5335:Explicit series
5326:
5300:
5262:
5248:Cauchy sequence
5236:
5223:
5177:Figurate number
5154:
5148:
5139:Powers of three
5083:
5074:
5020:
5017:
5000:
4963:
4959:
4953:
4942:
4937:
4933:
4921:
4916:
4912:
4900:
4894:
4891:
4890:
4854:
4850:
4844:
4833:
4828:
4824:
4822:
4819:
4818:
4787:
4784:
4783:
4767:
4764:
4763:
4738:
4735:
4734:
4731:Cauchy sequence
4702:
4698:
4692:
4681:
4675:
4672:
4671:
4661:
4616:
4612:
4606:
4595:
4573:
4569:
4567:
4564:
4563:
4540:
4536:
4531:
4528:
4527:
4506:
4502:
4496:
4485:
4479:
4476:
4475:
4447:
4443:
4431:
4427:
4415:
4411:
4410:
4406:
4404:
4401:
4400:
4397:
4391:
4372:
4338:
4335:
4334:
4310:
4306:
4300:
4289:
4283:
4280:
4279:
4258:
4254:
4250:
4244:
4233:
4227:
4224:
4223:
4206:
4202:
4196:
4185:
4179:
4176:
4175:
4139:
4135:
4129:
4118:
4112:
4109:
4108:
4087:
4083:
4079:
4073:
4062:
4056:
4053:
4052:
4032:
4028:
4022:
4011:
4005:
4002:
4001:
3980:
3976:
3972:
3966:
3955:
3949:
3946:
3945:
3918:
3914:
3910:
3904:
3893:
3880:
3876:
3870:
3859:
3853:
3850:
3849:
3821:
3817:
3813:
3804:
3800:
3798:
3795:
3794:
3766:
3762:
3750:
3746:
3734:
3730:
3729:
3725:
3723:
3720:
3719:
3716:
3678:
3674:
3673:
3669:
3663:
3659:
3653:
3642:
3636:
3633:
3632:
3615:
3611:
3605:
3594:
3588:
3585:
3584:
3563:
3559:
3555:
3553:
3550:
3549:
3516:
3512:
3508:
3506:
3503:
3502:
3485:
3481:
3466:
3462:
3456:
3445:
3439:
3436:
3435:
3398:
3394:
3388:
3377:
3371:
3368:
3367:
3347:
3343:
3337:
3326:
3320:
3317:
3316:
3297:
3293:
3287:
3283:
3281:
3269:
3263:
3260:
3259:
3232:
3228:
3224:
3211:
3207:
3203:
3201:
3198:
3197:
3141:
3136:
3120:
3088:
3083:
3077:
3074:
3073:
3049:
3045:
3028:
3025:
3024:
3005:
2998:
2961:
2955:
2949:
2945:
2940:
2939:
2937:
2925:
2913:
2910:
2909:
2876:
2869:
2830:
2826:
2814:
2810:
2808:
2804:
2792:
2786:
2783:
2782:
2763:
2760:
2759:
2742:
2738:
2736:
2733:
2732:
2701:
2697:
2691:
2680:
2674:
2671:
2670:
2653:
2649:
2643:
2632:
2626:
2623:
2622:
2605:
2601:
2589:
2585:
2574:
2571:
2570:
2544:
2540:
2534:
2523:
2517:
2514:
2513:
2496:
2492:
2486:
2475:
2469:
2466:
2465:
2448:
2444:
2432:
2428:
2417:
2414:
2413:
2408:. If, for all
2388:
2384:
2380:
2378:
2375:
2374:
2353:
2349:
2345:
2343:
2340:
2339:
2335:Comparison test
2313:
2309:
2304:
2301:
2300:
2283:
2279:
2274:
2271:
2270:
2253:
2249:
2244:
2241:
2240:
2223:
2219:
2214:
2211:
2210:
2196:
2190:
2147:
2134:
2121:
2108:
2095:
2082:
2080:
2077:
2076:
2035:
2030:
2013:
2009:
2004:
1993:
1989:
1984:
1973:
1969:
1964:
1953:
1949:
1944:
1931:
1918:
1916:
1913:
1912:
1882:
1863:
1850:
1837:
1824:
1811:
1798:
1796:
1793:
1792:
1755:
1750:
1733:
1729:
1724:
1713:
1709:
1704:
1693:
1689:
1684:
1673:
1669:
1664:
1651:
1638:
1636:
1633:
1632:
1589:
1576:
1563:
1550:
1537:
1524:
1522:
1519:
1518:
1479:
1475:
1473:
1454:
1441:
1428:
1415:
1402:
1389:
1387:
1384:
1383:
1333:
1320:
1307:
1294:
1281:
1268:
1266:
1263:
1262:
1215:
1202:
1189:
1176:
1163:
1150:
1148:
1145:
1144:
1098:
1085:
1072:
1059:
1046:
1033:
1031:
1028:
1027:
960:
947:
934:
921:
908:
906:
903:
902:
856:
843:
830:
817:
804:
791:
789:
786:
785:
780:harmonic series
767:
761:or to diverge.
751:
747:
734:
730:
718:
698:
694:
688:
677:
671:
668:
667:
641:
638:
637:
597:
593:
592:
588:
586:
583:
582:
557:
554:
553:
537:
534:
533:
514:
511:
510:
494:
491:
490:
469:
465:
463:
460:
459:
429:
425:
416:
412:
403:
399:
394:
391:
390:
359:
355:
349:
338:
325:
321:
306:
302:
293:
289:
280:
276:
274:
271:
270:
261:
258:
250:
241:
218:
214:
208:
197:
178:
174:
165:
161:
152:
148:
140:
137:
136:
129:
100:
96:
87:
83:
74:
70:
65:
62:
61:
42:
35:
28:
23:
22:
15:
12:
11:
5:
5585:
5575:
5574:
5569:
5552:
5551:
5549:
5548:
5537:
5534:
5533:
5531:
5530:
5525:
5520:
5515:
5510:
5505:
5499:
5497:
5491:
5490:
5488:
5487:
5482:
5480:Fourier series
5477:
5472:
5467:
5465:Puiseux series
5462:
5460:Laurent series
5457:
5452:
5447:
5441:
5439:
5435:
5434:
5431:
5430:
5428:
5427:
5422:
5417:
5412:
5407:
5402:
5397:
5392:
5387:
5382:
5376:
5374:
5370:
5369:
5367:
5366:
5361:
5356:
5351:
5345:
5343:
5336:
5332:
5331:
5328:
5327:
5325:
5324:
5319:
5314:
5308:
5306:
5302:
5301:
5299:
5298:
5293:
5288:
5283:
5277:
5275:
5268:
5264:
5263:
5261:
5260:
5255:
5250:
5244:
5242:
5238:
5237:
5230:
5228:
5225:
5224:
5222:
5221:
5220:
5219:
5209:
5204:
5199:
5194:
5189:
5184:
5179:
5174:
5169:
5163:
5161:
5150:
5149:
5147:
5146:
5141:
5136:
5131:
5126:
5121:
5116:
5111:
5106:
5100:
5098:
5091:
5085:
5084:
5073:
5072:
5065:
5058:
5050:
5044:
5043:
5036:
5016:
5015:External links
5013:
5012:
5011:
5006:
4999:
4996:
4984:
4981:
4977:
4972:
4966:
4962:
4956:
4951:
4948:
4945:
4941:
4936:
4930:
4927:
4924:
4920:
4915:
4909:
4906:
4903:
4899:
4885:
4884:
4873:
4870:
4867:
4863:
4857:
4853:
4847:
4842:
4839:
4836:
4832:
4827:
4803:
4800:
4797:
4794:
4791:
4771:
4751:
4748:
4745:
4742:
4723:if and only if
4719:
4718:
4705:
4701:
4695:
4690:
4687:
4684:
4680:
4660:
4657:
4642:
4641:
4630:
4627:
4624:
4619:
4615:
4609:
4604:
4601:
4598:
4594:
4590:
4587:
4584:
4581:
4576:
4572:
4548:
4543:
4539:
4535:
4509:
4505:
4499:
4494:
4491:
4488:
4484:
4462:
4458:
4455:
4450:
4446:
4439:
4434:
4430:
4423:
4418:
4414:
4409:
4393:Main article:
4390:
4387:
4360:
4357:
4354:
4351:
4348:
4345:
4342:
4313:
4309:
4303:
4298:
4295:
4292:
4288:
4266:
4261:
4257:
4253:
4247:
4242:
4239:
4236:
4232:
4209:
4205:
4199:
4194:
4191:
4188:
4184:
4174:If the series
4142:
4138:
4132:
4127:
4124:
4121:
4117:
4095:
4090:
4086:
4082:
4076:
4071:
4068:
4065:
4061:
4051:If the series
4035:
4031:
4025:
4020:
4017:
4014:
4010:
3988:
3983:
3979:
3975:
3969:
3964:
3961:
3958:
3954:
3942:
3941:
3930:
3926:
3921:
3917:
3913:
3907:
3902:
3899:
3896:
3892:
3888:
3883:
3879:
3873:
3868:
3865:
3862:
3858:
3829:
3824:
3820:
3816:
3812:
3807:
3803:
3781:
3777:
3774:
3769:
3765:
3758:
3753:
3749:
3742:
3737:
3733:
3728:
3715:
3712:
3681:
3677:
3672:
3666:
3662:
3656:
3651:
3648:
3645:
3641:
3618:
3614:
3608:
3603:
3600:
3597:
3593:
3571:
3566:
3562:
3558:
3524:
3519:
3515:
3511:
3488:
3484:
3480:
3477:
3474:
3469:
3465:
3459:
3454:
3451:
3448:
3444:
3401:
3397:
3391:
3386:
3383:
3380:
3376:
3365:if and only if
3350:
3346:
3340:
3335:
3332:
3329:
3325:
3300:
3296:
3290:
3286:
3278:
3275:
3272:
3268:
3247:
3244:
3240:
3235:
3231:
3227:
3223:
3219:
3214:
3210:
3206:
3186:
3185:
3174:
3171:
3168:
3165:
3162:
3158:
3155:
3152:
3149:
3144:
3139:
3135:
3129:
3126:
3123:
3119:
3115:
3112:
3109:
3105:
3102:
3099:
3096:
3091:
3086:
3082:
3052:
3048:
3044:
3041:
3038:
3035:
3032:
2991:
2990:
2987:limit superior
2982:
2981:
2970:
2964:
2958:
2952:
2948:
2943:
2934:
2931:
2928:
2924:
2923:lim sup
2920:
2917:
2862:
2861:
2850:
2847:
2844:
2840:
2833:
2829:
2823:
2820:
2817:
2813:
2807:
2801:
2798:
2795:
2791:
2767:
2745:
2741:
2709:
2704:
2700:
2694:
2689:
2686:
2683:
2679:
2656:
2652:
2646:
2641:
2638:
2635:
2631:
2608:
2604:
2597:
2592:
2588:
2581:
2578:
2552:
2547:
2543:
2537:
2532:
2529:
2526:
2522:
2499:
2495:
2489:
2484:
2481:
2478:
2474:
2451:
2447:
2440:
2435:
2431:
2424:
2421:
2396:
2391:
2387:
2383:
2361:
2356:
2352:
2348:
2316:
2312:
2308:
2286:
2282:
2278:
2256:
2252:
2248:
2226:
2222:
2218:
2192:Main article:
2189:
2186:
2185:
2184:
2183:
2182:
2171:
2168:
2165:
2162:
2159:
2154:
2151:
2146:
2141:
2138:
2133:
2128:
2125:
2120:
2115:
2112:
2107:
2102:
2099:
2094:
2089:
2086:
2063:
2062:
2061:
2050:
2044:
2041:
2038:
2034:
2029:
2026:
2023:
2016:
2012:
2008:
2003:
1996:
1992:
1988:
1983:
1976:
1972:
1968:
1963:
1956:
1952:
1948:
1943:
1938:
1935:
1930:
1925:
1922:
1907:
1906:
1905:
1894:
1889:
1886:
1881:
1878:
1875:
1870:
1867:
1862:
1857:
1854:
1849:
1844:
1841:
1836:
1831:
1828:
1823:
1818:
1815:
1810:
1805:
1802:
1783:
1782:
1781:
1770:
1764:
1761:
1758:
1754:
1749:
1746:
1743:
1736:
1732:
1728:
1723:
1716:
1712:
1708:
1703:
1696:
1692:
1688:
1683:
1676:
1672:
1668:
1663:
1658:
1655:
1650:
1645:
1642:
1623:
1622:
1621:
1610:
1607:
1604:
1601:
1596:
1593:
1588:
1583:
1580:
1575:
1570:
1567:
1562:
1557:
1554:
1549:
1544:
1541:
1536:
1531:
1528:
1505:
1504:
1503:
1492:
1487:
1482:
1478:
1472:
1469:
1466:
1461:
1458:
1453:
1448:
1445:
1440:
1435:
1432:
1427:
1422:
1419:
1414:
1409:
1406:
1401:
1396:
1393:
1374:square numbers
1370:
1369:
1368:
1357:
1354:
1351:
1348:
1345:
1340:
1337:
1332:
1327:
1324:
1319:
1314:
1311:
1306:
1301:
1298:
1293:
1288:
1285:
1280:
1275:
1272:
1249:
1248:
1247:
1236:
1233:
1230:
1227:
1222:
1219:
1214:
1209:
1206:
1201:
1196:
1193:
1188:
1183:
1180:
1175:
1170:
1167:
1162:
1157:
1154:
1135:
1134:
1133:
1122:
1119:
1116:
1113:
1110:
1105:
1102:
1097:
1092:
1089:
1084:
1079:
1076:
1071:
1066:
1063:
1058:
1053:
1050:
1045:
1040:
1037:
1006:
1005:
1004:
993:
990:
987:
984:
981:
978:
975:
972:
967:
964:
959:
954:
951:
946:
941:
938:
933:
928:
925:
920:
915:
912:
893:
892:
891:
880:
877:
874:
871:
868:
863:
860:
855:
850:
847:
842:
837:
834:
829:
824:
821:
816:
811:
808:
803:
798:
795:
766:
763:
715:
714:
701:
697:
691:
686:
683:
680:
676:
656:is called the
645:
634:
633:
622:
619:
616:
612:
608:
605:
600:
596:
591:
567:
564:
561:
541:
518:
498:
472:
468:
443:
440:
437:
432:
428:
424:
419:
415:
411:
406:
402:
398:
379:
378:
367:
362:
358:
352:
347:
344:
341:
337:
333:
328:
324:
320:
317:
314:
309:
305:
301:
296:
292:
288:
283:
279:
254:
238:
237:
226:
221:
217:
211:
206:
203:
200:
196:
192:
189:
186:
181:
177:
173:
168:
164:
160:
155:
151:
147:
144:
114:
111:
108:
103:
99:
95:
90:
86:
82:
77:
73:
69:
26:
9:
6:
4:
3:
2:
5584:
5573:
5570:
5568:
5565:
5564:
5562:
5547:
5539:
5538:
5535:
5529:
5526:
5524:
5521:
5519:
5516:
5514:
5511:
5509:
5506:
5504:
5501:
5500:
5498:
5496:
5492:
5486:
5483:
5481:
5478:
5476:
5473:
5471:
5468:
5466:
5463:
5461:
5458:
5456:
5453:
5451:
5448:
5446:
5445:Taylor series
5443:
5442:
5440:
5436:
5426:
5423:
5421:
5418:
5416:
5413:
5411:
5408:
5406:
5403:
5401:
5398:
5396:
5393:
5391:
5388:
5386:
5383:
5381:
5378:
5377:
5375:
5371:
5365:
5362:
5360:
5357:
5355:
5352:
5350:
5347:
5346:
5344:
5340:
5337:
5333:
5323:
5320:
5318:
5315:
5313:
5310:
5309:
5307:
5303:
5297:
5294:
5292:
5289:
5287:
5284:
5282:
5279:
5278:
5276:
5272:
5269:
5265:
5259:
5256:
5254:
5251:
5249:
5246:
5245:
5243:
5239:
5234:
5218:
5215:
5214:
5213:
5210:
5208:
5205:
5203:
5200:
5198:
5195:
5193:
5190:
5188:
5185:
5183:
5180:
5178:
5175:
5173:
5170:
5168:
5165:
5164:
5162:
5158:
5151:
5145:
5142:
5140:
5137:
5135:
5134:Powers of two
5132:
5130:
5127:
5125:
5122:
5120:
5119:Square number
5117:
5115:
5112:
5110:
5107:
5105:
5102:
5101:
5099:
5095:
5092:
5090:
5086:
5082:
5078:
5071:
5066:
5064:
5059:
5057:
5052:
5051:
5048:
5041:
5037:
5033:
5029:
5028:
5023:
5019:
5018:
5010:
5007:
5005:
5002:
5001:
4995:
4982:
4979:
4975:
4970:
4964:
4960:
4954:
4949:
4946:
4943:
4939:
4934:
4928:
4925:
4922:
4913:
4901:
4888:
4871:
4868:
4865:
4861:
4855:
4851:
4845:
4840:
4837:
4834:
4830:
4825:
4817:
4816:
4815:
4801:
4798:
4795:
4792:
4789:
4769:
4749:
4746:
4743:
4740:
4732:
4728:
4724:
4703:
4699:
4688:
4685:
4682:
4678:
4670:
4669:
4668:
4666:
4656:
4654:
4649:
4647:
4625:
4617:
4613:
4607:
4602:
4599:
4596:
4592:
4588:
4582:
4574:
4570:
4562:
4561:
4560:
4541:
4537:
4525:
4507:
4503:
4492:
4489:
4486:
4482:
4460:
4456:
4453:
4448:
4444:
4437:
4432:
4428:
4421:
4416:
4412:
4407:
4396:
4386:
4384:
4379:
4375:
4355:
4352:
4349:
4343:
4340:
4333:
4329:
4311:
4307:
4296:
4293:
4290:
4286:
4264:
4259:
4255:
4251:
4240:
4237:
4234:
4230:
4207:
4203:
4192:
4189:
4186:
4182:
4172:
4170:
4166:
4162:
4158:
4140:
4136:
4125:
4122:
4119:
4115:
4093:
4088:
4084:
4080:
4069:
4066:
4063:
4059:
4049:
4033:
4029:
4018:
4015:
4012:
4008:
3986:
3981:
3977:
3973:
3962:
3959:
3956:
3952:
3928:
3924:
3919:
3915:
3911:
3900:
3897:
3894:
3890:
3886:
3881:
3877:
3866:
3863:
3860:
3856:
3848:
3847:
3846:
3845:. Therefore,
3844:
3827:
3822:
3818:
3814:
3810:
3805:
3801:
3779:
3775:
3772:
3767:
3763:
3756:
3751:
3747:
3740:
3735:
3731:
3726:
3711:
3710:
3709:
3704:
3703:
3702:
3697:
3679:
3675:
3670:
3664:
3660:
3649:
3646:
3643:
3639:
3616:
3612:
3601:
3598:
3595:
3591:
3569:
3564:
3560:
3556:
3547:
3546:
3541:
3539:
3522:
3517:
3513:
3509:
3486:
3478:
3475:
3467:
3463:
3452:
3449:
3446:
3442:
3433:
3429:
3425:
3421:
3420:
3415:
3399:
3395:
3384:
3381:
3378:
3374:
3366:
3348:
3344:
3333:
3330:
3327:
3323:
3298:
3294:
3288:
3284:
3270:
3245:
3242:
3238:
3233:
3229:
3225:
3221:
3217:
3212:
3208:
3204:
3195:
3194:
3189:
3172:
3166:
3163:
3160:
3153:
3147:
3142:
3137:
3133:
3121:
3113:
3110:
3107:
3100:
3094:
3084:
3080:
3072:
3071:
3070:
3068:
3050:
3046:
3042:
3036:
3030:
3022:
3021:
3020:Integral test
3016:
3012:
3008:
3001:
2996:
2988:
2984:
2983:
2968:
2962:
2950:
2946:
2926:
2918:
2915:
2908:
2907:
2906:
2904:
2900:
2896:
2894:
2889:
2888:
2883:
2879:
2872:
2867:
2848:
2845:
2842:
2838:
2831:
2827:
2821:
2818:
2815:
2811:
2805:
2793:
2781:
2780:
2779:
2765:
2743:
2739:
2730:
2726:
2725:
2720:
2707:
2702:
2698:
2687:
2684:
2681:
2677:
2654:
2650:
2639:
2636:
2633:
2629:
2606:
2602:
2595:
2590:
2586:
2579:
2576:
2568:
2563:
2550:
2545:
2541:
2530:
2527:
2524:
2520:
2497:
2493:
2482:
2479:
2476:
2472:
2449:
2445:
2438:
2433:
2429:
2422:
2419:
2411:
2394:
2389:
2385:
2381:
2359:
2354:
2350:
2346:
2337:
2336:
2314:
2310:
2284:
2280:
2254:
2250:
2224:
2220:
2207:
2203:
2201:
2195:
2169:
2166:
2163:
2160:
2157:
2152:
2149:
2144:
2139:
2136:
2131:
2126:
2123:
2118:
2113:
2110:
2105:
2100:
2097:
2092:
2087:
2084:
2075:
2074:
2072:
2068:
2064:
2048:
2042:
2039:
2036:
2032:
2027:
2024:
2021:
2014:
2010:
2006:
2001:
1994:
1990:
1986:
1981:
1974:
1970:
1966:
1961:
1954:
1950:
1946:
1941:
1936:
1933:
1928:
1923:
1920:
1911:
1910:
1908:
1892:
1887:
1884:
1879:
1876:
1873:
1868:
1865:
1860:
1855:
1852:
1847:
1842:
1839:
1834:
1829:
1826:
1821:
1816:
1813:
1808:
1803:
1800:
1791:
1790:
1788:
1784:
1768:
1762:
1759:
1756:
1752:
1747:
1744:
1741:
1734:
1730:
1726:
1721:
1714:
1710:
1706:
1701:
1694:
1690:
1686:
1681:
1674:
1670:
1666:
1661:
1656:
1653:
1648:
1643:
1640:
1631:
1630:
1628:
1624:
1608:
1605:
1602:
1599:
1594:
1591:
1586:
1581:
1578:
1573:
1568:
1565:
1560:
1555:
1552:
1547:
1542:
1539:
1534:
1529:
1526:
1517:
1516:
1514:
1510:
1506:
1490:
1485:
1480:
1476:
1470:
1467:
1464:
1459:
1456:
1451:
1446:
1443:
1438:
1433:
1430:
1425:
1420:
1417:
1412:
1407:
1404:
1399:
1394:
1391:
1382:
1381:
1379:
1378:Basel problem
1375:
1371:
1355:
1352:
1349:
1346:
1343:
1338:
1335:
1330:
1325:
1322:
1317:
1312:
1309:
1304:
1299:
1296:
1291:
1286:
1283:
1278:
1273:
1270:
1261:
1260:
1258:
1254:
1250:
1234:
1231:
1228:
1225:
1220:
1217:
1212:
1207:
1204:
1199:
1194:
1191:
1186:
1181:
1178:
1173:
1168:
1165:
1160:
1155:
1152:
1143:
1142:
1140:
1136:
1120:
1111:
1108:
1103:
1100:
1095:
1090:
1087:
1082:
1077:
1074:
1069:
1064:
1061:
1056:
1051:
1048:
1043:
1038:
1035:
1026:
1025:
1023:
1019:
1015:
1011:
1010:prime numbers
1007:
988:
982:
979:
976:
973:
970:
965:
962:
957:
952:
949:
944:
939:
936:
931:
926:
923:
918:
913:
910:
901:
900:
898:
894:
878:
869:
866:
861:
858:
853:
848:
845:
840:
835:
832:
827:
822:
819:
814:
809:
806:
801:
796:
793:
784:
783:
781:
777:
773:
769:
768:
762:
760:
755:
745:
741:
737:
725:
721:
699:
695:
684:
681:
678:
674:
666:
665:
664:
661:
659:
643:
620:
617:
614:
610:
606:
603:
598:
594:
589:
581:
580:
579:
565:
562:
559:
539:
532:
516:
496:
488:
470:
466:
457:
438:
435:
430:
426:
422:
417:
413:
409:
404:
400:
388:
384:
365:
360:
356:
350:
345:
342:
339:
335:
331:
326:
322:
318:
315:
312:
307:
303:
299:
294:
290:
286:
281:
277:
269:
268:
267:
264:
257:
253:
249:
244:
224:
219:
215:
204:
201:
198:
194:
190:
187:
184:
179:
175:
171:
166:
162:
158:
153:
149:
145:
142:
135:
134:
133:
128:
109:
106:
101:
97:
93:
88:
84:
80:
75:
71:
59:
55:
51:
47:
40:
33:
19:
5450:Power series
5285:
5192:Lucas number
5144:Powers of 10
5124:Cubic number
5025:
4889:
4886:
4727:partial sums
4720:
4662:
4650:
4645:
4643:
4523:
4398:
4380:
4373:
4173:
4050:
3943:
3842:
3717:
3706:
3705:
3699:
3698:
3543:
3542:
3434:of the form
3423:
3417:
3416:
3191:
3190:
3187:
3018:
3017:
3013:
3006:
2999:
2994:
2992:
2905:as follows:
2902:
2899:non-negative
2895:th root test
2892:
2891:
2885:
2884:
2877:
2870:
2865:
2863:
2728:
2722:
2721:
2566:
2564:
2409:
2333:
2332:
2197:
756:
743:
739:
728:
727:denotes the
723:
719:
716:
662:
657:
635:
486:
386:
382:
381:A series is
380:
262:
255:
251:
242:
239:
43:
5317:Conditional
5305:Convergence
5296:Telescoping
5281:Alternating
5197:Pell number
3708:Abel's test
3696:converges.
3414:converges.
1787:powers of 2
1509:powers of 2
248:partial sum
46:mathematics
5561:Categories
5342:Convergent
5286:Convergent
4721:converges
3538:decreasing
3363:converges
2901:. Define
2778:such that
2724:Ratio test
1253:factorials
1012:produce a
774:produce a
383:convergent
125:defines a
5373:Divergent
5291:Divergent
5153:Advanced
5129:Factorial
5077:Sequences
5032:EMS Press
4940:∑
4908:∞
4905:→
4869:ε
4831:∑
4799:≥
4793:≥
4741:ε
4694:∞
4679:∑
4593:∑
4498:∞
4483:∑
4457:…
4344:
4302:∞
4287:∑
4246:∞
4231:∑
4198:∞
4183:∑
4131:∞
4116:∑
4075:∞
4060:∑
4024:∞
4009:∑
3968:∞
3953:∑
3906:∞
3891:∑
3887:≤
3872:∞
3857:∑
3811:≤
3776:…
3655:∞
3640:∑
3607:∞
3592:∑
3476:−
3458:∞
3443:∑
3390:∞
3375:∑
3339:∞
3324:∑
3277:∞
3274:→
3170:∞
3134:∫
3128:∞
3125:→
3090:∞
3081:∫
2933:∞
2930:→
2887:Root test
2800:∞
2797:→
2693:∞
2678:∑
2645:∞
2630:∑
2596:≤
2580:≤
2536:∞
2521:∑
2488:∞
2473:∑
2439:≤
2423:≤
2307:Σ
2277:Σ
2247:Σ
2217:Σ
2167:ψ
2161:⋯
2025:⋯
2002:−
1962:−
1929:−
1877:⋯
1861:−
1835:−
1809:−
1760:−
1745:⋯
1603:⋯
1477:π
1468:⋯
1347:⋯
1229:⋯
1118:∞
1115:→
1112:⋯
983:
974:⋯
971:−
945:−
919:−
876:∞
873:→
870:⋯
759:divergent
690:∞
675:∑
644:ℓ
618:ε
607:ℓ
604:−
563:≥
517:ε
497:ℓ
439:…
387:converges
336:∑
316:⋯
210:∞
195:∑
188:⋯
110:…
5546:Category
5312:Absolute
5022:"Series"
4998:See also
4814:we have
3841:for all
2200:diverges
740:addition
5322:Uniform
5034:, 2001
4169:complex
4163:of the
4159:. The
3002:> 1,
2873:> 1,
1020:"; see
531:integer
52:is the
5274:Series
5081:series
4441:
4425:
3760:
3744:
3426:, the
3069:. If
2621:, and
2599:
2583:
2464:, and
2442:
2426:
127:series
50:series
5217:array
5097:Basic
4729:is a
3548:. If
3501:, if
3196:. If
1513:small
1018:large
456:limit
5157:list
5079:and
4926:>
4866:<
4744:>
4663:The
4399:Let
4381:The
3243:>
3167:<
3009:= 1,
2880:= 1,
1515:"):
750:and
733:and
615:<
385:(or
240:The
48:, a
4919:sup
4898:lim
4376:= 1
4326:is
4155:is
3267:lim
3118:lim
2993:If
2890:or
2864:If
2790:lim
2073:):
1380:):
1339:120
1259:):
1024:):
899:):
782:):
746:of
744:sum
246:th
54:sum
44:In
5563::
5030:,
5024:,
4983:0.
4655:.
4648:.
4378:.
4341:ln
3793:,
2731:,
2569:,
2412:,
2202:.
1869:32
1856:16
1609:2.
1595:32
1582:16
1460:36
1447:25
1434:16
1326:24
1235:2.
1221:21
1208:15
1195:10
1104:13
1091:11
980:ln
754:.
722:+
660:.
578:,
5159:)
5155:(
5069:e
5062:t
5055:v
4980:=
4976:)
4971:|
4965:k
4961:a
4955:n
4950:m
4947:=
4944:k
4935:|
4929:m
4923:n
4914:(
4902:m
4872:.
4862:|
4856:k
4852:a
4846:n
4841:m
4838:=
4835:k
4826:|
4802:N
4796:m
4790:n
4770:N
4750:,
4747:0
4704:n
4700:a
4689:1
4686:=
4683:n
4646:f
4629:)
4626:x
4623:(
4618:k
4614:f
4608:n
4603:1
4600:=
4597:k
4589:=
4586:)
4583:x
4580:(
4575:n
4571:s
4547:}
4542:n
4538:s
4534:{
4524:f
4508:n
4504:f
4493:1
4490:=
4487:n
4461:}
4454:,
4449:3
4445:f
4438:,
4433:2
4429:f
4422:,
4417:1
4413:f
4408:{
4374:x
4359:)
4356:x
4353:+
4350:1
4347:(
4312:n
4308:a
4297:1
4294:=
4291:n
4265:|
4260:n
4256:a
4252:|
4241:1
4238:=
4235:n
4208:n
4204:a
4193:1
4190:=
4187:n
4141:n
4137:a
4126:1
4123:=
4120:n
4094:|
4089:n
4085:a
4081:|
4070:1
4067:=
4064:n
4034:n
4030:a
4019:1
4016:=
4013:n
3987:|
3982:n
3978:a
3974:|
3963:1
3960:=
3957:n
3929:.
3925:|
3920:n
3916:a
3912:|
3901:1
3898:=
3895:n
3882:n
3878:a
3867:1
3864:=
3861:n
3843:n
3828:|
3823:n
3819:a
3815:|
3806:n
3802:a
3780:}
3773:,
3768:3
3764:a
3757:,
3752:2
3748:a
3741:,
3736:1
3732:a
3727:{
3680:k
3676:2
3671:a
3665:k
3661:2
3650:1
3647:=
3644:k
3617:n
3613:a
3602:1
3599:=
3596:n
3570:}
3565:n
3561:a
3557:{
3523:}
3518:n
3514:a
3510:{
3487:n
3483:)
3479:1
3473:(
3468:n
3464:a
3453:1
3450:=
3447:n
3400:n
3396:b
3385:1
3382:=
3379:n
3349:n
3345:a
3334:1
3331:=
3328:n
3299:n
3295:b
3289:n
3285:a
3271:n
3246:0
3239:}
3234:n
3230:b
3226:{
3222:,
3218:}
3213:n
3209:a
3205:{
3173:,
3164:x
3161:d
3157:)
3154:x
3151:(
3148:f
3143:t
3138:1
3122:t
3114:=
3111:x
3108:d
3104:)
3101:x
3098:(
3095:f
3085:1
3051:n
3047:a
3043:=
3040:)
3037:n
3034:(
3031:f
3007:r
3000:r
2995:r
2969:,
2963:n
2957:|
2951:n
2947:a
2942:|
2927:n
2919:=
2916:r
2903:r
2893:n
2878:r
2871:r
2866:r
2849:.
2846:r
2843:=
2839:|
2832:n
2828:a
2822:1
2819:+
2816:n
2812:a
2806:|
2794:n
2766:r
2744:n
2740:a
2729:n
2708:.
2703:n
2699:a
2688:1
2685:=
2682:n
2655:n
2651:b
2640:1
2637:=
2634:n
2607:n
2603:a
2591:n
2587:b
2577:0
2567:n
2551:.
2546:n
2542:a
2531:1
2528:=
2525:n
2498:n
2494:b
2483:1
2480:=
2477:n
2450:n
2446:b
2434:n
2430:a
2420:0
2410:n
2395:}
2390:n
2386:b
2382:{
2360:}
2355:n
2351:a
2347:{
2315:n
2311:b
2285:n
2281:a
2255:n
2251:a
2225:n
2221:b
2170:.
2164:=
2158:+
2153:8
2150:1
2145:+
2140:5
2137:1
2132:+
2127:3
2124:1
2119:+
2114:2
2111:1
2106:+
2101:1
2098:1
2093:+
2088:1
2085:1
2071:ψ
2049:.
2043:1
2040:+
2037:n
2033:n
2028:=
2022:+
2015:5
2011:n
2007:1
1995:4
1991:n
1987:1
1982:+
1975:3
1971:n
1967:1
1955:2
1951:n
1947:1
1942:+
1937:n
1934:1
1924:1
1921:1
1893:.
1888:3
1885:2
1880:=
1874:+
1866:1
1853:1
1848:+
1843:8
1840:1
1830:4
1827:1
1822:+
1817:2
1814:1
1804:1
1801:1
1769:.
1763:1
1757:n
1753:n
1748:=
1742:+
1735:5
1731:n
1727:1
1722:+
1715:4
1711:n
1707:1
1702:+
1695:3
1691:n
1687:1
1682:+
1675:2
1671:n
1667:1
1662:+
1657:n
1654:1
1649:+
1644:1
1641:1
1606:=
1600:+
1592:1
1587:+
1579:1
1574:+
1569:8
1566:1
1561:+
1556:4
1553:1
1548:+
1543:2
1540:1
1535:+
1530:1
1527:1
1491:.
1486:6
1481:2
1471:=
1465:+
1457:1
1452:+
1444:1
1439:+
1431:1
1426:+
1421:9
1418:1
1413:+
1408:4
1405:1
1400:+
1395:1
1392:1
1356:.
1353:e
1350:=
1344:+
1336:1
1331:+
1323:1
1318:+
1313:6
1310:1
1305:+
1300:2
1297:1
1292:+
1287:1
1284:1
1279:+
1274:1
1271:1
1257:e
1232:=
1226:+
1218:1
1213:+
1205:1
1200:+
1192:1
1187:+
1182:6
1179:1
1174:+
1169:3
1166:1
1161:+
1156:1
1153:1
1121:.
1109:+
1101:1
1096:+
1088:1
1083:+
1078:7
1075:1
1070:+
1065:5
1062:1
1057:+
1052:3
1049:1
1044:+
1039:2
1036:1
992:)
989:2
986:(
977:=
966:5
963:1
958:+
953:4
950:1
940:3
937:1
932:+
927:2
924:1
914:1
911:1
879:.
867:+
862:6
859:1
854:+
849:5
846:1
841:+
836:4
833:1
828:+
823:3
820:1
815:+
810:2
807:1
802:+
797:1
794:1
778:(
752:b
748:a
735:b
731:a
724:b
720:a
700:k
696:a
685:1
682:=
679:k
621:.
611:|
599:n
595:S
590:|
566:N
560:n
540:N
471:k
467:a
442:)
436:,
431:3
427:S
423:,
418:2
414:S
410:,
405:1
401:S
397:(
366:.
361:k
357:a
351:n
346:1
343:=
340:k
332:=
327:n
323:a
319:+
313:+
308:2
304:a
300:+
295:1
291:a
287:=
282:n
278:S
263:n
256:n
252:S
243:n
225:.
220:k
216:a
205:1
202:=
199:k
191:=
185:+
180:3
176:a
172:+
167:2
163:a
159:+
154:1
150:a
146:=
143:S
130:S
113:)
107:,
102:3
98:a
94:,
89:2
85:a
81:,
76:1
72:a
68:(
41:.
34:.
20:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.