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Critical point (set theory)

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836: 563: 340: 305: 279: 244: 69: 587: 504: 480: 429: 360: 782: 762: 734: 714: 694: 674: 654: 634: 607: 449: 403: 380: 209: 189: 169: 149: 129: 109: 89: 509: 877: 813: 870: 310: 284: 249: 214: 901: 851: 896: 863: 42: 572: 489: 465: 414: 345: 407: 25: 8: 452: 767: 747: 719: 699: 679: 659: 639: 619: 592: 434: 388: 365: 194: 174: 154: 134: 114: 94: 74: 809: 29: 456: 847: 33: 890: 801: 737: 483: 843: 610: 17: 558:{\displaystyle \{A\mid A\subseteq \kappa \land \kappa \in j(A)\}} 764:
has no critical point, i.e. every ordinal maps to itself, then
835: 741: 770: 750: 722: 702: 682: 662: 642: 622: 595: 575: 512: 492: 468: 437: 417: 391: 368: 348: 313: 287: 252: 217: 197: 177: 157: 137: 117: 97: 77: 45: 776: 756: 728: 708: 688: 668: 648: 628: 601: 581: 557: 498: 474: 443: 423: 397: 374: 354: 334: 299: 273: 238: 203: 183: 163: 143: 123: 103: 83: 63: 888: 151:by a formula of set theory with parameters from 716:is called "trivial". If the transitive class 506:. Specifically, one may take the filter to be 32:into another transitive class is the smallest 871: 552: 513: 569:-complete, non-principal ultrafilters over 878: 864: 565:. Generally, there will be many other < 889: 335:{\displaystyle j(\kappa )>\kappa } 830: 800: 362:is said to be the critical point of 211:must be strictly increasing. Also 191:must take ordinals to ordinals and 13: 300:{\displaystyle \alpha <\kappa } 274:{\displaystyle j(\alpha )=\alpha } 239:{\displaystyle j(\omega )=\omega } 14: 913: 613:(s) arising from such filter(s). 71:is an elementary embedding where 834: 36:which is not mapped to itself. 794: 549: 543: 323: 317: 262: 256: 227: 221: 55: 1: 787: 850:. You can help Knowledge by 676:is the identity function on 609:might be different from the 7: 808:. Berlin: Springer-Verlag. 111:are transitive classes and 10: 918: 829: 482:-complete, non-principal 462:such that there exists a 64:{\displaystyle j:N\to M} 582:{\displaystyle \kappa } 499:{\displaystyle \kappa } 475:{\displaystyle \kappa } 431:(the critical point of 424:{\displaystyle \kappa } 355:{\displaystyle \kappa } 846:-related article is a 778: 758: 730: 710: 690: 670: 650: 630: 603: 583: 559: 500: 476: 455:, i.e. an uncountable 445: 425: 399: 376: 356: 336: 301: 275: 240: 205: 185: 165: 145: 125: 105: 85: 65: 779: 759: 731: 711: 691: 671: 651: 631: 604: 584: 560: 501: 477: 446: 426: 400: 377: 357: 337: 302: 276: 241: 206: 186: 166: 146: 126: 106: 86: 66: 768: 748: 720: 700: 680: 660: 640: 620: 593: 573: 510: 490: 466: 435: 415: 389: 366: 346: 311: 285: 250: 215: 195: 175: 155: 135: 115: 95: 75: 43: 26:elementary embedding 453:measurable cardinal 774: 754: 726: 706: 686: 666: 646: 626: 599: 579: 555: 496: 472: 441: 421: 395: 372: 352: 332: 297: 271: 236: 201: 181: 161: 141: 121: 101: 81: 61: 859: 858: 777:{\displaystyle j} 757:{\displaystyle j} 729:{\displaystyle N} 709:{\displaystyle j} 689:{\displaystyle N} 669:{\displaystyle j} 656:are the same and 649:{\displaystyle M} 629:{\displaystyle N} 602:{\displaystyle j} 444:{\displaystyle j} 398:{\displaystyle N} 375:{\displaystyle j} 204:{\displaystyle j} 184:{\displaystyle j} 164:{\displaystyle N} 144:{\displaystyle N} 124:{\displaystyle j} 104:{\displaystyle M} 84:{\displaystyle N} 909: 902:Set theory stubs 880: 873: 866: 838: 831: 821: 819: 798: 783: 781: 780: 775: 763: 761: 760: 755: 735: 733: 732: 727: 715: 713: 712: 707: 695: 693: 692: 687: 675: 673: 672: 667: 655: 653: 652: 647: 635: 633: 632: 627: 608: 606: 605: 600: 588: 586: 585: 580: 564: 562: 561: 556: 505: 503: 502: 497: 481: 479: 478: 473: 450: 448: 447: 442: 430: 428: 427: 422: 404: 402: 401: 396: 381: 379: 378: 373: 361: 359: 358: 353: 341: 339: 338: 333: 306: 304: 303: 298: 280: 278: 277: 272: 245: 243: 242: 237: 210: 208: 207: 202: 190: 188: 187: 182: 170: 168: 167: 162: 150: 148: 147: 142: 131:is definable in 130: 128: 127: 122: 110: 108: 107: 102: 90: 88: 87: 82: 70: 68: 67: 62: 30:transitive class 917: 916: 912: 911: 910: 908: 907: 906: 897:Large cardinals 887: 886: 885: 884: 827: 825: 824: 816: 799: 795: 790: 769: 766: 765: 749: 746: 745: 721: 718: 717: 701: 698: 697: 681: 678: 677: 661: 658: 657: 641: 638: 637: 621: 618: 617: 594: 591: 590: 574: 571: 570: 511: 508: 507: 491: 488: 487: 467: 464: 463: 457:cardinal number 436: 433: 432: 416: 413: 412: 390: 387: 386: 367: 364: 363: 347: 344: 343: 312: 309: 308: 286: 283: 282: 251: 248: 247: 216: 213: 212: 196: 193: 192: 176: 173: 172: 156: 153: 152: 136: 133: 132: 116: 113: 112: 96: 93: 92: 76: 73: 72: 44: 41: 40: 12: 11: 5: 915: 905: 904: 899: 883: 882: 875: 868: 860: 857: 856: 839: 823: 822: 814: 792: 791: 789: 786: 773: 753: 725: 705: 685: 665: 645: 625: 598: 578: 554: 551: 548: 545: 542: 539: 536: 533: 530: 527: 524: 521: 518: 515: 495: 471: 451:) is always a 440: 420: 394: 371: 351: 331: 328: 325: 322: 319: 316: 296: 293: 290: 270: 267: 264: 261: 258: 255: 235: 232: 229: 226: 223: 220: 200: 180: 160: 140: 120: 100: 80: 60: 57: 54: 51: 48: 22:critical point 9: 6: 4: 3: 2: 914: 903: 900: 898: 895: 894: 892: 881: 876: 874: 869: 867: 862: 861: 855: 853: 849: 845: 840: 837: 833: 832: 828: 817: 815:3-540-44085-2 811: 807: 803: 797: 793: 785: 771: 751: 743: 739: 723: 703: 683: 663: 643: 623: 614: 612: 596: 576: 568: 546: 540: 537: 534: 531: 528: 525: 522: 519: 516: 493: 485: 469: 461: 458: 454: 438: 418: 410: 409: 392: 383: 369: 349: 329: 326: 320: 314: 294: 291: 288: 268: 265: 259: 253: 233: 230: 224: 218: 198: 178: 158: 138: 118: 98: 78: 58: 52: 49: 46: 39:Suppose that 37: 35: 31: 27: 23: 19: 852:expanding it 841: 826: 805: 802:Jech, Thomas 796: 784:is trivial. 615: 566: 459: 406: 384: 38: 21: 15: 738:inner model 589:. However, 484:ultrafilter 891:Categories 844:set theory 806:Set Theory 788:References 611:ultrapower 18:set theory 577:κ 538:∈ 535:κ 532:∧ 529:κ 526:⊆ 520:∣ 494:κ 470:κ 419:κ 350:κ 330:κ 321:κ 295:κ 289:α 269:α 260:α 234:ω 225:ω 56:→ 804:(2002). 281:for all 171:. Then 696:, then 411:, then 342:, then 34:ordinal 820:p. 323 812:  736:is an 246:. If 24:of an 20:, the 842:This 486:over 28:of a 848:stub 810:ISBN 744:and 636:and 327:> 307:and 292:< 91:and 742:ZFC 740:of 616:If 405:is 385:If 16:In 893:: 382:. 879:e 872:t 865:v 854:. 818:. 772:j 752:j 724:N 704:j 684:N 664:j 644:M 624:N 597:j 567:κ 553:} 550:) 547:A 544:( 541:j 523:A 517:A 514:{ 460:κ 439:j 408:V 393:N 370:j 324:) 318:( 315:j 266:= 263:) 257:( 254:j 231:= 228:) 222:( 219:j 199:j 179:j 159:N 139:N 119:j 99:M 79:N 59:M 53:N 50:: 47:j

Index

set theory
elementary embedding
transitive class
ordinal
V
measurable cardinal
cardinal number
ultrafilter
ultrapower
inner model
ZFC
Jech, Thomas
ISBN
3-540-44085-2
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expanding it
v
t
e
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