5685:
5207:
5680:{\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {e}}_{i}(b\otimes b')&={\begin{cases}{\tilde {e}}_{i}b\otimes b'&\varphi _{i}(b)\geq \varepsilon _{i}(b')\\b\otimes {\tilde {e}}_{i}b'&\varphi _{i}(b)<\varepsilon _{i}(b')\end{cases}}\\{\tilde {f}}_{i}(b\otimes b')&={\begin{cases}{\tilde {f}}_{i}b\otimes b'&\varphi _{i}(b)>\varepsilon _{i}(b')\\b\otimes {\tilde {f}}_{i}b'&\varphi _{i}(b)\leq \varepsilon _{i}(b')\end{cases}}\end{aligned}}}
4652:
632:
2919:
5690:
The decomposition of the product two integrable highest weight modules into irreducible submodules is determined by the decomposition of the graph of the crystal base into its connected components (i.e. the highest weights of the submodules are determined, and the multiplicity of each highest weight
4431:
4263:
For any integrable module with a crystal base, the weight spectrum for the crystal base is the same as the weight spectrum for the module, and therefore the weight spectrum for the crystal base is the same as the weight spectrum for the corresponding module of the appropriate
4152:. If an integrable module has a crystal base, then the module is irreducible if and only if the graph representing the crystal base is connected (a graph is called "connected" if the set of vertices cannot be partitioned into the union of nontrivial disjoint subsets
1749:
1584:
4869:
399:
904:
4995:
5093:
2785:
1317:
1193:
4647:{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (k_{\lambda })&=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }\\\Delta (e_{i})&=e_{i}\otimes k_{i}^{-1}+1\otimes e_{i}\\\Delta (f_{i})&=f_{i}\otimes 1+k_{i}\otimes f_{i}\end{aligned}}}
2779:
1069:
988:
5741:
2551:
404:
2653:
1390:
4765:
2711:
5212:
4436:
4704:
3224:
3169:
2432:
2389:
2478:
2246:
3944:
3885:
2597:
1590:
1425:
4400:
708:
5199:
5168:
5132:
4124:
4088:
3688:
3652:
3544:
3508:
3402:
3366:
3114:
3078:
3281:
1807:
627:{\displaystyle {\begin{aligned}e_{i}^{(0)}=f_{i}^{(0)}&=1\\e_{i}^{(n)}&={\frac {e_{i}^{n}}{_{q_{i}}!}}\\f_{i}^{(n)}&={\frac {f_{i}^{n}}{_{q_{i}}!}}\end{aligned}}}
338:
175:
67:
2071:
2345:
3717:
3310:
2289:
1975:
1417:
307:
93:
1226:
1102:
371:
2996:
2959:
2010:
768:
675:
273:
4423:
4358:
4895:
4268:. The multiplicities of the weights in the crystal base are also the same as their multiplicities in the corresponding module of the appropriate Kac–Moody algebra.
217:
4333:
4258:
4231:
4204:
4177:
4052:
4025:
3998:
3971:
3826:
3799:
2130:
776:
3768:
2320:
1944:
1915:
1866:
124:
4150:
3596:
3570:
3428:
3250:
3022:
1833:
4903:
4301:
3737:
3616:
3472:
3452:
3330:
3042:
2267:
2193:
2173:
2153:
2098:
1886:
1772:
748:
728:
655:
391:
144:
5001:
4770:
2914:{\displaystyle {\text{for all }}b\in B{\text{ and }}b'\in B,{\text{ and for all }}i,\quad {\tilde {e}}_{i}b=b'{\text{ if and only if }}{\tilde {f}}_{i}b'=b.}
1231:
1107:
2716:
5793:
993:
912:
2483:
2602:
1325:
5720:
2659:
3174:
3119:
2394:
2351:
2437:
2198:
4709:
4660:
1744:{\displaystyle {\tilde {f}}_{i}u=\sum _{n=0}^{\infty }f_{i}^{(n+1)}u_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }e_{i}^{(n-1)}v_{n}.}
1579:{\displaystyle {\tilde {e}}_{i}u=\sum _{n=1}^{\infty }f_{i}^{(n-1)}u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }e_{i}^{(n+1)}v_{n},}
5708:
3890:
3831:
2557:
5872:
5712:
3694:
680:
5137:
5101:
4093:
4057:
3657:
3621:
3513:
3477:
3371:
3335:
3083:
3047:
3255:
1781:
312:
149:
41:
5497:
5266:
2015:
2325:
3700:
3286:
2272:
1949:
1395:
290:
76:
5877:
5173:
1198:
1074:
349:
2964:
2927:
1980:
899:{\displaystyle u=\sum _{n=0}^{\infty }f_{i}^{(n)}u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }e_{i}^{(n)}v_{n},}
753:
660:
242:
5867:
4408:
4363:
4272:
4265:
31:
20:
4874:
196:
5832:
5773:
5730:
4990:{\displaystyle \varepsilon _{i}(b)=\max \left\{n\geq 0:{\tilde {e}}_{i}^{n}b\neq 0\right\}}
4306:
4236:
4209:
4182:
4155:
4030:
4003:
3976:
3949:
3804:
3777:
2103:
4275:
has a crystal base. Similarly, every integrable lowest weight module has a crystal base.
3742:
2294:
1920:
1891:
1842:
98:
8:
4129:
3575:
3549:
3407:
3229:
3001:
1812:
4338:
5820:
5777:
5088:{\displaystyle \varphi _{i}(b)=\max \left\{n\geq 0:{\tilde {f}}_{i}^{n}b\neq 0\right\}}
4864:{\displaystyle B\otimes B'=\left\{b\otimes _{\mathbb {Q} }b':b\in B,\ b'\in B'\right\}}
4286:
3722:
3601:
3457:
3437:
3315:
3027:
2252:
2178:
2158:
2138:
2083:
1871:
1757:
733:
713:
640:
376:
129:
5812:
5781:
5761:
5716:
280:
1312:{\displaystyle n-{\frac {2(\lambda ,\alpha _{i})}{(\alpha _{i},\alpha _{i})}}\geq 0}
1188:{\displaystyle n+{\frac {2(\lambda ,\alpha _{i})}{(\alpha _{i},\alpha _{i})}}\geq 0}
5802:
5753:
5737:
3690:
are represented by mutual transposes, and map basis vectors to basis vectors or 0.
178:
5828:
5769:
5726:
5702:
1775:
220:
5788:
224:
186:
5845:
5861:
5816:
5765:
35:
3697:
with labelled edges. Each vertex of the graph represents an element of the
276:
70:
344:
2774:{\displaystyle {\tilde {f}}_{i}B\subset B\cup \{0\}{\text{ for all }}i,}
5824:
5757:
5791:(1990), "Canonical bases arising from quantized enveloping algebras",
4403:
177:-lattice in that vector space. Crystal bases appeared in the work of
5807:
1064:{\displaystyle v_{n}\in \ker(f_{i})\cap M_{\lambda -n\alpha _{i}}}
983:{\displaystyle u_{n}\in \ker(e_{i})\cap M_{\lambda +n\alpha _{i}}}
2546:{\displaystyle B_{\lambda }=B\cap (L_{\lambda }/qL_{\lambda }),}
5742:"Crystalizing the q-analogue of universal enveloping algebras"
2648:{\displaystyle {\tilde {f}}_{i}L\subset L{\text{ for all }}i,}
239:
As a consequence of its defining relations, the quantum group
5849:
5669:
5438:
3454:-module generated by the basis, and the basis vectors, the
2924:
To put this into a more informal setting, the actions of
1385:{\displaystyle {\tilde {e}}_{i},{\tilde {f}}_{i}:M\to M}
5210:
5176:
5140:
5104:
5004:
4906:
4877:
4773:
4712:
4663:
4434:
4411:
4366:
4341:
4309:
4289:
4239:
4212:
4185:
4158:
4132:
4096:
4060:
4033:
4006:
3979:
3952:
3893:
3834:
3807:
3780:
3745:
3725:
3703:
3660:
3624:
3604:
3578:
3572:. Furthermore, the basis can be chosen such that at
3552:
3516:
3480:
3460:
3440:
3410:
3374:
3338:
3318:
3289:
3258:
3232:
3177:
3122:
3086:
3050:
3030:
3004:
2967:
2930:
2788:
2719:
2662:
2605:
2560:
2486:
2440:
2397:
2354:
2328:
2297:
2275:
2255:
2201:
2181:
2161:
2141:
2106:
2086:
2018:
1983:
1952:
1923:
1894:
1874:
1845:
1815:
1784:
1760:
1593:
1428:
1398:
1328:
1234:
1201:
1110:
1077:
996:
915:
779:
756:
736:
716:
683:
663:
643:
402:
379:
352:
315:
293:
245:
199:
152:
132:
101:
79:
44:
3116:
on the module are introduced so that the actions of
2706:{\displaystyle {\tilde {e}}_{i}B\subset B\cup \{0\}}
4278:
4271:It is a theorem of Kashiwara that every integrable
4206:such that there are no edges joining any vertex in
5679:
5193:
5162:
5126:
5087:
4989:
4889:
4863:
4759:
4698:
4646:
4417:
4394:
4352:
4327:
4295:
4252:
4225:
4198:
4171:
4144:
4118:
4082:
4054:. The graph completely determines the actions of
4046:
4019:
3992:
3965:
3938:
3879:
3820:
3793:
3762:
3731:
3711:
3682:
3646:
3610:
3590:
3564:
3538:
3502:
3466:
3446:
3422:
3396:
3360:
3324:
3304:
3275:
3244:
3218:
3163:
3108:
3072:
3036:
3016:
2990:
2953:
2913:
2773:
2705:
2647:
2591:
2545:
2472:
2426:
2383:
2339:
2314:
2283:
2261:
2240:
2187:
2167:
2147:
2124:
2092:
2065:
2004:
1969:
1938:
1909:
1880:
1860:
1827:
1801:
1766:
1743:
1578:
1411:
1384:
1311:
1220:
1187:
1096:
1063:
982:
898:
762:
742:
722:
702:
669:
649:
626:
385:
365:
332:
301:
267:
211:
169:
138:
118:
87:
61:
5859:
5027:
4929:
3219:{\displaystyle {\tilde {f}}_{i}{\tilde {e}}_{i}}
3164:{\displaystyle {\tilde {e}}_{i}{\tilde {f}}_{i}}
2427:{\displaystyle B=\sqcup _{\lambda }B_{\lambda }}
2384:{\displaystyle L=\oplus _{\lambda }L_{\lambda }}
73:is not a base of that vector space but rather a
2473:{\displaystyle L_{\lambda }=L\cap M_{\lambda }}
2241:{\displaystyle M=\mathbb {Q} (q)\otimes _{A}L;}
4760:{\displaystyle (L\otimes _{A}L',B\otimes B')}
4699:{\displaystyle M\otimes _{\mathbb {Q} (q)}M'}
3434:. The module is then restricted to the free
5794:Journal of the American Mathematical Society
2757:
2751:
2700:
2694:
193:). They can be viewed as specializations as
3939:{\displaystyle b_{1}={\tilde {e}}_{i}b_{2}}
3880:{\displaystyle b_{2}={\tilde {f}}_{i}b_{1}}
770:) can be uniquely decomposed into the sums
4360:be an integrable module with crystal base
4303:be an integrable module with crystal base
2592:{\displaystyle {\tilde {e}}_{i}L\subset L}
5806:
5736:
4805:
4673:
3705:
3260:
2330:
2277:
2209:
1954:
1786:
317:
295:
182:
154:
81:
46:
5787:
5700:
3693:A crystal base can be represented by a
3332:, with respect to which the actions of
1888:if and only if there exist polynomials
228:
190:
5860:
5746:Communications in Mathematical Physics
4027:is the basis element represented by
3973:is the basis element represented by
4657:is adopted. The integrable module
3770:, and a directed edge, labelled by
13:
4572:
4492:
4439:
4412:
1696:
1635:
1531:
1470:
857:
802:
14:
5889:
5839:
5711:, vol. 6, Providence, R.I.:
703:{\displaystyle u\in M_{\lambda }}
16:Representation of a quantum group
5163:{\displaystyle {\tilde {f}}_{i}}
5127:{\displaystyle {\tilde {e}}_{i}}
4279:Tensor products of crystal bases
4119:{\displaystyle {\tilde {f}}_{i}}
4083:{\displaystyle {\tilde {e}}_{i}}
3683:{\displaystyle {\tilde {f}}_{i}}
3647:{\displaystyle {\tilde {e}}_{i}}
3539:{\displaystyle {\tilde {f}}_{i}}
3503:{\displaystyle {\tilde {e}}_{i}}
3397:{\displaystyle {\tilde {f}}_{i}}
3361:{\displaystyle {\tilde {e}}_{i}}
3109:{\displaystyle {\tilde {f}}_{i}}
3073:{\displaystyle {\tilde {e}}_{i}}
5709:Graduate Studies in Mathematics
3276:{\displaystyle \mathbb {Q} (q)}
3252:on the module. There exists a
2836:
1802:{\displaystyle \mathbb {Q} (q)}
333:{\displaystyle \mathbb {Q} (q)}
170:{\displaystyle \mathbb {Q} (v)}
62:{\displaystyle \mathbb {Q} (v)}
5701:Jantzen, Jens Carsten (1996),
5663:
5652:
5636:
5630:
5598:
5578:
5567:
5551:
5545:
5507:
5482:
5465:
5453:
5432:
5421:
5405:
5399:
5367:
5347:
5336:
5320:
5314:
5276:
5251:
5234:
5222:
5148:
5112:
5054:
5021:
5015:
4956:
4923:
4917:
4754:
4713:
4683:
4677:
4588:
4575:
4508:
4495:
4455:
4442:
4389:
4367:
4322:
4310:
4104:
4068:
3914:
3855:
3668:
3632:
3524:
3488:
3474:-submodule and the actions of
3382:
3346:
3296:
3270:
3264:
3204:
3185:
3149:
3130:
3094:
3058:
2882:
2844:
2727:
2670:
2613:
2568:
2537:
2506:
2219:
2213:
2119:
2107:
2066:{\displaystyle f(q)=g(q)/h(q)}
2060:
2054:
2043:
2037:
2028:
2022:
1993:
1987:
1964:
1958:
1933:
1927:
1904:
1898:
1855:
1849:
1796:
1790:
1723:
1711:
1662:
1650:
1601:
1558:
1546:
1497:
1485:
1436:
1376:
1358:
1336:
1297:
1271:
1266:
1247:
1173:
1147:
1142:
1123:
1029:
1016:
948:
935:
878:
872:
823:
817:
598:
591:
561:
555:
519:
512:
482:
476:
447:
441:
423:
417:
327:
321:
262:
256:
203:
164:
158:
56:
50:
1:
5713:American Mathematical Society
5694:
2340:{\displaystyle \mathbb {Q} ,}
1778:of all rational functions in
234:
3712:{\displaystyle \mathbb {Q} }
3305:{\displaystyle {\tilde {B}}}
2284:{\displaystyle \mathbb {Q} }
1970:{\displaystyle \mathbb {Q} }
1412:{\displaystyle M_{\lambda }}
302:{\displaystyle \mathbb {Q} }
88:{\displaystyle \mathbb {Q} }
7:
5194:{\displaystyle b\otimes b'}
3774:, and directed from vertex
2291:-basis of the vector space
1221:{\displaystyle v_{n}\neq 0}
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